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GEOMETRIAGEOMETRIA

ANNO SCOLASTICO 2007 ANNO SCOLASTICO 2007 –– 20082008Classe IC Classe IC

Scuola Media Sasso Scuola Media Sasso MarconiMarconi

A cura della Prof.ssa Elena SperaA cura della Prof.ssa Elena Spera


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GEOMETRIA

INTUITIVA RAZIONALE

OSSERVAZIONIPROVE

TENTATIVI

CONCETTI

PRIMITIVIASSIOMI

Può essere

Si basa su Parte da

Definiti mediante


DALLA GEOMETRIA

INTUITIVA

ALLA GEOMETRIA

RAZIONALE


IndiceIndice

Gli elementi fondamentali della geometria euclideaPostulati e teoremiPuntoRettaPianoPostulati riguardanti gli enti elementariNuovi enti definiti tramite gli enti elementari

(semirette, segmenti, angoli

Gli obiettiviGli obiettivi

Comprendere il significato di “dimostrazione”Cogliere la differenza fra postulato e teoremaApprofondire la conoscenza degli enti geometrici

fondamentaliOperare con segmenti ed angoli

I contenutiI contenuti


Di che cosa tratta la geometriaDi che cosa tratta la geometria

Il termine Il termine geometriageometria deriva dal greco (deriva dal greco (gheghe: : ““terraterra””, e , e metronmetron:: ““misuramisura””) e ) e significa significa ««misuramisura delladella TerraTerra»»..

GiGiàà gli antichi egiziani erano abili nellgli antichi egiziani erano abili nell’’arte di misurare la terra, percharte di misurare la terra, perchéécostretti a ripristinare ai vari proprietari i confini dei terrecostretti a ripristinare ai vari proprietari i confini dei terreni periodicamente ni periodicamente invasi dalle inondazioni del Nilo.invasi dalle inondazioni del Nilo.

Le conoscenze geometriche egiziane, di natura tipicamente praticLe conoscenze geometriche egiziane, di natura tipicamente pratica, furono a, furono portate in Grecia da portate in Grecia da TaleteTalete di di MiletoMileto (624(624--548 a. C.) e servirono agli antichi 548 a. C.) e servirono agli antichi greci per creare quella branca della matematica che ancora oggi greci per creare quella branca della matematica che ancora oggi si chiama si chiama Geometria.Geometria.

Rimane però il fatto che lRimane però il fatto che l’’uomo uomo èè stato spontaneamente portato a creare stato spontaneamente portato a creare questa scienza, osservando lquesta scienza, osservando l’’ambiente e ambiente e astraendoastraendo dagli oggetti circostanti dagli oggetti circostanti quelle proprietquelle proprietàà (forma ed estensione) che non dipendono dalla sostanza di (forma ed estensione) che non dipendono dalla sostanza di cui essi sono fatti.cui essi sono fatti.


I punti di partenza della geometriaI punti di partenza della geometria

Gli enti primitivi della Geometria sono:

PUNTO

RETTA

PIANO


Gli elementi fondamentali della geometria Gli elementi fondamentali della geometria

Gli enti fondamentaliGli enti fondamentali della geometria sono: il della geometria sono: il puntopunto, , la la rettaretta, , il il pianopiano dei dei

quali quali non non èè data definizionedata definizione: la loro natura risulta però determinata da : la loro natura risulta però determinata da

particolari affermazioni che sono chiamati particolari affermazioni che sono chiamati assiomiassiomi o o postulatipostulati..

(Sui postulati o assiomi non si discute: li si considera veri!!!(Sui postulati o assiomi non si discute: li si considera veri!!!))

Mediante questi enti elementari si definiscono tutte le altre fMediante questi enti elementari si definiscono tutte le altre figure igure

geometrichegeometriche.


PUNTOPUNTO

PUNTOPUNTO

Se poggiate la punta di una matita su un foglio di carta la tracSe poggiate la punta di una matita su un foglio di carta la traccia cia lasciata dalla matita vi dlasciata dalla matita vi dàà ll’’idea approssimativa di un idea approssimativa di un punto.punto.

Il punto geometrico lo dovete però pensare senza dimensioni; essIl punto geometrico lo dovete però pensare senza dimensioni; esso o indica soltanto una posizione.indica soltanto una posizione.

Per distinguere un punto dallPer distinguere un punto dall’’altro, si pone accanto a ciascuno di essi altro, si pone accanto a ciascuno di essi la lettera maiuscola dellla lettera maiuscola dell’’alfabeto; diremo perciò: alfabeto; diremo perciò: punto A, punto B, ecc.punto A, punto B, ecc.

•A

•B

•C •D


RETTARETTA

RETTA

Un filo molto sottile, teso per i due estremi, dUn filo molto sottile, teso per i due estremi, dàà ll’’immagine concreta di immagine concreta di una retta.una retta.

A differenza di questa, la retta geometrica si deve pensare illiA differenza di questa, la retta geometrica si deve pensare illimitata e mitata e senza spessore.senza spessore.

Su di una retta si possono segnare infiniti puntiSu di una retta si possono segnare infiniti punti

Per distinguere una retta dallPer distinguere una retta dall’’altra si pone accanto a ciascuna di esse altra si pone accanto a ciascuna di esse Una lettera dellUna lettera dell’’alfabeto minuscolo; si diralfabeto minuscolo; si diràà: : retta a, retta b, ecc.retta a, retta b, ecc.

retta aretta a


PIANOPIANO

PIANO

Un sottile foglio di carta, la superficie dellUn sottile foglio di carta, la superficie dell’’acqua stagnante di un lago, acqua stagnante di un lago, forniscono delle immagini concrete di un piano.forniscono delle immagini concrete di un piano.

Si tratta naturalmente di immagini molto approssimative perchSi tratta naturalmente di immagini molto approssimative perchéé il il piano geometrico, oltre a non avere spessore, si deve pensare copiano geometrico, oltre a non avere spessore, si deve pensare come me indefinitamente esteso in tutti i sensiindefinitamente esteso in tutti i sensi

I piani si indicano generalmente con le lettere dellI piani si indicano generalmente con le lettere dell’’alfabeto greco: alfabeto greco: αα (alfa), (alfa), ββ (beta), (beta), γγ (gamma), ecc.(gamma), ecc.

ααPiano Piano αα


Postulati riguardanti gli enti elementariPostulati riguardanti gli enti elementari

Alla retta appartengono infiniti puntiAlla retta appartengono infiniti punti

Al piano appartengono infinite rette e quindi infiniti puntiAl piano appartengono infinite rette e quindi infiniti punti

Esistono infinite retteEsistono infinite rette


Postulati riguardanti gli enti elementariPostulati riguardanti gli enti elementari

Per Per due puntidue punti distinti passa distinti passa unauna sola rettasola retta

•A

•B

Per Per un puntoun punto passano passano infiniteinfinite rette (rette (ll’’insieme di tale rette insieme di tale rette èè chiamato chiamato fascio fascio popriopoprio))

A

Una retta può essere percorsa in Una retta può essere percorsa in due versidue versi, l, l’’uno opposto alluno opposto all’’altroaltro

La retta La retta èè illimitataillimitata e e continuacontinua, vale a dire non ha fine n, vale a dire non ha fine néé inizio; fra due inizio; fra due suoi punti qualunque ne esistono infiniti altri e non ha suoi punti qualunque ne esistono infiniti altri e non ha ““buchibuchi””..


Nuovi enti definiti tramite gli enti elementariNuovi enti definiti tramite gli enti elementari

Semiretta Semiretta –– Si dice Si dice semirettasemiretta ciascuna delle due parti in cui una retta ciascuna delle due parti in cui una retta rimane divisa da un suo punto.rimane divisa da un suo punto.

•A

semiretta semiretta

origine

Segmento Segmento –– Un Un segmentosegmento èè la parte di retta limitata da due suoi la parte di retta limitata da due suoi punti che si dicono estremi del segmentopunti che si dicono estremi del segmento

A• •Bsegmento

estremi



Segmenti consecutivi Segmenti consecutivi -- Due segmenti aventi un estremo in comune si Due segmenti aventi un estremo in comune si dicono dicono consecutiviconsecutivi

•

Segmenti adiacenti Segmenti adiacenti -- Due segmenti si dicono Due segmenti si dicono adiacenti adiacenti se sono se sono consecutivi ed appartengono alla stessa rettaconsecutivi ed appartengono alla stessa retta

A• •B

AB

C

C• •



BA C

Una linea formata a più segmenti consecutivi prende il nome di lineaspezzata

Una spezzata può essere aperta, chiusa o intrecciata

DE

Spezzata aperta

Spezzata chiusaSpezzata

intrecciata



ANGOLO: ciascuna delle due parti in cui viene diviso un piano da due semirette aventi l’origine in comune

Angolo convesso

Angolo concavo

Un angolo si dice CONCAVO se contiene i prolungamenti dei suoi latiUn angolo si dice CONVESSO se non contiene i prolungamenti dei suoi lati


Angoli particolariAngoli particolari

Angolo PIATTO - Quando la semiretta OA ruota intorno ad O di mezzo giro, assume la posizione OB, diventa cioè opposta ad OA. In questo caso si dice che AÔB è un angolo piatto [un lato è il prolungamento dell’altro ( 180 °)]

A O B

Angolo piatto

PIATTO:180°



Angolo nullo - Se la semiretta OA rimane nella posizione iniziale coincidente con OB, cioè se ha una rotazione nulla, si dice che AÔB è un angolo nullo

O

AB

Angolo GIRO - Se invece OA ruota di un giro completo intorno ad O, descrive tutto il piano. Si dice in tal caso che AÔB è un angolo giro [ i due lati sono sovrapposti (360°)]

O

ABAngolo giro

GIRO: 360°



Un angolo si dice RETTO se è la metà di un angolo piatto

RETTO:90°



Un angolo si dice OTTUSO se è maggiore di un angolo retto

Un angolo si dice ACUTO se è minore di un angolo retto

OTTUSO: > di 90°

ACUTO: < di 90°



Angoli CONSECUTIVI - Due angoli si dicono consecutivi se hanno lo stesso vertice, un lato in comune e gli altri due lati situati da parte opposta rispetto al lato comune

O

A

B

CLato comune



Angoli ADIACENTI - Due angoli si dicono adiacenti se oltre ad essere consecutivi, hanno i lati non comuni appartenenti ad una stessa retta



Angoli OPPOSTI AL VERTICE: se i lati dell’uno sono i prolungamenti dell’altro

O


Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono SUPPLEMENTARI

Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono COMPLEMENTARI


Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono ESPLEMENTARI


Concetti o enti primitiviEnti che non definiamo esplicitamente

Assiomi o postulatiProprietà che “supponiamo” essere vere e che pertanto non dimostriamo

Teoremi

I teoremi sono proposizioni del tipo se… allora…. Le proposizioni che seguono il se sono le ipotesi del teorema, mentre quella che segue l’allora è la tesi del teorema. La tesi deve essere derivata dalle ipotesi ragionando correttamente e avvalendosi dei postulati o delle conoscenze già consolidate, vale a dire dei risultati di altri teoremi.

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