Alessandro Gasparetto MECCANICA APPLICATA ALLE ......6 CAPITOLO 1. MECCANICA DELLE SUPERFICI 1.1.1...

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Alessandro Gasparetto

MECCANICA APPLICATA

ALLE MACCHINEAppunti delle lezioni

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Indice

1 Meccanica delle superfici 31.1 Richiami sulle caratteristiche dei solidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Proprietà di volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Fenomeni superficiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Contatti superficiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Contatti lineari e puntiformi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Forze agenti negli accoppiamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1 Contatto di strisciamento e attrito radente . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Influenza della rugosità delle superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.3 Influenza delle condizioni operative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Relazioni fondamentali dell’usura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.1 Coefficiente di durata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Forze di contatto per le coppie elementari 252.1 Attrito di rotolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Coppia prismatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Coppia rotoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Piano inclinato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Il rendimento 333.1 Rendimento delle macchine poste in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Rendimento delle macchine poste in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 Moto retrogrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Accoppiamento motore-utilizzatore 414.1 Caratteristica del motore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Funzionamento da motore, da freno o da generatore . . . . . . . . . . . . . . 454.3 Campi operativi di un motore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.4 Curva caratteristica del carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.5 Luogo dei carichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.6 Accoppiamento diretto motore-utilizzatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.7 Accoppiamento motore-utilizzatore mediante riduttore di velocità . . . . . . 50

4.7.1 Riduzione all’asse motore e all’asse utilizzatore . . . . . . . . . . . . . 524.7.2 Trasformazione di un moto rotatorio in un moto rettilineo . . . . . . 54

4.8 Funzionamento a regime e in transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

I

II INDICE

4.9 Stabilità del funzionamento a regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.10 Transitorio e tempo di avviamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.11 Il transitorio in un sistema motore-utilizzatore con riduttore di velocità . . . 594.12 Effetti della variazione del rapporto di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . 634.13 Criteri di verifica e di scelta del motore e del riduttore . . . . . . . . . . . . 654.14 Scelta del motore e del riduttore per carichi a velocità costante . . . . . . . . 674.15 Scelta del motore e del riduttore per carichi statici . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.15.1 Adattamento statico dei campi operativi . . . . . . . . . . . . . . . . 684.15.2 Cambi di velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.16 Scelta del motore e del riduttore per carichi dinamici . . . . . . . . . . . . . 714.16.1 Adattamento dinamico del motore al carico . . . . . . . . . . . . . . 73

4.17 Regime periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.17.1 Inerzia e coppia ridotta alla coordinata libera per un sistema meccanico

a un grado di libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.17.2 Grado di irregolarità del moto periodico . . . . . . . . . . . . . . . . 764.17.3 Progetto del volano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.18 Equilibramento dei rotori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.18.1 Progetto del contrappeso per l’equilibramento statico di un meccanismo 81

5 Organi per la trasmissione del moto: gli ingranaggi 855.1 Ruote di frizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2 Ruote dentate piane ad evolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.3 Ruote dentate cilindriche a denti diritti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.4 Ruote cilindriche a denti elicoidali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.5 Ingranaggi conici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.6 Ingranaggi ad assi sghembi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.6.1 Ingranaggi elicoidali ad assi sghembi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.6.2 Ingranaggi ipoidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.6.3 Ingranaggi a vite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.7 Rotismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.7.1 Rotismi ordinari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.7.2 Rotismi epicicloidali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6 Altri organi di trasmissione del moto 1176.1 Trasmissione del moto mediante organi flessibili . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.1.1 Cinghie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.1.2 Catene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.1.3 Paranchi di sollevamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.2 Confronto tra organi a rapporto di trasmissione costante . . . . . . . . . . . 1286.3 Giunti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.3.1 Giunto di Cardano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.3.2 Doppio giunto di Cardano e altri giunti omocinetici . . . . . . . . . . 1336.3.3 Altri giunti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.4 Sistemi vite-madrevite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.4.1 Vite-madrevite a filetto rettangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

INDICE 1

6.4.2 Vite-madrevite a filetto trapezio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.4.3 Vite a circolazione di sfere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.5 Frizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.5.1 Frizioni a disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.5.2 Frizioni coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.6 Freni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.7 Cuscinetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.7.1 Classificazione dei cuscinetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.7.2 Criteri di selezione dei cuscinetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7 Camme 1597.1 Legge del moto del cedente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1607.2 Tracciamento di una camma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

7.2.1 Camma piana con punteria centrata a rotella . . . . . . . . . . . . . . 1657.2.2 Camma piana con punteria eccentrica a rotella . . . . . . . . . . . . . 1667.2.3 Camma piana con punteria a piattello piano . . . . . . . . . . . . . . 1667.2.4 Camma piana con bilanciere a rotella . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

7.3 Analisi cinetostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.4 Leggi del moto elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8 Meccanica delle vibrazioni 1738.1 Oscillatore semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738.2 Risposta libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758.3 Risposta in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.4 Risposta a forzanti non sinusoidali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

8.4.1 Risposta ad una forzante periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1818.4.2 Risposta ad un impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1828.4.3 Risposta ad una forzante generica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

8.5 Vibrazioni torsionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

2 INDICE

Capitolo 1

Meccanica delle superfici

Lo studio delle interazioni superficiali fra i membri, modellati come corpi solidi, è un argo-mento fondamentale della Meccanica delle Macchine. Infatti:

• l’attrito è legato al movimento relativo dei membri (in genere deve essere combattutocome fonte di perdite e di temperature elevate, altre volte è necessario al funzionamentodelle macchine)

• l’usura colpisce le superfici dei membri a contatto delle macchine provocando undecadimento progressivo delle caratteristiche funzionali.

L’usura, inoltre è fonte di:

– aumento dei giochi

– aumento della rumorosità

– comparsa dei fenomeni d’urto

– aumento delle vibrazioni e di sollecitazioni per fatica

– disuniforme distribuzione delle pressioni

– imprecisioni di funzionamento

La classificazione delle interazioni fra i membri solidi può essere fatta dal punto di vistageometrico, da quello chimico-fisico e da quello cinematico.

Dal punto di vista geometrico (Fig.1.1) si hanno contatti:

• superficiali

• lineari

• puntiformi

Sotto il profilo fisico-chimico il contatto può essere

• diretto fra i due membri accoppiati

• indiretto o mediato dalla presenza di sostanze lubrificanti

3

4 CAPITOLO 1. MECCANICA DELLE SUPERFICI

Figura 1.1: Tipi di contatto geometriciv

Strisciamento v

ω

Rotolamento Urto

Figura 1.2: Tipi di contatto cinematici

In termini cinematici (Fig.1.2) i contatti possono essere

• di strisciamento

• di rotolamento

• d’urto

1.1 Richiami sulle caratteristiche dei solidi

Le deformazioni dei solidi possono essere di tipo elastico o anelastico (plastiche o viscoelas-tiche).

Per i metalli, la deformazione elastica è praticamente indipendente dalla velocità di de-formazione e il ritorno allo stato indeformato è pressoché istantaneo con ciclo di isteresiirrilevante.

La presenza di un’eventuale fase di deformazione plastica prima della rottura caratterizzail materiale come duttile o fragile.

Dopo ogni deformazione plastica, al cessare della sollecitazione che l’ha provocata, il mate-riale duttile non torna nella configurazione originaria ma resta soggetto ad una deformazioneresidua (nel grafico in Fig.1.4 tale deformazione residua è indicata con ǫ0).

1.1. RICHIAMI SULLE CARATTERISTICHE DEI SOLIDI 5

Figura 1.3: Caratteristiche dei solidi

Figura 1.4: Materiali duttili, materiali fragili ed elastomeri


1.1.1 Proprietà di volume

Tra le proprietà di volume è importante ricordare la durezza, che è definita come la resisten-za offerta dal materiale alla penetrazione di un corpo più duro. Di solito viene utilizzata ladurezza alla penetrazione HB (prova di Brinell) (Fig.1.3).

Per i metalli puri la durezza di Brinell è pari a circa tre volte il carico unitario disnervamento1 σs:

HB ∼= 3σs (1.1)

1.2 Fenomeni superficiali

I fenomeni superficiali determinano la grandezza e la direzione delle forze scambiate negliaccoppiamenti, l’entità e la natura dei fenomeni dissipativi, il deterioramento delle carat-teristiche funzionali per effetto dell’usura, imponendo vincoli nella scelta dei materiali dacostruzione e dei trattamenti cui gli stessi debbono essere sottoposti e vincoli nella forma deimembri accoppiati.

Dal punto di vista geometrico si è già visto come i contatti possano essere superficiali,lineari o puntiformi:

• i contatti fra superfici di contatto nominalmente combacianti sono tipici delle coppieelementari (guide, viti, cuscinetti)

• i contatti lineari e puntiformi sono caratteristici di molte coppie superiori con membririgidi: ruote dentate, camme, piste con interposti elementi rotolanti.

Questa suddivisione teorica, che trae origine dalla forma geometrica ideale dei membri acontatto, non è tuttavia realizzata in pratica per varie cause, quali:

• la presenza di giochi

• l’irregolarità delle forme dei corpi

• la deformabilità delle loro superfici

1.2.1 Contatti superficiali

Si considerino due superfici accoppiate soggette all’azione di una forza esterna normale Fn

all’area di contatto. Essa teoricamente è estesa all’intera superficie, in realtà è limitataad alcune areole deformate, in quanto le superfici dei corpi solidi a contatto presentanoondulazioni e rugosità superficiali (Fig.1.5).

La massima distanza fra i picchi delle ondulazioni superficiali, per superfici prodotteindustrialmente, è in genere compresa fra 0.7 mm e 1.2 mm.

La rugosità superficiale (Ra) varia invece tra millesimi e centesimi di millimetro.Imprecisioni di lavorazione e deformazione dei membri, per effetto delle tensioni e/o della

temperatura, fanno dunque sì che il contatto avvenga non su tutta la superficie geometrica,ma solo su piccole aree.

1Si tratta di una relazione puramente sperimentale

1.2. FENOMENI SUPERFICIALI 7

Figura 1.5: Tipi di contatti geometrici

Per la presenza delle ondulazioni, tali aree sono localizzate in zone definite: il numero deicontatti dipende

• dal carico applicato

• dalla rugosità delle superfici

Nel caso dei contatti diretti fra superfici idealmente combacianti è quindi possibile distinguerepiù aree di contatto fra i membri solidi accoppiati. In particolare si deve distinguere tra:

• Area apparente o geometrica di contatto Ag: è definita dalle dimensioni dei solidia contatto ed è indipendente dal carico

• Area reale di contatto Ar: è la somma di tutte le piccole aree attraverso le quali isolidi si toccano.

Per contatti fra superfici di acciaio soggette a pressioni specifiche modeste l’area realepuò essere, per esempio, dell’ordine di 1/1000 di quella geometrica. Quando il carico esternoaumenta e la pressione locale supera il carico unitario limite di snervamento σs del mate-riale più tenero quest’ultimo comincia a deformarsi plasticamente, di solito in punti postiimmediatamente al di sotto della superficie.

Se il carico aumenta ancora, il materiale attorno a questi punti diventa plastico sinché tut-ta la regione attorno agli originali punti di contatto è deformata plasticamente e l’estensionedella nuova area di contatto è in grado di sopportare il carico.

Raggiunto l’equilibrio, la pressione media dei contatti pm, detta pressione di snervamentotriassiale, è pari al valore di durezza determinato mediante la prova di Brinell. Quando èraggiunta la completa plasticità, pm è indipendente dal carico esterno. Questo significa cheogni aumento del carico fa aumentare l’area reale di contatto, in modo tale che pm resticostante.

L’area reale di contatto può quindi essere calcolata, in prima approssimazione e percarichi statici, mediante la relazione:

Ar =Fn

pm

(1.2)


Figura 1.6: Definizione dei raggi di curvatura nel punto teorico di contatto

In zone sufficientemente lontane dalle asperità a contatto, la deformazione delle superfici èancora elastica, mentre nelle zone che costituiscono le zone di effettivo contatto tra i membriaccoppiati (Fig.1.5) si presentano legami di natura atomico-molecolare, detti comunementedi adesione, la cui intensità varia con la natura e con lo stato delle superfici.

1.2.2 Contatti lineari e puntiformi

All’inizio del contatto due corpi con superfici a diversa curvatura hanno idealmente un solopunto o al più una linea di contatto. Per effetto del carico esterno il punto di contatto siespande fino a diventare una piccola area.

Di conseguenza, anche se la forza esterna è modesta, la sollecitazione indotta nella zonadi contatto è di solito elevata. Ad esempio, non sono rare nei cuscinetti a rotolamentosollecitazioni di compressione superiori a 1.4 kN/mm2. Poiché l’area interessata dalle de-formazioni aumenta rapidamente, al di sotto della superficie di contatto le sollecitazioni dicompressione non si estendono a tutto il corpo e nel complesso i corpi in contatto possono an-cora essere considerati rigidi e si possono applicare macroscopicamente le leggi della dinamicadei corpi rigidi.

La teoria classica dei contatti superficiali elastici fu stabilita da Hertz.L’analisi di Hertz, valida per contatti puntiformi o lineari, parte dalle seguenti ipotesi:

1. i solidi a contatto sono omogenei e isotropi

2. le deformazioni sono elastiche e contenute entro limiti di elasticità lineare

1.2. FENOMENI SUPERFICIALI 9

3. le dimensioni dell’area di contatto sono piccole, rispetto al raggio di curvatura dei corpinon deformati in vicinanza della zona di contatto

4. i raggi di curvatura della zona di contatto sono grandi, se confrontati con le dimensionidell’area di contatto

5. fra i due solidi non vi sono forze di attrito radente e quindi durante il contatto agisce solola forza normale: vengono dunque trascurati le sollecitazioni di taglio e gli spostamentinel piano tangente comune ai corpi a contatto.

Per contatti puntuali, il modello hertziano prevede che la forma della zona di contattosia data da un’ellisse (vedi Fig.1.6), rappresentata dall’equazione:

z = Ax21 + By2

1 + Cx1y1 (1.3)

rispetto ad un sistema di riferimento con l’origine posta nel punto di contatto P , prima delladeformazione, e con assi x1 e y1 giacenti nel piano tangente comune ai corpi a contatto.

I coefficienti A e B sono definiti dalle curvature principali r = 1/R delle superfici acontatto secondo le relazioni:

2 (A + B) =1

R1M

+1

R1N

+1

R2M

+1

R2N

(1.4)

2 (B − A) =√

Γ + Λ (1.5)

Λ =(

1

R1M

− 1

R1N

)2

+(

1

R2M

− 1

R2N

)2

(1.6)

Γ = 2(

1

R1M

− 1

R1N

) (

1

R2M

− 1

R2N

)

cos (2β) (1.7)

ove β è l’angolo formato dai due piani contenenti le curvature r1M = 1/R1M e r2M =1/R2M .

In generale i piani contenenti i raggi di curvatura principali delle due superfici a contattonon sono coincidenti. Per semplicità grafica, in (Fig.1.6) essi sono stati disegnati nel casoparticolare di β = 0.

Indicando con

• Fn la forza normale di contatto

• a e b i semiassi dell’ellisse che rappresenta l’area deformata di contatto

• d l’avvicinamento dei due corpi

• D la quantità

D =1 − ν2

E(1.8)

che tiene conto delle caratteristiche meccaniche del materiale (essendo ν il modulo diPoisson, E il modulo di Young)


Figura 1.7: Valori di a∗, b∗ e d∗

il modello di Hertz giunge a stabilire le dimensioni dell’area deformata e il valore delloschiacciamento, che sono rispettivamente dati da:

a = a∗ 3

√

3

4

Fn (D1 + D2)

A + B(1.9)

b = b∗3

√

3

4

Fn (D1 + D2)

A + B(1.10)

d = d∗ 3

√

3

4Fn (D1 + D2)

2 (A + B) (1.11)

ove i coefficienti a∗, b∗, d∗ sono funzioni solo del rapporto (A/B) e sono uguali a unoquando i due corpi in contatto hanno la stessa forma.

Nel caso i corpi a contatto abbiano diversa curvatura sono unicamente funzione di

B − A

B + A=

1 − AB

1 + AB

(1.12)

Alcuni valori di a∗, b∗, d∗ sono riportati in (Fig.1.7)).La teoria hertziana permette inoltre di derivare la legge di distribuzione delle pressioni

nella zona di contatto mediante la relazione:

p =3Fn

2πab

√

1 −(

x

a

)2

−(

y

b

)2

= pMAX

√

1 −(

x

a

)2

−(

y

b

)2

(1.13)

1.3. FORZE AGENTI NEGLI ACCOPPIAMENTI 11

Figura 1.8: Distribuzione delle pressioni nella zona deformata di contatto

il cui massimo, ottenuto per x = 0, y = 0, vale:

pMAX =3Fn

2πab(1.14)

Le pressioni nei vari punti del’area deformata di contatto hanno quindi una distribuzionesemiellissoidale (Fig.1.8).

Nel caso di contatti lineari, ad esempio fra corpi cilindrici con assi paralleli di ugualelunghezza l, l’area deformata diventa un rettangolo di larghezza b data da:

b =

√

√

√

√

2Fn (D1 + D2)

πl (A + B)= (r1M + r1N) + (r2M + r2N) (1.15)

e la distribuzione delle pressioni normali ha la forma di un semicilindro, con valore p datoda:

p =2Fn

πlb

√

1 −(

y

b

)2

(1.16)

il cui massimo si ha ovviamente per y = 0.

1.3 Forze agenti negli accoppiamenti

1.3.1 Contatto di strisciamento e attrito radente

L’esperienza dimostra che tra due solidi a contatto si sviluppano, anche in assenza di motorelativo, forze di superficie aventi direzione tangenziale tra le superfici a contatto.


Consideriamo dapprima un corpo 1 che viene premuto contro un corpo 2 con una forzaN normale alla superficie comune di contatto. Per l’equilibrio, il corpo 2 eserciterà sul corpo1 un insieme di forze la cui risultante FN sarà uguale ed opposta a N , e avrà la stessa rettad’azione di N , in modo tale che il momento risultante sia nullo.

Supponiamo ora di applicare al corpo 1 una piccola forza T parallela alla superficie dicontatto: sperimentalmente si osserva che il corpo rimane fermo nella posizione iniziale.Dovrà quindi essere che tra i due corpi, lungo la superficie di contatto, si origina un insiemedi forze la cui risultante FT è uguale ed opposta a T . Affinché sussista l’equilibrio staticodel corpo 1, la forza FN si sarà spostata lungo la superficie di contatto, in modo tale chela coppia formata da FN e N equilibri quella formata da FT e T (che hanno rette d’azionediverse).

La forza FT , esercitata dal corpo 2 sul corpo 1 in condizioni di equilibrio statico, è dettaforza di attrito statico o forza di aderenza. Aumentando il valore della forza tangenziale Tapplicata al corpo 1, si osserva che il corpo continua a rimanere in equilibrio statico: ciòsignifica che anche l’intensità di FT aumenta di conseguenza sino a raggiungere un valorelimite, che rappresenta la massima forza di attrito statico (o aderenza) che si può svilupparetra le superfici a contatto. Per valori di T superiori a questo valore limite, non sussistonopiù le condizioni di equilibrio statico, e il corpo 1 si muove strisciando sul corpo 2.

Anche in questa situazione di strisciamento sussistono delle forze lungo la superficie dicontatto, la cui risultante ha direzione parallela a quella del moto relativo dei due corpi everso opposto a quello della velocità del corpo 1 relativa al corpo 2. Tale risultante è dettaforza di attrito dinamico o forza di attrito cinetico o, qualora non si dia adito ad ambiguità,semplicemente forza di attrito. Nel suo complesso, il fenomeno descritto prende il nome diattrito di strisciamento o attrito radente.

Dalla descrizione fatta, si può evincere che la proprietà fondamentale delle forze di attritoè di avere sempre verso tale da opporsi al moto relativo tra i corpi a contatto.

Il fenomeno dell’attrito radente può anche essere modellato considerando, oltre alle forzedi contatto normale FN e tangenziale FT , anche la loro risultante F , la cui inclinazionerispetto alla normale è data dall’angolo

ϕ = arctanFT

FN

(1.17)

come indicato in Fig.1.9.L’angolo ϕ prende il nome di angolo di attrito.Il rapporto tra le componenti tangenziale e normale delle forze di contatto è definito

coefficiente (o fattore) di attrito:

f =FT

FN

(1.18)

Risulta f = tan ϕ. f è quindi un coefficiente adimensionale.Se vi è movimento relativo tra i corpi a contatto, f è detto coefficiente di attrito dinamico

(fd) o coefficiente di attrito cinetico (fc), se siamo in situazione di equilibrio statico f prendeil nome di coefficiente di attrito statico (fs) o coefficiente di aderenza (fa).

Si può allora dire che la condizione di equilibrio statico fra due corpi a contatto permanefinché il rapporto FT /FN tra i moduli delle componenti tangenziale e normale delle forze


Figura 1.9: Risultante delle forze di contatto e cono di attrito

di contatto non è superiore al coefficiente di aderenza, ovvero finché FT /FN ≤ fa. Nonappena il valore della componente tangenziale supera il valore limite FT = faFN , si inizia adavere strisciamento tra i due corpi a contatto, il fenomeno di attrito diventa dinamico ed ègovernato dall’equazione:

FT = fdFN (1.19)

Con riferimento alla Fig.1.9, la condizione da soddisfare affinché sussista l’equilibrio stati-co può essere formulata graficamente, imponendo che l’angolo formato dalla risultante delleforze di contatto con la normale alla superficie sia minore dell’angolo di aderenza in condizionilimite, ovvero

ϕ ≤ ϕa = arctan(fa) (1.20)

In altre parole, in condizioni di equilibrio statico il vettore della risultante può assumerequalunque direzione, purché giacente all’interno del cono (cono di attrito) avente come assela normale alle superfici a contatto e come generatrice la retta d’azione della risultante incondizioni limite di aderenza (ovvero la retta inclinata dell’angolo ϕa rispetto alla normale).In condizioni di strisciamento, la risultante delle forze scambiate è invece inclinata rispettoalla normale di un angolo pari a ϕ = arctan(fd).

L’attrito tra corpi solidi prende il nome di attrito coulombiano. Secondo Coulomb ilfattore di attrito f :

• dipende dalla natura dei materiali che si toccano e dallo stato delle superfici a contatto

• non dipende dalle forze normali, né dall’estensione del contatto, né dalla forma dellesuperfici coniugate


Figura 1.10: Andamento dell’attrito in funzione della velocità

• non dipende dalla velocità relativa di strisciamento

Il modello coulombiano dell’attrito ha il pregio della semplicità e per questo motivo vienecomunemente utilizzato per rappresentare il fenomeno dello strisciamento tra corpi solidi, perquanto esso non risulti, ad una verifica sperimentale, particolarmente preciso. Il fenomenodell’attrito è infatti estremamente complesso da un punto di vista fisico e rifugge pertantoda una modellazione accurata.

Ad esempio, da risultati sperimentali è emerso che il coefficiente d’attrito non è indipen-dente dalla velocità (come assunto nel modello coulombiano), ma ha piuttosto un andamentodel tipo raffigurato in Fig.1.10: dopo una brusca diminuzione passando da velocità nulla(attrito statico) a velocità piccolissime, il coefficiente di attrito subisce un certo aumentoal crescere della velocità. Per velocità maggiori di un dato valore, il coefficiente d’attritorimane dapprima costante, poi tende a decrescere con la velocità.

Vediamo ora di capire le motivazioni fisiche del fenomeno dell’attrito.Come abbiamo già avuto modo di sottolineare, il contatto fra due corpi solidi con superfici

nominalmente combacianti non si attua sull’intera area geometrica di contatto, ma su unasomma di areole (l’area reale di contatto). Non appena la distanza fra le superfici diventacosì piccola da rendere operanti le forze intermolecolari, si manifestano fra di esse legami diadesione.

Come rappresentato in Fig.1.11, la resistenza al movimento relativo di due superfici acontatto è dovuta ad un complesso di fenomeni, fra loro interagenti. Si ha dunque che lacomponente tangenziale della forza di contatto è data dalla somma di vari contributi:

Ft = Ft1 + Ft2 + Ft3 + Ft4 (1.21)

che sono rispettivamente:

• Ft1: la forza necessaria per vincere i legami di adesione (microgiunzioni)

• Ft2: la forza necessaria per produrre deformazioni viscoelastiche

• Ft3: la forza necessaria per asportare le asperità che interferiscono geometricamente


Figura 1.11: Componenti della forza tangenziale tra superfici

• Ft4: la forza necessaria per produrre solcature plastiche

Il valore di ciascuna componente è funzione dei materiali a contatto, delle caratteristichedelle superfici, della presenza o meno di lubrificanti e delle condizioni operative.

Il grafico (Fig.1.12) mette in luce la variazione del fattore d’attrito in funzione deimateriali e delle condizioni di lubrificazione.

Come si vede, le caratteristiche dei materiali incidono sensibilmente sul fattore d’attritoin assenza di lubrificazione, ma perdono importanza quando il contatto fra i solidi avvienein condizioni di lubrificazione limite.

La componente Ft1 è legata al carico unitario di taglio τ del materiale meno duro, secondola:

Ft1 = Arτ =Fnτ

pm

(1.22)

Il componente del fattore d’attrito legato a questo fenomeno risulta perciò:

f1 =Ft1

Fn

=τ

pm

(1.23)

con i valori di τ e pm che variano a seconda dei materiali. Per molti materiali metallicirisulta:

τ ∼= 0.6σs (1.24)

pm∼= HB = 3σs (1.25)

essendo σs il carico unitario di snervamento. Perciò il rapporto τ/pm vale all’incirca 0, 2.

1.3.2 Influenza della rugosità delle superfici

I contributi alla forza d’attrito espressi dai due ultimi termini (Ft3 e Ft4) della (1.21) sonolegati principalmente alla rugosità delle superfici, quali risulta dalle lavorazioni tecnologicheche le hanno prodotte.


Figura 1.12: Variazione del fattore di attrito in funzione dei materiali e delle condizioni dilubrificazione

Come si può vedere dalla Fig. 1.14, nel campo di valori di rugosità di componenti metalliciprodotti da ordinarie lavorazioni tecnologiche (Ra = 0.4 − 1.4µm), non si hanno sensibilivariazioni del fattore di attrito.

In generale, se la rugosità è molto bassa, l’attrito tende ad essere alto perché l’areareale di contatto aumenta notevolmente e sono esaltati i fenomeni di adesione. Anche inpresenza di rugosità molto alta l’attrito aumenta per la necessità di sollevare continuamenteuna superficie al di sopra delle asperità dell’altra. Nel campo intermedio, invece, l’influenzadella rugosità sul fattore d’attrito è modesta.

1.3.3 Influenza delle condizioni operative

Prove sperimentali hanno dimostrato che il fattore d’attrito varia anche sensibilmente, aparità di caratterizzazione fisico-chimiche delle superfici, in funzione

• del tempo di contatto,

• delle velocità di strisciamento,

• della pressione media di contatto,

• della temperatura dell’interfaccia

• delle condizioni di lubrificazione

• dell’atmosfera, specie nel caso dei polimeri.


Figura 1.13: Valori medi dei fattori d’attrito per diversi accoppiamenti


Figura 1.14: Variazione del fattore di attrito in funzione delle rugosità superficiali dellesuperfici a contatto

Influenza del tempo di contatto

Numerose esperienze hanno mostrato che il fattore d’attrito statico, in assenza di lubrifi-cazione, è funzione del tempo di contatto fra i corpi. Esso varia rapidamente in un brevissimoperiodo iniziale del contatto (0.1s), poi cresce più lentamente sino a stabilizzarsi (Fig.1.15).

Influenza della velocità relativa

Il fattore di attrito cinetico, fra superfici in moto relativo, è generalmente inferiore al fattoredi attrito statico. L’andamento generale del fattore di attrito in funzione della velocità èriportato in Fig.1.10. Risultati sperimentali, condotti su un campo di velocità più ristrettoe per varie coppie di materiali a contatto, sono raffigurati nelle Fig.1.16 e 1.17.

Influenza della pressione di contatto

L’influenza della pressione di contatto va analizzata distinguendo i casi di pressioni normalied elevate. Queste ultime si hanno quando la pressione specifica si avvicina o supera ilcarico unitario di snervamento del materiale. In questo caso all’aumentare della pressione(Fig.1.18) il fattore di attrito diminuisce.

Influenza della temperatura

Nei metalli le variazioni di temperatura dovute ad effetti esterni non provocano, in generale,sensibili variazioni del fattore di attrito, anche perchè i due termini τ e pm risentono nellostesso modo della variazione di temperatura. Solo nel caso di brevi surriscaldamenti dell’in-


Figura 1.15: Variazione del fattore di attrito in funzione del tempo di contatto fra i solidi

Figura 1.16: Variazione del fattore di attrito con la velocità per alcuni metalli


Figura 1.17: Variazione del fattore di attrito con la velocità per alcuni polimeri

Figura 1.18: Variazione del fattore di attrito in presenza di elevate pressioni


Figura 1.19: Variazione del fattore di attrito di polimeri in funzione della temperaturaambiente

terfaccia per effetto di alte velocità di strisciamento, il fattore di attrito diventa più basso,con ogni probabilità perché il carico di taglio τ diminuisce più di pm.

I polimeri presentano invece una maggiore variabilità del coefficiente di attrito con latemperatura (Fig.1.19).


Figura 1.20: Contatto di strisciamento. Calcolo del volume del materiale usurato

1.4 Relazioni fondamentali dell’usura

Quando due membri solidi sono animati da moto relativo di strisciamento il volume delmateriale asportato per usura ∆V può essere valutato mediante l’equazione proposta daHolm:

∆V = kFn

pm

∆s = kAr∆s (1.26)

essendo

• k un fattore adimensionale sperimentale,

• Fn la forza normale esterna,

• pm la pressione di snervamento superficiale (misurata dalla durezza di Brinell HB)

• ∆s lo spazio percorso.

Se A è l’area geometrica di contatto e ∆h l’altezza usurata, si può riscrivere la precedentein funzione della pressione di contatto p nella forma:

∆h =∆V

A= k

Fn

pmA∆s = k

1

pm

Fn

A∆s = k

p

pm

∆s (1.27)

o in quella equivalente che esprime la velocità di usura:

∆h

∆t= k

p

pm

∆s

∆t= k

p

pm

v (1.28)

Il fattore k è funzione dei materiali a contatto e dello stato delle loro superfici, della durez-za e delle dimensioni delle particelle abrasive. Varia sensibilmente a seconda del meccanismoprevalente di usura (adesiva, abrasiva, ecc.)

In ogni caso, va tenuto presente che i risultati sperimentali presentano una limitataripetibilità, anche per test condotti su componenti identici.

1.4. RELAZIONI FONDAMENTALI DELL’USURA 23

Figura 1.21: Coefficiente di durata per vari tipi di guarnizioni per freni

1.4.1 Coefficiente di durata

Nello studio dei freni il volume di usura è spesso espresso in modo da mettere in luce ilrapporto fra lavoro di frenatura L e il volume di usura ∆V . Dalla

∆V = kFn

pm

∆s = kAr∆s (1.29)

si ottiene la relazione che esprime la cosiddetta ipotesi di Reye: il volume del materialeasportato per usura è direttamente proporzionale al lavoro compiuto dalle forze di attrito

∆V = kFn

pm

∆s =k

pmfFt∆s = k1L (1.30)

sicché l’usura specifica, ∆V/L, può essere espressa dal rapporto, misurato in mm3/kJ :

k1 =k

pmf(1.31)

detto coefficiente di usura. Dai grafici di figura (Fig.1.21) si nota che il fattore di usuradipende fortemente dal tipo di materiale per guarnizioni da freno e aumenta più del fattoredi attrito, passando da un tipo di guarnizione all’altro.

Il reciproco dell’usura specifica

k2 =1

k1

=pmf

k(1.32)

è detto coefficiente di durata. Valori tipici di k2 per i freni vanno da 2 a 100 kJ/mm3.

Capitolo 2

Forze di contatto per le coppie

elementari

2.1 Attrito di rotolamento

Il contatto di rotolamento può avvenire soltanto fra coppie rigide e non combacianti; adesempio fra un cilindro ed un piano, fra due cilindri, fra una sfera ed un piano.

In molti casi della pratica non si ha un contatto di puro rotolamento, bensì un contattocon rotolamento e strisciamento sovrapposti (ad esempio, il contatto fra i denti di due ruotedentate). In questi casi, dal punto di vista della distribuzione delle pressioni valgono leconsiderazioni che svolgeremo nel presente paragrafo, mentre dal punto di vista dell’attritol’effetto dello strisciamento prevale, di solito, su quello del rotolamento, per cui in molti casisi può prescindere da quest’ultimo contributo.

Figura 2.1: Area di contatto e distribuzione delle pressioni: a) sfera, b) cilindro

Nel contatto fra superfici a doppia curvatura la distribuzione delle pressioni può esseretrovata, come visto nel capitolo precedente, utilizzando i risultati della teoria di Hertz. A

25

26 CAPITOLO 2. FORZE DI CONTATTO PER LE COPPIE ELEMENTARI

stretto rigore tale teoria è valida per corpi perfettamente elastici caricati entro il limitedi proporzionalità; in realtà i suoi risultati sono applicabili con ottima approssimazione aimateriali comunemente impiegati nelle costruzioni meccaniche.

Figura 2.2: Distribuzione delle pressioni di contatto in presenza di rotolamento

Ciò premesso, consideriamo un rullo rotolante su di un piano fisso. Se la distribuzionedella pressione normale fosse hertziana e mancassero azioni tangenziali, non si avrebbe spesadi energia. Invece l’esperienza dimostra che anche in questo moto di puro rotolamento si hadissipazione di energia. Cerchiamo di esaminarne le cause.

Queste sono molteplici e spesso concomitanti:

• imperfetta elasticità del rullo e del corpo fisso;

• fenomeni di elasticità ritardata;

• urti fra le asperità superficiali dei due corpi;

• slittamento fra i due corpi, che si manifesta quando al rullo sia applicata, oltre ad unaforza Q normale alla direzione del moto, anche una forza T parallela a questa direzione.

Tralasciando le altre cause di dissipazione, che intervengono sensibilmente soltanto incasi particolari, soffermiamoci brevemente sugli effetti dell’imperfetta elasticità (e su quellidell’elasticità ritardata, con essi strettamente collegati).

Se i due corpi non sono perfettamente elastici, parte dell’energia spesa nella deformazionenon viene resa nella successiva fase di restituzione, ma viene dissipata per vincere le resistenzedi attrito interno del materiale. Può anche accadere che parte dell’energia accumulata neidue corpi come energia potenziale elastica venga restituita con ritardo e che pertanto finiscacon essere anch’essa dissipata.

Ragionando in termini di forze, invece che in termini di energie, possiamo dire che ladistribuzione di pressione nel contatto non è simmetrica rispetto alla direzione della forzaQ, poiché la pressione nella zona anteriore risulta mediamente più elevata della pressionenella zona posteriore. II diagramma della pressione dà luogo, pertanto, ad una risultante

2.1. ATTRITO DI ROTOLAMENTO 27

che ha sempre modulo pari alla Q, ma la cui retta di azione è spostata in avanti, nel sensodel moto, rispetto alla Q. Chiamiamo parametro dell’attrito volvente tale spostamento,che indichiamo con il simbolo δ.

Per mantenere il rullo in rotazione con velocità angolare costante è necessario applicaread esso una coppia che eguagli il momento dato dal prodotto della forza Q per il braccio δ:

Mm = Qδ (2.1)

Il lavoro speso per spostare in avanti l’asse del rullo di una distanza s è pertanto datoda:

Lp = Mms

R= Q

δ

Rs (2.2)

dove R è il raggio del rullo.Il rapporto δ

Rè chiamato coefficiente di attrito volvente. Lo indicheremo con il

simbolo fv.In tal modo si avrà:

Lp = fvQs (2.3)

che è formalmente analoga alla espressione che dà il lavoro perduto per attrito fra duecorpi striscianti l’uno sull’altro, premuti da una forza Q. La forza orizzontale T da applicareal rullo per farlo rotolare a velocità costante è dunque data da:

T = fvQ (2.4)

II valore del coefficiente di attrito volvente può essere determinato soltanto in via speri-mentale; ma il suo ordine di grandezza può essere valutato anche con considerazioni teoriche.

Ad esempio i risultati della teoria di Hertz permettono di fissare un limite superioreal valore di fv. Soffermiamoci, a questo proposito, sul contatto fra un rullo ed un piano.Dall’espressione della semilarghezza nel caso di due rulli paralleli:

b = 1.52

√

√

√

√

Q

E(

1R1

+ 1R2

)

l(2.5)

ponendo R2 → ∞ otteniamo:

b = 1.52

√

√

√

√

Q

E(

1R1

)

l(2.6)

É evidente che deve essere δ < b (spesso δ è dell’ordine di 0.1b) e quindi:

fv < 1.52

√

√

√

√

Q

E(

1R1

)

l(2.7)

Si osserva che fv è di solito molto piccolo (vedasi tabella) e che, pertanto, il consumodi energia nel rotolamento è di ordine di grandezza molto inferiore a quello che si ha nelcontatto di strisciamento fra superfici.


Cuscinetti radiali orientabili a sfere 0,0010Cuseinetti assiali a sfere 0,0013Cuscinetti radiali rigidi a sfere 0,0015Cuscinetti a rulli cilindrici 0,0011-0,0020Cuscinetti orientabili a rulli 0,0018Cuscinetti a rulli conici 0,0018Cuscinetti obliqui a sfere 0,0020-0,0024Ruota su rotaia (D è il diametro della ruota in mm) 0.026/

√D

Pneumatico su strada (a velocità inferiore a c. 100 km/ora) 0,01

Tabella 2.1: Valori orientativi del coefficiente di attrito volvente

2.2 Coppia prismatica

Consideriamo una coppia prismatica realizzata con un’asta rigida guidata da due collari A eB; conoscendo i coefficienti di attrito fra l’asta e i due collari, vogliamo determinare l’intensitàdella forza motrice P (della quale si conoscono la retta d’azione e il verso) necessaria pervincere la forza resistente Q nota.

Figura 2.3: Coppia prismatica con due collari

Le reazioni RA e RB dei collari sull’asta hanno ciascuna una componente normale e unacomponente tangenziale, dovuta all’attrito; per determinare le rette d’azione di RA e RB,occorre innanzitutto stabilire quali sono i versi delle componenti normali. Per fare ciò, bastaconsiderare le condizioni di equilibrio dell’asta alla rotazione attorno ai punti in cui le retted’azione di RA e RB incontrano la retta d’azione di Q.

Per l’equilibrio dei momenti di RB e di P rispetto al punto di incontro delle rette d’azionedi RA e di Q, ad esempio, si vede che RB è orientata verso il basso; con un ragionamentoanalogo, si vede che RA è invece orientata verso l’alto. Le componenti di attrito di RA e RB

hanno sempre versi tali da opporsi all’avanzamento dell’asta, per cui si può concludere chele rette d’azione di RA e RB sono quelle riportate in figura.

Se le rette d’azione di P e di Q fossero state tali da incontrarsi in un punto compreso frai due collari, anzichè in un punto esterno ad essi, le forze RA e RB sarebbero state orientateentrambe o verso l’alto o verso il basso.

2.2. COPPIA PRISMATICA 29

Una volta determinate le rette d’azione di RA e RB, il problema è quello di scomporrela forza nota Q in tre forze P , RA e RB aventi rette d’azione assegnate. Il problema si puòrisolvere con metodi grafici o analitici.

Graficamente, si può osservare che se le rette d’azione di tre forze passano tutte per unostesso punto, esterno alla retta d’azione della forza rimanente, si verifica l’impuntamentodell’asta: in tali condizioni infatti non esiste alcun valore finito dell’intensità della quartaforza che possa fare equilibrio alla risultante delle prime tre.

Risolviamo ora il problema con il metodo analitico, applicando cioè all’asta le equazionidi equilibrio statico secondo Newton. Ciò ci permetterà anche di formulare analiticamentela condizione di impuntamento.

Con riferimento alla Fig. 2.4, sia P la forza resistente, con retta d’azione passante perl’asse della coppia prismatica, e F la forza di trazione, parallela a P ma con retta d’azionetraslata di una quantità pari a e (eccentricità). Nei punti di contatto A e B l’asta è soggettaalle reazioni vincolari della guida, essendo TA e TB le componenti parallele all’asse, NA e NB

le componenti perpendicolari.

Figura 2.4: Fenomeno dell’impuntamento

Scriviamo le due equazioni di equilibrio alla traslazione dell’asta, e l’equazione di equi-librio alla rotazione prendendo come polo il punto A:


F − TB − P − TB = 0NB − NA = 0

NBh − 2aTB − Pa + F (a − e) = 0(2.8)

Se ora si vuole trovare il valore della forza minima necessaria per muovere l’asta, èsufficiente porsi nelle condizioni limite di aderenza. Tra le componenti tangenziali e normalidelle reazioni vincolari sussiste dunque la relazione:

TA = faNA

TB = faNB(2.9)

Sostituendo tali relazioni nel sistema precedente, si ricava che la minima forza necessariaper muovere l’asta è data da:

F =P

1 − 2faeh

(2.10)

Pertanto F è tanto maggiore quanto maggiori sono P , fa ed e, ed è tanto minorequanto maggiore è h. Il caso dell’impuntamento si verifica quando 2fae/h = 1, perché ildenominatore si annulla e F tende ad infinito.

2.3 Coppia rotoidale

Esaminiamo ora l’equilibrio della coppia rotoidale. Supponiamo che il perno rotante siacaricato da due forze esterne non passanti per l’asse della coppia: una forza resistente Q eduna forza motrice P .

La forza R12 trasmessa al perno dalla sua sede deve fare equilibrio alla risultante della Pe della Q.

La forza resistente Q è nota ed è nota la sua linea di azione. Altri elementi noti sono: lalinea di azione della P , e l’angolo di attrito ϕ nel contatto fra gli elementi cinematici dellacoppia rotoidale.

Si vuole trovare l’intensità della forza P capace di equilibrare la Q in condizioni di motouniforme. In Fig. 2.5 è rappresentata una possibile realizzazione della coppia. Sono ancheindicate le forze agenti nel piano medio della coppia.

Se non ci fossero attriti la reazione R12 sarebbe diretta secondo un raggio del perno epertanto passerebbe per l’asse della coppia rotoidale. A causa dell’attrito fra perno e sedela R12 risulta inclinata dell’ angolo ϕ rispetto al raggio del perno passante per il punto delcontorno in cui la R12 può considerarsi applicata.

Ne discende che la R12 è tangente ad una circonferenza di raggio ρ = Rsinϕ (R è il raggiodel perno). Tale circonferenza è chiamata circolo di attrito (spesso il raggio del circolo diattrito è espresso, in via approssimata, come prodotto di R per il coefficiente di attrito f .Con i valori usuali di ϕ questa approssimazione è di solito legittima).

La R12 deve passare anche per il punto di incontro di Q e P . Le due condizioni, unitamentealla considerazione che la R12 deve dare, rispetto all’asse del perno, momento che si opponeal moto, permettono di individuare la retta di azione della R12.

2.4. PIANO INCLINATO 31

Figura 2.5: Coppia rotoidale

Nota la linea di azione di R12 , la P può essere immediatamente calcolata in via grafica,con la costruzione del triangolo delle forze.

Volendo procedere per via analitica conviene esprimere l’equilibrio dei momenti delle forzeattorno all’asse del perno. Si ottiene:

P =Qa + R12ρ

b(2.11)

Inoltre, applicando il teorema di Carnot al triangolo delle forze, si può scrivere:

R12 =√

P 2 + Q2 − 2PQ cos θ (2.12)

Da queste due equazioni si possono calcolare P e la R12.

2.4 Piano inclinato

Consideriamo infine l’equilibrio di un grave che poggia su di un piano inclinato (Fig. 2.6).Tale sistema può essere considerato una coppia piana. Supponiamo noti, oltre al peso delgrave (forza resistente Q), l’inclinazione α del piano di appoggio rispetto ad un piano oriz-zontale, l’angolo di attrito ϕ e l’angolo θ che la forza motrice P forma con la normale alpiano inclinato. Ci proponiamo di calcolare l’intensità della forza P , in condizioni di motouniforme.

Non essendo richiesta la determinazione di R12, una sola equazione è sufficiente per lasoluzione del quesito. Essa può essere scritta considerando l’equilibrio delle forze secondouna direzione ortogonale alla R12. Proiettando su tale direzione si ottiene:

P sin (θ + ϕ) = Q sin (α + ϕ) ⇒ P = Q sin(α+ϕ)sin(θ+ϕ) (2.13)


Figura 2.6: Piano inclinato

Capitolo 3

Il rendimento

Le forze (e le coppie) agenti sulle macchine possono essere classificate secondo diversi puntidi vista. Così, per esempio, una classificazione consiste nel distinguere le forze in motrici eresistenti.

Una forza

• è motrice, se nel movimento della macchina compie lavoro positivo;

• è resistente, se compie lavoro negativo.

Distingueremo pure le forze in esterne ed interne.

• Le forze esterne derivano dall’azione di campi di forze (peso, forze d’inerzia) o di corpiesterni alla macchina,

• Le forza interne sono le forze trasmesse fra i membri della macchina.

Due corpi a contatto fra loro si trasmettono una forza, nella quale in genere (sempre, sefra i due corpi c’è moto relativo) è presente una componente dovuta all’attrito. Questa com-ponente d’attrito costituisce una resistenza passiva e durante il moto compie lavoro negativo,cioè dissipa energia.

Un effetto analogo danno pure resistenze passive di altro genere, come la resistenza cheun fluido esercita su un corpo che si muove immerso in esso, gli attriti interni dei fluidiviscosi, e cosi via.

Un indice che ben si presta alla valutazione dell’energia spesa per attrito, così in unacoppia cinematica come in una macchina nel suo complesso, è il rendimento.

Consideriamo una macchina alla quale siano applicate dall’esterno una o più forze (ocoppie) resistenti ed una o più forze (o coppie) motrici.

Dopo un certo periodo di funzionamento della macchina le forze resistenti esterne abbianoassorbito il lavoro Lr e le forze motrici abbiano erogato il lavoro Lm.

Come si è accennato poco sopra, le componenti d’attrito delle forze interne assorbonolavoro. Indichiamo con Lp, questo lavoro perduto per attrito, riferito allo stesso periodo ditempo.

Indichiamo con E l’energia cinetica della macchina (somma delle energie cinetiche deisuoi membri) e prendiamo i lavori in valore assoluto.

33

34 CAPITOLO 3. IL RENDIMENTO

Se le variazioni di energia interna, come ad esempio quella elastica, sono trascurabili, valeil seguente bilancio energetico:

Lm − Lr − Lp = ∆E (3.1)

cioè la somma algebrica dei lavori compiuti, in un certo intervallo di tempo, da tutte leforze agenti sulla macchina, è uguale alla variazione subita dall’energia cinetica nello stessointervallo di tempo.

Se il secondo membro dell’equazione si mantiene costantemente uguale a zero per un certointervallo di tempo del funzionamento della macchina, diciamo che la macchina funziona incondizioni di regime assoluto.

In tale situazione vale la relazione:

Lm = Lr + Lp (3.2)

Può accadere che durante il funzionamento di una macchina il secondo membro della (3.1)risulti uguale a zero soltanto al termine di regolari intervalli di tempo. Può cioè accadereche valga ancora l’equazione (3.2), ma a condizione che i lavori vengano valutati per tempiuguali, o multipli interi, di un tempo base, chiamato periodo. Quando si verificano questecircostanze si dice che la macchina funziona in condizioni di regime periodico.

É ovvio che le condizioni di regime, sia assoluto sia periodico, sono condizioni partico-lari, per quanto frequenti, di funzionamento per una macchina. In generale (per esempioall’avviamento, all’arresto, nel passaggio da un regime all’altro) il secondo membro della 3.1è diverso da zero, potendo essere, a seconda dei casi, positivo (ad esempio all’avviamento)o negativo (ad esempio all’arresto). Di conseguenza, nel primo caso il lavoro motore prevalesulla somma del lavoro resistente e del lavoro perduto; l’opposto accade nel secondo caso.Questa condizione generale è chiamata transitorio meccanico

Ciò premesso, consideriamo una macchina che funzioni in condizioni di regime; valga cioèla (3.2), con le limitazioni sopra menzionate per il caso di regime periodico. In tale situazionedefiniamo rendimento della macchina il rapporto:

η =Lr

Lm

(3.3)

É evidente che il rendimento è un numero sempre minore di uno.

• In alcuni casi (per certe coppie o per certe macchine strutturalmente semplici, realiz-zate con cura, funzionanti in condizioni particolarmente favorevoli) il rendimento puòassumere valori prossimi ad uno.

• In altri casi il suo valore può scendere a valori molto bassi, fino ad annullarsi oaddirittura a divenire negativo; caso questo cui corrisponde impossibilità di movimento.

Al rendimento può essere data anche un’espressione diversa. Se immaginiamo che lamacchina funzioni in condizioni ideali di assenza di attrito, si ha la seguente relazione:

Lm0 = Lr (3.4)

nella quale con Lm0 si è indicato il lavoro motore richiesto in questa situazione puramenteideale.

3.1. RENDIMENTO DELLE MACCHINE POSTE IN SERIE 35

Si può così scrivere:

η =Lm0

Lm

(3.5)

ossia il rendimento è anche dato dal rapporto fra il lavoro motore in condizioni ideali ed illavoro motore in condizioni reali.

Tale espressione del rendimento può essere ulteriormente trasformata. Se indichiamocon P la forza motrice, con P0 la forza motrice in condizioni ideali di assenza di attrito,ricordando che il lavoro è uguale al prodotto scalare della forza per il suo spostamento (cheè lo stesso sia per P , sia per P0), si può scrivere:

η =P0

P(3.6)

Indichiamo con perdita di rendimento la quantità:

1 − η =Lp

Lm

(3.7)

Nel calcolo e nella determinazione sperimentale del rendimento di una macchina di rendi-mento elevato, è spesso conveniente fare uso di quest’ultima espressione; conviene, cioè,giungere alla valutazione di η attraverso quella di 1 − η. Per rendersene conto basta os-servare che l’uso di tale espressione permette l’introduzione, nel calcolo di Lp e di Lm diespressioni approssimate, spesso preferibili, perchè più maneggevoli, alle espressioni esatte;infatti eventuali errori, percentualmente anche sensibili, commessi nel calcolo di Lp ed Lm

incidono poco sul calcolo di 1 − η, se η è prossimo ad uno. Analogamente nella determi-nazione sperimentale di 1− η poco incidono, se η è prossimo ad uno, errori percentualmentesensibili compiuti dagli strumenti nella misura di Lp ed Lm.

3.1 Rendimento delle macchine poste in serie

Si consideri la trasmissione meccanica rappresentata in figura. In essa un motore M pone inmovimento una macchina operatrice O attraverso un certo numero di dispositivi intermedi(una trasmissione a cinghia ed un riduttore R). Lo schema è un esempio di come si realizzauna disposizione di macchine in serie.

Tutti i componenti della serie sono interessati, prescindendo dalle perdite per attrito,dall’intera potenza fornita dal motore, la quale viene in definitiva utilizzata sulla macchinaoperatrice.

In generale un sistema di macchine disposte in serie può essere schematizzato come nellafigura successiva, dove fra il motore e la macchina operatrice sono stati inseriti n elementiintermedi.

Si dimostra facilmente che il rendimento della serie di n componenti è uguale al prodottodegli n rendimenti parziali.

A tal fine osserviamo che, se indichiamo ad esempio con Lr1 il lavoro resistente utile com-piuto dalla macchina T1, e con Lm2 il lavoro motore erogato alla macchina T2, è Lr1 = Lm2.Analogamente si ottiene Lr2 = Lm3 .... Il rendimento della trasmissione è per definizione:

η =Lrn

Lm1

(3.8)


Figura 3.1: Macchine in serie

Figura 3.2: Più macchine in serie. Schema a blocchi.

Per quanto si è visto si può anche scrivere:

Lrn

Lm1

=Lr1

Lm1

Lr2

Lm2

..Lrn

Lmn

(3.9)

ossia:

η = η1η2..ηn (3.10)

3.2 Rendimento delle macchine poste in parallelo

Si consideri ora un impianto come quello schematizzato in figura, nel quale più macchineoperatrici ricevono potenza da uno stesso motore, attraverso differenti trasmissioni. Siamoin presenza di una disposizione di macchine in parallelo; ciascuno dei rami della trasmissioneè percorso da una parte della potenza erogata dal motore.

In questo caso il rendimento della trasmissione vale

η =Lr

Lm

=Lr1 + Lr2 + .. + Lrn

Lm1 + Lm2 + .. + Lmn

=η1Lm1 + η2Lm2 + .. + ηnLmn

Lm

(3.11)

Ossia il rendimento del complesso è uguale alla media ponderata del rendimento dei singolicomponenti, essendo pesi i lavori motori.

Si può concludere che, mentre con la disposizione in serie il rendimento complessivorisente direttamente del rendimento di ciascun componente, nella disposizione in parallelosul rendimento complessivo influiscono decisamente soltanto i rendimenti dei componenti cheassorbono una sensibile aliquota della potenza erogata dal motore.

3.3. MOTO RETROGRADO 37

Figura 3.3: Schema a blocchi di macchine in parallelo

Le considerazioni svolte possono essere facilmente estese al calcolo del rendimento diimpianti contenenti macchine con disposizioni miste, parte in serie e parte in parallelo.

3.3 Moto retrogrado

Consideriamo le semplicissime macchine rappresentate nelle figure che seguono: una carru-cola ruotante attorno ad un asse fisso, sulla quale è avvolta una fune per il sollevamento diun carico ed un piano inclinato sul quale è poggiato un grave. In entrambi i casi si è indicatacon Q la forza resistente, con P la forza motrice.

Figura 3.4: Esempio di macchina semplice

Supponiamo che, a partire da una condizione di funzionamento a regime, la forza motricesi riduca di intensità. Può accadere che, a seguito di tale riduzione, la macchina si arresti e simetta successivamente in movimento in senso opposto a quello normale, sotto l’azione dellaforza Q divenuta motrice; come può accadere che il sistema, arrestatosi per la diminuzionedi intensità della P , rimanga in quiete, comunque si riduca il valore della P , fino al suo


Figura 3.5: Esempio di macchina semplice

annullarsi. É probabile che la carrucola si comporti nel primo modo; mentre è probabile cheil piano inclinato si comporti nel secondo modo. La prima situazione si verifica quando ilrendimento del sistema nel moto diretto è abbastanza elevato, mentre la seconda situazionesi verifica quando il rendimento nel moto diretto è basso.

Quando si verifica la prima situazione diciamo che il sistema ammette moto retrogrado.Ciò premesso, passiamo a considerare una macchina che funzioni in condizione di moto

retrogrado (cioè che si muova, in senso opposto, a quello di funzionamento diretto, sottol’azione della forza che nel moto diretto è la forza resistente); e calcoliamone il rendimentonel moto retrogrado.

Il rendimento nel moto retrogrado η′ è per definizione il rapporto fra il lavoro resistentenel moto retrogrado L′

r ed il lavoro motore nel moto retrogrado L′

m:

η′ =L′

r

L′

m

(3.12)

Tenendo presente che la forza Q, motrice nel moto retrogrado, è la forza resistente nelmoto diretto, e che pertanto, per uguali spostamenti nei due movimenti Lr = L′

m si puòscrivere:

η′ =L′

r

Lr

(3.13)

A sua volta la perdita di rendimento nel moto retrogrado vale:

1 − η′ =L′

p

Lr

(3.14)

dove si è indicato con L′

p il lavoro perduto per attrito nel moto retrogrado.Cerchiamo adesso una relazione fra η ed η′. É comodo passare attraverso la perdita di

rendimento. Si ottiene, dividendo membro a membro:

1 − η′

1 − η=

L′

p

Lp

Lm

Lr

=L′

p

Lp

1

η=

k

η(3.15)

E dopo qualche passaggio:

η′ =η (1 + k) − k

η(3.16)

la quale, noto che sia k, permette di trovare η′ in funzione di η. Dalla precedente risulta, inparticolare, che η′ < 0, ossia che il moto retrogrado è impossibile, se η < k/(1+k). Poichè k

3.3. MOTO RETROGRADO 39

è di norma poco diverso da uno, si giunge alla conclusione che il moto retrogradoè possibile (ossia è η′ ≥ 0) quando il rendimento nel moto diretto è superiore a0, 5 circa. Per valori di η inferiori a 0, 5 non si ha moto retrogrado, ma l’arrestodel dispositivo.

Capitolo 4

Accoppiamento motore-utilizzatore

La maggior parte dei sistemi meccanici comprende un motore, il quale sviluppa forze ocoppie motrici che compiono lavoro positivo, e un utilizzatore (o carico), che sviluppaforze o coppie resistenti, le quali compiono lavoro negativo.

Il motore e l’utilizzatore sono solitamente accoppiati per mezzo di una trasmissionemeccanica.

Si potrebbero citare numerosissimi esempi di sistemi motore-utilizzatore. Si consideri unventilatore: il motore compie un lavoro positivo per vincere la resistenza aerodinamica dellepale in movimento (la coppia resistente). Si consideri un argano che solleva un carico: laforza resistente è costituita dal peso del carico sollevato. Se invece il carico si abbassa, inquesto caso il peso diventa la forza motrice e il momento frenante sviluppato dall’argano èla coppia resistente.

Sia per il motore che per l’utilizzatore, le due grandezze fondamentali sono la coppia Ce la velocità (angolare) ω (nel caso di attuatori e utilizzatori in moto rettilineo si parleràovviamente di forza e velocità lineare). Normalmente queste due grandezze (il cui prodotto,lo ricordiamo, dà la potenza) sono dipendenti l’una dall’altra, pertanto C = C(ω), sia peril motore che per l’utilizzatore. E’ allora possibile rappresentare graficamente la dipendenzadella coppia dalla velocità, ottenendo così la caratteristica meccanica, rispettivamentedel motore o dell’utilizzatore.

4.1 Caratteristica del motore

La caratteristica meccanica del motore è dunque una curva nel piano (C, ω). In Fig. 4.1sono rappresentate, rispettivamente, le caratteristiche dei seguenti motori:

a) motore a combustione interna (ciclo Otto)b) motore a combustione interna (ciclo Diesel)c) motore elettrico asincronod) motore elettrico a corrente continua a eccitazione separata (o a magnete permanente)e) motore elettrico a corrente continua eccitato in serief) motore idraulico.

La velocità di rotazione dipende principalmente da due fattori:

41

42 CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE

Figura 4.1: Caratteristiche meccaniche di alcuni motori

• dalla coppia che è richiesta dal carico;

• dal valore dei parametri di regolazione.

Quando si parla di velocità di un motore senza far riferimento alle condizioni di caricoci si riferisce normalmente alla velocità nominale, ovvero alla velocità per la quale è statoottimizzato il progetto del motore, oppure alla velocità di funzionamento a vuoto,ossia alla velocità assunta dal motore in assenza di carico (ricavabile dall’intersezione dellacaratteristica con l’asse delle ascisse).

La relazione coppia-velocità (caratteristica meccanica) può essere valutata per via teoricao per via sperimentale qualora si disponga di un carico con coppia resistente regolabile (adesempio un freno). Il rilievo sperimentale va effettuato a velocità costante per escluderel’effetto di altri parametri meccanici (inerzia) o elettrici.

Questa caratteristica consente di studiare il comportamento del motore in alcune con-dizioni indipendentemente dalle caratteristiche elettriche sue e di tutto ciò che gli sta amonte.

4.1. CARATTERISTICA DEL MOTORE 43

La curva caratteristica è particolarmente utile per studiare i casi in cui l’azionamentofunziona a regime stazionario, ma può dare qualche informazione anche sui transitori.

Figura 4.2: Esempi di variazione della curva caratteristica. Motore asincrono regolato infrequenza (y = f)

Figura 4.3: Esempi di variazione della curva caratteristica. Motore c.c. regolato in tensione(y = V )

Indichiamo con y (variabile di comando) le eventuali condizioni che possono essere mutatea comando dall’esterno. Al variare di y la curva caratteristica del motore varia. Nei casipiù semplici y può assumere soltanto una piccola serie di valori prefissati, corrispondenti asituazioni di tipo marcia avanti/indietro/arresto; all’estremo opposto, in presenza di variatorielettronici, essa può essere rappresentata ad esempio dalla tensione di alimentazione (o dallaintensità o dalla frequenza della corrente) e, quindi, può assumere con continuità una seriedi valori compresi tra un minimo ed un massimo.


Ovviamente, quando sul rotore (e quindi sull’albero d’uscita del motore) si genera unacoppia motrice Cm sullo statore (e, quindi, sulla parte fissa del motore) si genera una coppiauguale e contraria; a causa di questo fenomeno bisogna sempre prevedere l’ancoraggio dellostatore sul basamento della macchina.

Scelto un verso positivo di rotazione, coppia e velocità assumono il valore positivo seequiverse con esso.

Figura 4.4: Caratteristiche meccaniche dei motori (scala lineare)

Figura 4.5: Caratteristiche meccaniche dei motori (scale entrambe logaritmiche)

A scopo didattico è possibile definire tre tipi ideali di caratteristica meccanica del motore:

• retta verticale: il motore funziona come un generatore di velocità. Questi motorigirano a velocità costante indipendentemente dalla coppia richiesta dal carico (peresempio il motore sincrono alimentato da corrente alternata a frequenza costante, o unmotore in corrente continua o brushless retroazionati in velocità).

4.2. FUNZIONAMENTO DA MOTORE, DA FRENO O DA GENERATORE 45

• retta orizzontale: il motore funziona come un generatore di coppia (ad esempiomotori in corrente continua o brushless comandati in corrente)

• iperbole equilatera: il motore funziona come generatore di potenza (per esempio,un motore in corrente continua con eccitazione in serie o universale approssima questacurva)

Solitamente le curve caratteristiche reali dei motori differiscono da quelle indicate, maalcuni tratti possono approssimarle abbastanza bene.

4.2 Funzionamento da motore, da freno o da generatore

Assegnato un verso positivo per la coppia e la velocità, in generale il motore può trovarsi adover funzionare con valori positivi o negativi di coppia e/o velocità, ossia in uno qualunquedei quattro quadranti del piano cartesiano < Cm, ωm >.

Indicando con Wm = Cmωm la potenza meccanica generata dal motore, si avrà:

• primo e terzo quadrante, Wm > 0: funzionamento da motore

• secondo e quarto quadrante, Wm < 0: funzionamento da freno

Figura 4.6: Azionamento di un ascensore: possibilità di funzionamento

Il passaggio da un quadrante all’altro può avvenire senza soluzione di continuità (inparticolare anche senza variazioni di y), semplicemente al variare del carico resistente, perchènormalmente le curve caratteristiche non sono limitate al primo quadrante.

Esse possono passare dal primo al quarto quadrante attraversando l’asse delle wm, nelpunto di funzionamento a vuoto, mentre possono passare dal primo al secondo quadranteattraversando l’asse delle Cm nel punto di stallo.


In altri casi il passaggio avviene variando y (cioè modificando la curva caratteristica) concontinuità o meno, a seconda delle possibilità offerte dal tipo di azionamento.

Nel primo e nel terzo quadrante il motore funziona dunque come tale, fornendo potenzaal carico, mentre nel secondo e nel quarto quadrante il motore funziona da freno, sottraendopotenza al carico.

In alcune situazioni tale potenza viene dissipata in calore, in altre invece il motore fun-ziona da generatore (poiché le macchine elettriche sono reversibili) e una parte di essa vieneinviata verso la rete, e quindi recuperata, nella misura concessa dai dispositivi interposti tramotore e rete. Si può quindi avere una frenatura dissipativa e una frenatura rigenerativa.

4.3 Campi operativi di un motore

Facendo variare il valore dei parametri per tutti i valori ammissibili, la curva caratteristica simodifica e spazza una porzione del piano < Cm, ωm >. L’area spazzata rappresenta l’insiemedei possibili punti di funzionamento del motore.

Figura 4.7: Campi di lavoro di un motore c.c. Sono indicate anche le zone continuativa eintermittente

É necessario precisare che una porzione di ques’area viene definita zona di funziona-mento continuativo e rappresenta le condizioni nelle quali il motore può funzionare pertempo indefinito.

La restante zona, detta zona di funzionamento intermittente, rappresenta l’insiemedei punti per il quale il motore può funzionare solo per brevi periodi, per evitare un eccessivosurriscaldamento.

I limiti di queste zone dipendono da diversi fattori del motore stesso o dei suoi sistemi diregolazione.

4.4. CURVA CARATTERISTICA DEL CARICO 47

Figura 4.8: Campi di lavoro di un motore asincrono alimentato direttamente da rete

I motori funzionano prevalentemente nel primo e terzo quadrante e le loro caratteristichedi funzionamento sono generalmente simmetriche rispetto all’origine e, quindi, nei cataloghivengono spesso rappresentati solo i campi operativi relativi al primo quadrante.

Alcuni motori sono sprovvisti di sistemi di regolazione ed i loro campi operativi si riduconoa tratti di curve.

4.4 Curva caratteristica del carico

Similmente a quanto visto per il motore, è talvolta possibile o conveniente descrivere il com-portamento del carico attraverso la sua caratteristica meccanica, ossia il legame intercorrentetra la sua velocità ωr e la corrispondente coppia Cr richiesta per mantenerlo in movimento.

Per la scelta dei segni di Cr e ωr si usa una convenzione opposta rispetto aquella impiegata per i motori: Scelto il verso positivo per la velocità ωr il segno di Cr èpositivo quando la coppia esercitata dal carico è resistente, ossia si oppone ad essa; pertantoil carico si comporta effettivamente come tale quando il suo punto di funzionamento si trovanel primo o nel terzo quadrante.

Normalmente la coppia Cr richiesta dal carico è la somma di altri due termini, unocostante e uno crescente con la velocità. La componente predominante è generalmente laprima nelle macchine utensili e nelle macchine di sollevamento e trasporto, mentre è laseconda nelle pompe idrauliche, agitatori, mescolatori.

La curva caratteristica di un carico puramente passivo ovviamente si troverà solo nelprimo e terzo quadrante, passando dall’uno all’altro attraverso l’origine degli assi, punto cherappresenta la tendenza del carico ad arrestarsi in assenza di una coppia motrice applicataad esso.

In presenza di perdite per attrito radente può essere presente una discontinuità nell’orig-ine.

La caratteristica per velocità prossime allo zero assume quel valore di coppia (positiva onegativa) che permette di vincere gli attriti di primo distacco e mettere in moto il carico, inun verso o nell’altro.


Figura 4.9: Funzionamento nei quattro quadranti di un carico

Al crescere di ωr, normalmente cresce anche la coppia resistente Cr; in qualche casotuttavia, limitatamente alla zona di velocità molto basse, si ha dapprima una diminuzionedi Cr, il che può dar luogo ad inconvenienti nel funzionamento.

Carichi di tipo non completamente passivo sono ad esempio quelli in cui interviene l’azionedi pesi che abbassandosi producono lavoro. In questi casi la curva caratteristica passa dalprimo al secondo quadrante in un punto la cui ordinata rappresenta la coppia necessariaa tener fermo il carico e solo in un secondo tempo, per velocità negative sufficientementeelevate, passa dal secondo al terzo quadrante.

É chiaro allora che in generale occorre predisporre un freno, che si inserisce o si disinserisceautomaticamente quando il motore viene spento o riacceso (motori autofrenanti), o cheinterviene almeno quando la velocità si è già annullata (freni di stazionamento)

Le curve caratteristiche del carico possono variare in funzione delle mutate condizioni dilavoro: ad esempio negli apparecchi di sollevamento possono traslare verticalmente a secondadel peso che viene sollevato, in un tornio possono variare al variare del diametro del pezzo inlavorazione. Pertanto si avranno tante curve caratteristiche del carico in relazioni a diversivalori assunti da una variabile z rappresentativa delle diverse condizioni di lavoro possibili(parametro di carico).

4.5 Luogo dei carichi

Analogamente a quanto visto per il motore, è possibile definire il campo operativo delcarico, chiamato comunemente luogo dei carichi. Per luogo dei carichi s’intende dunquel’insieme delle condizioni di possibile funzionamento a regime in cui il carico possa trovarsi.

Il luogo dei carichi è rappresentato nel piano < Cr, ωr > da un’area delimitata da linee,che in generale potranno avere un andamento diverso da quello delle curve caratteristiche.

Ad esempio, tali linee possono essere del tipo a velocità costante (una per la velocità min-

4.6. ACCOPPIAMENTO DIRETTO MOTORE-UTILIZZATORE 49

Figura 4.10: Curva caratteristica di un carico (a) puramente passivo, (b) non puramentepassivo

ima, l’altra per la velocità massima), del tipo a coppia costante, del tipo a coppia crescentecon la velocità, o del tipo a potenza costante.

Il luogo dei carichi è determinato, in generale, dall’insieme dei punti coppia-velocità diregime che si possono determinare nelle diverse situazioni.

4.6 Accoppiamento diretto motore-utilizzatore

In una minoranza di casi il motore è collegato direttamente all’utilizzatore (un esempioclassico è dato da un ventilatore). In tal caso, la condizione di funzionamento a regime sipuò ottenere molto facilmente riportando nello stesso piano le caratteristiche meccanichedel motore e dell’utilizzatore: poiché a regime la coppia motrice deve essere uguale a quellaresistente, le coordinate del punto di intersezione tra le due curve sono proprio i valori dicoppia e di velocità cercati (Fig. 4.12). Ovviamente a regime, in condizioni di accoppiamentodiretto, motore e utilizzatore hanno la stessa velocità.

Nel caso si voglia regolare la velocità di regime del sistema, si dovrà agire sulla variabile diregolazione y già menzionata in precedenza, in modo tale che la caratteristica meccanica delmotore si sposti finchè il punto di intersezione con la curva del carico sia quello desiderato.

La potenza erogata dal motore (che ovviamente coincide con quella assorbita dal carico,essendo il sistema in condizioni di regime), è:

Wm = Cmωm = Crωr = Wr (4.1)


Figura 4.11: Luogo dei carichi

4.7 Accoppiamento motore-utilizzatore mediante ridut-

tore di velocità

In molti casi è conveniente implementare un sistema in cui motore e utilizzatore hannovelocità angolari diverse (tipicamente ωm > ωr), tra loro in rapporto costante. Per realizzareciò, si interpone tra motore e carico un riduttore di velocità, che ha lo scopo di adattarele caratteristiche meccaniche del motore (coppia e velocità) a quelle del carico.

Infatti i motori generalmente possono generare velocità molto superiori a quelle richiestedai carichi, mentre le coppie erogabili sono limitate.

Supponendo di trascurare le perdite di potenza per attrito all’interno del riduttore (ipotesispesso non lontana dalla realtà), l’effetto del riduttore consiste nel ridurre la velocità edamplificare la coppia con lo stesso rapporto:

ωr = τωm (4.2)

Cm = τCr (4.3)

dove ωr e ωm sono la velocità del motore e del carico e Cr e Cm le rispettive coppie; τ èdetto rapporto di trasmissione e generalmente si ha τ < 1.

Le precedenti equazioni si ottengono considerando che, nella situazione ideale di assenza diperdite all’interno del riduttore (η = 1), la potenza erogata dal motore a regime deve essereuguale alla potenza assorbita dall’utilizzatore. Dall’eguaglianza delle potenze (Cmωm =Crωr) si ottengono allora le equazioni precedenti, che dicono come il rapporto tra le coppieapplicate agli alberi di uscita e di ingresso del riduttore sia inversamente proporzionale alrapporto delle rispettive velocità.

L’albero più lento è quindi sottoposto ad una coppia più grande, mentre l’albero piùveloce è sottoposto ad una coppia più piccola.

4.7. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE MEDIANTE RIDUTTORE DI VELOCITÀ51

Figura 4.12: Accoppiamento diretto motore-carico

L’ipotesi di riduttore ideale in molti casi non è lontana dalla realtà, in quanto si possonospesso avere rendimenti molto elevati (superiori a 0,96-0,98).

Se invece le perdite nel riduttore non sono trascurabili, le precedenti equazioni assumonola forma:

Crωr = ηCmωm ⇒ Cr = ηωm

ωr

Cm =η

τCm (4.4)

nel caso di moto diretto, e

Crωrη∗ = Cmωm ⇒ Cr =

1

η∗

ωm

ωr

Cm =1

τη∗Cm (4.5)

nel caso di moto retrogrado (il motore funziona da freno). η e η∗ sono i rendimenti dimoto diretto e di moto retrogrado.

Quanto enunciato rimane valido anche nella situazione, meno frequente, in cui la velocitàdel motore sia inferiore a quella del carico a cui deve essere accoppiato. L’unica differenza,in questo caso, è che τ > 1: si avrà pertanto un moltiplicatore di velocità.


Figura 4.13: a) sistema reale; b) sistema ridotto all’asse motore; c) sistema ridotto all’asseutilizzatore

4.7.1 Riduzione all’asse motore e all’asse utilizzatore

Un modo conveniente di rappresentare l’accoppiamento motore-utilizzatore in presenza diriduttore si basa sulla cosiddetta riduzione, che può essere effettuata all’asse motore,oppure all’asse utilizzatore.

Nel primo caso, il sistema viene rappresentato come un accoppiamento diretto equiva-lente, con motore e utilizzatore che ruotano alla velocità ωm del motore. Il sistema risultasottoposto all’azione di una coppia resistente equivalente C∗

r = τCr, che a regime è pari allacoppia Cm erogata dal motore. La C∗

r è detta coppia resistente ridotta all’asse motore.Nel secondo caso, il sistema viene rappresentato come un accoppiamento diretto equiva-

lente, con motore e utilizzatore che ruotano alla velocità ωr dell’utilizzatore. Il sistema risultaallora sottoposto all’azione di una coppia motrice equivalente C∗

m = Cm/τ , che a regime èpari alla coppia Cr assorbita dall’utilizzatore. La C∗

m è detta coppia motrice ridotta all’asseutilizzatore.

La Fig. 4.13 illustra il concetto di riduzione del sistema.La riduzione del sistema ad un unico asse, sia esso quello motore o quello utilizzatore,

consente di determinare in modo agevole il punto di funzionamento. Da un punto di vistagrafico, la procedura di riduzione consiste nel riportare le caratteristiche meccaniche delmotore e dell’utilizzatore sul medesimo piano (C, ω): il loro punto di intersezione fornirà lavelocità angolare del sistema a regime.

Si consideri ad esempio la Fig. 4.14, ove sono riportate le caratteristiche meccanichedi un motore e di un carico che devono essere accoppiati tramite un riduttore di rapportodi trasmissione τ , e si supponga di voler ridurre il sistema all’asse utilizzatore. Si tratteràallora di riportare nel piano (Cr, ωr) la caratteristica meccanica del motore ridotta all’asseutilizzatore, ovvero il grafico della coppia motrice equivalente C∗

m = Cm/τ in funzione dellavelocità dell’utilizzatore ωr = τωm. Ciò significa che il grafico originario della Cm si modi-ficherà moltiplicando il valore dell’ascissa di ogni suo punto per τ e dividendo per lo stesso

4.7. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE MEDIANTE RIDUTTORE DI VELOCITÀ53

Figura 4.14: Accoppiamento motore-carico con riduttore: determinazione del punto difunzionamento a regime

Figura 4.15: Riduzione della curva caratteristica del motore nel piano del carico

τ il valore della corrispondente ordinata (vedi Fig. 4.15).L’intersezione della curva così ottenuta con la caratteristica meccanica del carico fornisce

il punto di funzionamento a regime nel piano dell’utilizzatore, le cui coordinate darannopertanto la velocità del carico e la coppia assorbita dallo stesso. Il loro prodotto sarà lapotenza assorbita dal carico.

Per determinare velocità, coppia e potenza del motore basterà poi usare le equazioni (4.2)e (4.3).

Lo stesso risultato può essere ovviamente ottenuto riducendo il sistema all’asse motoreanziché all’asse utilizzatore. In questo caso si dovrà riportare la caratteristica del carico nelpiano del motore, dividendo per τ il valore dell’ascissa di ogni punto e moltiplicando per lostesso τ il valore della corrispondente ordinata (vedi Fig. 4.16).

La procedura di riduzione qui descritta può essere anche svolta senza ricorrere ai grafici,eguagliando le formulazioni analitiche delle due caratteristiche meccaniche, avendo cura che


Figura 4.16: Riduzione della curva caratteristica del carico nel piano del motore

Figura 4.17: Curve caratteristiche del motore ridotte al carico rappresentate in diagrammilogaritmici

le grandezze (coppia e velocità) che compaiono nell’equazione risultante risultino riferite allostesso asse.

Se le curve sono riportate in diagrammi logaritmici, poichè moltiplicare o dividere per τequivale ad aggiungere o togliere log τ , queste trasformazioni equivalogono a traslazioni dellecurve caratteristiche lungo rette inclinate di 45 (vedi Fig. 4.17 e Fig. 4.18).

4.7.2 Trasformazione di un moto rotatorio in un moto rettilineo

I concetti sopra esposti rimangono validi anche nel caso (non infrequente) in cui l’utilizzatore,anziché ruotare, si muove di moto rettilineo.

Un esempio classico è costituito da un argano che solleva un carico tramite una fune chesi avvolge su di esso (Fig. 4.19).

In condizioni di regime, la potenza Wm fornita dal motore è uguale alla potenza Wr

assorbita dall’utilizzatore, ovvero:

4.8. FUNZIONAMENTO A REGIME E IN TRANSITORIO 55

Figura 4.18: Curve caratteristiche del carico ridotte al motore rappresentate in diagrammilogaritmici

Cmωm = Frvr (4.6)

da cui:

Cm = Frvr/ωm (4.7)

Il rapporto di riduzione τ = vr/ωm in questo caso non è una grandezza adimensionale, maha le dimensioni di una lunghezza. Esaminando la Fig. 4.19, si vede come esso coincida conil raggio r del tamburo su cui si avvolge la fune, in quanto la relazione tra velocità perifericae velocità angolare è data da: v = ωr.

4.8 Funzionamento a regime e in transitorio

Come già evidenziato, se il carico viene direttamente collegato al motore (presa diretta) leloro velocità coincidono ωr = ωm = ω∗; inoltre, a regime, deve essere Cr = Cm = C∗, ossiail punto di funzionamento del sistema motore-carico è dato dall’intersezione delle due curvecaratteristiche, quella del motore e quella del carico.

Infatti, se la macchina funzionasse a velocità inferiore alla velocità di regime ω∗ allo-ra risulterebbe Cr < Cm, il motore ed il carico accelerebbero fino a raggiungere la con-dizione Cr = Cm. Analogamente, per ω < ω∗ la condizione Cr > Cm, provocherebbe unrallentamento. La condizione di equilibrio è, dunque, possibile solo per ω = ω∗.

Il punto di funzionamento può essere cambiato agendo sulla variabile di comando y,che modifica la caratteristica meccanica del motore, tuttavia esso può variare anche se yresta costante a causa delle possibili variazioni della caratteristica meccanica del carico,rappresentate dalla variabile z, che talvolta assume il significato di grandezza di disturbo, inquanto spesso non è modificabile per effettuare il controllo del movimento.


Figura 4.19: Trasformazione di un moto rotatorio in un moto rettilineo

Se y e/o z variano piuttosto lentamente si può ritenere che la velocità angolare ω e lacoppia trasmessa varino seguendo istante per istante gli spostamenti del punto d’intersezionedelle due curve caratteristiche. In altre parole, per variazioni lente si può ipotizzare che ilsistema passi attraverso una sequenza di condizioni di regime.

Per variazioni più rapide bisogna invece tale ipotesi non è più valida, ed è necessariostudiare il sistema in condizioni di transitorio meccanico.

Consideriamo, ad esempio, il caso che in un certo istante motore e carico direttamenteaccoppiati (ma, come vedremo, quanto segue vale anche per accoppiamento con riduttorequalora si considerino le coppie e le inerzie ridotte ad un medesimo asse) abbiano velocità ωdiversa da quella di regime.

Le due coppie Cm e Cr corrispondenti al medesimo valore della velocità ω differiscono tradi loro della quantità dovuta alle coppie di inerzia del motore e del carico (vedi Fig. 4.20).

L’equazione differenziale che governa il transitorio meccanico di un sistema motore-utilizzatore è data da:

Cm − Cr = (Jm + Jr)dω

dt(4.8)

Quindi il motore e il carico accelerano con una accelerazione angolare data da:

dω

dt=

Cm − Cr

(Jm + Jr)(4.9)

4.9. STABILITÀ DEL FUNZIONAMENTO A REGIME 57

Figura 4.20: Accoppiamento motore-carico

Integrando questa equazione differenziale si ottiene l’andamento della velocità angolare ωdurante il transitorio.

Si ricordi che, in presenza di rapide variazioni dell’accelerazione, conseguenti a rapidevariazioni di y o z, non si possono in generale più trascurare i transitori interni al motoreed al carico, e di conseguenza bisogna schematizzare meglio il motore attraverso equazioniche permettano di evidenziare i transitori elettrici, e schematizzare in modo altrettantoapprofondito il carico mediante modelli matematici di ordine più elevato.

4.9 Stabilità del funzionamento a regime

Analizzando il transitorio meccanico nell’intorno di un punto di funzionamento a regime sipuò valutare se esso sia stabile o meno.

Facciamo riferimento alla Fig. 4.21, dove sono tracciate la curva caratteristica di unmotore e quelle di tre diversi carichi.

I due carichi descritti dalle curve Cr1 e Cr3 hanno un unico punto di funzionamento aregime (intersezione tra Cm e Cr), che è stabile perché un eventuale aumento della veloc-ità farebbe aumentare la coppia resistente più di quella motrice, mentre una diminuzioneprodurrebbe l’effetto opposto.

Invece, per il carico descritto dalla curva Cr2 si hanno due possibili condizioni di fun-zionamento a regime, rappresentate rispettivamente dai punti A e B di intersezione dellecaratteristiche meccaniche del motore e del carico.

É facile verificare che il punto A rappresenta una condizione di funzionamento stabile:difatti se la velocità diminuisce risulta Cm > Cr, l’accelerazione risulta positiva e la velocitàtorna ad aumentare, viceversa se la velocità aumenta risulta Cm < Cr, l’accelerazione risultanegativa e la velocità torna a diminuire.

Invece nel punto B il funzionamento è instabile: basta un piccolo aumento, o unadiminuzione, di ω perché le coppie producano una accelerazione che tende ad allontanareulteriormente la velocità ω dal valore di regime.

La condizione di stabilità o di instabilità non dipende esclusivainente dalla caratteristica


Figura 4.21: Stabilità del funzionamento a regime

meccanica del motore: ad esempio il punto B risulterebbe stabile se la curva caratteristicadel carico, invece di essere quella indicata con Cr2 fosse quella indicata con Cr3 in figura.

La regola che si ricava da quanto esposto è che il punto considerato è stabile se lapendenza della curva Cm(ω) è inferiore a quella della curva Cr(ω), instabile nelcaso opposto.

Con riferimento alla Fig. 4.21, possiamo anche osservare che il motore si può avviare pergli utilizzatori rappresentati dalle curve Cr1 e Cr3 ma non nel caso della curva Cr2. Infatti,in questo caso per ω = 0 la coppia resistente supera quella motrice.

Tuttavia anche in questo caso, qualora la macchina venga avviata con qualche mezzoesterno in modo che superi il punto B, essa si porterà a funzionare correttamente nel puntoA.

4.10 Transitorio e tempo di avviamento

Consideriamo un semplice caso in cui un carico sia destinato a funzionare a velocità costante.Il motore, avviato da fermo all’istante t = 0, impiegherà un certo tempo tavv a raggiungerela velocità di regime ω. Per determinare il tempo impiegato a raggiungere tale condizione ènecessario studiare il transitorio ed integrare un’equazione differenziale, ottenendo:

tavv =

tavv∫

0

dt =

ω∫

0

1

ωdω =

ω∫

0

Jm + Jr

Cm − Cr

dω (4.10)

Sia la coppia motrice che quella resistente possono dipendere dalla velocità rendendomolto difficile o impossibile l’integrazione per via analitica. Quindi l’integrale è spessocalcolato per via numerica.

La Fig. 4.22 illustra, come esempio, il caso di un motore asincrono alimentato dalla rete,direttamente collegato ad un carico avente coppia crescente con la velocità (ad esempio una

4.11. IL TRANSITORIO IN UN SISTEMA MOTORE-UTILIZZATORE CON RIDUTTORE DI VELOCIT

Figura 4.22: Calcolo del tempo di avviamento: esempio

pompa centrifuga). Motore e carico a regime raggiungono la velocità ω = ∆ω1 + ∆ω2 +∆ω3 + ∆ω4.

Si può allora pensare di dividere il tempo di avviamento complessivo in brevi intervalli,durante i quali le variazioni della coppia motrice e della coppia resistente sono piccole: talicoppie possono quindi essere supposte costanti in ogni intervallo, e di conseguenza il tempo∆ti necessario per ottenere la variazione di velocità ∆ωi può essere calcolato come:

∆ti ≈ ∆ωiJm + Jr

Cm,i − Cr,i

(4.11)

Il tempo di avviamento si ottiene sommando la durata di tutti gli intervalli:

tavv ≈∑

i

∆ti ≈ (Jm + Jr)∑

i

∆ωi

Cm,i − Cr,i

(4.12)

Si noti che non è necessario che i vari intervalli ∆ω siano identici. Ovviamente laprecisione aumenta con il numero degli intervalli considerati.

4.11 Il transitorio in un sistema motore-utilizzatore con

riduttore di velocità

Si voglia ora studiare il transitorio in un sistema in cui motore e utilizzatore sono accoppiatida una trasmissione meccanica comprendente uno o più stadi. All’uopo si consideri l’esempioraffigurato nella Fig. 4.23: il nostro obiettivo è di ottenere l’equazione differenziale cherappresenta la dinamica del sistema, in modo da poter calcolare l’accelerazione del carico,giungendo anche alla importante definizione di inerzia ridotta.

Il sistema comprende un motore collegato ad un argano di sollevamento tramite unacoppia di ruote di frizione aventi raggi r1 e r2. Sul tamburo T dell’argano è avvolta una funeche porta ad una estremità la massa m da sollevare.


Figura 4.23: Analisi delle forze in un sistema motore-utilizzatore durante il transitorio

Sia C1 la coppia erogata dal motore, e si supponga che sul tamburo, oltre al momentocreato dal peso della massa m, agisca una coppia resistente C2. Siano J1 e J2 i momenti diinerzia rispettivamente del motore e del tamburo.

Propedeutica alla scrittura delle equazioni dinamiche del sistema è la definizione di unverso positivo per gli spostamenti (siano essi traslazioni o rotazioni) dei vari elementi delsistema.

Nel nostro caso, fissiamo come positivo il verso della rotazione dell’asse motore, e quindidella velocità ω1 e dell’accelerazione ω1 della ruota 1. La ruota 2, che ha verso di rotazione dis-corde, avrà quindi velocità ω2 e accelerazione ω2 negative. Per quanto riguarda la traslazionedella massa m, fissiamo come positivo il verso dal basso in alto.

Il rapporto di trasmissione tra l’asse 1 e l’asse 2 può essere facilmente ricavato osservandoche nel punto di contatto le due ruote di frizione devono avere in valore assoluto la stessavelocità periferica v = ω1r1 = ω2r2. Pertanto il rapporto di trasmissione vale:

4.11. IL TRANSITORIO IN UN SISTEMA MOTORE-UTILIZZATORE CON RIDUTTORE DI VELOCIT

τ = ω2/ω1 = r1/r2 (4.13)

τ risulta essere anche il rapporto tra le accelerazioni angolari:

τ = ω2/ω1 = r1/r2 (4.14)

Il rapporto di trasmissione tra la massa (in moto rettilineo) e il tamburo (in moto rota-torio) è invece dato, come si è visto in precedenza, dal raggio del tamburo, che è pari a D/2.Si ha pertanto:

z = ω2D

2(4.15)

z = ω2D

2(4.16)

Considerando per semplicità prive di attrito le reazioni vincolari dei supporti dei dueassi, possiamo ora scrivere le equazioni dinamiche del sistema, in particolare le equazioni diequilibrio alle rotazioni per gli assi 1 e 2.

L’equazione di equilibrio alle rotazioni secondo Newton per l’asse 1 è data da:

C1 − Fr1 − J1ω1 = 0 (4.17)

ove C1 è la coppia motrice, F la componente tangenziale della forza di contatto (aderenza)tra le ruote di frizione, −J1ω1 la coppia di inerzia.

Si noti che le reazioni vincolari nei supporti e la componente normale N della forza dicontatto tra le ruote di frizione non danno contributo all’equazione dei momenti, in quantole loro rette di azione passano per l’asse e dunque il loro braccio è nullo.

Si presti inoltre attenzione al segno di ognuno dei termini della equazione (4.17), de-terminati considerando positivo il verso della coppia C1 e della accelerazione angolare ω1,concorde con essa. La coppia d’inerzia −J1ω1 ha allora segno negativo per definizione, mentreil momento −Fr1 ha il segno negativo perché discorde con C1.

L’equazione di equilibrio alle rotazioni secondo Newton per l’asse 2 è data da:

C2 − Fr2 + J2ω2 + mgD

2+ mz

D

2= 0 (4.18)

Per determinare il segno dei termini in questa equazione, si consideri il fatto che l’accel-erazione angolare ω2 dell’asse 2 è discorde con ω1. La coppia d’inerzia, che ha sempre versoopposto all’accelerazione angolare, sarà allora concorde con ω1, pertanto il termine J2ω2 sitroverà ad avere segno positivo. Lo stesso ragionamento vale per la coppia d’inerzia generatadalla forza peso, ovvero mz D

2. C2 ha verso positivo perché, essendo la coppia resistente, ha

verso discorde con ω2 e quindi è concorde con ω1.Dalla (4.18) ricaviamo F :

F =C2 + J2ω2 + mgD

2+ mz D

2

r2

(4.19)

che poi andiamo a sostituire nella (4.17), ottenendo:


C1 −r1

r2

(C2 + J2ω2 + mgD

2+ mz

D

2) − J1ω1 = 0 (4.20)

Per impostare la procedura di riduzione all’asse motore, conviene portare al secondomembro i termini che contengono le grandezze cinematiche (in questo caso le accelerazioniω1, ω2 e z), ottenendo:

C1 −r1

r2

C2 − mgD

2

r1

r2

= J1ω1 + J2ω2r1

r2

+ mzD

2

r1

r2

(4.21)

Effettuiamo ora la riduzione all’asse motore, ovvero esprimiamo tutte le accelerazioni checompaiono al secondo membro in funzione della ω1, secondo la (4.14) e la (4.16). Si ottiene:

C1 − C2τ − mgτD

2= (J1 + J2τ

2 + mτ 2(D

2)2)ω1 (4.22)

da cui finalmente l’espressione dell’accelerazione dell’asse motore:

ω1 =C1 − C2τ − mgτ D

2

J1 + J2τ 2 + mτ 2(D2)2

=Ceq,1

Jeq,1

(4.23)

Si noti che ω1 può essere ottenuta come il rapporto tra la coppia equivalente ridottaall’asse motore Ceq,1 = C1 − C2τ − mgτ D

2e l’inerzia equivalente ridotta all’asse

motore Jeq,1 = J1 + J2τ2 + mτ 2(D

2)2.

Ai fini del calcolo dell’accelerazione angolare dell’asse motore, l’intero sistema è pertantoequivalente ad un unico corpo rigido rotante attorno all’asse, soggetto all’azione della coppiaequivalente Ceq,1 e avente momento di inerzia equivalente Jeq,1. Si dice allora che il sistemaè stato ridotto all’asse motore.

La procedura di riduzione può ovviamente essere effettuata rispetto ad un altro asse delsistema, diverso dall’asse motore. In generale:

• la coppia equivalente si ricava sommando algebricamente tutte le coppie e mo-menti moltiplicati per il rapporto di trasmissione fra il loro asse e l’asserispetto al quale viene effettuata la riduzione

• l’inerzia equivalente si ottiene invece sommando tutti i momenti di inerzia molti-plicati per il quadrato del rapporto di trasmissione fra il loro asse e l’asserispetto al quale viene effettuata la riduzione.

Vediamo infatti che riducendo il sistema dell’esempio all’asse 2, l’accelerazione angolareω2 è data da:

ω2 =C1τ − C2τ

2 − mgτ 2 D2

J1 + J2τ 2 + mτ 2(D2)2

=C1/τ − C2 − mgD

2

J1/τ 2 + J2 + m(D2)2

=Ceq,2

Jeq,2

(4.24)

e quindi può essere ottenuta applicando le regole enunciate sopra, tenuto conto del fattoche il rapporto di trasmissione dell’asse 1 rispetto all’asse 2 è 1/τ .

La riduzione può essere effettuata anche rispetto a z, ovvero all’asse verticale di movi-mento della massa. In questo caso i rapporti di trasmissione degli assi 1 e 2 rispetto a z sono2/Dτ e 2/D; l’accelerazione lineare z è allora:

4.12. EFFETTI DELLA VARIAZIONE DEL RAPPORTO DI TRASMISSIONE 63

z =C1

2Dτ

− C22D− mg

J1(2

Dτ)2 + J2(

2D

)2 + m=

Feq,z

meq,z

(4.25)

Ovviamente in questo caso, trattandosi di un’accelerazione lineare, si avrà una forzaequivalente e una massa equivalente ridotte all’asse z.

Anche il transitorio meccanico può essere studiato riconducendosi al caso di accoppia-mento diretto, pur di sostituire ai momenti di inerzia reali i momenti di inerzia ridotti. Taleriduzione, come visto, avviene secondo il quadrato del rapporto di trasmissione.

L’equazione di equilibrio dinamico ridotta all’albero motore è dunque data da:

Cm − C∗

r = (Jm + J∗

r )dωm

dt(4.26)

ossia

Cm − τCr =(

Jm + τ 2Jr

) dωm

dt(4.27)

mentre la stessa equazione, ridotta all’albero condotto, diviene:

C∗

m − Cr = (J∗

m + Jr)dωr

dt(4.28)

ossiaCm

τ− Cr =

(

Jm

τ 2+ Jr

)

dωr

dt(4.29)

Come considerazione conclusiva, si può osservare che, benché nella maggior parte dei casiil momento di inerzia dell’utilizzatore sia più grande di quello del motore, nell’espressionedell’inerzia equivalente ridotta all’asse motore esso compare moltiplicato per il quadrato delrapporto di trasmissione, quindi per una quantità che può essere molto minore di 1. Ciòcomporta che in parecchi casi il contributo del momento di inerzia dell’utilizzatore possaessere trascurato rispetto a quello dell’inerzia del motore.

4.12 Effetti della variazione del rapporto di trasmissione

Si vogliano ora studiare gli effetti di una variazione di τ sul punto di funzionamento aregime di un sistema motore-utilizzatore. Supponiamo di avere effettuato la riduzione all’asseutilizzatore, e consideriamo motori con diverse caratteristiche meccaniche.

Motore generatore ideale di velocità

In Fig. 4.24 (diagramma logaritmico) è rappresentata una generica curva caratteristica di unutilizzatore Cr, nonché le curve caratteristiche C∗

m di un motore generatore ideale di velocità,ridotte all’asse utilizzatore, in corrispondenza di diversi valori di τ .

In questo caso la velocità ωm, del motore è fissa mentre, a seconda del valore di τ , la C∗

m

è data da una serie di segmenti verticali nel piano < Cr, ωr >, corrispondenti ai vari valoridi ωr = τωm. Si noti che l’ampiezza di tali segmenti diminuisce all’aumentare di τ , essendoC∗

m,max = Cm,max/τ .


Figura 4.24: Effetto della variazione di τ - motore generatore ideale di velocità

Si vede allora che la velocità di regime del carico aumenta all’aumentare di τ (almenofinché la coppia massima ridotta non scende sotto quella richiesta dal carico: dopodiché nonc’è più condizione di regime).

In questo caso, quindi, se si vuole modificare la velocità di regime del carico può essereutilizzato un cambio di marce, ovvero un dispositivo che permette di scegliere il rapportodi trasmissione fra un numero finito di valori.

Motore generatore ideale di coppia

Nel caso rappresentato in Fig. 4.25 la Cr è uguale a quella del caso precedente, ma il motoreè un generatore ideale di coppia, con curva caratteristica data da un segmento orizzontale,di ampiezza crescente all’aumentare di tau (in quanto ω∗

m,max = τωm,max). In questo casoall’aumentare di τ diminuisce la coppia C∗

m, per cui la velocità di regime del carico aumentaal diminuire di τ e si diminuisce all’aumentare di τ (almeno finché la velocità del cariconon supera la velocità massima erogabile dal motore, dopodiché non c’è più condizione diregime).

Anche in questo caso, quindi, se si vuole modificare la velocità di regime del carico si puòutilizzare un cambio di marce, con l’avvertenza che per aumentare ω occorre diminuire τ .

Motore generatore ideale di potenza

Nel caso rappresentato in Fig. 4.26 il motore è un generatore ideale di potenza, con curvacaratteristica inclinata di -45. In questo caso al variare di τ , la curva caratteristica C∗

m

trasla su se stessa, e di conseguenza la velocità di regime del carico ωr non varia (varia soloquella del motore ωm).

In questo caso un cambio di marce è perfettamente inutile. Questo è ciò che accade, adesempio, nei veicoli azionati con un motore in c.c. eccitato in serie, come i tram, che infattinon hanno cambio di marce.

4.13. CRITERI DI VERIFICA E DI SCELTA DEL MOTORE E DEL RIDUTTORE 65

Figura 4.25: Effetto della variazione di τ - motore generatore ideale di coppia

Motore con caratteristica generica

Nel caso generale il motore ha una curva caratteristica complessa. Spesso, tuttavia, è pos-sibile suddividere approssimativamente la curva in varie zone di funzionamento: a coppiacostante, a potenza costante e a velocità costante. L’effetto sulla velocità di regime dellavariazione di τ è allora ricavabile considerando i tre casi visti in precedenza. Con riferimentoalla Fig. 4.27, si può osservare come all’aumentare di τ la velocità di regime del carico ωr

dapprima aumenti, poi raggiunga un valore massimo e infine diminuisca.

4.13 Criteri di verifica e di scelta del motore e del ridut-

tore

Tra le problematiche di natura ‘pratica’che si incontrano in ambiente industriale, due sonoparticolarmente importanti:

• la verifica della taglia del motore di una macchina funzionante in condizioni specificate;

• la scelta del motore e del riduttore di velocità adatti a movimentare una macchina incondizioni prefissate.

La prima di queste operazioni (verifica) è più semplice della seconda e può essere svoltain maniera certa ed automatica. Al contrario l’operazione di scelta è più complicata, puòrichiedere scelte soggettive e talvolta deve venire svolta in forma iterativa eseguendo i seguentipassi:

1. svolgere un’analisi del sistema;

2. in base ai risultati del passo precedente effettuare una scelta del motore e del riduttore;

3. verificare l’ammissibilità della scelta;


Figura 4.26: Effetto della variazione di τ - motore generatore ideale di potenza

4. se la verifica non è positiva, ritornare al punto 1 o 2 modificando le scelte ed eseguendonuove verifiche ripetendo queste operazioni finchè esse non siano positive.

L’operazione di verifica consiste essenzialmente nel controllare che il campo operativodel motore copra quello del carico, sia per quanto riguarda le condizioni di regime che quelledi transitorio.

In particolare, occorre verificare che:

• per ogni condizione di funzionamento, il punto coppia-velocità sia all’interno del campooperativo intermittente,

• i valori nominali di coppia e velocità stiano all’interno del campo operativo continu-ativo.

Per quanto riguarda la scelta, va innanzitutto osservato che essa riguarda non solo ilmotore, ma anche il riduttore di velocità.

L’operazione di scelta del gruppo motore-riduttore prevede di analizzare la macchina edipotizzare una o più soluzioni da verificare.

Nei paragrafi seguenti vengono descritti i criteri di scelta del gruppo motore-riduttore aseconda della natura del carico da movimentare. Si possono prevedere i seguenti casi:

1. Carichi a velocità costante

2. Carichi statici

In questo caso il carico si muove a velocità quasi costante o variabile con lentezza,cosicché le azioni inerziali non esistono o sono trascurabili rispetto alle altre (ovverorispetto alle coppie resistenti).

3. Carichi dinamici

Le variazioni di velocità sono di frequenza, e soprattutto di intensità tale, che le coppiedi inerzia non possono essere trascurate rispetto alle coppie resistenti.

4.14. SCELTA DEL MOTORE E DEL RIDUTTORE PER CARICHI A VELOCITÀ COSTANTE67

Figura 4.27: Effetto della variazione di τ - motore con caratteristica generica

4.14 Scelta del motore e del riduttore per carichi a ve-

locità costante

In molte situazioni il carico funziona a velocità fissa e richiede una coppia costante. Ilriduttore migliore è quello che consente di utilizzare il motore di taglia inferiore. La taglia,detta più propriamente potenza nominale, è la potenza che il motore può erogare in manieracontinuativa.

Nel caso di carichi a velocità costante la scelta più ovvia è quella di scegliere un motoreche, almeno approssimativamente, sia un generatore ideale di velocità.

La procedura di scelta prevede i seguenti passi:1) individuata la condizione di funzionamento più gravosa (coppia resistente massima) si

identifica il valore di coppia resistente Cr e si calcola la potenza resistente Wr = Crωr chedeve essere fornita;

2) La taglia del motore si sceglie in maniera che la potenza nominale sia superiore a quellaresistente, in modo da tener conto del rendimento del riduttore:

Wm ≥ Wr/η (4.30)

3) Il rapporto di riduzione si calcola infine dal rapporto tra la velocità del carico e quellanominale del motore:

τ = ωr/ωm (4.31)

.A seconda dei motori e dei riduttori disponibili si possono individuare più gruppi motore-

riduttore adatti. La scelta definitiva va fatta con criteri economici o analizzando altri fattoriquali, ad esempio, il tempo di avviamento.

Quando la velocità del carico lo consente, si può valutare la possibilità di eliminare ilriduttore di velocità, assumendo, perciò τ = 1.


In generale si deve comunque tener conto delle seguenti limitazioni::

• la curva di coppia motrice non è perfettamente verticale

• non sempre esisterà in commercio un riduttore il cui valore di τ è quello richiesto.

4.15 Scelta del motore e del riduttore per carichi statici

Definiamo statici quei carichi che funzionano a velocità pressoché costante o lentamentevariabile; pertanto le azioni inerziali non esistono o sono di entità trascurabile rispetto allealtre.

La scelta del gruppo motore-riduttore si basa sostanzialmente sull’idea che il cam-po operativo del motore, ridotto all’asse utilizzatore, deve interamente sovrap-porre il campo operativo del carico (si fa generalmente riferimento al campo operativocontinuativo).

Questa idea, descritta in dettaglio nel paragrafo successivo, prende il nome di adatta-mento statico dei campi operativi.

4.15.1 Adattamento statico dei campi operativi

Come già detto, normalmente tra motore e carico è previsto un riduttore di velocità, datoche normalmente il carico richiede coppie alte e velocità basse rispetto a quanto fornito damotori di pari potenza.

Quindi se cercassimo di sovrapporre i campi di lavoro di motore e carico senza interporreun riduttore di velocità ci troveremmo facilmente in una situazione come quella rappresentatain figura 4.28

Figura 4.28: Campi di lavoro di motore e carico a confronto

L’utilizzo di un riduttore di velocità comporta, come sappiamo, una trasformazione dellecurve caratteristiche nel passaggio dal piano del motore < Cm, ωm > al piano dell’utilizzatore< Cr, ωr > e viceversa.

4.15. SCELTA DEL MOTORE E DEL RIDUTTORE PER CARICHI STATICI 69

Figura 4.29: Adattamento statico del campo operativo del motore per mezzo di riduttore divelocità

Figura 4.30: Necessità di scelta di un motore con potenza esuberante

Per quanto riguarda i campi operativi, si deve osservare che, nella procedura di riduzione,le curve che delimitano il campo di funzionamento del motore e il luogo dei carichi subisconolo stesso tipo di trasformazioni illustrate per le curve caratteristiche. In particolare, neidiagrammi in scala logaritmìca (che vengono usati di preferenza in questa procedura), talicurve traslano nella direzione a −45 di una quantità corrispondente al valore di τ .

La Fig. 4.29 illustra la procedura di adattamento statico, che può essere schematizzatanei seguenti passi:

1. si calcola la potenza massima richiesta dal carico. Essa sarà data da Wr = Crωr,max;

2. nel piano < C,ω > si traccia la retta inclinata a −45 passante per il punto del luogodei carichi a potenza massima. Tale retta è il luogo dei punti di potenza pari a Wr;

3. per tener conto del rendimento del riduttore (η < 1), la potenza nominale richiesta almotore sarà data almeno da Wm = ηWr. Si traccia nel piano < C,ω > la retta Wm;


Figura 4.31: Ricoprimento del luogo dei carichi usando un cambio di marce -MODIFICARE FIGURA!!!

4. si effettua la scelta del motore in modo tale che il punto di potenza massima delsuo campo operativo si trovi sulla retta Wm. In tal modo, si è scelto un motore ditaglia (potenza nominale) Wm, che in genere non ricoprirà il luogo dei carichi, essendotipicamente Cm < Cr e ωm,max > ωr,max;

5. il ricoprimento del luogo dei carichi si effettua traslando il campo operativo del motorelungo la retta Wm. L’entità della traslazione determina il valore di τ del riduttore;

6. la scelta di τ non è univoca, potendo collocarsi fra un valore τmax, corrispondenteall’eguaglianza delle velocità massime di motore e carico con un surplus di coppia, eun valore τmin, corrispondente all’eguaglianza delle coppie massime di motore e caricocon un surplus di velocità.

In formule, dovrà essere:

ωm,max ≥ ωr,max

τ⇒ τ ≥ τmin =

ωr,max

ωm,max

(4.32)

Cm,max ≥ τCr,max ⇒ τ ≤ τmax =Cm,max

Cr,max

(4.33)

E’ evidente che per un buon adattamento statico, ovvero per avere un buon ricoprimentodei campi operativi senza eccessivi esuberi di potenza, è necessario scegliere un tipo di motoreil cui campo di lavoro abbia, almeno approssimativamente, la stessa forma del luogo deicarichi. Non rispettando questa regola si è costretti a scegliere un motore di taglia eccessiva,con un corrispondente aumento dei costi.

La Fig. 4.30 illustra quanto affermato: in questo caso il motore ha un campo operativo acoppia costante, mentre il luogo dei carichi è in parte a coppia costante, in parte a potenzacostante. Non esiste allora alcun valore di τ che permetta il ricoprimento completo del luogodei carichi senza esubero di potenza; si dovrà quindi necessariamente utilizzare un motore di

4.16. SCELTA DEL MOTORE E DEL RIDUTTORE PER CARICHI DINAMICI 71

coppia nominale C′

m1 e velocità nominale ωr,max, con conseguente inutilizzo di buona partedel campo operativo del motore stesso (il triangolo in alto a destra).

E’ questo il motivo per cui, ad esempio, nelle macchine utensili gli assi ed il mandrinosono azionati da motori distinti: gli assi hanno infatti un luogo dei carichi a coppia costante,il mandrino a potenza costante.

4.15.2 Cambi di velocità

Per realizzare una buona sovrapposizione dei campi operativi di motore e carico, quandoquesti abbiano forma diversa, si può impiegare un variatore meccanico di velocità di tipo agradini, detto brevemente cambio di velocità o cambio di marce.

Si veda la Fig. 4.31: il campo di funzionamento del motore è a coppia costante, mentre illuogo dei carichi è prevalentemente a potenza costante. Se viene utilizzato un unico valore diτ , il motore richiesto presenterà avere una notevole esuberanza di potenza (curva tratteggiatain figura).

Per ottenere una prima sensibile riduzione della potenza del motore, basterebbe allora uncambio di velocità con due sole marce, che darebbero luogo a due distinti campi operativi,capaci, nel loro insieme, di ricoprire l’intero luogo dei carichi.

Ulteriori riduzioni della potenza installata si possono ottenere aumentando il numero dimarce, sino ad arrivare, come limite, al caso di un variatore meccanico continuo, chepermette di minimizzare la potenza richiesta al motore.

Rispetto ad un variatore continuo, i cambi di marcia hanno il difetto di non consentireuna variazione continua del rapporto di trasmissione, ma hanno una serie di vantaggi:

• semplicità di costruzione

• lunga durata

• notevole capacità di carico

• rendimento elevato

• basso costo

per cui vengono spesso preferiti ai variatori continui.

4.16 Scelta del motore e del riduttore per carichi dinam-

ici

Un carico è definito dinamico se le sue variazioni di velocità sono tali da generare coppiedi inerzia non più trascurabili rispetto alle coppie resistenti. La scelta del gruppo motore-riduttore per un carico dinamico è un argomento vasto e complesso, per il quale si preferiscerimandare il lettore interessato a testi più specialistici, mentre in questa sede saranno solodescritti i principi generali della procedura di scelta.

Si osservi innanzitutto che, a differenza di quanto avviene per i carichi statici, per icarichi dinamici gioca un ruolo fondamentale la legge del moto, con i relativi diagrammi di


Figura 4.32: Legge di velocità trapezoidale

velocità ed accelerazione. In certi casi tale legge sarà assegnata, in altri è possibile sceglierlao perlomeno modificarne i parametri, il che consente di adottare un motore di taglia minore.

A titolo di esempio, si consideri il caso di un carico costituito da un posizionatore auto-matico, per il quale è stata definita una legge di velocità trapezoidale (Fig. 4.32). Il valoredella pendenza delle rampe del trapezio determina il valore dell’accelerazione e della decel-erazione, e di conseguenza le azioni inerziali sul sistema, influendo quindi sulla scelta delgruppo motore-riduttore.

Una volta scelta la legge di moto, si dovrà selezionre il motore tra quelli di taglia minima,nonché il riduttore che minimizzi la coppia.

Nel caso di carichi dinamici movimentati con cicli di periodo T , assume particolare im-portanza la definizione della coppia nominale, ovvero la coppia che può essere erogata inmaniera continuativa senza provocare surriscaldamenti del motore. Per motori elettrici, ilvalore di questa coppia (detta anche ‘coppia termica’) è assunto pari alla coppia quadraticamedia, indicata con RMS (Root Mean Square) e definita da:

Crms =

√

1

T

∫ T

0C2(t)dt (4.34)

Le condizioni che devono essere soddisfatte nella scelta del gruppo motore-riduttore percarichi dinamici sono pertanto le seguenti:

1. la massima coppia istantanea erogabile dal motore deve essere maggiore o uguale allasomma della coppia resistente e delle coppie di inerzia, ridotte all’asse motore:

Cistm,max ≥

∣

∣

∣

∣

(Jm

τ+ τJr)ωr + τCr

∣

∣

∣

∣

(4.35)

2. la coppia nominale del motore deve essere maggiore o uguale alla coppia RMS delcarico, ovviamente ridotta all’asse motore:

Cnomm ≥ τCr,rms (4.36)

4.16. SCELTA DEL MOTORE E DEL RIDUTTORE PER CARICHI DINAMICI 73

3. la velocità massima del motore, ridotta al carico, deve essere maggiore o uguale diquella richiesta dal carico:

ωm,max ≥ 1

τωr,max (4.37)

4. la taglia (potenza nominale) del motore va scelta in modo tale che il prodotto dellasua coppia nominale per la velocità massima sia maggiore o uguale alla potenza RMSrichiesta dal carico, a seguito dell’azione resistente e delle azioni inerziali:

Cnomm ωm,max ≥ (Cr + Jrωr)rms ωr,max (4.38)

Il problema è abbastanza complesso, perché alcuni parametri presenti nelle equazioniprecedenti (ad esempio Jm) dipendono dal motore, e quindi non sono noti finché non è stataeffettuata una scelta; inoltre, come si è già visto, anche la legge di moto ha la sua influenza;infine la coppia massima del motore dipende in genere dalla velocità. E’ quindi necessarioadottare una procedura iterativa di scelta e successiva verifica, secondo i seguenti passi:

1. scegliere, quando possibile, una legge di moto opportuna

2. effettuare una prima scelta del motore e riduttore secondo un certo criterio (di solitol’obiettivo è quello di ridurre la coppia RMS)

3. verificare che la scelta effettuata rispetti tutti i vincoli sopra elencati; in caso contrario,ritornare ai passi precedenti

4.16.1 Adattamento dinamico del motore al carico

L’adattamento dinamico del motore al carico consiste nella scelta del valore del rapportodi trasmissione che consente di ottimizzare il transitorio, nel senso di garantire al sistemale migliori prestazioni dinamiche, ovvero la massima facilità di variazione della velocitàdel carico. E’ pertanto evidente che il valore ottimo di τ sarà quello che rende massimal’accelerazione del carico.

Consideriamo per brevità solamente il caso in cui la coppia resistente sia trascurabilerispetto alla coppia di inerzia, cioè il carico sia puramente inerziale: Cr = 0 (per il casogenerale valgono comunque le medesime considerazioni).

Dalla equazione dinamica (4.27), che qui riscriviamo per comodità:

Cm − τCr =(

Jm + τ 2Jr

) dωm

dt(4.39)

riducendo all’asse utilizzatore e ponendo Cr = 0 si ottiene:

Cm =(

Jm

τ+ τJr

)

dωr

dt(4.40)

da cui:

dωr

dt=

1Jm

τ+ τJr

Cm (4.41)


Per una prefissata coppia motrice, Il valore ottimo di τ , che rende massima l’accelerazionedel carico, è quello che minimizza la quantità a denominatore del secondo membro. Talevalore si ricava quindi imponendo:

d

dτ

(

Jm

τ+ τJr

)

= 0 (4.42)

ossia:

−Jm

τ 2+ Jr = 0 (4.43)

da cui:

τott =

√

Jm

Jr

(4.44)

Si vede quindi che in corrispondenza di questo valore τott l’inerzia del motore ridotta alcarico eguaglia quella del carico. Si è così realizzato il cosiddetto adattamento dinamicodel motore al carico.

La condizione ottima, da un punto di vista dinamico, è dunque quella in cui i momentid’inerzia del motore e del carico ridotti al medesimo asse sono uguali : le energie cinetichedel motore e del carico sono uguali tra loro, sicchè della potenza motrice metà servirà adaccelerare il motore mentre l’altra metà attraverserà il riduttore e andrà ad accelerare ilcarico.

In tale condizione l’accelerazione assume il suo valore massimo, che risulta:

(dωr

dt)max =

Cm

2√

JmJr

(4.45)

Nel caso di carichi dinamici, è dunque opportuno scegliere il riduttore in modo che τabbia un valore abbastanza prossimo a τott, per assicurare al sistema elevate prestazionidinamiche.

Come regola empirica, per applicazoni non troppo spinte si assume che il rapporto tra in-erzia motrice e quella del carico ridotta all’albero motore sia compreso tra 4 e 1/4, ottenendoquindi τott/2 < τ < 2τott. Ovviamente nelle applicazioni più spinte, quali il controllo d’assi, ènecessario scegliere valori di τ uguali o abbastanza vicini a τott, in modo da assicurare elevateprestazioni dinamiche.

4.17 Regime periodico

Come già enunciato nel capitolo 3, un sistema puo’ trovarsi, oltre che nella condizione diregime (assoluto) o in quella di transitorio, anche nella condizione di regime periodico, incui il bilancio energetico del sistema sia nullo non istante per istante, ma per multipli di undeterminato intervallo di tempo detto periodo. In questa condizione la coppia motrice e/oquella resistente variano periodicamente nel tempo, il che causa fluttuazioni periodiche dellavelocità del sistema.

Il regime periodico è abbastanza comune nel funzionamento delle macchine; convienepertanto affrontare il problema con un approccio generale, estendendo i concetti visti in

4.17. REGIME PERIODICO 75

precedenza di inerzia e coppia ridotta all’asse motore al caso più generico di un sistemameccanico a un grado di libertà.

4.17.1 Inerzia e coppia ridotta alla coordinata libera per un sistema

meccanico a un grado di libertà

Dato un sistema meccanico, la posizione di un qualunque suo punto viene a dipendere inmaniera univoca (a meno di simmetrie) da un certo numero (finito o infinito) di variabiliindipendenti, dette coordinate libere. Esse, se sono in numero finito, costituiscono unvettore q = [q1q2...qn]T , chiamato configurazione del meccanismo.

Si può quindi affermare che, detta P = [xP yP zP ]T la posizione di un generico punto Pdel sistema rispetto ad un sistema di riferimento assoluto, P = P(q).

Le coordinate libere vengono anche chiamate gradi di libertà (abbreviato in GDL oDOF, dall’inglese degrees of freedom) del sistema meccanico.

Tra i sistemi meccanici, i più importanti sono quelli a un grado di libertà. I sistemimotore-utilizzatore visti finora sono tutti a un grado di libertà, la coordinata libera q delsistema essendo l’angolo di rotazione dell’asse motore.

Vediamo ora di studiare la dinamica di un sistema meccanico ad un grado di libertà,generalizzando le equazioni dinamiche di un sistema motore-utilizzatore.

Si è visto in precedenza che l’accelerazione angolare ωm dell’asse motore è data dal rappor-to tra la coppia equivalente ridotta all’asse motore e l’inerzia equivalente ridotta al medesimoasse, e che la procedura di riduzione si effettua moltiplicando le forze e le coppie per i rap-porti di trasmissione τ dei relativi assi, e moltiplicando i momenti di inerzia per il quadratodegli stessi rapporti di trasmissione.

Si è visto altresì che l’energia cinetica complessiva T del sistema è data da:

T =1

2Jeq,mω2

m (4.46)

essendo Jeq,m l’inerzia del sistema ridotta all’asse motore. Negli esempi finora visti essaè costante, in quanto i rapporti di trasmissione che compaiono nella sua espressione sonorisultati costanti. In generale però i rapporti di trasmissione possono non essere costanti, madipendere dalla posizione del sistema e quindi, in ultima istanza, dal valore della coordinatalibera q: τ = τ(q).

In generale, si può dunque affermare che l’energia cinetica di un sistema varia al variaredella coordinata libera, in quanto l’inerzia è dipendente da q. Possiamo allora scriverel’equazione che dà l’energia cinetica di un sistema meccanico a un grado di libertà:

T =1

2A(q)q2 (4.47)

ove q è la velocità della coordinata libera (quindi del motore) e A(q) è l’inerzia ridottaalla coordinata libera. Come detto, essa dipende da q in quanto si ricava da:

A(q) =∑

i

Jiτ2i (q) +

∑

j

mjτ2j (q) (4.48)


con i rapporti di trasmissione per le rotazioni τi(q) e per le traslazioni τj(q) che non sonocostanti, ma dipendono in generale da q.

Analogamente all’inerzia, e possibile definire la coppia ridotta alla coordinata liberacome:

Q(q) =∑

i

Ciτi(q) +∑

j

Fjτj(q) (4.49)

ove τi(q) e τj(q) sono i rapporti di trasmissione degli spostamenti associati alle coppie Ci

e alle forze Fj agenti sul sistema.In definitiva, A(q) e Q(q) sono l’estensione di Jeq,m e Ceq,m al caso più generale di un

sistema meccanico in cui i rapporti di trasmissione non siano costanti, ma dipendano da q.

4.17.2 Grado di irregolarità del moto periodico

Dato un sistema meccanico in regime periodico, la velocità ω = q della coordinata liberasubisce delle fluttuazioni che si ripetono con una certa periodicità T . Il periodo T definisceil ciclo del moto periodico.

Si definisce grado di irregolarità del moto il rapporto:

g =ωmax − ωmin

ωmedia

=qmax − qmin

qmedia

(4.50)

ovvero il rapporto fra la massima variazione della velocità all’interno del ciclo e la velocitàmedia.

Per determinare il grado di irregolarità del moto di un sistema meccanico, si deve calcolarecome varia la velocità q in funzione della coordinata libera q: come si vedrà, l’andamento diq(q) dipende dall’inerzia ridotta del sistema e dalla coppia risultante, ridotta alla coordinatalibera.

Ricaviamo innanzitutto l’espressione del lavoro compiuto dalle coppie e forze agenti sulsistema nel tempo da 0 a t∗, a cui corrisponde uno spostamento della ccordinata libera da 0a q∗. Il lavoro è dato da:

L(t∗) =∫ t∗

0(∑

i

Ciωi +∑

j

Fjvj)dt (4.51)

Effettuando la riduzione alla coordinata libera dell’espressione precedente, ovvero espri-mendo ciascuna delle ωi e delle vj in funzione di q, si ottiene:

L(t∗) =∫ t∗

0(∑

i

Ciτi(q) +∑

j

Fjτj(q))qdt (4.52)

e quindi per sostituzione:

L(q∗) =∫ q∗

0(∑

i

Ciτi(q) +∑

j

Fjτj(q))dq (4.53)

Considerando ora che q∗ è stato scelto arbitrariamente, e ricordando la definizione (4.49)di coppia ridotta alla coordinata libera Q(q), si ottiene l’espressione del lavoro in funzionedella variabile q:


L(q) =∫ q

0Q(r)dr (4.54)

Il lavoro così ottenuto (preso con il suo segno) coincide con la variazione dell’energiacinetica T del sistema in corrispondenza dello spostamento da 0 a q della coordinata libera:

∆T (q) = T (q) − T (0) = L(q) =∫ q

0Q(r)dr (4.55)

Se L(q) > 0 si avrà dunque un incremento dell’energia cinetica, viceversa se L(q) < 0 siavrà un decremento.

E’ ovvio che, trovandoci in regime periodico, il lavoro netto compiuto per un ciclo (o perun numero intero di cicli) sarà nullo:

Lciclo =∫ 2π

0Q(r)dr = 0 (4.56)

Rimane ora da esplicitare q(q), in modo tale da poter ottenere come varia la velocitàall’interno del ciclo. Esprimendo l’energia cinetica del sistema in funzione dell’inerzia ridottaalla coordinata libera, si ottiene:

T (q) − T (0) =1

2A(q)q2(q) − 1

2A(0)q2(0) =

∫ q

0Q(r)dr (4.57)

da cui:

q(q) =

√

√

√

√

A(0)

A(q)q2(0) +

2

A(q)

∫ q

0Q(r)dr (4.58)

Questa equazione può essere utilizzata per determinare il grado di irregolarità del moto diun sistema in regime periodico, a partire dalla conoscenza dell’inerzia ridotta e della coppiarisultante, ridotta alla coordinata libera.

4.17.3 Progetto del volano

Figura 4.33: Rappresentazione del ciclo nel piano (A, T)


Figura 4.34: Determinazione di Jv

Tipicamente, eccessive fluttuazioni della velocità sono indesiderate: è quindi opportunomantenere il valore del grado di irregolarità g al di sotto di una soglia prefissata, in modotale da regolarizzare il moto del sistema.

Ciò può essere fatto aggiungendo all’albero motore un volano, ovvero un componente(tipicamente un disco) avente momento di inerzia costante Jv. Si tratta ora di calcolare ilvalore di Jv necessario per portare il sistema ad avere il grado di irregolarità g desiderato:in ciò consiste il progetto (o sintesi) del volano.

Risolviamo dapprima il problema nel caso in cui l’inerzia ridotta alla coordinata liberasia costante: A(q) = Jeq,m = cost. La soluzione si ottiene facilmente combinando le seguentiequazioni:

• la definizione di grado di irregolarità del moto:

g =ωmax − ωmin

ωmedia

(4.59)

• l’espressione approssimata della velocità media (accettabile in quanto g è generalmentepiccolo):

ωmedia =ωmax + ωmin

2(4.60)

• l’espressione della massima variazione di energia cinetica all’interno del ciclo, coinci-dente con il lavoro meccanico fornito nella fase di accelerazione:

∆T = ∆L =1

2Jeq,m(ω2

max − ω2min) (4.61)

Si ottiene allora:

g =∆L

Jeq,mω2media

(4.62)

e quindi il valore di Jeq,m necessario per ottenere il grado di irregolarità periodica desider-ato è dato da:


Jeq,m =∆L

gω2media

(4.63)

La procedura appena vista è accettabile in molti casi; tuttavia, se si desidera una maggioreaccuratezza, e in ogni caso qualora l’inerzia ridotta del sistema non sia costante, è necessarioutilizzare una metodologia più sofisticata, basata su una sintesi grafica.

Partendo dalle (4.59) e (4.60), si possono ricavare i valori delle velocità massima e minimadurante il ciclo:

qmax = ωmax = (1 +g

2)ωmedia (4.64)

qmin = ωmin = (1 − g

2)ωmedia (4.65)

La procedura grafica qui illustrata prevede di rappresentare il ciclo del sistema nel piano(A, T ), ovvero in un diagramma avente per ascissa l’inerzia ridotta A e in ordinata l’energiacinetica T .

Con riferimento alla Fig. 4.33, il sistema nella generica configurazione q sarà dunquerappresentato da un punto P della curva chiusa; la velocità q in tale configurazione saràcorrelata al valore della tangente dell’angolo α che la congiungente il punto P all’originedegli assi (A, T ) forma con l’asse delle ascisse.

Infatti, dalla (4.47) si ricava:

1

2q2 =

T (q)

A(q)= tanα(q) (4.66)

Ora, volere che la velocità all’interno del ciclo sia compresa tra un valore minimo e unomassimo dati dalle (4.64) e (4.65) equivale a imporre che la curva che rappresenta il ciclo siacompresa tra due rette aventi pendenze tanαmin e αmax date rispettivamente da:

tanαmin =1

2q2min (4.67)

tanαmax =1

2q2max (4.68)

Il ciclo considerato non soddisfa tali condizioni (altrimenti significherebbe che il moto ègià regolarizzato senza necessità di volano): è necessario quindi traslare il sistema (A, T ) inmodo tale da individuare un nuovo sistema (A′, T ′) la cui origine coincide con il punto diintersezione delle due rette, tangenti al ciclo, aventi pendenze tanαmin e tanαmax (si veda laFig. 4.34).

In tal modo si è sicuri che la congiungente qualsiasi punto del ciclo con l’origine del nuovosistema di riferimento avrà pendenza compresa tra tanαmin e tanαmax, il che significa chenessun punto all’interno del ciclo avrà velocità superiore a qmax né inferiore a qmin.

Il moto è stato dunque regolarizzato, e l’entità della traslazione orizzontale degli assifornisce il valore del momento di inerzia del volano Jv, che va aggiunto all’albero motore inmodo tale da aumentare l’inerzia del sistema di una quantità costante: A′(q) = A(q) + Jv.

Il progetto del volano, ovvero il calcolo del momento di inerzia aggiuntivo Jv necessarioper ottenere il valore desiderato dell’irregolarità periodica g, può anche essere svolto per via


numerica, semplicemente ‘traducendo’ il metodo grafico in equazioni di geometria analiticadel piano.

Pertanto, con riferimento alla Fig. 4.34, la tangente tanβ alla curva è data da:

tanβ =dT

dA=

dTdqdAdq

=Q(q)

dAdq

= f(q) (4.69)

ove f(q) una funzione non lineare nota, essendo date sia Q(q) che A(q).L’equazione precedente si risolve sostituendo a β i valori αmin e αmax, in modo da ottenere

le soluzioni qmin e qmax, che sono i valori della coordinata libera in corrispondenza dei qualisi hanno rispettivamente le velocità minima e massima del ciclo.

Tali valori possono essere utilizzati per calcolare le coordinate dei punti del piano (A, T )corrispondenti alle velocità minima e massima, come segue:

Amin = A(qmin) (4.70)

Amax = A(qmax) (4.71)

Tmin = T (qmin) =∫ qmin

0Q(r)dr (4.72)

Tmax = T (qmax) =∫ qmax

0Q(r)dr (4.73)

Per ricavare la traslazione orizzontale che fornisce il valore del momento di inerzia delvolano Jv è ora sufficiente eguagliare l’espressione analitica della retta di pendenza tanαmin,passante per il punto di coordinate (Amin, Tmin), con la retta di pendenza tanαmax, passanteper il punto di coordinate (Amin, Tmin):

Tmin + tanαmin(A − Amin) = Tmax + tanαmax(A − Amax) (4.74)

L’equazione così ricavata si risolve nell’incognita A, ottenendo il valore cercato Jv = −A.

4.18 Equilibramento dei rotori

Nei sistemi motore-utilizzatore in cui siano presenti alberi posti in rotazione attorno al pro-prio asse è fondamentale considerare la questione dell’equilibramento. I rotori, ovvero glialberi con le masse ad essi solidali, devono essere globalmente equilibrati, in modo tale daminimizzare le vibrazioni e le sollecitazioni dei supporti.

Un rotore si dice equilibrato staticamente se il suo baricentro si trova sull’asse dirotazione. In questo caso, essendo nulla la distanza tra baricentro e asse di rotazione, ècomplessivamente nulla la forza centrifuga agente sul rotore.

Al contrario, se il baricentro non giace sull’asse di rotazione, il rotore risulta soggetto aduna forza centrifuga la cui intensità è data da:

Fc = mω2r (4.75)

essendo m la massa del rotore, ω la sua velocità angolare e r la distanza del baricentrodall’asse di rotazione.

4.18. EQUILIBRAMENTO DEI ROTORI 81

Figura 4.35: Rotore non equilibrato dinamicamente

La suddetta forza centrifuga induce sollecitazioni sui supporti che, essendo legate alquadrato della velocità angolare, possono assumere valori elevati anche a velocità non parti-colarmente alte. E’ pertanto fondamentale provvedere all’equilibramento statico dei rotori,ad esempio progettando, come sarà illustrato nel seguito, un opportuno contrappeso.

Anche nel caso di rotore equilibrato staticamente possono però originarsi delle reazionivincolari rotanti nei supporti, qualora il rotore stesso non sia equilibrato dinamicamente,ovvero qualora il proprio asse di rotazione non coincida con uno degli assi principali di inerzia,definito come un asse rispetto a cui la matrice di inerzia del corpo sia diagonale.

Con riferimento alla Fig. 4.35, si vede che le due metà del rotore hanno baricentri chenon si trovano sull’asse di rotazione; pertanto, le forze centrifughe a cui sono soggette le duemetà del rotore hanno risultante nulla ma, non avendo la medesima retta di azione, generanouna coppia che induce sollecitazioni sui supporti.

4.18.1 Progetto del contrappeso per l’equilibramento statico di un

meccanismo

Figura 4.36: Biella rappresentata con il metodo di sostituzione

Si consideri il problema di equilibrare staticamente un meccanismo biella-manovella. Tale


meccanismo, chiamato anche manovellismo di spinta, è costituito da una manovella rotante,collegata tramite coppie rotoidali ad un telaio fisso e ad un corpo di forma allungata (biella),il quale a sua volta è accoppiato ad un pistone che trasla lungo un asse fisso.

Se il sistema fosse costituito unicamente dalla manovella, progettare il contrappeso perl’equilibramento statico del sistema risulterebbe molto semplice, basterebbe infatti eguagliarei momenti statici della manovella e del contrappeso, rispetto all’asse di rotazione, perassicurare che il baricentro del sistema si trovi su tale asse:

mcd(OGc) = mmd(OGm) (4.76)

In questa equazione, mm e mc sono le masse della manovella e del contrappeso, Gm e Gc

sono i rispettivi baricentri, O è il centro di rotazione e d è la funzione distanza. Ricordiamoche il ‘momento statico’ di un corpo rispetto ad un polo O (da non confondersi con il‘momento di inerzia’ né con il ‘momento’ inteso come sinonimo di ‘coppia’ !) è dato dalprodotto della massa del corpo per la distanza tra il suo baricentro e il punto O.

La (4.76) fornisce il momento statico del contrappeso che deve essere aggiunto allamanovella per equilibrarla staticamente: ottenuto tale valore, il progettista può sceglierea piacimento i valori di mc e OGc.

L’equilibramento dell’intero sistema biella-manovella deve invece tenere conto anche dellabiella, in quanto essa contribuisce parzialmente a generare la forza centrifuga. Una metodolo-gia usata in casi come questo consiste nel creare un modello in cui la biella è rappresentatada due masse di sostituzione, ovvero due masse concentrate, collocate sugli assi dei dueaccoppiamenti, che complessivamente producano gli stessi effetti dinamici della biella reale.

Il vantaggio legato all’utilizzo delle masse di sostituzione sta nel fatto che risulta sempliceseparare il contributo dato dalla biella alla dinamica della manovella (schematizzato dallamassa rotante mr collocata nel punto dell’accoppiamento con la manovella) dal contributodato alla dinamica del pistone (schematizzato dalla massa traslante mt collocata nel puntodell’accoppiamento con il pistone).

Affinché le masse di sostituzione siano dinamicamente equivalenti alla biella reale, ènecessario che siano soddisfatte le seguenti condizioni:

1. la posizione del baricentro del sistema di sostituzione sia la stessa di quella del sis-tema reale, per assicurare che le accelerazioni dei baricentri siano le stesse in qualsiasicondizione di funzionamento;

2. la massa totale dei due sistemi sia uguale, affinché la forza d’inerzia risultante sia lastessa;

3. il momento di inerzia rispetto al baricentro sia lo stesso per i due sistemi, in modo taleche la coppia di inerzia risultante sia uguale.

La posizione delle masse di sostituzione, collocate nei punti di accoppiamento della biella,non può essere modificata se si vuole calcolare correttamente il contributo dinamico della biel-la rispettivamente alla manovella e al pistone; rimangono quindi da determinare solamentei valori delle due masse mr e mt.

Essendovi solo due incognite, non è possibile soddisfare contemporaneamente le tre con-dizioni enunciate sopra; si sceglie allora di ricavare i valori di mr e mt imponendo le condizioni

4.18. EQUILIBRAMENTO DEI ROTORI 83

1. e 2., mentre per assicurare il rispetto della condizione 3. si dovrà considerare un momentoaggiuntivo dato dalla differenza tra la coppia di inerzia della biella reala e la coppia di inerziadel sistema di sostituzione.

Dalle prime due condizioni si ottiene dunque il sistema:

mra = mtb (4.77)

mr + mt = mb (4.78)

ove a e b sono le distanze dei punti di accoppiamento dal baricentro della biella (vedi Fig.4.36), mentre mb è la massa totale della biella.

Una volta ricavati i valori delle masse di sostituzione, si calcola la coppia di inerzia daesse prodotta:

Cines = −Jsαb = −(mra

2 + mtb2)αb (4.79)

essendo αb l’accelerazione angolare della biella.La coppia di inerzia effettivamente agente sulla biella è invece data da:

Cineb = −Jbαb (4.80)

Pertanto, la coppia d’inerzia ∆M , che deve essere aggiunta nel modello di sostituzioneaffinché esso rappresenti correttamente la biella reale da un punto di vista dinamico, è datada:

∆M = Cineb − Cine

s = −Jbαb + Jsαb = −(Jb − mra2 − mtb

2)αb (4.81)

La Fig. 4.36 mostra la biella rappresentata mediante il modello di sostituzione.Una volta calcolate le masse di sostituzione, in particolare la massa rotante mr che dà il

suo contributo alla dinamica della manovella, è possibile calcolare il contrappeso necessarioper equilibrare staticamente il gruppo manovella più massa rotante, portandone il baricentrosull’asse di rotazione.

Eguagliando i momenti statici, si ottiene:

mcd(OGc) = mmd(OGm) + mrr (4.82)

ove r è il raggio di manovella, mentre d(OGc) e d(OGm) sono le distanze dall’asse dirotazione dei baricentri del contrappeso e della manovella.

Capitolo 5

Organi per la trasmissione del moto: gli

ingranaggi

Nel capitolo precedente si sono studiati i principi generali di accoppiamento fra un motore eun utilizzatore meccanico. In questo e nei capitoli successivi saranno considerati i prinicpaliorgani meccanici utilizzati per la trasmissione del moto, a cominciare dai sistemi costituitida ruote dentate tra loro accoppiate. Tali sistemi sono detti ingranaggi.

Una ruota dentata è un solido costruito in modo da poter ruotare attorno ad un asse edotato di sporgenze dette denti in grado di trascinare in movimento i denti di un’altra ruota.Le ruote dentate, siano esse piane o coniche, e qualunque sia il tipo di dentatura con cuisiano state costruite, rappresentano insieme alle ruote di frizione la principale soluzione alproblema della trasmissione del moto fra una coppia di assi (siano essi paralleli, concorrentiin un punto oppure sghembi) con un rapporto di trasmissione costante.

L’uso di ingranaggi per la trasmissione del moto è opportuno quando:

• coppia e potenza da trasmettere sono elevate;

• il rapporto di trasmissione deve essere mantenuto costante con buona precisione;

• si devono ottenere forti riduzioni di velocità con ingombri limitati;

• il valore dell’interasse deve essere contenuto.

Per poter meglio comprendere i principi di funzionamento delle ruote dentate, premetti-amo la descrizione di un altro organo idoneo a trasmettere il moto tra due assi paralleli oconcorrenti, quando le coppie e potenze in gioco non siano eccessive: le ruote di frizione,altresì dette ruote di attrito.

5.1 Ruote di frizione

Consideriamo due dischi (A) e (B) di raggi r1 ed r2 (fig.5.1) vincolati rispettivamente allecoppie rotoidali O1 ed O2, i cui assi sono paralleli.

Se nel punto di contatto C sussistono condizioni di aderenza, il moto relativo fra (A) e (B)risulta essere di puro rotolamento senza strisciamento. Il centro del moto è proprio il punto

85

86CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI

Figura 5.1: Ruote di frizione

C, e le circonferenze, traccia delle due ruote sul piano del moto, sono dette le circonferenzeprimitive.

Un siffatto meccanismo costituisce una coppia di ruote di frizione; la trasmissione delmoto è assicurata esclusivamente dalle condizioni di aderenza che debbono verificarsi nelcontatto. L’analisi cinematica mostra che, se il moto relativo è di puro rotolamento, lavelocità di C deve essere la stessa, che sia considerato appartenente alla ruota 1 oppure allaruota 2. Pertanto:

AvC = BvC (5.1)

e quindi, indicando rispettivamente con ω1 e ω2 le velocità angolari della ruota (A) e dellaruota (B) sarà:

ω1r1 = ω2r2 (5.2)

Ne segue che il rapporto di trasmissione del meccanismo è:

τ = ±∣

∣

∣

∣

ω2

ω1

∣

∣

∣

∣

= ±r1

r2

(5.3)

ed è costante.I versi delle velocità angolari di (A) e di (B) sono discordi se le ruote (A) e (B) sono

disposte come in Fig. 5.1 e quindi nell’equazione (5.3) vale il segno meno; sono invececoncordi, e varrà quindi il segno più, quando le ruote (A) e (B) sono disposte come in Fig.5.2, che rappresenta il caso in cui una delle due ruote sia interna.

Quando la realizzazione di un rapporto di trasmissione costante deve essere realizzatofra due assi concorrenti in un punto, le superfici a contatto sono quelle di due coni a sezionecircolare tangenti lungo una generatrice comune (Fig.5.3), i cui assi formano fra loro unangolo α. Indicando rispettivamente con α1 ed α2 le semiaperture dei due coni (la cui sommadà ovviamente l’angolo α), la condizione di rotolamento senza strisciamento nel moto relativo

5.1. RUOTE DI FRIZIONE 87

Figura 5.2: Ruote di frizione interne

è che tutti i punti della generatrice di contatto abbiano la stessa velocità tangenziale, siaessa calcolata in funzione di ω1 oppure di ω2:

~ω1 ×−−−−−→(C − O) = ~ω2 ×

−−−−−→(C − O) (5.4)

e quindi:ω1OC sin α1 = ω2OC sin α2 (5.5)

Pertanto il rapporto di trasmissione è dato da:

τ = ±∣

∣

∣

∣

ω2

ω1

∣

∣

∣

∣

= ±sin α1

sin α2

(5.6)

ed è anch’esso costante. Ovviamente il segno meno varrà nel caso di ruote esterne, ilsegno più nel caso di ruote interne (si veda Fig. 5.3).

L’effettivo utilizzo delle ruote di frizione come meccanismi atti a realizzare un rapportodi trasmissione costante è confinato al campo della trasmissione di piccole potenze (coppiebasse e basse velocità); si comprende che la condizione di strisciamento nullo nel contattoè realizzabile solo in presenza di un adeguato carico normale sufficiente a generare la forzatangenziale d’attrito necessaria al funzionamento: tale carico normale non potrà tuttaviaessere troppo elevato per non generare deformazioni locali nel contatto ed elevate perditeper attrito nei perni delle coppie rotoidali. Le deformazioni del contatto d’altra parte ren-derebbero falsa la condizione che le primitive del moto siano le due circonferenze (nel casodi ruote piane) o i due coni (nel caso di assi concorrenti), che assicuravano il rapporto ditrasmissione costante desiderato.

In generale, le condizioni limite di aderenza determineranno un limite superiore per lecoppie applicabili agli assi delle due ruote, che dovranno quindi risultare:


Figura 5.3: Ruote di frizione coniche - a) esterne, b) interne

C1 ≤ fa FN r1 (5.7)

C2 ≤ fa FN r2 (5.8)

ove fa è il coefficiente di aderenza tra le due ruote e FN il carico normale.

5.2 Ruote dentate piane ad evolvente

Figura 5.4: Profili ad evolvente dei denti di una ruota dentata

Quando sono in gioco potenze notevoli è conveniente che la trasmissione del moto siaaffidata non all’aderenza, ma all’azione mutua che si scambiano opportune superfici coniugatericavate sulla periferia di un disco, superfici che costituiscono la sagoma dei denti di una ruotadentata.

5.2. RUOTE DENTATE PIANE AD EVOLVENTE 89

Figura 5.5: Ingranamento fra ruote dentate

Il profilo dei denti è dato da una curva detta evolvente di cerchio. L’evolvente è latraiettoria di un punto generico di una retta che rotola senza strisciare su una circonferenza,e può essere generata a partire da una circonferenza fondamentale di raggio rf , conla proprietà che in ogni suo punto la normale all’evolvente è tangente alla circonferenzafondamentale (Fig. 5.4).

I due tratti di evolvente che costituiscono la sagoma del dente si svolgono in parte interna-mente e in parte esternamente alla circonferenza primitiva. Il profilo ad evolvente è presentesu entrambi i fianchi del dente, in modo tale da poter trasmettere il moto in entrambi i versidi rotazione.

Si faccia riferimento alla Fig. 5.5: i profili ad evolvente e1 ed e2 delle ruote dentate (1) e(2) vengono a contatto nel punto P . Per la proprietà dell’evolvente, la normale comune I1I2

ai due profili nel punto P deve essere tangente ad entrambe le circonferenze fondamentali cf1

e cf2. In conseguenza della rotazione, il punto di contatto tra i denti si sposta (ad esempio inP ∗) mantenendosi però sempre sulla retta I1I2, che risulta quindi essere il luogo geometricodei punti di contatto fra i denti delle due ruote. Tale retta è chiamata retta dei contatti oretta di pressione in quanto, in assenza di attrito, essa rappresenta la direzione della forzamutua che si scambiano i denti in presa.

L’angolo ϑ che la retta di pressione forma con la normale alla congiungente gli assiO1, O2 delle ruote è chiamato angolo di pressione. Il punto C, intersezione della rettadi pressione con la congiungente gli assi O1, O2, costituisce geometricamente il punto ditangenza di due circonferenze cp1 e cp2 centrate in O1, O2 e di raggi r1 = O1C e r2 = O2C,dette circonferenze primitive.

Risulta allora evidente che, da un punto di vista cinematico, una coppia di ruote dentateè equivalente a una coppia di ruote di frizione aventi circonferenze uguali alle primitive.

Dalla Fig. 5.5 è facile ricavare la relazione tra le circonferenze fondamentali e le primitive:essendo O1I1C e O2I2C due triangoli rettangoli, si avrà:


rf = r cos ϑ (5.9)

Per l’equivalenza cinematica tra ruote di frizione e circonferenze primitive, il rapporto ditrasmissione tra una coppia di ruote dentate sarà dato dalla (5.3):

τ = ±∣

∣

∣

∣

ω2

ω1

∣

∣

∣

∣

= ±r1

r2

(5.10)

Nel caso di un unico ingranaggio, spesso viene trascurata l’indicazione del segno delrapporto di trasmissione. Scriveremo quindi:

τ =ω2

ω1

=r1

r2

(5.11)

oppure, per la (5.9):

τ =ω2

ω1

=rf1

rf2

(5.12)

Figura 5.6: Nomenclatura di una ruota dentata

Per le ruote dentate vale la seguente nomenclatura (Fig. 5.6):

• la congiungente i centri delle ruote, O1, O2 prende il nome di retta dei centri ;

• la fase in cui i denti si toccano prima dell’attraversamento della retta dei centri si dicefase di accesso; la successiva, fase di recesso;

• nelle ruote esterne la parte del profilo del dente interna alla primitiva prende il nomedi fianco del dente, la parte esterna prende il nome di costa del dente; nelle ruoteinterne è il viceversa;

• troncature si chiamano la circonferenze ideali secondo le quali è delimitato il dentein altezza;

– la troncatura di testa, tt, delimita i denti verso l’esterno,

5.2. RUOTE DENTATE PIANE AD EVOLVENTE 91

– la troncatura di base (o interna), tb, delimita i denti internamente alla primitiva;

• la differenza fra i raggi della troncatura di testa e della primitiva prende il nome diaddendum;

• la differenza fra i raggi della primitiva e della troncatura di base prende il nome didedendum;

• la somma dell’addendum e del dedendum dà l’altezza del dente;

• la lunghezza dell’arco di primitiva compreso fra due profili omologhi (o fra due assi disimmetria del dente) successivi prende il nome di passo della dentatura;

• la lunghezza dell’arco di primitiva compreso fra i due profili che costituiscono il denteprende il nome di grossezza del dente;

• la differenza fra passo e grossezza è l’ampiezza del vano fra due denti;

• la lunghezza dell’arco di primitiva corrispondente alla rotazione durante la quale duedenti sono in presa prende il nome di arco d’azione (Fig. 5.7); affinché i due dentisuccessivi siano in presa prima che i precedenti si abbandonino, l’arco d’azione deveessere maggiore del passo;

• il rapporto tra l’arco d’azione e il passo viene chiamato rapporto di condotta; perassicurare la continuità del moto, il valore del rapporto di condotta dovrà essere sempremaggiore di uno.

Affinché due ruote ingranino correttamente, devono avere lo stesso passo p, ed affinché illoro funzionamento sia invertibile i denti devono presentare profili simmetrici rispetto ad unraggio che sarà quindi l’asse del dente.

Ovviamente, perché le ruote possano funzionare correttamente per almeno una rotazionecompleta, il numero dei denti z, deve essere intero.

Se p è il passo della dentatura, comune a due ruote ingrananti fra loro, le relazioni chelegano il numero dei denti alla lunghezza della circonferenza primitiva di ciascuna di essesaranno:

2πr1 = pz1 (5.13)

2πr2 = pz2 (5.14)

da cui:p

π= m =

2r1

z1

=2r2

z2

(5.15)

Il rapporto m = p/π che compare nella (5.15) prende il nome di modulo della dentatura(o anche passo diametrale) e si comprende che se due ruote ingrananti fra loro devono averelo stesso passo, ciò equivale a dire che dovranno avere anche lo stesso modulo.

Dalle (5.15) e (5.11) si ricava che il rapporto di trasmissione di un ingranaggio è esprim-ibile anche come rapporto fra il numero dei denti delle ruote accoppiate:


Figura 5.7: Arco d’azione

τ =ω2

ω1

=z1

z2

(5.16)

Per il modulo, che esprime il rapporto fra il diametro di primitiva di una ruota ed ilnumero dei suoi denti, si conviene di adottare generalmente numeri interi; solo per den-tature piccole si adottano numeri frazionari. A parità di numero di denti, a moduli piccolicorrisponderanno ruote piccole, a moduli grandi ruote grandi.

Il valore del modulo (comunemente indicato in mm) ha un ruolo fondamentale nel pro-porzionamento della ruota (proporzionamento modulare): si pone l’addendum pari adm ed il dedendum pari a 5m/4; l’altezza del dente risulterà pertanto pari a 9m/4.

Adottando un dimensionamento modulare si è certi che l’altezza del dente sia sufficien-temente grande per garantire che vi sia sempre almeno una coppia di denti in presa perassicurare la continuità del moto, evitando al contempo fenomeni di interferenza tra le ruotedentate, che si verificherebbero se l’altezza fosse eccessiva.

La scelta del valore del modulo per un ingranaggio ha un ulteriore risvolto: fissato ildiametro delle primitive, il modulo determina il diametro delle circonferenze di troncaturadi testa e di conseguenza, sulla retta g (Fig. 5.7), i punti IA ed IB in cui avverrà il primocontatto in fase di accesso (IA) e l’ultimo contatto in fase di recesso (IB). Si comprende allorache tanto più grande è il modulo scelto per la dentatura, tanto più lontano dal centro C sitroveranno i punti IA ed IB, e di conseguenza tanto maggiore sarà la velocità di strisciamento(velocità relativa) fra i profili, e quindi la potenza perduta nell’ingranaggio.

All’aumentare del raggio primitivo r2 della ruota maggiore, il profilo ad evolvente del

5.3. RUOTE DENTATE CILINDRICHE A DENTI DIRITTI 93

Figura 5.8: Trasmissione a rocchetto e cremagliera

dente tende a diventare sempre più rettilineo e il rapporto di trasmissione diminuisce, finoad annullarsi per r2 → ∞, in quanto il moto della ruota non sarà più rotatorio, ma traslatorio.

Come si vede dalla Fig. 5.8, il profilo del dente risulta allora perfettamente rettilineo ela ruota dentata limite è chiamata dentiera o cremagliera, mentre la ruota minore cheingrana con essa è chiamata rocchetto o pignone (il termine pignone è usato anche perdesignare la ruota più piccola in un generico ingranaggio).

5.3 Ruote dentate cilindriche a denti diritti

La ruota cilindrica a denti diritti è l’esempio più comune di ruota piana. I denti sono collocatisulla periferia di un cilindro ed sono paralleli all’asse del cilindro.

L’attrezzatura richiesta per la produzione di questo tipo di ingranaggi è minima; perciòesso è generalmente il meno costoso di tutti tipi di ingranaggi. Sebbene la forma di dentepiù comune per le ruote cilindriche sia l’evolvente, anche altre forme di dente sono possibilifintanto che consentono il moto coniugato.

Gli angoli di pressione più comunemente utilizzati per gli ingranaggi cilindrici a dentidiritti sono 14, 5, 20 e 25. In generale, l’angolo di pressione 14, 5 non è usato per i nuoviprogetti (ed infatti è stato ritirato come forma di dente unificato); tuttavia è ancora utilizzatoper progetti particolari e per alcune ruote di ricambio.

Angoli di pressione più piccoli hanno il vantaggio di un’azione dei denti più dolce esilenziosa. Inoltre, come avremo modo di vedere, i carichi sui cuscinetti dei supporti risultanominori a causa di una ridotta componente radiale della spinta; la componente tangenzialedella spinta invece non varia con l’angolo di pressione.

D’altro canto, ingranaggi a piccolo angolo di pressione hanno anche indici di resistenza


Figura 5.9: Ingranaggio con ruote dentate cilindriche a denti diritti

a flessione e di durata superficiale più bassi ed operano con elevate velocità di strisciamentorispetto ai loro concorrenti con angolo di pressione più grande, il che li rende maggiormentesoggetti a fenomeni di usura e grippaggio.

Angoli di pressione più elevati hanno il vantaggio di migliori prestazioni, rispetto siaalla resistenza che alla durata, nonché velocità di strisciamento più basse; per contro, larumorosità di tali ingranaggi risulta molto più elevata. In alcuni casi, angoli di pressionemolto elevati (28, 30 e, in qualche raro caso, anche 45) sono utilizzati in alcuni particolariingranaggi lenti con capacità di carico molto elevate, dove la silenziosità non è la caratteristicapiù importante.

Figura 5.10: Forze scambiate in un ingranaggio

Vogliamo ora calcolare le forze scambiate in un ingranaggio: ciò risulta fondamentale perla progettazione e il dimensionamento del sistema.

La forza mutua F che si scambiano i denti (Fig. 5.10) ha come retta d’azione, in assenzadi attrito, la retta di pressione. Per ciascuna delle ruote, dall’equilibrio dei momenti risulta:

C = Frf = Fr cos ϑ (5.17)

5.4. RUOTE CILINDRICHE A DENTI ELICOIDALI 95

essendo C la coppia agente, rf il raggio della circonferenza fondamentale e r il raggiodella circonferenza primitiva.

La forza scambiata nell’ingranaggio è dunque:

F =C

r cos ϑ=

2C

mz cos ϑ(5.18)

Si vede quindi che, a parità di coppia motrice e a parità di diametro di primitiva, il valoredell’angolo di pressione influenza direttamente l’entità della forza mutua che si scambiano identi in presa: maggiore è il valore di ϑ e maggiore sarà il valore di F . Ad un valore elevatodell’angolo di pressione corrisponderebbe inevitabilmente un aggravio del carico sugli assidelle due ruote.

Supponendo che la 1 sia la ruota motrice e la 2 la ruota condotta, le coppie motrice eresistente sono pertanto date rispettivamente da:

C1 = Frf1 = Fr1 cos ϑ =Fmz1

2cos ϑ (5.19)

e

C2 = Frf2 = Fr2 cos ϑ =Fmz2

2cos ϑ (5.20)

Eliminando F dalle due equazioni, si ottiene la relazione tra la coppia motrice e la coppiaresistente:

C2 = C1z2

z1

(5.21)

da cui, essendo z2/z1 = ω1/ω2 = 1/τ , si ritrova ovviamente la conservazione della potenza:

W2 = C2ω2 = C1ω1 = W1 (5.22)

La forza F scambiata nell’ingranaggio e diretta lungo la retta di pressione può esserescomposta in una componente radiale R e una tangenziale Q, date da:

R = F sin ϑ =C

rtan ϑ (5.23)

Q = F cos ϑ =C

r(5.24)

da cui si vede che l’angolo di pressione influenza solo la componente radiale della F .Si noti altresì che nel caso di ruote dentate cilindriche a denti diritti non vi sono compo-

nenti assiali della forza scambiata nell’ingranaggio.

5.4 Ruote cilindriche a denti elicoidali

Quando i denti della ruota sono tagliati lungo una spirale che avvolge un cilindro, essi sonochiamati elicoidali. I denti elicoidali entrano nella zona di ingranamento progressivamente,pertanto questi ingranaggi hanno un’azione più dolce e sono più silenziosi rispetto a quelli adenti diritti.


Figura 5.11: Ingranaggio a denti elicoidali

Figura 5.12: Ingranaggio bielicoidale

I vantaggi che si ottengono con tali tipi di ruote sono:

• come già detto, la dolcezza di movimento, e quindi la maggiore silenziosità, in quantoil contatto e il distacco fra i denti non si realizza più in modo repentino, ma graduale;

• la maggiore robustezza dei denti, potendo utilizzare moduli minori senza compromet-tere la continuità della trasmissione, ed ottenendo quindi denti di altezza minore;

• l’utilizzo di un modulo più piccolo fa sì che diminuiscano anche le velocità massime distrisciamento;

• il carico trasmesso può essere un po’ più grande, o la durata può essere più lunga conlo stesso carico, rispetto ad un ingranaggio a denti diritti equivalente.

Gli svantaggi sono:

5.4. RUOTE CILINDRICHE A DENTI ELICOIDALI 97

• il maggior costo di una ruota a denti elicoidali rispetto ad una a denti diritti;

• come si vedrà, la forza scambiata tra una coppia di ruote a denti elicoidali ha unacomponente diretta come l’asse dell’albero (oltre a quelle radiale e tangenziale). E’quindi necessario utilizzare componenti meccanici opportuni (tipicamente cuscinettireggispinta) per evitare il disaccoppiamento delle ruote;

• un ingranaggio a denti elicoidali ha un rendimento leggermente inferiore rispetto ad uningranaggio a denti diritti equivalente.

Concettualmente, le ruote elicoidali possono essere pensate come delle ruote dentate cilin-driche a gradini nelle quali la dimensione del gradino diviene infinitamente piccola. Affinchéruote elicoidali a dentatura esterna possano ingranare è necessario che esse abbiano lo stessoangolo d’elica ma il verso opposto. Il contrario vale per un ingranamento elicoidale interno;cioè, il pignone a dentatura esterna e la ruota dentata interna devono avere lo stesso versodell’elica.

I valori pratici dell’angolo d’elica vanno da pochi gradi fino a circa 45. Al cresceredell’angolo d’elica si hanno in generale una riduzione del livello di rumore ed un aumentodella capacità di carico. Per angoli superiori a 15, 20, tuttavia, la resistenza a flessione deldente inizia a diminuire. Ciò è dovuto al fatto che lo spessore trasversale del dente decrescerapidamente.

Per ottenere i benefici degli ingranaggi elicoidali senza avere gli svantaggi legati allapresenza della spinta assiale possono venire utilizzati gli ingranaggi bielicoidali o a doppiaelica (Fig. 5.12).

Per gli ingranaggi elicoidali sono generalmente utilizzati i profili ad evolvente e continuanoa valere le stesse considerazioni fatte in precedenza per gli ingranaggi a denti diritti, inparticolare la (5.15). Il valore del rapporto di trasmissione è quindi ancora dato da:

τ =ω2

ω1

=r1

r2

=z1

z2

(5.25)

Per le ruote dentate a denti elicoidali, anziché considerare le grandezze caratteristiche(passo, modulo, angolo di pressione, ecc.) nel piano frontale (perpendicolare all’asse dellaruota), si preferisce definire tali grandezze nel cosiddetto piano normale, ovvero nel pi-ano normale alla superficie del dente. L’angolo tra il piano normale ed il piano frontale èovviamente uguale all’angolo α di inclinazione del dente rispetto al’asse della ruota.

Osservando la Fig. 5.13, si ricava:

Y Z = XY tan ϑ (5.26)

Y T = XY tan ϑn (5.27)

Y T = Y Z cos α (5.28)

da cui la relazione tra l’angolo di pressione nel piano normale ϑn e quello nel piano frontaleϑ risulta:

tan ϑn = tan ϑ cos α (5.29)


Figura 5.13: Grandezze caratteristiche di una ruota a denti elicoidali, nel piano normale enel piano frontale

Figura 5.14: Forza scambiata tra ruote a denti elicoidali

Il passo normale pn e quello frontale p sono invece legati da:

pn = p cos α (5.30)

Il modulo normale mn è allora definito, in funzione del modulo frontale m, da:

mn = pn/π = m cos α (5.31)

Pertanto il diametro della circonferenza primitiva di una ruota a denti elicoidali è dato,in funzione del modulo normale, da:

2r =mnz

cos α(5.32)

Vogliamo ora calcolare l’espressione delle forze scambiate nell’accoppiamento di due ruotea denti elicoidali. Con riferimento alla Fig. 5.14, la forza scambiata tra le ruote, che in

5.5. INGRANAGGI CONICI 99

assenza di attrito è perpendicolare alla superficie del dente, giace nel piano normale e puòessere scomposta in una componente radiale R e in una componente H ′′ tangente al cilindroprimitivo della ruota dentata. In formule:

R = F sin ϑn (5.33)

H ′′ = F cos ϑn (5.34)

A sua volta, la H ′′ può essere scomposta in una componente assiale A e in una tangenzialeQ, ottenendo quindi:

Q = F cos ϑn cos α (5.35)

A = F cos ϑn sin α (5.36)

R = F sin ϑn (5.37)

Di queste tre componenti, l’unica a fornire momento rispetto all’asse delle ruote è lacomponente tangenziale Q. La coppia C agente sull’asse della ruota dentata è quindi datada:

C = Qr = Fr cos ϑn cos α (5.38)

Per sostituzione, è dunque possibile calcolare le tre componenti della forza agente sullaruota dentata in funzione di C:

spinta tangenziale : Q =C

r(5.39)

spinta radiale : R =C

r

tan ϑn

cos α(5.40)

spinta assiale : A =C

rtan α (5.41)

Come anticipato, in un ingranaggio a denti elicoidali è dunque presente una componenteassiale della forza, che dovrà essere sopportata da adeguati cuscinetti reggispinta, oppureneutralizzata adottando ruote bielicoidali.

5.5 Ingranaggi conici

Si è visto in precedenza che, nel caso di trasmissione del moto fra assi paralleli, le primitivesono costituite da due cilindri; nel caso di trasmissione fra assi concorrenti, le primitive sonoinvece costituite da due coni aventi il vertice ed una generatrice in comune.

Gli ingranaggi conici sono dunque utilizzati per trasmettere il moto tra assi concorrenti.Le ruote dentate coniche (la cui forma reale è ovviamente non un cono intero, ma un

tronco di cono) possono avere denti diritti oppure elicoidali: valgono, a tale proposito, lemedesime considerazioni fatte per le ruote dentate cilindriche, relativamente alla maggioresilenziosità e dolcezza di funzionamento che caratterizzano la dentatura elicoidale.


Invece, come si vedrà più avanti, a differenza degli ingranaggi cilindrici, tutti gli in-granaggi conici producono una spinta assiale sui supporti. Ciò è una conseguenza dellaforma conica della primitiva, indipendentemente dal tipo di dentatura: in altre parole, anchein un accoppiamento di ruote coniche a denti diritti la forza scambiata ha una componenteassiale.

Figura 5.15: Ingranaggio conico

Figura 5.16: Coni primitivi di un ingranaggio conico

Lo studio cinematico di un ingranaggio conico è immediato, considerato che esso è equiva-lente ad un accoppiamento fra ruote di frizione coniche aventi dimensioni uguali alle primitivedelle ruote dentate.

Riferendoci alla Fig. 5.16, e ricordando la (5.6), il rapporto di trasmissione risulta:

τ =ω2

ω1

=z1

z2

=r1

r2

=sin ϕ1

sin ϕ2

(5.42)

Si noti che il rapporto di trasmissione è sempre dato sia dal rapporto tra il numero didenti delle ruote, sia dal rapporto tra i raggi delle primitive, purché ovviamente presi allamedesima distanza dal vertice comune dei due coni (in quanto i denti hanno passo, moduloed altezza proporzionali alla distanza dal vertice).

Per il progetto di un ingranaggio conico, tipicamente sono dati l’angolo ψ tra gli assi daaccoppiare e il valore del rapporto di trasmissione desiderato τ , e si vuole trovare il valoredelle semiaperture delle due ruote coniche ϕ1 e ϕ2.

5.5. INGRANAGGI CONICI 101

Dalla (5.42), e considerando che ψ = ϕ1 + ϕ2, con alcuni passaggi di trigonometria siottiene:

tan ϕ1 =sin ψ

1τ

+ cos ψ(5.43)

tan ϕ2 =sin ψ

τ + cos ψ(5.44)

Quando l’angolo di apertura di uno dei due coni primitivi diventa retto, il cono si trasfor-ma in una superficie piana. L’ingranaggio così ottenuto è la ruota dentata piano-conica,altresì detta coppia pignone-corona, che è l’equivalente per gli ingranaggi conici della cop-pia rocchetto-dentiera per quelli cilindrici. Per questo ingranaggio il rapporto di trasmissionesi ottiene ponendo ϕ2 = π/2 nella (5.42):

τ =ω2

ω1

= sin ϕ1 (5.45)

Figura 5.17: Forza scambiata tra i denti di due ruote dentate coniche

Calcoliamo ora le componenti della forza F che si scambiano i denti in un ingranaggioconico. Consideriamo (Fig. 5.17) i due coni primitivi e il piano Π normale alla generatrice dicontatto. La forza F trasmessa dalla ruota 2 alla ruota 1 è inclinata dell’angolo di pressioneϑ rispetto alla tangente comune delle primitive, e si può scomporre, nel piano Π, in unacomponente tangenziale Q = F cos ϑ e da una componente F ′ = F sin ϑ normale a Q. LaF ′ può essere a sua volta scomposta, in un piano ortogonale a Π, in una componente radialeR1 = F ′ cos ϕ1 = F sin ϑ cos ϕ1 e in una componente assiale A1 = F ′ sin ϕ1 = F sin ϑ sin ϕ1.

Ora, ricordando che le coppie C1 e C2 agenti sule ruote sono equilibrate solo dal momentodella componente tangenziale Q della forza scambiata (C1 = Qr1, C2 = Qr2), si possonoricavare le espressioni, in funzione di C1 e C2, delle componenti della forza trasmessa dallaruota 2 alla ruota 1, e della forza trasmessa dalla ruota 1 alla ruota 2. Esse risultanorispettivamente:


spinta tangenziale : Q =C1

r1

(5.46)

spinta radiale : R1 =C1

r1

tan ϑ cos ϕ1 (5.47)

spinta assiale : A1 =C1

r1

tan ϑ sin ϕ1 (5.48)

per la ruota 1, e:

Q =C2

r2

(5.49)

R2 =C2

r2

tan ϑ cos ϕ2 (5.50)

A2 =C2

r2

tan ϑ sin ϕ2 (5.51)

Si noti che la componente tangenziale Q della forza scambiata è la stessa per le due ruote,mentre le componenti radiale ed assiale sono diverse, essendo funzione della semiaperturadella ruota considerata (la loro somma vettoriale ovviamente è la stessa).

Come per le ruote cilindriche a denti elicoidali, la presenza di una spinta assiale in uningranaggio conico richiede l’utilizzo di adeguati supporti per gli alberi (cuscinetti reggispintaassiali).

5.6 Ingranaggi ad assi sghembi

Gli ingranaggi di questa categoria sono generalmente i più complessi, sia in termini di ge-ometria che di realizzazione. Inoltre, il fatto che gli assi da accoppiare non siano né paralleliné concorrenti crea limitazioni sui carichi massimi sopportabili.

Accenneremo brevemente agli ingranaggi elicoidali e ipoidi, per poi concentrare la nos-tra attenzione sugli ingranaggi a vite, che costituiscono la modalità più importante diaccoppiamento fra assi sghembi.

5.6.1 Ingranaggi elicoidali ad assi sghembi

Come negli ingranaggi ad assi paralleli o concorrenti, anche in questo caso le ruote han-no i denti disposti in modo da formare un determinato angolo (angolo d’elica) con l’assedell’albero. Valori tipici per l’angolo d’elica vanno dai 10 ai 30.

Gli ingranaggi elicoidali ad assi sghembi sono soddisfacenti per la normale gamma dirapporti utilizzati per ingranaggi elicoidali a singola riduzione. Per riduzioni più alte, gliingranaggi a vite sono generalmente preferibili.

Poiché gli ingranaggi elicoidali ad assi sghembi hanno uno strisciamento rilevante, par-ticolare attenzione deve essere riservata alla scelta dei materiali e dei loro lubrificanti perridurre al minimo l’attrito ed eliminare ogni possibilità di grippaggio tra le ruote accoppiate.

5.6. INGRANAGGI AD ASSI SGHEMBI 103

Figura 5.18: Pignone e ruota dentata elicoidale ad assi sghembi

5.6.2 Ingranaggi ipoidi

Figura 5.19: Ingranaggio ipoide

Gli ingranaggi ipoidi sono simili agli ingranaggi conici elicoidali, ma le loro superficiprimitive non sono coni, bensì iperboloidi di rivoluzione. Essi sono asimmetrici, nel sensoche l’angolo di pressione è diverso tra le due parti del dente.

Una condizione che deve essere verificata affinché due ruote ipoidi possano ingranare è cheabbiano il medesimo passo normale. Negli ingranaggi ipoidi i numeri di denti della ruota e delpignone non sono direttamente proporzionali ai loro diametri primitivi: ciò rende possibilerealizzare pignoni piccoli ed al contempo aumentare le dimensioni della ruota condotta.

Nel funzionamento, gli ingranaggi ipoidi sono usualmente più dolci e silenziosi degli in-granaggi conici, a causa del loro rapporto di condotta intrinsecamente più grande. Tuttavia,come in tutti i casi di ingranaggi ad assi sghembi, si verifica uno strisciamento elevato trale facce dei denti. Il rendimento degli ingranaggi ipoidi è perciò minore di quello di un in-granaggio conico simile, tipicamente 0,90-0,95 a confronto dello 0,97-0,99 raggiungibile dagliingranaggi conici.

5.6.3 Ingranaggi a vite

Per trasmettere il moto tra assi sghembi, ottenendo riduzioni di velocità molto spinte,vengono comunemente utilizzati gli ingranaggi a vite, detti anche a vite senza fine.

La forma più elementare di ingranaggio a vite è una vite cilindrica diritta che ingranacon una normale ruota a denti elicoidali. Ingranaggi di questo tipo possono dare rapporti di


Figura 5.20: Ingranaggio a vite

riduzione considerevolmente più grandi rispetto a ingranaggi elicoidali ad assi sghembi, mala loro capacità di carico è bassa ed il tasso di usura elevato. Per carichi leggeri, tuttavia,questa configurazione può rappresentare un’alternativa economica.

Una migliore capacità di carico può essere ottenuta se la normale ruota a denti elicoidaliè modificata in modo da avere una gola per consentire alla vite di adattarsi in profonditànella ruota, per ottenere un’area di contatto tra i denti più estesa e quindi un funzionamentopiù dolce ed una maggiore capacità di carico.

Figura 5.21: Sezioni di un ingranaggio a vite

In Fig. 5.21 sono mostrate le sezioni di un ingranaggio a vite.


In virtù del loro rapporto di condotta intrinsecamente alto, la potenza meccanica mas-sima degli ingranaggi a vite è piuttosto alta; tuttavia, la loro potenza continuativa realeè sostanzialmente più bassa. Ciò è dovuto alla notevole generazione di calore, dovuta allostrisciamento, che può elevare la temperatura del lubrificante a livelli inaccettabili quando ilriduttore è fatto funzionare con continuità. Riduttori a vite ventilati sono piuttosto comunie i carter degli ingranaggi a vite con potenze più alte sono quasi sempre alettati per favorirelo smaltimento del calore. Apparentemente, gli ingranaggi a vite hanno la capacità di sop-portare sovraccarichi relativamente alti per breve tempo senza manifestare alcun danno: inrealtà la loro idoneità ai sovraccarichi non è particolarmente buona, in quanto le loro lim-itazioni termiche fanno sì che vengano utilizzati a carichi inferiori ai loro limiti meccanici.Quando sono azionati per brevi periodi di tempo in sovraccarico, essi funzionano in realtà aldi sopra del loro limite termico di funzionamento continuo ma sotto il loro limite meccanico(connesso agli sforzi); tuttavia, poiché ci vuole un periodo di tempo apprezzabile affinché latemperatura aumenti, sopportano questi brevi sovraccarichi abbastanza bene.

L’avvento di oli sintetici è stato un beneficio per tutti i tipi di ingranaggi a vite, in quantogli oli sintetici possono lavorare a temperature medie più elevate rispetto agli oli compostia base minerale che erano di solito usati per gli ingranaggi a vite. Inoltre, il coefficientedi attrito associato all’uso di lubrificanti sintetici tende ad essere leggermente più basso diquello associato all’uso di oli composti per ingranaggi a vite; pertanto viene prodotto menocalore. Questi fattori concorrono alla riduzione del margine tra i limiti termico e meccanicodei riduttori a vite di nuova produzione, progettati e calcolati per funzionare con oli sintetici.

Il rendimento degli ingranaggi a vite dipende parecchio dalla velocità di funzionamento.Lo stesso ingranaggio può mostrare, ad esempio, un rendimento dello 0,75 ad una velocitàbassa e dello 0,85 ad una velocità più alta. Il rapporto di trasmissione, il materiale, laprecisione e la geometria sono tutti fattori che influenzano il rendimento dell’ingranaggio avite. Valori tipici del rendimento sono compresi tra il 35 ed il 90 per cento, con possibilitàdi valori più alti o più bassi in casi particolari.

Un ingranaggio a vite può essere utilizzato dove si desideri l’irreversibilità del moto: sipuò infatti dimostrare che per bassi valori dell’angolo d’elica il rendimento scende sotto ilvalore limite del 50 per cento, rendendo con ciò impossibile il moto retrogrado. Si dice allorache la vite è autobloccante.

Quando si progetta un ingranaggio a vite autobloccante si deve tuttavia fare attenzione,perché questa caratteristica è una proprietà statica. Le vibrazioni e l’inerzia possono infattideterminare un movimento inverso dell’ingranaggio in condizioni dinamiche. Ad esempio,durante un’interruzione di potenza sotto carico, la ruota, a causa dell’inerzia del carico chefunge da motore, può trascinare la vite per un tempo considerevole; oppure, un ingranaggioa vite che da fermo non può essere azionato dall’albero della ruota, può invece essere messoin rotazione se sottoposto a vibrazioni. La proprietà di autobloccaggio o irreversibilità nondeve quindi essere considerata in senso assoluto, tanto è vero che in applicazioni critiche sidovrebbe prevedere un freno sulla vite per garantire l’irreversibilità assoluta del sistema.

Vogliamo ora studiare un ingranaggio a vite dapprima dal punto di vista cinematico,calcolandone il rapporto di trasmissione, quindi dal punto di vista della statica, calcolandole forze scambiate nell’accoppiamento.

Come detto, un ingranaggio a vite è costituito dall’accoppiamento di una vite e da unaruota dentata piana a denti elicoidali, con rapporto di trasmissione costante fra assi sghembi,


Figura 5.22: Vite a filetto trapezoidale

generalmente ortogonali.La vite in genere è a filetto rettangolare oppure trapezoidale (come in Fig. 5.22), e la

sua superficie attiva è quella contenuta fra due cilindri di raggio r1 ed r2. La vite può avereuno o più filetti: si parla in quest’ultimo caso di vite a più princìpi (Fig. 5.23).

Se α è l’inclinazione dell’elica media in corrispondenza del raggio medio rm = (r1 + r2)/2della vite, in corrispondenza di una rotazione completa 2πrm la vite avanzerà della distanzafra due punti omologhi consecutivi sul medesimo filetto, ovvero del passo elicoidale pe datoda:

pe = 2πrm tan α (5.52)

Si definisce inoltre passo assiale pa, della vite l’ampiezza della traslazione che porta unasezione di un filetto a coincidere con la adiacente, anche appartenente ad un filetto diverso.Il passo assiale può quindi essere diverso dal passo elicoidale se la vite è a più princìpi (comead esempio la vite a due princìpi in Fig. 5.23). Sarà cioè:

pe = z1pa (5.53)

ove con z1 si indica il numero dei princìpi della vite. Si definisce infine come moduloassiale il rapporto:

ma = pa/π (5.54)

Il rapporto di trasmissione fra i due membri si può allora ricavare considerando ciò cheaccade nel piano principale, ossia nel piano normale all’asse della ruota e contenente l’asse dirotazione della vite: in tale piano la vite si presenta come una cremagliera (profilo principale)che ingrana con una ruota piana a denti diritti (Fig. 5.24). Il contatto fra i due membriavviene in corrispondenza del punto C, in cui la primitiva della ruota, di raggio R, è tangentealla retta ǫ, generatrice del cilindro medio della vite, distante rm dall’asse di rotazione dellavite. La velocità assoluta del punto C, considerato appartenente al filetto della vite, può


Figura 5.23: Vite a più princìpi

essere ricavata osservando che, se la vite ruota con velocità angolare ω1, essa compirà un girocompleto in un certo tempo ∆t:

2π = ω1∆t (5.55)

Nello stesso tempo, per effetto del moto elicoidale, il punto C si sarà spostato lungo laretta ǫ, con velocità vc, di una quantità pari al passo elicoidale pe:

pe = vC∆t (5.56)

Dalle (5.55) e (5.56) si ricava allora:

2π

ω1

=pe

vC

(5.57)

da cui

vC =pe

2πω1 =

z1pa

2πω1 (5.58)

La stessa velocità ~vC deve avere il punto C, considerato come appartenente alla primitivadella ruota che gira a velocità angolare ω2; deve quindi essere:

vC = ω2R (5.59)

Inoltre, affinché vite e ruota ingranino correttamente, il passo della dentatura della ruotadeve essere uguale al passo assiale della vite. Se z2 è il numero di denti della ruota, si avràdunque:

z2pa = 2πR ⇒ R =z2pa

2π(5.60)

Sostituendo la (5.60) nella (5.59) si ottiene:


Figura 5.24: Cinematica di un ingranaggio a vite

vC = ω2z2pa

2π(5.61)

che, eguagliata con la (5.58), fornisce il valore del rapporto di trasmissione:

τ =ω2

ω1

=z1

z2

(5.62)

Essendo z1 in genere piccolo e z2 grande, si capisce come con un ingranaggio a vite siapossibile realizzare rapporti di riduzione estremamente spinti: ad esempio, con una vite adue principi (z1 = 2) ed una ruota elicoidale con 40 denti (z2 = 40), dalla precedente sideduce un rapporto di trasmissione τ = 1/20.

Calcoliamo ora le componenti della forza mutua che i due membri si scambiano durantel’accoppiamento (Fig. 5.25). Restando nel piano principale (yz), osserviamo che, in ipotesidi assenza di attrito, la forza trasmessa dalla vite alla ruota sarà inclinata, rispetto alla rettaǫ, dell’angolo di pressione ϑ. Potremo pertanto scrivere:

Fy = Fz tan ϑ (5.63)

Tuttavia né la Fy, né la Fz, producono momento rispetto all’asse di rotazione della vite;per l’equilibrio della vite, dovrà quindi esistere anche una componente Fx data da:

Fx = Fz tan α (5.64)


Figura 5.25: Forze scambiate in un ingranaggio a vite

in quanto la Fxz dovrà essere normale, nel piano (xz), all’elica media che è inclinata di αrispetto all’asse della vite. La Fx è l’unica forza che equilibra la coppia motrice Cm applicataall’asse della vite:

Cm = Fxrm (5.65)

Le tre componenti della forza scambiata tra vite e ruota dentata, in funzione della coppiamotrice Cm, risultano quindi essere (nell’ipotesi di trascurare l’attrito):

Fx =Cm

rm

(5.66)

Fz =Cm

rm

1

tan α(5.67)

Fy =Cm

rm

tan ϑ

tan α(5.68)

Il modulo della forza F complessivamente trasmessa dalla vite alla ruota dentata risultaallora:

F =√

F 2x + F 2

y + F 2z =

Cm

rm

√

1 +tan2 ϑ

tan2 α+

1

tan2 α(5.69)

ovvero:

F =Cm

rm tan α

√

1 + tan2 α + tan2 ϑ = Fz

√

1 + tan2 α + tan2 ϑ (5.70)


5.7 Rotismi

Un rotismo, o treno di ingranaggi, è definito come un sistema costituito da più ingranaggi,in cui la rotazione di una ruota determina quella di tutte le altre. I rotismi si suddividonoin:

• ordinari se tutte le ruote dentate hanno assi fissi

• epicicloidali se alcune ruote hanno assi mobili

Per le considerazioni cinematiche relative ai rotismi, è importante fissare un verso dirotazione comune per le velocità angolari di tutte le ruote, e considerare di conseguenzail rapporto di trasmissione tra due qualsiasi ruote con il proprio segno (quindi negativose le ruote girano in verso opposto, positivo se invece i versi di rotazione sono concordi),analogamente a quanto si è fatto per il singolo ingranaggio.

5.7.1 Rotismi ordinari

Figura 5.26: Rotismo ordinario

In un rotismo ordinario è sufficiente conoscere la velocità angolare di una sola delle ruote(oltre che, ovviamente, le carettaristiche cinematiche delle stesse) per calcolare la velocità ditutte le altre. Con riferimento alla fig. 5.26, i rapporti di trasmissione dei due ingranaggi,presi singolarmente, valgono:

τ1,2 =ω2

ω1

= −z1

z2

(5.71)

τ3,4 =ω4

ω3

=ω4

ω2

= −z3

z4

(5.72)

da cui è immediato calcolare il rapporto di trasmissione complessivo tra la prima ruota deltreno (1), a cui è collegato l’albero motore, e l’ultima (4), a cui è collegato l’albero condotto:esso è dato dal prodotto dei singoli rapporti di trasmissione di ciascun ingranaggio:

5.7. ROTISMI 111

Figura 5.27: Rotismo ordinario con ruota oziosa

τ = τ1,4 =ω4

ω1

=ω4

ω2

ω2

ω1

= τ3,4τ1,2 = (−z3

z4

)(−z1

z2

) =z1z3

z2z4

(5.73)

In particolare, se il rotismo contiene una ruota che ingrana contemporaneamente conaltre due (fig. 5.27), il rapporto di trasmissione tra la prima e l’ultima è uguale, a meno delsegno, a quello che si avrebbe se queste due ruote ingranassero direttamente. Infatti:

τ1,2 =ω2

ω1

= −z1

z2

(5.74)

τ2,3 =ω3

ω2

= −z2

z3

(5.75)

da cui si ottiene:

τ = τ1,3 = τ1,2τ2,3 =ω3

ω1

=z1

z3

(5.76)

Si vede quindi che la presenza della ruota intermedia (chiamata ruota oziosa) ha comeeffetto quello di invertire il segno del rapporto di trasmissione rispetto al caso di ingranaggiodiretto.

Se il rotismo può essere considerato ideale (η = 1), il rapporto di trasmissione determinaanche il rapporto tra le coppie in uscita e in ingresso del treno di ingranaggi. Ad esempio,con riferimento alla fig. 5.26, si ha:

C4

C1

=ω1

ω4

=1

τ(5.77)

L’impiego più comune dei rotismi è come riduttori di velocità (fig. 5.28). Ogni singoloingranaggio è detto stadio di riduzione: l’uso di più stadi di riduzione in serie (si parla dirotismi a doppia, tripla, quadrupla riduzione) consente di ottenere rapporti di riduzione benpiù spinti rispetto al caso di un singolo ingranaggio.


Figura 5.28: Riduttori di velocità realizzati con rotismi ordinari

5.7.2 Rotismi epicicloidali

A differenza dei rotismi ordinari, nei rotismi epicicloidali alcuni degli assi delle ruote sonomobili. Un rotismo epicicloidale semplice è costituito da:

• due ruote dentate principali, chiamate solari, non ingrananti tra loro, aventi lo stessoasse fisso;

• una o più ruote dentate, dette satelliti o planetari, che ingranano con i solari, i cuiassi sono portati in giro da un elemento rigido, detto portatreno

• il portatreno, che ruota attorno ad un asse fisso coincidente con l’asse dei solari eche, come si è detto, porta in rotazione gli assi dei satelliti.

La fig. 5.29 mostra due esempi di rotismi epicicloidali semplici, in cui gli elementi 1 e 2sono le ruote solari, gli elementi 3 e 4 sono i satelliti, l’elemento P è il portatreno.

A differenza di un rotismo ordinario, in cui le ruote dentate possono essere scelte inmaniera indipendente l’una dall’altra (badando naturalmente che abbiano lo stesso modulo),in un rotismo epicicloidale sussistono vincoli di carattere geometrico sui parametri cinematici

5.7. ROTISMI 113

Figura 5.29: Esempi di rotismi epicicloidali

delle ruote (raggi delle primitive, numero di denti). Ad esempio, nel rotismo di fig. 5.29adeve essere:

r1 + r3 = r2 + r4 (5.78)

il che equivale, essendo ovviamente i moduli delle ruote dentate tutti uguali fra loro, allaseguente condizione sul numero di denti delle ruote:

z1 + z3 = z2 + z4 (5.79)

Allo stesso modo, per il rotismo di fig. 5.29b sussistono i vincoli:

r1 + 2r3 = r2 (5.80)

z1 + 2z3 = z2 (5.81)

Pertanto, in un rotismo epicicloidale i parametri di ogni ruota dentata sono determinatiuna volta fissati quelli di tutte le altre ruote.

Un’altra importante differenza tra i rotismi epicicloidali e quelli ordinari sta nel fattoche, mentre in questi ultimi vi è un albero di ingresso (motore) e uno di uscita (condotto),nei primi vi sono tre diversi alberi, collegati rispettivamente ai due solari e alportatreno. Si possono dunque avere vari casi: due alberi motori e uno condotto, oppureun albero motore e due condotti, oppure (ed è questo il caso più comune) un albero motore,uno condotto e il terzo fermo.

Vogliamo ora calcolare il rapporto di trasmissione complessivo τ di un rotismo epici-cloidale, definito in modo naturale come il rapporto tra la velocità angolare dell’albero (o diuno degli alberi) di uscita e quella dell’albero (o di uno degli angoli) di entrata.

Per poter determinare τ è necessario passare attraverso il calcolo del rapporto ditrasmissione del rotismo epicicloidale reso ordinario (cioè ad assi fissi), dettoanche tau di Willis τW . Dette ω1 e ω2 le velocità dei solari, e Ω quella del portatreno,per rendere ordinario il rotismo epicicloidale è sufficiente, da un punto di vista concettuale,‘annullare’ la velocità del portatreno, mettendosi ad esempio in un sistema di riferimento


solidale con il portatreno stesso, ovvero rotante con velocità angolare Ω. In questo sistema isolari ruotano con velocità ω1 −Ω e ω2 −Ω, mentre il portatreno ha velocità angolare nulla:di conseguenza i satelliti non vengono portati in giro attorno all’asse dei solari, ottenendoquindi un rotismo ad assi fissi.

Il rapporto di trasmissione di questo rotismo ordinario, derivato da quello epicicloidale,è dunque dato dalle seguente formula di Willis:

τW =ω2 − Ω

ω1 − Ω(5.82)

Per la determinazione del rapporto di trasmissione complessivo τ di un rotismo epici-cloidale si procede allora in questo modo:

• si immagina di ‘bloccare’ il portatreno e si calcola il valore di τW mediante le con-siderazioni svolte per i rotismi ordinari, ovvero in funzione del numero di denti delleruote;

• nella (5.82) si sostituisce a τW il valore ottenuto;

• il valore del rapporto di trasmissione complessivo può allora essere ottenuto, con sem-plici calcoli, a partire dalla (5.82) e dalla definizione dello stesso τ , che naturalmentedipende da qual è l’albero di uscita e quale l’albero di ingresso nel rotismo epicicloidalein esame.

Il rapporto di trasmissione τW del rotismo epicicloidale reso ordinario compare anchenelle relazioni tra le coppie agenti sul rotismo. Siano infatti C1, C2 e CP le coppie agentirispettivamente sul solare 1, sul solare 2 e sul portatreno: in condizioni di regime (o comunquequando le inerzie delle ruote dentate siano trascurabili), l’equilibrio alle rotazioni attornoall’asse comune dei tre alberi è espresso da:

C1 + C2 + CP = 0 (5.83)

Un’altra equazione è fornita dalla conservazione della potenza (supponendo il rotismoideale: η = 1):

C1ω1 + C2ω2 + CP Ω = 0 (5.84)

Dalla 5.83 ricaviamo CP , che poi sostituiamo nella 5.84:

CP = −C1 − C2 (5.85)

C1(ω1 − Ω) + C2(ω2 − Ω) = 0 (5.86)

Da quest’ultima equazione e dalla 5.82 si ottiene:

C2

C1

= −ω1 − Ω

ω2 − Ω= − 1

τW

(5.87)

e parimenti si ricava:

5.7. ROTISMI 115

CP

C1

=1 − τW

τW

(5.88)

Le (5.87) e (5.88) ci dicono che un rotismo epicicloidale può essere visto come un parti-tore di coppia, nel senso che la coppia sul solare 1 si suddivide tra il solare 2 e il portatrenocon quote proporzionali a − 1

τWe 1−τW

τWrispettivamente. Si noti che tali quote, e quindi i

rapporti tra le coppie, sono indipendenti dalle velocità angolari alle quali ruotano gli assi,dipendendo unicamente dal valore di τW , che come abbiamo visto è funzione del numero didenti delle ruote.

Date le loro caratteristiche cinematiche, i rotismi epicicloidali trovano la loro applicazionepiù comune nei riduttori a forte rapporto di riduzione ed ingombro limitato. Siconsideri un qualsiasi rotismo epicicloidale e si supponga ad esempio che il portatreno siacollegato all’albero motore, il solare 1 all’albero condotto e che il solare 2 sia fermo. Ilrapporto di trasmissione complessivo τ è allora calcolabile tramite la 5.82 ponendo ω2 = 0:

τW =−Ω

ω1 − Ω(5.89)

da cui, con facili passaggi:

τ =ω1

Ω=

τW − 1

τW

(5.90)

Se i numeri di denti delle ruote sono scelti in modo tale che il valore di τW sia molto vicinoa 1, si possono ottenere valori di τ molto piccoli, sia positivi (per τW di poco maggiore di 1)che negativi (per τW di poco minore di 1). Ciò permette di ottenere rapporti di riduzionemolto spinti, con rotazioni concordi oppure discordi degli alberi di uscita e di ingresso.

Figura 5.30: Differenziale di autoveicolo

I rotismi epicicloidali possono essere costituiti sia da ingranaggi cilindrici, sia da ingranag-gi conici. L’applicazione più importante di questi ultimi è nel differenziale degli autoveicoli,


ovvero in quel dispositivo che consente alle ruote motrici di percorrere traiettorie curvilineesenza avere strisciamento tra le ruote e il terreno.

Nel differenziale per autoveicolo rappresentato in fig. 5.30, i solari sono costituiti dalledue ruote coniche identiche 1 e 2, le quali ingranano con i due satelliti uguali 3 e 4, liberidi ruotare attorno ad un perno solidale al portatreno P. Il portatreno, solidale ad una ruotadentata conica che ingrana con un rocchetto conico, il quale a sua volta è posto in movimentodal motore, trascina in rotazione i satelliti. I solari 1 e 2 sono invece accoppiati agli alberidelle ruote del veicolo. In questo rotismo epicicloidale l’ingresso è dunque costituito dalportatreno, mentre le uscite sono date dai due solari.

Se si immagina di ‘bloccare’ il portatreno, si vede facilmente che, per la simmetria delsistema, il rapporto di trasmissione del rotismo reso ordinario è uguale a: τW = −1. Laformula di Willis per il differenziale è dunque:

τW =ω2 − Ω

ω1 − Ω= −1 (5.91)

da cui:

Ω =ω1 + ω2

2(5.92)

Si può quindi dire che il differenziale fa sì che la velocità del portatreno sia semprepari alla media aritmetica delle velocità delle due ruote. In condizioni di motorettilineo, ω1 = ω2: i solari ruotano alla stessa velocità angolare (che è anche uguale a quelladel portatreno), e di conseguenza i satelliti non ruotano attorno al loro asse. Se invece ilveicolo percorre una traiettoria curvilinea, la velocità angolare della ruota più esterna saràmaggiore di quella della ruota più interna: in questo caso i satelliti, oltre ad essere trascinatidal portatreno, si metteranno anche in rotazione attorno al proprio asse, in modo tale dadiminuire la velocità del solare collegato alla ruota interna ed aumentare la velocità del solarecollegato alla ruota esterna, fermo restando il rispetto della (5.92).

Capitolo 6

Altri organi di trasmissione del moto

In questo capitolo saranno presi in esame altre tipologie di organi di trasmissione del moto,nonché componenti meccanici (freni, cuscinetti) collegati con le problematiche di trasmissionedel moto.

6.1 Trasmissione del moto mediante organi flessibili

Importanti organi di trasmissione del moto sono costituiti da componenti meccanici flessibili.Tra essi si annoverano quegli organi costituiti di materiale avente flessibilità intrinseca, comead esempio le cinghie e le funi, nonché quegli organi (come le catene) costituiti di parti inmateriale rigido, collegate tra loro in modo tale da permettere il moto relativo tra le singoleparti, conferendo così una flessibilità complessiva al componente.

6.1.1 Cinghie

Le cinghie sono elementi flessibili costituite in genere da un elastomero, spesso opportuna-mente rinforzato da fibre metalliche. Esse sono ampiamente utilizzate in meccanica comeorgani di trasmissione del moto tra assi paralleli, soprattutto quando si è in presenza di uninterasse non piccolo. La cinghia viene avvolta, in genere con un certo forzamento, su duepulegge, permettendo così la trasmissione della potenza meccanica dalla puleggia motrice aquella condotta, per effetto delle forze di attrito che si sviluppano in direzione tangenzialeal contatto fra puleggia e cinghia.

Come in tutte le trasmissioni per attrito, la coppia massima trasmissibile mediante cinghiedipende dal coefficiente di attrito e risulta quindi limitata.

Vi sono tre principali tipologie di cinghie:

• cinghie piane

• cinghie trapezoidali

• cinghie dentate

117

118 CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO

Figura 6.1: Trasmissione a cinghia

Figura 6.2: Equilibrio delle forze in un tratto infinitesimo di cinghia

Cinghie piane

La cinghia piana ha tipicamente sezione rettangolare. Consideriamo il sistema di trasmissionea cinghie illustrato nella Fig. 6.1: nella puleggia motrice (a sinistra) coppia e velocità angolaresono concordi, mentre nella puleggia condotta (a destra) coppia e velocità angolare sonodiscordi.

Come appare evidente anche da un punto di vista intuitivo, la presenza della coppiamotrice C1 fa sì che la tensione T1 della cinghia all’ingresso della puleggia sia maggioredella tensione T2 in uscita. Quantitativamente, si può scrivere l’equazione di equilibrio allerotazioni rispetto all’asse della puleggia motrice:

C1 − T1r1 + T2r1 = 0 (6.1)

da cui:

C1 = (T1 − T2)r1 (6.2)

6.1. TRASMISSIONE DEL MOTO MEDIANTE ORGANI FLESSIBILI 119

Analogamente, per la puleggia condotta si può scrivere:

C2 = (T1 − T2)r2 (6.3)

da cui, dividendo membro a membro, si ottiene la relazione tra le coppie alle pulegge:

C1

C2

=r1

r2

(6.4)

Supponendo di essere in condizioni ideali (assenza di perdite), il rapporto di trasmissione τdel sistema può allora essere calcolato partendo dall’equazione di conservazione della potenza:

C1ω1 = C2ω2 (6.5)

da cui si ricava:

τ =ω2

ω1

=C1

C2

=r1

r2

(6.6)

Nella realtà si verificano tuttavia delle perdite di potenza, dovute principalmente amicroslittamenti della cinghia causati dalle differenze di tensione, per cui il rapporto ditrasmissione è leggermente inferiore a quello espresso dalla (6.6). Inoltre tale rapporto nonè costante, ma presenta piccole oscillazioni, sempre dovute ai microslittamenti.

Con riferimento alla puleggia motrice, vogliamo ora studiare come varia la tensione dellacinghia, tra il valore minimo T2 e il valore massimo T1, nel tratto in cui essa è avvolta sullapuleggia (arco di avvolgimento).

Siano:

• θ il generico angolo lungo l’arco di avvolgimento, misurato a partire dal punto di uscitadella cinghia

• T = T (θ) la tensione della cinghia nel generico punto dell’arco di avvolgimento

• f il coefficiente di attrito tra cinghia e puleggia

• r il raggio della puleggia

• q la massa della cinghia per unità di lunghezza

• ω la velocità angolare della puleggia

• v = ωr la velocità tangenziale della puleggia

La Fig. 6.2 mostra un elemento infinitesimo di cinghia di ampiezza dθ, posizionato incorrispondenza di un generico angolo θ; la lunghezza di tale elemento è pertanto: ds = rdθe la sua massa dm = qds. Le forze agenti sull’elemento sono:

• le tensioni trasmesse alle estremità dalle parti rimanenti della cinghia: esse valgonorispettivamente T e T + dT

• la forza normale dFN esercitata dalla puleggia sulla cinghia


• la forza tangenziale, dovuta all’attrito, tra puleggia e cinghia: essa vale dFT = fdFN

• la forza di inerzia, la cui componente normale (forza centrifuga) ha modulo pari admω2r = q v2

rds (la componente tangenziale, di modulo dmdv

dtpuò essere trascurata, in

quanto molto piccola)

Scriviamo allora le equazioni di equilibrio alla traslazione secondo le direzioni normale etangenziale:

−T sindθ

2+ q

v2

rds + dFN − (T + dT ) sin

dθ

2= 0 (6.7)

−T cosdθ

2− dFT + (T + dT ) cos

dθ

2= 0 (6.8)

Ponendo: dFT = fdFN , ds = rdθ, sin dθ ≈ dθ, cos dθ ≈ 1, e trascurando il prodottodTdθ perché infinitesimo di ordine superiore, la (6.7) si scrive:

dFN = (T − qv2)dθ (6.9)

mentre la (6.8) diventa:

dT = fdFN (6.10)

Sostituendo ora la (6.9) nella (6.10) si ottiene:

dT = f(T − qv2)dθ (6.11)

Si tratta di un’equazione differenziale che, una volta integrata tra gli estremi 0 e θ perl’angolo, T2 e T per la tensione (si lascia l’integrazione al lettore come utile esercizio), forniscefinalmente l’equazione fondamentale della trasmissione del moto mediante attritotra cinghia e puleggia:

T − qv2

T2 − qv2= efθ (6.12)

che, qualora si possa trascurare il termine qv2 rispetto a T , diventa:

T = T2efθ (6.13)

(Si osservi che (6.13) è stata ottenuta per la puleggia motrice, tuttavia è immediatoverificare che la stessa equazione vale anche per la puleggia condotta).

La (6.13) ci dice che la variazione della tensione della cinghia lungo l’arco diavvolgimento sulla puleggia varia esponenzialmente con l’angolo θ. Considerandola puleggia motrice, il valore minimo della tensione (T2) si ha ovviamente per θ = 0, mentreil valore massimo (T1) si ha per un angolo θ∗ ricavabile dalla (6.13):

T1 = T2efθ∗ (6.14)

θ∗ =1

flog

T1

T2

(6.15)


Figura 6.3: Archi di aderenza e di scorrimento

L’angolo θ∗ è chiamato arco di scorrimento, in quanto lungo esso si verifica la variazionedi tensione della cinghia la quale, essendo deformata per effetto di tale variazione, subiscedei micro-slittamenti rispetto alla puleggia.

Con riferimento alla Fig. 6.3, si vede che il valore di θ∗, determinato dalla (6.15), ènormalmente inferiore al valore dell’arco di avvolgimento β1: l’angolo residuo β1 − θ∗, dettoarco di aderenza, è il tratto lungo il quale la tensione della cinghia rimane costante alvalore massimo T1 e sia ha pertanto aderenza tra cinghia e puleggia.

Considerazioni analoghe possono essere fatte per la puleggia condotta: anche in questocaso si avranno un arco di scorrimento θ∗ e un arco di aderenza β2 − θ∗, tuttavia l’arco discorrimento inizia da T1 anziché da T2, e lungo l’arco di aderenza la tensione che rimanecostante è la T2.

Per ricavare il valore massimo della coppia trasmissibile mediante cinghie, si considerinole (6.2) e (6.3), e si sostituisca in esse la (6.14), ottenendo:

C1 = r1T2(efθ∗ − 1) (6.16)

C2 = r2T2(efθ∗ − 1) (6.17)

Da queste equazioni si vede che all’aumentare delle coppie (motrice e resistente) aumentail valore dell’arco di scorrimento; tuttavia, esso non può essere maggiore del più piccolo frai due angoli di avvolgimento β1 e β2. Se ad esempio, come in Fig. 6.3, β1 < β2, la coppiamassima che la puleggia motrice può trasmettere alla cinghia è:

C1 = r1T2(efβ1 − 1) (6.18)

e di conseguenza la coppia massima che la cinghia può trasmettere alla puleggia condottaè:

C2 = r2T2(efβ1 − 1) (6.19)

Come era logico aspettarsi, la coppia massima trasmissibile mediante cinghie ha dellelimitazioni dovute al fatto che si tratta di una trasmissione per attrito (tanto è vero cheaumentando il valore di f si possono ottenere miglioramenti in questo senso).


Nel caso in cui la coppia applicata alla puleggia motrice sia maggiore del valore dato dalla(6.18), si verificano slittamenti tra cinghia e puleggia. La coppia effettivamente trasmessarimane quella data dalla (6.18), essendo l’eccesso di coppia equilibrato dall’aumento delleresistenze all’asse della puleggia, nonché dalla coppia di inerzia dovuta all’accelerazione dellapuleggia stessa.

Cinghie trapezoidali

Figura 6.4: Cinghia trapezoidale

Per aumentare il valore della coppia massima trasmissibile mediante cinghie si deve au-mentare il valore del coefficiente di attrito f , o per mezzo di un’opportuna scelta dei materialioppure, più frequentemente, agendo sulla geometria del sistema.

Anziché cinghie piane (a sezione rettangolare), si possono infatti utilizzare cinghietrapezoidali (Fig. 6.4), che vengono forzate entro pulegge con gole a forma di ‘V’. Leforze tra cinghia e puleggia vengono allora scambiate lungo i lati obliqui del trapezio checostituisce la sezione della cinghia.

Detta α l’apertura della gola della puleggia, N la forza normale di pressione sulla cinghia,N ′ le forze trasmesse dalla puleggia alla cinghia, l’equilibrio alla traslazione verticale èespresso da:

N − 2N ′ sinα

2= 0 (6.20)

L’equazione di equilibrio alla traslazione in un piano ortogonale alla Fig. 6.4 è:

T − 2fN ′ = 0 (6.21)

ove f è il coefficiente di attrito tra cinghia e puleggia, e T la corrispondente forzatangenziale.

Da queste due equazioni si ricava la relazione tra T e N :

T =f

sin α2

N (6.22)


Si può quindi dire che per le cinghie trapezoidali si ha un coefficiente di attrito equivalentef ′ = f

sin α2

, che è tanto maggiore quanto minore è il valore di α. Ovviamente per α = 180

(cinghia piana) si ritrova f = f ′.

Cinghie dentate

Un altro modo per aumentare la coppia massima trasmissibile è quello di ricorrere a cinghiedentate, ovvero dotate di denti collocati lungo l’intera superficie della cinghia, i quali vannoad ingranare in appositi vani ricavati nelle pulegge.

Questa soluzione, che ha l’ulteriore vantaggio di impedire lo scorrimento relativo tracinghia e puleggia, è assimilabile, da un punto di vista cinematico e dinamico, ad unatrasmissione a catena, che sarà studiata in un successivo paragrafo.

Argani di trazione o cabestani

Figura 6.5: Cabestano

I cabestani o argani di trazione (Fig. 6.5) sono macchine costituite da un tamburodi diametro d attorno al quale è avvolta una fune, ai cui estremi sono applicati il carico datrainare P e la forza di trazione T .

La minima forza di trazione T da applicare per muovere il carico si può ricavare dal-l’equazione fondamentale delle cinghie (6.14) in condizioni di scorrimento globale, ovveroponendo θ∗ = 2nπ, ove n è il numero di giri con cui la fune si avvolge attorno al tamburo:

P = Te2nπf ⇒ T = Pe−2nπf (6.23)

Sono quindi sufficienti pochi giri della fune attrorno al tamburo per ridurre considerevol-mente la forza richiesta per trainare il carico, che può pertanto essere mosso in maniera piùagevole applicando una coppia Cm al tamburo, ricavabile dall’equazione di equilibrio allerotazioni ripetto all’asse:

Cm = (P − T )d

2≈ P

d

2(6.24)


6.1.2 Catene

Figura 6.6: Catena a rulli

Le catene sono organi meccanici costituiti da una serie di elementi rigidi: ognuno di essiè collegato ad altri due elementi ed in grado di ruotare liberamente ripetto a questi ultimi.

Il tipo di catena più comune, utilizzata per la trasmissione del moto, è la catena a rulli(Fig. 6.6), in cui ogni perno collega un rullo, una boccola e quattro piastrine. Il pernoè solidale alle piastrine esterne, mentre la boccola è solidale ripetto alle piastrine interne;inoltre, il rullo è libero di ruotare attorno alla boccola. La catena ingrana con due ruotedentate, solidali agli assi tra cui va trasmesso il moto.

La distanza tra gli assi di due perni consecutivi è detta passo della catena. Ad ogniavanzamento di un passo, le ruote dentate (aventi numero di denti z1 e z2) ruotano dei dueangoli:

ψ1 =2π

z1

(6.25)

ψ2 =2π

z2

(6.26)

Detto ∆t il tempo in cui avviene l’avanzamento di un passo, le velocità angolari delle dueruote sono rispettivamente:

ω1 =ψ1

∆t(6.27)

ω2 =ψ2

∆t(6.28)

da cui segue che il rapporto di trasmissione τ è dato da:

τ =ω2

ω1

=ψ2

ψ1

=z1

z2

(6.29)

Pertanto il τ di una trasmissione a catena, essendo dato dall’inverso del rap-porto tra il numero di denti, è lo stesso che si avrebbe se le ruote dentateingranassero direttamente.


In realtà il rapporto di trasmissione non è propriamente costante, poiché l’ingranamentodei denti delle ruote negli spazi tra i rulli della catena è un fenomeno intrinsecamente dis-continuo; tuttavia questo fenomeno, chiamato effetto poligonale, diventa trascurabile se ilnumero di denti delle ruote è sufficientemente elevato (maggiore di 15).

Rispetto alle cinghie, le catene (il cui funzionamento non è basato sull’attrito), sono ingrado di trasmettere coppie e potenze molto più elevate, con un rapporto di trasmissioneabbastanza costante (vi sono infatti delle piccole fluttuazioni di τ dovute alla discontinuitàcostituita dall’ingranamento tra catena e ruote dentate).

Il rendimento di una catena a rulli è molto elevato (in genere 98-99%), ed è paragonabilea quello delle più efficienti ruote dentate. L’interasse tra le ruote può variare da pochicentimetri fino a circa 10 m.

6.1.3 Paranchi di sollevamento

Figura 6.7: Argano di sollevamento a due pulegge

Oltre all’impiego come dispositivi di trasmissione della potenza tra assi paralleli, un’altraapplicazione importante degli organi flessibili è il loro utilizzo come moltiplicatori di sforzonegli organi di sollevamento.

Si consideri la Fig. 6.7, in cui una fune o una catena si avvolge su due pulegge, una ad assemobile (a cui è collegato il carico da sollevare) ed una ad asse fisso, aventi lo stesso diametrod. Chimando ωf e ωm le velocità angolari, rispettivamente della puleggia ad asse fisso e diquella ad asse mobile, valgono le seguenti relazioni, di natura cinematica, che esprimono levelocità lineari della fune nei punti estremi di avvolgimento sulle pulegge:

vD = ωfd

2= vE (6.30)


vB = ωmd (6.31)

vC = ωmd

2(6.32)

Essendo vD = vB, si avrà:

ωm =1

2ωf (6.33)

vC =1

2vE (6.34)

Per quanto riguarda le forze in gioco, consideriamo la puleggia mobile e scriviamo peressa l’equazione di equilibrio alla traslazione verticale in condizioni di regime. Supponendodi trovarci in condizioni di idealità (trascurando quindi l’attrito nei perni, la resistenzaaerodinamica e l’imperfetta elasticità della fune), le tensioni T all’ingresso e all’uscita dellapuleggia sono uguali; si ottiene quindi:

P = 2T (6.35)

Il risultato fondamentale ottenuto con questo sistema a due pulegge è pertanto quello didimezzare la forza necessaria al sollevamento di un carico (in condizioni di idealità).Dalla (6.34) si vede altresì che la velocità di sollevamento del carico è la metà di quella delpunto a cui è applicata la forza di trazione T , risultato che peraltro poteva essere ricavatoanche imponendo la conservazione della potenza.

Se si abbandona l’ipotesi di idealità, ammettendo quindi che vi siano perdite dovuteall’attrito nei perni, alla resistenza aerodinamica e alla elasticità non perfetta del flessibile,le tensioni in ingresso Ti e in uscita Tu della puleggia non sono più uguali, dovendo quella inuscita essere maggiore per compensare le forze resistenti. Si può allora scrivere:

Tu = (1 + k)Ti (6.36)

essendo k un coefficiente di perdita che tipicamente vale qualche punto percentuale, aseconda delle condizioni del sistema (lubrificazione, ecc.).

Le relazioni tra le velocità, essendo di natura puramente cinematica, non sono inveceinfluenzate dalle condizioni del sistema e pertanto sussistono in ogni caso.

Allo scopo di ridurre ulteriormente il rapporto tra la tensione da applicare e il pesodel carico da sollevare, è possibile concepire un sistema, chiamato paranco o argano disollevamento, costituito da varie coppie puleggia fissa - puleggia mobile. Un esempio ditale dispositivo è rappresentato nella Fig. 6.8.

L’equazione di equilibrio dell’elemento mobile, in condizioni di regime, è data da:

P = T0 + T1 + ... + Tn−1 =n−1∑

i=0

Ti (6.37)

essendo n il numero di pulegge del paranco.Per ogni puleggia è possibile scrivere un’equazione del tipo (6.36), ovvero:


Figura 6.8: Paranco di sollevamento a otto pulegge

Ti = (1 + k)Ti−1 i = 1...n (6.38)

Da cui, per successive sostituzioni, si ricava la tensione motrice Tn in funzione dellatensione T0 nel primo ramo del flessibile:

Tn = (1 + k)nT0 (6.39)

Sostituendo poi la (6.39) nella (6.37) si ottiene:

P = T0

[

n−1∑

i=0

(1 + k)i

]

(6.40)

da cui finalmente la tensione Tn da applicare per il sollevamento del carico, in funzionedel peso P del carico stesso:

Tn =(1 + k)n

∑n−1i=0 (1 + k)i

P (6.41)

In condizioni ideali (k = 0) si ha: Tn = P/n, quindi un paranco ideale riduce la forzarichiesta per il sollevamento di un carico di tante volte quante sono le puleggepresenti nel dispositivo.

In compenso, la velocità di sollevamento del carico vP sarà n volte più piccoladella velocità vn con cui si deve muovere il capo libero della fune:

vP =1

nvn (6.42)

La (6.42) si ricave facilmente dall’equazione di conservazione della potenza in condizioniideali:


Figura 6.9: Confronto tra organi a rapporto di trasmissione costante

Wresistente = PvP = Tnvn = Wmotrice (6.43)

6.2 Confronto tra organi a rapporto di trasmissione costante

Va subito detto che è difficile stabilire un confronto ‘assoluto’ tra i vari organi di trasmissionedel moto, sia perché essi hanno diffrenti campi di utilizzazione, sia perché le caratteristichedi funzionamento (in particolare per le ruote dentate) dipendono fortemente dalla qualitàdel progetto e della costruzione.

Ad ogni modo, la tabella di Fig. 6.9, che fornisce una visione sinottica delle caratteristichedei vari organi a rapporto di trasmissione costante, può essere utilmente impiegata per lascelta del dispositivo da utilizzare in una determinata situazione.

Da un’analisi sommaria della tabella si vede come i tre parametri fondamentali chedeterminano i campi di utilizzo dei vari organi di trasmissione sono:

• potenza

• coppia

• velocità

6.3. GIUNTI 129

Per quanto riguarda potenza e coppia trasmissibile gli ingranaggi hanno caratteristichesuperiori (si tenga comunque presente che i valori massimi di questi tre parametri non sono,in generale, ottenibili contemporaneamente).

Figura 6.10: Caratteristiche degli organi a rapporto di trasmissione costante

La Fig. 6.10 mostra la dipendenza della potenza trasmessa dalla velocità. Si noti comegli ingranaggi siano l’unico organo di trasmissione che può trasmettere potenza in manieraindipendente dalla velocità; per contro alcuni tipi di flessibili (cinghie piane e cinghie dentate)possono funzionare ad una velocità superiore rispetto agli ingranaggi.

Anche dal punto di vista dell’ingombro gli ingranaggi risultano in vantaggio. In ognicaso, una scelta appropriata della trasmissione va effettuata considerando tutti i parametririportati nella tabella di Fig. 6.9.

6.3 Giunti

I giunti sono organi per la trasmissione del moto tra alberi coassiali, concorrenti o paralleli,aventi la proprietà di compensare eventuali imperfezioni costruttive e di montaggio, nonchédeformazioni elastiche degli alberi e dei supporti.

6.3.1 Giunto di Cardano

Figura 6.11: Giunto di Cardano


Figura 6.12: Schematizzazione del giunto cardanico

Il giunto di Cardano è un organo utilizzato per trasmettere, con rendimento elevato(η ≈ 0, 99), il moto tra due alberi complanari e tipicamente non paralleli, ma formanti traloro un certo angolo α.

Tale giunto è costituito da un elemento a forma di croce (la crociera) collegato per mezzodi coppie rotoidali a due forcelle giacenti in piani ortogonali (Fig. 6.11).

Lo studio cinematico del giunto di Cardano riveste un certo interesse: vediamo quindi diricavare il suo rapporto di trasmissione e di discutere i risultati che saranno ottenuti.

Si faccia riferimento alla Fig. 6.12, in cui è schematizzato tridimensionalmente un giuntodi Cardano. Siano:

• µ il piano 〈X,Z〉 contenente gli assi dei due alberi collegati alle forcelle

• α l’angolo formato dai due alberi nel piano µ

• γ1 l’angolo di rotazione, rispetto alla normale Y al piano µ, della forcella collegataall’albero motore

• γ2 l’angolo di rotazione, rispetto al piano µ, della forcella collegata all’albero condotto

• ω1 la velocità angolare dell’albero motore

• ω2 la velocità angolare dell’albero condotto

• l1 il semibraccio della forcella collegata all’albero motore

• l2 il semibraccio della forcella collegata all’albero condotto

La relazione tra gli angoli γ1 e γ2 può essere ricavata imponendo l’ortogonalità dei braccidella crociera, ovvero eguagliando a zero il prodotto scalare dei vettori che li rappresentanonella terna 〈X,Y, Z〉.

Le componenti, lungo i tre assi, dei due semibracci della crociera sono rispettivamente:

6.3. GIUNTI 131

• lx1 = 0

• ly1 = l1 cos γ1

• lz1 = l1 sin γ1

• lx2 = −l2 cos γ2 sin α

• ly2 = l2 sin γ2

• lz2 = −l2 cos γ2 cos α

L’ortogonalità dei vettori l1 e l2 si scrive:

l1 cos γ1l2 sin γ2 − l1 sin γ1l2 cos γ2 cos α = 0 (6.44)

da cui, dividendo per l1l2 cos γ1 cos γ2, si ottiene la relazione cercata tra le posizioniangolari delle forcelle:

tan γ2 = tan γ1 cos α ⇒ γ2 = arctan(tan γ1 cos α) (6.45)

Figura 6.13: Differenza tra le posizioni angolari degli alberi nel giunto di Cardano

Già da questa formula si nota come la trasmissione del moto tra la forcella motrice ela forcella condotta non sia uniforme. Ogni quarto di giro, infatti, l’angolo γ2 di cui ruotala forcella condotta risulta alternativamente maggiore o minore dell’angolo γ1 di rotazionedella forcella motrice. La differenza ∆γ = γ2 − γ1 è una funzione periodica, di periodo π, edi ampiezza tanto maggiore quanto maggiore è il valore di α, come si vede nella Fig. 6.13.

L’espressione analitica di ∆γ si ottiene con l’ausilio di qualche formula trigonometrica:


tan ∆γ = tan(γ2 − γ1) =tan γ2 − tan γ1

1 + tan γ2 tan γ1

(6.46)

da cui, richiamando la (6.45):

∆γ = arctantan γ1(cos α − 1)

1 + tan2 γ1 cos α(6.47)

Il calcolo del rapporto di trasmissione del giunto di Cardano si effettua derivando la (6.45)rispetto al tempo:

(1 + tan2 γ2)dγ2

dt= (1 + tan2 γ1) cos α

dγ1

dt(6.48)

per cui:

τ =ω2

ω1

=dγ2/dt

dγ1/dt=

(1 + tan2 γ1) cos α

1 + tan2 γ2

=cos α

cos2 γ1(1 + tan2 γ2)(6.49)

Sostituendo ora il valore di tan γ2 dato dalla (6.45) si ottiene il valore di τ :

τ =cos α

cos2 γ1(1 + tan2 γ1 cos2 α)=

cos α

cos2 γ1 + sin2 γ1 cos2 α=

cos α

cos2 γ1 + sin2 γ1 − sin2 γ1 sin2 α⇒

(6.50)

τ =cos α

1 − sin2 γ1 sin2 α(6.51)

Il giunto di Cardano è pertanto un giunto non omocinetico, ossia il suo rapporto ditrasmissione non è costante, in quanto oscilla, con periodo π, attorno ad un valor mediopari a 1 (irregolarità periodica del giunto di Cardano). Ciò significa che, a seconda dellecaratteristiche inerziali degli alberi collegati al giunto, una o entrambe le velocità angolaridegli alberi fluttuano attorno allo stesso valor medio. Le maggiori variazioni si avrannoovviamente nella velocità angolare dell’albero le cui masse rotanti hanno un momento diinerzia minore; se l’inerzia di uno dei due alberi è molto minore ripetto a quella dell’altro,si può considerare che quest’ultimo ruoti a velocità angolare costante, mentre la velocità delprimo varierà a seconda del valore istantaneo del rapporto di trasmissione.

Il valore massimo del rapporto di trasmissione (τmax = 1cos α

) si avrà quando |sin γ1| = 1,ovvero per γ1 = π

2+ kπ, k ∈ Z, mentre Il valore minimo (τmin = cos α) si avrà quando

sin γ1 = 0, ovvero per γ1 = kπ, k ∈ Z.L’ampiezza dell’irregolarità periodica del giunto di Cardano è funzione dell’angolo α, e

aumenta con esso, fino ad arrivare al caso limite α = π2, per cui la (6.51) fornisce τ = 0 e il

moto risulta così impossibile.Per contro, calcolando il limite della (6.51) per α → 0, si ottiene un risultato prevedibile

anche con l’intuizione, ovvero τ ≡ 1: è questo l’unico caso, peraltro di scarsa utilità pratica,in cui il giunto di Cardano risulta omocinetico.

6.3. GIUNTI 133

Figura 6.14: Doppio giunto di Cardano: alberi incidenti

Figura 6.15: Doppio giunto di Cardano: alberi paralleli

6.3.2 Doppio giunto di Cardano e altri giunti omocinetici

L’irregolarità periodica del giunto di Cardano, che come si è visto è funzione dell’angolo diinclinazione tra gli alberi, causa continue fluttuazioni dell’albero a minore inerzia, le quali aloro volta sono fonte di vibrazioni che in certi casi possono risultare inaccettabili.

Per evitare queste fluttuazioni di velocità, si può ricorrere ad un doppio giunto diCardano che, come sarà dimostrato tra un momento, è omocinetico, cioè il suo rapportodi trasmissione è costante e pari a 1, se sono rispettate le seguenti condizioni:

• le forcelle dell’albero intermedio devono essere complanari

• l’asse dell’albero intermedio deve formare angoli uguali con gli assi degli altri due alberi

In tal caso, detto γ l’angolo di rotazione dell’albero intermedio, applicando la (6.45) aentrambi i giunti, si ottiene:

tan γ = tan γ1 cos α (6.52)

tan γ = tan γ2 cos α (6.53)

da cui segue che in ogni istante si avrà γ2 = γ1.Vi sono due possibili configurazioni del doppio giunto di Cardano, mostrate in Fig. 6.14

e 6.15, ovvero:


1. albero motore e albero condotto con assi concorrenti in un punto

2. albero motore e albero condotto con assi paralleli

La omocineticità di questa seconda configurazione deriva dal fatto che cos(−α) = cos α.

Figura 6.16: Giunto omocinetico Bendix-Weiss

In certi accoppiamenti in cui sia richiesta l’omocineticità, l’impiego di un doppio giuntodi Cardano può risultare sconveniente per ragioni di ingombro eccessivo.

Per ovviare a questo inconveniente, sono stati progettati altri giunti omocinetici aventiingombro limitato. I più diffusi sono il giunto Bendix-Weiss e il giunto Rzeppa: si trattadi giunti in cui l’omocineticità è assicurata dalla simmetria della struttura, che prevede dadue forcelle ortogonali distanziate da una serie di sfere alloggiate in apposite gole toroidali.

Il giunto Bendix-Weiss è usato per trasmettere coppie non superiori ai 6000 Nm; percoppie più elevate si utilizza il giunto Rzeppa, che può trasmettere fino a 35000 Nm.

6.3. GIUNTI 135

Figura 6.17: Giunto di Cardano, giunto Rzeppa e giunto Bendix-Weiss

Figura 6.18: Giunto di Oldham

6.3.3 Altri giunti

Un altro giunto molto diffuso è il giunto di Oldham (Fig. 6.18). Si tratta di un giuntoomocinetico che permette la trasmissione del moto tra due alberi i cui assi siano soggetti adun leggero disallineamento parallelo.

Da un punto di vista cinematico, il giunto di Oldham funziona qualunque sia il valoredel disallineamento fra gli alberi, purché ovviamente i dischi abbiano dimensioni sufficientiper mantenere il collegamento. In pratica, se il disallineamento è troppo grande, sorgononumerosi inconvenienti quali: aumento dell’ingombro, aumento delle forze centrifughe suldisco intermedio (il cui centro descrive una circonferenza di diametro pari al disallineamentofra gli alberi), aumento del lavoro perso per l’attrito di strisciamento nelle coppie prismatiche.

Vi sono poi numerose altre tipologie di giunti. Ci limitiamo a citare le principali:

• giunti a bussola inchiavettata

• giunti a flangia


• giunti a spina

• giunti deformabili a soffietto

• giunti deformabili a molle elicoidali

• giunti deformabili a lamine flessibili

6.4 Sistemi vite-madrevite

Figura 6.19: Accoppiamento vite-madrevite

Figura 6.20: Sviluppo su un piano dell’accoppiamento vite-madrevite

I sistemi vite-madrevite (Fig. 6.19) trovano impiego in numerosi sistemi di trasmis-sione del moto, che trasformano un moto rotatorio in uno traslatorio; una loro applicazioneimportante è costituita dagli apparecchi di sollevamento (martinetti a vite).

Come è ben noto, la parte attiva della vite è data da due superfici elicoidali simmetriche(filetto) che si avvolgono attorno all’asse della vite. La madrevite è invece un cilindro cavo

6.4. SISTEMI VITE-MADREVITE 137

nel quale sono ricavate delle gole che ospitano il filetto della vite, che risulta quindi esserel’elemento di accoppiamento delle due componenti del sistema.

Il filetto della vite (e di conseguenza la gola della madrevite) può avere varie forme; lepiù comuni sono a filetto rettangolare e a filetto trapezio.

6.4.1 Vite-madrevite a filetto rettangolare

Si consideri dapprima un sistema vite-madrevite a filetto rettangolare, e si vogliano deter-minare le relazioni tra le grandezze cinematiche, nonché quelle tra le forze e coppie agentisul sistema. A questo scopo, conviene sviluppare su un piano il cilindro medio (di diametrod). Vite e madrevite appaiono allora come due elementi solidi a forma prismatica accoppiatilungo una retta inclinata dell’angolo α, corrispondente all’inclinazione del filetto rispetto allanormale all’asse della vite. La proiezione di questi prismi su un piano è data dai due trapeziABCD (vite) e AFED (madrevite) mostrati nella Fig. 6.20.

Giacché questo sviluppo corrisponde ad una rotazione completa della vite, la lunghezzadella base dei due trapezi è uguale alla lunghezza πd della circonferenza del cilindro medio,mentre l’incremento di altezza è uguale al passo elicoidale pe = πd tan α della vite.

La rotazione della vite e la conseguente la traslazione della madrevite ad essa accoppiatacorrispondono, nello sviluppo di Fig. 6.20, rispettivamente alla traslazione orizzontale ∆xdel trapezio ABCD e alla traslazione verticale ∆z del trapezio AFED, il cui rapporto èdato dall’inclinazione tan α del filetto:

∆z = ∆x tan α (6.54)

D’altronde ∆x è funzione dell’angolo di rotazione ∆θ della vite:

∆x =d

2∆θ (6.55)

da cui:

∆z =d

2tan α∆θ =

pe

2π∆θ (6.56)

A questo punto, per ricavare il rapporto di trasmissione del sistema vite-madrevite, èsufficiente derivare la (6.56) rispetto al tempo, ottenendo:

vmadrevite =dz

dt=

d

2tan α

dθ

dt=

d

2tan α ωvite =

pe

2πωvite (6.57)

da cui finalmente:

τ =vmadrevite

ωvite

=d

2tan α =

pe

2π(6.58)

Lo studio delle relazioni tra forze e coppie agenti in un sistema vite-madrevite portaa risultati interessanti. Si supponga che il sistema sia utilizzato per il sollevamento di uncarico, e si voglia quindi trovare il momento Mv che deve essere applicato alla vite (elementomotore) per muovere la madrevite (elemento condotto), alla quale è applicato un carico P .Detto f il coefficiente di attrito fra i due elementi accoppiati, la forza risultante F scambiata


Figura 6.21: Sollevamento di un carico con un sistema vite madrevite

tra vite e madrevite sarà inclinata di un angolo φ = arctan(f) rispetto alla normale n tra lesuperfici a contatto, e tale da opporsi al moto relativo fra di esse.

Con riferimento alla Fig. 6.21, l’equazione di equilibrio alla traslazione verticale dellamadrevite si scrive:

P = F cos(φ + α) (6.59)

L’equilibrio alla traslazione orizzontale della vite è invece espresso da:

T = F sin(φ + α) = P tan(φ + α) (6.60)

ove T è data dalla risultante delle componenti tangenziali di tutte le forze che la madreviteesercita sulla vite: nello sviluppo della vite sul piano, tali componenti risultano essere par-allele fra loro. Se consideriamo il cilindro originario, anziché il suo sviluppo sul piano, laforza T risulta essere, in valore assoluto, legata al momento Mv applicato alla vite, secondola relazione:

Mv = Td

2(6.61)

Il momento da applicare alla vite per sollevare il carico P è pertanto dato da:

Mv =d

2tan(φ + α) P (6.62)

Dall’equazione precedente e dalla (6.56) è immediato calcolare il rendimento del sistemavite-madrevite:

η =Lr

Lm

=P∆z

Mv∆θ=

tan α

tan(φ + α)(6.63)

Consideriamo adesso il caso di moto retrogrado (Fig. 6.22), ovvero la madrevite sial’elemento motore e la vite l’elemento condotto (si ha quindi un abbassamento del carico). Le


Figura 6.22: Abbassamento di un carico

relazioni cinematiche, in particolare la (6.56), rimangono valide, mentre per quanto riguardale relazioni tra le forze, la differenza fondamentale è che la forza F scambiata tra le superficia contatto sarà inclinata sempre di un angolo φ rispetto alla normale n, ma dalla parteopposta rispetto al caso precedente, in quanto si è invertito il verso del moto relativo tra vitee madrevite.

Le equazioni di equilibrio, alla traslazione verticale della madrevite e alla traslazioneorizzontale della vite, sono ora date da:

P = F cos(φ − α) (6.64)

T = F sin(φ − α) = P tan(φ − α) (6.65)

mentre il momento Mv da applicare alla vite, in condizioni di regime, per abbassare ilcarico è:

Mv = Td

2=

d

2tan(φ − α) P (6.66)

Nel caso di moto retrogrado, si possono quindi verificare due possibilità:

1. φ > α

Nel caso in cui l’angolo di attrito sia maggiore dell’inclinazione del filetto, il momentoricavato dalla (6.66) è positivo, il che significa che è necessario applicare alla vite unacoppia di intensità pari a Mv per muovere il carico. In altre parole, il carico non siabbassa spontaneamente in assenza di una coppia esterna applicata alla vite, e ciò acausa di una preponderanza delle forze di attrito.

E’ questo il caso in cui il sistema vite-madrevite costituisce un dispositivo irreversibile,in quanto il moto retrogrado spontaneo è impossibile.


2. φ < α

Nel caso in cui l’angolo di attrito sia minore dell’inclinazione del filetto, la (6.66)fornisce un valore negativo di Mv. Ciò sta a significare che, in assenza di una coppiaesterna applicata alla vite, il sistema si abbassa spontaneamente e, per controbilanciaredetto abbassamento, ovvero affinché esso avvenga in condizioni di moto uniforme, ènecessario applicare alla vite una coppia di intensità Mv e di verso tale da opporsi almoto.

In questa situazione, causata dalla preponderanza delle componenti lungo il filettodelle forze dovute al carico, rispetto alle forze di attrito fra vite e madrevite, il sistemacostituisce un dispositivo reversibile, essendo il moto retrogrado spontaneamentepossibile.

6.4.2 Vite-madrevite a filetto trapezio

Figura 6.23: Vite-madrevite a filetto trapezio

Se il dispositivo vite-madrevite ha filetto trapezio anziché rettangolare, le considerazionisvolte nel paragrafo precedente sono ancora valide. In particolare, le relazioni cinematicherimangono inalterate, mentre per quanto riguarda la relazione tra carico e coppia da applicarealla vite, è sufficiente considerare che l’inclinazione del fianco del filetto dovuta all’angolo θdel trapezio (Fig. 6.23) ha come effetto quello di aumentare, a parità di carico, la forza diattrito lungo le superfici a contatto, rispetto al caso di filetto rettangolare.

Ciò può essere modellato, analogamente a quanto si è fatto per le cinghie trapezoidali,introdicendo un coefficiente di attrito equivalente definito da:

f ′ =f

cos θ(6.67)

ove f è ovviamente il coefficiente di attrito effettivo tra vite e madrevite.


6.4.3 Vite a circolazione di sfere

Figura 6.24: Vite a circolazione di sfere

Si è visto in un paragrafo precedente come il sistema vite-madrevite possa presentarecaratteristiche di reversibilità oppure di irreversibilità, a seconda del valore del coefficientedi attrito a parità di inclinazione del filetto.

In certe applicazioni dei dispositivi vite-madrevite (ad esempio, negli apparecchi di solle-vamento), l’irreversibilità è una caratteristica desiderata, in quanto impedisce che il sistemasi muova spontaneamente in assenza di coppia motrice applicata. In altre applicazioni sidesidera invece avere un meccanismo reversibile, per cui è necessario abbassare il coeffeicientedi attrito tra gli elementi accoppiati.

Ciò può essere realizzato, ad esempio, facendo in moto che tra vite e madrevite nonsi abbia attrito radente, bensì volvente, come nella vite a circolazione di sfere (Fig.6.24). In un siffatto dispositivo il filetto è sostituito da gole elicoidali presenti in entrambigli elementi; in un certo tratto di queste gole trovano alloggio alcune sfere, la cui funzioneè quella di sopportare le forze scambiate fra vite e madrevite. All’interno della madreviteè inoltre previsto un condotto di ritorno, che permetta alle sfere (che ovviamente avanzanoall’interno della gola durante il movimento del sistema) di circolare, in modo tale da avereun funzionamento continuo del sistema.

Le relazioni cinematiche di una vite a circolazione di sfere sono le medesime ricavate perla vite a filetto rettangolare, in particolare il rapporto di trasmissione è sempre dato dalla(6.58).

Per quanto riguarda invece le relazioni tra coppia C applicata alla vite e la F forzaapplicata alla madrevite, è conveniente esprimerle in funzione del rendimento che, per unavite a circolazione di sfere, si attesta tipicamente su valori medi di η ≈ 0, 9. Tali valori,di molto superiori a quelli dei dispositivi vite-madrevite a strisciamento (per i quali η variatipicamente tra 0,2 e 0,5), fanno della vite a circolazione di sfere un sistema sempre reversibile(si ricordi che un sistema è reversibile se il suo rendimento è maggiore di circa 0,5).

Se la vite è l’elemento motore e la madrevite l’elemento condotto (moto diretto), ilrendimento del sistema è definito come:

η =Fvmadrevite

Cωvite

(6.68)

per cui la coppia C per muovere il carico, in condizioni di regime, è data da:


C =F

η

vmadrevite

ωvite

=F

ητ (6.69)

Se invece la madrevite è l’elemento motore e la vite l’elemento condotto (moto inverso oretrogrado), il rendimento del sistema è definito come:

ηinv =Cωvite

Fvmadrevite

(6.70)

per cui la forza F per vincere la coppia resistente C, in condizioni di regime, è data da:

F =C

ηinv

ωvite

vmadrevite

=C

ηinv

1

τ(6.71)

Numericamente, i valori di η e ηinv sono pressoché uguali.

6.5 Frizioni

Figura 6.25: Innesto di due alberi

Prende il nome di frizione un dispositivo meccanico per l’attivazione (innesto) o disat-tivazione (disinnesto) di un collegamento fra due alberi rotanti coassiali, in modo tale darealizzare o interrompere, a comando, la trasmissione del moto fra detti alberi.

Il funzionamento delle frizioni è basato, come è evidente dal nome, sul fenomeno dell’at-trito (in inglese friction), che permette la trasmissione di coppia e potenza tra i due elementirotanti.

Si consideri la Fig. 6.25, in cui sono rappresentati due alberi rotanti a diverse velocitàangolari ω1 e ω2, all’estremità dei quali sono montati due dischi di frizione. Se i dischivengono messi a contatto, si ha un accoppiamento in cui è presente una coppia di attrito,il cui valore dipende dalla forza normale con cui i dischi sono premuti l’uno contro l’altro,oltre che ovviamente dal coefficiente di attrito (dinamico, in quanto sussiste moto relativo)fra le superfici a contatto. E’ questa la fase di innesto della frizione.

Una volta terminata la fase di innesto (il che avviene quando i due alberi arrivano aruotare alla stessa velocità angolare), non sussiste più strisciamento, bensì aderenza trale superfici dei due elementi della frizione: il sistema si comporta ora come un unico corporigido ruotante ad una determinata velocità angolare. Questa situazione permane fintantoché

6.5. FRIZIONI 143

non viene comandato il disinnesto, oppure finché la coppia trasmessa dall’albero motore aquello condotto non supera un valore limite, determinato dalla condizione di aderenza, cheè funzione ovviamente del coefficiente di attrito statico fra le superfici a contatto.

Vogliamo ora studiare le fasi di innesto e di aderenza del sistema rappresentato in Fig.6.25, in cui poniamo che l’elemento 1 della frizione sia collegato all’albero motore e l’elemento2 all’albero condotto. Siano inoltre:

• I1 e I2 i momenti di inerzia dei due alberi e delle masse rotanti ad essi solidali

• ω10 e ω20 le velocità angolari dei due alberi prima dell’innesto

• ωf la velocità angolare del sistema al termine della fase di innesto

• Cm la coppia motrice (albero 1) e e Cr la coppia resistente (albero 2)

• θ1 e θ2 le generiche posizioni angolari dei due alberi

La variazione dell’energia cinetica complessiva del sistema dT in un tempo dt durante lafase di innesto è data dal lavoro meccanico netto entrante nel sistema nello stesso intervallodi tempo, ovvero:

dT = dLm − dLr − dLf = Cmdθ1 − Crdθ2 − dLf (6.72)

essendo dLm, dLr e dLf rispettivamente il lavoro motore, il lavoro resistente e il lavorodissipato per attrito nell’intervallo dt. Integrando la (6.72) per tutta la durata, da t = 0 at = tf , della fase di innesto, è possibile ricavare il valore dell’energia dissipata durante talefase:

Lf = T (0) − T (tf ) + Lm − Lr =1

2

[

I1ω210 + I2ω

220 − (I1 + I2)ω

2f

]

+∫ tf

0Cmω1dt −

∫ tf

0Crω2dt

(6.73)Se la durata tf della fase di innesto è piccola, i due integrali nella (6.73) sono trascurabili

rispetto alla differenza di energia cinetica (si può assimilare l’innesto ad un urto): la (6.73)allora diventa:

Lf =1

2

[

I1ω210 + I2ω

220 − (I1 + I2)ω

2f

]

(6.74)

Poiché il valore della velocità ωf al termine della fase di innesto non è nota a priori,è necessario ricavarla da qualche altra equazione. Si utilizza in proposito il principio diconservazione del momento angolare, espresso da:

I1ω10 + I2ω20 = (I1 + I2)ωf (6.75)

che consente di ricavare ωf :

ωf =I1ω10 + I2ω20

I1 + I2

(6.76)


Sostituendo la (6.76) nella (6.74) si ottiene finalmente il valore dell’energia dissipatanell’innesto in funzione delle velocità iniziali:

Lf =1

2

I1I2

I1 + I2

(ω10 − ω20)2 (6.77)

La dinamica del sistema durante la fase di innesto è espressa dalle seguenti equazioni diequilibrio dinamico dei due alberi:

Cm(t) − Cf (t) − I1dω1

dt= 0 (6.78)

Cf (t) − Cr(t) − I2dω2

dt= 0 (6.79)

ove Cf (t) è la coppia scambiata tra i due elementi della frizione all’istante t. Integrandoqueste equazioni, si ottiene l’andamento nel tempo delle velocità angolari ω1(t) e ω2(t) deidue alberi durante l’innesto.

Terminata tale fase, cioè quando si arriva ad avere ω1 = ω2 = ωf , il sistema diventaequivalente ad un unico corpo rigido avente momento di inerzia (I1 + I2) e ruotante allavelocità angolare ω(t) il cui andamento temporale è ricavabile integrando l’unica equazionedi equilibrio dinamico del sistema complessivo, ovvero:

Cm(t) − Cr(t) − (I1 + I2)dω

dt= 0 (6.80)

Figura 6.26: Andamento delle velocità in un innesto

La Fig. 6.26 mostra un esempio di grafico delle velocità angolari in funzione del tempo.

6.5.1 Frizioni a disco

Le frizioni a disco (Fig. 6.27) sono il tipo di frizione più comune: si tratta di due o piùdischi che possono venire posti a contatto per messo di un movimento assiale.

Anche quando sono costituite da più dischi, esse sono comunque modellabili come un’u-nica coppia di dischi, montati all’estremità dei due alberi da collegare, che vengono premutil’uno contro l’altro con una forza assiale N . I dischi sono ricoperti di materiale ad alto

6.5. FRIZIONI 145

Figura 6.27: Frizione a disco

coefficiente di attrito, del tipo di quello utilizzato nei freni, in modo tale che il contatto trale superfici generi una coppia di attrito Cf durante e anche dopo la fase di innesto.

Il valore di tale coppia di attrito può essere ottenuto con il seguente ragionamento, cheporta a ricavare come varia la pressione nell’area interessata dall’attrito di strisciamento. Siconsiderino due dischi rotanti coassiali, ricoperti di materiale a coefficiente di attrito f , chevengono premuti l’uno contro l’altro (per semplicità, si può ipotizzare che uno dei due dischisia fermo e l’altro ruoti ad una velocità angolare ω).

Inizialmente, la pressione p risulta uniforme su tutta l’area di contatto, il che causaun’usura del materiale più accentuata in corrispondenza della parte esterna dei dischi.

Per dimostrare questa affermazione, si consideri l’ipotesi di Reye che, come si ricorderà,stabilisce che il volume del materiale asportato per usura è proporzionale al lavoro compiutodalle forze di attrito. Ora, il lavoro compiuto in un tempo dt dalle forze di attrito su un’areaelementare dA, posta a distanza r dall’asse di rotazione, è dato da:

dLf = f p dA v dt = f p ω r dA dt (6.81)

ove v = ωr è la velocità tangenziale dell’elemento dA.Per l’ipotesi di Reye:

dLf = kReyedV = kReye dh dA (6.82)

ove dh è lo spessore di materiale asportato nel tempo dt e kReye è una costante diproporzionalità.

Dalla (6.81) e dalla (6.82) si ricava il tasso di asportazione del materiale in direzioneassiale:

dh

dt=

fvp

kReye

=fωp

kReye

r (6.83)

Petanto, se p è costante, come nella fase iniziale di utilizzo di dischi nuovi, la (6.83)dimostra che il consumo del materiale varia in misura proporzionale alla distanza dall’assedi rotazione, e quindi la parte esterna dei dischi presenterà un’usura più accentuata.

Superata tale fase iniziale, si raggiunge una situazione di equilibrio in cui il tasso diconsumo del materiale diventa uniforme in tutta la superficie a contatto. La (6.83) ci fornisceallora l’andamento a regime della pressione:


p =kReye(dh/dt)

fωr= kp

1

r(6.84)

Da cui si vede che la pressione varia radialmente, in maniera inversamente proporzionalerispetto alla diatanza dall’asse di rotazione.

Tipicamente, il contatto tra le superfici dei dischi della frizione non avviene sull’interodisco, ma su una corona circolare di raggio interno ri e raggio esterno re.

Il coefficiente kp può essere ricavato dall’espressione della forza assiale N , ottenutaintegrando la pressione sulla superficie di contatto:

N =∫ re

ri

∫ 2π

0p r dr dθ =

∫ re

ri

∫ 2π

0kp dr dθ = 2πkp(re − ri) (6.85)

da cui:

p = p(r) =N

2πr(re − ri)(6.86)

I valori massimo e minimo della pressione nella zona di contatto si avranno allora perr = ri e r = re rispettivamente:

pmax =N

2πri(re − ri)(6.87)

pmin =N

2πre(re − ri)(6.88)

La coppia di attrito Cf può essere calcolata come somma dei singoli contributi delle azionitangenziali di attrito agenti in ogni punto delle superfici di contatto:

Cf =∫ re

ri

∫ 2π

0f p r2 dr dθ = πfkp(r

2e − r2

i ) (6.89)

Sostituendo in questa equazione il valore di kp ricavato dalla (6.85), si ottiene:

Cf = fNre + ri

2(6.90)

Allo scopo di aumentare il valore della Cf , e quindi essere in grado di trasmettere coppiepiù elevate, si possono costruire frizioni che siano costituite da numerosi dischi (si arrivaanche a parecchie decine), collegati alternativamente con l’elemento motore e l’elementocondotto. La forza assiale di pressione è la stessa per tutti i dischi, ovvero N , e quindi lacoppia di attrito trasmessa dalla frizione viene moltiplicata per il numero n di dischi:

Cf = nfNre + ri

2(6.91)

6.5. FRIZIONI 147

Figura 6.28: Frizione conica

6.5.2 Frizioni coniche

Per aumentare ulteriormente la coppia trasmessa, si possono utilizzare frizioni coniche, incui le superfici che trasmettono la coppia per attrito hanno la forma di un tronco di cono.

Come si può vedere dalla Fig. 6.28, la componente assiale della pressione sviluppata nelgenerico punto delle superfici di contatto è data da:

pa = p sin α + fp cos α (6.92)

ove p è la forza per unità di superficie, normale alla superficie di contatto, f il coefficientedi attrito e α l’angolo di inclinazione del tronco di cono rispetto all’asse.

La (6.86) continua a valere, con l’avvertenza di considerare pa al posto di p, e la compo-nente assiale della forza di compressione Na = N(sin α + f cos α) al posto di N :

pa =Na

2πr(re − ri)(6.93)

da cui, introducendo il valore di pa dato dalla (6.92), si ottiene l’andamento della pressionein funzione della distanza radiale r dall’asse:

p = p(r) =Na

2πr(re − ri)(sin α + f cos α)(6.94)

La coppia trasmessa da una frizione conica può essere ricavata direttamente dalla (6.90)

Cf = fNre + ri

2= fNa

re + ri

2(sin α + f cos α)(6.95)

Come ordine di grandezza, la potenza trasmessa da una frizione può arrivare sino a 200-300 kW, anche se sono state costruite frizioni con caratteristiche particolari (frizioni a bagnod’olio) che raggiungono anche i 2 MW di potenza trasmessa, seppur con qualche svantaggio(ad esempio, l’impossibilità di disaccoppiare completamente i due alberi).


6.6 Freni

Sono detti freni quegli organi meccanici che hanno la funzione di diminuire o annullare lavelocità di un corpo (o di un sistema), dissipandone l’energia cinetica.

Vi sono tre tipi principali di freni:

1. freni ad attrito

2. freni a fluido

3. freni elettromagnetici

Le tipologie 2 e 3, che basano il loro funzionamento rispettivamente sull’attrito viscoso osu fenomeni elettromagnetici, possono creare una coppia frenante solo quando il sistema è inmovimento, mentre i freni ad attrito funzionano anche quando il sistema da frenare è fermo.

Il materiale usato nei freni del tipo 1 ha la proprietà di avere un elevato coefficientedi attrito: viene spesso impiegata una miscela di gomme con un’armatura metallica. Talemateriale è detto ferodo dal nome dell’inventore (Frood, 1909).

Le grandezze che caratterizzano un freno sono:

• coppia frenante

• forza di comando

• efficacia, definita come il rapporto tra la forza d’attrito applicata al corpo da frenaree la forza di comando

• indice di regolarità, definito come il rapporto tra la variazione percentuale della coppiafrenante e la variazione percentuale del fattore di attrito. N.B.: la regolarità di unfreno è tanto maggiore, quanto minore è l’indice di regolarità

E’ evidente che le caratteristiche desiderate per un freno sono:

• modesta forza di comando

• elevata efficacia, ma non tanto da provocare brusche variazioni di velocità

• notevole regolarità (quindi indice di regolarità basso, tipicamente inferiore a 2), inmodo tale da avere costanza di prestazioni e possibilmente assenza di vibrazioni

• scarsa necessità di manutenzione

• semplicità progettuale e costruttiva

• costo non elevato

Vi sono tre principali categorie di freni ad attrito:

1. freni a disco

6.6. FRENI 149

Figura 6.29: Freno a disco

Figura 6.30: Freni a ganasce

2. freni a tamburo (o a ceppi, o a ganasce)

3. freni a nastro

I freni a disco (Fig. 6.29) sono costituiti da un pattino (o guarnizione), ricoperto dimateriale ad alto coefficiente di attrito (gomma, ferodo), che viene accostato ad un discorotante solidale al sistema da frenare. Essi hanno numerosi vantaggi rispetto agli altri tipodi freno: assicurano un’azione frenante più uniforme e uguale in entrambi i versi di rotazione,e inoltre sono meno sensibili a fattori contaminanti (quali acqua, olio, polveri). Per contro, aparità di dimensioni, generano un momento frenante minore rispetto, ad esempio, ai freni atamburo; pertanto devono essere azionati da una forza maggiore, e di conseguenza il materialedi cui sono costituiti deve essere in grado di sopportare pressioni elevate.

I freni a tamburo, o freni a ceppi, o freni a ganasce (Fig. 6.30), sono costituiti dauno o più ceppi ricoperti di materiale adeguato, i quali vengono premuti contro la superficie,esterna oppure interna (si parla anche, in tal caso, di freni ad espansione, vedi Fig. 6.31),di un tamburo solidale al sistema da frenare.

Nei freni a nastro (Fig. 6.32) l’elemento frenante è un nastro su cui è depositato delmateriale di attrito, che viene posto in tensione in modo da serrarsi su un tamburo solidaleal sistema da frenare.

Volendo stabilire un confronto fra i vari freni, è conveniente considerare da un lato i frenia disco, dall’altro gli altri tipi di freno, che possono essere assimilati in quanto sia nei frenia ganasce che in quelli a nastro l’elemento da frenare è un tamburo rotante.


Figura 6.31: Freni a espansione

Figura 6.32: Freno a nastro

I vantaggi dei freni a disco, rispetto alle altre tipologie di freno, sono principalmente:

• notevole regolarità di funzionamento, anche in condizioni spinte di esercizio

• uguale efficacia nei due versi di rotazione

• assenza di surriscaldamento

• assenza di distorsioni dell’elemento rotante

• carichi modesti sui cuscinetti

• usura più uniforme delle guarnizioni e comunque possibilità di aggiustamento auto-matico dei giochi

• peso modesto, a parità di coppia frenante

• facilità di sostituzione delle guarnizioni

• maggiore capacità di sopportare cicli di funzionamento ad alta frequenza

Lo svantaggio principale dei freni a disco è invece legato alla bassa efficacia intrinseca.

6.7. CUSCINETTI 151

Figura 6.33: Caratteristiche medie dei freni

Figura 6.34: Efficacia e regolarità di varie tipologie di freni

6.7 Cuscinetti

I cuscinetti sono componenti meccanici che fungono da supporto per organi rotanti comegli alberi, equilibrando i carichi ad esso applicati da parte degli altri elementi del sistema,ed originando allo stesso tempo coppie resistenti di piccola entità.

I cuscinetti si suddividono in due grandi categorie:

1. cuscinetti a strisciamento, altresì detti bronzine, costituiti da una boccola cilindrica,esternamente fissata, al cui interno ruota un albero. Tra albero e cuscinetto è in generepresente uno strato di lubrificante;

2. cuscinetti a rotolamento, o volventi, in cui tra la parte fissa e quella mobile dell’ac-coppiamento sono interposti opportuni elementi di rotolamento, in modo che l’attritorisulti volvente anziché radente.


Figura 6.35: Esempi di cuscinetti a rotolamento

Figura 6.36: Nomenclatura dei cuscinetti

6.7. CUSCINETTI 153

Il cuscinetto volvente deve la sua maggiore diffusione ai vantaggi innegabili che essopresenta rispetto ai cuscinetti a strisciamento:

• l’attrito di un cuscinetto volvente è circa 1/10 di quello di una bronzina;

• mentre per i cuscinetti volventi l’attrito è praticamente costante con la velocità e tendea diminuire con l’aumentare del carico, nelle bronzine è molto variabile con la velocità,con il carico e con la temperatura, e può raggiungere valori elevati, soprattutto a bassevelocità;

• i cuscinetti a rotolamento hanno un ingombro assiale minore;

• i cuscinetti volventi necessitano di minore manutenzione e lubrificazione rispetto allebronzine.

Gli svantaggi dei cuscinetti a rotolamento rispetto a quelli a strisciamento sono sostanzial-mente dati da:

• maggior ingombro radiale;

• maggiore rumorosità;

• minore resistenza agli urti;

• maggior costo.

Nella nostra analisi tratteremo principalmente dei cuscinetti a rotolamento, la cui diffu-sione è prevalente rispetto a quelli a strisciamento.

I principali requisiti di progetto richiesti ad un cuscinetto sono:

• sopportare carichi di entità e direzione assegnata,

• avere una durata assegnata operando nelle condizioni di progetto,

• avere dimensioni e, conseguentemente, ingombro definiti.

Per la fabbricazione dei cuscinetti si utilizzano materiali duri, ad alta resistenza, concaratteristiche superiori a quelli degli elementi ai quali vengono accoppiati.

I costruttori hanno reso disponibili cuscinetti a rotolamento in una grande varietà ditipologie, dimensioni e caratteristiche di resistenza e le cui caratteristiche di utilizzazione(valori del carico e velocità) sono tabulate in cataloghi.

Il compito dell’utilizzatore è quello di effettuare una selezione fra i cuscinetti presenti incommercio. In questa sede ci limiteremo a fornire solo alcune considerazioni di carattere gen-erale relative alla scelta dei cuscinetti. Per approfondimenti si rimanda il lettore a testi spe-cializzati, oppure ai siti internet dei principali produttori (ad esempio: http://www.skf.com).

La Fig. 6.36 mostra la nomenclatura di un cuscinetto a sfere con i suoi quattro componentiessenziali:

1. l’anello (o ralla) esterno - outer ring,


Figura 6.37: Corpi volventi nei cuscinetti a rotolamento: sfere, rulli cilindrici, rullini, rulli abotte, rulli conici

2. l’anello (o ralla) interno - inner ring,

3. i corpi volventi (sfere, rulli o aghi/rullini), - rolling elements

4. il separatore (o gabbia) - guide ring/separator

Nei cuscinetti di basso costo il separatore è qualche volta assente, ma esso assolve l’im-portante funzione di evitare il contatto fra le sfere. Le gabbie sono generalmente realizzatein acciaio, ma talvolta possono essere di ottone o plastica.

6.7.1 Classificazione dei cuscinetti

I tipi di cuscinetti a rotolamento attualmente costruiti sono così numerosi e vari sia performa, dimensioni e disposizione dei corpi volventi, sia per la natura e la direzione dei carichiche sono chiamati a sopportare, che una classificazione risulterebbe molto complessa e pocopratica.

Per semplicità i cuscinetti potrebbero in prima approssimazione essere classificati in basealla forma dei corpi volventi in essi montati (Fig. 6.37):

• sfere,

• rulli cilindrici,

• rullini,

• rulli a botte,

• rulli conici

Un’ulteriore classificazione potrebbe essere fatta in base all’angolo che la congiungente ipunti di contatto tra i corpi volventi e gli anelli forma con l’asse del cuscinetto (Fig. 6.38):

• cuscinetti radiali: nei quali tutte le rette passanti per i punti di contatto AA sononormali all’asse del cuscinetto,

• cuscinetti obliqui, nei quali la posizione della retta di contatto AA è inclinata rispettoall’asse CC di un angolo α

• cuscinetti assiali, nei quali le rette di contatto AA risultano parallele all’asse

I cuscinetti radiali, pertanto, possono sopportare solo spinte radiali, i cuscinetti assialisopportano una spinta assiale (in uno solo, o in entrambi i versi, a seconda del tipo dicuscinetto), i cuscinetti obliqui sopportano spinte miste (combinazioni di assiale e radiale).

6.7. CUSCINETTI 155

Figura 6.38: Cuscinetti radiali, obliqui e assiali

6.7.2 Criteri di selezione dei cuscinetti

La selezione di un cuscinetto viene effettuata determinandone:

• tipo

• dimensioni

• resistenza

Il tipo del cuscinetto viene selezionato in base ai seguenti fattori:

• la direzione del carico cui il cuscinetto è assoggettato (assiale-radiale-misto),

• l’ingombro (che è legato alle dimensioni).

Le dimensioni del cuscinetto, in particolare le dimensioni esterne radiale e assiale, dipen-dono dal tipo di cuscinetto e dalla sua resistenza. La dimensione interna è spesso impostada un vincolo di progetto.

Per resistenza richiesta ad un cuscinetto si intende, come vedremo nel seguito:

• carico ammissibile statico

• carico ammissibile dinamico

• durata

• affidabilità

• velocità massima ammissibile (dipende dalla temperatura di funzionamento ammissi-bile).

Questi tre parametri si influenzano l’un l’altro per l’ovvia dipendenza tra di loro.Per introdurre i calcoli relativi alla scelta del cuscinetto è necessario premettere qualche

considerazione relativa alla durata (o vita) dei cuscinetti.


Figura 6.39: Funzioni di probabilità di sopravvivenza e cedimento dei cuscinetti.

Vita dei cuscinetti

Durante il rotolamento degli elementi volventi all’interno delle guide si manifestano delletensioni hertziane fra gli anelli (esterno ed interno) e l’elemento.

Se un cuscinetto è ben lubrificato ed opera al di sotto della temperatura massima ammis-sibile, la sola causa di rottura è costituita dalla fatica meccanica, che si manifesta a seguitodell’applicazione di un numero elevato di cicli (dell’ordine dei milioni).

Si può quindi introdurre come parametro di riferimento la vita del cuscinetto (dettaanche vita a fatica o vita utile o durata), definita come il numero totale di rotazionio il numero di ore di funzionamento a una data velocità angolare (costante) prima che simanifesti un’evidenza di fatica, tipicamente consistente nella comparsa di crateri e vaiolaturesulla superficie degli anelli, che porta dopo breve tempo alla rottura del cuscinetto stesso.

La comparsa delle prime evidenze di fatica può veriare notevolmente da cuscinetto acuscinetto, anche fra cuscinetti appartenenti allo stesso lotto di produzione. Per questomotivo la vita di un cuscinetto viene solitamente definita in maniera probabilistica.

Si consideri la Fig. 6.39, in cui compaiono tre curve:

• la curva tratteggiata rappresenta la densità di probabilità pc(L) di cedimento dei cus-cinetti appartenenti ad un lotto prefissato, in funzione del numero di cicli L (da ril-evazioni sperimentali, si è visto che essa può venire ben approssimata dalla funzionedensità di probabilità di Weibull: y(x) = (3/2)

√xexp(−x3/2));

• la curva punteggiata rappresenta la distribuzione cumulativa Pc(L) delle probabilità dicedimento, ottenuta integrando pc(L);

• la curva continua è la distribuzione cumulativa Pv(L) della probabilità di vita deicuscinetti del lotto. Essa è ovviamente il complemento a 1 della Pc(L): Pv(L) =1 − Pc(L).

Il numero di cuscinetti che sopravvivono dopo un certo numero di cicli L∗ può esserepertanto ottenuto moltiplicando per 100 il valore della Pv(L

∗) ricavato dalla curva continua

6.7. CUSCINETTI 157

in Fig. 6.39. In particolare, l’ISO (International Standard Organization) ha definito comeparametro di riferimento per i cuscinetti la vita limite o durata nominale L10, ovveroil numero di milioni di cicli (o, in alternativa, il numero di ore di funzionamento a velocitàcostante) che il 90% dei cuscinetti di un lotto completa prima che si manifestino evidenze difatica.

Certi costruttori utilizzano come parametro di riferimento la vita media, definita comeil numero di milioni di cicli (o, in alternativa, il numero di ore di funzionamento a velocitàcostante) che il 50% dei cuscinetti di un lotto completa prima che si manifestino evidenze difatica. Questo parametro non è tuttavia standardizzato.

Carico statico e carico dinamico

La vita di un cuscinetto dipende, come è logico attendersi, dal carico applicato. Provesperimentali mostrano che due gruppi di identici cuscinetti testati sotto differenti carichi F1

ed F2 avranno rispettivamente vite limite L1 ed L2 in accordo con la relazione:

L1

L2

=(

F2

F1

)a

(6.96)

dove:

• L: milioni di rotazioni oppure l = (L · 106)/(60n) in ore considerando una velocitàcostante n[giri/min] uguale per i due casi;

• a: parametro che dipende dal tipo di cuscinetto. Sperimentalmente si è osservato chea ≈ 3 per i cuscinetti a sfere e a ≈ 10/3 per i cuscinetti a rulli.

Tipicamente la durata di riferimento di un cuscinetto è fornita dal costruttore sotto formadi due parametri:

1. carico statico, detto anche carico di catalogo

2. carico dinamico, detto anche coefficiente di carico o carico limite.

Il carico statico FR è il massimo carico, espresso in kN , che un cuscinetto può sop-portare in condizioni statiche, ovvero da fermo o con rotazioni molto lente. Esso dipendeprincipalmente dal tipo e dalla geometria del cuscinetto.

Il carico dinamico è definito come quel carico radiale (assiale) che un gruppo di cuscinet-ti radiali (assiali) apparentemente identico può sopportare per una vita limite di un milionedi rotazioni dell’anello interno, in condizioni di carico costante, anello interno rotante edanello esterno fisso.

Noto il coefficiente di carico C, è possibile calcolare il massimo carico applicabile alcuscinetto in condizioni dinamiche, per una vita limite assegnata L. Usando infatti la (6.96),e ponendo F1 = F , L1 = L10, F2 = C e L2 = 1, si ottiene:

F =C

L1

a

(6.97)

In alternativa, se si conosce il carico massimo F applicabile al cuscinetto, è possibilecalcolare la vita limite del cuscinetto soggetto a tale carico in condizioni dinamiche:


L =(

C

F

)a

(6.98)

I coefficienti di carico sono determinati per via sperimentale, tuttavia sono state re-centemente messe a punto delle formule basate sulla teoria relativa alla vita a fatica chepermettono ai costruttori di prevederne il valore, in base alle caratteristiche costruttive delcuscinetto.

Capitolo 7

Camme

La camma è un organo meccanico atto a realizzare una determinata legge di moto, il cuiandamento dipende dalla forma della camma stessa.

Esistono anche altri meccanismi con i quali si possono ottenere leggi di moto con deter-minate caratteristiche, ma nessuno permette di ottenere, in generale, leggi di moto anchecomplesse con la precisione e la relativa semplicità offerte dai meccanismi con camme. Ciòspiega la gran diffusione di questi ultimi, specialmente nelle macchine automatiche veloci.

Di solito, la camma è inserita in un meccanismo che comprende almeno tre membri(movente, cedente e telaio), con due coppie elementari e una coppia superiore. La cammasvolge comunemente la funzione di movente.

I meccanismi con camme possono essere classificati in base a diversi criteri. Un primocriterio di classificazione è quello di considerare il tipo di moto (rotatorio o traslatorio)della camma e del membro a contatto con essa attraverso la coppia superiore.

Il moto rotatorio può essere continuo o alternato, mentre quello traslatorio può esseresolo alternato. Nei casi più frequenti, la camma costituisce il movente ed è dotata di motorotatorio continuo, mentre il cedente è dotato di moto alternato.

• Se la camma è traslante, essa prende anche il nome di sagoma;

• se il cedente si muove di moto traslatorio, esso si dice punteria,

• se il moto del cedente è rotatorio alterno, esso viene detto bilanciere.

Le camme si possono poi classificare in base alla loro forma: camme piane o a dis-co, camme cilindriche, ed altri tipi meno comuni (camme coniche, camme sferiche, cammespaziali o cammoidi, ecc.).

Si distinguono poi diversi tipi di cedenti, a seconda della forma che assume l’elementocinematico a contatto con la camma.

Si possono avere

• cedenti a spigolo vivo (o meglio, con raggio di curvatura molto piccolo), usati moltoraramente e solo se le forze in gioco sono molto modeste;

• cedenti a piattello (piano o curvo), impiegati in alcuni casi (motori endotermicialternativi) perché danno luogo a meccanismi compatti e robusti ;

159

160 CAPITOLO 7. CAMME

Figura 7.1: Sagoma traslante con punteria a rotella

• cedenti a rotella, molto usati perché il contatto di rotolamento fra camma e cedenteriduce l’attrito e l’usura.

7.1 Legge del moto del cedente

Si dice legge di moto del cedente la legge secondo la quale il cedente si sposta, mossodalla camma, in funzione del tempo.

Indicando con y to spostamento (lineare o angolare) del cedente, la legge del moto saràun’espressione del tipo:

y = y(t) (7.1)

Di solito, però, interessa conoscere la posizione del cedente non tanto in funzione deltempo, quanto, piuttosto, in funzione della posizione angolare della camma (o della posizionelineare, se si tratta di una sagoma).

Se, come di solito accade, la velocità angolare della camma (o lineare della sagoma) ècostante, i due modi di assegnare la legge del moto sono del tutto equivalenti.

Indicando con ω la velocità angolare e con θ l’angolo di rotazione della camma, la leggedi moto del cedente sarà un’espressione del tipo:

y = y(θ) = y(ωt) (7.2)

La velocità e l’accelerazione si otterranno derivando la (7.2) rispetto al tempo. Se lavelocità angolare è costante si avrà:

7.1. LEGGE DEL MOTO DEL CEDENTE 161

Figura 7.2: Camma piana con punteria a piattello curvo

Figura 7.3: Camma piana con bilancere a piattello piano

y =dy

dθ

dθ

dt=

dy

dθω = y′(θ)ω (7.3)

y =d2y

dθ2

(

dθ

dt

)2

=d2y

dθ2ω2 = y′′(θ)ω2 (7.4)

Osserviamo che y(θ), y′(θ), y′′(θ) dipendono solo dalla forma della camma, mentre y(t),y(t), y(t) dipendono anche dalla sua velocità angolare.

Nel caso di una sagoma, al posto dello spostamento angolare θ comparirà quello lineare,che indicheremo con x.

La legge di moto del cedente comprende, in generale, quattro fasi:

• andata (A),


Figura 7.4: Camma piana con punteria a rotella e camma cilindrica con punteria a rotella

Figura 7.5: Cedente a spigolo vivo, a piattello piano e a rotella

• sosta (S),

• ritorno (R),

• sosta (S);

le due fasi di sosta, o una sola di esse, possono mancare.Spesso, per comodità, viene detta legge di moto non la legge relativa a tutti i 360, ma

quella relativa ad una delle fasi attive (A o R), e si parla perciò di legge di moto dell’andatae legge di moto del ritorno.

Indicheremo con β l’angolo di rotazione della camma corrispondente ad una determinatafase; la somma degli angoli a di tutte le fasi vale, evidentemente, 360.

Lo spostamento totale del cedente in una fase attiva (spostamento lineare se si tratta diuna punteria, angolare se è un bilanciere) si dice alzata (o salto); nel seguito, lo indicheremocon H. In Fig. 7.6 è rappresentata l’alzata in funzione della rotazione della camma, nellequattro fasi del moto.

7.2. TRACCIAMENTO DI UNA CAMMA 163

Figura 7.6: Fasi del moto del cedente

7.2 Tracciamento di una camma

Supponiamo assegnata la legge di moto del cedente, nella forma y = y(θ) e proponiamoci didisegnare la camma atta ad imporre al cedente tale legge.

Se la camma da disegnare è una sagoma traslante e il cedente è una punteria aspigolo vivo (Fig. 7.7a) il contorno di tale sagoma coinciderà esattamente con la legge dimoto del cedente, y = y(x).

La forma della sagoma dipenderà quindi:

• dalla legge di moto

• dalla sua velocità di traslazione (che supporremo costante)

• dal tempo richiesto per lo spostamento totale H del cedente.

La velocità e il tempo richiesto determinano infatti la lunghezza della sagoma.Osserviamo che quanto maggiore è tale lunghezza, tanto minore è l’inclinazione della

sagoma (ovvero l’angolo di pressione).Se si vuole disegnare il contorno di una sagoma che comanda una punteria a rotella

(Fig. 7.7b), si procederà come nel caso precedente, ottenendo tuttavia, invece del contornodella sagoma, il luogo dei centri della rotella.

Basterà allora disegnare la rotella con il centro nei punti del luogo suddetto, per ottenereil contorno cercato come inviluppo delle circonferenze rappresentanti il contorno della rotellastessa.

La sagoma potrebbe anche essere a comando positivo: in questo caso, i due contornidel solco entro cui si impegna la rotella saranno i due inviluppi delle circonferenze cherappresentano il contorno della rotella.

Per disegnare una camma cilindrica, è sufficiente disegnare la corrispondente sagomapiana, la quale va poi pensata avvolta sul cilindro.

La pista della camma cilindrica avrà in realtà uno spessore radiale, di solito piccolorispetto al raggio del cilindro; come cilindro di riferimento sul quale considerare avvolta lasagoma (al fine di determinare la lunghezza di questa) si assume di norma il cilindro medio.


Se la sagoma di partenza ha una sola pista, la camma che si ottiene è detta anche abicchiere; se la sagoma ha una doppia pista, si ottiene una camma cilindrica a comandopositivo (Fig. 7.8).

Figura 7.7: Tracciamento di una sagoma per punteria a spigolo vivo e per punteria a rotella

Figura 7.8: Tracciamento di una camma cilindrica a comando positivo con punteria a rotella

Nel tracciamento del profilo di una sagoma si è fatto uso del procedimento dell’inversionecinematica, che consiste nel disegnare il cedente nelle successive posizioni che esso viene adassumere rispetto alla camma, considerata fissa (nel meccanismo cinematicamente invertito,pertanto, al telaio viene imposto un moto uguale ed opposto a quello compiuto dalla cammanel meccanismo reale).

Tale procedimento, che nel caso delle sagome con punteria non ha bisogno di commenti,permette di disegnare anche i contorni delle camme piane, e può essere esteso ai casi dicamme (sagome e camme a disco) con bilanciere.

Noi ci limiteremo ad esporlo per i casi di camma piana con punteria a rotella, con punteriaa piattello piano e con bilanciere a rotella, essendo priva di difficoltà l’estensione agli altricasi.

7.2. TRACCIAMENTO DI UNA CAMMA 165

7.2.1 Camma piana con punteria centrata a rotella

Figura 7.9: Determinazione grafica del contorno di una camma piana con punteria centratae con punteria eccentrica a rotella

Consideriamo il caso di una camma piana con punteria a rotella. Supponiamo per ilmomento che la punteria sia centrata, cioè che il suo asse incontri l’asse della camma (Fig.7.9a).

Noti il raggio base R0 della camma e il raggio r della rotella, si fissi per prima cosa unpunto O1 a distanza OO1 = R0 + r dal punto O, intersezione dell’asse della camma con ilpiano di moto.

Assunto quindi OO1 come riferimento, per un generico valore θi di θ si tracci una semirettaformante con OO1 un angolo θi. e su di essa si fissi il punto O1i a una distanza da O pari a:

OO1i = R0 + r + y(θi) (7.5)

Il punto OO1i è quindi la posizione del centro della rotella rispetto alla camma, quandoquesta ha ruotato dell’angolo θi rispetto alla posizione iniziale.

Naturalmente, se la camma ruota in verso orario, l’angolo θi va preso in verso antiorario(e viceversa), in modo che il moto relativo fra la camma e il telaio rimanga lo stesso nel casoeffettivo e nel meccanismo cinematicamente invertito.

Ripetendo più volte la costruzione, per un sufficiente numero di valori dell’angolo θi, sitrova il luogo dei centri della rotella (luogo che coinciderebbe con il contorno della camma, seil cedente fosse a spigolo vivo): tracciando adesso le circonferenze di raggio r con i centri neipunti OO1i trovati, il contorno della camma si ottiene come inviluppo di tali circonferenze.

Ovviamente, in corrispondenza delle fasi di sosta il contorno della camma risulta essereun arco di circonferenza di centro O, di raggio R0, per la sosta inferiore e di raggio R0 + Hper la sosta superiore.


7.2.2 Camma piana con punteria eccentrica a rotella

Se la punteria è eccentrica, cioè se il suo asse non incontra l’asse della camma, ma si trovaad una distanza e (eccentricità) da esso, la costruzione precedente si modifica leggermente.

Si traccia innanzitutto una circonferenza di centro O e raggio e. La distanza base Ra

della camma è data da (Fig. 7.9b):

Ra =√

(R0 + r)2 − e2 (7.6)

Per ogni valore dell’angolo θi si tracciano le tangenti alla circonferenza di raggio e e lungoqueste, a partire dal punto di tangenza, si riportano le distanze Ra + y(θi), determinandocosì i punti OO1i

.

7.2.3 Camma piana con punteria a piattello piano

Figura 7.10: Determinazione grafica del contorno di una camma piana con punteria a piattellopiano

Se la punteria è a piattello piano (Fig. 7.10), sulle semirette uscenti da O si riportano ledistanze R0+y(θi), e quindi per i punti così trovati si tracciano dei segmenti, rappresentanti ilcontorno inferiore del piattello: l’inviluppo di tali segmenti fornisce il contorno della camma.

7.2.4 Camma piana con bilanciere a rotella

Con riferimento alla Fig. 7.11, siano noti:

• la distanza d fra l’asse della camma (O) e quello del bilanciere (O2);

• la lunghezza b del bilanciere;

• l’angolo φ che il bilanciere forma con la retta passante O e O2, nella configurazioneiniziale (di sosta) del meccanismo;

7.3. ANALISI CINETOSTATICA 167

Figura 7.11: Determinazione grafica del contorno di una camma piana con bilanciere a rotella

• di conseguenza, risulta determinata anche la posizione iniziale O1 del centro dellarotella.

Applicando il metodo dell’inversione cinematica, si ruoti OO2, del generico angolo θi.La posizione dell’asse del bilanciere sarà ora O2i, e il bilanciere formerà con OO2, l’angoloφ + y(θi) (y è ora uno spostamento angolare). Si può quindi trovare facilmente il luogo delleposizioni O1i occupate dal centro della rotella, dalle quali, per inviluppo, si risale subito alprofilo della camma.

7.3 Analisi cinetostatica

Svolgiamo ora alcune considerazioni sulle forze che si trasmettono i membri di un meccanismocon camma, con particolare riguardo al caso della camma a disco con punteria a rotella.

Prescindendo dagli attriti, la forza di contatto fra camma e punteria è diretta secondo lanormale ai due profili nel punto di contatto.

L’angolo α che tale direzione forma con l’asse del moto della punteria, chiamato angolodi pressione o di spinta, deve avere possibilmente valori piccoli in corrispondenza delleintere fasi attive.

Si consideri infatti la Fig. 7.12. Si può dimostrare che, se Q è la forza resistente, laforza S12 trasmessa dalla camma alla punteria e le reazioni R32a, R32b della guida prismaticahanno le seguenti espressioni:

S12 =bQ

b cos α − f (b + 2c) sin α(7.7)

R32a =cQ sin α

b cos α cos ϕ − (b + 2c) sin α cos ϕ(7.8)


Figura 7.12: Forze agenti sulla punteria

R32b =(b + c) Q sin α

b cos α cos ϕ − (b + 2c) sin α cos ϕ(7.9)

dove f è il coefficiente d’attrito e c è dato da:

c = a − (R0 + r + y) (7.10)

In particolare, se il coefficiente d’attrito f è sufficientemente piccolo, la forza S12 assumel’espressione approssimata:

S ∼= Q

cos α(7.11)

da cui si desume che è sempre conveniente che α abbia un valore piccolo, al di sotto dei40 circa.

Osserviamo poi che occorre evitare (mantenendo un ragionevole margine di sicurezza)che la retta d’azione della forza S12 passi per il punto d’incontro K delle rette d’azione dellereazioni vincolari R32a e R32b. Se ciò avvenisse, una forza S12 comunque grande potrebbesempre essere equilibrata dalle sole reazioni R32a e R32b: ciò significa che per equilibrare laforza resistente Q occorrerebbe una forza S12 addirittura infinita.

Se, poi, la retta d’azione della S12 passasse a sinistra del punto K, l’equilibrio dellapunteria potrebbe essere assicurato soltanto da una forza Q orientata verso l’alto.

In tali condizioni si avrebbe un impuntamento del meccanismo.Per evitare l’impuntamento, l’angolo di pressione deve soddisfare alla seguente disug-

uaglianza:

7.4. LEGGI DEL MOTO ELEMENTARI 169

tan α <b

f (b + 2c)(7.12)

Questa relazione può essere facilmente ricavata dalla (7.7) trovando il valore di α per ilquale il valore di S12 diventa infinito.

Net caso della punteria a piattello piano, l’angolo di pressione è nullo, il che costituisceun non trascurabile vantaggio di questa soluzione. Il pericolo di impuntamento può ancorapresentarsi, sia pure raramente, se il punto di contatto fra camma e piattello è molto discostodall’asse delta punteria.

Nel caso del bilanciere, la condizione di impuntamento non può praticamente verificarsi.Anche in questo caso, comunque, è opportuno che l’angolo di pressione sia piccolo, affinché leforze trasmesse non raggiungano valori troppo elevati (come si e visto nel caso della punteria).

7.4 Leggi del moto elementari

Una volta scelto il tipo di meccanismo in cui va inserita la camma, occorre scegliere la leggedi moto del cedente. In alcuni casi, tale legge è rigorosamente prescritta da motivi funzionali:ad esempio, se si deve guidare il cedente lungo traiettorie prestabilite, o in altri casi simili.

Più frequentemente, sono imposti solo l’alzata H e il corrispondente angolo di rotazioneβ, mentre la vera e propria legge del moto può essere scelta dal progettista secondo propricriteri.

Vediamo allora quali sono le leggi che vengono scelte nei casi piu comuni.Una legge molto comoda sarebbe quella a velocità costante (Fig. 7.13a). Essa è però

raramente adottabile, in quanto comporterebbe accelerazioni infinite all’inizio e alla fine, equindi azioni d’inerzia inammissibilmente elevate (teoricamente infinite).

La legge di moto forse più ‘classica’ è quella a velocità trapezoidale (Fig. 7.13b). Essaconsta di un tratto centrale a velocità costante, preceduto da un tratto ad accelerazionecostante positiva, che dà origine ad una rampa lineare di velocità (fase di accelerazione), eseguito da un tratto ad accelerazione costante negativa (fase di decelerazione).

In alcuni casi, il tratto centrale a velocità costante viene a mancare: si ha allora unalegge del moto ad accelerazione costante, detta anche parabolica (Fig. 7.13c).

Questa legge ha il pregio di dare luogo al più piccolo valore possibile dell’accelerazionemassima; l’inconveniente più grave, che la rende sconsigliabile quando la velocità non èbassa, è quello di presentare delle discontinuità dell’accelerazione, che corrispondonoall’applicazione istantanea di azioni d’inerzia finite; ciò costituisce fonte di vibrazioni (e dirumore), che disturbano il movimento e possono creare problemi strutturali al meccanismo.

Lo stesso inconveniente si presenta, ovviamente, nella legge del moto a velocità trape-zoidale.

Le leggi polinomiali (alle quali appartiene anche la legge parabolica) costituiscono unafamiglia di leggi di moto abbastanza diffuse; esse sono spesso impiegate per raccordare fraloro altre leggi, oppure prima e dopo un tratto a velocità costante.

Ad esempio, raccordando un tratto centrale a velocità costante con due tratti di poli-nomiale anziché con due tratti ad accelerazione costante si può evitare l’inconveniente dellediscontinuità dell’accelerazione.


Altre leggi contengono funzioni trigonometriche dell’angolo di rotazione θ (Fig. 7.13d).Fra le più note leggi trigonometriche citiamo la cicloidale, la cui espressione analitica è:

y (θ) =

[(

θ

β

)

− 1

2πsin

2πθ

β

]

H (7.13)

Questa legge è una delle migliori per camme veloci e cedenti relativamente leggeri ecedevoli, quando le vibrazioni sono uno dei problemi più importanti.

Possiamo quindi dire che alla legge di moto in genere è richiesto:

• di non presentare valori troppo alti di velocità;

• di non avere valori troppo alti di accelerazione (ai quali corrispondono valori elevatidelle azioni d’inerzia, che in molti meccanismi a camme sono le principali forze ingioco);

• di non presentare discontinuità nell’accelerazione (a cui corrisponde un possibile innescodi fenomeni vibratori).

Per soddisfare a tutte queste esigenze, e ad altre ancora sulle quali non ci soffermiamo,vengono comunemente impiegate molte leggi particolari, adatte ciascuna ad un determinatotipo di applicazione, in relazione alle velocità, alle masse in movimento, alle rigidezze, ecc.

Una legge largamente impiegata è la cosiddetta trapezia modificata, la cui accelerazionepresenta due tratti di valore costante raccordati da tratti di sinusoide (Fig. 7.13e).

L’accelerazione massima è superiore solo del 22% a quella della legge parabolica, e nonpresenta discontinuità.

Quando è opportuno che i massimi positivi e negativi dell’accelerazione abbiano valoriassoluti diversi, le leggi del moto possono venire rese ‘asimmetriche’, scegliendo i due tratti(quello ad accelerazione positiva e quello ad accelerazione negativa) non entrambi uguali aβ2, ma uno più grande e l’altro corrispondentemente più piccolo (Fig. 7.13f).

Talvolta, il membro al quale si vuole conferire una determinata legge di moto non è ilcedente direttamente a contatto con la camma, ma il membro di uscita di un sistema arti-colato, del quale il cedente suddetto costituisce l’entrata. In tali casi è necessario, una voltascelta la legge di moto da conferire al membro di uscita, trovare dapprima la corrispondentelegge di moto del membro di ingresso del sistema articolato suddetto (cedente della camma),e determinare poi il contorno della camma in base a tale legge.

Osserviamo infine che qualche volta può essere opportuno fare in modo che il cedente nonentri a contatto con la camma nelle fasi di riposo. Questa condizione viene di solito impostain meccanismi con contatto di forza; una adatta battuta tiene in posto il cedente senza cheesso tocchi la camma.

Per svariate ragioni (tolleranze di lavorazione, usure, deformazioni termiche, ecc.) èpraticamente impossibile imporre che il contatto fra camma e cedente si ripristini in unaposizione prestabilita. E’ allora inevitabile che all’atto del contatto si abbia un urto; questodovrà, peraltro, essere mantenuto entro limiti molto modesti (le velocità d’urto devono esseredi norma dell’ordine di 0,1 m/s).

7.4. LEGGI DEL MOTO ELEMENTARI 171

Figura 7.13: Spostamenti, velocità e accelerazioni per alcune legge di moto comuni

Capitolo 8

Meccanica delle vibrazioni

In questo capitolo si intendono fornire i principi basilari della modellazione delle vibrazionimeccaniche. I fenomeni vibratori, dovuti all’oscillazione delle parti di un sistema meccanico,sono originati dalla deformabilità dei corpi e quindi dalla loro capacità di immagazzinare erilasciare energia elastica.

La modellazione di un fenomeno vibratorio può rivelarsi notevolmente complessa, so-prattutto se il sistema presenta delle non-linearità. Tuttavia, nella maggior parte dei casi unmodello lineare risulta sufficientemente fedele nel rappresentare il sistema fisico da studiare.

8.1 Oscillatore semplice

Figura 8.1: Oscillatore semplice

Il modello elementare utilizzato nella meccanica delle vibrazioni è detto oscillatore sem-plice. Tale modello rappresenta le due caratteristiche fondamentali che determinano l’entitàe la natura delle vibrazioni, ovvero l’elasticità e lo smorzamento.

Come si può vedere dalla Fig. 8.1, l’oscillatore semplice è un sistema ad un grado dilibertà (lo spostamento x) costituito da una massa m collegata a telaio tramite una mollaed uno smorzatore lineare.

La molla rappresenta l’elasticità del sistema, ovvero quelle forze di richiamo elastico chetendono a riportarlo nella condizione di riposo, qualora se ne sia allontanato. La forzaelastica dipende linearmente dallo spostamento secondo una costante k, espressa in N/m,detta appunto costante elastica.

173

174 CAPITOLO 8. MECCANICA DELLE VIBRAZIONI

La modellazione dello smorzamento è notevolmente più complessa. Da un punto di vistafisico, lo smorzamento è dovuto ad azioni dissipative (forze di attrito, resistenza fluidodi-namica, isteresi interna dei materiali) che compiono un lavoro negativo e quindi sottraggonoenergia al sistema, determinando così, in assenza di ingressi di energia dall’esterno, unadiminuzione dell’ampiezza delle vibrazioni.

Le forze dissipative presenti nei sistemi meccanici sono in genere funzioni non lineari dellavelocità; tuttavia, nella meccanica delle vibrazioni la dissipazione è normalmente modellataper mezzo di uno smorzatore lineare, ovvero un componente fittizio il quale genera unaforza, funzione lineare della velocità relativa ai suoi estremi, che si oppone sempre al motodel sistema.

Lo smorzatore lineare approssima una forza resistente fluidodinamica (attrito viscoso),ed è pertanto rappresentato graficamente da un pistoncino che si muove all’interno di uncilindro pieno di fluido.

Vediamo ora di determinare l’equazione del moto dell’oscillatore semplice. Sulla massam agiscono le seguenti forze:

• la forzante esterna F (t)

• la forza elastica di richiamoFk(t) = −kx(t)

• la forza di smorzamentoFc(t) = −cx(t)

La dinamica del sistema è allora espressa dalla legge di Newton:

F (t) + Fk(t) + Fc(t) = mx(t) (8.1)

che, riordinando i termini, può essere così riscritta:

mx(t) + cx(t) + kx(t) = F (t) (8.2)

La (8.2) è un’equazione differenziale:

• lineare

• ordinaria

• a coefficienti costanti

E’ noto che la soluzione di una siffatta equazione differenziale si ottiene come somma didue termini:

1. l’integrale generale dell’equazione omogenea associata

2. un integrale particolare della (8.2)

Questi due termini hanno un preciso ed importante significato fisico:

8.2. RISPOSTA LIBERA 175

1. il primo termine esprime come il sistema evolve, a partire da prefissate condizioni in-iziali, quando nessuna forzante esterna agisce su di esso. Questo termine viene chiamatooscillazione libera o risposta libera del sistema;

2. il secondo termine esprime invece come il sistema si muove in funzione della forza cheagisce su di esso. Si parla allora di risposta forzata o (vedremo più avanti perché) dirisposta in frequenza.

8.2 Risposta libera

Consideriamo dunque l’equazione omogenea associata della (8.2), ovvero:

mx(t) + cx(t) + kx(t) = 0 (8.3)

Come è noto dalla teoria delle equazioni differenziali lineari, la soluzione generale è deltipo x(t) = eλt, λ ∈ C, per cui sostituendo nella (8.3) si ottiene

mλ2eλt + cλeλt + keλt = 0 (8.4)

Il valore di λ può allora essere ricavato dall’equazione algebrica (polinomio caratteristico):

mλ2 + cλ + k = 0 (8.5)

Dividendo per m:

λ2 +c

mλ +

k

m= 0 (8.6)

Definiamo ora:

ωn =

√

k

m(8.7)

Questo importante parametro caratteristico del sistema è chiamato pulsazione naturaleo pulsazione propria dell’oscillatore. Si tratta della pulsazione (espressa in rad/s) con cuioscillerebbe il sistema nell’ipotesi di smorzamento nullo (c = 0).

La (8.6) può allora essere riscritta:

λ2 +c√mk

ωnλ + ωn2 = 0 (8.8)

Se definiamo lo smorzamento relativo del sistema come

ξ =c

2√

mk(8.9)

otteniamo allora:

λ2 + 2ξωnλ + ωn2 = 0 (8.10)

Le radici della () sono:


λ1,2 = −ξωn ± ωn

√

ξ2 − 1 (8.11)

e la risposta libera del sistema sarà data da:

xl(t) = A1eλ1t + A2e

λ2t (8.12)

con i parametri A1, A2 che sono determinati dalle condizioni iniziali, ovvero dalla posizionee velocità del sistema all’istante iniziale.

Si possono allora presentare due casi, a seconda del valore di ξ:

Caso 1: ξ > 1

In questo caso le radici λ1,2 della (8.2) sono reali e negative, pertanto la risposta liberadel sistema sarà la combinazione lineare delle funzioni esponenziali decrescenti eλ1t, eλ2t.Ciò significa che lo smorzamento è talmente grande che lo spostamento del sistema tendeasintoticamente a zero senza oscillare. Questo caso, corrispondente ad un sistema sovras-morzato, si verifica tuttavia molto raramente nella realtà. La quasi totalità dei sistemimeccanici presenta infatti uno smorzamento relativo molto minore di uno, in parecchi casiaddirittura inferiore a 0,1.

Caso 2: ξ < 1

Un interesse molto maggiore presenta il caso opposto, corrispondente ad un sistema sot-tosmorzato. In questo caso le radici della (8.2) sono complesse coniugate:

λ1,2 = −ξωn ± iωn

√

1 − ξ2 (8.13)

per cui la risposta libera del sistema è data da:

xl(t) = A1e−ξωnteiωn

√1−ξ2t + A2e

−ξωnte−iωn

√1−ξ2t (8.14)

Ricordando che exp (±iψ) = cos ψ ± i sin ψ, la (8.14) può essere riscritta come:

xl(t) = A1e−ξωnt[cos(ωn

√

1 − ξ2)t+i sin(ωn

√

1 − ξ2)t]+A2e−ξωnt[cos(ωn

√

1 − ξ2)t−i sin(ωn

√

1 − ξ2)t](8.15)

La xl(t) deve necessariamente essere una funzione reale, pertanto i coefficienti A1, A2

devono essere tali da annullare tutti i termini immaginari della (8.15). Si dimostra facilmenteche ciò accade se e solo se A1 e A2 sono complessi coniugati. Ponendo allora:

A1 =B1

2− i

B2

2

A2 =B1

2+ i

B2

2

con facili passaggi si ottiene:

8.3. RISPOSTA IN FREQUENZA 177

xl(t) = e−ξωnt[B1 cos(ωn

√

1 − ξ2)t + B2 sin(ωn

√

1 − ξ2)t] (8.16)

che, con la posizione ωd = ωn

√1 − ξ2, assume la forma

xl(t) = e−ξωnt(B1 cos ωdt + B2 sin ωdt) (8.17)

Figura 8.2: Risposta libera di sistema sottosmorzato

Lo spostamento del sistema sarà allora una funzione periodica di pulsazione ωd inviluppa-ta dalla curva esponenziale e−ξωnt e dalla sua simmetrica rispetto all’asse delle ascisse (vediFig. 8.2).

Il parametro ωd (espresso in rad/s) è chiamato pulsazione smorzata (in inglese damped).Per valori piccoli di ξ esso è pressoché uguale alla pulsazone propria ωn.

Pertanto, la risposta libera di un sistema sottosmorzato converge a zero oscillando. Ilperiodo di oscillazione è dato da T = 2π

ωd, il cui inverso f = 1

T= ωd

2πè la frequenza di

oscillazione.La velocità di convergenza a zero è direttamente proporzionale a ξ e ωn.

8.3 Risposta in frequenza

La risposta in frequenza, altresì detta risposta forzata, non è altro che una soluzioneparticolare dell’equazione differenziale (8.2). Si parla talvolta di risposta a regime, inquanto essa rappresenta lo spostamento del sistema quando si sia esaurito il transitoriodipendente dalle condizioni iniziali (costituito dalla risposta libera).


Tale soluzione particolare dipende ovviamente dal tipo di forza F (t) che agisce sul sistema.Consideriamo dapprima il caso di una forzante sinusoidale di ampiezza F0 e pulsazione ω,ovvero F (t) = F0 cos ωt.

Conviene innanzitutto dividere la (8.2) per m e ricordare le definizioni di ωn (8.7) e di ξ(8.9), così da scrivere l’equazione dinamica del sistema nella forma:

x(t) + 2ξωnx(t) + ω2nx(t) =

F0

mcos ωt (8.18)

Verifichiamo ora che un integrale particolare della (8.18) ha la forma

xf (t) = X0 cos(ωt + ϕ) (8.19)

e calcoliamo i valori di X0 e di ϕ.Sostituendo la (8.19) nella (8.18) si ottiene:

−ω2X0 cos(ωt + ϕ) − 2ξωnωX0 sin(ωt + ϕ) + ω2nX0(ωt + ϕ) =

F0

mcos ωt (8.20)

Ricordando ora le formule di addizione del seno e del coseno

cos(ωt + ϕ) = cos ωt cos ϕ − sin ωt sin ϕ (8.21)

sin(ωt + ϕ) = sin ωt cos ϕ + cos ωt sin ϕ (8.22)

la (8.20) diventa:

−ω2X0 cos ωt cos ϕ + ω2X0 sin ωt sin ϕ − 2ξωnωX0 sin ωt cos ϕ − 2ξωnωX0 cos ωt sin ϕ+

+ω2nX0 cos ωt cos ϕ − ω2

nX0 sin ωt sin ϕ =F0

mcos ωt (8.23)

La relazione (8.23) deve essere valida per ogni valore di t: essendo sin ωt e cos ωt duefunzioni linearmente indipendenti, i loro coefficienti a primo e secondo membro dovrannoessere uguali. Si avrà pertanto:

−ω2X0 cos ϕ − 2ξωnωX0 sin ϕ + ω2nX0 cos ϕ =

F

m(8.24)

ω2X0 sin ϕ − 2ξωnωX0 cos ϕ − ω2nX0 sin ϕ = 0 (8.25)

Dalla (8.25), dividendo per sin ϕ, si ottiene:

tan ϕ =−2ξωnω

ω2n − ω2

(8.26)

Ricordando che cos ϕ = 1√tan2 ϕ+1

, sin ϕ = tan ϕ√tan2 ϕ+1

, possiamo sostituire la (8.26) nella

(8.25). Dopo qualche passaggio, ponendo m = k/ω2n, si ottiene:

8.3. RISPOSTA IN FREQUENZA 179

X0 =F0

k

1√

[1 − ( ωωn

)2]2 + (2ξ ωωn

)2(8.27)

La (8.27) esprime pertanto il valore di X0, ovvero l’ampiezza della risposta forzataxf (t) = X0 cos(ωt + ϕ), in funzione dell’ampiezza F0 della forzante e della sua pulsazionenormalizzata ω

ωn.

Dalla (8.26) è possibile ricavare il valore della fase ϕ della risposta forzata in funzionedella pulsazione normalizzata:

ϕ = arctan−2ξ ω

ωn

1 − ( ωωn

)2(8.28)

Si vede quindi che sia l’ampiezza che la fase della risposta forzata dipendonosostanzialmente dalla pulsazione di eccitazione. Nelle (8.27) e (8.28) è allora possibilesostituire a ω la generica pulsazione ω, in modo tale da esprimere i valori di ampiezza e fasecome funzioni della pulsazione normalizzata della forzante, ovvero:

X0(ω

ωn

) =F0

k

1√

[1 − ( ωωn

)2]2 + (2ξ ωωn

)2(8.29)

ϕ(ω

ωn

) = arctan−2ξ ω

ωn

1 − ( ωωn

)2(8.30)

E’ questo il motivo per cui la risposta forzata viene anche chiamata risposta in frequenza.Le Fig. 8.3 e 8.4 rappresentano gli andamenti di X0 e di ϕ (rispettivamente ampiezza e

fase della risposta in frequenza) in funzione della frequenza normalizzata della forzante, perdiversi valori dello smorzamento relativo ξ.

Si nota che, per valori di ξ non troppo elevati, la curva dell’ampiezza presenta un massimo,in corrispondenza di un valore di pulsazione ωr della forzante leggermente inferiore allapulsazione naturale. Tale valore può essere trovato cercando il minimo del denominatoredella (8.29), ovvero eguagliando a zero la sua derivata rispetto a ω/ωn. Risulta:

ωr = ωn

√

1 − 2ξ2 (8.31)

La pulsazione ωr è detta pulsazione di risonanza del sistema. Si osserva che, quantominore è ξ, tanto più il valore di ωr si avvicina a ωn: in sistemi con poco smorzamento sipuò quindi considerare ωr ≈ ωn. Al diminuire di ξ aumenta inoltre il valore di picco di X0

(e quindi la massima ampiezza di xf (t), fino al caso limite ξ = 0 (sistema non smorzato),per cui l’ampiezza della risposta tende ad infinito.

Nei sistemi meccanici la risonanza è in genere un fenomeno indesiderato, perché ha comeconseguenza vibrazioni di ampiezza molto elevata. E’ quindi necessario, nella progettazionemeccanica, prestare particolare attenzione affinché la risonanza si trovi al di fuori della bandadi frequenze con cui si prevede che il sistema venga eccitato.

Essendo ωr ≈ ωn, lo spostamento del picco di risonanza può essere effettuato variando,per quanto possibile, il valore della pulsazione propria del sistema. Ricordando che ωn =

√

km

,un aumento di k sposterà ωn a valori più elevati, mentre un aumento di m produrrà l’effettoopposto.


Figura 8.3: Ampiezza della risposta in frequenza

Qualora non sia possibile portare la risonanza al di fuori della banda delle frequenze dieccitazione, è necessario aumentare lo smorzamento del sistema in modo da ridurre l’ampiezzadel picco.

Passando a trattare della fase ϕ, essa rappresenta, in valore assoluto, il ritardo dellasinusoide dello spostamento rispetto a quella della forzante. Si osserva che, per valoripiccoli della pulsazione di eccitazione, la fase è anch’essa piccola, quindi lo spostamento delsistema è sostanzialmente in fase con la forzante.

Al contrario, per valori elevati di ω, la fase tende a −π, il che significa che lo spostamentodel sistema sarà in controfase rispetto alla forzante.

Se invece il sistema è eccitato ad una pulsazione pari a ωn, la fase è pari a −π/2: si diceallora che lo spostamento è in quadratura rispetto ala forzante.

8.4 Risposta a forzanti non sinusoidali

Vediamo ora di calcolare la risposta di un oscillatore semplice ad una forzante non sinusoidale.Distingueremo tre casi:

1. risposta ad una forzante periodica

2. risposta ad un impulso

8.4. RISPOSTA A FORZANTI NON SINUSOIDALI 181

Figura 8.4: Fase della risposta in frequenza

3. risposta ad una forzante generica

La trattazione che segue avrà comunque carattere elementare, riservando ogni appro-fondimento a testi specialistici.

8.4.1 Risposta ad una forzante periodica

E’ noto che ogni funzione periodica può essere sviluppata mediante una serie di Fourier,ovvero da una serie di funzioni trigonometriche, dette armoniche.

Sviluppando in coseni la F (t), supposta periodica di periodo T , si ottiene la seguenteserie:

F (t) = a0 +∞∑

n=1

an cos(2πnt

T+ αn) (8.32)

ove i coefficienti an e le fasi αn delle armoniche della serie sono determinabili a partiredalla F (t).

Poiché i coefficienti della serie hanno valore decrescente all’aumentare di n, è possibileapprossimare senza troppi problemi la funzione con una serie troncata all’indice N :

F (t) ≈ a0 +N

∑

n=1

an cos(2πnt

T+ αn) (8.33)

Abbiamo quindi un numero finito di armoniche, la cui somma ben approssima la forzanteperiodica. Poichè il sistema è lineare, è possibile applicare il principio di sovrapposizionedegli effetti: la risposta in frequenza del sistema alla forzante periodica F (t) è datadalla somma delle risposte in frequenza di ogni singola armonica che appare nella(8.33).

Ovviamente tale risposta andrà poi sommata alla risposta libera per ottenere lo sposta-mento complessivo x(t).


8.4.2 Risposta ad un impulso

Un impulso è un’eccitazione (tipicamente un urto) che viene trasmessa al sistema in untempo molto piccolo, idealmente nullo.

L’impulso unitario applicato all’istante t = 0 è rappresentato matematicamente dallafunzione delta di Dirac δ(t), che ha valore nullo su tutto l’asse dei tempi ad eccezionedell’istante di eccitazione, in cui assume un valore (necessariamente infinito) tale che il suointegrale sull’asse dei tempi dia un valore unitario:

∫ +∞

−∞

δ(t)dt = 1 (8.34)

Un impulso di valore I sarà dunque rapprsentato dalla funzione Iδ(t).E’ noto dalla Fisica che il valore I dell’impulso è uguale alla quantità di moto acquisita

dal sistema dopo l’applicazione dell’impulso stesso:

I = mv0 (8.35)

ove v0 è la velocità iniziale del sistema meccanico e m la sua massa.In altre parole, applicare un impulso I ad un sistema meccanico equivale ad imprimergli

una velocità iniziale pari a v0 = Im

.Nel caso di un oscillatore semplice, la risposta all’impulso sarà quindi costituita

dalla risposta libera xl(t) con condizioni iniziali:

xl(0) = 0 (8.36)

xl(t) = v0 =I

m(8.37)

Sappiamo che la xl(t) è data dalla (8.17), che riscriviamo qui per comodità:

xl(t) = e−ξωnt(B1 cos ωdt + B2 sin ωdt) (8.38)

La sua derivata, ovvero l’espressione della velocità xl(t), è:

xl(t) = −ξωne−ξωnt(B1 cos ωdt + B2 sin ωdt) + e−ξωnt(−ωdB1 sin ωdt + ωdB2 cos ωdt) (8.39)

Per ricavare i valori di B1 e B2 calcoliamo posizione e velocità per t = 0 imponendo lecondizioni iniziali (8.36) e (8.37):

xl(0) = B1 =⇒ B1 = 0 (8.40)

xl(0) = ωdB2 =⇒ B2 =v0

ωd

=I

mωd

(8.41)

La risposta all’impulso sarà pertanto data da:

xl(t) =I

mωd

e−ξωnt sin ωdt (8.42)

Ovviamente la (8.42) vale per t > 0, mentre per t < 0 si avrà xl(t) ≡ 0.

8.5. VIBRAZIONI TORSIONALI 183

8.4.3 Risposta ad una forzante generica

La trattazione della risposta ad una forzante generica è più complessa. Si può immaginaredi considerare la forzante F (t) come una successione continua, lungo l’asse dei tempi, diimpulsi di ampiezza variabile a seconda del valore che la F (t) assume ad ogni istante t.

Si dimostra che la risposta in frequenza è calcolabile mediante la convoluzione dellaF (t) con la risposta h(t) all’impulso unitario (I = 1) vista nel paragrafo precedente. Taleconvoluzione è espressa dall’integrale:

xl(t) =∫ t

0h(t − τ)F (τ)dτ =

∫ t

0

1

mωd

e−ξωn(t−τ) sin(ωd(t − τ))F (τ)dτ (8.43)

Ovviamente, alla xl(t) va sommata la risposta libera per ottenere la legge del motocomplessiva del sistema.

8.5 Vibrazioni torsionali

In quanto visto finora si è considerato che lo spostamento del sistema avvenisse lungo unalinea retta, a seguito di un’eccitazione costituita da una forza esterna. In meccanica sihanno tuttavia altre tipologie di vibrazioni, tra le quali rivestono particolare importanza levibrazioni torsionali, che si possono verificare negli organi dotati di movimento rotatorio,come ad esempio gli alberi di trasmissione.

Figura 8.5: Vibrazioni torsionali

Si consideri ad esempio (Fig. 8.5) un volano con momento di inerzia I, collegato a telaioper mezzo di un albero di torsione. L’elasticità e lo smorzamento di quest’ultimo possonoessere modellati rispettivamente da una molla di rigidezza torsionale kt e da uno smorzatorecon coefficiente di smorzamento torsionale ct.

Le forze agenti sul volano sono (Fig. 8.6):

• la coppia esterna C(t)

• la coppia di inerzia −Iϑ(t)

• la coppia di richiamo elastico Ck(t) = −ktϑ(t)

• la coppia smorzante Cc(t) = −ctϑ(t)


Figura 8.6: Forze agenti sul volano

L’equazione di equilibrio dinamico del volano è dunque:

C(t) − Iϑ(t) + Ck(t) + Cc(t) = 0 (8.44)

che, esplicitata e riordinata, fornisce:

Iϑ(t) + ctϑ(t) + ktϑ(t) = C(t) (8.45)

Si vede che la (8.45) è del tutto analoga alla (8.2): pertanto, anche per lo studio dellevibrazioni torsionali si utilizza il modello dell’oscillatore semplice, con l’unica differenza chela variabile spostamento non sarà più lineare ma angolare.

Alessandro Gasparetto MECCANICA APPLICATA ALLE ......6 CAPITOLO 1. MECCANICA DELLE SUPERFICI 1.1.1...

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