(alcune) ISOMETRIE · 2014-09-18 · delle ordinate è una isometria Siano e due punti e siano e i...

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ISOMETRIE

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ISOMETRIE

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TRASLAZIONI

SIMMETRIE

(alcune)

ISOMETRIE

ISOMETRIE

TRASLAZIONI

SIMMETRIE

Rispettoall'asse delle

ascisse


ordinate

(alcune)

ISOMETRIE

ISOMETRIE

TRASLAZIONI

SIMMETRIE


ascisse


ordinate

Rispettoal centro degli

assi

(alcune)

ISOMETRIE

ISOMETRIE

TRASLAZIONI

SIMMETRIE


ascisse


ordinate

Rispettoal centro degli

assi

ASSIA

LI

SIMMETRIA RISPETTOALL'ASSE DELLE ASCISSE

x

y

O

DEFINIZIONE

Sia un punto.P x , y P

x

y


x

y

O

DEFINIZIONE

Sia un punto.

Si dicesimmetrico di

rispetto all'assedelle ascisse

il punto tale che sia:

P x , y

P' x ' , y '

P

P

x '=y '=

x

y

P'


x

y

O

DEFINIZIONE

Sia un punto.


rispetto all'assedelle ascisse


P x , y

P' x ' , y '

P

P

x '= xy '=− y

x= x '

y

y ' P'

La simmetria rispetto all'assedelle ascisse è una isometria

Siano e due punti e siano e i rispettivi simmetrici rispetto

all'asse delle ascisse.

Dimostriamo che la simmetriarispetto all'asse delle ascisse

conserva le distanze, cioè chePQ = P'Q'

P' Q'

OQ

P

P Q

x

y






P' Q'

P xP , yP Q xQ , yQ

OQ

P

P Q

P' xP ,− yP Q xQ ,− yQ

x '= xy '=− y

x

y

P'

Q'






P' Q'

P xP , yP Q xQ , yQ

OQ

P

P Q

P' xP ,− yP Q' xQ ,− yQ

x '= xy '=− y

x

y

P'

Q'


PQ = P'Q'⇔PQ2 = P'Q'2

P xP , yP Q xQ , yQ P' xP ,− yP Q' xQ ,− yQ

tesi


PQ = P'Q'⇔PQ2 = P'Q'2

P xP , yP Q xQ , yQ P' xP ,− yP

PQ2 = xP−xQ2 yP− yQ

2

tesi

Q' xQ ,− yQ


PQ = P'Q'⇔PQ2 = P'Q'2



2

P'Q'2 = x P− xQ2− yP−− yQ

2

tesi

Q' xQ ,− yQ


PQ = P'Q'⇔PQ2 = P'Q'2



2

tesi

P'Q'2 = x P− xQ2− yP yQ

2P'Q'2 = x P− xQ2− yP−− yQ

2

Q' xQ ,− yQ


PQ = P'Q'⇔PQ2 = P'Q'2



2

tesi

P'Q'2 = x P− xQ2− yP− yQ

2


2P'Q'2 = x P− xQ2− yP−− yQ

2

Q' xQ ,− yQ


PQ = P'Q'⇔PQ2 = P'Q'2



2

tesi

P'Q'2 = x P− xQ2−12 yP− yQ

2P'Q'2 = x P− xQ2− yP− yQ

2


2P'Q'2 = x P− xQ2− yP−− yQ

2

Q' xQ ,− yQ


PQ = P'Q'⇔PQ2 = P'Q'2



2

P'Q'2 = x P− xQ2 yP− yQ

2 = PQ2

tesi

P'Q'2 = x P− xQ2−12 yP− yQ


2


2P'Q'2 = x P− xQ2− yP−− yQ

2

Q' xQ ,− yQ


PQ = P'Q'⇔PQ2 = P'Q'2



2


2 = PQ2

tesi

QED

P'Q'2 = x P− xQ2−12 yP− yQ


2


2P'Q'2 = x P− xQ2− yP−− yQ

2

Q' xQ ,− yQ

ESEMPIO(simmetria rispetto all'asse delle ascisse)

x

y

O

R

Q

P P 1,3 Q3,1 R 2,4

Trovare i vertici del triangolosimmetrico di rispetto all'asse delle ascisse.

I due triangoli hanno lo stesso perimetro?

E la stessa area?

PQR


x '= xy '=− y

P 1,3 Q3,1 R 2,4Simmetria:

x

y

O

R

Q

P


x '= xy '=− y


P' 1,−3 Q' 3,−1 R' 2,−4

x

y

O

R

Q

P


x '= xy '=− y


P' 1,−3 Q' 3,−1 R' 2,−4

R'

Q'

P'

x

y

O

R

Q

P


x '= xy '=− y


I due triangoli hanno lo stesso perimetro perché la simmetria rispetto all'asse delle ascisse conserva le lunghezze dei lati.

P' 1,−3 Q' 3,−1 R' 2,−4

R'

Q'

P'

x

y

O

R

Q

P


x '= xy '=− y


I due triangoli hanno lo stesso perimetro perché la simmetria rispetto all'asse delle ascisse conserva le lunghezze dei lati.

Hanno anche la stessa area perché triangoli con i lati congruenti sono congruenti.

P' 1,−3 Q' 3,−1 R' 2,−4

R'

Q'

P'

x

y

O

R

Q

P

SIMMETRIA RISPETTOALL'ASSE DELLE ORDINATE

x

y

O

DEFINIZIONE

Sia un punto.P x , y

P

x

y


x

y

O

DEFINIZIONE

Sia un punto.


rispetto all'assedelle ordinate


P x , y

P' x ' , y '

P

P

x '=y '=

P'

x

y


x

y

O

DEFINIZIONE

Sia un punto.


rispetto all'assedelle ordinate


P x , y

P' x ' , y '

P

P

x '=−xy '= y

P'

x ' x

y= y '

La simmetria rispetto all'assedelle ordinate è una isometria


all'asse delle ordinate.

Dimostriamo che la simmetriarispetto all'asse delle ordinateconserva le distanze, cioè che

PQ = P'Q'

P' Q'

OQ

P

P Q

x

y

La simmetria rispetto all'assedelle ordinate è una isometria


all'asse delle ordinate.

Dimostriamo che la simmetriarispetto all'asse delle ordinateconserva le distanze, cioè che

PQ = P'Q'

P' Q'

OQ

P

P Q

x

y

P xP , yP Q xQ , yQ

P' −xP , yP Q' −xQ , yQ

x '=−xy '= y

x

P'

Q'


PQ = P'Q'⇔PQ2 = P'Q'2

P xP , yP Q xQ , yQ P' −xP , yP Q' −xQ , yQ


2


2 = PQ2

tesi

QED

P'Q'2 = −12 xP− xQ2 yP− yQ

2P'Q'2 = − xP− xQ2 yP− yQ

2

P'Q'2 = −xPxQ2 yP− yQ

2P'Q'2 = −xP−−xQ2 yP− yQ

2

ESEMPIO(simmetria rispetto all'asse delle ordinate)

x

y

O

R

Q

P P 1,3 Q3,1 R 2,4

Trovare i vertici del triangolosimmetrico di rispetto all'asse delle ordinate.


E la stessa area?

PQR


x

y

O

R

Q

Px '=−xy '= y



x

y

O

R

Q

Px '=−xy '= y


P' −1,3 Q' −3,1 R' −2,4


x

y

O

R

Q

Px '=−xy '= y


P' −1,3 Q' −3,1 R' −2,4

R'

Q'

P'


x

y

O

R

Q

Px '=−xy '= y


P' −1,3 Q' −3,1 R' −2,4

I due triangoli hanno lo stesso perimetro perché la simmetria rispetto all'asse delle ordinate conserva le lunghezze dei lati.

R'

Q'

P'


x

y

O

R

Q

Px '=−xy '= y


P' −1,3 Q' −3,1 R' −2,4

I due triangoli hanno lo stesso perimetro perché la simmetria rispetto all'asse delle ordinate conserva le lunghezze dei lati.


R'

Q'

P'

SIMMETRIA RISPETTO ALL'ORIGINE

x

y

O

P

x

y DEFINIZIONE

Sia un punto.P x , y


x

y

O

DEFINIZIONE

Sia un punto.

Si dicesimmetrico di rispetto all'origineil punto

tale che sia:

P x , y

P' x ' , y '

P

x '=y '=P'

x '

y '

P

x

y


x

y

O

P'

x '

y '

P

x

y DEFINIZIONE

Sia un punto.

Si dicesimmetrico di rispetto all'origineil punto

tale che sia:

P x , y

P' x ' , y '

P

x '=−xy '=− y

La simmetria rispetto all'origineè una isometria

Siano e due punti e siano e i rispettivi simmetrici

rispetto all'origine.

Dimostriamo che la simmetriarispetto all'origine


P' Q'

OQ

P

P Q

x

y


Siano e due punti e siano e i rispettivi simmetrici

rispetto all'origine.

Dimostriamo che la simmetriarispetto allorigine


P' Q'

OQ

P

P Q

x

y

P xP , yP Q xQ , yQ

P' −xP ,− yP Q' −xQ ,− yQ

x '=−xy '=− y

P'

Q'


PQ = P'Q'⇔PQ2 = P'Q'2

P xP , yP Q xQ , yQ P' −xP ,− yP Q' −xQ ,− yQ


2


2 = PQ2

tesi

QED

P'Q'2 = −12 xP− xQ2−12 yP− yQ

2

P'Q'2 = − xP− xQ2− yP− yQ

2

P'Q'2 = −xPxQ2−yP yQ

2

P'Q'2 = −xP−−xQ2− yP−− yQ

2

ESEMPIO(simmetria rispetto all'origine)

x

y

O

R

Q

P P 1,3 Q3,1 R 2,4

Trovare i vertici del triangolosimmetrico di rispetto all'origine.


E la stessa area?

PQR


x

y

O

R

Q

Px '=−xy '=− y



x

y

O

R

Q

Px '=−xy '=− y


P' −1,−3 Q' −3,−1 R' −2,−4


x

y

O

R

Q

Px '=−xy '=− y


P' −1,−3 Q' −3,−1 R' −2,−4

R'

Q'

P'


x

y

O

R

Q

Px '=−xy '=− y


P' −1,−3 Q' −3,−1 R' −2,−4

R'

Q'

P'

I due triangoli hanno lo stesso perimetro perché la simmetria rispetto all'origine conserva le lunghezze dei lati.

OSSERVAZIONE: La simmetria rispetto all'origineè la composizione delle due simmetrie rispetto

agli assi, in un ordine qualsiasi.

x

y

O

Il triangolo verde è il simmetrico del triangolo blu rispetto all'origine.

Il triangolo viola (risp. rosso) è il simmetrico del triangolo blu rispetto all'asse delle ascisse (risp. ordinate).

Il triangolo verde è il simmetrico del triangolo viola (risp. rosso) rispetto all'asse delle ordinate (risp. ascisse).

RIEPILOGO ISOMETRIEx '= xy '=− y

Simmetria rispetto all'asse delle ascisse:

x '=−xy '= y

Simmetria rispetto all'asse delle ordinate:

x '=−xy '=− y

Simmetria rispetto all'origine:

x '=xay '= yb

Traslazionedi vettore :v a ,b

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