Sommario

Indice1 Riferimenti 1

2 Incertezza ed Errore nella Misura di Una Grandezza Fisica 1

3 Propagazione dellErrore 4

4 Errore Relativo, Precisione ed Accuratezza 5

5 Incertezza nelle Misure Ripetute 10

6 Distribuzione Discrete 11

7 Distribuzione Continue 15

8 Teoria dei Campioni 21

9 Fit dei Dati Sperimentali 22

1 Riferimenti

Riferimenti Bibliografici

Testi Consigliati (Laboratorio) Rizzi-Ruggiero-Mandracci, Misura, incertezza, errore: unintroduzione, Levrot-

to e Bella

De Marchi-Lo Presti, Incertezze di Misura, CLUT

2 Incertezza ed Errore nella Misura di Una GrandezzaFisica

Che cos la Misura di una Grandezza FisicaDefinizione AstrattaLa misura di una grandezza fisica una tecnica (un insieme di prescrizioni operativa-mente ben definite) mediante la quale alla grandezza in questione possibile associareun numero reale, una volta scelta lunit di misura. In altri termini, una misurazioneconsiste nel confrontare due grandezze dello stesso tipo, di cui una considerata nota(campione di riferimento) e laltra considerata incognita.

Se si misura ripetutamente la medesima grandezza fisica, e si ottengonorisultati diversi, quale il numero che associamo alla grandezza in

questione?

Che cos la Misura di una Grandezza FisicaDefinizione PraticaLe misure ripetute di una medesima grandezza fisica si distribuiscono in modo pi omeno casuale allinterno di un certo intervallo della retta reale: ogni misura affettada incertezza. In pratica, alla grandezza fisica in questione associato un intervallosulla retta reale, ovvero un numero reale x0 (o xbest) con un certo margine di incer-tezza (x); questo valore generalmente inteso essere il valore vero della grandezza inquestione (il quale viene stimato).

Errori ed Incertezze

Una misurazione singola non coincide con il valore vero della grandezza misuranda:la differenza fra la misura ed il misurando costituisce un errore, errore che pu essererilevato solo dopo che sia stato stimato il valore vero, al quale associata una dataincertezza.

Un errore pu essere corretto o ridotto (ammesso che sia pi grande dellincertezza).Con incertezza, invece, si indica quello che non si riuscito ad apprendere sul valorevero della grandezza misuranda.

Risoluzione di uno Strumento

La risoluzione di uno strumento la minima variazione della grandezza che si vuolemisurare che genera una variazione apprezzabile di lettura.

Risoluzione di uno Strumento

Consideriamo ad es. il pi semplice strumento atto a misurare la pi semplice dellegrandezze fisiche: un righello, che consente di misurare una lunghezza dellordine di

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qualche centimetro o decimetro. Di norma le tacche di un righello distano tra loro 1mm. Di conseguenza, se la lunghezza che si vuole misurare varia (per un qualsiasi mo-tivo) di una quantit inferiore al mm, questa variazione sar in generale troppo piccolaper essere apprezzata dallo strumento. Diremo allora che il righello ha una risoluzionedi 1 mm.

Risoluzione di uno StrumentoMisura di LunghezzaQuindi, se il risultato di una misura effettuata con un righello graduato in mm pari al = 3.2 cm, bisogna pi appropriatamente scrivere

lunghezza misurata = (3.2 0.1) cm = l lavendo indicato con l = 0.1 cm lincertezza sulla misura dovuta alla risoluzione delrighello.

Misura di TempoEffettuando misure di tempo con un cronometro con la risoluzione di 1 centesimo disecondo, scriviamo il risultato nella forma

tempo misurato = (5.61 0.01) s = ttt = 0.01 s dovuta alla risoluzione del cronometro.

Le Cause dellIncertezzaLe Cause dellIncertezza sono molteplici

incertezza intrinseca risoluzione strumentale (e di lettura) errori sistematici errori di modellizzazione . . .

Tutte queste cause concorrono a definire lintervallo di incertezza con cui la misura diuna grandezza fisica definita.

Incertezze di tipo A e BTipo ASono le Incertezze che si possono valutare ed eventualmente ridursi con metodi stati-stici, e sono cio prodotte da effetti di tipo casuale.

Tipo BSono le Incertezze relative ad effetti sistematici (che si ripetono ad ogni ripetizionedella misura nelle medesime condizioni), e che non si possono stimare (n ridurre) conmetodi statistici.

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Siamo interessati essenzialmente allanalisi statistica dei dati, finalizzata allariduzione dellincertezza; utilizzeremo come sinonimi i termini incertezza ed

errore, per conformit con il linguaggio comune, ben consci della differenza difondo fra di essi.

3 Propagazione dellErrore

Il Problema della Propagazione dellErrore

Supponiamo di aver misurato una o pi grandezze a, b..., con le corrispondenti incer-tezze (errori) a,b, ..., e che una data grandezza G sia funzione di a, b, .... Sup-poniamo altres che lincertezza sulla misura di una grandezza sia sempre molto pic-cola rispetto alla grandezza da misurare (il misurando): a/a 1, b/b 1, ...G/G 1. Il problema che ci poniamo stabilire come le incertezze a,b, ... sipropaghino nei calcoli, e concorrano a definire lerrore G sul valore di G(a, b, ...).

Propagazione dellErrore nella Misura di un Area

Supponiamo di misurare larea di un rettangolo, i cui lati a e b sono noti con le rispet-tive incertezza a e b. Vogliamo determinare lincertezza A sullarea A = ab infunzione delle incertezze a,b sui lati; in altri termini ci chiediamo come le incer-tezze sulle misure dei lati si propaghino nel prodotto ab per dare lincertezza Asullarea.

Propagazione dellErrore nella Misura di un Area

Tenendo presente che i valori dei lati ricadono negli intervalli

aabb

il prodotto pu corrispondere ad una delle quattro combinazioni

(a+a)(b+b) (a+a)(b b)(aa)(b+b) (aa)(b b)

o, trascurando i prodotti ab

ab+ ab+ ba ab ab+ baab+ ab ba ab (ab+ ba)

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Propagazione dellErrore nella Misura di un Area

Nei quattro casiab+ ab+ ba ab ab+ baab+ ab ba ab (ab+ ba)

le situazioni peggiori sono quelle in cui gli errori a,b contribuiscono nello stessoverso. Possiamo dire che il risultato della moltilplicazione compreso fra ab(ab+ba) e ab+ ab+ ba.

Propagazione dellErrore nella Misura di un Area

Errore MassimoPossiamo introdurre il concetto di errore massimo sullarea, che pu essere scritto nellaforma

A = ab+ ba

Quindi, il risultato della nostra stima dellarea risulta

AA

Propagazione nellErrore nelle 4 Operazioni

Se x, y sono due grandezze omogenee, affette da errori x,y rispettivamente, lapropagazione degli errori nelle quattro operazioni elementari riassunta dalla seguentetabella:

grandezza errore massimoz.= x+ y z = x+y

z.= x y z = x+y

z.= xy z = xy + yx

z.=

x

yz =

yx+ xy

y2

Propagazione dellErrore in Generale

Propagazione dellErrore in G(x, y, z...)Supponiamo di avere una grandezza G funzione di altre grandezze x, y, z, ..., ciascunacon errore x,y,z, ... Posto G = f(x, y, z...), e ricordando lespressione generaledel differenziale di una funzione di pi variabili .

Lerrore massimo su G dato da

G =

fxx +

fyy +

fzz + ...

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dove le derivate parziali sono calcolate in corrispondenza dei valori misurati dellegrandezze x, y, z...

4 Errore Relativo, Precisione ed Accuratezza

Errore Relativo

Bont di una MisuraQuanto buona la misura misura di una grandezza x, se la sua incertezza x?La bont di una misura dipende dal rapporto x/x, che prende il nome di incertezzarelativa (o errore relativo). Pi piccolo il rapporto, pi buona la misura.

EsempioMisuriamo una lunghezza usando due metri a nastro: uno avente la risoluzione del

centimetro, laltro del millimetro, ottenendo come risultati qualcosa del tipo

(1.05 0.01)m(1.053 0.001)m

Di conseguenza

x1x1

=0.01

1.05= 9. 5238 103 = 0.95238%

x2x2

=0.001

1.053= 9. 4967 104 = 0.094967%

Il fatto intuitivo che la seconda misura pi buona della prima formalizzato dicendoche la seconda misura ha un errore relativo x/x pi piccolo.

EsercizioSi consideri una grandezza G funzione di altre grandezze x, y, z secondo una rela-

zione monomia del tipoG = xmynzp

dovem,n, p sono numeri reali arbitrari. Se x,y,z sono le incertezze relative allegrandezze x, y, z, calcolare lerrore assoluto e lerrore relativo.

G = |mxm1ynzpx|+ |nxmyn1zpy|+ |pxmynzp1z|G

G=

m xx+

n yy+

p zz

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Esercizio

m=n=p=1. Calcolare lerrore assoluto e lerrore relativo del prodotto V = xyz

V = yzx+ xzy + xyz

V

V=

x

x+

y

y+

z

z

Esercizi

m=1, n=-1, p=0. Calcolare lerrore relativo del rapporto z = x/yz

|z| =x

|x| +y

|y| m=numero reale arbitrario, n=p=0. Calcolare lerrore relativo della potenza

m-esima z = xm

z

|z| = |m|x

|x|

Commento

Deduciamo che nel caso della somma (o differenza) si sommano gli errori assoluti; nelcaso di un prodotto si sommano gli errori relativi; nel caso di una potenza di moltiplicalesponente (in modulo) per lerrore relativo.

Errore Sistematico

DefinizioneViene definito errore sistematico lerrore che, in un certo numero di misure (fatte nel-le stesse condizioni sperimentali) di una data quantit misurabile, rimane costante invalore assoluto e segno (o pi generalmente varia secondo una legge definita quandocambiano le condizioni sperimentali). Lerrore sistematico detto bias.

Lerrore sistematico, proprio per le sue caratteristiche, influenza il risultato semprenella stessa direzione, e non pu essere eliminato o ridotto ripetendo le misure, vistoche tutte saranno affette nella stessa maniera.

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Precisione

Definizione di PrecisioneLa precisione di una misura ripetuta molte volte indica di quanto si discostano lunodallaltro i risultati ottenuti, senza distinguere tra incertezze di diversa origine. Unamisurazione tanto pi precisa quanto pi i singoli valori trovati si addensano attornoalla media della serie di misure effettuate.

La precisione indicativa della coerenza delle singole misure, ma non pu dirci nullasulleventuale presenza di un errore sistematico, che ha leffetto di spostare sistema-ticamente tutta la serie di misure.

In assenza di errori sistematici, la precisione identificata generalmente con lerrorerelativo.

Accuratezza

Definizione di AccuratezzaLaccuratezza una stima dellerrore sistematico; una misura tanto pi accurataquanto pi il risultato vicino a quello che si otterrebbe in assenza di errori sistema-tici. Laccuratezza spesso espressa come rapporto tra lerrore sistematico e il valoreconvenzionalmente vero della grandezza.

Laccuratezza, per non ci dice niente sulla dispersione dei risultati: se una misura accurata, la media dei risultati si avvicina al valore vero, ma i risultati possono esseredistribuiti su un grande intervallo intorno al valore medio.

Precisione e Accuratezza

La distribuzione (a) presenta alta accuratezza e alta precisione, la (b) alta accuratezzae bassa precisione.

Precisione e Accuratezza

La distribuzione (c) ha bassa accuratezza e alta precisione, la (d) bassa acccuratezza ebassa precisione.

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Cifre Significative

I risultati di una misura possono essere interpretati a colpo docchio, se si fa riferimentoad una convenzione sulle cifre significative dei numeri che vengono riportati comerisultato della misura. In particolare in un numero

1. La cifra pi significativa quella pi a sinistra, diversa da zero

2. La cifra meno significativa quella pi a destra

3. Tutte le cifre comprese fra quella pi significativa e quella meno significativasono cifre significative

EsempioIndicando la cifra meno significativa con una sottolineatura e la cifra pi significati-

va con una sopralineatura, le cifre significative nei numeri 1234.4, 1211, 1100, 123.10,0.00223 sono

1234.2 1234.21211 12111100 1100123.10 123.100.00223 0.00223

Cifre Significative e Misure

La convenzione di scrivere soltanto le cifre significative consiste nel riportare tuttele cifre fino alla prima che sappiamo essere incerta, precisando anche di quanto talecifra incerta. Per esempio, se facciamo riferimento al numero 1234.2, e supponiamoche lultima cifra sia incerta entro 2, il risultato della misura si scrive, evidenziandolincertezza, nella forma

xx 1234.2 0.2Ci significa che il risultato della misura appartiene allintervallo

(1234.0, 1234.4)

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Cifre Significative e MisureSe non viene esplicitamente dichiarato lerrore, si conviene che esso influenzi la ci-fra meno significativa nella misura di 1. Nel seguito ci atterremo sempre a taleconvenzione; quindi il margine di errore da cui affetta lultima cifra sar indicatoesplicitamente solo nei casi in cui tale margine diverso da 1. Quindi, scrivendosemplicemente

x = 1.05

viene inteso che il margine derrore 0.01.

Notazione scientifica

Una volta scelte le unit di misura, la misura delle grandezze fisiche convenientemen-te espressa nella forma

k 10n

dove

k un numero razionale ( 1 e < 10) con un numero finito m di cifre decimali(k ha dunque m+ 1 cifre significative);

n un numero intero (positivo o negativo)Il numero n da uninformazione della scala (ordine di grandezza) della misura, mentreil numero di cifre significative da unidea della precisione della misura.

Ove non diversamente specificato, si intende che lultima cifra significativa precisa entro 1 errore

5 Incertezza nelle Misure Ripetute

Oltre lIncertezza StrumentaleSi osserva che utilizzare lincertezza strumentale come unica stima dellincertezza limitativo: infatti se facciamo le misure con strumenti poco raffinati, lincertezza stru-mentale nasconde tutte le altre eventuali incertezze; ma cosa succede quando si mi-gliora la risoluzione dello strumento? Succede che, man mano che si riduce lincer-tezza strumentale, cominciano a manifestarsi altre cause di incertezza che non sonoriconducibili allo strumento.

Misure ripetute di Periodo

Supponiamo di voler verificare la legge galileiana dellisocronismo delle piccole oscil-lazioni di un pendolo e, per farlo, ci dotiamo di un cronometro digitale avente la riso-luzione del millesimo di secondo. Facendo 10 misure, otterremo molto probabilmente10 risultati diversi, tipo

1.523 1.512 1.520 1.498 1.501 1.542 1.533 1.495 1.492 1.515

10

xk(cm) nk10 311 312 213 2

Ci pone il problema: come possibile che lintervallo entro cui variano le misure,ovvero Tmax Tmin = (1.542 1.492) s = 0.050 s, sia tanto maggiore della

risoluzione dello strumento?

AllOrigine della Fluttuazioni dei RisultatiDue sono dunque i fattori (non facilmente distinguibili ai fini pratici che influenzanoin maniera diversa il risultato di ogni singola singola misura:

lincertezza strumentale, che tiene conto della risoluzione dichiarata dello stru-mento, dellimperfezione dello sperimentatore e dellincertezza intrinseca dellagrandezza da misurare

le perturbazioni casuali, in gran parte dovute allinevitabile idealizzazione im-plicita nel modello matematico utilizzato.

Approccio ProbabilisticoRipetendo una misura un gran numero di volte, si ottiene una molteplicit di risulta-ti che si presta ad unanalisi probabilistica, che oggi si puo condurre sulla base diavanzate tecniche matematiche.

Scopo dellApproccio ProbabilisticoLa trattazione statistica o probabilistica dei risultati ci permette di valutare, con pre-cisione tanto maggiore quanto maggiore il numero delle misure: il valore miglioredella grandezza sotto osservazione e la stima dellincertezza su di esso.

6 Distribuzione Discrete

Descrizione dei Risultati delle Misure RipetuteMisura della Lunghezza del Filo di Sospensione del PendoloSupponiamo di aver raccolto questa sequenza di valori di xi, avendo utilizzato unrighello centimetrato:

xi(cm) = 10, 12, 11, 13, 10, 11, 11, 12, 13, 10

Una tabella sintetizza efficacemente i risultati raccolti

Dovenk il numero di volte che ciascun valorexk stato ottenuto, conN =4

k=1 nk =10

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Media dei Risultati

Media dei Risultati Ottenuti

x M(x) = 1N

10i=1

xi cm

che, tenendo conto della tabella, si pu scrivere anche

x M(x) = 1N

4k=1

xknk =

4k=1

xknkN

=

(10

3

10+ 11

3

10+ 12

2

10+ 13

2

10

)cm

Introduciamo le frequenze:Pk =

nkN

Media dei Risultati

Media dei Risultati OttenutiLa media si scrive

x M(x) =4

k=1

xkPk

Le frequenze Pk indicano come i dati raccolti sono distribuiti fra i valori possibili; perquesto si dice che esse descrivono la distribuzione dei risultati. Si verifica la relazionedi normalizzazione

k

Pk = 1

Istogrammi

Rappresentazione dei RisultatiI risultati ottenuti vengono convenientemente riassunti da un istogramma, dove lefrequenze Pk sono rappresentate in funzione dei vari valori xk

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Descrizione dei Risultati delle Misure Ripetute

Usando un righello millimetratoxi = 10.1, 11.8, 11.3, 13.1, 10.3, 10.9, 11.2, 12.3, 13.3, 10.2

xk(cm) nk10.1 111.8 111.3 113.1 110.3 110.9 111.2 112.3 113.3 110.2 1

Descrizione dei Risultati delle Misure Ripetute

Listogramma evidenzia il fatto che tutti i valori sono stati ottenuti con la stessa fre-quenza: listogramma poco significativo, perch non comunica nessuna informazioneimmediata sui risultati della misura effettuata.

Istogrammi ad Intervalli

Per rendere pi significativi gli istogrammi, dividiamo la serie di valori in intervalli, econtiamo quanti valori misurati cadono in ciascun intervallo. Scegliendo 4 intervalli,possiamo riportare i risultati in tabella

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intervallo(cm) 10 11 11 12 12 13 13 14eventi nellintervallo 4 3 1 2

Istogrammi ad Intervalli

Laltezza pk del rettangolo avente per base k scelta in modo tale che larea pkksia uguale alla frazione Pk di misure che cadono nellintervallo stesso:

pkk = Pk =nkN

= frazione di misure nellintervallo k

Istogrammi ad Intervalli

Tipicamente, le larghezze k sono tutte uguali, cos a colpo docchio listogrammadice quali sono le misure ottenute con maggiore frequenza. Le grandezze pk = Pk/k(frazione di misure che cadono in un intervallo unitario) prendono il nome di densitdi frequenza normalizzata, o densit di frequenza

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Media

Definizione di MediaAumentando il numero N delle misure, possiamo scegliere intervalli sempre pi stretti.Se indichiamo con n(< N) il numero degli intervalli 1,2, ...,n, il valor medio dix definito dalla

x M(x) .=n

k=1

xkPk =

nk=1

xkpkk

Al limite, per N , 0, larea dellistogramma che resta finita:k

Pk =

k

pkk = 1

Distribuzioni Continue

Distribuzioni Discrete

Istogrammi relativi alla distibuzione in intervalli, di 10 misure (sinistra) e 50 misure(destra) di una data grandezza fisica.

Distribuzioni Discrete

Istogrammi relativi alla distibuzione in intervalli, di 100 misure (sinistra) e 200 misure(destra) di una data grandezza fisica.

7 Distribuzione Continue

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Distribuzione Continua come Limite di Una Distribuzione Discreta

Si dimostra che se una misura soggetta a molte sorgenti di errori casuali e a tra-scurabili errori sistematici, la distribuzione dei valori misurati sar descritta da unacaratteristica curva a campana, simmetrica e centrata sul valor medio della distribuzio-ne: la cosiddetta distribuzione normale o di Gauss, che sar la distribuzione limite cuitendono i nostri risultati.

Distribuzione Continua come Limite

Da pk a p(x)La distribuzione limite definisce una funzione continua p(x): allaumentare delle mi-sure listogramma definito dalle frequenze pk tender ad approssimare sempre di pila curva p(x). Per N {

pk p(x)k dx

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Distribuzione Continua

La frazione di misure P (x, x+dx) che cadono in un intervallo compreso fra x e x+dx data da p(x)dx, che rappresenta larea della striscia evidenziata in figura:

P (x, x+ dx) = p(x)dx = frazione di misure nellintervallo (x, x + dx)

Distribuzione Continua

Valori in un IntervalloLa frazione di valori misurati che cadono fra x = a e x = b, data da

P (a, b) =

ba

p(x)dx = frazione di misure nellintervallo (a, b)

In particolare, se lintervallo lintero asse reale si ha:

P ( , +) = +

p(x)dx = 1

Questa relazione esprime il fatto che la funzione p(x) normalizzata.

Queste relazioni non ci dicono niente sullesito di una singola misura, ma ci diconoqualcosa su quello che ci aspettiamo di misurare quando facciamo un numero

molto grande di misure.

Distribuzioni Discrete, Distribuzioni Continue e ProbablitSul Concetto di Aspettativa nellEffettuare MisureUna volta ricostruitita la distribuzione limite p(x) (che nel nostro caso la distribuzio-ne di Gauss) dacendo un gran numero di misure

ci aspettiamo che le misure che faremo in futuro - nelle stesse condizioni spe-rimentali - andranno a distribuirsi in modo da formare un istogramma che siavvicina tanto pi alla p(x) quanto maggiore il numero di misure fatte

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la frazione di misure p(x)dx che secondo lesperienza del passato sono cadutenellintervallo (x, x+ dx) pu essere ragionevolmente interpretata come la pro-babilitP (x, x+dx) che, effettuando in futuro una nuova misura della grandezzax, si ottenga un risultato che cade nellintervallo (x, x+ dx)

Ci significa che la distribuzione limite p(x) pu essere interpretata come la distribu-zione (o densit) di probabilit relativa alle misure della grandezza x, che assume ilruolo di una variabile casuale.

Caratteristiche di una Distribuzione Limite

Media o Valor MedioIl valor medio (o valore di aspettazione) x M(x) della grandezza x, intesa comevariabile casuale definito da:

x M [x] .= +

xp(x)dx

Questa la versione continua della definizione discreta

x M(x) .=n

k=1

xkPk =

nk=1

xkpkk

al limite per n.

Varianza e Deviazione Standard

I valori che la variabile x pu assumere si distribuiscono secondo la p(x), lungo tutto ilcampo di variabilit della x: quindi ciascun valore sar pi o meno lontano dalla mediax M [x]. Come facciamo a quantificare questa lontananza?

Varianza e Deviazione Standard

VarianzaLa varianza

2.=

+

(x x)2 p(x)dx

fornisce una stima di quanto possano variare i risultati delle misure rispetto al valoremedio x.

Deviazione StandardLa radice quadrata della varianza definisce lo scarto quadratico medio o deviazionestandard:

.=

M[(x x)2

]=

+

(x x)2 p(x)dx

Nota: la deviazione standard ha le stesse dimensioni della grandezza x.

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Varianza e Deviazione Standard per Distribuzioni Discrete

VarianzaLa varianza per una distribuzione discreta data da

2.=

1

N

Ni=1

(xi xi)2

Deviazione StandardLo scarto quadratico medio o deviazione standard dato da

.=2 =

1N

Ni=1

(xi xi)2

Riassumendo

Significato IntuitivoIl valor medio x della variabile casuale x il valore pi significativo (o plausibile)del risultato, e la deviazione standard la stima pi significativa (o plausibile) dellin-certezza da attribuire al risultato (lincertezza relativa del risultato data dal rapporto/x.)

Base TeoricaUn Teorema (dovuto a Tschebyscheff) afferma che se x una variabile casuale condensit di probabilit p(x), avente media x e deviazione standard finiti, allora, dettok un intero positivo, si ha

p (|x x|) k 1k2

vale a dire che poco probabile avere grandi deviazioni dalla media.

La Distribuzione di Gauss

GaussianaSe una misura soggetta a molte sorgenti di errori casuali - e a trascurabili errori siste-matici - la distribuzione dei valori misurati sar descritta dalla distribuzione normale odi Gauss (o gaussiana):

G(x) =1

2pi

e(xx)2

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dove x e rappresentano il valore medio e la deviazione standard della distribuzione.La funzione gaussianaG(x) - simmetrica e centrata sul valor medio x - ha una larghez-za che dipende unicamente dalla deviazione standard : si vede subito che tale curva tanto pi larga quanto pi grande e tanto pi stretta quanto pi piccolo.

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La Distribuzione di Gauss

Gaussiana

La funzione gaussiana G(x) - simmetrica e centrata sul valor medio x - ha unalarghezza che dipende unicamente dalla deviazione standard : tale curva tantopi larga quanto pi grande e tanto pi stretta quanto pi piccolo.

La Distribuzione di Gauss

Gaussiana

Unaltra osservazione interessante riguarda laltezza A = 1/2pi della curvanel punto di massimo x: una distribuzione pi stretta deve avere un massimo piaccentuato (come ovvio perch larea sotto la curva deve essere 1 per qualsiasivalore di ). Pi stretta la curva, pi precisa la misura.

Sul Significato della Deviazione Standard

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Deviazione Standard e ProbabilitLa probabilit che una data misura cada entro una deviazione standard dal valoremedio x del 68%; ma troviamo anche che la probabilitP (x 2) che una datamisura cada entro il doppio di una deviazione standard dal valore medio x del 95 percento circa: man mano che ci allontana ulteriormente dal valor medio, la probabilitdi trovare il risultato di una misura diviene sempre pi esigua.

8 Teoria dei Campioni

RiepilogoDai Dati, alla Distribuzione dei Dati

Abbiamo raccolto N misure relative ad una grandezza fisica x, e abbiamo sup-posto che le misure siano affette solo da errori casuali

Abbiamo assunto che la loro distribuzione limite sia la funzione Gaussiana,caratterizzata dal valor medio e dalla deviazione standard

Come si possono stimare il valore medio e la deviazione standard?

RiepilogoDai Dati, alla Distribuzione dei Dati

Valor medio e deviazione standard possono essere stimati partendo dal campionedelle misure

La miglior stima del valor medio data dalla media aritmetica

m =x1 + x2 + ...+ xN

N

La miglior stima della deviazione standard data da

s.=

1N 1

Ni=1

(xi m)2

RiepilogoDalla Distribuzione al Risultato della Misura

Basandoci su questo, la miglior stima della grandezza misurata data dallamedia aritmetica m, e lincertezza su di essa data da

sm.=

1N (N 1)

Ni=1

(xi m)2

che rappresenta la stima della deviazione standard della media.

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Riepilogo

Dalla Distribuzione al Risultato della Misura

In conclusione, nellipotesi che le fluttuazioni dei risultati siano casuali, il risul-tato delle misure si scrive nella forma

m sme si interpreta dicendo che, dalle nostre osservazioni, ci attendiamo che il 68per cento di qualunque insieme di misure della grandezza x, eseguite allo stessomodo, cadano nellintervallo m sm, questa percentuale cresce al 95 per centose allarghiamo lintervallo a m 2sm

9 Fit dei Dati Sperimentali

Cenni Sul Fit di Dati Sperimentali

Il ProblemaAbbiamo a disposizione un insieme di dati sperimentali, che abbiamo raccolto attra-verso una serie di misurazioni, e una legge fisica espressa attraverso una relazionematematica tra un certo numero di grandezze. La domanda che ci poniamo comeprocedere per verificare se i dati sperimentali sono compatibili con la legge fisica inquestione. Naturalmente, quando parliamo di accordo di una legge fisica con dei da-ti sperimentali, dobbiamo ricordarci che tale accordo non potr mai essere assoluto;infatti le misure che abbiamo a disposizione saranno sicuramente affette da incertezzedi tipo sperimentale che, per quanto piccole, impediranno che possa esserci perfet-ta coincidenza tra i valori previsti dalla legge fisica e quelli effettivamente misurati.Il concetto di accordo sar pertanto definito in modo statistico: quello che potremodeterminare sar la probabilit che una data legge fisica sia compatibile con i nostridati.

Esempio di FitConsideriamo due grandezze fisiche x e y, legate tra loro attraverso una relazione

lineare :y = ax + b. Supponiamo di effettuare una serie di N coppie di misure as-sociate tra loro {xi, yi}, misurando ogni volta il valore che assume la grandezza x equello assunto in corrispondenza dalla grandezza y. Il disaccordo tra dati sperimentalie previsioni teoriche espresso dagli scarti

si.= a xi + b yi

Il nostro scopo determinare per quali valori dei parametri a e b si verifica il miglioreaccordo tra i dati misurati e quelli previsti dalla relazione lineare y = ax+ b

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Valori dei Parametri del Fit

a =NN

i=1 (xiyi)(N

i=1 xi

)(Ni=1 yi

)NN

i=1 x2i

(Ni=1 xi

)2

b =

(Ni=1 x

2i

)(Ni=1 yi

)(N

i=1 xiyi

)(Ni=1 xi

)NN

i=1 x2i

(Ni=1 xi

)2Inserendo questi valori nella relazione lineare si trova la retta che meglio approssima(fitta) i dati sperimentali.

Incertezze sui Parametri del FitI parametri a e b sono affetti da incertezze che vengono stimate, sul campione,

mediante le relazlioni

a =

NN

i=1 (axi + b yi)2

(N 2)[NN

i=1 x2i

(Ni=1 xi

)2]

b =

(N

i=1 x2i

)Ni=1 (axi + b yi)2

(N 2)[NN

i=1 x2i

(Ni=1 xi

)2]

In Sintesi

Errori, Incertezze e Propagazione

Distribuzioni

Teoria dei Campioni

Fit

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RiferimentiIncertezza ed Errore nella Misura di Una Grandezza FisicaPropagazione dell'ErroreErrore Relativo, Precisione ed AccuratezzaIncertezza nelle Misure RipetuteDistribuzione DiscreteDistribuzione ContinueTeoria dei CampioniFit dei Dati Sperimentali