Sviluppi del rischio di mercato

Giampaolo Gabbi

Value at Risk (VaR)

• Data la distribuzione delle variazioni future di valore del portafoglio (V) associate ad un dato orizzonte temporale, il VaR risponde alla domanda: qual è la perdita minima che posso attendermi, con una probabilità p?

– Ad esempio, il VaR può dirmi che, su un orizzonte di un giorno, con probabilità p=5% (una volta su venti) posso attendermi una perdita almeno di 2.000 euro

V

5%

-2.000

Nota: il VaR è di solito definito “al livello di confidenza 1-p%”

(qui: al 95%), per sottolineare che “copre” il 1-p% dei casi

Value at Risk (VaR)• In termini matematici il VaR

dipende dal p-esimo percentile (Vp) della distribuzione delle V– J.P. Morgan lo definisce

semplicemente come tale percentile

– Più spesso, si definisce VaR la distanza tra tale percentile e la media della distribuzione

– Nel metodo parametrico, poiché le variazioni dei fattori di rischio hanno media nulla e V è una loro combinazione lineare, V è per definizione 0, e le due definizioni coincidono.

VVp

JPM

noi

( )

max ( )

p V p V

p

p

VaR V V

V x prob V x p

V x prob V x p

Digressione: la scelta di p e del livello di confidenza

• Qual è il valore “giusto” di p: 1%, 5%, 0,0001%?– Dipende

• Possiamo pensare al VaR come alla quantità di capitale che la banca deve detenere per “resistere” al 1-p% delle possibili perdite senza fallire– VaR come “economic capital”

• Banche più avverse al rischio, o desiderose di avere un migliore rating, vogliono detenere più capitale– scelgono livelli di confidenza maggiori

• Se voglio un rating “R”, p dovrebbe essere in linea con la frequenza di default registrata su società con rating “R”– Es. la frequenza di default per le società “BAA3” è storicamente

circa lo 0,70%– La banca che vuole rating “BAA3” adotterà un livello confidenza

circa del 99,3%

Esempio: rating, frequenze di default, livelli di confidenza

Classe di rating Moody’s Probabilità di insolvenza a 1 anno Livello di confidenza Aaa 0,001% 99,999%

Aa1 0,01% 99,99%

Aa2 0,02% 99,98%

Aa3 0,03% 99,97%

A1 0,05% 99,95%

A2 0,06% 99,94%

A3 0,09% 99,91%

Baa1 0,13% 99,87%

Baa2 0,16% 99,84%

Baa3 0,70% 99,30%

Ba1 1,25% 98,75%

Value at Risk (VaR)

• Il metodo seguito per stimare la distribuzione di V non impatta sul concetto di VaR– Naturalmente, il valore del VaR sarà

diverso, perché le stime di Vp e saranno diverse

• Cfr. ad esempio la distribuzione storica: per isolare il 5% peggiore serve un valore di V più basso

– Inoltre, nel caso del metodo parametrico con fattori normali, è possibile calcolare il VaR con una scorciatoia…

% casi

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

-60

7

-54

3

-47

9

-41

5

-35

1

-28

8

-22

4

-16

0

-96

-32

32

96

16

0

22

4

28

8

35

1

41

5

47

9

54

3

60

7

Variazioni di valore del portafoglio (euro, valore centrale)

% d

i cas

i

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

-60

7

-54

3

-47

9

-41

5

-35

1

-28

8

-22

4

-16

0

-96

-32

32

96

16

0

22

4

28

8

35

1

41

5

47

9

54

3

60

7

Variazioni di valore del portafoglio (euro, valore centrale)

% d

i cas

i

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

-60

7

-54

3

-47

9

-41

5

-35

1

-28

8

-22

4

-16

0

-96

-32

32

96

16

0

22

4

28

8

35

1

41

5

47

9

54

3

60

7

Variazioni di valore del portafoglio (euro, valore centrale)

% d

i cas

i

Par

amet

rica

Mo

nte

carl

oS

tori

ca

Calcolo del VaR con metodo parametrico

• Se adottiamo l’approccio parametrico, dunque– il VaR può essere calcolato rapidamente, nota la deviazione

standard delle variazioni di valore• i valori di zp si trovano sui libri di statistica

e sono calcolabili con moltissimi software

– il VaR può essere scomposto facilmente, perché tutte le scomposizioni della deviazione standard si applicano al VaR, a meno di una costante zp

VppVp zVVVaR

“Il percentile xp di qualunque distribuzione normale a media nulla si ottiene moltiplicando la sua deviazione standard x per il

corrispondente percentile zp della distribuzione normale standard”

VaR con metodo parametrico: esempi

Se ci interessa il VaR al 99% (p=1%) cerchiamo su un libro di statistica z1% (o, in Excel, INV.NORM.ST(0,01)), che vale -2,33

Portafoglio con 1000 azioni Intesa e 500 azioni Fiat al 28.12.03

49V 1144933,2 VpzVaR “Nel 99% dei casi, la perdita (tra una settimana) non supererà i 114 cents”

Portafoglio con un’azione Vodafone (in sterline) al 28.12.03

192V 446192)33,2( VpzVaR “Nel 99% dei casi, la perdita (tra una settimana) non supererà i 446 euro”

Due bond a 2 anni, nominale 100, con cedola 6% e 0%

4V 10433,2 VpzVaR “Nel 99% dei casi, la perdita (tra una settimana) non supererà i 10 cents”

Scomposizione del VaR:VaR marginale e incrementale

• Il VaR dell’intera banca, o di un intero grande portafoglio, è un numero sintetico, ma opaco

• Nasce l’esigenza di capire il contributo di singoli titoli o sottoportafogli al VaR totale

• A tal fine, si introducono le misure di– VaR marginale della posizione i:

• incremento che il VaR conosce quando la posizione i viene aggiunta al resto del portafoglio della banca

– VaR incrementale della posizione i: • incremento che il VaR conosce quando una quantità infinitesima

della posizione i (un cent) viene aggiunta al portafoglio della banca.

• Il calcolo di VaR marginale e incrementale è sensibilmente più rapido se si adotta l’approccio parametrico.

L’Expected Shortfall

• E’ definito come la media delle perdite inattese (cioè in più oltre il valore atteso ) superiori al VaR

• In simboli:

VaRVVEES

• Dal punto di vista economico, posso vederlo come– Il VaR, più il costo che le autorità di vigilanza dovrebbero

sostenere per salvare la banca (ripianando le sue perdite) se il suo capitale (fissato pari al VaR) non fosse sufficiente

– Il VaR, più il costo (risk neutral) che la banca dovrebbe sostenere se volesse assicurarsi contro perdite superiori al VaR

VaRVVEES VV

• Se =0, si semplifica in:

L’Expected Shortfall / 2

• E’ una misura di rischio alternativa al VaR• Risponde ad alcuni limiti del VaR

– Il VaR trascura la dimensione delle perdite oltre il livello di confidenza fissato

• Ad esempio mi dice che solo nel 1% di casi rischio di perdere più di 446 euro

• Già, ma quanto devo aspettarmi di perdere in questo 1% di casi?

– Il VaR è una misura di rischio non coerente• In particolare, non rispetta

il principio di subadditività – “Il rischio di una somma di più sottoportafogli è minore o uguale

della somma dei rischi dei singoli sottoportafogli”

Dimensione delle perdite oltre il livello di confidenza: esempio

Percentile Portafoglio A Portafoglio B0,0% -150.000 -60.0000,2% -120.000 -56.0000,4% -100.000 -55.0000,6% -70.000 -53.0000,8% -60.000 -51.0001,0% -50.000 -50.0001,2% -48.000 -45.0001,4% -45.000 -40.0001,6% -42.000 -35.0001,8% -40.000 -30.0002,0% … …VaR al 99% .50000 .50000Expected Shortfall al 99% -100.000 -55.000

Variazioni di valore

Nota: per semplicità, V=0

Il VaR rende identico il rischo di questi due portafogli, che invece hanno rischi estremi assai diversi:

“Coerenza” delle misure di rischio(Artzner, Delbaen, Eber e Heath)

• Invarianza alle traslazioni– l’aggiunta al portafoglio di una quantità di contante riduce il

rischio del medesimo ammontare• Omogeneità positiva di grado uno

– Se raddoppiamo la dimensione di ogni posizione, raddoppia anche il rischio del portafoglio.

• Monotonicità– Se le perdite sul portafoglio A sono maggiori di quelle sul

portafoglio B in ogni possibile scenario futuro, allora il rischio del portafoglio A dev’essere maggiore di quello del portafoglio B

• Subadditività– Il rischio di una somma di più sottoportafogli è minore o uguale

della somma dei rischi dei singoli sottoportafogli

)()()( YRiskXRiskYXRisk

Mancata coerenza (subadditività) del VaR: esempio

Chi detenesse i due titoli disgiuntamente, riterrebbe di avere un rischio di 9,3 euro (VaR al 99%) o di 29,3 euro (ES al 99%).

Poiché i due titoli sono indipendenti (fattori di rischio diversi e incorrelati), detenerli congiuntamente deve condurre a un rischio non

maggiore rispetto a 2xVaR (18,6) o a 2xES (58,6). E’ vero?

Probabilità Titolo A Titolo B1% -29,3 -29,34% -9,3 -9,395% 0,7 0,7

0,0 0,0VaR al 99% 9,3 9,3ES al 99% 29,3 29,3

Variazioni di valore future ( V)

Due titoli simili, ma indipendenti:

Mancata coerenza (subadditività) del VaR: esempio

Portafoglio con due titoli indipendenti:

-29,3 -9,3 0,71% 4% 95%

-29,3 -58,6 -38,6 -28,61% 0,01% 0,04% 0,95%

-9,3 -38,6 -18,6 -8,64% 0,04% 0,16% 3,80%

0,7 -28,6 -8,6 1,495% 0,95% 3,80% 90,25%

Titolo B

Tit

olo

A

ProbabilitàProbabilità

cumulata Valore

0,01% 0,01% -58,60,08% 0,09% -38,61,90% 1,99% -28,60,16% 2,15% -18,67,60% 9,75% -8,6

90,25% 100,00% 1,4

-28,6-40,8

VaR al 99%ES al 99%

Il VaR non è subadditivo!!!

Mancata coerenza (subadditività) del VaR

• Nella pratica, le situazioni in cui il VaR non è subadditivo si verificano abbastanza raramente

• In particolare, ogni volta che ha senso utilizzare l’approccio parametrico, e cioè data la:– normalità dei fattori di rischio– linearità del legame tra fattori e valore del portafoglio

• …allora il VaR è semplicemente un multiplo della deviazione standard, e poiché quest’ultima è subadditiva, anche il VaR è sempre subadditivo.

• Inoltre il VaR ha numerosi vantaggi (v. oltre)• Per questo il VaR rimane la misura di rischio più utilizzata

– i modelli à la RiskMetrics sono comunemente chiamati “modelli VaR per i rischi di mercato”.

Applicazioni e vantaggi del VaR

• Introduzione di un linguaggio comune tra i diversi “desk” che seguono mercati diversi

• Introduzione di un sistema di limiti di rischio omogeneo e sensibile alle condizioni di mercato

• Misurazione delle risk-adjusted performance (RAPM):– ex ante: per finalità di budget e pianificazione– ex post: per finalità di controllo di gestione

Un linguaggio comuneIl profilo di rischio di due posizioni

BTP Opzione Call su USDPrezzo 100 EUR/USD spot 1Nominale EUR 100.000 Notional USD 100.000Scadenza 10 anni Valore di mercato EUR 5.407Cedola 6% Scadenza 1 annoModified Duration 7,36 Strike 1Modified Convexity 69,74 Volatilità implicita 10%Yield to Maturity 6% Delta 0,5

150.4%25,033,22

74,69%25,036,733,2000.100 2

BTPVaR

Il profilo di rischio di due posizioniBTP Opzione Call su USD

Prezzo 100 EUR/USD spot 1Nominale EUR 100.000 Notional USD 100.000Scadenza 10 anni Valore di mercato EUR 5.407Cedola 6% Scadenza 1 annoModified Duration 7,36 Strike 1Modified Convexity 69,74 Volatilità implicita 10%Yield to Maturity 6% Delta 0,5

640720.7360.8%10;1%47,10;035,1);(; 11. CCSCSCVaR ttttOPZ

Posizione cortaPosizione lunga

Per il Btp uso il metodo delta-gamma e la deviazione standard dello yield to maturity:

Esempi di calcolo:

Per la call uso le simulazioni Montecarlo e la full valuation:

VaR: 640VaR: 4.150

Limiti di rischioPortafoglio Limite di VaR Limite di esposizioneBTP 100.000 17.194.333Bot … …Futures … …… … …

Limiti di posizione della Tesoreria Titoli

ypVp VDMzzVaR

yp DMz

VaRV

• Immaginiamo di calcolare il VaR sui Btp con:– approssimazione delta normal– un solo fattore di rischio (yield to maturity).

• Allora;

• …da cui

Limiti di rischio / 2

333.194.170004,025,633,2

000.100

V

• Se il limite di VaR (al 99%) è 100.000 euro, il portafoglio ha duration modificata 6,25 anni e la volatilità del fattore di mercato (y) è 4 basis points, il massimo ammontare di Btp detenibile in portafoglio è:

• Se il mercato diventa più volatile, o il tesoriere allunga la duration, il limite di esposizione si riduce “automaticamente”

Portafoglio Limite di VaR Limite di esposizioneBTP 100.000 17.194.333Bot … …Futures … …… … …

Limiti di posizione della Tesoreria Titoli

Misura delle risk-adjusted performance

• Il VaR rappresenta il rischio che vogliamo/dobbiamo coprire con capitale– E’ detto anche CaR, capitale a rischio

• Possiamo usarlo per ottenere misure di redditività del capitale investito, ovvero corretta per il rischio

• Può trattarsi di – previsioni

• utili attesi, CaR (VaR) stimato in base alla composizione di portafoglio iniziale

– rendicontazioni• utili effettivi, CaR (VaR) calcolato in base alla composizione di portafoglio

tenuta nel corso dell’esercizio passato

anteexanteex CaR

UERAROC

)(

postexpostex CaR

URAROC

Esempio di misura delle performance “risk-adjusted”

Portafoglioobbligazionario

Portafoglioazionario

Valore di mercato 100 100Utile mensile 2 5Redditività 2,00% 5,00%Sensibilità (durationmodificata media e beta)

5,5 1

Volatilità mensile (tassi eindice azionario)

0,4% 6,5%

Fattore scalare 2,3 2,3VaR(99%) 5,06 14,95RAROC 39,53% 33,44%