บทที่ 6

สมการเชิงอนุพันธเชิงเสนไมเอกพันธที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับ 𝑛 ที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว

(𝑎 𝐷 + 𝑎 𝐷 + ⋯ + 𝑎 𝐷 + 𝑎 )𝑦 = 𝑓(𝑥)

----------------(1)

โดยที่ 𝑎 , 𝑎 , … , 𝑎 เปนคาคงตัว

หรือ 𝑃(𝐷)𝑦 = 𝑓(𝑥)

ถา 𝑓(𝑥) ≠ 0 เรียก สมการไมเอกพันธ

ซึ่งมีผลเฉลย คือ 𝑦 = 𝑦 + 𝑦

การหาผลเฉลยของ 𝑦 มี 3 วิธี

1. วิธีเทียบสัมประสิทธิ์

2. ตัวดําเนินการผกผัน

3. วิธีตัวแปรเสริม

6.1 การหาผลเฉลยเฉพาะโดยวิธีเทียบสัมประสิทธิ์

การสรางสมการเอกพันธจากผลเฉลย

พิจารณาสมการเอกพันธที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว

𝑃(𝐷)𝑦 = 0

----------------------------(2)

ถาทราบผลเฉลยของสมการ (2) ก็จะทราบรูปแบบของตัวดําเนินการ 𝑃(𝐷) ได

ทั้งนี้โดยการพิจารณายอนกลับของขบวนการหาผลเฉลยของสมการเอกพันธ

นั่นเอง เชน

- ถาผลเฉลยมีพจน 𝐶 𝑒

o แสดงวาสมการชวย 𝑃(𝑟) = 0 มีรากคือ 𝑟 = 𝑎

� ซึ่งแสดงวาตัวดําเนินการ 𝑃(𝐷) มี 𝐷 − 𝑎 เปนตัว

ประกอบดวย

- ถาผลเฉลยมีพจน 𝐶 𝑒

o แสดงวาสมการชวย 𝑃(𝑟) = 0 มีรากคือ 𝑟 = 𝑎, 𝑎

� ซึ่งแสดงวาตัวดําเนินการ 𝑃(𝐷) มี (𝐷 − 𝑎) เปนตัว

ประกอบดวย

ax

I Czxe

- ถาผลเฉลยมีพจน 𝐶 𝑒

o แสดงวาสมการชวย 𝑃(𝑟) = 0 มีรากคือ 𝑟 = 𝑎, … , 𝑎 (𝑘 ตัว)

� ซึง่แสดงวาตัวดําเนินการ 𝑃(𝐷) มี (𝐷 − 𝑎) เปนตัว

ประกอบดวย

- ถาผลเฉลยมีพจน 𝐶𝑒 cos 𝑏𝑥 และหรือ 𝐶𝑒 sin 𝑏𝑥 o แสดงวาสมการชวย 𝑃(𝑟) = 0 มีรากคือ 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑖

� ซึ่งแสดงวาตัวดําเนินการ 𝑃(𝐷) มี [𝐷 − (𝑎 +

𝑏𝑖)][𝐷 − (𝑎 − 𝑏𝑖)] หรือก็คือ [(𝐷 − 𝑎) − 𝑏 ] เปน

ตัวประกอบดวย

- ถาผลเฉลยมีพจน 𝐶 𝑒 cos 𝑏𝑥 และหรือ

𝐶 𝑒 sin 𝑏𝑥 o แสดงวาสมการชวย 𝑃(𝑟) = 0 มีรากคือ 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑖 (ซ้ํากัน 𝑘

ตัว)

� ซึ่งแสดงวาตัวดําเนินการ 𝑃(𝐷) มี [(𝐷 − 𝑎) − 𝑏 ]

เปนตัวประกอบดวย

k - I×

axbi)E

←*ain't ←TC'

x"

I

ตัวอยาง 6.1.1

(1) 𝑦 = 4𝑒 − 3𝑥 เปนผลเฉลยของสมการ

(𝐷 − 2)𝐷 𝑦 = 0

(2) 𝑦 = 1 + 4𝑥𝑒 + sin 3𝑥 เปนผลเฉลยของสมการ

𝐷(𝐷 − 1) (𝐷 + 9)𝑦 = 0

(3) 𝑦 = −2𝑒 cos 5𝑥 เปนผลเฉลยของสมการ

[(𝐷 − 2) + 25] 𝑦 = 0

2

I-21 LD- o)7 I0 Play -- o

Mrmm

-0 -a-o as in IsiI k I

PlMy=O"

DID -11415+919=0→2I5i

OOMy = -2xe④cosf④odvwobasovvoooramr

Its i

¢D -277251dg =o

orderer n←

Form PCD)y = fix)

I Play =O, Play = fix)

u IYc Yp

PCH = o

r = r, ,rz , .

. .

, rn

road GCD) fix) = O - Cl )

odor QLD) PCD) y = GCD) fix) =0 - (2)

Ironman Girl Per) = O

horn r -- r, , rz , . . . , rn , ri , 's 's . - .

,r!- -Yo Yg

y = Yc -19gImran GCD ) PCD) yp

= GID) thx) =O

Mr

.

'

. yp www.bommrww goin

QCD) PCD)y = GCD) fix ) =o

y --Yi- Yp

MI herobornNorton ( D 't 4) y = 5e× - 4×2-

j8n①sowmionnhrr CD't4) y = O

of sunrise r42=o IN r -- Izi

brr.IN②= C,2x t Cgsinax→r -- I

→r-- go, o

an fix) = 5£ - 4×23

IN QCD ) = (D -1) D

answersQlD7Py=QlD7fhY-÷(D -1) D'ID'd

-147g = (D - 1) D'Chie"- 4×3 = O

I random Do r = ±2i, 1,0 , 0,0

Idwal008688

y = C,coszx + Isin 2X tGe't Cqtcgxtdxd-To 9g

duduyq= Cge

"

-14,

+ Ex -1 Ex'd

9W y,

= ae"

+ b + cx + dx2

binvohsvsaner (D'-14)y = se

"- 4×2

9W y,

= ae"

+ b + cx + dx2

binvohsvsanr (D'-14)y = se

"- 4×2

ur y 'p , y "p IN yp'

-. aitc + adx

y "p=ae× + ad

2brush Dypt4yp = 5e× - 4X&

ae×tzd t 4ae×t4bt4dx +4dXd=5e× - 4×2

5ae×t ( ad

-146) -14CX t 4dx& =5e× -4×2

inundation of5a = 5 IN a = Izdxab-

- O IN b = I2

42--0 IN C -o

ud = -4 IN D= - I

oldyp = ex -11g -

xd

gtggsvwoloovrnrw N du

y = dioszxedzsinzx text 1g -xd*

วิธีเทียบสัมประสิทธิ์

พิจารณาสมการไมเอกพันธ

𝑃(𝐷)𝑦 = 𝑓(𝑥) ----------(1)

มีสมการเอกพันธสัมพัทธเปน

𝑃(𝐷)𝑦 = 0 ----------(2)

มีสมการชวยของ (2) คือ 𝑃(𝑟) = 0

สมมติมีรากของสมการชวย คือ 𝑟 = 𝑟 , 𝑟 , … , 𝑟

------------ก็จะไดผลเฉลยเติมเต็ม 𝑦 ซึ่งก็คือผลเฉลยทั่วไปของสมการ (2)

ในการหา 𝑦 สมมติ 𝑓(𝑥) ในสมการ (1) เปนผลเฉลยของสมการเอกพันธ

สมการหนึ่งใหเปน

𝑄(𝐷)𝑓(𝑥) = 0 -----------(3)

ซึ่ง 𝑄(𝐷) คือตัวดําเนินการที่จะตองหาตอไป

สมการ (3) มีสมการ คือ 𝑄(𝑟) = 0

---------------สมมติมีรากของ 𝑄(𝑟) = 0 คือ 𝑟 = 𝑟′ , 𝑟′ , … , 𝑟′

ตอไป เอา 𝑄(𝐷) ดําเนินการสมการ (1) และโดยสมการ (3) จะได

𝑄(𝐷)𝑃(𝐷)𝑦 = 𝑄(𝐷)𝑓(𝑥) = 0 ---------(4)

สมการ (4) มีสมการชวย 𝑄(𝑟)𝑃(𝑟) = 0 ซึ่งมีรากเปน

𝑟 = 𝑟 , 𝑟 , … , 𝑟 , 𝑟′ , 𝑟′ , … , 𝑟′

ดังนั้น สมการ (4) มีผลเฉลย 2 ชุดรวมกัน

- คือชุดที่ไดจาก 𝑟 = 𝑟 , 𝑟 , … , 𝑟 ซึ่งคือผลเฉลยของ 𝑦

- กับอีกชุดที่ไดจาก 𝑟 = 𝑟′ , 𝑟′ , … , 𝑟′ ซึ่งคือผลเฉลยของ 𝑦

ทําใหไดวา ผลเฉลยของสมการ (4) คือ

𝑦 = 𝑦 + 𝑦

พิจารณา 𝑦 ผลเฉลยเฉพาะของสมการ (1) มี

𝑄(𝐷)𝑃(𝐷)𝑦 = 𝑄(𝐷)𝑓(𝑥) [𝑃(𝐷)𝑦 = 𝑓(𝑥) ]

= 0 [สมการ (3)]

ดังนั้นจะเห็นวา 𝑦 สอดคลองสมการ (4)

พิจารณา ถา 𝑦 = 𝑦 + 𝑦 ผลเฉลยของสมการ (4) เปนผลเฉลยของ

สมการ (1) จะได

𝑃(𝐷)(𝑦 + 𝑦 ) = 𝑓(𝑥)

𝑃(𝐷)𝑦 + 𝑃(𝐷)𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑃(𝐷)𝑦 = 𝑓(𝑥) เพราะวา 𝑃(𝐷)𝑦 = 0

แสดงวา 𝑦 สอดคลองสมการ (1) สําหรับบางคาของสัมประสิทธของ 𝑦

สําหรับสัมประสิทธิ์บางคาของ 𝑦 ดังกลาว

----------------- 𝑦 = 𝑦

และคาสัมประสิทธิ์บางคาเหลานี้หาไดโดยวิธีเทียบสัมประสิทธิ์

ตัวอยาง 6.1.2 จงหาผลเฉลยของสมการ (𝐷 + 4)𝑦 = 5𝑒 − 4𝑥

ตัวอยาง 6.1.3

จงหาผลเฉลยของสมการ (𝐷 − 3𝐷 + 4)𝑦 = 16𝑥 − 50 cos 3𝑥

PCD ) fix )

a-mm -

JIM ① an yc IN r'- zr - 4--0 ldrourvrh

( r - 4) ( x-117=0

.

'

.re - n

,4

ask yo =C,e-''

+ Cae"

② em AID) an fix) = 16 X - 50 cos 371

IN QCD) = Ddfp?r -- goTizi

⑦ GID) PCD)y = GID) fix ) = O

DID? ( DHHD - 47g = O

8 rundown In Bo re - 1,4 , 0,0 ,Isi

Id y =D, e-''

tf e"

-1 Cg + fix t Geossxxfsinzx

I-TqTdyq= dz + GX t Csos Ht dgsinzx

IN yp= At bx t dcoszx

+ dsinzx

warmthand ( D? 3D - 4) y = 1671-50 cos 3X

IN yp= A t b x t d coszx

+ dsinzx

warmthand ( D? 3D - 4) y = 1671-50 cos 3X

in yp'

, yp" lot

yp'= b - 3C sin 3X t 3d cos 371

yp"

= -9C cos 3X - gdsinzx

branch D} - 3 Dy - 4g = 167 - 50 Cos 371

- 9C cos 34 - gdsinzx - 3b -19414371 - gdcoszx- 49 - 4bX - 4C cos 37 - 4dsIn3X = 16×-50 Cos 3X

(- 4A - 2b) - ab X t (- 13C - ad) cos 3X + (ad - 13d) sin 311=16×-5005371

snow Endo:Dnot-4A - 36=0

::÷÷÷÷÷÷'"47×9 ; -177d - Sid = - 450 - 77 Yp =3 - 4X t By Cos H t of sin 34C27×13 ; 177 C - 169 d = O

- H)

"""i - "od

a ÷ :%9÷I:÷÷m×¥in9C - 131¥) -- O

ci "I

UNIT pep, fix )

I b

(D'

-1213-11)y = 7+75 sin 2X

y = e-'' ( d

, tczx) +7- 12052×-9 sin 2X

Sot ① an Yc

② Q """" " " " "" " t" }y gyp⑦ QLD) PCD)y i QCD)fix 1--0

y = yet Yq④ set yp = nsivyq ⇒ or

nuohfonr

⑤ ingrown.sn/

6.2 การหาผลเฉลยเฉพาะดวยตัวดําเนินการผกผัน (inverse operator)

สมการไมเอกพันธที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว

𝑃(𝐷)𝑦 = 𝑓(𝑥)

เขียนผลเฉลยเฉพาะ 𝑦 ของสมการในรูป

𝑦 =1

𝑃(𝐷) 𝑓(𝑥)

โดยนิยาม ( ) วาเปนตัวดําเนินการผกผันของตัวดําเนินการ 𝑃(𝐷) ซึ่งสมบัติวา

𝑃(𝐷)1

𝑃(𝐷) 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥)

ตัวดําเนินการผกผันมีสมบัติอื่น ๆ นอกจากสมบัติในบทนิยามดังนี้

1. 𝑃(𝐷)( ) 𝑓(𝑥) ≠ ( ) 𝑃(𝐷)𝑓(𝑥) (ตางเปนคาคงตัว)

2. ( )

[𝐶 𝑓 (𝑥) + 𝐶 𝑓 (𝑥)] = 𝐶( )

𝑓 (𝑥)+𝐶( )

𝑓 (𝑥)

(สมบัติเชิงเสน)

3. ( ) ( )𝑓(𝑥) = ( ) ( )

𝑓(𝑥) = ( ) ( )𝑓(𝑥) (สมบัติ

สลับที่ได)

①worse

กรณี 𝑷(𝑫) = 𝑫𝒏

คือสมการเปน 𝐷 𝑦 = 𝑓(𝑥)

เขียนผลเฉลยเฉพาะเปน 𝑦 = 𝑓(𝑥)

แต 𝑦 ในสมการ 𝐷 𝑦 = 𝑓(𝑥) หาไดจาก

𝑦 = … 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 … 𝑑𝑥 = … 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

ดังนั้นจึงไดวา

𝑓(𝑥) = ∫ … ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 -----------------(1)

① PCD)e

Yp =mum

กรณ ี𝑷(𝑫) = (𝑫 − 𝒂)𝒏

คือสมการเปน (𝐷 − 𝑎) 𝑦 = 𝑓(𝑥)

เขียนผลเฉลยเฉพาะเปน 𝑦 = ( ) 𝑓(𝑥)

คูณสมการดวย 𝑒 ได

𝑒 (𝐷 − 𝑎) 𝑦 = 𝑒 𝑓(𝑥) -------------(2)

จากสมบัติของตัวดําเนินการขอที่วา

𝑒 𝑃(𝐷 + 𝑚)𝑦 = 𝑃(𝐷)𝑒 𝑦)

ถาให 𝑚 = −𝑎 และ 𝑃(𝐷) = 𝐷 จะได

𝑒 (𝐷 − 𝑎) 𝑦 = 𝐷 𝑒 𝑦 ------------(3)

ดังนั้นโดย (2) และ (3) จะได

𝐷 𝑒 𝑦 = 𝑒 𝑓(𝑥)

และโดย (1) จะได

𝑒 𝑦 = … 𝑒 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑦 = 𝑒 … 𝑒 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

ดังนั้นจึงไดวา

( )

𝑓(𝑥) = 𝑒 ∫ … ∫ 𝑒 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ----------------.(4)

pop,

"My = fa ,

If t.im?I

e-"y = Ipn e-"fix )

no

Yp =

~

nah

fix I = ex f e-"fix, dx

ตัวอยาง 6.2.1 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ

(𝐷 − 5𝐷 + 𝐷 + 21𝐷 − 18)𝑦 = 𝑒

D,D -9

PCD)Yp

/ fix )v k

gin; - 3X

- Dp -

-1-- e BeD.4-5173+04211) - 18

- 3X I - 5 1 21 - 18

=- e if :i's :(D -37243+2) -D-

-2 12 -18

- I -6

=L e'' fixe-"dx traore: "

(p-31412+2)→d- " dx cr - zur - z)

x

=i_efe÷lCD-3740+2)

=µ÷i"Se" "

ldx-a,

Mr " fed×= 're I47312

2

= e''' Sfi" "

Cdx)

=e"' SSEI@xid-eHfgjIdx-3X.n.

=e" he;÷) -

- e-144

@got Yp=%y #

ตัวอยาง 6.2.1 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ

(𝐷 + 𝐷 − 𝐷 − 1)𝑦 = 𝑒

D&D -11) - ( Dtl)

Sold 2x -- CD'- 1) (Ptl)

- Yp =1- e=D - 1) ( DTD

'd

(D- 1) ( Dti)'d

=¥i+÷+÷Ie"(p-1) (DH)2X g@e

"- t.ae

"-Hai ÷ ;÷i¥.

=¥e" fixe"dx =±¥¥HIHH(D-1) ID-1112

- z,

e-''

fete"dx - { Effie"dxYz= Acp#ftp.lpthtcco-D17=1 ; I = 4A i .

A -- I

,

D=-l ; I = -2C .

'

.de -I

; 2. D= Oi I = A - B -d

.

'

. B - A - C - l

Tp -

-D* -

- ft 's - ' = -I,

6.3 การหาผลเฉลยเฉพาะโดยวิธีตัวดําเนินการผกผัน 𝒚𝑷 = 𝟏𝑷(𝑫) 𝒇(𝒙)

เมื่อ 𝑓(𝑥) มีรูปแบบเฉพาะ

การหาผลเฉลยเฉพาะโดยวิธีที่กลาวมาในตอนที่ผานมานั้นเปนวิธีหาผล

เฉลยเฉพาะโดยทั่วไป ในตอนนี้จะกลาวถึงวิธีการหาผลเฉลยเฉพาะเมื่อ 𝑓(𝑥)

มีรูปแบบเปนฟงกชันพหุนาม (𝑥 ) ฟงกชันเอกซโพเนนเชียล (𝑒 ) ฟงกชัน

sine หรือ cosine

1. เมื่อ 𝑓(𝑥) = 𝑥

พจิารณา 𝑦 =( )

𝑥

= (𝐴 + 𝐴 𝐷 + 𝐴 𝐷 + ⋯ + 𝐴 𝐷 + ⋯ )𝑥

ซึ่ง ( )

= 𝐴 + 𝐴 𝐷 + 𝐴 𝐷 + ⋯ + 𝐴 𝐷 + ⋯

หาไดโดยวิธีกระจายอนุกรม Laurent และถา 𝑃(𝐷) แยกตัวประกอบเปนกําลังหนึ่งท้ังหมด ก็อาจ

ใชทฤษฎีบททวินาม (Binomial Theorem) มาชวยดวย ในทางปฏิบัติใชวิธีหารยาวโดยตรงโดย

เอา 1 ตั้งหารดวย 𝑃(𝐷) ซึ่งเรียงลําดับกําลังของ 𝐷 จากนอยไปมาก

AmIIe'm= o

O

ตัวอยาง 6.3.1 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ

(𝐷 − 3𝐷 + 2)𝑦 = 2𝑥 − 9𝑥 + 2𝑥 − 16

PID)Yp foe )

b d

ion;- l (2x

'-9×42×-16 )Yp = -

D}- 3D -12

=/'zt¥D+gD4¥D't.yfsxtaxtsx.no/....7.s ,'''t ' "

F-ID 1-DI-

{ D -123=43-affix - s) -12416×2-18×+2) ¥. :p' ' +¥1,4'

tag ( tax- is) t 2,26/12) to -10 go

'- y'- yo'

II orbiter

yp= x'

-914×-8 t - tf -127¥-+6493-= X +X - 19 =-3

I # -H -112

ตัวอยาง 6.3.2 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ

𝐷 (𝐷 − 1)𝑦 = 𝑥

" i :*.x: ⇒÷#

" ""t

= 1,4 f- i - D'- . . . ) xd

= Ipe, f - x'- 2)

= ISS e - x'- as cdx 14

:

Y p= D

'

2. เมื่อ 𝑓(𝑥) = 𝑒

พิจารณา 𝑦 =( )

𝑒

จากสมบัติของตัวดําเนินการขอที่วา

𝑃(𝐷)𝑒 = 𝑃(𝑚)𝑒 --------(1)

จะได 𝑃(𝐷)( ) = ( )

( )= 𝑒

ดังนั้น ได ( )

𝑒 =( )

ถา 𝑃(𝑎) ≠ 0 --------(2)

แตถา 𝑃(𝑎) = 0 จะไมไดสูตร (2) ดังกลาวนี้

พิจารณา 𝑃(𝐷) ตองมี (𝐷 − 𝑎) เปนตัวประกอบอยู อยางนอย 1 ตัว

สมมติมีซ้ํากัน 𝑘 ตัว ดังนั้น

𝑃(𝐷) = 𝑄(𝐷)(𝐷 − 𝑎)

𝑄(𝐷) คือตัวดําเนินการอันดับ 𝑛 − 𝑘 เมื่อ 𝑃(𝐷) เปนตัวดําเนินการอันดับ 𝑛

และ 𝑄(𝑎) ≠ 0 จากสมบัติตัวดําเนินการขอที่วา

(𝐷 − 𝑚) 𝑥 𝑒 = 𝑒 = 𝑒 𝑛!

จะได 𝑄(𝐷)(𝐷 − 𝑎) 𝑒 𝑥 = 𝑄(𝐷)𝑒 𝑘!

= 𝑄(𝑎)𝑒 𝑘! [โดย (1)]

เพราะนั้น จะได ( )( ) 𝑒 = ( ) !

คาของ 𝑄(𝑎)𝑘! อาจหาไดโดยการพิจารณาจาก 𝑃(𝐷) = 𝑄(𝐷)(𝐷 − 𝑎) มี

พหุนามชวยของ 𝑃(𝐷) คือ 𝑃(𝑟) = 𝑄(𝑟)(𝑟 − 𝑎)

------โดยสูตร Leibnitz’s rule ที่วา

(𝑓𝑔)( ) = 𝑛𝑖 𝑓( )𝑔( )

จะได

𝑃( )(𝑟) = [𝑄(𝑟)(𝑟 − 𝑎) ]( )

= 𝑛𝑖 𝑄( )(𝑟)[(𝑟 − 𝑎) ]( )

= 𝑄( )(𝑟)(𝑟 − 𝑎) + 𝑛1 𝑄( )(𝑟)[(𝑟 − 𝑎) ]

+ 𝑛2 𝑄( )(𝑟)[(𝑟 − 𝑎) ]" + ⋯

+ 𝑛𝑛 − 1 𝑄 (𝑟)[(𝑟 − 𝑎) ]( )

+ 𝑄(𝑟)[(𝑟 − 𝑎) ]( )

- ถา 𝑛 < 𝑘

o จะได 𝑃( )(𝑎) = 0 เพราะวาทุกพจนทางขวาจะยังมี (𝑟 − 𝑎)

คูณอยูดวย

- และเมื่อ 𝑛 = 𝑘

o พจนสุดทายคือ 𝑄(𝑟)[(𝑟 − 𝑎) ]( ) จะเปนพจนเดียวที่ไมมี

(𝑟 − 𝑎) คูณดวยเพราะวา 𝑄(𝑟)[(𝑟 − 𝑎) ]( ) = 𝑄(𝑟)𝑘!

(เมื่อ 𝑛 = 𝑘) ในขณะที่พจนอื่น ๆ จะยังมี (𝑟 − 𝑎) คูณอยูดวย

ดังนั้นเมื่อ 𝑟 = 𝑎 จะได

𝑃( )(𝑎) = 0 + 0 + ⋯ + 0 + 𝑄(𝑎)𝑘!

สรุปไดวาในกรณี 𝑓(𝑥) = 𝑒 มีผลเฉลยเฉพาะ 𝑦 =( )

𝑒 ดังนี ้

- ถา 𝑃(𝑎) ≠ 0

o มี 𝑦 =( )

𝑒 =( )

- ถา 𝑃(𝑎) = 0

o มี 𝑦 =( )

𝑒 = ( )( ) 𝑒 = ( ) ! , 𝑄(𝑎) ≠ 0

หรือ 𝑦 =( )

𝑒 =( )

, 𝑃 (𝑎) ≠ 0

T

o

OPerl,Pca) = O

pp.in , P'cat = O '¥⇒yp=eatr)

,P"

ca) = O X

P'"in p¥oVk"ta '

ตัวอยาง 6.3.3 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ

(𝐷 + 2)(𝐷 + 3)𝑦 = 3𝑒

A. = - 1

b

a = - l,Pcr)= (r -12) ( r -13 )

Pf - i) - (1) (2) =L to

" yp=3e a

2

ตัวอยาง 6.3.4 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ

(𝐷 − 1) (𝐷 + 1)𝑦 = −2𝑒

4=7/ 9--1

(D- al"GID) L

wa -- i ,Pcr) = Ct - a)

'

( rti)

PCM - O

JI PCD) - (p - IPCD -11) i.

K -- 3

no

g.p=

- 2e"X}

per, _- ( r -n'htt)- Pfr) - ( rt ) 't (rtl)3(r-tf

P"'ll) =p.ph/r-i-i3rt3)X 3

= (r-1114 r -12)

= - L E X p "cr) e- er-p'T + Car-12124-D

- p"fr) = gft- 1) their-121k)12

-12 (r - 1) (4)

X 3 = 88-8 tsr -14

= E X + sr - 8

-

6 = 248 - 12

p'"

ca) 724-12--1240

9% PCD) =D - 1) (Dtl) =D" -2133-120-1

Arrow CD4-2124217 - I)y =L -Ze't)

9=1,Pcr ) = r 4-289+2 r - I

PG ) = I- 2+2-1--0

Ptr) =4r3 - 68+2 ,Pti ) -- 4 - b -12=0

I

p"cry = 128 - 128 ,

p"c1 ) s 12-12=0

P'"Cr ) = der -12 ,P"'ll ) s 24 - 12--12=10

yp =-Lexx'

.

'

.

K - 3

- X12

Pl D)y s fix)

Yp = 7- fix ,PCD)

⑦ fix, = Xmm

Yp = 1- xPID)

= ( Ao t A,D + AZD't - . . ) xm

ax

④ fix , = e"

j Yp = ¥,e

① Plat fo ; yp -- ePla)

② Peal =o ; Yp -- a¥pa*ea×=ea×

Qlalk !

nooo y=

,

eat =pfIYn , P''Yano

3. เมื่อ 𝑓(𝑥) = cos 𝑎𝑥 หรือ sin 𝑎𝑥

จากเอกลักษณของออยเลอร 𝑒 = cos 𝑎𝑥 + 𝑖 sin 𝑎𝑥

ดังนั้นได

cos 𝑎𝑥 = สวนจริงของ 𝑒 เขียน cos 𝑎𝑥 = Re(𝑒 )

และ

sin 𝑎𝑥 = สวนจินตภาพของ 𝑒 เขียน sin 𝑎𝑥 = Im(𝑒 )

ดังนั้นถามีสมการ 𝑃(𝐷)𝑦 = cos 𝑎𝑥 หรือ 𝑃(𝐷)𝑦 = sin 𝑎𝑥

จะได 𝑦 =( )

cos 𝑎𝑥 หรือ 𝑦 = ( ) sin 𝑎𝑥

=1

𝑃(𝐷)Re 𝑒 =

1𝑃(𝐷)

Im 𝑒

= Re1

𝑃(𝐷)𝑒 = Im

1𝑃(𝐷)

𝑒

นั่นคือ( )

cos 𝑎𝑥 = Re( )

𝑒 และ( )

sin 𝑎𝑥 = Im( )

𝑒

O

l It

ตัวอยาง 6.3.5 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ

(𝐷 − 4𝐷 + 3)𝑦 = 20 cos 𝑥

a-- I

going to-

yp = 1- (20 cosx )D'-413+3 → ions

in a -- i

= 20 Re ( p÷,¥ e ) PID) -- D2-YD-13

Pci ) -- i'-Yi -13

=2oRe( gig )= 2-yi.to

= 20 Ref ( oosxtisinx ) (atyi )¥C2t⇒

=2oRe(×)

Yp = QCOSX - 45in X #

Sh (DQ-413+3)y = 205in X

Yp =ctcosxtssinx K

ตัวอยาง 6.3.6 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ

(𝐷 − 𝐷 + 4𝐷 − 4)𝑦 = 4 sin 2𝑥

9--2H

g=E ,fix> ee

IFI yp = 4 Im f e

" "

)Dorm PCD) = D

'- D'-14 D- y

plz i ) = @if -fi) 't 4121'

) - 4

= -si -14 tri - 4=0

110'.Doiron

Pcr , = r'- r2 -14 r - y ,

Pc zito

Ptr ) = 3rd- 28 -14 ,plz i ) = - 12 -4 I -14

= -8 - yi €0

"

a. =aInf÷÷÷)"⇒

= - 'nH÷÷i÷÷⇒= -¥In facosax - iaosax +

iasinsxtsinax)

= Is ( cos2x - 25in 2x ) *

fix) = e"qcx) j PID) y = fix )

Yp = 1- ea×qcx)PCD)

on PID) e"y = e

"

PCDta)yJar y = 7- qcx)

PtDta)

IN pep) eat 1-qcx)= e"P¥p÷µ

,,8")

PCD-197 /

eat gin =L e' qcx )Pasta) PCD)

ax

Yp = Le qcx)PCD)

ax

= e 1- qcx)PCD ta)

ตัวอยาง 6.3.7 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ

(𝐷 − 4𝐷 + 2)𝑦 = (𝑥 + 𝑥)𝑒

axqcxl e

th

jail 2X 2-

yp = 1- e ( xxx )

D2- YD -12 no

RXy ( x' TX ) p't -14

= e-

(D-1212-41131-27+2 -4/13 - 8

-12

= :# """ ÷€÷=e"fz - e:-. . .. )lx%) a.±. -

2

=e"fzcx'tx) -413%7×1 - . . .]In2

÷¥

=e"fx÷ : - E, ] r2X

=

ez f - x'- x - i )

*

ตัวอยาง 6.3.8 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ

(𝐷 + 1)𝑦 = 𝑥 sin 𝑥

qlx)

L ga,e' qcx ,

aImfeix )''Iyp=¥xInle

")

on.

-- In xe

"

) I

' 'te" :*. IIti

ink"h÷i÷iH i÷÷:D2-

Cti ) 2Eye"f÷n. )) etii

=Imµei×( xxix) )= Itai - i -- si

Zi

itnfeixf.is/lx-i+ixl)=IzImflcosxtisinx)ifx- t ) - x ) )=- { Imficx - 1) cosx - xcosx - Cx -Hsin - ixsinx)

Yp = x.sinx-gx.tl #

a. "' dad, + a. Kiddy t azcxiy -- fix) - as

Yc = C,U,Cx ) + Czuzcx) - (2)

shfvwoioovorosownrionwvvrdsnnonrfu )

%yp = Vix) Unix) t VIX) Uzlx) -(3)

y'

p= Vix) U, 'm tuixivicxltqlxuztxlty.HN#- mm

441I 2 18am① (3) of rwolodCMONN CD

② VIXMix ) t 02674,1 X) - O - (5)2

Ior

Yp"

= Vix) 4,1×7 tvzcx ) 424×7 - Cb)

y"p = vinu ,"ex, + u,4x7Y4x, + qcxs4z"ex) -14*1×294"

annular

fix) = aol.in [ y"

p ) ta , ex ) ( y'

p ) tazcxllyp]

= vixif ) trim ( ) +9.1hL ]

=go.lxlfvilxiytxi-ricxsujcxdvicxsu.tn+ ozEx7Uz'Cx ) = -

90N)

Vix ) , tix)= ?

mash,(7) am Vix) , rdx,

yah -

- friendx , vzcxs -- fuzixidx

Yp = tix ' 41×7 1- text 41×7

6.4 การหาผลเฉลยเฉพาะโดยวิธีแปรตัวแปรเสริม

วิธีเปลี่ยนตัวแปรเสริมเปนวิธีหาผลเฉลยเฉพาะอีกวิธีหนึ่ง ซึ่งเปนวิธีที่ใชได

ทุกกรณีของฟงกชัน ( )f x ดังวิธีการตอไปนี้

(1) จากสมการเชิงอนุพันธสามัญ ( ) ( )F D x f x

หาผลเฉลยเติมเต็ม cy จากสมการ ( ) 0F D x

สมมุติได 1 1 2 2c n ny C y C y C y � � �

(2) เปนคาคงที่ 1 2, ,..., nC C C ใหเปนตัวพารามิเตอร

1 2, ,..., nQ Q Q ซึ่งตางเปนฟงกชันของ x

คือสมมุติให 1 1 2 2p n ny y y yQ Q Q � � �

โดยกําหนดเงื่อนไขสําหรับ 1 2, ,..., nQ Q Q ในรูปของระบบสมการเชิง

เสนดังนี้

1 1 2 2 0n ny y yQ Q Qc c c� � �

1 1 2 2 0n ny y yQ Q Qc c c c c c� � �

( 1) ( 1) ( 1)

1 1 2 2 ( )n n nn ny y y f xQ Q Q� � �c c c� � �

(3) หาคา 1 2, ,..., nQ Q Qc c c โดยใชกฎของคราเมอร (Cramer’s rule)

(4) หาคา 1 2, ,..., nQ Q Q ไดจากการอินทิเกรต 1 2, ,..., nQ Q Qc c c

จะไดวา ผลเฉลยเฉพาะราย 1 1 2 2p n ny y y yQ Q Q � � �

และผลเฉลยทั่วไป คือ c py y y �

ตัวอยาง 6.4.1 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ

𝑦 + 𝑦 = tan 𝑥

f-Cx)

L•

JI' ① any ,mornin 82+1 - old r= Ii

to' ye = Cicosx + Czsinx

IN yp = Vix) cosx + vzlxisinx

82 Sanudo

r,'cx) cosx + vzlcx > sinx = O - cm

Vix) thnx) t Ix ) SX - tanx - ②I

xsinx; vicxsinxcosx + Ix) sink = o -

⑦ xcosx ; vicx ) cosxf -sinx) t vzlcx ) 2x = sin x - (4)

(3) the) ; q'ex) = sin x

.

'

. vzlx ) =) sinxdx = - cosx

xcosx; vicxscosdx + iacxssinxcosx = O - (5)

⑦ xsinx ; y'cxyfsindx) t rztx> cosxsinx = sinxsinx-⑥COSX

E) Hot ; vjix , = -

sink=

cosh - I=cos x -L

- -

cosy cost cosy

= Cos X - Sec x

.

'

.

o,Cx) Osx - SKCX ) DX = sinx - hrcsecxttanx)

I. yp

,

= fsinx - lncsecxttanx)) cost ttcosx) (sin x)y= - cos x hr ( seex + tan x )

#

ทฤษฎีบท 6.4.1 ถา 𝑎 (𝑥), 𝑎 (𝑥), … , 𝑎 (𝑥), 𝑓(𝑥) เปนฟงกชันของ 𝑥

ตอเนื่องบนชวง 𝐼 โดย 𝑎 (𝑥) ≠ 0 และถา 𝐶 𝑢 (𝑥) + 𝐶 𝑢 (𝑥) + ⋯ +

𝐶 𝑢 (𝑥) เปนผลเฉลยเติมเต็มของสมการเชิงอนุพันธ

𝑎 (𝑥)𝑦( ) + 𝑎 (𝑥)𝑦( ) + ⋯ + 𝑎 (𝑥)𝑦′ + 𝑎 (𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥)

แลวจะมีผลเฉลยเฉพาะเปน

𝑦 = 𝑣 (𝑥)𝑢 (𝑥) + 𝑣 (𝑥)𝑢 (𝑥) + ⋯ + 𝑣 (𝑥)𝑢 (𝑥)

โดยที่ 𝑣 (𝑥), 𝑣 (𝑥), … , 𝑣 (𝑥) สอดคลองเงื่อนไข

𝑣 (𝑥)𝑢 (𝑥) + 𝑣 (𝑥)𝑢 (𝑥) + ⋯ + 𝑣 (𝑥)𝑢 (𝑥) = 0

𝑣 (𝑥)𝑢′ (𝑥) + 𝑣 (𝑥)𝑢′ (𝑥) + ⋯ + 𝑣 (𝑥)𝑢′ (𝑥) = 0

⋮

𝑣 (𝑥)𝑢( )(𝑥) + 𝑣′ (𝑥)𝑢( )(𝑥) + ⋯ + 𝑣′ (𝑥)𝑢( )(𝑥) = 0

𝑣 (𝑥)𝑢( )(𝑥) + 𝑣′ (𝑥)𝑢( )(𝑥) + ⋯ + 𝑣′ (𝑥)𝑢( )(𝑥) =𝑓(𝑥)

𝑎

yes C , 4,47 -1 Gaza) t . . .t Cn Unix )

ตัวอยาง 6.4.2 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ

𝑦 − 6𝑦 + 11𝑦 − 6𝑦 = 𝑒

Ao -- I

g.tax,

Ijoin showmriwno r

'- Gr't Mr -6=0

( r - 1) Cr -2) (r- 3) = O

r = 1,2 , 3

ye = die"

+ Cze"

+ Ge"

TW yp = vine"

+ vine"

+ gene"

Idr:WoomerIX 3 X

x

vine tvzx> e tr,'m e = o

X 2X 3X

vykx> C tvglxxae.tv>Tx ) Che = O

2X 3X 4X×

¥lx) e + qlxk.me try'cx> late = e

2X six

o e e2X H

O 2C 3e

vii. =lut=e"it :* ! :/2X BX#

e e

/ !! one"

ze"/ e''e'"e"

) ! ! ! )x 2X 3X

e 4e ae

4X 4 X

= 3 e - 2 e-

ex ( 25-23 )4 X 3 X

= e = e→-

i. rinse.

"

ax ! If6

'

:

VIX ) , Vy Cx )

y p = ? #