7.13 Appendice 7b: Esempi di analisi di Fourierdagos/LEC_15-16/circuiti_pagine_colori.pdf258...

7.13 Appendice 7b: Esempi di analisi di Fourier 175

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

V (t)

V (t)

V (t)

t/T

t/T

t/T

Figura 7.20: Scomposizione in serie di Fourier di un’onda quadra bipolare all’au-mentare delle componenti prese in considerazione (dall’alto verso il basso): prime 3,prime 6 e prime 12.

c� G. D’Agostini 2015

176 RC in regime sinusoidale

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

V (t)

V (t)

V (t)

t/T

t/T

t/T

τ

τ

τ

Figura 7.21: Componenti della serie di Fourier di figura 7.20 (prime 12 componenti)all’uscita di un filtro RC passa basso per diversi valori del rapporto fra frequenzadell’onda quadra e frequenza di taglio (dall’alto verso il basso): 4, 1 e 1/4. In terminidi rapporti fra semiperiodi delle onde quadre e costante di tempo dell’RC abbiamo,sempre dall’alto verso il basso: π/4 (≈ 0.8), π (≈ 3) e 4π (≈ 13).


7.13 Appendice 7b: Esempi di analisi di Fourier 179

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

V (t)

V (t)

V (t)

t/T

t/T

t/T

Figura 7.23: Scomposizione in serie di Fourier di un’onda triangolare all’aumentaredelle componenti prese in considerazione (dall’alto verso il basso): prime 3, prime 6 eprime 12.



−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

V (t)

V (t)

V (t)

t/T

t/T

t/T

τ

τ

τ

Figura 7.24: Analoga della figura 7.21 per l’onda triangolare (vedi testo).



−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

V (t)

V (t)

V (t)

t/T

t/T

t/T

τ

τ

τ

Figura 7.27: Risposta di un filtro CR passa alto ad un segnale di ogna quadra, ot-tenuta mediante analisi di Fourier prendendo in considerazione i primi 100 (!) terminidella serie.



−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

V (t)

V (t)

V (t)

t/T

t/T

t/T

τ

τ

τ

Figura 7.28: Risposta di un filtro CR passa alto ad un segnale triangolare, ottenutomediante analisi di Fourier prendendo in considerazione i soliti primi 12 termini dellaserie.


226 Diodo: l’utilita di un oggetto dal comportamento curioso

RVin Vout

Rd+

Vγ

−

RdVin > Vγ Vout

RVin Vout

Rd−Vγ

+

RdVin<−Vγ Vout

Vin

A)

B)

C)

D)

Figura 9.7: Circuiti raddrizzatori e loro effetto su segnali sinusoidali.


258 Induttanza: l’inerzia dei circuiti

0 20 40 60 80 100

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

VC (V)

t (µs)

0 5

0.95

1

Figura 10.14: Tensione di un condensatore su una resistenza e un induttore per va-lori di resistenza intorno al valore per cui si ottiene il ‘caso critico’ di smorzamento(vedi testo). La curva tratteggiata corrisponde al caso critico; quelle ‘superiori’ (casosovrasmorzato) e ‘inferiori’ (caso sottosmorzato) hanno valori di resistenza rispetti-vamente maggiori e inferiori del 10, 20 e 30% di quella del caso critico. Il riquadroin alto a destra riporta lo zoom nei primi 5 microsecondi per mostrare come tutte lesoluzioni cominciano con derivata nulla, corrispondente a corrente nulla.

la resistenza tra +30% e −30% di quella critica. La figura mostra anche lozoom nei primi istanti della scarica per enfatizzare il fatto come inizialmentegli andamenti siano tutt’altro che esponenziali, come discusso sopra.

10.10.1 Caso sovrasmorzato

I casi sovrasmorzati corrispondenti a resistenze maggiori rispettivamente del+10% e del +30% di quella critica sono riportati in figura 10.15 con i det-tagli dei due esponenziali che contribuiscono all’andamento temporale. Perconfronto viene riportato, come ottima approssimazione del caso limite perR molto grande, l’andamento in cui la resistenza vale dieci volte la resisten-za critica. Si noti come il caso piu vicino a quello critico, indicato in figuracon “Rc × 1.1”, abbia k1 e |k2| maggiori dei corrispondenti coefficienti delcaso con resistenza superiore. Per R = 10 × R0 il coefficiente negativo k2 epraticamente nullo, k1 praticamente unitario e l’andamento sembra un perfet-to esponenziale (ma basta zoomare per controllare che all’origine la derivatae nulla). Si nota inoltre che per R grande lo smorzamento e piu lento, nono-stante l’aggettivo ‘sovrasmorzato’ potrebbe far pensare che tanto maggiore e ildiscriminante dell’equazione algebrica associata, quanto maggiore e lo smor-zamento. Infatti si puo facilmente provare che nel limite di R molto grande


10.10 Applicazioni al circuito RCL 259

0 10 20 30 40 50 60 70

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

VC (V)

t (µs)

Rc × 1.1

Rc × 1.1

Rc × 1.3

Rc × 1.1

Rc × 10

0 10 20 30 40 50 60 70

−0.3

5−0

.25

−0.1

5−0

.05

I(mA)

t (µs)

Rc × 1.1

Rc × 1.3

Rc × 10

Figura 10.15: In alto: casi sovrasmorzati con resistenze maggiori del 10% e del30% di quella critica in cui sono stati graficate (puntinate quelle negative e tratteggiatequelle negative) le due esponenziali di cui la soluzione fisica e sovrapposizione. Perconfronto viene riportato anche il caso di R = 10RC , dall’andamento praticamenteesponenziale (sembra rettilineo in quanto la sua costante di tempo e molto grande,valendo circa 200µs). Il grafico in basso riporta le correnti corrispondenti.


10.10 Applicazioni al circuito RCL 261

0 50 100 150 200

−0.5

0.0

0.5

1.0

0 50 100 150 200

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

t (µs)

t (µs)

VC (V)

I (mA)

Rc/10

Rc/10

Figura 10.16: Tensioni ai capi del condensatore e correnti che fluiscono nel circuitoper il caso critico (curve tratteggiate) e quello sottosmorzato al diminuire della resi-stenza (in unita della resistenza critica e a mano a mano che ci allontaniamo dal casocritico e quindi le oscillazioni si spengono piu lentamente: 0.9, 0.7, 1/2, 1/5, 1/10.).


10.11 Energia di un oscillatore smorzato 263

0 50 100 150 200

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0 50 100 150 200

01

23

45

t (µs)

t (µs)

P (mW)

E (nJ)

Figura 10.17: Potenza dissipata per effetto Joule (grafico superiore) ed energiaresidua nell’oscillatore RCL (grafico inferiore) in funzione del tempo (vedi testo)


266 Induttanza: l’inerzia dei circuiti

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

−0.5

0.0

0.5

1.0

VC (V)

t (ms)

Q = 50

Figura 10.18: Oscillazioni sottosmorzate con fattore di merito 5, 10 e 50, a cui cor-rispondono η di 0.28, 0.53 e 0.88 (da cui n0 di 0.8, 1.6 e 8.0). Nei casi di Q di 10e 50 sono state anche sovraimposte le curve che indicano lo smorzamento esponen-ziale delle ampiezze con costanti di tempo di, rispettivamente, 0.20 ms e 1.0 ms. (Sinotino come le diverse oscillazioni sono caratterizzate da pseudoperiodi praticamenteidentici.)

2π/ω0. Indicando tale costante di tempo ‘energetica’ con τE , abbiamo quindi

τE ≈ n0

2π

ω0

(10.148)

≈ 1

γ=

τ

2, (10.149)

come ci si poteva attendere: la costante di tempo della decrescita energetica epari alla meta di quella della decrescita delle ampiezze, semplicemente perchel’energia all’n-ma oscillazione e proporzionale al quadrato della tensione delcondensatore. Quindi per l’energia abbiamo:

E(n) ≈ E0 e−tn/τE = E0 e

−γ tn , (10.150)

ove tn rappresenta il tempo per arrivare fino al termine dell’n-ma oscillazionecompleta, che per le nostre approssimazioni vale circa nT0, o n (2π/ω0).

Concludiamo dando l’espressione di Q in funzione dei parametri del pro-


11.5 Corrente nel circuito e tensione ai capi di R 287

0 1 2 3 4

−10

−50

510

0 1 2 3 4

−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

0 1 2 3 4

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

V

V

Vin(t)

V(1)out (t)

V(2)out (t)

t/T0

t/T0

t/T0

Figura 11.6: Esempio di sovrapposizione di segnali sinusoidali (in alto) filtrata dapassa banda con due diversi fattori di merito (al centro Q = 20 e in basso Q = 100).La scala temporale e pari al periodo della sinusoide di frequenza uguale a quella dirisonanza del circuito.


11.10 Potenza in corrente continua usando il metodo simbolico 295

0 10000 20000 30000 40000

0.2

0.5

1.0

2.0

5.0

10.0

20.0

50.0

100.

0

0 10000 20000 30000 40000

0.2

0.5

1.0

2.0

5.0

10.0

20.0

50.0

100.

0

ν (Hz)

ν (Hz)

AL

AC

ν0

ν0

Figura 11.9: Ampiezza relativa di tensione ai capi di L (10 mH) e di C (10 nF) perdiversi valori della resistenza, in ordine dalle curve piu piccate intorno alla frequenzadi risonanza alle piu larghe: 10, 50, 100, 200, 500 e 1000Ω. (Le ordinate in scalalogaritmica per tener conto dei vari ordini di grandezza.)


296 RCL in regime sinusoidale

1e+03 2e+03 5e+03 1e+04 2e+04 5e+04 1e+05 2e+05

1e−0

21e

−01

1e+0

01e

+01

1e+0

2

1e+03 2e+03 5e+03 1e+04 2e+04 5e+04 1e+05 2e+05

1e−0

21e

−01

1e+0

01e

+01

1e+0

2

ν (Hz)

ν (Hz)

AL

AC

Figura 11.10: Come 11.9, con scale log-log per mostrare gli andamenti asintotici.


11.10 Potenza in corrente continua usando il metodo simbolico 297

1e+03 2e+03 5e+03 1e+04 2e+04 5e+04 1e+05 2e+05

1e−0

21e

−01

1e+0

01e

+01

1e+0

2

ν (Hz)

A

ν0/νν/ν0

ν20/ν2ν2/ν20

Figura 11.11: Visione d’insieme dei due grafici di figura ??, con l’aggiunta del-le ‘semirette’ (in scala log-log!) degli gli andamenti asintotici che mostrano lecaratteristiche di filtro passa alto e passa basso (vedi testo).


298 RCL in regime sinusoidale

1e+03 2e+03 5e+03 1e+04 2e+04 5e+04 1e+05 2e+05

0.00

20.

005

0.02

00.

050

0.20

00.

500

ν (Hz)

1/√2

AR

Figura 11.12: Grafico log-log dell’attenuazione della tensione ai capi dellaresistenza.

�ZA B

�V

�I

+ −

Figura 11.13: Generico dipolo, costituito internamente da resistori, condensatori einduttori disposti in qualsivoglia configurazione.


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