Accumulazione di capitale e crescita:

applicazioni

Istituzioni di Economia Politica II

Nella lezione 23 Ruolo dell’accumulazione del capitale nella crescita modello di Solow

In questa lezione Esercizi numerici sul modello di Solow

L’origine della crescita

Dati

Nel modello di Solow abbiamo due equazioni funzione di produzione

Yt = F(Kt ,Nt) equazione dinamica del capitale

Introduciamo equazioni esplicite e valori numerici

ttt1t IKKK

Dati

Funzione di produzione

Yt = F(Kt ,Nt)

Assumiamo che N sia costante (perciò non ha pedice t)

Dividendo entrambi i membri per N abbiamo

2/12/1ttt NKNKY

N

NK

N

Y tt

2/12/1

Dati

N

K

N

K

N

NK

N

Y t2/1

2/1t

2/12/1tt

Il prodotto per lavoratore è pari alla radice quadrata del capitale per lavoratore

Dati Equazione dinamica del capitale

Ripetiamo alcuni passaggi visti nella lezione 23

Sappiamo che

It = St = sYt con 0<s<1

Sostituendo nell’equazione precedente abbiamo

ttt1t IKKK

ttt1t sYKKK

Dati

NYs

NK

NK

NK ttt1t

Dividendo per N abbiamo

Sostituendo la funzione di produzione abbiamo

Dati dell’esercizio s=0,5 e d=0,2

N

K2,0

N

K5,0

N

K

N

K ttt1t

N

Ks

N

K

N

K

N

K ttt1t

N

K

N

Y tt

Dati Sulla base dei dati s=0,5 e d=0,2

Abbiamo le due equazioni

Assumiamo, infine, assenza di progresso tecnico

N

K2,0

N

K5,0

N

K

N

K ttt1t

N

K

N

Y tt

NKY tt

Domande Tre domande:

1) Assumiamo che nel periodo 0 il livello di K/N sia pari a 3

Di quanto crescono K/N e Y/N nel periodo 1?

2) Quale è il livello massimo di K/N e Y/N nell’economia?

3) Cosa accade se s aumenta e passa a 0,6?

3N

K0

Domanda 1

3N

K0

Domanda 1

Di quanto crescono K/N e Y/N nel periodo 1?

Sappiamo che

Ciò significa che

N

K2,0

N

K5,0

N

K

N

K ttt1t

N

K2,0

N

K5,0

N

K

N

K 0001

Domanda 1

27,032,035,0N

K

N

K 01

Abbiamo quindi

La crescita percentuale di k/N sarà quindi

La crescita percentuale di K/N sarà del 9%

N

K2,0

N

K5,0

N

K

N

K 0001

%93

27,0

N

KN

K

NK

0

01

Domanda 1

27,0N

K

N

K 01

Di quanto cresce Y/N?

Sappiamo che

Ciò implica che

27,327,0327,0N

K

N

K 01

Domanda 1

N

K

N

Y tt

Sapendo che

Abbiamo

73,13N

K

N

Y 00

80,127,3N

K

N

Y 11

Domanda 1 La crescita percentuale di Y/N sarà quindi

La crescita percentuale di Y/N sarà del 4%

%0,473,1

73,180,1

NYNY

NY

0

01

Graficamente investimento (0,5(K/N)1/2), deprezzamento (0,2K/N) e funzione di produzione ((K/N)1/2)

K/N 3→3,27 Y/N 1,73→1,80

Y/N

K/N

0,5(K/N)1/2

0,2K/N

3

(K/N)1/2

1,73

3,27

1,80

Domanda 2

2) Quale è il livello massimo di K/N e Y/N nell’economia?

In assenza di progresso tecnico K/N e Y/N aumentano solo per l’accumulazione di capitale

Sappiamo che raggiunto lo stato stazionario l’accumulazione di capitale cessa

Perciò il livello massimo di K/N e Y/N si raggiunge in stato stazionario (K*/N e Y*/N)

Domanda 2

N

K2,0

N

K5,0 tt

Abbiamo visto nella lezione 23 che in stato stazionario abbiamo

investimento = deprezzamento

I=dK

Considerando i nostri dati e l’equazione di accumulazione del capitale

ciò implicaN

K2,0

N

K5,0

N

K

N

K 0001

Domanda 2

N

K2,0

N

K5,0 tt

Con alcuni passaggi algebrici

Il livello massimo raggiunto da K/N è 6,25

N

K

N

K

2,0

5,0 tt

2/1t

2/1t

t

t

t

N

K

N

K

N

K

N

KN

K

2,0

5,0

25,65,22,0

5,0

N

K 22

t

Domanda 2

N

K

N

Y tt

Quale è il livello massimo di Y/N?

Sapendo che

Abbiamo

Il livello massimo raggiunto da Y/N è 2,5

5,225,6N

Yt

Graficamente Il livello massimo è raggiunto in stato stazionario punto E

K*/N =6,25 Y*/N=2,5

Y/N

K/N

0,5(K/N)1/2

0,2K/N

(K/N)1/2

6,25

2,5

E

Domanda 3

3) Cosa accade se s aumenta e passa a 0,6?

Due implicazionia) Nuova condizione di stato stazionariob) Maggiore accumulazione di capitale

a) Nuova condizione di stato stazionario

Con s=0,6 l’equazione di accumulazione del capitale diventa

N

K2,0

N

K6,0

N

K

N

K ttt1t

Domanda 3

In stato stazionario abbiamo quindi

Procedendo come prima (domanda 2) si ottiene

L’aumento di s ha portato il livello massimo di K/N da 6,25 a 9

N

K2,0

N

K6,0 tt

932,0

6,0

N

K 22

t

Domanda 3

N

K

N

Y tt

Quale è ora il livello massimo di Y/N?

Sapendo che

Abbiamo

L’aumento di s ha portato il livello massimo di Y/N da 2,5 a 3

39N

Yt

Graficamente Siamo nello stato stazionario E In E abbiamo K*/N=6,25 e Y*/N=2,5

Y/N

K/N

0,5(K/N)1/2

0,2K/N

(K/N)1/2

6,25

2,5

E

s Curva sf(K/N) verso l’alto Nuovi livelli di stato stazionario K*’/N=9 Y*’/N=3

Y/N

K/N

0,5(K/N)1/2

0,2K/N

(K/N)1/2

6,25

2,5

E0,6(K/N)1/2

3

9

E’

Domanda 3b) Maggiore accumulazione di capitale

Supponiamo di essere nello stato stazionario della domanda 2 (K*/N=6,25 e Y*/N=2,5)

Cosa accade quando aumenta s?

s risparmio investimento

investimento investimento > deprezzamento

L’accumulazione di capitale (che era nulla in stato stazionario) riprende

Domanda 3 La nuova accumulazione di capitale fa riprendere

la crescita

Un aumento del saggio di risparmio genera quindi una nuova fase di crescita

L’accumulazione di capitale e la cresciuta proseguono fino al raggiungimento del nuovo stato stazionario (K/N=9 e Y/N=3)

Domanda 3 Cosa accade quando si raggiunge il nuovo stato

stazionario?

Raggiunto il nuovo stato stazionario la crescita si interrompe nuovamente

Un aumento del saggio di risparmio genera quindi una nuova fase di crescita temporanea

Un aumento del saggio di risparmio non genera una crescita illimitata

Solo il progresso tecnico genera crescita nello stato stazionario