GLI INSIEMI

Dispensa a cura del prof.

Vincenzo Lo Presti

CONCETTO DI INSIEMEIn matematica si chiama insieme un raggruppamento di cose, persone o entità che rispettano un determinato criterio, mediante il quale si può stabilire con assoluta certezza quali sono gli elementi che compongono l’insieme.

RAGGRUPPAMENTI CHE COSTITUISCONO INSIEMI

RAGGRUPPAMENTI CHE NON COSTITUISCONO INSIEM

Le città italiane con più di 500.000 abitanti

Gli alunni della classe che pesano sino a 60 kg

I rettangoli che hanno la base di 10 cm

Le città italiane grandi

Gli alunni simpatici della classe

I rettangoli piccoli

SIMBOLOGIA DEGLI INSIEMI

Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell’alfabeto italiano: A , B, C, D, E, ………

Gli elementi di un insieme si indicano con le lettere minuscole dell’alfabeto italiano: a,b,c,d,e, ………

In matematica alcune lettere maiuscole sono riservate a particolari insiemi numerici:N Insieme dei numeri naturaliP Insieme dei numeri naturali pariD Insieme dei numeri naturali dispari Z Insieme dei numeri interi relativiQ Insieme dei numeri razionali

SIMBOLOGIA DEGLI INSIEMI

Nello studio degli insiemi si utilizzano particolari simboli

c B

Simbolo di appartenenza

L’elemento c appartiene all’insieme B

4 N Il 4 appartiene all’insieme dei numeri naturali

Simbolo di non appartenenza

-3 N Il -3 non appartiene all’insieme dei numeri Naturali

TIPI DI INSIEMIGli insiemi possono essere:

Esempi:

Finiti – se hanno un numero ben preciso di elementi

Infiniti – se hanno infiniti elementi

L’insieme dei divisori di 12 è un insieme finito in quanto ha un numero ben preciso di elementi (sei ed esattamente 1,2,3,4,6,12)

L’insieme dei multipli di 6 è un insieme infinito in quanto ha infiniti elementi(6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72………)

INSIEME VUOTOUn insieme si dice vuoto se non ha elementi

Esempi:

L’insieme vuoto si indica con o con {}

L’insieme dei multipli di 4 che sono dispari

L’insieme dei quadrati con tre lati

L’insieme dei divisori di 13 che sono pari

RAPPRESENTAZIONEPer rappresentare un qualsiasi insieme possiamo utilizzare tre diversi metodi. Si voglia ad esempio rappresentare l’insieme delle vocali dell’alfabeto italiano che chiameremmo “A”

Con il diagramma di Eulero Venn:

1

Ae i

a

o

2

Attraverso la rappresentazione tabulare o per elencazione:

3

Enunciando la proprietà caratteristica :

A = a;e;i;o;u

A = xx è una vocale dell’alfabeto italiano}

u

SOTTOINSIEME

Aa

b B

c e

df

A = a; b; c, d; e; f

B = b; d

Si dice che l’insieme B è sottoinsieme dell’insieme A se tutti gli elementi di B appartengono anche ad A

B A

SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE “, ”B è un SOTTOINSIEME

IMPROPRIO di A

C è un SOTTOINSIEME DI A

Ogni insieme è un SOTTOINSIEME

(IMPROPRIO) di sé stesso

Aa

b B

c

dB A

C B

A A, B B,…..

L’insieme vuoto è un SOTTOINSIEME

(IMPROPRIO) di ogni insieme

C, B, …..

C

APPARTENENZA e INCLUSIONE

INCLUSIONEAPPARTENENZA

b A

b A

L’elemento b appartiene

all’insieme A

L’insieme b è strettamente

incluso nell’insieme A

b A

d

L’insieme d;b è uguale ad A

d;b Aoppure

d;b = A

INTERSEZIONE “A B”

A

B

A B

E’ l’insieme degli elementiche appartengono sia ad A

sia a B A B = xx A e x B

CASI PARTICOLARI DELL’INTERSEZIONE

A A = A

A =

Se B A allora A B = B

A A =

A U = A

Se A B = , A e B si dicono DISGIUNTI

UNIONE “A B”

A

B

A B

E’ l’insieme degli elementiche appartengono ad A

“o” a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati.

A B = xx A o x B

UNIONE di insiemi DISGIUNTI

A B

L’UNIONE degli insiemi A e B è l’insieme degli elementi che appartengono ad A “o” a B, cioè ad almeno uno dei due

insiemi dati.

A B

CASI PARTICOLARI DELL’UNIONE

A A = A

A = A

Se B A allora A B = A

A A = U

A B A B

AB

a d

c b e

f

g

h l

i

A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l

A B = d; e; f A B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l

DIFFERENZA. “A - B”

A B

A - BSi tolgono ad A tutti gli elementi

che appartengono a B

E’ costituito dagli elementi di A che NON appartengono a B

E’ l’insieme formato da tutti gli elementi di A che non appartengono a BA - B = xx A e x B

DIFFERENZA. “A - B”, “B - A”.

AB

a d

c b e

f

g

h l

i

A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l

A - B = a; b; cB - A = g; h; i; l

DIFFERENZA. “A - B”, “B - A”.

A Ba d c b e

f

g h

l i

A - B = a; b; c

B - A = g; h; i; lA B

a d c b e

f

g h

l i

A

Ba d c b e

f

g h

l i

CASI PARTICOLARI DELLA DIFFERENZA TRA INSIEMI

A - A =

A - = A

Se A B = allora A - B = A e B - A = B

Se B A allora B - A =

INSIEME COMPLEMENTARE

BA= A-B = xx A e x B

Dati due insiemi A e B con BA si chiama complementare di B rispetto ad A la differenza A-B

INSIEME COMPLEMENTARE

A

B

a

b

c e f

g

d

BA =a; b; g

E’ l’insieme deglielementi di B

Che non appartengonoad A

PRODOTTO CARTESIANO

Si definisce prodotto cartesiano di due insiemi A e B, e si indica A x B, l’insieme formato da tutte le coppie ordinate (x;y) dove il primo elemento appartiene ad A e il secondo a B

A x B = (x;y)x A e y B

Si legge A cartesiano B

Dati gli insiemi: A = a; b; c; e B = 1;2

Aa

b

c

B

1

2

A x B = (a ;1), (a ;2), (b ;1),

(b ;2), (c ;1), (c ;2)

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PRODOTTO CARTESIANO

L’insieme A x B = (a; 1); (a; 2); (b; 1); (b; 2); (c; 1); (c; 2)può essere rappresentato graficamente nei seguenti modi:

Aa

b

c

B

1

2

Rappresentazione SAGITTALE

1 (a;1) (b;1) (c;1)

2 (a;2) (b;2) (c;2)

B/ A a b c

Rappresentazione mediante tabella a DOPPIA ENTRATA

a b c

1

2

Rappresentazione CARTESIANA

OSSERVAZIONI SUL PRODOTTO CARTESIANO

La coppia (x;y) è diversa dalla coppia (y;x)

Gli elementi dell’insieme cartesiano sono coppie

A x A = A2

A x B B x A

Se A e B hanno rispettivamente “n” e “m” elementi, l’insieme A x B possiede “nxm” elementi.

INSIEME DELLE PARTI “P(A)”

A a

c b

A = a; b; c;

a; b; c

Dato un insieme A, l’insieme di tutti i suoi SOTTOINSIEMI

propri e impropri, si definisce insieme delle parti di A e si indica

con P(A)

I possibili SOTTOINSIEMI di A sono:

a b c a; b a; c b; c

P(A) = ; a; b; c; a; b; a; c; b; c; a; b; c

Gli elementi di P(A) sono INSIEMI

Se A contiene n elementi,

P(A) ne contiene 2n

L’insieme delle parti di A è:

INSIEME DELLE PARTI “P(A)”

Gli elementi di P(A) sono INSIEMI ed esattamente tutti i sottoinsiemi propri e i due sottoinsiemi impropri (l’insieme stesso e l’insieme vuoto)

REGOLA PER DETERMINARE IL N. DI ELEMENTI DELL’INSIEME DELLE PARTI

Se A contiene n elementi, P(A) ne contiene 2n Esempi:- Se n=3 (esempio precedente) 23=8- Se n=5 (esempio precedente) 25=32- Se n=1 (esempio precedente) 21=2

PARTIZIONE DI UN INSIEME

ASi consideri un numero “n” di

sottoinsiemi di A.

Si chiama PARTIZIONE di un insieme A un gruppo di sottoinsiemi di A se risultano verificate le seguenti condizioni:

A1A2

A3A4A5

Ogni sottoinsieme è proprio

I sottoinsiemi sono a due a due disgiunti

L’unione di tutti i sottoinsiemi dà l’insieme A

1

2

3

ESERCIZIO N. 1…..

AB

a d

c b e

f

g

h l

i

Trova: A B C

A B C = g; h; i; l

C

m

n

A B C = d; e; f

A B C = d

A B C = e; f

Clicca sulla risposta corretta

EsercizioSuccessivo

ESERCIZIO N. 2…..

AB

a d

c b e

f

g

h l

i

Trova: C - (A B)

C - (A B) = m; n

C

m

n

C - (A B) = m; n; d

Clicca sulla risposta corretta

C - (A B) = e; f

C - (A B) = g; h; i; lEsercizio

SuccessivoSoluzione

passo passo

ESERCIZIO N. 3…..

AB

Quale espressione rappresenta l’area

evidenziata?

C - (A B)

C

(C B) - A

Clicca sulla risposta corretta

C B

(A B) - CEsercizio

Successivo

ESERCIZIO N. 4…..

AB

Quale espressione rappresenta l’area

evidenziata?

C - (A B)

C

(C B) - A

Clicca sulla risposta corretta

C B

(A B) - CEsercizio

Successivo

ESERCIZIO N. 5…..

AB

Quale espressione rappresenta l’area

evidenziata?

(C - (A B)) ((A B) - C)

C

(C B) - A

Clicca sulla risposta corretta

C B

(A B) - CEsercizio

Successivo

FINE