ALGEBRAALGEBRA

Difficoltà di apprendimento e Difficoltà di apprendimento e

Problemi didatticiProblemi didattici

Esempi di difficoltàEsempi di difficoltà Non si applicano le conoscenze Non si applicano le conoscenze

computazionali algebriche (anche buone…) al computazionali algebriche (anche buone…) al problem solvingproblem solving

Spesso le formule hanno per gli allievi Spesso le formule hanno per gli allievi significati "inventati", anche pseudo-coerenti…significati "inventati", anche pseudo-coerenti…

Non sanno usare l'algebra come strumento Non sanno usare l'algebra come strumento per comprendere, individuare e comunicare per comprendere, individuare e comunicare correlazioni, svelare relazioni strutturali,… ma correlazioni, svelare relazioni strutturali,… ma solo come uno strumento di "calcolo"solo come uno strumento di "calcolo"

In ogni caso lo studente non si sente In ogni caso lo studente non si sente "padrone" del procedimento"padrone" del procedimento

Ciò che distingue l'algebra in modo essenziale Ciò che distingue l'algebra in modo essenziale dall'aritmetica e dalla geometria è il fatto che il dall'aritmetica e dalla geometria è il fatto che il suo oggetto non consiste nel trovare proprio i suo oggetto non consiste nel trovare proprio i valori delle quantità cercate, ma valori delle quantità cercate, ma nell'individuare il nell'individuare il sistema delle operazionisistema delle operazioni da eseguire sulle quantità da eseguire sulle quantità date per derivarne le quantità cercate, secondo le date per derivarne le quantità cercate, secondo le condizioni del problema. La sequenza di tali condizioni del problema. La sequenza di tali operazioni è quello che in algebra si chiama una operazioni è quello che in algebra si chiama una formulaformula; quando una quantità dipende da altre in ; quando una quantità dipende da altre in modo che sia possibile esprimerla con una formula modo che sia possibile esprimerla con una formula che contiene queste ultime, si dice allora che essa che contiene queste ultime, si dice allora che essa è funzione di tali quantità. Dunque si può definire è funzione di tali quantità. Dunque si può definire l'algebra come l'algebra come l'l'artearte di determinare le incognite di determinare le incognite come funzioni di quantità notecome funzioni di quantità note o che si o che si considerano tali.considerano tali.

(Lagrange)(Lagrange)

TRE Assi concettualiTRE Assi concettuali

Linguaggio naturale Linguaggio naturale Struttura Struttura simbolicasimbolica

Semantica Semantica Sintassi Sintassi Aspetto relazionale Aspetto relazionale Aspetto Aspetto

proceduraleprocedurale

Linguaggio naturale Linguaggio naturale Struttura simbolicaStruttura simbolica

Nella scuola dell’obbligo è spesso il linguaggio Nella scuola dell’obbligo è spesso il linguaggio a guidare il pensiero: a guidare il pensiero:

““Se un etto di prosciutto costa 3.50 euro quanto Se un etto di prosciutto costa 3.50 euro quanto costano 3 etti?” : costano 3 etti?” :

3,50 [:1] x 3 = 10,50.3,50 [:1] x 3 = 10,50.

2x+3=7 2x+3=7 x= 2 . x= 2 . Oltre un certo livello non funziona più:Oltre un certo livello non funziona più:

““Se 2/3 di una certa quantità sono pari a 3,50, Se 2/3 di una certa quantità sono pari a 3,50, quanto valgono 4/7 della stessa quantità ?”:quanto valgono 4/7 della stessa quantità ?”:

3,50 : (2/3) x (4/7) = 3.3,50 : (2/3) x (4/7) = 3.

2x+3=5x-6 2x+3=5x-6 x= 3 . x= 3 .

Sintassi Sintassi Semantica Semantica Nel linguaggio naturale (e in quasi tutte Nel linguaggio naturale (e in quasi tutte

le altre materie scolastiche…) il controllo le altre materie scolastiche…) il controllo semantico è essenziale e viene naturale.semantico è essenziale e viene naturale.

In algebra è spesso la sintassi a guidare, In algebra è spesso la sintassi a guidare, la semantica segue !la semantica segue !

Es. Il gioco dell’indovinoEs. Il gioco dell’indovino La sintassi invece è importnate, a volte La sintassi invece è importnate, a volte

permette “scoperte” che la semantica permette “scoperte” che la semantica non consentenon consente

Es. Il quadrato magicoEs. Il quadrato magico

Aspetto relazionale Aspetto relazionale Aspetto Aspetto proceduraleprocedurale

Variabile Variabile CostanteCostante IncognitaIncognita Parametro...Parametro... E’ collegato alla classica differenziazione E’ collegato alla classica differenziazione

analisi analisi sintesi sintesi

Es. Dimostrazione geometrica o algebrica Es. Dimostrazione geometrica o algebrica cheche

(a+b)(a+b)22= a= a22+b+b22+2ab+2ab

Es. Risoluzione e verifica di un’equazione.Es. Risoluzione e verifica di un’equazione.

Formalismo algebricoFormalismo algebrico

Funzione stenografica Funzione stenografica

tremila più quattromila fa settemila tremila più quattromila fa settemila 3000+4000=70003000+4000=7000

la velocità di un corpo a un dato istante la velocità di un corpo a un dato istante tt00 è pari al limite del rapporto fra lo è pari al limite del rapporto fra lo spazio percorso e il tempo impiegato a spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo, quando tale intervallo di percorrerlo, quando tale intervallo di tempo tende a 0 in prossimità di ttempo tende a 0 in prossimità di t00 v(t v(t00) = s'(t) = s'(t00))

Formalismo algebricoFormalismo algebrico

Funzione di sintesi e Funzione di sintesi e generalizzazione generalizzazione

criteri di divisibilità, criteri di divisibilità,

per ogni numero dispari (nper ogni numero dispari (n22-1) è -1) è divisibile divisibile

per 8, per 8,

polinomio di Taylor d una generica polinomio di Taylor d una generica funzionefunzione

Formalismo algebricoFormalismo algebrico Funzione di trasformazioneFunzione di trasformazionepartendo dalla formula partendo dalla formula CCnn= = CCn-1n-1 +i +i CCn-1n-1 , si , si

ricava agevolmente per induzione che ricava agevolmente per induzione che

CCnn=(i+1)=(i+1)nn CC00 , da cui è facile ricavare , da cui è facile ricavare un dato in funzione dell'altro… un dato in funzione dell'altro…

((CC00 e e CCnn rappresentano il capitale rappresentano il capitale iniziale e quello al tempo iniziale e quello al tempo nn, dato , dato l'interesse unitario l'interesse unitario ii) )

formule di derivazioneformule di derivazione

Esempi di erroriEsempi di errori Deviazioni nell'uso o nella Deviazioni nell'uso o nella

verbalizzazione del formalismo verbalizzazione del formalismo (uso (uso del segno = : per es. del segno = : per es. 75:2=37,5+12,5=50 …, limite "di" x 75:2=37,5+12,5=50 …, limite "di" x tendente a… , sommatoria "di" x che tendente a… , sommatoria "di" x che va da… a … di…)va da… a … di…)

Errori formali Errori formali (es. di segno in (es. di segno in equazioni, prodotto, parentesi,…)equazioni, prodotto, parentesi,…)

Difficoltà di direzione del lavoro Difficoltà di direzione del lavoro

risolvere risolvere x(xx(x22+3x-5)+3(x+3x-5)+3(x22+3x-5)x+3x-5)x22=0=0

Uso di una stessa lettera per indicare Uso di una stessa lettera per indicare variabili diverse variabili diverse

nel linguaggio naturale :"nel linguaggio naturale :"UnUn trapezio è trapezio è equivalente alla metà di equivalente alla metà di unun rettangolo tale che…" o (peggio rettangolo tale che…" o (peggio ancora) "Il ancora) "Il numeronumero dei divisori del dei divisori del numeronumero 60 è il massimo 60 è il massimo numeronumero di di divisori fra tutti i sistemi di divisori di divisori fra tutti i sistemi di divisori di ogni ogni numeronumero minore di 100, e questa minore di 100, e questa può essere stata la ragione della può essere stata la ragione della scelta del scelta del numeronumero 60 come base di 60 come base di un sistema di numerazione…"un sistema di numerazione…"

Estensione indebita di proprietà Estensione indebita di proprietà

(a+b)(a+b)22= a= a22+b+b22 in analogia con 2(a+b)=2a+2b, in analogia con 2(a+b)=2a+2b, oppure similmente f(x+h)=f(x)+f(h)oppure similmente f(x+h)=f(x)+f(h)

Mancanza di collegamento fra una data Mancanza di collegamento fra una data formula o simbolo algebrico e l'oggetto formula o simbolo algebrico e l'oggetto rappresentato (anche nelle applicazioni alla rappresentato (anche nelle applicazioni alla scienza o alla fisica)scienza o alla fisica)

Mancanza di consapevolezza e controllo sui Mancanza di consapevolezza e controllo sui meccanismi di trasformazione (da qui meccanismi di trasformazione (da qui l'incapacità di capire che due formule diverse l'incapacità di capire che due formule diverse esprimono la stessa quantità o la disponibilità esprimono la stessa quantità o la disponibilità a passaggi acritici e semplificazioni…)a passaggi acritici e semplificazioni…)

Abilità algebriche Abilità algebriche “auspicabili” (1)“auspicabili” (1) analizzare un'espressione algebrica analizzare un'espressione algebrica

per fare stime approssimative degli per fare stime approssimative degli schemi che emergeranno nella loro schemi che emergeranno nella loro rappresentazione numerica e graficarappresentazione numerica e grafica

saper eseguire confronti saper eseguire confronti (argomentati…) degli ordini di (argomentati…) degli ordini di grandezza per funzioni con regole grandezza per funzioni con regole del tipo k, kdel tipo k, k22,k,k33,…,…

Abilità algebriche Abilità algebriche “auspicabili” (2)“auspicabili” (2) saper analizzare una tabella di valori saper analizzare una tabella di valori

o il grafico di una funzione per o il grafico di una funzione per

- interpretare condizioni enunciate - interpretare condizioni enunciate verbalmenteverbalmente

- identificare la probabile forma di - identificare la probabile forma di un'espressione algebrica che un'espressione algebrica che corrisponda a tale tabella o tale corrisponda a tale tabella o tale graficografico

Abilità algebriche Abilità algebriche “auspicabili” (3)“auspicabili” (3) analizzare le operazioni da eseguire analizzare le operazioni da eseguire

e predire la probabile forma del e predire la probabile forma del risultato (o viceversa, analizzare il risultato (o viceversa, analizzare il risultato per individuarne la risultato per individuarne la correttezza…)correttezza…)

determinare quale fra le diverse determinare quale fra le diverse forme potrebbe essere la più adatta forme potrebbe essere la più adatta per rispondere a una certa per rispondere a una certa domanda.domanda.

E le abilità "più E le abilità "più basse", quelle basse", quelle computazionali di computazionali di base?base?

Senso dell'algebra Senso dell'algebra calcolo algebricocalcolo algebrico

Non è "dimostrato" alcun rapporto Non è "dimostrato" alcun rapporto diretto causa-effetto fra i due: non si diretto causa-effetto fra i due: non si se uno provochi l'altro e quale….se uno provochi l'altro e quale….

E' però certo il fallimento di una E' però certo il fallimento di una pratica di non integrazione fra i due, pratica di non integrazione fra i due, trascurando la costruzione del senso trascurando la costruzione del senso dei simboli matematici, cioè del nesso dei simboli matematici, cioè del nesso fra segni e concetti, provocando un fra segni e concetti, provocando un approccio squilibrato alla matematica.approccio squilibrato alla matematica.

Senso dell'algebra Senso dell'algebra calcolo algebricocalcolo algebrico

Puntare sul "senso", sui concetti Puntare sul "senso", sui concetti significa sperare [troppo ?] in un significa sperare [troppo ?] in un adeguamento automatico del adeguamento automatico del linguaggio simbolico ai concetti.linguaggio simbolico ai concetti.

Puntare sulla prassi di calcolo significa Puntare sulla prassi di calcolo significa sperare [vanamente ?] che dall'uso sperare [vanamente ?] che dall'uso continuo delle competenze segniche continuo delle competenze segniche nasca (da sé ?) un'acquisizione dei nasca (da sé ?) un'acquisizione dei concetti retrostanti.concetti retrostanti.

L'algebra è un codice convenzionale, ma L'algebra è un codice convenzionale, ma non arbitrario, in quanto è un prodotto non arbitrario, in quanto è un prodotto culturale e condiviso. La comprensione del culturale e condiviso. La comprensione del codice algebrico coinvolge aspetti cognitivi codice algebrico coinvolge aspetti cognitivi corrispondenti ai "meccanismi di corrispondenti ai "meccanismi di comprensione delle regole del gioco". In comprensione delle regole del gioco". In generale si apprende un codice generale si apprende un codice convenzionale solo a livello di mediazione convenzionale solo a livello di mediazione sociale: afferro una regola in quanto sociale: afferro una regola in quanto interiorizzo le funzioni di un sistema interiorizzo le funzioni di un sistema notazionale socialmente condiviso.notazionale socialmente condiviso.

apprendimento di un linguaggio di apprendimento di un linguaggio di programmazione o di un softwareprogrammazione o di un software

bottega d'arte rinascimentale…bottega d'arte rinascimentale…

Spunti per una Spunti per una “bottega algebrica”“bottega algebrica”

Situazioni ricche e stimolanti usando Situazioni ricche e stimolanti usando anche una calcolatrice o un software anche una calcolatrice o un software (dato un grafico o una tabella, costruire (dato un grafico o una tabella, costruire una formula…)una formula…)

Invitare a discutere la sequenza di Invitare a discutere la sequenza di passaggi, il loro senso,…passaggi, il loro senso,…

Provocare discussioniProvocare discussioni Ristrutturare il "contratto didattico": non Ristrutturare il "contratto didattico": non

solo costruire "identità" ma "identità solo costruire "identità" ma "identità false", passaggi "sbagliati",…false", passaggi "sbagliati",…

Problema 1Problema 1

Si consideri un rettangolo. Come Si consideri un rettangolo. Come cambia la sua area se si aumenta cambia la sua area se si aumenta un lato del 10% e si diminuisce un lato del 10% e si diminuisce l'altro del 10% ?l'altro del 10% ?

Problema 2Problema 2

È noto [in generale agli È noto [in generale agli studenti…] cosa rappresenti studenti…] cosa rappresenti l'equazione y=mx+n e cosa si l'equazione y=mx+n e cosa si ottenga se pongo m=2 ed n=3: ottenga se pongo m=2 ed n=3: la retta y=2x+3 …. Ma cosa la retta y=2x+3 …. Ma cosa succede se in y=mx+n pongo succede se in y=mx+n pongo y=2 e x=3 ? Cosa rappresenta y=2 e x=3 ? Cosa rappresenta 2=m3+n ?2=m3+n ?

Problema 3Problema 3

Dimostrare che dato un numero di Dimostrare che dato un numero di quattro cifre, facendo la differenza quattro cifre, facendo la differenza fra esso e il suo "trasposto" (quello fra esso e il suo "trasposto" (quello con le stesse cifre scritte in ordine con le stesse cifre scritte in ordine inverso), si ottiene sempre un inverso), si ottiene sempre un numero divisibile per 11. numero divisibile per 11.

[Più in generale, dimostrare un [Più in generale, dimostrare un qualunque criterio di divisibilità]qualunque criterio di divisibilità]

Problema 4Problema 4

Decidere la tariffa più conveniente Decidere la tariffa più conveniente per il proprio telefoninoper il proprio telefonino