Prefazione

Le scoperte scientifiche che sono veramente passate alla storia non sono mol-tissime, sebbene la scienza esista, praticamente, da quando esiste luomo. Lateoria della relativit , senza ombra di dubbio, una delle pi grandi rivoluzionidel pensiero umano, ad opera principalmente del fisico tedesco Albert Einstein(Ulm, 14 marzo 1879, Princeton, 18 aprile 1955). La teoria della relativit generale,sublime capolavoro del pensiero umano, costituisce tuttora, ad ormai un secolodalla sua stesura, la teoria di riferimento della gravitazione che corregge e ampliala vecchia teoria newtoniana e fa da base per gli attuali tentativi di quantizzazionedella gravit. Come ogni teoria fisica anche la teoria della relativit formalizzatain termini matematici; pi precisamente la matematica che pone il fondamentodella teoria della relativit il calcolo tensoriale, costruito e studiato da GregorioRicci Curbastro (Lugo, 12 gennaio 1853, Bologna, 6 agosto 1925) e dal suo allievoTullio Levi Civita (Padova, 29 marzo 1873, Roma, 29 dicembre 1941). curioso eper certi versi affascinante osservare che il calcolo tensoriale introdotto da RicciCurbastro e Levi Civita in ambito geometricodifferenziale abbia poi trovato unasua naturale collocazione nella teoria della relativit: infatti una relazione tensoriale invariante rispetto ai cambiamenti di coordinate, ovvero di riferimento, per cuiappare come la migliore candidata possibile ad essere posta come legge fisica.

Lo scopo di questa trattazione, principalmente didattico, quello di presentareanzitutto, dopo un breve richiamo di meccanica lagrangiana nel capitolo 1, la teoriadella relativit ristretta, esposta nel capitolo 2, come correzione della meccanicanewtoniana alla luce del principio di costanza della velocit della luce nel vuoto. Lostudio dellinvarianza rispetto alle trasformazioni di Lorentz suggerisce la necessitdi studiare le relazioni matematiche a pi indici che sono invarianti rispetto aicambiamenti di riferimento, ovvero di coordinate. Nel capitolo 3 dunque si spostalattenzione sul calcolo tensoriale e sullo studio della geometria intrinseca degli spazicoordinatizzabili. Nel capitolo 4 finalmente si passa allo studio delle basi teorichedella teoria della relativit generale. Verr posta lattenzione solo sui fondamentidella teoria stessa e sulle sue principali conseguenze a partire dal principio diequivalenza, accennando solo, come conclusione al capitolo 4, ad alcuni tra glisviluppi pi recenti, quali le onde gravitazionali, la cosmologia, i buchi neri o ancorail problema dellunificazione delle forze.

Il seguente testo pu essere rivolto, secondo la nostra opinione, a studenti dei

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Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relativit

10 Prefazione

corsi di laurea in matematica, fisica o ingegneria che desiderano avere una conoscenzadi base di calcolo tensoriale e di teoria della relativit. Pertanto indichiamo comeprerequisiti una buona conoscenza dellanalisi matematica in dimensione finita,una buona conoscenza della fisica generale e della meccanica analitica. I testiprincipali di riferimento per questa trattazione sono: L.D. Landau e E.M. Lifsic,Meccanica, Boringhieri, Torino 1965, pp. 253 e L.D. Landau e E.M. Lifsic,Teoria dei campi, Editori riuniti, Roma 1999, pp. 517 per la teoria della relativitristretta e generale; T. Levi Civita, Lezioni di Calcolo Differenziale assoluto, trad.di E. Persico, Stock editore, Roma 1925, pp. 314, per il calcolo tensoriale. Altririferimenti si possono trovare nella bibliografia presentata.

Infine, ma non ultimo in importanza, va sottolineato il fatto che la teoria dellarelativit, poich si basa su pochi principi e sul fertile e potente calcolo tensoriale,ha anche il pregio di essere semplice, completa, elegante e bella.

Avvertenza. La cronologia delle scoperte ed invenzioni qui riportate, nonch la loropaternit, pu essere imprecisa o incompleta. Ci scusiamo da subito per questocon il lettore. Come spesso si verifica nella storia della scienza, per esigenze dichiarezza, si schematizzano eccessivamente i complessi, lunghi e controversi processiche hanno portato ad una scoperta, invenzione o teoria compiuta. Questo portaspesso ad associare ad una teoria, scoperta o invenzione una data ed un singolonome di scienziato in modo non rispettoso della verit storica. Un esempio fra tutti proprio la genesi della teoria della relativit ristretta. Essa viene comunementeattribuita ad Einstein, dimenticando spesso i fondamentali ed essenziali apporti dimolti altri scienziati, come ad esempio Poincar, Minkowski e Lorentz.

Ringraziamo per il supporto tecnico e scientifico: il dott.Luca Giuzzi, Paolo Glorioso,il prof. Roberto Lucchetti, la prof. Silvia Pianta ed il prof. Mauro Spera che haletto con attenzione il libro. In particolare L. Lussardi ringrazia il prof. BrunoBigolin dal quale lautore ha appreso il calcolo tensoriale nella forma originalmentedata dai grandi maestri Ricci Curbastro e Levi Civita.

Ringraziamo infine tutta la comunit di www.matematicamente.it grazie allaquale ci siamo conosciuti: il direttore prof. Antonio Bernardo, che ha lettoscrupolosamente il lavoro e ha segnalato parecchie sviste, e tutti coloro che si sonomostrati interessati alla stesura del testo.

Godiasco (Pavia), Arrigo AmadoriAgosto 2008 Luca Lussardi

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Capitolo 1

Elementi di meccanica classica

La meccanica classica la teoria fisica fondamentale ed anche storicamentela prima teoria che spiega i fenomeni in termini di interazioni fra corpi. Essatrae origine principalmente dai lavori di Galileo (lideatore del metodo scientifico,15641642), Newton (16421727), Lagrange (17361813), Hamilton (18051865).Ma fu Newton colui che alla meccanica classica diede i contributi pi importanti.Per questo egli pu esserne considerato a pieno titolo il padre. Con la definizionedei basilari tre principi, Newton port la meccanica classica a livello di teoriacompiuta. Inoltre Newton, in concomitanza con Leibniz, ma indipendentemente daegli, costru quella matematica, il calcolo infinitesimale, evoluto poi nel modernocalcolo differenziale e calcolo integrale, che alla base della meccanica classica.Sulla meccanica classica si fondano le teorie fisiche successive, in particolare lateoria della relativit e la meccanica quantistica, che di essa costituiscono necessariecorrezioni ed ampliamenti. Sono possibili diversi modelli di meccanica classica; inquesto capitolo limiteremo la nostra trattazione al modello lagrangiano.

1.1 Il modello lagrangiano

Il modello lagrangiano per la meccanica classica il seguente. Consideriamoun sistema meccanico isolato, che non interagisce con lesterno, composto da npunti materiali, ovvero corpi dotati di massa le cui dimensioni sono trascurabili eche chiameremo anche particelle. Le masse delle particelle siano m1,m2, . . . ,mn.Il sistema meccanico immerso nello spazio euclideo R3 in cui sempre possibiledefinire un sistema di riferimento inerziale K; dora in poi denoteremo con SRI unsistema di riferimento inerziale (per il significato della parola inerziale si veda lasezione 1.2).

Un SRI costituito da un sistema di riferimento spaziale cartesiano ortogonaleOxyz associato ad un orologio ideale, solidale con esso, che misura il tempo t.Diremo semplicemente che al SRI K associato il tempo t. Le particelle sono

11

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12 Capitolo 1

individuate dai raggi vettori r1, r2, . . . , rn. Un generico raggio vettore ri datodalla tripla ri = (xi, yi, zi). La situazione rappresentata dalla figura 1.1.

x

y

z

t

K

r1

r2 m1

m2

mn

rn

0

x

y

z

t

K

x

y

z

v

t

K

0rvt

rm

x

y

z

t

K

0 x

y

z

v

t

K

0

1

Figura 1.1: Le particelle m1, . . . ,mn nel SRI K.

Il sistema meccanico in oggetto descritto, rispetto ad un SRI, dalla lagrangiana

L(r1, r2, . . . , rn, r1, r2, . . . , rn) (1.1)

definita come

L =ni=1

12miv

2i U(r1, r2, . . . , rn) (1.2)

dove le vi sono i moduli delle velocit vi = ri delle particelle, cio vi = ||vi||.Si noti che la lagrangiana (1.2) non contiene esplicitamente il tempo (per unapprofondimento di questo fatto si veda la sezione 1.3).

Il termine12miv

2i detto energia cinetica della i-esima particella per cui

ni=1

12miv

2i

lenergia cinetica del sistema. Il termine U detto energia potenziale del sistemae descrive linterazione mutua delle particelle. Lenergia potenziale U scalare edipende solo dalle posizioni delle particelle. Pi precisamente U una funzionedelle mutue distanze fra tutte le particelle, considerate a due a due:

U = U(|r1 r2|, |r1 r3|, . . . , |ri rj |, . . . ), i, j = 1, 2, . . . , n.La forma matematica di U esprime un fatto fondamentale in meccanica classi-ca: linterazione fra le particelle avviene istantaneamente ovvero la velocit di

Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relativit

Elementi di meccanica classica 13

interazione infinita. Ovviamente, questa affermazione nella realt delle cose falsa; per, se le velocit delle particelle sono molto piccole rispetto alle velocitdelle interazioni, cosa che si verifica nei fenomeni ordinari, la meccanica classicaapprossima fedelmente la realt.

Se poniamo

T =ni=1

12miv

2i

la lagrangiana si scrive pi semplicemente come L = T U . Allo scorrere del tempo,le particelle percorrono curve continue, dette traiettorie, date dalle equazioni orarie r1 = r1(t). . .

rn = rn(t).

Secondo il principio di minima azione, il moto delle particelle fra gli istanti t1 e t2deve avvenire in modo che lazione

S = t2t1

L(r1, r2, . . . , rn, r1, r2, . . . , rn) dt

sia minima, o, pi debolmente, abbia un estremo. Il presente problema variazionaleconduce alle equazioni di EuleroLagrange

d

dt

L

ri=L

ri, i = 1, 2, . . . , n (1.3)

che sono, in tal caso, le equazioni del moto del sistema meccanico dato, risolvendole quali si trovano le equazioni orarie delle particelle ri = ri(t). Le equazioni(1.3) costituiscono un sistema di equazioni differenziali del secondo ordine che risolubile assegnando le condizioni iniziali r1(t0), . . . , rn(t0), r1(t0), . . . , rn(t0).Questo significa che, note posizioni e velocit di tutte le particelle in un certoistante e nota la forma dellenergia potenziale, possibile conoscere in ogni istantesuccessivo come il sistema evolve, cio le posizioni e le velocit che le particelleavranno in qualunque istante successivo. Questo il concetto di base della meccanicaclassica. Se applichiamo le equazioni del moto alla lagrangiana L = T U si ricava

midvidt

= Uri

, i = 1, 2, . . . , n.

Le quantitdvidt

= vi sono le accelerazioni delle particelle. Se introduciamo la forza

Fi = Uri

,

che agisce sulla i-esima particella, si ottiene la ben nota formula di Newton

mivi = Fi

che esprime il secondo principio della meccanica.

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14 Capitolo 1

1.2 Il principio di relativit galileianaConsideriamo una particella libera, ovvero che non interagisce con altre particelle,

di massa m rispetto ad un SRI. Per essa vale U = 0 per cui la sua lagrangianadiventa

L =12mv2.

Applicando le equazioni del moto si ricava v = 0 ovvero v costante. Un SRI quindi un sistema di riferimento rispetto al quale una particella libera si muove dimoto rettilineo uniforme. Siamo quindi in grado di formulare il principio dinerziadi Galileo, detto anche primo principio della meccanica: una particella libera simuove di moto rettilineo uniforme rispetto ad un SRI.

Siccome un SRI un sistema di riferimento rispetto al quale una particellalibera si muove di moto rettilineo uniforme, il principio dinerzia evidentementeunaffermazione circolare. Questa circolarit fa s che il principio sia inevitabilmentedebole. Essendo altres basilare in fisica, si cercato di rifondarlo su principi piforti. Mach, nel 1893, lo riformul affermando che linerzia di una particella ilrisultato dellazione di tutte le particelle delluniverso sulla medesima. Questaipotesi fu una delle basi concettuali sulle quali Einstein costru la teoria dellarelativit generale.

Si considerino ora due sistemi di riferimento cartesiani ortogonali K e K di cuiK inerziale e K si muove rispetto al precedente con velocit V costante lungolasse x, mantenendo dunque costanti gli angoli fra i rispettivi assi come mostratonella figura 1.2. Al sistema K associato il tempo t, al sistema K associato iltempo t. In meccanica classica si suppone che il tempo scorra indipendentementedai sistemi di riferimento, cio sia assoluto. Si pone perci, sincronizzando gliorologi, t = t. Se al tempo t = 0 le origini 0 e 0 coincidono, per una particellapossiamo scrivere r = r + V t, dove i vettori sono riferiti a K. Le equazioni{

r = r + V t

t = t

sono dette trasformazioni di Galileo. Derivando rispetto al tempo, si ottienedirettamente

v = v + V

che costituisce la legge di trasformazione delle velocit fra i due sistemi di riferimento.Se i sistemi di riferimento K e K hanno gli assi paralleli e concordi allora, passandoalle componenti, con r = (x, y, z) riferito a K e r = (x, y, z) riferito a K , si ha

x = x + V t

y = y

z = z

t = t.

Possiamo a questo punto fare due fondamentali considerazioni.

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Elementi di meccanica classica 15

x

y

z

t

K

r1

r2 m1

m2

mn

rn

0

x

y

z

t

K

x

y

z

V

t

K

00

rV tr

m

x

y

z

t

K0

0 x

y

z

v

t

K

0

c

1

Figura 1.2: SRI in moto rettilneo uniforme uno rispetto allaltro.

1) Una particella libera ha velocit costante anche in K . Questo significache anche K un SRI. In generale, esistono infiniti SRI in moto rettilineouniforme luno rispetto allaltro.

2) poich v = v e poich U dipende solo dai moduli delle differenze dei raggivettori, le equazioni del moto di un sistema meccanico sono le stesse in tutti iSRI. Questa affermazione va sotto il nome di principio di relativit galileiana.

Il principio di relativit galileiana uno dei principi fondamentali della fisica. Ilprincipio pu essere generalizzato nei seguenti modi equivalenti: le leggi dellameccanica classica devono essere le stesse in tutti i SRI e le leggi della meccanicaclassica devono essere invarianti rispetto alle trasformazioni di Galileo.

1.3 Leggi di conservazioneRispetto ad un SRI il tempo omogeneo e lo spazio omogeneo ed isotropo.

Tutti gli istanti di tempo sono quindi meccanicamente equivalenti. La lagrangianadi un sistema meccanico isolato, quindi, non deve contenere il tempo in modoesplicito; da ci deriva direttamente che la grandezza

E =ni=1

riL

ri L (1.4)

non cambia al variare del tempo durante levoluzione del sistema meccanico, ovverosi conserva. Tale grandezza detta energia meccanica del sistema. Se la lagrangiana data dalla (1.2), allora lenergia del sistema data da

E =ni=1

12miv

2i + U(r1, r2, . . . , rn) (1.5)

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16 Capitolo 1

ovvero E = T + U .Tutti i punti dello spazio sono meccanicamente equivalenti. Le equazioni del

moto di un sistema meccanico isolato, quindi, non devono cambiare se si esegueuna traslazione parallela in blocco del sistema meccanico stesso rispetto ad un SRI.Da ci, per la lagrangiana (1.1), deriva direttamente che la grandezza

P =ni=1

L

vi

si conserva. La grandezza P detta quantit di moto o impulso del sistema e la

grandezza pi =L

vi detta quantit di moto o impulso della particella i-esima.

Se la lagrangiana data dalla (1.2), allora la quantit di moto del sistema vale

P =ni=1

mivi,

mentre pi = mivi la quantit di moto della particella i-esima. La conservazione

della quantit di moto implicani=1

Fi = 0 che lespressione matematica del terzo

principio della meccanica.Tutte le direzioni dello spazio sono meccanicamente equivalenti. Le equazioni

del moto di un sistema meccanico isolato, quindi, non devono cambiare se si esegueuna rotazione in blocco del sistema meccanico stesso rispetto ad un SRI. Da cideriva direttamente che la grandezza

M =ni=1

ri pi,

dove indica il prodotto vettoriale in R3, si conserva. La grandezza M dettamomento angolare del sistema, mentre Mi = ri pi il momento angolare dellaparticella i-esima.

1.4 Altri modelli per la meccanica classicaEsistono altri modelli per la meccanica classica; si tratta di modelli equivalenti

a quello lagrangiano mostrato fin qui. Se si considera lenergia come una funzionedelle coordinate e delle quantit di moto si ha il modello hamiltoniano dove ilruolo della lagrangiana L svolto dallhamiloniana H del sistema. Le equazionifondamentali per questo modello sono le equazioni di Hamilton. Se si consideralazione S come una funzione delle coordinate e del tempo si ha un ulteriore modelloper la meccanica classica; le equazioni fondamentali per questo modello sono leequazioni di HamiltonJacobi.

Non sviluppiamo oltre questi concetti perch, per i nostri scopi, ci riferiremosempre e solo al modello lagrangiano.

Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relativit