ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

Eserciziari per Ingegneria

Maurizio Brunetti

III edizione

Maurizio Brunetti

Algebra lineare e Geometria - III edizione

Copyright © 2011, 2012, 2014, EdiSES s.r.l. – Napoli

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L’Editore

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per conto della

EdiSES – Napoli

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ISBN 978 88 7959 803 3

Autore

Maurizio Brunetti è nato a Napoli, dove si è laureato rapidamente in Mate-matica.

Ha conseguito il Master of Science e il Ph.D. all’Università di Warwick (Re-gno Unito) nonché il Dottorato di Ricerca in Italia.

Ben prima dell’anno 2453 d.C. – fatidico, certo, ma non quanto il successivo –, già insegnava presso la Facoltà di Ingegneria – ora confluita nella Scuola Po-litecnica e delle Scienze di Base – dell’Università “Federico II” di Napoli, dove è attualmente responsabile dei corsi di Geometria per i corsi di studio del settore civile-ambientale.

La sua attività di ricerca si svolge prevalentemente nell’ambito dell’algebra omologica e della topologia algebrica – una branca della geometria che identi-fica gli oggetti che si possono ottenere gli uni dagli altri tramite deformazioni continue – e si è concretizzata in svariate pubblicazioni su riviste internazionali specializzate.

Sono oggetto dei suoi studi non accademici le questioni epistemologiche re-lative alla storia della scienza, l’evoluzione della musica «classica» occidentale – in particolare del Novecento – e il conservatorismo anglosassone.

Suoi scritti, interviste, recensioni e traduzioni sono apparsi sulle riviste Cri-stianità, Cultura & Identità, il Corriere del Sud e, occasionalmente, sui quoti-diani Avvenire e Roma. Per l’editore D’Ettoris di Crotone ha curato e tradotto il volume Guida politicamente scorretta alla storia degli Stati Uniti d’America di Thomas E. Woods jr. e Lo spirito del Natale, una raccolta di saggi e poesie di Gilbert Keith Chesterton.

Contents

Introduzione iii

1 Spazi vettoriali 11.1 Sottoinsiemi e sottospazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Spazi vettoriali numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Spazi vettoriali generici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4 Spazi di vettori geometrici e di matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5 Spazi di polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6 Somma e intersezione di sottospazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2 Prodotti di matrici e sistemi lineari 452.1 Prodotto righe per colonne. Matrici invertibili . . . . . . . . . . . . . 452.2 Risoluzione di un sistema lineare compatibile . . . . . . . . . . . . . 50

3 Omomorfismi 633.1 Matrici associate, nucleo e immagine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2 Endomorfismi, autospazi e diagonalizzazione . . . . . . . . . . . . . 79

4 Geometria nel piano 1024.1 Problemi di natura affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.2 Problemi metrici in riferimenti cartesiani . . . . . . . . . . . . . . . 1054.3 Problemi in riferimenti non cartesiani . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.4 Cambiamenti di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5 Geometria nello spazio 1265.1 Problemi di natura affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.2 Problemi metrici nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

i

Indice generale

VII

VI

6 Coniche e quadriche 1586.1 Coniche in P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.2 Coniche in forma canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1846.3 Quadriche in P3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

7 Alcune prove d’esame 1967.1 Prova di primavera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1977.2 Prova d’estate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1987.3 Prova d’autunno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997.4 Prova d’inverno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Indice generale

Introduzione

Per la matematica,cerca non solo di ricordaresemplicemente cosa e come fare,ma anche di capirlo e di apprenderlocome si apprende un pezzo musicale.

PAVEL FLORENSKIJLettera dal GULag alla figlia (1933)

Un autore che si accinga a dare alle stampe un volume, pur sapendo che –in lingua italiana e della stessa tipologia – di pubblicati ne esistono gia n (con nnaturale prossimo a 102), lo fa con una certa trepidazione ed e moralmente obbli-gato a giustificare la sua scelta. La disponibilita di ulteriori 10n dispense onlinedello stesso genere rende la situazione ancor piu imbarazzante.

L’autore di questo volume, percio, e in gravi ambasce. Non volendo ambirealla palma dell’esaustivita o – e qui scappa da ridere – dell’eleganza formale, nonpuo neanche appellarsi a un fantomatico ε di novita presente in queste pagine e nonaltrimenti fruibile, visto che, in tutta sincerita, non ha consultato tutte le 11n operecui sopra si e fatto cenno.

Cio detto, chi ha messo mano all’elaborazione di questo libro crede comunquedi aver fatto un favore innanzitutto a un suo prossimo molto prossimo, cioe a queglistudenti che, obtorto collo, dovranno sostenere con lui l’esame di Geometria o diGeometria e Algebra: gran parte degli esercizi qui raccolti sono tratti da prove

iii

VIII

Introduzione

d’esame del passato (alcune recentissime, altre d’antan che risalgono al secondomillennio dell’era cristiana). Ma vi sono ragioni per credere che anche altri pos-sano trarne vantaggio.

Nel corso di una propria prova scritta, un caro amico dell’autore, pure docentedi Geometria dell’Universita “Federico II”, racconta del modo colorito con cui unostudente palesava il suo disagio esclamando: “Perbacco [interiezione ingentilita(ndA)]! Sembra uno scritto del professor Brunetti...”

Cedendo alla tentazione di inoltrarsi nelle sabbie mobili del soggettivismo edell’introspezione psicologica, si provera a indovinare almeno una delle moti-vazioni che hanno alimentato quell’iniqua leggenda metropolitana secondo la qualele prove scritte proposte dall’autore sarebbero “insuperabili”.

Questa raccolta predilige i quesiti a risposta aperta. Una tipologia di eser-cizi molto poco gradita da chi, a scuola, e stato abituato a identificare sempre ecomunque la risoluzione di un problema matematico con l’arida e meccanica ap-plicazione di un algoritmo.

Eppure, l’unico senso in cui puo esser vero che lo studio di questioni algebro-geometriche abbia un carattere formativo e che abitua chi li affronta all’assunzionedi una forma mentis di carattere progettuale. E proprio in questa prospettiva che, inqualche caso, si lascia al lettore la scelta dei dati iniziali, cosicche la lunghezza ela difficolta dell’esercizio talvolta dipendono dalla maggiore o minore sagacia concui questa scelta e stata effettuata.

Gli esercizi di ogni capitolo sono preceduti da richiami di natura teorica. Il let-tore non vi trovera il rigore che, giustamente, si pretende in un manuale di teoria.Lo scopo di ognuna di queste note e soprattutto quello di rammentare il significatodelle notazioni utilizzate.

La scelta di trattare esclusivamente R-spazi vettoriali piuttosto che spazi vet-toriali su un generico campo K e di privilegiare omomorfismi tra spazi vettorialinumerici e stata certamente sofferta. Alla fine, pero, si e reputato il realismo piuintellettualmente onesto della raffinatezza: il docente che, agli studenti di un corso

IX

Introduzione

di algebra lineare del primo anno, intenda impartire esercizi riguardanti spazi vet-toriali sulla chiusura algebrica di Fp o endomorfismi definiti sullo spazio dellesoluzioni di un’equazione differenziale omogenea, dovra consultare altri volumi.

Una percentuale degli esercizi proposti e svolta completamente; per altri ci silimita a un suggerimento; per altri ancora si riportano delle risposte piu o menoparziali, segnalate con il simbolo✠.

Un ringraziamento va a Luciano Lomonaco che a piu riprese ha incitato l’autorea compiere l’impresa: contrariamente alle previsioni piu attendibili, la sua non si erivelata una fatica di Sisifo. Ringrazio anche Adriana Ciampella che ha propostomiglioramenti, e la regina e le principesse di casa – Nunzia, Maria Antonietta eVittoria – con cui sono indebitato piu di quanto le parole possano esprimere.

Napoli, 14 maggio 2011Maurizio Brunetti

Addendum per la seconda edizione

E opinione diffusa che un manuale di matematica debba contenere degli errori,onde evitare che il lettore vi si affidi troppo arrendevolmente e cio vada a scapitodella maturazione di latenti capacita critiche.

Sposando questo punto di vista, e indubbio che la prima edizione di questo li-bro si sia rivelata fin troppo... stimolante: fra gli studenti che hanno seguito le mielezioni nell’anno accademico 2011/2012, varie decine hanno partecipato a THEGAME, una sorta di caccia agli errori che premiava con l’assegnazione di puntil’ardito che li scovasse per primo.

Per entusiasmo, acribia e occhio aquilino, si sono distinti – in quest’ordine – isignori Emanuele Monticelli, Guido Milanese e Luigi Massotti. Post hoc e chissase anche propter hoc, i campioni – iscritti, l’oro e il bronzo, al corso di laurea inIngegneria Civile e, l’argento, a quello in Ingegneria Gestionale dei Progetti e delleInfrastrutture – hanno tutti e tre superato le due prove infracorso e, al primo appelloutile, l’esame.

X

Introduzione

Soprattutto grazie a loro, l’individuazione di ulteriori errori in questa nuovaedizione risultera certamente piu difficile, ma – si badi – non impossibile: l’autore,del resto, non ha resistito alla tentazione di inserirvi nuovi esercizi tratti dalle proved’esame piu recenti.

Ai lettori cui capitera di intrattenersi per troppi mesi in compagnia dell’algebralineare e di questo libro – magari a causa di malaugurati eventi cui non sara statoestraneo chi scrive – segnalo, a mo’ di auspicio e di consolazione, il verso del poetasvevo Konrad Weiss (1880-1940): “Wehrlos, doch in nichts vernichtet”, “Inerme,ma in niente annientato”.

Prosit!Napoli, 15 maggio 2012

zeresimo genetliaco di Laura Maria Brunetti

Addendum per la terza edizione

“Professore, quanto tempo avremo per svolgere il compito? Quanti eserciziconterra la prova scritta?”.

Non c’e anno in cui qualche studente – fra quelli che ambiscono a essere ri-cordati come i piu ansiosi del corso – non rivolga al docente le suddette fatidichedomande.

Tali interrogativi – intendiamoci – non sono ne illegittimi, ne irriverenti. In-genui sı, lo sono, eccome; giacche le risposte (qualunque esse siano) sono del tuttoirrilevanti ai fini di stimare in anticipo la difficolta dell’imminente prova. Si consi-deri, a mo’ di esempio, un ipotetico compito A che consista in un singolo esercizio:verificare la compatibilita di un sistema lineare non omogeneo costituito da 2013equazioni e 3102 incognite. Tale prova potrebbe rivelarsi di qualche ε piu impe-gnativa di un compito B che preveda, invece, i ben 7 (sette!) esercizi che seguono:

XI

Introduzione

1. effettuare la somma di (1,2,3) e (4,5,6) in R3;

2. fissato un riferimento del piano, determinare le coordinate di un punto sullaretta di equazione x = 0;

3. calcolare il prodotto scalare standard fra i vettori (1,2) e (3,4) di R2;

4. dimostrare che vale zero il determinante della matrice nulla con due righe edue colonne;

5. calcolare l’inversa della matrice unita;

6. stabilire se e iniettiva l’applicazione lineare nulla da R2 in R2;

7. individuare il centro della conica di equazione x2 + y2 = 1.

Comunque, crediamo che questa terza edizione sara in particolare apprezzataproprio dagli studenti piu inquieti, quelli cui l’incertezza del proprio futuro toglieil sonno: in aggiunta agli esercizi gia proposti nella precedente edizione, essa con-tiene, infatti, un capitolo conclusivo che presenta quattro prove scritte “realistiche”con le quali confrontarsi alla fine del corso.

Napoli, 3 novembre 2013festa di sant’Uberto di Liegi, patrono dei matematici e dei cacciatori