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Matrici e sistemi Matrici invertibili

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Matrici e sistemi

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Sistemi lineari

InvertibilitàMatrici elementariCriteri di invertibilitàSistemi quadrati e Teorema di Cramer



Matrici invertibili

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Date comunque A e B matrici quadrate in ordine n, la coppia (A, B ) è moltiplicabile e quindi il prodotto tra matrici è una operazioni interna di Mn. Osservazione. Se n > 1 (M1 = ), il prodotto non è commutativo. Per esempio

Prodotto tra matrici quadrate

1 1 1 1 2 1 1 1,

0 0 0 1 0 0 1 1A B AB BA

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⇒ = ≠ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

K



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Esistenza dell’inverso (1/2)

Un’altra proprietà del prodotto che per n > 1 non vale più è l’esistenza dell’inverso: se α ∈ , α ≠0, sappiamo che esiste il numero α-1 (inverso o reciproco di α) tale che αα-1 = 1. Consideriamo il seguente esempio:

K

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Esistenza dell’inverso (2/2)

otteniamo x + z = 1 e 2(x + z) = 0, il che èassurdo.

1 1Sia . Se , ponendo

2 2x y

A Bz t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 02( ) 2( ) 0 1

x y y tAB

x z y t+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠



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Definizione di matrice invertibile

Una matrice quadrata A ∈ Mn si dice invertibile se esiste B ∈ Mn tale che AB = BA = In . Altrimenti A si dice non invertibile o singolare.

Il sottoinsieme di Mn formato dalle matrici invertibili di ordine n viene indicato con GLn; se ènecessario specificare il campo di numeri si scrive GLn (R) oppure GLn (C).

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Esempio (1/2)

otteniamo x = ½, z = -½, y = t = ¼.

1 1Sia . Se , ponendo

2 2x y

A Bz t

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 02( ) 2( ) 0 1

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x z y tAB

x z y t



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Esempio (2/2)

Si verifica subito che se

BA = AB = In e dunque A è invertibile.

1 12 41 12 4

B

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

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Unicità e matrice inversa

Se A è invertibile, la condizione che B commuti con A assicura che B è unica.Date infatti B1 e B2 tali che ABi = Bi A = In per i = 1, 2, si ha:

B1 =B1In = B1 (AB2) = (B1A)B2 = InB2 = B2 .

Quindi esiste una sola matrice B tale AB = BA = In; chiamiamo tale matrice la matrice inversa di A e la denotiamo con A-1.



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Proprietà inversa (1/2)

Sia A ∈ GLn, valgono le seguenti proprietàverificabili direttamente:

1) A-1 ∈ GLn e (A -1)-1 =A.2) Se B ∈GLn, AB ∈ GLn e (AB )-1 =B-1 A-1.3) Se α ∈ , α ≠ 0, allora αA ∈ GLn e (αA)-1 = α-1

A-1.4) tA ∈ GLn e (tA )-1 = t (A-1).

K

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Osservazioni

In è invertibile con In-1 = In mentre O ∈Mn è

singolare Infatti InIn = In mentre OB = O≠ In per ogni B ∈Mn.Possiamo così vedere che la somma di matrici invertibili non è in genere invertibile: per esempio, -In è invertibile per la proprietà (3), ma In + (-In) = O.



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Matrici con righe o colonne nulle (1/2)

Se una matrice A ∈ Mn ha una riga o una colonna nulla (formata solo da zeri), allora A è singolare.Infatti, se A ha per esempio la riga [A ]i = O, per ogni B ∈ Mn il prodotto AB ha l’elemento della diagonale principale [AB ]i,i = [A ]i[B ]i = 0: quindi non può essere uguale a In che ha tutti 1 su tale diagonale. Analogamente, se A avesse una colonna nulla avremmo BA ≠ In per ogni B.

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Matrici con righe o colonne nulle (2/2)

Attenzionenon vale il viceversa! Per esempio la matrice non ha righe né colonne nulle ma come abbiamo visto è singolare.

1 12 2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠



Matrici invertibili

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Definizione di matrice elementare

Data una matrice A ∈ Mn, si può determinare se A è invertibile e, in caso affermativo, calcolare A-1

applicando il metodo di riduzione. Una matrice elementare E in Mn è una matrice ottenuta da In con una OE, detta OE associata a E. Viceversa diremo che E è la matrice elementare associata a OE.Dalla definizione precedente segue che vi sono tre tipi di matrici elementari, a seconda dell’OE effettuata.



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Esempi

n = 2

I tipo:

II tipo:

III tipo:

(1) 2(2)

2 1

(1) (2)

2 2

3(1)

2 3

1 0 1 20 1 0 1

1 0 0 10 1 1 0

1 0 3 00 1 0 1

I E

I E

I E

+

→

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

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Matrici elementari e OE (1/2)

La proprietà fondamentale delle matrici elementari e la seguente: siano A, A’, ∈ Mm,n e supponiamo che A’ sia ottenuta da A con una operazioni elementare OE. Se E è la matrice elementare associata a OE,allora A’ = EA.



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Matrici elementari e OE (2/2)

Ovviamente per effettuare una OE conviene eseguirla direttamente piuttosto che moltiplicare per la matrice elementare associata. L’interesse delle matrici elementari risiede nel fatto che esse permettono di provare importanti criteri di invertibilità e di calcolare esplicitamente l’inversa di una matrice se esiste.

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Data abbiamo, riferendoci agli esempi

precedenti

Esempi

2 13 0

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1

2

3

1 2 2 1 8 11) '

0 1 3 0 0 1

0 1 2 1 3 02) '

1 0 3 0 2 1

3 0 2 1 6 32) '

0 1 3 0 3 0

E A A

E A A

E A A

− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



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Invertibilità delle matrici elementari

Le matrici elementari sono invertibili con inversa una matrice elementare dello stesso tipo. Infatti se E è una matrice elementare, consideriamo l’OE inversa di quella associata a E e la matrice elementare E’ associata a OE: allora E’E = EE’ =In.Esempio

1 1 11 2 3

11 2 0 1 0, , 3

0 1 1 0 0 1E E E− − −

⎛ ⎞− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Matrici invertibili



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Invertibilità e equivalenza per righe

Se A ∈ Mm,n è non nulla, per il Teorema di Riduzione abbiamo che esistono matrici elementari E1,……,Eq tali che

Il prodotto di matrici invertibili è invertibile, quindi vale:

A ∈ GLn se e solo se Asrn ∈ GLn.

1 1 11 1 1 2, cioè srn q q q srnA E E E A A E E E A− − −−= =… …

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Criterio della Forma srn

Se A ∈ Mn, allora

A ∈ GLn se e solo se Asrn = In.In tal casoEqEq-1…E1 A = Asrn= In , implica A-1 = EqEq-1…E1

Infatti una matrice srn quadrata di ordine n o ha righe nulle (e quindi è singolare) o è la matrice In.



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Criterio del rango

Se A ∈ Mn, A ∈ GLn se e solo se r (A ) = n.

Deriva dal Criterio della Forma srn. Infatti r (A ) = nse e solo se Asrn non ha righe nulle, quindi se e solo se Asrn = In.

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Calcolo dell’inversa

Per riduzione possiamo verificare se una matrice A ∈ Mn è invertibile e, in caso affermativo, calcolare nel contempo l’inversa.Infatti se effettuando le stesse OE su A e In otteniamo Asrn = In, allora A ∈GLn e la trasformata di In è A-1; se invece Asrn ha una riga nulla allora A è singolare.



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Esempio (1/2)

1 0 1Se 2 1 1

1 1 1A

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 0 1 | 1 0 02 1 1 | 0 1 01 1 1 | 0 0 1

−⎛ ⎞⎜⎜⎜⎝ ⎠

1 0 1 | 1 0 00 1 3 | 2 1 00 1 2 | 1 0 1

−⎛ ⎞⎜ −⎜⎜ −⎝ ⎠

(2) 2(1),(3) (1)− −

→(3) (2)−

→

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Esempio (2/2)

1 0 1 | 1 0 00 1 3 | 2 1 00 0 1 | 1 1 1

−⎛ ⎞⎜ −⎜⎜ − −⎝ ⎠

1 0 0 | 0 1 10 1 0 | 1 2 30 0 1 | 1 1 1

−⎛ ⎞⎜ −⎜⎜ − −⎝ ⎠

(1) (3),(2 ) 3(3)− +

→

1

0 1 1Dunque e 1 2 3 .

1 1 1nA GL A−

−⎛ ⎞⎜ ⎟∈ = −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠



Matrici invertibili

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Sistemi quadrati (1/3)

Se S : AX = B è un sistema con matrice dei coefficienti A quadrata di ordine n, diciamo che S è un sistema quadrato. Esempio

cioè1

: 2 02

− =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

x zS x y z

x y z

1 0 1 1: 2 1 1 0

1 1 1 2

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

xS y

z



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Osserviamo ora che la matrice A dei coefficienti del sistema S : AX = B precedente è invertibile e che

Se X0 è soluzione di S allora AX0 = B, quindi necessariamente X0 = A-1B. Viceversa A-1B èsoluzione di S.

1

0 1 11 2 31 1 1

−

−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

A

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Dunque S è determinato e l’unica soluzione è data da

Le considerazioni ora fatte ci portano al seguente teorema:

0 1 1 1 21 2 3 0 71 1 1 2 3

− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠



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Teorema di Cramer

Sia A ∈ Mn. A è invertibile se e solo se per ogni B∈ il sistema quadrato AX = B è determinato. In tal caso l’unica soluzione X0 ∈ di S è data da X0 = A-1B.

nKnK

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