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Accrescimento

G. Risaliti Fisica delle galassie (2014/2015)

Concetti fondamentali

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Una particella in un campo gravitazionale prodotto da una massa puntiforme, con una qualsiasi velocita’ e posizione iniziali (purche‘ ) NON cade sulla massa centrale

(conservazione dell’energia e del momento angolare)

!Se il corpo centrale ha raggio r, la massa non cade purche’

�V0 � �R0 �= 0

Se V0 = 0 si ha caduta libera.

Energia gravitazionale “perduta”:

��V0 � �R0� > V0r

�E = GMm�

1r� 1

R0

�

Stima E/(mc2) per: stelle? nane bianche? stelle di neutroni?

(esercizio...) Buchi neri = lezioni precedenti


Concetti fondamentali

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Problema fondamentale:

!Conversione dell’energia gravitazionale in radiazione !(= perdita di momento angolare) !--> Dischi di accrescimento

Energia irradiata ?

- Particella neutra: E = 0

- Particella carica (es: elettrone) ? ...esercizio...


Luminosita’ di Eddington

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Limite opposto: Luminosita’ limite

!Pressione di radiazione: consideriamo accrescimento di materia totalmente ionizzata composta di solo idrogeno.

!Forza esercitata su un elettrone da un campo di radiazione centrale:

F =L

c� �T

4�R2�T = 6.65� 10�25cm2

Per un protone: � � �T ��

memp

�2

Accoppiamento elettroni-protoni: le forze elettrostatiche

“trascinano” i protoni nel moto degli elettroni


Luminosita’ di Eddington

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Nota: Se la materia non e’ totalmente ionizzata, o se altri

elementi sono presenti, la sezione d’urto efficace e’ MAGGIORE.

!La forza esercitata dalla radiazione non puo’ eccedere la

forza gravitazionale. In simmetria sferica:

�T L

4�R2c<

GMmHR2

� L < LE =4�GMmHc

�T= 1.3� 1038 M

M�

Nota: per il Sole: L� � 3� 10�5LE


Spettro emesso (approssimato)Assumiamo un’emissione al limite di Eddington, e una emissione di radiazione di corpo nero.

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Nana bianca:

!Stella di neutroni:

!Buco nero:

r� � 104km, M � 1M� � T � 3� 105K

T (K) = 5.7� 106r�12� (km)

�M

M�

� 14

r� � 10 km, M � 1M� � T � 107K

r� � 3RG = 9�

M

M�

�km,� T � 2� 107

�M

M�

�� 14K


Dischi di accrescimento

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Scopi:

- determinare la struttura dei dischi di accrescimento SOTTILI

- determinare l’ eventuale emissione di radiazione

Dischi SOTTILI: !Assunzioni:

!Mdisc


Dischi di accrescimento sottili

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Equilibrio idrostatico: �p�z

= �GMS� sin �r2

sin� � zr

;�p

�z� p

H� p

H� GMS�H

r3

Assunzione: Moto quasi Kepleriano (tutte le ipotesi vanno

verificate a posteriori)

v2� =GM

r

Nota: � = v�r

=�

GM

R3Rotazione differenziale!

p

�� v2�

H2

r2� H

r� cs

v�


Dischi di accrescimento: viscosita’

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La differenza di velocita’ angolare fra anelli contigui nel disco di accrescimento introduce VISCOSITA’ fra gli elementi del disco.

!Modello di disco di accrescimento OTTICAMENTE SPESSO, geometricamente sottile:

- condizione H


Dischi di accrescimento: viscosita’

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Forza viscosa per unita’ di area:

!!In coordinate cilindriche:

fxy = ��vx�y

+�vy�x

�

f = �r��r

, � =Coefficiente di viscosita’ dinamica

Calcolo del momento sul bordo interno un anello del disco di spessore dr:

G = �r2(2�rH)��r

Momento sull’ anello successivo:

G(r + dr) = G(r) +�G

�rdr


Dischi di accrescimento: struttura

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Momento angolare:

Equazione di moto dell’anello:�L

�t=

�G

�rdr =

�

�r

��r2(2�rH)

��r

�dr

r2�v��t

=�

�

�

�r

�r3

�

�r

�v�r

��

�v��t

=�

r2�

�r

�r3

�

�r

�v�r

��, � =

�

�Coefficiente di viscosita’ cinematica

L = 2�r2H�v�dr



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Analisi:

- La viscosita’ “molecolare”dovuta alle interazioni fra le particelle fluide e’ bassa.

Numero di Reynolds=(inerzia)/(viscosita’) >> 1

--> Il fluido e’ in regime turbolento

--> La turbolenza induce un nuovo tipo di viscosita’ che “sostituisce” quella molecolare, ma e’ difficile da trattare.

!Ipotesi (Shakura & Sunyaev 1973): � = �csH

a: parametro arbitrario, < 1. Questa ipotesi rende possibile la trattazione analitica del problema. Recentemente (Balbus & Haley 1991) e’ stata proposto un modello per la generazione di viscosita’ tramite campi magnetici associati al disco



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Conservazione della massa:

ṁ = 2�rvr� = costante , � =�

�dz

Momento angolare trasferito al raggio r ed (r+Dr):

ṁv�r = 2�r3vr��

(ṁv�r)r+�r = (2�r3vr��)r+�r� �L = 2� d

dr(r3�vr�)�r

Equazione di moto:dG

dr= 2�

d

dr(r3�vr�)� G = 2�r3�vr� + C



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C = costante di integrazione, ottenuta imponendo l’uguaglianza fra la velocita’ di rotazione del disco e quella del corpo centrale a RS (nota: il corpo centrale potrebbe essere piu’ lento...)

Usando la definizione di G, la conservazione della massa, e assumendo velocita’ Kepleriana all’orbita interna, si ha:

C = �2�(r3�vr�)rS = �2�[r3/2�vr(GM)1/2]rS =�ṁ(GMSrS)1/2

da cui: �� =ṁ

3�

�1�

�rsr

�1/2�



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Energia dissipata in un anello:

!Energia dissipata per unita’ di area (tenendo conto delle due facce del disco):

se � = �K =�

GM

r3

�1/2� D(r) = 9

8��

GM

r3

G�� = Gd�dr

�r

D(r) =G��

2� 2�r�r =12��

�rd�dr

�2

D(r) =3GMSṁ

8�r3

�1�

�rSr

�1/2�


Dischi di accrescimento:luminosita’

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L’energia dissipata (energia termica del disco) viene irradiata. Luminosita’ emessa fra due raggi r1 ed r2

r1 = rS ; r2 =� � LDISC =GMṁ

2RS=

12LACC

L(r1, r2) = 2� r2

r1

D(r)2�rdr =

=3GMṀ

2

�1r1

�1� 2

3

�rSr1

�1/2�� 1

r2

�1� 2

3

�rSr2

�1/2��



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Analisi della dissipazione all’interno del disco:

energia dissipata fra r e r+dr

Di questa energia, una parte:

!e’ il rilascio di energia gravitazionale; il resto:

GMṁ

r2

�1� 3

2

�rsr

�1/2�dr

�GMṁ

2r2dr

�

2� 2�rdrD(r) = 3GMṁ2r2

�1�

�rsr

�1/2�dr

e’ trasportata nell’anello di raggio r dall’ interno del disco



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GMṁ

r2

�1� 3

2

�rsr

�1/2�dr

e’ positivo per r>9rS/4, e negativo per r9rS/4, e MINORE per quelli interni.

!Passo seguente: verifica della autoconsistenza del modello.

Si dimostra facilmente che:

- se la velocita’ Kepleriana locale e’ maggiore della velocita’ del suono, l’ipotesi di disco sottile e’ verificata

- se il disco e’ sottile, l’ipotesi che la velocita’ locale sia Kepleriana e’ verificata.


Dischi di accrescimento: spettro

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Se il disco e’ otticamente spesso:

�T 4(r) = D(r)� T (r) =�3GMSṁ8�r3�

�1�

�rSr

�1/2��1/4

In prima approssimazione (trascurando l’atmosfera del disco):

F� =2� cos �

d2

� rOUT

rIN

I�rdr ; I� =2h�3

c2(eh�/kT (r) � 1)

Spettro: se

! se

� > kT (rIN )h

� F� � �3eh�/kT


Dischi di accrescimento: spettro

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Se kT (rOUT )h



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Struttura locale: nell’approssimazione di disco sottile, i gradienti di temperatura e pressione sono essenzialmente verticali (cioe’ le variazioni locali lungo la componente radiale sono trascurabili rispetto a quelle lungo la componente verticale). In queste condizioni, la struttura verticale e’ ~disaccoppiata da quella radiale.

Equilibrio idrostatico in disco sottile:

�(r, z) = �C � ez2

2H2 ; � =�H

; H =rcSv�

; c2s =P

�

La pressione P e’ data dall’equazione di stato:

P =�kTCµmP

+4�3c

T 4C



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Per ottenere un sistema completo di equazioni, dobbiamo ottenere un’equazione dell’energia, eguagliando la dissipazione al flusso di energia radiante.

Trasporto radiativo all’interno del disco (direzione verticale:)dI�ds

= ��I� + J� = ��(I� � S�)

Considerando solo i gradienti lungo z, la variazione lungo un elemento ds dipendera’ solo dall’angolo rispetto alla direzione verticale. E’ conveniente quindi esprimere l’equazione di trasporto in funzione della variazione lungo z e di tale angolo:

µ = cos �; ds =dz

cos �=

dz

µ� µ�I�

�z= ��(I� � S�)



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Ordine zero: trascuro la derivata, e uso la condizione di emissione termica:

Primo ordine:

I�(µ, z) = S� �µ

��

�I��z

Integrando per ottenere il flusso monocromatico:

I(0)� (z, µ) � B�(T )

I(1)� (z, µ) � B�(T )�µ

��

�B��z

F�(z) =�

I(1)� (z, µ) cos �d� = 2�� +1

�1I(1)µ µdµ



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L’integrale del primo termine dell’equazione e’ nullo. Si ha:

F�(z) =2��

�B��z

� +1

�1µ2dµ = � 4�

3��B��z

=4�3��

�B��T

�T

�z

F (z) =� �

0F�(z)d� = �

4�3

�T

�z

� �

0

1��

�B��T

d� ��0

�B��T d��

0�B��T d�

� �

0

�B��T

d� =�

�T

� �

0B�d� =

�

�T

��

T 4�

F (z) = �16�T3

3�R�T

�z, �R =

��0

1��

�B��T d��

0�B��T d�



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Sostituendo le derivate con le differenze finite, e considerando che TC>>Tz=H:

Eguagliando il flusso di energia radiante con la potenza dissipata per unita’ di area:

F (z) � 4�3�

T 4C , � = H�R

4�3�

T 4C = D(R) =3GMṁ8�r3

�1�

�rSr

�1/2�

L’opacita’ e’ principalmente dovuta alla diffusione free-free (alle alte temperature) e alle interazioni bound-free (a temperature basse, con il gas non del tutto ionizzato):

�R = 0.4� + 6.6� 1022�2T� 72C (cm

�1)



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A questo punto abbiamo tutte le equazioni necessarie per “chiudere” il problema:

4�T 4C3�

=3GMṁ8�r3

�1�

�rSr

�1/2�

� = H � (0.4� + 6.6� 1022�2T�72

C )

�� =ṁ

3�

�1�

�rSr

�1/2�

� = �cSH

Incognite : �,�,H, cS , P, TC , �, �; parametri : ṁ,M, R,�

� =�

H

H =cSr3/2

(GM)1/2

c2S =P

�

P =�kTCµmp

+4�3c

T 4C



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Per la soluzione analitica e’ possibile distinguere tre zone:

1) zona interna: opacita’ dominata dal termine free-free, equazione di stato dominata dal termine radiativo;

2) zona intermedia: opacita’ dominata dal termine free-free, equazione di stato dominata dal termine termico

3) zona esterna: opacita’ dominata dal termine bound-free, equazione di stato dominata dal termine termico

Esempio: alcune soluzini per la zona 3:

H = 1.7� 1011��1/10ṁ3/1026 M�3/88 R

9/814 f

3/5 (cm)

� = 3.1� 10�5��7/10ṁ11/2026 M5/88 R

�15/814 f

11/5 (g cm�3)

TC = 1.4� 106��1/5ṁ3/1026 M1/48 R

�15/814 f

11/5 K



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La temperatura efficace di emissione ( D(R)=sT4 ) e’:

T = 2.2� 105ṁ1/426 M1/48 R

�3/414

La soluzione completa delle equazione del disco permettono di verificare a posteriori l’autoconsistenza con le ipotesi fatte


Dischi di accrescimento:osservazioniConfronto fra teoria e osservazioni:

Spectral Energy Distribution (SED) dei nuclei galattivi attivi:

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X-ray UV-bump IR-bump

Radio band

Type 1 quasars, Elvis et al. 1994


Dischi di accrescimento:osservazioniRisultati generali: !- La SED degli AGN ha un massimo nell’ UV

- Le righe di emissione richiedono un forte continuo UV

--> In accordo con il modello di disco !- La SED si estende ai raggi X e all’infrarosso

- Non e’ osservata la pendenza n1/3 prevista dal modello

--> In disaccordo con il modello

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- Spiegazioni: 1) Complessa interazione con il mezzo circumnucleare

2) Modelli di disco alternativi


Dischi di accrescimento: ADAFModelli alternativi: Ampia letteratura. Il filone piu’ studiato e’ quello degli “Advection-Dominated Accretion Flows” (ADAF).

!Concetto base: il disco NON e’ geometricamente sottile; la densita’ e’ bassa --> l’ interazione fra ioni ed elettroni e’ debole, quindi l’energia gravitazionale perduta dagli ioni NON e’ efficacemente trasferita agli elettroni, e la riemissione non e’ efficiente --> la maggior parte dell’energia gravitazionale perduta dagli ioni NON viene irraggiata e rimane “imprigionata” nelle particelle che accrescono sul buco nero centrale.

!Questo accade per tassi di accrescimento BASSI (inferiori a un limite eEDD


Dischi di accrescimento: ADAF

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Spettri teorici di ADAF

Evidenze osservative: deboli…


Dischi di accrescimento:osservazioni

34

!Separazione della componente

del disco dalla riemissione termica

!Esempio: osservazioni in luce

polarizzata:

!(Kishimoto et al. 2008,

Nature 454, 492

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