Premessa: classificare, contare Classificare significa dividere in classi, cioè in raggruppamenti di elementi che hanno in comune certe caratteristiche prefissate. L’atto del classificare è alla base della matematica, perché permette di individuare delle “quantità”. Dalle quantità è poi possibile passare ai numeri e quindi giungere a contare (figura 1).

Il concetto di insieme Parliamo di insieme (cioè definiamo un insieme) solo se possiamo dire esattamente quali “cose” appartengono all’insieme e quali no. Le “cose” che appartengono a un certo insieme si chiamano elementi di quell’insieme. DEFINIZIONE - Per insieme si intende un raggruppamento di elementi definibile con precisione. Le città: «Bari, Brindisi, Foggia, Lecce, Taranto» rappresentano un insieme poiché gli elementi dell’insieme sono elencati uno per uno con il loro nome. «I calciatori della Roma» rappresentano un insieme poiché è chiaramente definita la“proprietà” che consente di stabilire, senza possibilità di equivoci, se un elemento appartiene all’insieme. Nel nostro caso la “proprietà” è quella che tutti i calciatori appartengono alla medesima squadra.

«Le città più belle d’Italia» non rappresentano invece un insieme, poiché non è possibile stabilire con chiarezza quali elementi appartengono all’insieme, in quanto i giudizi sulla bellezza variano da persona a persona (figura 2).

Gli insiemi vengono indicati con una lettera maiuscola dell’alfabeto: A B C D … mentre gli elementi che appartengono all’insieme vengono indicati con le lettere minuscole: a,b,c,d …

Figura 1

La rappresentazione di un insieme Un insieme si può rappresentare in tre modi:

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3.1 La rappresentazione per elencazione Per rappresentare un insieme per elencazione si scrive la lettera maiuscola con la quale si vuole indicare l’insieme, seguita dal segno uguale (=) e da una parentesi graffa; all’interno di questa sono contenuti tutti gli elementi dell’insieme, separati uno dall’altro da un punto e virgola o da una virgola.

Generalmente la rappresentazione per elencazione si utilizza quando l’insieme da descrivere è formato da pochi elementi o quando gli elementi da rappresentare non hanno una proprietà comune che li associ. 3.2 La rappresentazione per caratteristica Per rappresentare un insieme in forma caratteristica si usa scrivere all’interno della parentesi graffa la proprietà che caratterizza gli elementi dell’insieme.

La sbarretta obliqua / tra le due x ha il significato di «tale che». Generalmente la rappresentazione per caratteristica si utilizza quando l’insieme da descrivere è formato da un numero elevato di elementi, di cui sia però sempre possibile definire una proprietà, una caratteristica univoca.

Figura3

Figura4

3.3 La rappresentazione grafica Per rappresentare un insieme in forma grafica si utilizzano i diagram-mi di Eulero–Venn. Essi sono formati da una linea chiusa, che delimita una parte di piano, all’interno della quale si segnano gli elementi dell’insieme con un puntino, seguito dal nome. L’insieme della figura 3 si legge: «L’insieme A formato dagli elementi: c; i; e; l; o». Quello della figura 4 si legge: «L’insieme B formato dagli elementi: 1; 2; 3; 4; 5». Quello della figura 5 si legge: «L’insieme C formato dagli elementi: Genova; Imperia; La Spezia; Savona».

Figura5

L’ appartenenza ad un insieme

Consideriamo il seguente insieme: «L’insieme delle vocali dell’alfabe-to italiano» e rappresentiamolo in tutti e tre i modi.

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Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme si usa il simbolo ∈ e quindi si scrive a ∈A e si legge: «a appartiene ad A». Quando si vuole indicare che un elemento non appartiene ad un insieme si utilizza il simbolo ∉ e quindi si scrive: b ∉ A e si legge: «b non appartiene ad A».

Insiemi finiti, infiniti e vuoti Quando un insieme è formato da un numero limitato di elementi, si dice finito; quando invece l’insieme è costituito da un numero illimitato di elementi, si dice infinito. Per esempio: «Le città italiane capoluogo di regione» costituiscono un insieme finito, mentre «L’insieme dei numeri naturali» forma un insieme infinito. Se un insieme è invece privo di elementi si dice vuoto e si indica con il simbolo: ∅ oppure { } Per esempio: «L’insieme degli uomini alti più di tre metri» è un insieme vuoto in quanto non esiste alcun uomo alto più di tre metri. Occorre specificare, infine, che un insieme può anche essere composto da un solo elemento. Per esempio: «L’insieme dei numeri interi compresi fra tre e cinque» è un insieme singolo in quanto è composto da un solo elemento: 4.

Il concetto di sottoinsieme Consideriamo l’insieme degli alunni di una prima media, che indichiamo con A, e l’insieme degli alunni della stessa classe che portano gli occhiali, che indichiamo con B. Rappresentiamo i due insiemi per caratteristica: A = {x / x è un alunno di una classe di prima media}; B = {x / x è un alunno di una classe di prima media che porta gli occhiali}. È evidente che gli elementi dell’insieme B sono anche elementi dell’insieme A. Si dice allora che l’insieme B è “contenuto” nell’insieme A. Possiamo dunque affermare che: DEFINIZIONE ogni volta che un insieme B è contenuto in un insieme A si dice che B è un sottoinsieme proprio di A. Si scrive B A e si legge: «L’insieme B è incluso (o contenuto) nell’insieme A» ovvero «L’insieme B è sottoinsieme dell’insieme A».

⊂

Il simbolo: ⊂ è detto di inclusione; significa “è incluso” o “è contenuto”. Il simbolo: ⊄ è detto di non inclusione; significa “non è incluso” o “non è contenuto”. Viceversa, per indicare che l’insieme A include l’insieme B si usa la scrittura: A B e si legge: «A include B». Il simbolo ⊃ ⊃ significa quindi “include” o “contiene” .

I principali simboli delle relazioni tra insiemi ⊂ è incluso ⊄ non è incluso ⊃ include

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Attenzione! Gli elementi “doppi” (cioè che appartengono sia all’insieme sia al sottoinsieme) devono essere presi una sola volta. Dall’analisi degli esempi proposti possiamo ricavare la seguente: DEFINIZIONE un insieme B si dice sottoinsieme proprio di un insieme A se ogni elemento di B appartiene ad A ma non viceversa (ovvero c’è almeno un elemento di A che non appartiene a B). Oltre ai sottoinsiemi propri è possibile considerare sottoinsiemi di A l’insieme vuoto ∅ e lo stesso insieme A di partenza. Questi due ultimi sottoinsiemi vengono definiti impropri. Si può quindi scrivere:

L’insieme delle parti Consideriamo l’insieme A = {a; b; c} e individuiamo tutti i suoi possibili sottoinsiemi, propri ed impropri.

sottoinsiemi propri di A sottoinsiemi impropri di A L’insieme formato da tutti i possibili sottoinsiemi propri ed impropri di A, prende il nome di insieme delle parti di A. Possiamo pertanto affermare che: DEFINIZIONE dato un insieme A non vuoto si definisce insieme delle parti di A e si indica con PA l’insieme formato da tutti i possibili sottoinsiemi propri ed impropri di A. La scrittura B⊂A significa quindi: «L’insieme B è contenuto nell’insieme A». Questo vuol dire che ogni elemento dell’insieme B appartiene anche all’insieme A. Questa proprietà si scrive in simboli ∀ b∈A dove il simbolo: ha il significato di: «per ogni», «qualunque» e prende il nome di quantificatore universale. ∀

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È possibile sottoporre gli insiemi a diverse operazioni. Le più importanti operazioni con gli insiemi sono: l’intersezione,l’unione, la partizione e la differenza. Analizziamole una per una, partendo da alcuni esempi.

L’intersezione Siano dati gli insiemi A e B rappresentati per caratteristica: A = {x / x è un mammifero} B = {x / x è un animale che vive nell’acqua}. Se consideriamo l’insieme C formato da tutti i mammiferi che vivono nell’acqua, diremo che C è l’intersezione degli insiemi A e B. In simboli si scrive: C = AI B dove il simbolo significa intersezione e si legge «l’insieme C è uguale ad A intersecato B». Possiamo quindi affermare che:

I

DEFINIZIONE dati due insiemi A e B si dice intersezione di tali insiemi, e si scrive A ∩ B, quel nuovo insieme C formato dagli elementi comuni ad A e B.

I principali simboli delle ope-

razioni con gli insiemi I intersezione U unione - differenza

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L’unione Siano dati gli insiemi: A = {x/x è un alunno di una classe di prima media}; B = {x/x è un’alunna di una classe di prima media}. Se consideriamo l’insieme C formato da tutti gli allievi (alunni e alunne) di prima media, diremo che è l’unione degli insiemi A e B. In simboli si scrive: C = A B dove il simbolo U significa unione, la relazione sopra si legge «l’insieme C è uguale ad A unito a B». Possiamo quindi affermare che:

U

DEFINIZIONE dati due insiemi A e B si dice unione di tali insiemi, e si scrive A U B, quel nuovo insieme C formato dagli elementi che appartengono ad A e dagli elementi che appartengono a B presi una sola volta.

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La partizione di un insieme Consideriamo l’insieme N formato dalle seguenti nazioni: N ={Italia; Spagna; Giappone; Nuova Zelanda; Egitto; Brasile; Marocco; Argentina; Australia; Cina}. Formiamo cinque possibili sottoinsiemi di N in base all’appartenenza ai vari continenti: A = {x/x è una nazione appartenente all’Europa}; B = {x/x è una nazione appartenente all’Asia}; C = {x/x è una nazione appartenente all’America}; D = {x/x è una nazione appartenente all’Africa}; E = {x/x è una nazione appartenente all’Oceania}. Analizzando le caratteristiche dei vari sottoinsiemi rileviamo che: Nessuno dei sottoinsiemi è vuoto; rappresentando infatti i vari sottoinsiemi per elencazione avremo che: A = {Italia; Spagna}; B = {Cina; Giappone}; C = {Argentina; Brasile}; D = {Marocco; Egitto}; E = {Australia; Nuova Zelanda}. • I sottoinsiemi non hanno elementi in comune; sono cioè disgiunti. Sappiamo infatti che l’Italia fa parte del

continente europeo e non può appartenere quindi agli altri continenti, e così per le altre nazioni. • Se uniamo i vari sottoinsiemi otteniamo l’insie-N di partenza, come si può osservare dalla relativa

rappresentazione grafica (figura 8). Quando si esegue una divisione di un insieme in sottoinsiemi rispettando le tre condizioni fissate nell’esempio di prima, diciamo di aver realizzato una partizione dell’insieme.

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In generale possiamo enunciare la seguente definizione: DEFINIZIONE si chiama partizione di un insieme la suddivisione dell’insieme stesso in due o più sottoinsiemi quali devono soddisfare le seguenti condizioni: . ■ nessuno dei sottoinsiemi deve essere vuoto; . ■ i vari sottoinsiemi devono essere disgiunti, non devono cioè avere elementi in comune; ■ riunendo i vari sottoinsiemi si ottiene l’insieme di partenza. DEFINIZIONE l’insieme universo o ambiente è uno dei possibili insiemi che contengono l’insieme A come sottoinsieme. Se ad esempio vogliamo rappresentare l’insieme A dei numeri minori di 20, dobbiamo indicare a quale insieme universo ci riferiamo; se infatti l’insieme ambiente è quello dei numeri naturali allora l’insieme A è un insieme finito; se invece l’insieme universo è quello dei numeri decimali allora l’insieme A è un insieme infinito. Nei due casi esaminati i due insiemi saranno indicati nel seguente modo:

La differenza Siano dati gli insiemi: A = {x / x è una figurina della collezione di calciatori di Stefano} B = {x / x è una figurina della collezione di calciatori di Paolo} Se consideriamo l’insieme C formato da tutte le figurine della collezione di Stefano che non ha Paolo, diremo che C è l’insieme differenza di A e B. In simboli si scrive: C = A – B o C = A \ B (dove i simboli – e \ hanno il significato di differenza); l’operazione sopra indicata si legge «l’insieme C è uguale ad A meno B». Possiamo quindi affermare che:

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5.1 L’insieme complementare Siano dati gli insiemi A e B rappresentati per caratteristica: A = {x / x è un alunno della classe 1

a A} B = {x / x è un alunno della classe 1

a A che porta gli occhiali}. Se

consideriamo l’insieme C formato da tutti gli alunni della classe 1a

A che non portano gli occhiali, diremo che C è l’insieme differenza di B rispetto ad A. Rappresentiamo gli insiemi A e B con i diagrammi di Eulero-Venn (figura 12). Notiamo che B è un sottoinsieme di A; pertanto, in questo caso, l’insieme differenza tra l’insieme A e l’insieme B prende il nome di insieme complementare. In simboli si scrive: CAB e si legge «C è l’insieme complementare di B rispetto ad A». Possiamo quindi affermare che: DEFINIZIONE dati due insiemi A e B, quando B A, si dice insieme complementare di B rispetto ad A scelto come insieme universo e si scrive CAB l’insieme differenza di A e B, ovvero l’insieme formato da tutti gli elementi di A che non appartengono a B.

Complementare: che serve da completamento per ottenere l’intero, il totale.

Figura 12

Tra gli elementi di 2 o più insiemi si possono stabilire (come vedremo in questa sottounità) diverse corrispondenze. La corrispondenza più generale è quella che mette in relazione tra loro tutti gli elementi di tutti gli insiemi e si chiama prodotto cartesiano.

La corrispondenza Esempio: Gianni, Luca, Vincenzo si recano in un negozio per comprare una bicicletta. Ne vedono di colore bianco, giallo, rosso, verde. Ciascun ragazzo vuole provare ciascuna bicicletta.

Sagittale: aggettivo che deriva dalla parola latina “sagitta”, che significa “freccia”.

Prova a rappresentare per esteso e graficamente la situazione descritta. Ragioniamo: abbiamo due insiemi; l’insieme A dei ragazzi e l’insieme B delle biciclette; pertanto: A = {Gianni, Luca, Vincenzo} → A = {G, L, V} B = {bianca, gialla, rossa, verde} → B = {b, g, r, v} Se ogni ragazzo prova ciascuna bicicletta, la situazione è la seguente: (G, b) – (G, g) – (G, r) – (G, v) – (L, b) – (L, g) – (L, r) – (L, v) – (V, b) – (V, g) – (V, r) – (V, v)

RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA RAPPRESENTAZIONE SAGITTALE Si ottengono sempre 12 coppie; tale operazione si chiama prodotto cartesiano e si definisce come l’insieme formato da tutte le possibili coppie che si possono formare prendendo il 1° elemento dal 1° insieme e il 2° elemento dal 2° insieme. Si scrive A × B = {(G, b) – (G, g) – (G, r) – (G, v) – (L, b) – (L, g) – (L, r) – (L, v) – (V, b) – (V, g) – (V, r) – (V, v)} e si legge A prodotto cartesiano B formato da tutte le coppie soprascritte. Il simbolo × significa prodotto cartesiano. Se invece gli elementi degli insiemi non si pongono tutti in relazione tra di loro, si hanno diversi tipi di corrispondenze; vediamole.

La corrispondenza biunivoca Nella corrispondenza biunivoca a un elemento di un insieme corrisponde un solo elemento di un secondo insieme e viceversa.

La corrispondenza univoca Nella corrispondenza univoca a un elemento di un insieme corrisponde un solo elemento di un secondo insieme ma non viceversa

Insiemi equipotenti DEFINIZIONE quando due insiemi sono in corrispondenza biunivoca si dice che sono equipotenti o che «hanno la stessa potenza».

L’insieme ordinato Quando esiste un criterio in base al quale possiamo sempre decidere quale elemento di un insieme segua o preceda un altro, allora l’insieme si dice ordinato purché:

• non accada mai che l’elemento a preceda l’elemento b e che b preceda a;

• se l’elemento a precede l’elemento b e se b precede c, allora a precede c.

Ordinato: disposto con ordine secondo una regola, un criterio.

Le relazioni

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1.1 Che cos’è una relazione Nella prima unità abbiamo definito la corrispondenza tra insiemi affermando che: DEFINIZIONE quando tra due insiemi A e B si individua una proprietà che associa agli elementi di A gli elementi di B, tra i due insiemi si stabilisce una corrispondenza. Consideriamo il seguente esempio: siano dati gli insiemi: A = {BG, MI, TO, Roma, NA, FI, AV} e B = {Lombardia, Piemonte, Lazio, Campania, Toscana}. Mettiamo in corrispondenza gli elementi dell’insieme A con gli elementi dell’insieme B, utilizzando i diagrammi di Eulero-Venn (figura 1).

Notiamo che ad ogni elemento di A (capoluoghi di provincia) corrisponde un elemento di B (regioni di appartenenza). In particolare, l’elemento BG, appartenente ad A, e l’elemento Lombardia, appartenente a B si corrispondono poiché è stata stabilita una “proprietà” che li associa: nel nostro caso

«… appartiene alla regione …». La proprietà «appartiene alla regione» del nostro esempio prende il nome di relazione e si indica con R. DEFINIZIONE si chiama relazione fra due insiemi A e B la proprietà che associa gli elementi appartenenti ad A con gli elementi appartenenti a B. Per indicare che gli elementi di A sono in corrispondenza con quelli di

B mediante la relazione R si scrive:

a ∈A e b ∈B a R b e si legge: «se a appartiene all’insieme A e b appartiene all’insieme B, allora a è in relazione con b» Quando, invece gli elementi dei due insiemi non sono in relazione si scrive a R b e si legge: «a non è in relazione con b» 1.2 Dominio e codominio di una relazione Consideriamo i seguenti insiemi: A = {Roma; Londra; Atene; Oslo; Vienna; Varsavia} e B = {Italia; Francia; Gran Bretagna; Grecia; Austria; Portogallo}. La relazione R di A verso B è individuata dalla frase «… è capitale di…». Il primo sottoinsieme prende il nome di dominio il secondo di codominio. 1.3 La reciproca di una relazione Consideriamo i seguenti insiemi: A = {legno; ferro; mattone; libro; farina} e B = {fabbro; studente; falegname; muratore; panettiere}. Rappresentiamo graficamente il diagramma della nostra relazione R di A verso B, espressa dalla frase: «… è usato dal …». Se invertiamo il senso delle frecce si ottiene un’altra relazione di B verso A, individuata dalla frase: «… usa il…».

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Questa nuova relazione è la reciproca, o inversa, della precedente e si indica con il simbolo (figura 3).

2 Le proprietà di una relazione in un insieme Una qualunque relazione in un insieme può avere alcune proprietà. Noi ci occuperemo delle più importanti: la proprietà riflessiva, la proprietà simmetrica, la proprietà transitiva, la proprietà antisimmetrica. 2.1 La proprietà riflessiva Consideriamo il seguente insieme: A = {x / x è un numero intero minore o uguale a 8} e individuiamo tra gli elementi dell’insieme stesso la relazione espressa dalla frase: «… è multiplo di…». Sappiamo che i multipli di un numero si ottengono moltiplicando il numero stesso per tutti i numeri interi (escluso lo 0). Pertanto, tra i multipli di un numero troviamo anche il numero stesso, poichè si ricava moltiplicando il numero dato per 1. In questo caso la relazione si dice riflessiva in quanto ogni elemento x appartenente ad A è in relazione con se stesso. Possiamo dunque in generale affermare che: DEFINIZIONE una relazione in un insieme A si dice riflessiva, quando ogni elemento x appartenente ad A è in relazione con se stesso. In simboli si scrive: x∈ A, x R x e si legge: «per ogni x appartenente ad A, l’elemento x è in relazione con se stesso».

∀

2.2 La proprietà simmetrica Consideriamo l’insieme A = {cane; leone; pappagallo; elefante; caval-lo} e individuiamo tra gli elementi dell’insieme stesso la relazione espressa dalla frase: «… termina con la stessa vocale di …». Notiamo che se cane è in relazione con leone, sicuramente anche leone è in relazione con cane in quanto entrambi terminano con la stessa vocale: e. In questo caso la relazione R si dice simmetrica, in quanto qualsiasi siano le parole che appartengono ad A, se x termina con la stessa vocale di y anche y termina con la stessa vocale di x. Possiamo dunque in generale affermare che: DEFINIZIONE una relazione in un insieme A si dice simmetrica quando considerati due elementi x e y appartenenti ad A ogni volta che x è in relazione con y, allora anche y è in relazione con x. In simboli si scrive: x, y∈ A se x R y ∀ y R x

2.3 La proprietà transitiva Consideriamo l’insieme A = {neo; mare; sedia; tavolo} e individuiamo tra gli elementi dell’insieme stesso la relazione espressa dalla frase: «… ha un numero maggiore di lettere …». Notiamo che se tavolo ha un numero di lettere maggiore di sedia e sedia ha un numero di lettere maggiore di mare, allora: tavolo ha un numero di lettere maggiore di mare. In questo caso la relazione si dice transitiva in quanto se x, y e z appartengono ad A e x ha un numero di cifre maggiore di y e y un numero di cifre maggiore di z, allora: x ha un numero di cifre maggiore di z. Possiamo in generale affermare che: DEFINIZIONE una relazione R in un insieme A si dice transitiva quando considerati tre elementi x, y e z appartenenti ad A, ogni volta che x è in relazione con y e y è in relazione con z, anche x è in relazione con z.

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In simboli si scrive: x, y, z ∀ ∈ A se x R y e y R z x R z 2.4 La proprietà antisimmetrica Consideriamo l’insieme A = {x / x è l’altezza di un componente della squadra di basket composta da Carlo (160 cm), Luca (155 cm), Marco (170 cm) e Luigi (165 cm)}; individuiamo al suo interno la relazione espressa dalla frase: «L’altezza di … è maggiore di quella di …». Osserviamo che se un elemento è in corrispondenza con un altro : «L’altezza di Marco è maggiore dell’altezza di Luigi» , non potrà mai accadere che quest’ultimo sia in relazione con il primo. Ovvero: Marco R Luigi e Luigi R Marco. Possiamo affermare cioè che: DEFINIZIONE una relazione in un insieme A si dice antisimmetrica quando, considerati due elementi qualunque x e y appartenenti ad A, no possono sussistere contemporaneamente x R y e y R x. In simboli si scrive: x, y, ∈ A se x R y allora y ∀ R x

Le principali relazioni Nella sottounità precedente abbiamo analizzato le più importanti proprietà delle relazioni fra gli elementi di uno stesso insieme. Adesso esaminiamo, invece, le relazioni alla luce delle proprietà di cui godono, e classifichiamole in base a queste. Le principali relazioni di cui noi ci occuperemo sono: la relazione di «equivalenza» e la relazione di «ordine»

1.1 La relazione di equivalenza DEFINIZIONE Una relazione che gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva; prende per questo il nome di relazione di equivalenza. .

1.2 La relazione di ordine Oltre alle relazioni di equivalenza assumono una notevole importanza tra le relazioni in un insieme le relazioni di ordine. Esse si possono classificare in relazioni di ordine largo e relazioni di ordine stretto. DEFINIZIONE Una relazione che gode delle proprietà riflessiva, transitiva e antisimmetrica; prende per questo il nome di relazione di ordine largo. DEFINIZIONE Una relazione che gode della proprietà antisimmetrica e transitiva; prende per questo il nome di relazione di ordine stretto.

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