A B

FunzioniDati due insiemi non vuoti A e B,

si chiama applicazione o funzione da A a B una relazione tra i due insiemi che a ogni elemento di A fa corrispondere uno e un solo elemento di B.

Esempi di funzione...

e B l’insieme costituito da sei signore tra le quali vi siano le mamme dei ragazzi dell’insieme A:

B=Anna; Maria; Valentina; Pina; Luisa; Franca.

• Paolo Franca (Paolo ha per madre Franca) • Bruno Maria (Bruno ha per madre Maria)• Carlo Anna (Carlo ha per madre Anna)• Mario Franca (Mario ha per madre Franca)

Questa relazione stabilisce tra i due insiemi A e B una corrispondenza e, ad ogni elemento del primo insieme corrisponde uno, ed uno solo, elemento del secondo insieme, perciò, la relazione determina un’applicazione o funzione da A verso B.

Paolo .

Bruno .

Carlo .

Mario .

Anna .

Franca .Luisa .

Valentina .

Pina .

Maria .

Sia A l’insieme formato da quattro ragazzi:A=Paolo; Bruno; Carlo; Mario,

Consideriamo tra gli insiemi A e B la relazione definita da “…ha per madre…“ e supponiamo che sia:

AA

BB

...Esempi di funzione Sia A l’insieme dei numeri naturali pari A=0,2,4,6,8,10,12,14,16... e B l’insieme dei numeri naturali B=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13....

La relazione “…è il doppio di…” determina una corrispondenza fra gli insiemi A e B; ad ogni elemento di A corrisponde uno, ed uno solo, elemento di B, perciò,

la relazione è un’applicazione o funzione da A a B.

Relazioni che non sono funzioniA B

A B

L’esempio 1 non è una funzione perché, un elemento di A non ha il corrispondente in B.

L’esempio 2 non è una funzione perché, ad un elemento di A corrispondono due elementi di B.

1

2

Perché queste relazioni non sono funzioni?

BA

Immagine e Controimmagine

f

xy=f(x)

Per indicare che f è una funzione tra A e B scriviamo:

il suo corrispondente y di B si indica con f(x)

f:AB

y=f(x)

y è l’immagine di x.controimmagine immagine

Se x è un elemento di A,

x è controimmagine di y.f:x f(x) x A, f(x)B

Dominio e CodominioUna funzione è una corrispondenza univoca tra l’insieme A e l’insieme B cioè, è una legge che ad ogni x A fa corrispondere un unico y B.

f

A B

x y=f(x)

f(A)

L’insieme A è detto dominio della funzione.

L’insieme degli elementi di B che hanno almeno una controimmagine in A è detto insieme delle immagini o codominio della funzione.

Dominio Codominio

Il codominio si indica con f(A)

Esercizi

Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche...

Sia f una funzione definita da un insieme A a un insieme B.Si dice che f è una funzione iniettiva o anche che è un’iniezione, se, comunque si scelgano due elementi x1,x2A, si ha

Funzione iniettiva

A B

x1x2 f(x1)f(x2)

...Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche...

Sia f una funzione definita da un insieme A a un insieme B.

Si dice che f è una funzione suriettiva o anche che è una

suriezione, se il codominio di f coincide con B, cioè se

Funzione suriettiva

A B

f(A)=B.

… Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche

Se una funzione f:AB è sia iniettiva che suriettiva si

dice che la funzione è biiettiva o una biiezione o una

funzione biunivoca. Perciò, la funzione è biunivoca se

sono verificate le condizioni:

Funzione biunivoca

A Bx1x2 f(x1)f(x2)

f(A)=B

Funzione costante

Una funzione f:AB si dice costante quando tutti

gli elementi del dominio hanno la stessa

immagine

Funzione costante

A B

Funzioni numeriche

Se gli insiemi A e B sono numerici, si parla di funzioni

numeriche.

Generalmente, gli insiemi numerici A e B sono sottoinsiemi

dell’insieme R dei numeri reali

AR, B R

e i loro elementi vengono chiamati variabili.

xA, yB

Funzioni matematiche o analitiche e funzioni empiriche

Funzioni matematiche o analitiche

Le funzioni matematiche sono funzioni numeriche

per le quali, a partire da un x del dominio A,

l’immagine f(x)=yB si ottiene mediante un

numero finito di operazioni matematiche;

l’insieme di queste operazioni dà la legge per

“costruire” l’immagine y dell’elemento x

considerato.

Funzioni empiriche

Le funzioni empiriche sono funzioni

numeriche e non numeriche per le quali

l’immagine di un elemento x non è ottenibile

con una legge prefissata, bensì per mezzo di

misurazioni sperimentali o di rilevazioni.

Classificazione delle funzioni analitiche

Funzioni analitiche

Funzioni algebriche

Funzioni trascendenti

Esponenziali

Logaritmiche

Goniometriche

Razionali Irrazionali

Intere Fratte Intere Fratte

Insieme di esistenza

Quando si considera una funzione, è essenziale specificarne il dominio.Nel caso di funzioni matematiche, il dominio D, se non è indicato, è l’insieme dei valori reali che possono attribuirsi alla variabile indipendente x affinché esista il corrispondente valore reale y. In questo caso, il dominio prende il nome di insieme di esistenza o di definizione della funzione.

L’insieme di esistenza è il sottoinsieme più

vasto di R che può essere preso come

dominio della funzione.

Grafico di una funzione

Data una funzione matematica di equazione y=f(x), si

dice grafico della funzione l’insieme di tutti e soli i

punti del piano cartesiano aventi per ascissa i valori

della variabile indipendente x appartenenti al dominio

e per ordinata i valori corrispondenti della variabile

dipendente y.

Un punto appartiene al grafico di una funzione se e solo se le sue coordinate soddisfano l’equazione della funzione.

Funzioni ugualiDue funzioni reali f e g si dicono uguali in un dominio comune D quando f(x)=g(x) xD

Le funzioni

0-RD ;1

) x

g(x

Le funzioni

0-RD ;)(2

x

xxf

non sono uguali perché non hanno lo stesso dominio.

0-R ;)(2

Dx

xxf

sono uguali.

RD ;) xg(x

Funzioni pari e funzioni dispari

Funzione pari: Una funzione f di equazione y=f(x)

e di dominio D si dice pari se, xD, f(-x)=f(x).

Se una funzione y=f(x) è pari, appartengono al suo

grafico le coppie di punti di coordinate

(x;f(x)) e (-x;f(x))

perciò, il suo grafico risulta simmetrico rispetto

all’asse delle ordinate.

Esempio di funzione pariy= 0,5 x2

x Y-10 50

-9 40,5

-8 32

-7 24,5

-6 18

-5 12,5

-4 8

-3 4,5

-2 2

-1 0,5

0 0

1 0,5

2 2

3 4,5

4 8

5 12,5

6 18

7 24,5

8 32

9 40,5

10 50

Y

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Funzioni pari e funzioni dispari

Funzione dispari: Una funzione f di equazione y=f(x) e di dominio D si dice dispari se, xD,

f(-x)=-f(x).

Se una funzione è dispari, appartengono al suo grafico le coppie di punti di coordinate

(x;f(x)) e (-x;-f(x))perciò, il suo grafico risulta simmetrico rispetto all’origine degli assi cartesiani.

Esempio di funzione dispariy= 2,0 x3

x Y-10 -2000

-9 -1458

-8 -1024

-7 -686

-6 -432

-5 -250

-4 -128

-3 -54

-2 -16

-1 -2

0 0

1 2

2 16

3 54

4 128

5 250

6 432

7 686

8 1024

9 1458

10 2000

Y

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Funzioni pari e funzioni dispari

• La funzione y=P(x) è pari, se e solo se, nel polinomio compaiono solo potenze di x di grado pari.

• La funzione y=P(x) è dispari, se e solo se, nel polinomio compaiono solo potenze di x di grado dispari.

Consideriamo una funzione del tipo y=P(x) dove P(x) è un polinomio.

Esempio: Funzione né pari né dispariY= 1,0 x2 + 2,0 x -3,0

x Y-10 77

-9 60

-8 45

-7 32

-6 21

-5 12

-4 5

-3 0

-2 -3

-1 -4

0 -3

1 0

2 5

3 12

4 21

5 32

6 45

7 60

8 77

9 96

10 117

-10-9

-8-7-6

-5-4-3

-2-10

12

345

678

910

-10

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Y

Definizione di funzione numerica (Dirichlet)

Una variabile reale y è funzione di una variabile reale x in

un dominio D (D R), se esiste una legge f, di natura

qualsiasi, che faccia corrispondere ad un qualsiasi

elemento x del dominio, uno e un solo valore di y del

codominio.

x variabile indipendente y variabile dipendente