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Corso di Campi Elettromagnetici e Circuiti: Propagazione Guidata - Prof. Maurizio Bozzi Lezione 4 - 1

CORSO DI

CAMPI ELETTROMAGNETICI E CIRCUITI

- PROPAGAZIONE GUIDATA -

Università di Pavia, Facoltà di Ingegneria

[email protected]

http://microwave.unipv.it/bozzi/

Prof. Maurizio Bozzi


LEZIONE 4

LE ONDE PIANE


SOMMARIO DELLA LEZIONE

Introduzione alle onde piane uniformi

L’equazione delle onde (o di Helmholtz)

Onde piane nei mezzi senza perdite

Onde piane nei mezzi dissipativi

Onde piane nei buoni conduttori


INTRODUZIONE ALLE ONDE PIANE UNIFORMI

Le onde piane uniformi sono la soluzione più semplice delle equazioni

di Maxwell. Sebbene, a rigore, non esistano nella realtà, esse

rappresentano una buona approssimazione di molti casi pratici.


L’EQUAZIONE DELLE ONDE (O DI HELMHOLTZ)

In un mezzo lineare, isotropo, omogeneo e privo di sorgenti, le

equazioni di Maxwell per campi sinusoidali assumono la forma:

È possibile risolvere le due equazioni rispetto alle incognite 𝐸 ed 𝐻 .

Applicando l’operatore rotore alle prima equazione e usando la seconda:

Applicando la relazione 𝛻 × 𝛻 × 𝐴 = 𝛻 𝛻 ∙ 𝐴 − 𝛻2 𝐴 ed utilizzando

l’equazione di Maxwell per la divergenza di 𝐸 (𝛻 ∙ 𝐸 = 0), si ottiene:

che rappresenta l’equazione delle onde (o equazione di Helmholtz).

𝛻 × 𝐸 = −𝑗𝜔𝜇 𝐻

𝛻 × 𝐻 = 𝑗𝜔𝜀 𝐸

𝛻 × 𝛻 × 𝐸 = −𝑗𝜔𝜇 𝛻 × 𝐻 = 𝜔2𝜀𝜇 𝐸

𝛻2 𝐸 + 𝜔2𝜀𝜇 𝐸 = 0


L’EQUAZIONE DELLE ONDE (O DI HELMHOLTZ)

Allo stesso modo, applicando l’operatore rotore alle seconda equazione e

procedendo in modo analogo, si ottiene:

che rappresenta l’equazione delle onde per il campo magnetico.

La costante 𝑘 = 𝜔 𝜀𝜇 si definisce numero d’onda e si misura in 1/m.

Nel caso in cui 𝜀 e 𝜇 siano reali (nei mezzi senza perdite), anche il numero

d’onda 𝑘 è reale.

Al contrario, nei mezzi con perdite 𝑘 è complesso.

𝛻2 𝐻 + 𝜔2𝜀𝜇 𝐻 = 0


onda che si propaga verso -zonda che si propaga verso +z

ONDE PIANE NEI MEZZI SENZA PERDITE

Studiamo la soluzione dell’equazione delle onde in un mezzo senza

perdite, in cui 𝜀, 𝜇 e 𝑘 sono reali. Consideriamo per semplicità il campo

elettrico con la sola componente 𝐸𝑥 e uniforme rispetto a x e y (e pertanto

𝜕/𝜕𝑥 = 0, 𝜕/𝜕𝑦 = 0). In questo caso si parla di onda piana uniforme.

L’equazione di Helmholtz risulta:

e ammette due soluzioni indipendenti

dove 𝐸+ ed 𝐸− sono costanti arbitrarie.

𝜕2𝐸𝑥

𝜕𝑧2+ 𝑘2𝐸𝑥 = 0

𝐸𝑥 𝑧 = 𝐸+𝑒−𝑗𝑘𝑧 + 𝐸−𝑒𝑗𝑘𝑧


𝜔𝑡 − 𝑘𝑧 = costantese 𝑡 aumenta 𝑧 aumenta


ℰ𝑥(𝑧, 𝑡) = 𝐸+cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧) + 𝐸−cos(𝜔𝑡 + 𝑘𝑧)

La soluzione dell’equazione di Helmholtz nel dominio del tempo si può

esprimere come:

𝑧



𝑣𝑝 =𝑑𝑧

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡

𝜔𝑡 − costante

𝑘=𝜔

𝑘=

1

𝜀𝜇

La velocità dell’onda si definisce velocità di fase e si calcola come:

Nel vuoto, 𝑣𝑝 = 1 𝜀0𝜇0 = 2.998 108 m/s, che rappresenta la velocità della

luce nel vuoto.

𝜔𝑡 − 𝑘𝑧 − 𝜔𝑡 − 𝑘 𝑧 + 𝜆 = 2𝜋

𝜆 =2𝜋

𝑘=2𝜋𝑣𝑝𝜔

=𝑣𝑝𝑓

La lunghezza d’onda rappresenta la distanza tra due massimi:



Analogamente, si può determinare l’espressione del campo magnetico

dell’onda piana uniforme. Il campo magnetico si può anche determinare

dal campo elettrico tramite l’equazione di Maxwell del rotore:

dove

rappresenta l’impedenza intrinseca del mezzo. Nel vuoto:

𝐻𝑥 𝑧 = 𝐻𝑧 𝑧 = 0

𝐻𝑦 𝑧 =𝑗

𝜔𝜇

𝜕𝐸𝑥

𝜕𝑧=

1

𝜂(𝐸+𝑒−𝑗𝑘𝑧 − 𝐸−𝑒𝑗𝑘𝑧)

𝜂 =𝜔𝜇

𝑘=

𝜇

𝜀

𝜂0 =𝜇0𝜀0

= 377 Ω



Le onde piane uniformi sono onde TEM (trasversali elettro-magnetiche), in

cui il campo elettrico e il campo magnetico sono ortogonali tra loro e

ortogonali alla direzione di propagazione.

𝑥𝑦

𝑧


= 𝑘2 (complesso)

ONDE PIANE NEI MEZZI DISSIPATIVI

Consideriamo ora la soluzione dell’equazione delle onde in un mezzo

dissipativo, con conducibilità 𝜎 (permittività elettrica 𝜀 − 𝑗 𝜎 𝜔).

Le equazioni di Maxwell per campi sinusoidali assumono la forma:

Procedendo come nel caso precedente, si ottiene l’equazione delle onde:

𝛻 × 𝐸 = −𝑗𝜔𝜇 𝐻

𝛻 × 𝐻 = 𝑗𝜔𝜀 𝐸 + 𝜎 𝐸

𝛻2 𝐸 + 𝜔2𝜀𝜇 1 − 𝑗𝜎

𝜔𝜀 𝐸 = 0


costante di

fase

costante di

attenuazione


Nell’ipotesi di un campo elettrico con sola componente 𝐸𝑥 e uniforme

rispetto a x e y, l’equazione delle onde assume la forma:

ed ammette le soluzioni:

𝜕2𝐸𝑥𝜕𝑧2

− 𝛾2𝐸𝑥 = 0

𝐸𝑥 𝑧 = 𝐸+𝑒−𝛾𝑧 + 𝐸−𝑒𝛾𝑧

Si definisce la costante di propagazione complessa 𝜸, connessa a 𝑘:

𝛾 = 𝑗𝑘 = 𝑗𝜔 𝜀𝜇 1 − 𝑗𝜎

𝜔𝜀= 𝛼 + 𝑗𝛽



Se consideriamo l’onda che si propaga nel verso positivo dell’asse 𝑧:

e nel dominio del tempo:

che corrisponde ad un’onda sinusoidale attenuata.

𝑒−𝛾𝑧 = 𝑒−𝛼𝑧𝑒−𝑗𝛽𝑧

𝑒−𝛼𝑧 cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧)

𝑧



𝛾 = 𝑗𝑘 = 𝑗𝜔 𝜀𝜇 = 𝑗𝜔 𝜀′𝜇(1 − 𝑗 tan 𝛿)

𝐻𝑦 𝑧 =𝑗

𝜔𝜇

𝜕𝐸𝑥

𝜕𝑧=

1

𝜂(𝐸+𝑒−𝛾𝑧 − 𝐸−𝑒𝛾𝑧)

𝜂 =𝑗𝜔𝜇

𝛾

In un mezzo dissipativo con permittività elettrica complessa 𝜀 = 𝜀′ − 𝑗𝜀",

la costante di propagazione complessa risulta:

dove tan 𝛿 = 𝜀"/𝜀′ è la tangente di perdita del materiale.

Il campo magnetico si può determinare dal campo elettrico tramite

l’equazione di Maxwell del rotore:

dove

rappresenta l’impedenza intrinseca del mezzo (complessa).


ONDE PIANE NEI BUONI CONDUTTORI

La propagazione delle onde piane in un buon conduttore (non perfetto) si

può studiare come caso particolare dei mezzi dissipativi.

Se 𝜎 ≫ 𝜔𝜀, nella permittività complessa risulta 𝜀" ≫ 𝜀′. Pertanto:

e quindi:

dove

si definisce spessore della pelle e si misura in m.

𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 ≅ 𝑗𝜔 𝜀𝜇𝜎

𝑗𝜔𝜀= (1 + 𝑗)

𝜔𝜇𝜎

2

𝛼 = 𝛽 =𝜔𝜇𝜎

2=1

𝛿

𝛿 =2

𝜔𝜇𝜎



L’ampiezza dei campi decresce esponenzialmente nei buoni conduttori, e

si riduce a 1/𝑒 ad un distanza 𝛿.



L’impedenza intrinseca del mezzo, nel caso di un buon conduttore, si

calcola come:

La fase dell’impedenza è di 45° (nel caso dei mezzi senza perdite la fase

dell’impedenza intrinseca è 0°).

𝜂 =𝑗𝜔𝜇

𝛾≅ 1 + 𝑗

𝜔𝜇

2𝜎= 1 + 𝑗

1

𝜎𝛿

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