5 Rango di una matrice

Definizione 5.1 (Spazio delle righe di A) Data una matrice A, si definisce spazio delle righedi A il sottospazio vettoriale generato dai vettori riga di A.

Definizione 5.2 (Spazio delle colonne di A) Data una matrice A, si definisce spazio delle colonnedi A il sottospazio vettoriale generato dai vettori colonna di A.

Esempio 5.1 Data la matrice

A =

(1 0 00 1 0

)lo spazio delle righe di A e l’insieme delle terne della forma:

α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) = (α, β, 0).

Lo spazio delle colonne e l’insieme di tutti i vettori della forma:

α

(10

)+ β

(01

)+ γ

(00

)=

(00

)

Definizione 5.3 (Rango delle righe di A) Data una matrice A di tipo m× n, si definisce rangodelle righe di A la dimensione dello spazio delle righe di A.

Definizione 5.4 (Rango delle colonne di A) Data una matrice A di tipo m×n, si definisce rangodelle colonne di A la dimensione dello spazio delle colonne di A.

Osservazione 5.1 Il rango per righe di una matrice puo anche essere definito come il numero massimodi vettori riga linearmente indipendenti contenuti in A. Cio in quanto la dimensione dello spazio dellerighe di A corrisponde al massimo numero di vettori linearmente indipendenti tra i vettori (riga) chegenerano lo spazio delle righe di A.

Analogamente, il rango per colonne di una matrice puo anche essere definito come il numero mas-simo di vettori colonna linearmente indipendenti contenuti in A.

Teorema 5.1 Data una matrice A di tipo m×n, il rango delle righe e uguale al rango delle colonne.Possiamo pertanto parlare di rango della matrice A, che viene indicato con rk(A).

Osservazione 5.2 (Proprieta del rango) Valgono le seguenti proprieta:

• Se A e una matrice di tipo m× n, il rango di A e rk(A) ≤ min{m,n} .

• Se A e una matrice di tipo m× n e di rango rk(A) = p, allora A possiede m− p righe ed n− pcolonne che sono combinazioni lineari delle precedenti.

• La matrice nulla di tipo m× n ha rango 0.

• Date due matrici A e B conformabili, e possibile provare che rk(AB) ≤ min{rk(A), rk(B)}.

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• Se A e una matrice ed M una sua sottomatrice, allora rk(M) ≤ rk(A).

Si ricordi che due matrici si dicono equivalenti per righe se e possibile ottenerne una effettuandouna sequenza finita di operazioni elementari sulle righe dell’altra.

La proposizione che segue e utile per il calcolo del rango di una matrice.che segue puo essere riformulato dicendo che le operazioni elementari su una generica matrice non

ne alterano il suo spazio delle righe, e dunque il rango resta invariato.

Teorema 5.2 (Spazio delle righe di matrici equivalenti per righe) Se le matrici Ae B sonoequivalenti per righe, lo spazio delle righe di A e lo spazio delle righe di B sono uguali.

dimostrazione. Siano A e B due matrici equivalenti per righe. Poiche B e una matrice equivalenteper righe ad A, allora possiamo ottenere B a partire da A attraverso una sequenza finita di operazionisulle righe. Quindi i vettori riga di B sono combinazioni lineari dei vettori riga di A ed appartengonotutti allo spazio delle righe di A. Ne consegue che lo spazio delle righe di B e un sottospazio dellospazio delle righe di A.

Ma anche A, essendo equivalente per righe a B, puo essere ottenuta da A attraverso una sequenzafinita di operazioni elementari (inverse) sulle righe. Quindi i vettori riga di A sono combinazioni linearidei vettori riga di B ed appartengono tutti allo spazio delle righe di B. Ne consegue che lo spaziodelle righe di B e un sottospazio dello spazio delle righe di A.

Ma se lo spazio delle righe di B e un sottospazio dello spazio delle righe di A e viceversa allora sipuo concludere che lo spazio delle righe di A e lo spazio delle righe di B coincidono.

Corollario 5.1 (Rango di matrici equivalenti per righe) Siano A e B due matrici equivalentiper righe. Allora rk(A) = rk(B).

dimostrazione. Poiche A e B sono equivalenti per righe, per il toerema precedente avranno lo stessospazio delle righe e, di conseguenza la dimensione dello spazio delle righe di A, rk(A), sara uguale alladimensione dello spazio delle righe di B, rk(A).

Il teorema precedente ci suggerisce di utilizzare l’algoritmo di eliminazione di Gauss per il calcolodel rango di una matrice: infatti, basta trasformare la matrice di partenza A in una matrice a scalaper righe B. Dal teorema segue che rk(B) = rk(A); la speciale struttura a scala di B consente unimmediato calcolo del rango.

Teorema 5.3 (Calcolo del rango di una matrice a scala per righe) Sia B una matrice a scalaper righe. Il rango di B e dato dal numero di righe non nulle.

Dimostrazione Se A e una matrice a scala, le sue righe non nulle formano un insieme di vettorilinearmente indipendenti, in quanto nessuno dei vettori riga puo essere ottenuto come combinazionelineare dei restanti (la dimostrazione di quest’affermazione e lasciata al lettore).

Esempio 5.2 Studiamo il rango della seguente matrice, al variare di k in R:

A =

1 k −1 22 2 −2 2k1 1 −k 2k

.

Per calcolare il rango della matrice A e necessario ridurla. Una possibile riduzione per righe e la

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seguente:

A =

1 k −1 22 2 −2 2k1 1 −k 2k

R2→R2−2R1−→

1 k −1 20 2− 2k 0 2k− 41 1 −k 2k

R3→R3−R1−→

1 k −1 20 2− 2k 0 2k− 40 1− k −k + 1 2k− 2

R2↔R3−→

1 k −1 20 1− k −k + 1 2k− 20 2− 2k 0 2k− 4

Dall’espressione dell’ultima matrice, si deduce facilmente che per k = 1 la riga R2 si annulla

completamente e dunque rk(A) = 2. Per ogni k 6= 1, invece, rk(A) = 3.

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