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A B
FunzioniDati due insiemi non vuoti A e B,
si chiama applicazione o funzione da A a B una relazione tra i due insiemi che a ogni elemento di A fa corrispondere uno e un solo elemento di B.
Esempi di funzione...
e B l’insieme costituito da sei signore tra le quali vi siano le mamme dei ragazzi dell’insieme A:
B=Anna; Maria; Valentina; Pina; Luisa; Franca.
• Paolo Franca (Paolo ha per madre Franca) • Bruno Maria (Bruno ha per madre Maria)• Carlo Anna (Carlo ha per madre Anna)• Mario Franca (Mario ha per madre Franca)
Questa relazione stabilisce tra i due insiemi A e B una corrispondenza e, ad ogni elemento del primo insieme corrisponde uno, ed uno solo, elemento del secondo insieme, perciò, la relazione determina un’applicazione o funzione da A verso B.
Paolo .
Bruno .
Carlo .
Mario .
Anna .
Franca .Luisa .
Valentina .
Pina .
Maria .
Sia A l’insieme formato da quattro ragazzi:A=Paolo; Bruno; Carlo; Mario,
Consideriamo tra gli insiemi A e B la relazione definita da “…ha per madre…“ e supponiamo che sia:
AA
BB
...Esempi di funzione Sia A l’insieme dei numeri naturali pari A=0,2,4,6,8,10,12,14,16... e B l’insieme dei numeri naturali B=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13....
La relazione “…è il doppio di…” determina una corrispondenza fra gli insiemi A e B; ad ogni elemento di A corrisponde uno, ed uno solo, elemento di B, perciò,
la relazione è un’applicazione o funzione da A a B.
Relazioni che non sono funzioniA B
A B
L’esempio 1 non è una funzione perché, un elemento di A non ha il corrispondente in B.
L’esempio 2 non è una funzione perché, ad un elemento di A corrispondono due elementi di B.
1
2
Perché queste relazioni non sono funzioni?
BA
Immagine e Controimmagine
f
xy=f(x)
Per indicare che f è una funzione tra A e B scriviamo:
il suo corrispondente y di B si indica con f(x)
f:AB
y=f(x)
y è l’immagine di x.controimmagine immagine
Se x è un elemento di A,
x è controimmagine di y.f:x f(x) x A, f(x)B
Dominio e CodominioUna funzione è una corrispondenza univoca tra l’insieme A e l’insieme B cioè, è una legge che ad ogni x A fa corrispondere un unico y B.
f
A B
x y=f(x)
f(A)
L’insieme A è detto dominio della funzione.
L’insieme degli elementi di B che hanno almeno una controimmagine in A è detto insieme delle immagini o codominio della funzione.
Dominio Codominio
Il codominio si indica con f(A)
Esercizi
Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche...
Sia f una funzione definita da un insieme A a un insieme B.Si dice che f è una funzione iniettiva o anche che è un’iniezione, se, comunque si scelgano due elementi x1,x2A, si ha
Funzione iniettiva
A B
x1x2 f(x1)f(x2)
...Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche...
Sia f una funzione definita da un insieme A a un insieme B.
Si dice che f è una funzione suriettiva o anche che è una
suriezione, se il codominio di f coincide con B, cioè se
Funzione suriettiva
A B
f(A)=B.
… Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche
Se una funzione f:AB è sia iniettiva che suriettiva si
dice che la funzione è biiettiva o una biiezione o una
funzione biunivoca. Perciò, la funzione è biunivoca se
sono verificate le condizioni:
Funzione biunivoca
A Bx1x2 f(x1)f(x2)
f(A)=B
Funzione costante
Una funzione f:AB si dice costante quando tutti
gli elementi del dominio hanno la stessa
immagine
Funzione costante
A B
Funzioni numeriche
Se gli insiemi A e B sono numerici, si parla di funzioni
numeriche.
Generalmente, gli insiemi numerici A e B sono sottoinsiemi
dell’insieme R dei numeri reali
AR, B R
e i loro elementi vengono chiamati variabili.
xA, yB
Funzioni matematiche o analitiche e funzioni empiriche
Funzioni matematiche o analitiche
Le funzioni matematiche sono funzioni numeriche
per le quali, a partire da un x del dominio A,
l’immagine f(x)=yB si ottiene mediante un
numero finito di operazioni matematiche;
l’insieme di queste operazioni dà la legge per
“costruire” l’immagine y dell’elemento x
considerato.
Funzioni empiriche
Le funzioni empiriche sono funzioni
numeriche e non numeriche per le quali
l’immagine di un elemento x non è ottenibile
con una legge prefissata, bensì per mezzo di
misurazioni sperimentali o di rilevazioni.
Classificazione delle funzioni analitiche
Funzioni analitiche
Funzioni algebriche
Funzioni trascendenti
Esponenziali
Logaritmiche
Goniometriche
Razionali Irrazionali
Intere Fratte Intere Fratte
Insieme di esistenza
Quando si considera una funzione, è essenziale specificarne il dominio.Nel caso di funzioni matematiche, il dominio D, se non è indicato, è l’insieme dei valori reali che possono attribuirsi alla variabile indipendente x affinché esista il corrispondente valore reale y. In questo caso, il dominio prende il nome di insieme di esistenza o di definizione della funzione.
L’insieme di esistenza è il sottoinsieme più
vasto di R che può essere preso come
dominio della funzione.
Grafico di una funzione
Data una funzione matematica di equazione y=f(x), si
dice grafico della funzione l’insieme di tutti e soli i
punti del piano cartesiano aventi per ascissa i valori
della variabile indipendente x appartenenti al dominio
e per ordinata i valori corrispondenti della variabile
dipendente y.
Un punto appartiene al grafico di una funzione se e solo se le sue coordinate soddisfano l’equazione della funzione.
Funzioni ugualiDue funzioni reali f e g si dicono uguali in un dominio comune D quando f(x)=g(x) xD
Le funzioni
0-RD ;1
) x
g(x
Le funzioni
0-RD ;)(2
x
xxf
non sono uguali perché non hanno lo stesso dominio.
0-R ;)(2
Dx
xxf
sono uguali.
RD ;) xg(x
Funzioni pari e funzioni dispari
Funzione pari: Una funzione f di equazione y=f(x)
e di dominio D si dice pari se, xD, f(-x)=f(x).
Se una funzione y=f(x) è pari, appartengono al suo
grafico le coppie di punti di coordinate
(x;f(x)) e (-x;f(x))
perciò, il suo grafico risulta simmetrico rispetto
all’asse delle ordinate.
Esempio di funzione pariy= 0,5 x2
x Y-10 50
-9 40,5
-8 32
-7 24,5
-6 18
-5 12,5
-4 8
-3 4,5
-2 2
-1 0,5
0 0
1 0,5
2 2
3 4,5
4 8
5 12,5
6 18
7 24,5
8 32
9 40,5
10 50
Y
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Funzioni pari e funzioni dispari
Funzione dispari: Una funzione f di equazione y=f(x) e di dominio D si dice dispari se, xD,
f(-x)=-f(x).
Se una funzione è dispari, appartengono al suo grafico le coppie di punti di coordinate
(x;f(x)) e (-x;-f(x))perciò, il suo grafico risulta simmetrico rispetto all’origine degli assi cartesiani.
Esempio di funzione dispariy= 2,0 x3
x Y-10 -2000
-9 -1458
-8 -1024
-7 -686
-6 -432
-5 -250
-4 -128
-3 -54
-2 -16
-1 -2
0 0
1 2
2 16
3 54
4 128
5 250
6 432
7 686
8 1024
9 1458
10 2000
Y
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Funzioni pari e funzioni dispari
• La funzione y=P(x) è pari, se e solo se, nel polinomio compaiono solo potenze di x di grado pari.
• La funzione y=P(x) è dispari, se e solo se, nel polinomio compaiono solo potenze di x di grado dispari.
Consideriamo una funzione del tipo y=P(x) dove P(x) è un polinomio.
Esempio: Funzione né pari né dispariY= 1,0 x2 + 2,0 x -3,0
x Y-10 77
-9 60
-8 45
-7 32
-6 21
-5 12
-4 5
-3 0
-2 -3
-1 -4
0 -3
1 0
2 5
3 12
4 21
5 32
6 45
7 60
8 77
9 96
10 117
-10-9
-8-7-6
-5-4-3
-2-10
12
345
678
910
-10
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Y
Definizione di funzione numerica (Dirichlet)
Una variabile reale y è funzione di una variabile reale x in
un dominio D (D R), se esiste una legge f, di natura
qualsiasi, che faccia corrispondere ad un qualsiasi
elemento x del dominio, uno e un solo valore di y del
codominio.
x variabile indipendente y variabile dipendente