4. Metodi di analisi · 2020. 11. 20. · Metodo generale per l’analisi circuitale Il circuito ha...

4. Metodi di analisi

Dipartimento di Ingegneria dell’Energia Elettrica e dell’Informazione «Guglielmo Marconi»

B

J

ElettrotecnicaCorso del CdL in Ingegneria elettronica per l’energia e l’informazione ed in Ingegneria biomedicaAnno Accademico 2020/2021

2

Ø Equazioni topologiche (r equazioni)

(LKC: n-1 equazioni)

(LKT: r-n+1 equazioni)

Ø Equazioni degli elementi (r equazioni)Il numero di queste equazioni corrisponde al numero dei rami. Esse sono il modello del legame i-v di ogni ramo, ciascuno corrispondente ad un elemento.

Il problema dell’analisi circuitale consiste nella ricerca dello stato degli r rami del circuito, dato dale r coppie i-v di ogni ramo. Il problema è quindi di 2r incognite. Esse sono legate dalle r equazioni topologiche (n-1 ottenute dalla LKC e r-n+1 dalla LKT) e dalle r equazioni degli elementi circuitali.

Circuito con n nodi ed r rami

åå

=

=

m r

n r

0v0i

Metodo generale per l’analisi circuitale


3

i1 + i3 + i4 - i6 = 0i2 - i3 - i4 + i5 = 0i6 - i5 = 0- v1 + v2 + v3 = 0- v1 + v2 + v4 = 0v1 - v2 + v5 + v6 = 0

v1 = V0v2 = R2 i2v3 = R3 i3v4 = R4i4 + V1v5 = R5i5v6 = R6i6

Eq.i topol.

Eq.i elem.

Esempio

B=C

H=G=E=F

DA2

1

5

6

43

Graph

H = G=E = F_ _ _

A B C D

H G E F

i1

i2

i6i4

i3

i5

V0

V1R2

R6

R5

R3+-

B=C

-+

_

H=G=E=F_

R4

Metodo generale per l’analisi circuitale

Il circuito ha 6 rami e 4 nodi. Il suo stato è definito da 6 correnti di ramo e 6 tensioni di ramo ed è descritto dal modello del metodo generale d’analisi da 12 equazioni lineari: 6 eq,i topologiche (3 LKC e 3 LKT, omogenee) e 6 eq.icaratteristiche degli elementi, alcune non-omogenee). Il sistema di 12 eq.i e 12 incognite, è non-omogeneo ed ha una ed una sola soluzione.

•••

•

•

•

• • •

•• •

4

Ø Metodo generale per l’analisi circuitale:(r rami, 2r equazioni in 2r incognite)

Ø Metodo di sostituzione delle tensioni:(r rami, r equazioni in r incognite)

k0,kkk

m k

n k

ViRv

0v0i

+=

=

=

åå

Esempio di equazione di un element circutale con un resistore ed un generatore indipendente di tesione.

åå

=+

=

m k0,kk

n k

0ViR0i

(n-1) eq.i

(r-n+1) e q.i

r eq.i

(n-1) eq.i

(r-n+1) eq.i

Metodi di analisi circuitale


5

q Il metodo si basa sulle tensioni di nodo, uk (k= 1,2,..,n-1), differenze di potenziale n-1 nodi rispetto ad un nodo di riferimento (nodo di terra). Ø Si applicano le equazioni della LKC agli n-1 nodi non di riferimento (figura superiore):

i1+i2+….+ih = 0 (1)Ø Si utilizza la LKT per esprimere le tensioni di nodo attraverso le tensioni di ramo con (s = 1, 2, …, r):

vs = uk - uh (2)Ø Si utilizzano le equazioni degli elementi per esprimere le correnti di ramo per mezzo delle tensioni di ramo e quindi delle tensioni di nodo:

is = vsRs

= uk− uhRs

(3)Ø Sostituendo l’eq. 3 nell’eq. 1 si ottengono n-1equazioni in n-1 incognite (uk, con k= 1,2,..,n-1).

Metodo dei potenziali di nodo (n-1 eq.i, n-1 incogn.)

k1h

32

uh

+-vs

h k

uk0•

Questo metodo può essere utilizzato anche in corrente

alternata con tensioni e correnti espresse in fasori.Dipartimento di Ingegneria dell’Energia

Elettrica e dell’Informazione «Guglielmo Marconi»

•

••

••

••

6

Ø Le n-1 tensioni di nodo sono determinate dalla soluzione di un sistema lineare non omogeneo di n-1 equazioni. Note le tensioni di nodo si deter-minano le correnti dall’eq. 3 e le tensioni dall'eq. 2.Analisi nodale: 1. Definire il nodo di riferimento ed i nodi non

di non riferimento le n-1 tensioni dei nodi non di riferimento rispetto al nodo di riferimento.

2. Applicare la LKC a ciascun nodo di non riferimento.

3. Applicare la LKT per la relazione fra le n-1tensioni di nodi e le tensioni di ramo.

4. Esprimere le correnti di ramo in termini delle tensioni di nodo attraverso le equazioni degli elementi e sostituirle nelle equazioni delle correnti fornite dalla LKC del punto 2.

5. Risolvere le n-1 equazioni ottenute nelle n-1 tensioni di nodo incognite.

Metodo dei potenziali di nodo (n-1 eq.i, n-1 incogn.)

k1h

32

uh

+-vs

h k

uk0•

•

••

••

••

7

v1 = u1v2 = u1v3 = u2v4 = u2 - u1v5 = u1 – u2

v2 = R2 i2

v3 = R3 i3

v4 = R4 i4

i1 = - I1i5 = I2

i1 = - I1

i2 = u1 /R2

i3 = u2 /R3

i4 = (u2 - u1) /R4i5 = I2

ïïî

ïïí

ì

=--

+

=+-

-+-

0IRuu

Ru

0IRuu

RuI

24

12

3

2

24

12

2

11

îíì

=-+=+-+

0 i i i 0 i i i i

543

5421

( ) ( )( )î

íì

=++--=-+

24323413

214222142

IRRuRRuRIIRRuRuRR

2. Applicaz. LKC 3. Applicaz. LKT

4. Utilizzo eq.i elementi

ir in funzione di uk

ir espresso da uk in eq.i da LKC

Soluzione eq.i da LKC nelle incognite uk

1. Definizione del nodo di riferimento

i1

i4

i3i2

i5

I1

R4

R3R2

0

u1 u2

I2


Esempio 1: n = 3 → eq.i 2, inc. 2

••

•

8

v1 = u1v3 = u1v4 = u1v5 = u2 - u1v6 = - u2

v1 = V0 + R1 i1

v3 = R2 i3

i4 = - I0v5 = R3i5v6 = R4i6

i1 = (u1 - V0)/ R1

i3 = u1 /R2

i4 = - I0i5 = (u2-u1)/ R3

i6 = - u2/R4

îíì

==++

0 i - i0 i - i i i

65

5431

( )( )ïî

ïíì

=-+-

+=-++

0uRRuR

VRRIRRRuRRuRRRRRR

23414

032023212211213231

i1 i6i4i3

i5

V0I0

R1

R4

R3R2

+-

0

u1 u2

ïïî

ïïí

ì

=+-

=-

--++

0Ru

Ruu

0RuuI

Ru

RVu

4

2

3

12

3

120

2

1

1

01 -


Esempio 2 : n = 3 → eq.i 2, inc. 21. Definizione del nodo di rif.

2. Applicaz. LKC

3. Applicaz. LKT 4. Utilizzo eq.i elementi ir in funzione di uk

ir espresso da uk in eq.i da LKC 5. Soluzione eq.i da LKC nelle incofgnite

• ••

•

9

Nei rami di un circuito in cui sono presenti solo generatori di tensione indipendenti o controllati, non è possibile esprimere la corrente di ramo in termini della tensione. Ognuno di questi rami viene racchiuso in una superficie chiusa. La LKC viene applicata alle correnti entranti in questa superficie. Il ramo all'interno della superficie è chiamato supernodo. Come risulta dalla LKT, la tensione di questo ramo è data da:

uk-uh = V0

ïî

ïíì

==+

=++

032

5432

541

Vu-u0 i-i -i i

0 i i i

Esprimendo le 5 correnti mediante le 3 tensioni di nodo, il sistema di equazioni è dato da tre equazioni con tre incognite che sono le tensioni di nodo.

• •

i4

i2

R4

R2

0

u2 u3

i3

R3

-+

V0u1i5 R5

i1

R1

•

(nodo 1)(supernodo 2-3)(tensione di supern.)

Metodo dei potenziali di nodo


•

10

Quando uno dei due nodi di un supernodo è il nodo di riferimento, la tensione del nodo non di riferimento è data dalla tensione del generatore:

uk = V0

Alle correnti entranti in questo supernodo non viene applicata la LKC: ï

î

ïí

ì

==+-=++

02

432

541

Vu0 i i i0 i i i

•

•

i4R4

0

u2 u3

i3

R3V0

u1 i5 R5

i1

R1 +-

i2R2

Anche in questo caso le 5 correnti di ramo sono espresse mediante le 3 tensioni di nodo. il sistema risolvente è di 3 equazioni nelle 3 tensioni di nodo incognite.

(nodo 1)

(nodo 3)

(tensione di supern.)

Metodo dei potenziali di nodo

Supernodo


• •

Ramo con solo un generatore di tensione - Supernodo

11

ïïî

ïïí

ì

=-=-

=+--=++

543

21

5432

521

i9uu02uu

0 ii i i0 10-i i i

i1 = u1/2i2 = (u2-u3)/6i3 = u3/4i4 = u4/1i5 = (u1- u4)/3

ïïïï

î

ïïïï

í

ì

-=-

=-

=-

+---

=-

+-

+

3uu9uu

20uu

03uu

1u

4u

6uu

103uu

6uu

2u

4143

21

414332

41321

ïïî

ïïí

ì

=--=-

=--+=--+

0u2u3u20uu

0u8u5,2u2u60u2uu5u

431

21

4321

4321

·

i5

0

u2 u3u1

= 3Ω

i1

i3

R3=4Ω

i2

i4

R4= 1Ω

R2=6 Ω-+-+

u4

10A

3 v520V

R1=2Ω

•

•

·

2. Applicaz. LKC 3. Appl. LKT


Esempio 3: n = 5, sup. 2 → eq.i 4, inc. 4

v1 = u1v2 = u2 – u3v3 = u3v4 = u4v5 = u1 – u4

4. Eq.i elementi → ir in funzione di ukv1 = R1 i1v2 = R2 i2 v3 = R3 i3v4 = R4 i4v5 = R5 i5

R5

ir espresso da uk in eq.i da LKC

5. Soluzione eq.i da LKC in uk

• • •

12

q Il metodo si basa sulle correnti d’anello i k (k = 1,2,.., r-n+1), come variabili indipendenti del sistema risolvente. Ø Un anello è una maglia che non contiene altre

maglie al proprio interno.Ø La corrente d’anello è la corrente che scorre

nell’anello. Nella figura a lato la corrente i1 è la corrente dell’anello 1 (anello con il ramo con Vs1ed R1, e con il ramo con Vs2 ed R2). La correntei2, è la corrente dell’anello 2 (anello con il ramo con Vs1 ed R1, e con il ramo con R3).

Ø Dalla definizione di corrente d’anello deriva che:i2 = i1 – i2 (1)i1 = i1, i3 = i2

Metodo delle correnti d’anello (r-n+1 eq.i, r-n+1 inc.e)

Questo metodo può essere utilizzato anche in corrente

alternata con tensioni e correnti (di ramo e d’anello)

espresse in fasori.

i1 i2 i3

vs1 vs2

R1 R2 R3

A

B

i1 i2+-

+-

Benché sia possibile scegliere per ciascun anello il verso della corrente a pia-cere, è consigliabile scegliere sempre il verso orario.

Ø Infine si applicano per ogni anello la legge di LKT con le correnti ik scritte in termini delle correnti d’anello ik utilizzando l’eq. 1.

vs1 - R1 i1 - R2 (i1 – i2) - vs2 = 0vs2 + R2 (i1 – i2) - R3 i2 = 0

•

•

13

Ø Le r-n+1 correnti d’anello sono determinate dalla soluzione di un sistema lineare non omogeneo di r-n+1 equazioni. Note le correnti d’anello si determinano le correnti di ramo dall’eq. 1 e le tensioni dalle eq.i di ramo.

Analisi delle correnti d’anello : 1. Assegnare le r-n+1 correnti d’anello degli r-n+1 anelli. 2. Esprimere le correnti di ramo in termini delle correnti d’anello (nei rami

comuni a due anelli adiacenti la relazione ottenuta deriva dalla LKC -vedi eq. 1 della diapositiva precedente - )

3. Applicare la LKT a ciascuno degli degli r-n+1 anelli usando le equazioni di ramo per esprimere le tensioni di ramo.

4. Risolvere le r-n+1 equazioni ottenute nelle r-n+1 correnti d’anello incognite.

5. Ricavare le rimanenti variabili (correnti e tensioni di ramo).

Metodo delle correnti d’anello (r-n+1 eq.i, r-n+1 inc.e)


14

v1 - v2 = 0v2 + v4 – v3 = 0- v4 - v5 = 0

2. Corr. Ramo e Corr. Anelli (LKC)

i1 = i1i2 = i1 – i2 (LKC al nodo A)i3 = i2 i4 = i3 – i2 (LKC al nodo C)i5 = i3

3. Applicaz. LKT agli anelli

Utilizzo eq.i elementi Espressione in LKT delle Corr. Ramo con Corr. Anelli

4. Soluzione eq.i da LKC nelle incognite Corr. Anello



Esempio 1: r-n+1 = 3 → eq.i 3, inc. 3

i1 i4 i3i2

i5

V1

R4

R3R2

V2

••

•

+-

+-

i1 i2

i3

A

CB

V1 - R2 i2 = 0R2 i2 + R4 i4 – R3 i3 = 0R4 i4 – V2= 0

V1 - R2 (i1 – i2) = 0R2 (i1 – i2) + R4 (i3 – i2) – R3 i2 = 0- R4 (i3 – i2) + V2= 0

R2 i1 – R2 i2 = V1

R2 i1 – (R2 + R3 + R4) i2 + R4 i3 = 0- R4 i3 + R4 i2 = V2

15Dipartimento di Ingegneria dell’Energia Elettrica e dell’Informazione «Guglielmo Marconi»

Esempio 2 : r-n+1 = 3 → eq.i 3, inc. 3i1 i6i4i3

i5

V1V2

R1

R6

R5

R3

A

• ••

•

CB B

i1 i2 i3

v1 – v3 = 0v3 – v4 = 0v4 + v5 + v6 = 0

2. Corr. Ramo e Corr. Anelli

i1 = – i1i3 = i1 – i2i4 = i2 – i3 i5 = – i3i6 = – i3

3. Appl. LKT agli anelli

Utilizzo eq.i elementi Espressione in LKT delle Corr. Ramo con Corr. Anelli

4. Soluzione eq.i da LKC nelle incognite Corr. Anello


V1 - R1 i1 – R3 (i1 – i2) = 0R3 (i1 – i2) – V2 = 0V2 + R5 i3 + R6 i3 = 0

(R1 + R3) i1 – R3 i2 = V1

R3 i1 – R3 i2 = V2

(R5 + R6) i3 = V2

+-

+-

V1 + R1 i1 – R3 i3 = 0R3 i3 – V2 = 0V2 + R5 i5 + R6 i6 = 0

16

Si hanno due casi:1. Il generatore di corrente fa parte di un solo anello (vedi figura in alto). Perciò si ha:

I1 = i1 (1)La LKT dell’anello 1 è sostituite dalle eq. 1. Il sistema risolvente è formato dall’eq. 1 e dalla LKT all’anello 2.2. Il generatore di corrente fa parte di un ramo comune a due anelli (figura di mezzo). Si ha perciò un superanello (vedi figura in basso).

I2 = i2 – i1 (2)i1 = i1 , i3 = i3

Il superanello comprende l’anello 1 e l’anello 2. Le due equazioni degli anelli 1 e 2 sono sostituite dall’equazione del superanello e dall’eq. 2:

R1 i1 + R3 i2 = V1 i2 – i1 I= I2

Metodo delle correnti d’anelloRamo con un generatore di corrente - Superanello

i1 i3

V1

R1 R3i1 i2

-+

A

B

•

•

i1 i2 i3

V1 I2

R1 R2 R3

A

B

i1 i2+-

•

•

i1 i2 i3

I1 V2

R1 R2 R3

A

B

i1 i2+-

•

•

17

Il superanello è definito dai due anelli con il ramo col generatore di corrente in comune.

i2 – i1 = I0 (1)R1 i1 - R5 (i1 - i2) - R2 (i3 - i2) – R3 i3 = 0- R4 i2 + R2 (i3 - i2) + R5 (i1 - i2) = 0

Metodo delle correnti d’anello

Superanello

•

•

i4R4

i3

R3I0

i5 R5

i1

R1

i2R2• •

i1 i3

i2


18

Teorema di Tellegenq Il teorema di Tellegen afferma che in un circuito isolato (non connesso ad altri circuiti o reti elettriche) la somma algebrica delle potenze di ciascun ramo è uguale a zero.

q In alternativa il teorema afferma che la potenza totale erogata dai generatori è uguale alla potenza assorbita dagli elementi passivi.

0 iv 1k

kk =å=

r

Il teorema di Tellegen è una conseguenza del principio di conservazione dell’energia e soddisfa alle equazioni topologiche (KCL e KTL).



19

1

Sono date:i1 = 1; i2 = 2; i3 = 3v4 = 4; v5 = 5; v6 = 6

Dalla LKC: i4 = - i1 - i2 = - 3i5 = i2 - i3 = - 1i6 = i3 + i1 = 4

Verifica del teorema di Tellegen:

i1v1 + i2v2 + i3v3 + i4v4 + i5v5 + i6v6 = 0

•

• • •AB

C

D

2 3

4 5 6

Teorema di TellegenIl circuito di figura ha 6 rami ed è descritto da 12 grandezze: 6 tensioni e 6 correnti. Date 6 grandezze si ottengono le altre 6 dalle leggi di Kirchhoff. Le 12 grandezze ottenute rispettano il teorema di Tellegen (come si vede dall’esempio riportato nel seguito).


e dalla LKT: v1 = v4 - v6 = - 2v2 = v4 - v5 = - 1v3 = v5 - v6 = - 1


20

In Out

Funzione di trasferimento In un circuito si distinguono gli ingressi od input e le uscite od output. Gli ingressi sono i generatori indipendenti di corrente e di tensione. Gli output sono le correnti e le tensioni nei rami con elementi passivi, le tensioni di nodo o qualsiasi differenza di potenziale tra due nodi. In un circuito lineare tempo-indipendente per una coppia ingresso-uscita viene definita una funzione di trasferimento (o funzione di rete). La funzione di trasferimento è il rapporto tra un'uscita e un ingresso quando gli altri ingressi, tranne quella considerato sono spenti.

CircuitoLineare ed

indipendente daltempo


La funzione di trasferi-mento è definita nel dominio del tempo [tensioni e correnti: v(t) e i(t)], nel dominio della frequenza (trasformata di Steinmetz – fasori V ed I ) o nel dominio della tra-sformata di Laplace.Dipartimento di Ingegneria dell’Energia

Elettrica e dell’Informazione «Guglielmo Marconi»

21

In un circuito lineare, tempo-indipendente qualsiasi tensione o corrente può essere espressa come combinazione lineare dei p generatori indipendenti di tensione e dei q generatori indipendenti di corrente presenti nel circuito:

vr = αr1 V01 + αr2 V02 + …. + αrp V0p + Rr1 I01 + Rr2 I02 + …. + Rrq I0q

is = Gs1 V01 + Gs2 V02 + …. + Gsp V0p + βs1 I01 + βs2 I02 + …. + βsq I0q

I coefficient αri, Rrj, Gsi, βsj sono le p+q funzioni di trasferimento riferite alle coppie ingresso/uscita dove gli ingressi sono i p+q generatori indipendenti del circuito e l’uscita è data dalla tensione vr o dalla corrente is. Le funzioni di tra-sferimento αri e βsj sono adimensionali in quanto date dal rapporto fra due ten-sioni (αri) o due correnti (βsj). Rrj ha la dimensione di una resistenza (rapporto tensione/corrente). Gsi ha la dimensione di una conduttanza (rapporto corren-te/tensione). Ognuno dei termini a secondo membro delle equazioni precedenti rappresenta il contributo dato dal particolare generatore a cui il termine si riferisce, alla tensione vr od alla corrente is quando gi altri generatori sono spenti. La somma di tutti i termini ottenuti per ognuno dei generatori rappresenta le grandezze vred is quando si indicata come proprietà di sovrapposizione degli effetti.

Funzione di trasferimento


22

Il funzionamento del circuito 1 di figura dipende da due generatori. Le correnti e le tensioni di ramo possono essere otte-nute come somma del contributo di ognu-no dei generatori quando l’altro è spento. Come esempio si calcola i3 data dal contri-buto del generatore V0, ad I0 spento (i3’), e del generatore I0, a V0 spento (i3’’). Per il per la sovrapposizione degli effetti risulta:

i3 = i3’ + i3”Calcolo di i3’ con I0 = 0 (circuito 2):

( )

2

BG332BG

eq

010110BG

eq

01

432

4321eq01eq

R'v

'i 'i R 'v

RV

R - V 'i R V ' v RV

- 'i

RRR

RRRR R dove 0 V 'iR

=Þ=

=+=Þ=

úû

ùêë

é+++

+==+

B

i3’V0

R1

R4

R3

R2

i1’

G

+-

•

•

B

G

i4”i3”I0

R1

R4

R3

R2

••

•

Esempio A B C D

H G E F

i1

i2

i6i4i3

i5

V0I0

R1

R4

R3

R2+-

•

••

Calcolo di i3’’ con V0 = 0 (circuito 3):

1

2

3

vBG’’ = R!"#$# i%’’ = - R!"#$# I0

i3’’ = vBG’’R2

= -&!"#$#

R2I0

23

Il circuito di figura è costituito dalle due porzioni di circuito N ed N1 collegate da una porta. Il circuito N è lineare e tempo-indipendente (i suoi elementi circuitali e le eccitazioni sono tempo-indipendenti). Per un data tensione v della porta AB, la corrente i che fluisce da A a B attraverso la porzione di circuito N è dovuta alle sole caratteristiche interne di N. Inoltre la relazione v-i può essere determinata come l’equazione di un elemento circuitale unico. Il circuito N quindi, per quanto complesso, può essere sostituito da un circuito equivalente semplice costituito dagli elementi circuitali essenziali affinché si ottenga la medesima relazione v-idel circuito N.

Circuit N1A

B

v

iCircuito NLineare, tempo-indipendente con eccitazioni costanti

Circuiti equivalentiMetodi di analisi circuitale


•

•

24

Il teorema di Thévenin ed il teorema Norton forniscono due circuiti equivalenti a circuiti complessi lineari, tempo-indipendenti.

Il circuito equivalente di Thévenin è costituito da un generatore indipendente di tensione in serie con un resistore.

Il circuito equivalente di Norton è costituito da un generatore indipendente di corrente in parallelo con un resistore.

A

B

v

iCircuito NLineare, tempo-indipendente con eccitazioni costanti

Circuiti equivalenti



•

•

25

Si considera una porzione N di circuito li-neare, tempo-indipendente, con una porta AB in evidenza. Si considera un generatore indipendente di corrente collegato alla porta AB del circuito N. La tensione v ai ca-pi della porta è data dalla combinazione li-neare dei p generatori di tensione V0i (i = 1,..,p), dai q generatori di corrente I0j (j = 1,2,…,q) e dal generatore di corrente i ap-plicato alla porta AB. Risulta quindi:

Circuito di Thévenin

•

•

A

B

v i

Circuito N

Circuiti equivalenti

j 0 Ii 0 Veq0 ieq

q

1j0jj

p

1i0iieqeqeq

q

1j0jj

p

1i0iieq

oj0i

iv R v V

I R V V V i R v

I R V i R v

"="==

==

==

==

+=+=Þ

++=

åå

åå

;or:

where a

a


dove

e

26

Si è ottenuta l’equazione v = f (i) data da:

Essa è l’equazione circuitale di un ramo costi-tuito dalla serie di un generatore indipenden-te di tensione e di un resistore, definito circuito equivalente di Thévenin.

Ø Teorema di Thévenin:In un circuito lineare tempo-indipendente è messa in evidenza una porta. Il circuito N visto dalla porta, è equivalente ad un circuito formato dalla serie di un generatore indipen-dente di tensione ed un resistore. La tensione del generatore è data dalla tensione vuoto della porta AB del circuito N. Il resistore è il resistore equivalente di N visto dalla porta AB quando tutti i generatori indipendenti interni al circuito N sono spenti.

Teorema di Thévenin

eqeq V i R v +=

Req

Veq•

• B

A

v

i

+-

Circuito equivalente di Thévenin

•

•

A

B

v

Circuit N

27

Si considera una porzione N di circuito li-neare, tempo-indipendente, con una por-ta AB in evidenza. Si considera un genera-tore indipendente di tensione indipenden-te collegato alla porta AB. La corrente i che fluisce per la porta AB attraverso N è data dalla combinazione lineare dei p generato-ri di tensione V0i (i=1,..,p), dai q generatori di corrente I0j (j=1,2,…,q) e dal genera-tore di corrente i applicato alla porta AB. Risulta quindi:

Circuito di NortonCircuiti equivalenti

j 0 Ii 0 Veq0 veq

q

1j0jj

p

1i0iieqeqeq

q

1j0jj

p

1i0iieq

oj0i

vi G i I

I V G I I vG i

I V G vG i

"="==

==

==

==

+=+=Þ

++=

åå

åå

;or

where b

b


A

B

v

i

+-

Circuito N

dove

e

•

•

28

ReqIeq

•

• B

A

v

i

•

•

A

B

i

v

Si è ottenuta l’equazione i = f (v) data da:

Essa è l’equazione circuitale di un ramo costi-tuito dal parallelo di un generatore indipen-dente di tensione e di un resistore, definito circuito equivalente di Norton.

Ø Teorema di Norton:In un circuito N lineare tempo-indipendente è messa in evidenza una porta. Visto dalla porta il circuito è equivalente ad un circuito formato dal parallelo di un generatore indipendente di corrente ed un resistore. La corrente del gene-ratore è data dalla corrente di cortocircuito della porta AB del circuito N. Il resistore è il resistore equivalente di N visto dalla porta AB quando tutti i generatori indipendenti interni al circuito N sono spenti.

eq eqi G v I= +

Teorema di Norton

Circuito N

Circuito equivalente di Norton

29

Quando sono presenti nel circuito generatori dipendenti, al fine di calcolare Req per I circuiti di Thévenin o di Norton, i generatori indipen-denti vengono spenti, i generatori dipendenti sono lasciate accesi. Req è dato da:

dove V0 è un generatore di tensione (arbitrario) collegato alla porta ed I0 è il risultato del cal-colo. Naturalmente è anche possibile collegare alla porta un generatore di corrente I0 e calcolare V0.

Qualora non vi siano in N generatori controllati, spenti tutti I generatori indipendenti, Req può essere determinata con serie-parallelo e stella-triangolo.

Circuiti con e senza generatori controllati

0

0eq i

V R =

• •

I 4W

2vx

+-

•

•

2W 2W

6Wvx

A

B

• •i3

4W

2vx

+-

•

•

i02W 2W

6Wvx V0+-

A

B

Circuiti di Thévenin e di Norton


30

Sommario

(2) I vG i :circuit equivalent sNorton'

(1) V i R v:circuit equivalent sThévenin'

eqeq

eqeq

+=

+=

Dividendo l’eq. 1 per Req, si ottiene l’eq. 2 con Geq = 1/ Req. Qualora sia noto Veq del circuito di Thévenin si ottiene Ieq del circuito di Norton può essere derivato tramite le eq.i 1 e 2 (eq. 1 meno eq. 2 moltiplicata per Req).

Circuiti di Thévenin e di Norton

Circuito equivalente di Thévenin:Circuito equivalente di Norton:


v = Req i + Veq (C. Thévenin)

i = Geq v + Ieq (C. Norton)

dal C. Norton: Req i = v + Req Ieq v = Reqi - ReqIeq

confronto Thévenin-Norton: Veq = - ReqIeq e Req= - Veq/Ieq

Veq ed Ieq hanno stesso modulo e verso opposto.

31

Trasferimento della massima potenza

Req

Veq

·

·B

A

RL

i

+-

RL= Req

P (RL)

RL

P Max

Il circuito equivalente di Thévenin può essere utiliz-zato per determinare la potenza massima che un circuito lineare può fornire ad una resistore RLcollegata alla porta del circuito.

Il circuito Thévenin, equivalente al circuito lineare considerato, è collegato a RL. La potenza assorbita da RL è

Per un determinato circuito relativamente ad una sua porta, il circuito equivalente di Thévenincon Veq e Req è fissato. Variando la resistenza RLcollegata alla porta, la potenza assorbita da RLvaria. Il teorema di trasferimento della massima potenza potenza afferma che:

La potenza massima viene trasferita ad una resistore di carico quando la sua resistenza è uguale alla resistenza equivalente Thévenin.

2

eq2L L

eq L

Vp R i R

R Ræ ö

= = ç ÷ç ÷+è ø

•

•

32

( ) ( )( )

( )

eq

2eq

MaxeqL

LLeq

3Leq

LLeq2eq

4Leq

LeqL2

Leq2eq

L

L

R 4V

p R R

0 R2RR

0 RR

R2RRV

RR

RRR2RRV

dRdp

0 dRdp

=Þ=

=-+

Þ=úúû

ù

êêë

é

+

-+=

=úúû

ù

êêë

é

+

+-+=

Þ=

Hence

La potenza massima corrisponde al valore di RLper cui la derivate della potenza rispetto ad RLè nulla:

Trasferimento della massima potenza

RL= Req

P (RL)

RL

P Max

Quindi si ha:


Req

Veq

·

·B

A

RL

i

+-

•

•

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Alma Mater Studiorum - Università di Bologna


ElettrotecnicaCorso dei CdL

in Ingegneria elettronica per l’energia e l’informazione ed in Ingegneria biomedica

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