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3. Elementi circuitali

Dipartimento di Ingegneria dell’Energia Elettrica e dell’Informazione «Guglielmo Marconi»

B

J

ElettrotecnicaCorso del CdL in Ingegneria elettronica per l’energia e l’informazione ed in Ingegneria biomedicaAnno Accademico 2020/2021

2

Elemento circuitale

Ø Lo stato dell'elemento circuitale a due terminali è descritto da corrente di ramo i e tensione di ramo v. Ø Per la solenodalità di J nei conduttori la corrente entrante dal terminale 1 è uguale alla corrente uscente dal terminale 2 ed è detta corrente di ramo i. Ø All’esterno di S, E è conservativo. Pertanto all’esterno degli elementi circuitali esiste una funzione potenziale vdefinita dalla relazione E = -𝛁v. Detti v1 e v2 i valori di vrispettivamente nei terminali 1 e 2, v12 = v1-v2 è la tensione di ramo.

L’elemento circuitale a due terminali

iv

1

2•

•

Ø L'elemento circuitale a due terminali è un elemento costituito da una superficie chiusa S da cui escono i due terminali. Tutti i fenomeni EM so-no attivi all'interno di S. Qui il campo E può essere non conservativo. Tutti i fenomeni EM tacciono all’esterno di S ed il il campo E è conservativo. Squindi è uno schermo. Gli elementi sono collegati tra loro attraverso i terminali. Un elemento circuitale a due terminali è un ramo del circuito.

3

Ø Il lavoro svolto dal campo E sulle cariche che attraversano una sezio-ne trasversale dell’elemento per unità di tempo è la potenza elettrica utilizzata dall’elemento circuitale a due terminali (unità SI: watt [W]):

•

•i

v

+

_

1

2

v(t)i(t) d dtdq tdq p(t)

2

1

2

10t

lim =×=÷÷ø

öççè

æD×D= òò®D

lElE

L’elemento circuitale a due terminaliElemento circuitale: Ø L'elemento a due terminali è anche detto bipolo. I terminali costituiscono i nodi del circuito. I dipoli costituiscono i rami del circuito. Ø La corrente di ramo i è positiva quando entra nel terminale con potenziale maggiore (terminale 1 in figura) ed esce dal terminale a potenziale minore (terminale 2).

Ø La relazione v = f(i), caratteristica di ciascun bipolo, è l'equazione dell'elemento circuitale, o equazione di ramo.


4

n-terminal

•

•

••

•

M. 0

M. 1

M. 2

M. 3

M. n-1i0i1

i2

i3

in-1

•

M. n-2

v1v2

v3

vn-1

§ Per la LKC si ha: i0 = i1 + i2 + …. + in-1

§ Poiché il campo E esterna-mente all’elemento è con-servativo si ha:

v1 = vM.1 - vM.0v2 = vM.2 - vM.0v3 = vM..3 - vM.0.…………………vn-1 = vM.n-1 - vM. 0

Un elemento di circuito avente n terminali con n > 2 è detto elemento circuitale a n terminali. Viene definito un terminale di riferimento (M.0) e gli altri terminali vengono riferiti ad esso.

L’elemento circuitale a n terminali


5

i1,v1

•

••

•

•

•

•in-2,vn-2

i3,v3i2,v2

in-1,vn-1

0

1

23

n-2

n-1

+

+ +

+

+

Ø Un elemento ad nterminali è descritto da n-1 coppie di valori i-v: n-1 correnti ed n-1 tensioni dove le tensioni sono riferite allo stesso terminale. Quindi un elemento a n terminali è equivalente a n-1 elementi circuitali a due terminali po-sti con il terminale di riferi-mento in comune (stella di n-1 bipoli):

i1, i2, i3, ……,in-1v1, v2, v3, ….,vn-1

•



6

Un elemento a tre terminali corrisponde a due bipoli a stella. Un ele-mento a quattro terminali corrisponde a tre bipoli a stella, ecc.

i1,v1

•

•• •

·

i3,v3i2,v2 i4,v4

0

1

23

4

+

+ ++

•i1,v1

•

••

·

i3,v3i2,v2

0

1

23

+

+ +

•i1,v1

•

•

·

i2,v2

0

1

2

+

+

••

• 0

12 •

•

••

0123


•

• 01234

•••


•

7

In un circuito le interconnessioni tra i suoi elementi sono realizzate con conduttori che collegano i terminali degli elementi. Gli elementi circuitali, assunti a due terminali (un elemento a k terminali equivale a una stella di k-1 bipoli), sono i rami del circuito. Le interconnessioni sono i nodi del circuito. Un circuito è caratterizzato da n nodi ed r di rami.

Il circuito di figura è con 11 nodi (n = 11) e 17 rami (r = 17). Infatti ogni ele-mento a k terminali è considerato una stella di k-1 elementi a due termi-nali, quindi esso equivale a k-1 rami.

•

•

•

•

•••

• •

•

•

Modello di circuito elettrico


8

Leggi di KirchhoffLegge di Kirchhoff delle Correnti (LKC)Ø Si consideri una superficie chiusa SCche attraversa alcuni nodi del circuito e non attraversa elementi circuitali. All'interno dei conduttori e quindi nei nodi J = Jt. Quindi J è un vettore solenoidale. Il flusso totale di J attra-verso la superficie chiusa SC, dato dalla somma algebrica delle correnti uscenti da SC, è nullo. Perciò, con riferimento alla figura, si ha:

i1 + i2 + i3 +… .. + i9 = 0

•

•

••

•••

• •

i1i2i3

i8

i9

i4

i5i6i7

SC

•

•

•

i1

i3

i2i5

i4

SC

Ø Se SC contiene solo un nodo si ottiene:

∑k=1n ik = 0

Equazione di nodo: la somma algebrica delle correnti che entrano in un nodo è uguale a zero.

9

Per i nodi A, B e C dalla KCL si ha:

i1 - i4 - i5 = 0 (a)i1 + i2 = 0 (b)i2 + i3 + i5 = 0 (c)

Ogni equazione tiene conto almeno di una nuova corrente che non appare nelle altre equazioni. Nell'equazione di nodo per il nodo D compaiono solo le correnti già pre-senti nelle equazioni degli altri tre nodi.L’equazione del nodo D è una combinazione lineare delle altre. Per D è:

i3 - i4 = 0 come risultata della somma delle equazioni (a), - (b) e (c). Da ciò deriva: Ø In un circuito di n nodi, n-1 equazioni di nodo sono linearmente

indipendenti.

A B

CD

1

2

3

4 5

i5i4

i3

i2

i1 •

•

•

•

Leggi di Kirchhoff – equazioni di nodo


10

Legge di Kirchhoff della Tensioni (LKT)

Il campo E è conservativo nelle re-gioni esterne agli elementi circuitali. Pertanto in un percorso chiuso lC che collega alcuni nodi e non interseca gli elementi circuitali, la somma algebrica delle tensioni fra un nodo ed il successivo è uguale a zero.vAB + vBC + …. + vHI + vIA = 0

•

•

•

••••

• •

ABCH

I

D

EFG

lC

•

•

In un circuito si definisce «maglia» un percorso chiuso attraverso alcuni ra-mi del circuito ed attraversandoli una sola volta ••

••

Leggi di Kirchhoff

Ø Se lC coincide con una maglia si ottiene il seguente corollario:

∑k=1m vk = 0

Equazione di maglia: la somma algebrica delle tensioni di ramo in una maglia è nulla.

11

Applicando la LKT ai percorsi chiusi dati dalle maglie ADCA ed ABCA rispettando un verso scelto arbitrariamente (in figura: maglia ABCA orario, ADCA antiorario) si ha:

- v4 - v3 + v5 = 0 (a)v1 - v2 + v5 = 0 (b)

dove v1, v2, v3, v4 e v5 sono le tensioni dei rami corrispondenti. Ogni equazione tiene conto

A B

CD

1

2

3

4 5

i5i4

i3

I2§

i1• •

• •

Leggi di Kirchhoff – equazioni di maglia

almeno di una nuova tensione che non appare nelle altre equazioni.

Nell'equazione della maglia ABCDA compaiono tensioni presenti nelle due equazioni a e b, ed è una combinazione lineare di esse. Quindi:

Ø In circuito di r rami ed n nodi, r-n+1 equazioni di maglia sono linearmente indipendenti.


12

In un circuito di n nodi ed r rami dalle LKC e dale LKT si ricava:

n-1 eq.i di nodo: Σn in = 0r-n+1 eq.i di maglia: Σm vm = 0

In figura: r = 5 and :n = 4:

Ø n – 1 = 3 eq.i di nodo linear. Ind.Ø r – n + 1 = 2 eq.i di maglia linear. Ind.

Le equazioni ottenute sono lineari omogenee del tipo:

Ø Per la maglia ADCA: v5 - v3 - v4 = 0Ø Per il nodo A: i4 + i5 - i1 = 0

Equazioni di nodo ed equazioni di maglia

A B

CD

1

2

3

4 5

SC

lC

• •

••


13

Dalla topologia del circuito di r rami connessi fra loro in n nodi, si ottengono r equazioni linearmente indipendenti ed omogene dette anche equazioni topologiche: n-1 equazioni di nodo otte-nute dalla LKC ed r-n+1 equazioni di maglia ottenute dalla LKT.

Lo stato di un circuito di r rami e n nodi è descritto dalle r correnti del ramo e dalle r tensioni del ramo. Pertanto le r correnti di ramo e le r tensioni di ramo sono le 2r incognite del problema di analisi.

Equationi del modello circuitale

Inoltre si hanno le r equazione di ramo vk = f (ik) con k = 1,2,…, rche descrivono il funzionamento degli elementi circuitali. Solitamente le equazioni di ramo sono non-omogenee.

Il circuito perciò è descritto da 2r grandezze, incognite del proble-ma di analisi circuitale. Le grandezze, r tensioni ed r correnti di ramo, sonno legate da 2r equazioni, r omogenee, ed r non omogenee. Quindi il problema è ad una ed una sola soluzione.

14

Generatore di tensione indipendente ideale

v = vs , ∀i(vs positiva dalla parte del lato del generatore dove la barra del simbolo è più lunga)

+

-

ivs

(Const.)

v(t) = R i(t) Legge di Ohm – la tensione Ri ha lo stesso segno della tensione di ramo

R [Ω (Ohm)] Resistenza elettrica

iv

v + vs - R i = 0

v = R i - vs

Resistore ideale

Equazioni dell’elemento circuitaleEquazioni di ramo

i

R

vvs

+

-


15

Ø Metodo generale per l’analisi circuitale:(r rami, 2r equazioni in 2r incognite)

k0,kkk

m k

n k

ViRv

0v0i

+=

=

=

åå

Esempio di equazione di un elemento circuitale con un resistore Rk ed un generatore indipendente di tensione V0,k.

(n-1) eq.i

(r-n+1) e q.i

r eq.i


Equationi del modello circuitale

16

Esempio di analisi circuitaleLa topologia del circuito con 3 rami e 2 nodi, i valori della tensione generata dai due generatori (Vs1, Vs2) e i valori delle resistenze (R1, R2, R3) sono l'input del problema. Le ten-sioni e le correnti di ramo (v1, v2, v3, i1, i2, i3) sono l'output del problema. Si deve:1. Orientare i rami (definire il verso positivo

delle correnti risultanti di ramo e i versi positivi opposti a quelli delle correnti.2. Definire i nodi e le maglie per le equazioni della topologiche , r-n+1 eq.i delle

magli e n-1 eq.i dei nodi (nel circuito della figura: n-1 = 1; r-n + 1 = 2). 3. Definire la direzione di percorrenza di ciascuna maglia (orario od antiorario) . 4. Scrivere le equazioni topologiche e le equazioni degli elementi circuitali.

i1 - i2 - i3 = 0- v1 - v2 = 0v2 - v3 = 0v1 = R1 i1 - vs1v2 = R2 i2 + vs2v3 = R3 i3

Sostituendo le tensioni delle eq.i di ramo nelle eq.i topologiche si ottiene:

i1 - i2 - i3 = 0- R1 i1 - R2 i2 = - vs1 + vs2R2 i2 - R3 i3 = - vs2

Dalle 3 eq.i si ricavano le correnti di ramo (i1, i2, i3). Sostituendo le correnti i1, i2, i3 nelle eq.i di ramo si ricavano le tensioni di ramo v1, v2, v3.

i1 i2 i3

vs1 vs2

R1 R2 R3

A

B

17

i1 + i3 + i4 - i6 = 0i2 - i3 - i4 + i5 = 0i6 - i5 = 0- v1 + v2 + v3 = 0- v1 + v2 + v4 = 0v1 - v2 + v5 + v6 = 0

v1 = V0v2 = R2 i2v3 = R3 i3v4 = R4i4 + V1v5 = R5i5v6 = R6i6

Eq.i topol.

Eq.i elem.

Esempio

B=C

H=G=E=F

DA2

1

5

6

43

Graph

H = G=E = F_ _ _

A B C D

H G E F

i1

i2

i6i4

i3

i5

V0

V1R2

R6

R5

R3+-

B=C

-+

_

H=G=E=F_

R4

Il circuito ha 6 rami e 4 nodi. Il suo stato è definito da 6 correnti di ramo e 6 tensioni di ramo ed è descritto dal modello del metodo generale d’analisi da 12 equazioni lineari: 6 eq,i topologiche (3 LKC e 3 LKT, omogenee) e 6 eq.icaratteristiche degli elementi, alcune non-omogenee). Il sistema di 12 eq.i e 12 incognite, è non-omogeneo ed ha una ed una sola soluzione.

•••

•

•

•

• • •

•• •

18Dipartimento di Ingegneria dell’Energia Elettrica e dell’Informazione «Guglielmo Marconi»

R2

� �R3

�

R4�

VS1

VS2

R1

i1 i2i3i4

i5

i6

r = 6, n = 4

i4 – i5 + i6 = 0i1 + i3 – i4 = 0i2 – i3 – i6 = 0v1 – v3 – v2 = 0v6 – v3 – v4 = 0v1 + v4 + v5 = 0v1 = R1 i1v2 = R2 i2v3 = R3 i3 v4 = R4 i4 v5 = - VS1v6 = - VS2

i4 – i5 + i6 = 0i1 + i3 – i4 = 0i2 – i3 – i6 = 0R1 i1 – R3 i3 – R2 i2 = 0– VS2 – R3 i3 – R4 i4 = 0R1 i1 + R4 i4 – VS1 = 0

i4 – i5 + i6 = 0i1 + i3 – i4 = 0i2 – i3 – i6 = 0R1 i1 – R3 i3 – R2 i2 = 0– R3 i3 – R4 i4 = VS2R1 i1 + R4 i4 = VS1

Esempio di analisi circuitale

19

Approssimazione circuitale- tempi di transito nulli -

Le grandezze elettriche possono avere variazioni temporali rapide o lente rispetto ai tempi di transito fra gli elementi di un circuito. L’ipotesi dell’approssimazione quasi stazionaria è che i tempi di transito dei segnali elettrici all'interno del circuito siano nulli rispetto alla variazione temporale delle grandezze elettriche considerate.Per una grandezza sinusoidale nel tempo, Il tempo per la sua propagazione fra due elementi collegati è dato da tAB = d/v, dove A e B sono i punti di uscita ed ingresso del segnale elettrico dai due elementi, d è la loro distanza (lunghezza del conduttore) e c è la velocità della luce, velocità di propagazione del segnale elettrico (c = 3×108 m/s). La frequenza della

• •

d

A B• •

grandezza elettrica è f , e periodo T con f = 1/T e lunghezza d'onda 𝜆 = c/f, con T = λ/c, Per l’ap-prossimazione circuitale deve essere:

tAB << T d << λ


20

ü Potenza elettrica: f = 50/60 Hz → l = 6000/5000 km ü Circuiti a micro-onde: f = 100 MHz → l = 3 mü CPU di un computer: f = 3 GHz → l = 10 cm

Il segnale dell’antenna trasmesso da A a B è di frequenza f = 100 MHz che corrisponde alla frequenza angolare w=2πf=2π×108. In A è: vA(t) = V0 sin ωt = V0 sin(2π×108 t)In B il segnale giunge dopo Δt = d/c =1,5/(3×108) = 0,5×10-8 s. Quindi in B al tempo t il segnale è:

vB(t) = vA(t- Δt) == V0 sin[2π×108 (t - Δt)] == V0 sin[2π×108 (t - 0,5×10-8)] == V0 sin(2π×108 t - π) = = - V0 sin(2π×108 t) = - vA(t)

B

A

d = 1,5 m

Approssimazione circuitale- tempi di transito nulli -

21

Caratteristiche del bipolo

§ Equazione del bipolo – equazione di ramoLa relazione tra la corrente di ramo i e la tensione di ramo v, è definita dal funzionamento dell’elemento circuitale del ramo. Da questa relazione, insieme alle equazioni di nodo, alle equazioni di maglia ed alle equazioni degli altri elementi circuitali, si ricava lo stato elettrico di ogni bipolo del circuito dato dai valori di i e v di ogni ramo. Questa relazione può essere nella forma v = f (i) oppure i = g(v):

Bipolo controllato in corrente

v = f(i) La corrente è la variabile indi-pendente.

Bipolo controllato in tensione

i = g(v) La tensione è la variabile indi-pendente.

iv

1

2

•

•


22

§ Bipolo passivoNella convenzione del bipolo passivo la corrente entra nell'elemento dal terminale a potenziale maggiore. Nell'elemento, ad esempio nei resistori, le cariche vengono spostate dal potenziale superiore al potenziale inferiore. L'energia in tal caso quindi risulta essere spesa. Negli elementi passivi l’energia è sempre positiva o uguale a zero (non è mai generata):

ò¥

³=t

-

0 dt' )i(t' )v(t' w(t)

L'equazione dell'elemento circuitale a due terminali è l’equazione di ramo. Definisce la relazione tra la corrente del ramo i che fluisce attraverso l'elemento e la tensione di ramo v, differenza di potenziale fra i due terminali dell’elemento. È determinata dai fenomeni fisici che avvengono all’interno dell'elemento.

Convenzione del bipolo passivo

i

Wv

+

-•

•

Caratteristiche del bipolo: equazione di ramo

Per corrente e tensione di ramo nei bipoli passivi è W ≥ 0.

23

Bipolo attivo

i

WvS

-

+


§ Bipolo attivoNel bipolo attivo viene generata ener-gia ed il flusso delle cariche è prodotto dal bipolo stesso. Le cariche, e quindi la corrente elettrica entrano nell'elemen-to dal terminale a potenziale minore (terminale negativo) e sono fatte fluire verso il terminale a potenziale più ele-vato. Il bipolo quindi produce lavoro sulle cariche. Le sorgenti di energia elettrica (il gene-ratore di tensione ed il generatore di corrente) sono gli elementi circuitali attivi.

Per corrente e tensione di ramo nei bipoli attivi è W < 0.


•

•

24

§ Equazione di ramo non lineareq Elemento lineare: l’equazione del dipolo è lineare

ad esempio: (1)

q Elemento non lineare: l’equazione del dipolo è non lineare

ad esempio: (2)

§ Equazione di ramo tempo-indipendente e tempo-dipendenteq Elementi tempo-indipendenti: le equazioni non dipendono dal

tempo (nelle eq.i 1 and 2 a, b, c, d, a’ e b’ sono non dipendono da t).

q Elementi tempo-dipendenti: le equazioni dipendono dal tempo (nelle eq.i 1 and 2 a, b, c, d, a’ e b’ dipendono da t).

ò+++=t

t0

i(t)dt ddtdi c i(t) b a v(t)

(t)i b' a' v(t) 2+=



25

§ Elementi privi di memoria ed elementi con memoria qElementi privi di memoria (dissipativi): l'equazione dell’ele-

mento esprime la relazione tra i e v allo stesso istante di tempo: v(t) = f [i(t)]. In questo caso i bipoli passivi dissipano energia:

(dipolo non lineare senza memoria)

q Elementi con memoria: l'equazione dell'elemento esprime la relazione tra i e v in intervalli di tempo diversi:

(dipolo lineare con memoria)

(dipolo lineare con memoria)

dtdi c i(t) b a v(t) ++=

[ ]i(t)sin c (t)i b a v(t) 2 ++=

ò¥

=t

-

dt' )i(t' a v(t)

Gli elementi con memoria immagazzinano energia che può essere emessa dall’elemento in un secondo tempo.



26

§ Resistori, condensatori, induttori:Gli elementi circuitali ideali a due terminali sono il resistore ideale, il condensatore ideale e l'induttore ideale. Essi sono descritti dalle equa-zioni lineari sotto indicate. Ciascuno di questi elementi ideali rappresenta un singolo processo EM elementare.

+

iv

-

q

Il condnsatore ideale

'dt )i(t' C1 = v(t)

t

-ò¥

v(t) = R i(t)

Il resistore ideale

i

v

_

+ +

iv

-

L’induttoreideale

dtdi L = v(t)

I bipoli ideali passivi


27

Generatore di tensione ideale

v = vs , ∀i i = is , ∀v

Generartori controllati ideali

v = μ vr

+- +

-v = rm ir i = α iri = gm vr

Generatore di tensione controllato

in tensione

ivs

(Cost.)

ivs

+- is

Generatore di corrente ideale

Generatori indipendenti ideali

Generatore di tensione controllato

in corrente

Generatore di corrente controllato

in corrente

Generatore di corrente controllato

in tensione


28

v = f (i)

v(t) = R i(t) [legge di Ohm]p(t) = v(t) i(t) = R i(t)2

R = tan ϕ- R resistenza (unità SI: ohm [W]), - G = 1/R conduttanza (unità SI: siemens [S]),

i

+

v

-

i

v

i

v

ϕ

v

i

Il resistoreIl resistore è un dipolo passivo che dissipa energia.

q Resistore indipendente dal tempo lineare (resistore ideale):

I dipoli ideali passivi


29

La resistenza elettrica di un elemento è il parametro che descrive la proprietà dell’elemento di contrastare la corrente (effetto dovuto all’at-trito opposto al moto delle cariche):

Resistore ideale

v = R i R = v/i

l

S sezione

i

Rv

+

La resistività elettrica r [W m] di un materiale descrive la proprietà del materiale per contrastare il flusso delle cariche elettriche:

1

s=r

RSl

Sl

s=r=

dove σ [S/m] è la condu-cibilità elettrica (J = σE)

In un elemento circuitale con sezione trasversale costante S, lunghezzal, resistività ρ uniforme in tutto il volume, e con densità di corrente perpendicolare a S, la resistenza è:

-

30

Il generatore di tensione ideale è un elemento attivo. Mantiene la tensione vs tra i suoi terminali indipendentemente dalla corrente che lo attraversa.

i

vvs

v = vs , ∀i+

-

ivs

Il simbolo sulla destro viene utilizzato per le tensioni in corrente

continua (CC), sulla sinistra per qualsiasi tensione generata.

+

-

ivs

+-



•

••

•

31

Per simulare un generatore di tensione reale si considera un resistenza interna Ri in serie con il generatore ideale:

v = vs - Ri ii

v

vs

vs Ri

+

-

ivs

Ri

+- v

vs

RL

ivs

•

•

Ri+- RLvL

+

-

vL

v

Per un resistore di resistenza variabile RL, collegato a un generatore reale, dalla LKT segue:

siL

LL

LL

siL

vRR

R v

0v- iR0v-iR iR

+=Þ

==+



•

•

32

Il generatore di corrente ideale è un elemento attivo. Mantiene la corrente che lo attraversa al valore is indipendentemente dalla differenza di potenziale fra i suoi terminali.


i

v

is

i = is , ∀v

+

-

is

Generatore di corrente ideale

•

•

33

Per simulare un generatore di corrente reale si conside-ra un resistore Ri in parallelo con il generatore ideale:

Generatore di corrente reale


is

RL

vL/RL

i

-

i

is

+·

·Ri

i

v

is

Ri is

RL

vL

+

-

i

is

·

·Ri

i = is - v/Ri

siL

i

LL

iLs

i RR

R i

i R v0Rvi- i

+=Þ

==+

and

Quando un carico variabile RL è collegato a una fonte reale, dalla LKC segue:

inoltre

34

v

q

f(v)dtd = i

dtdq = i

f(v) = q

Þ

C è la capacità [unità SI: F (farad)]. È data dal rapporto tra il valore assoluto della carica su un’a-rmature (piastre conduttrici) e la tensione tra lo-ro. d è lo spessore dell'isolante omogeneo tra le armature, A sezione dell’armatura. C è data da:

+++

++++

+ ---

+q -q

Armature con-duttrici: A sezione del-l’armatura.

Insolante

d

CdA

e= ε costante dielettricadel materiale insulate.

dtv(t)dCi(t) v(t)C = q(t) =Þ

q Per il condensatore lineare indipendente dal tempo si ha:

+

iv

-

q

I dipoli ideali passiviIl condensatoreIl condensatore è costituito da due piastre conduttrici (armature) separate da materiale isolante:

q = f(v)

••

dalla Legge di Gauss

35

Condensatore lineare tempo invariante

v(t)C 21 =

Cq(t)

21 = dq q'

C1 = dq )v(q' = dt )i(t' )v(t' = 2

2q(t)

0

q(t)

0

t

-C ''' òòò

¥

e

Si assume v(-∞) = 0

v

q

A t = -∞ si assume q = 0

q(t) = C v(t),

dq = Cdv → i(t) = dqdt

= C dvdt

i(t) = C dvdt

→ dv = 1C

i(t) dt → v(t) = 1C

i(t') dt-∞

t

∫ ',

v(t) = v(t0) + 1C

i(t') dtt0

t

∫ ', ∀ t > t0

Energia immagazzinata nel condensatore al tempo t:(energia electrostatica)

·

·+i

v

-

q

•

•


36

22

C vC 21 =

Cq

21 = ,

dtdv C = i v,Cq e=

Condensatore lineare tempo invarianteq Il condensatore è un elemento passivo che non dissipa energia.

L'energia viene immagazzinata sotto forma di energia elettrostatica. La corrente non può attraversarlo ma porta cariche positive su una armatura e negative sull’altra. L'energia elettrostatica immagazzinata è utilizzata per la creazione del campo elettrico dovuto alla separa-zione di carica. Essa viene resa quando la corrente cambia direzione portando via le cariche accumulate sulle armature.

q Il condensatore non può essere attraversato da una corrente continua (costante in t). Per essa il condensatore è un circuito aperto (con R = +∞): Ø Quando la tensione è costante nel tempo, la corrente è uguale a

zero (i = C dv/dt). In corrente continua quindi è circuito aperto. Ø In regime variabile la corrente che porta le cariche alle armature è

uguale alla corrente di spostamento che lo attraversa.Ø Il condensatore collegato a una batteria si carica (q = C v).

37

22

C vC 21 =

Cq

21 = ,

dtdv C = i v,Cq e=

v

t

Possibile

q La tensione e la carica di un condensatore non possono variare istantaneamente:Ø Poiché i = dq/dt = Cdv/dt una discontinuità della carica o della ten-

sione implicano una corrente infinita, cosa fisicamente impossibile. Pertanto il condensatore si oppone a brusche variazioni della carica e della tensione.

Ø Qualsiasi variazione istantanea della carica e quindi della tensione implica una variazione istantanea dell'energia immagazzinata nel condensatore. Per avere questa variazione è necessaria una poten-za infinita (p = deC/dt). Questo è fisicamente impossibile. Pertanto il condensatore si oppone a qualsiasi brusca variazione della carica e della tensione.

Condensatore lineare tempo invariante

v

t

NonPossibile


38

(i)dtd=v

dtd= v

(i)= B

B

f

f

ÞF

Fi

FB

l lunghezza del nucleo

N numero di avvolgimenti

A sezione del nucleo ferromagnetico

L2

lAN

µ=

dtdiL=vi(t) L = (t)B ÞF

+

iv

-�

�

I dipoli ideali passivi

q Per l’induttore lineare tempo-indipendente si ha:

FB = f(i)

L è l’induttanza [unità SI: H(henry)] è data dal rapporto tra il flusso magnetico generato dalla corrente e la corrente, µ è la permeabilità magnetica [H/m]:

L’induttoreL’induttore è costituito da avvolgimenti attorno a un nucleo ferromagnetico. La corrente che scorre attraverso gli avvol-gimenti genera un flusso magnetico FB. La variazione nel tempo di FB induce una tensione. dalle Leggi di Maxwell

39

i

FB

i L 21 = di i' L = dt )i(t' )v(t' = 2

i

0

t

-L '' òò

¥

e•

•+

iv

-Indutttore lineare tempo invariante

t> t dt )v(t' L1 + )i(t = i(t)

dt )v(t' L1 = i(t) dt v(t)

L1 = di

dtdiL v(t)

dtdi L =

dtd = v(t)

i(t) L = (t)

0

t

t0

t

-

B

B

0

"

®®=

F

F

ò

ò¥

,'

,'

dF

Energia immagazzinata nell’induttore al tempo t (energia elettro-magnetica):

Si assume i(-∞) = 0

A t = -∞ siassume i = 0


40

q L’induttore è un elemento passivo che non dissipa energia. L'energia viene immagazzinata sotto forma di energia elettromagnetica. L'energia immagazzinata è utilizzata per la creazione del campo magnetico indotto dalla corrente. Essa viene resa quando il campo magnetico cala al diminuire della corrente.

q Per una corrente continua un induttore è un circuito chiuso (con R = 0): Ø Quando la corrente è costante nel tempo, la tensione fra i

terminali dell’induttore è nulla (v = L di/dt). Esso quindi in regime di corrente continua si comporta da corto circuito.

Induttore lineare tempo invariante


2LB i L

21 = ,

dtdi L = vi, L = eFFFB

41

q La corrente in un induttore non può variare istantaneamente:Ø Poiché in un induttore v = L di/dt una discontinuità della corrente

implica una tensione infinita, cosa fisicamente impossibile. Pertanto l’induttore si oppone a qualsiasi brusca variazione della corrente.

Ø Qualsiasi variazione istantanea della corrente implica una variazione istantanea dell'energia immagazzinata nel induttore. Per avere questa variazione è necessaria una potenza infinita (p = deL/dt). Questo è fisicamente impossibile. Pertanto il induttore si oppone a qualsiasi brusca variazione della corrente.

Induttore lineare tempo invariante2

LB i L 21 = ,

dtdi L = vi, L = eFFFB

i

t

Possibilei

t

NonPossibile


42

Circuito aperto Un ramo in circuito aperto si può consirerare nei due seguenti modi:- Un generatore di corrente con: is = 0- Un resistore con: R = + ∞Eq. dell’elemento circuit.: i = 0, ∀ v

vca

i

v

icc

Circuito aperto e circuito chiuso

Circuito chiuso Un ramo in circuito chiuso si può considerare nei due seguenti modi:

- Un generatore di tensione con: vs = 0- Un resistore con: R = 0Eq. dell’elemento circuit.: v = 0, ∀ i i

v


43

Diodo ideale:

v i = 0i = 0 per v < 0v = 0 per i > 0

iv

i

vDiodo: giunzione p-nTensione di lavoro: v > vA.(vA tensione di rottura)

Is (≈ μA) corrente di saturazioneVT = kT/e (≈ 0.026 V) tensione termica

úû

ùêë

é-÷÷ø

öççè

æ= 1

Vvexp I i

Ts

iv

I dipoli passivi: il diodo


v

i

IsA

vA

44

Resistori in serie

i R v................

i R vi R v

1-nn1,-n

223

112

=

==

Req

1 n

iv1,n = i Rk

k=1

n-1

∑ Req = Rkk=1

n-1

∑1Geq

= 1Gkk=1

n-1

∑ Gk = Rk-1 , Geq = Req

-1( )

Due o più bipoli sono in serie se sono collegati l’uno dopo l’altro con i terminali frapposto in comune. I nodi in comune collegano solamente due bipoli in serie. I nodi iniziale e finale della serie possono collegare più rami. La corrente di un bipolo in serie fluisce esclusivamente nel bipolo successivo della serie. Pertanto nei bipoli in serie la stessa corrente scorre attraverso i bipoli uno dopo l'altro. Per una serie resistori si ha:

R1 R2i Rn-1

1 2 n-13 n


45

Req

1 n

i

eq

n1,

n21n1,

n

n1,

2

n1,

1

n1,

n21

Rv

R1 .......

R1

R1 v

Rv

....... Rv

Rv

i ...... i i i

=÷÷ø

öççè

æ+++=

=+++=

=+++=

å==k keq

n1,eq R

1 R1 v

R1 i

R1

Rn•

R2i

i1

i2

in

•

1 n

( )-1eqeq

-1kk

Kkeq R G ,R G G G ===å

Due o più bipoli sono in parallelo se condividono gli stessi due terminali. Pertanto sono sottoposti alla stessa tensione. Per il parallelo di resistori si ha:

••

Resistori in parallelo


••

46

••

•

••

••

•

••

Resistori in serie con uno in circuito aperto

Req = n R

••

••

Req = R/n

• ••

•


Resistori in serie con uno in circuito chiuso

n resistori in serie con ugual resistenza R

Resistori in parallelo con uno in circuito aperto

Resistori in parallelo con uno in circuito chiuso

n resistori in parallelo con ugual resistenza R

•

47Dipartimento di Ingegneria dell’Energia Elettrica e dell’Informazione «Guglielmo Marconi»

R2

� �R3

�

R4�

R11. R1eq = R2 + R3

2. R2eq = R1 R1eqR1 + R1eq

3. R3eq = R4 + R2eq

i = VSR3eq

Esempio

vs+-

R1eq

� �

�

R4�

R1vs+-

�

�

R4�

R2eqvs+-

�

�

�

R3eqvs+-

i

i

1.

3.

2.Dati:R1 = 1 Ω, R2 = 1 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 2 Ω.VS = 10 V

Risultati:R1eq = 4 W, R2eq = 0,8 W, R3eq3 = 2,8 W.i = 3,57 A

48

Partitore di tensione

R2

R1

i

·

Vs

s21

22

s21

11

1s1s2

2s2s1

s21

21

S

eq

s

2 1eq

V RR

R v

V RR

R v

i R - V v- V v i R - V v- V v

0 V - v v

KTL

RRV

RV i

R R R

+=

+=

====Þ

=+

+==

+=

is it the From

IsR2R1

i1 i2

v

A

B

A

B C

+-

Partitore di corrente

s21

12

s21

21

1s1s2

2s2s1

s21

S2 1

2 1seq

2 1

2 1eq

I RR

R i

I RR

R i

Rv - I i - I i

Rv - I i - I i

0 I - i i

IR R

RR I R vR R

RR R

+=

+=

==

==Þ

=+

+==

+=

is it the From KCLDalla LKT si ha: Dalla LKC si ha:

•

•

•

•

•

49

Collegamento di resistori a stella ed a triangolo

Colleg. a triangolo

Un sistema di tre resistenze può essere collegato a triangolo o a stella. Può essere meglio per l’analisi circuitale una connessione a stella invece che un triangolo o viceversa. Una rete a stella può essere equivalente ad una rete a triangolo.

Ciò significa che le stesse ten-sioni v12, v23 e v31 tra i nodi 1 e 2, i nodi 2 e 3 e i nodi 3 e 1 ri-spettivamente, inducono le stesse correnti entranti nella stella e nel triangolo al nodo 1, al nodo 2 ed al nodo 3.

·

·

·

RΔ2

RΔ3RΔ1

1

2 3

Colleg. a stella

·RY1

RY2

RY3

1

2

3

• •

•

••

••

••

•

•

•

•

•

•

•

••

•

•

••

50

Between node 1 and node 2, if node 3 is not connected, in the wye and the delta connection there are the following resistances

R12 Y( ) = RY1 + RY2

R12 Δ( ) = RΔ1//(RΔ2 + RΔ3)

If node 3 is not connected the same current has to correspond to the same voltage.This as to hold for the brances 1- 3 and 2 - 3 when node 2 and 1 arenot connected. Therefore : R12 Δ( ) = R12 Υ( ), R13 Δ( ) = R13 Υ( ), R23 Δ( ) = R23 Υ( )

Collegamento di resistori a stella ed a triangoloQuando il nodo 3 non è con-nesso, nella stella la resisten-za equivalente R12(Y) è data dalla serie di RY1 ed RY2 nel triangolo dal parallelo di RD1con la serie RD2 + RD3:

Queste relazioni devono valere anche quando sono scollegati o il nodo 2 od il nodo 1. Si ottengono quindi le relazioni:

Scollegato nodo1:

Scollegato nodo 2:

Scollegato nodo 3:

··

·

RΔ2

RΔ1RΔ3

1

3 2

·RY1

RY3

RY2

1

3

2

•

• •

R23(Y) = R23(D) RY2+RY3 = RD2 (RD1+RD3)RD1+RD2+RD3



•

• •

••

•

•

51

Ogni resistenza della stella è il prodotto dei due resistori del triangolo collegati allo stesso nodo, diviso per la somma dei resistori a triangolo.

Ogni resistenza del triangolo è la somma dei prodotti due a due dei resistori della stella, divisi la resistenza nel ramo opposto della stella.

RY1 =RΔ1RΔ3

RΔ1 + RΔ2 + RΔ3

; RY2 =RΔ1RΔ2

RΔ1 + RΔ2 + RΔ3c

; RY3 =RΔ2RΔ3

RΔ1 + RΔ2 + RΔ3

RΔ1 =RY1RY2 + RY2RY3 + RY3RY1

RY3

; RΔ2 =RY1RY2 + RY2RY3 + RY3RY1

RY1

; RΔ3 =RY1RY2 + RY2RY3 + RY3RY1

RY2

Collegamento di resistori a stella ed a triangolo


RΔ2RΔ3

RΔ1

·RY1

RY3

RY2

1

3

2• •

•

•

Per RY1 = RY2 = RY3 = RY risulta RD1 = RD2 = RD3 = RD e viceversa:

RY = RD/3 e RD = 3 RY

52

RAΔ = R1R2 + R2R3 + R1R3

R1

= 9 Ω

RBΔ = R1R2 + R2R3 + R1R3

R2

= 9 Ω

RCΔ = R1R2 + R2R3 + R1R3

R3

= 9 Ω

·

R3 ·

•• •

R4R2

R1•A

B

C•

2

1

·

•• •R4

RBΔ•

B

C•

2

1

RCΔ

RAΔA

Dati:R1 = 3 Ω, R2 = 3 Ω, R3 = 3 Ω,R4 = 2 Ω,

Determinare la resistenza equivalente


•

Esempio

53

Dati:R1 = 3 Ω, R2 = 3 Ω, R3 = 3 Ω,R4 = 2 Ω,

Determinare la resistenza equivalente

RAΔ = RBΔ = RCΔ= 9 Ω

·•

•• •R4

RBΔ•

B

C•

2

1

RCΔ

RAΔA

•

•• •B

•

2

1 A = C

R4

·

RCΔ

·

RAΔ

•

•

•

2

1

Req

Req = R4RAΔRCΔ

R4RAΔ+RAΔRCΔ+R4RCΔ

=

= 1,385 Ω


••

Esempio

54

1-n21eq0

eq

01-n02011-n21

01-n0201

1-n21

0kk

k

1-n21

C1...

C1

C1

C1 : ) v(t )dt'i(t'

C1 v

)(tv...)(t v)(tv )dt'i(t'C

1...C1

C1v

)(tv...)(t v)(tv

)dt'i(t'C

1... )dt'i(t'C1 )dt'i(t'

C1 v

)(t v )dt'i(t'C1 v

v....v v v

0

0

0 0 0

0

+++=+=

++++÷÷ø

öççè

æ+++=

++++

+++=

+=

+++=

ò

ò

ò ò ò

ò

dove

dove:

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

1 n

iCeq

+ -v

••

i1 2 n-13 n

· · · ·

C1 Cn-1C2

+ + +- - -v2 vn-1v1

•••••

In più condensatori in serie scorre la stessa corrente. Perciò si ha:

Condensatori in serie


dove:

dove:

55

i = i1 + i2 + ....+ in

dove : ik = Ck

dvdt

i = C1

dvdt

+C2

dvdt

+ ...+Cn

dvdt

i = C1 +C2 + ...+Cn( )dvdt

i = Ceq

dvdt

dove : Ceq = C1 +C2 + ...+Cn

1 n

i Ceq

••

C1

i

i1

i2

in

1 n

C2

Cn

••

Più condensatori in parallelo sono sot-toposti alla stessa tensione. Perciò si ha:

Condensatori in parallelo


dove:

dove:

56

v = v1 + v2 + ....+ vn-1

dove : vk = Lk

didt

v = L1

didt

+ L2

didt

+ ...+ Ln-1

didt

v = L1 + L2 + ...+ Ln-1( ) didt

v = Leq

didt

dove : Leq = L1 + L2 + ...+ Ln-1

1 n

iLeq

+ -v

••

i1 2 n-13 n

L1 Ln-1L2

+ ++- --v1 vn-1v2

•••• •

In più induttori in seriescorre la stessa corrente. Perciò si ha:

Induttori in serie


dove:

dove:

dove:

57

i = i1 + i2 + ....+ in

dove : ik = 1Lk

v(t')dt' + ik (t0 )t0

t

∫

i = 1L1

v(t')dt' + 1L2

v(t')dt' + ...+ 1Ln

v(t')dt' t0

t

∫t0

t

∫t0

t

∫

+ i1(t0 ) + i2 (t0 ) + ...+ in (t0 )

i = 1L1

+ 1L2

+ ...+ 1Ln

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟v(t')dt'

t0

t

∫ + i1(t0 ) + i2 (t0 ) + ...+ in (t0 )

i = 1Leq

v(t')dt' + i(t0 )t0

t

∫ dove : 1Leq

= 1L1

+ 1L2

+ ...+ 1Ln

L1

i

i1

i2

in

1 n

L2

Ln

••

1 n

iLeq

••

Più induttori in parallelo sono sottoposti alla stessa tensione. Perciò si ha:

Induttori in parallelo


dove:

dove:

58

Φ

N S

vi

Il flusso magnetico F, flusso concatenato con l’avvolgimento ove scorre la corrente i, è indotto da essa (1° Legge di Maxwell):

F(i) = f (i)

Per un induttore lineare tempo-invariante, si ha:

F(i) = L i

Per la 2° Legge di Maxwell segue:

v = dFdt v = L didt

Flusso magnetico nell’induttore

Nucleo ferromagnetico

Avvolgimenti


59

i1 i2

B

B

B

Il flusso magnetico concatenato con il circuito della corrente i1, è genera-to sia da i1 che da i2. Esso si scom-pone nella componente F1(i1) pro-dotta da i1 e F1(i2) prodotta da i2:

ΦC1 = F1(i1) + F1(i2)Per un induttore lineare tempo-invariante essa diviene:

ΦC1 = L1 i1 + M12 i2

L1 e M12 sono rispettivamente l’auto-induttanza e la mutua induttanza.Da cui si ha:

M12 dipende da come sia da ogni singolo circuito che dal loro accoppiamento. Può

essere positive o negativo.

Induttori accoppiati

v1 = dFC1dt = L1

di1dt + M12

di2dt


60

Per due circuiti magneticamente accoppiati è:

ΦC1 = L1 i1 + M12 i2ΦC2 = M21 i1 + L2 i2

Si dimostra che M12 = M21. Perciò risulta:

v1 = dFC1dt = L1

di1dt + M12

di2dt

v2 = dFC2dt = M12

di1dt + L2

di2dt

La figura inferiore si riferisce alla simbologia di induttori accoppiati

raffigurati in quella superiore.

q I due circuiti sono magneticamente accoppiati in quanto uno influenza l’atro a causa del flusso magnetico concatenato con entrambi.

i1

v1 v2

i2

• •M12

L1 L2

•

•

•

•

L

••

••

a

b

c

d

i1 i2

Induttori accoppiati lineari tempo-invarianti


61

Convenzione dei palliniM12 > 0 se i pallini sono posti in corrispondenza di terminali con cor-renti entrambe uscenti od entrambe entranti negli induttori. Nel caso in cui I pallini siano posti in corrispondenza di terminali con corrente entrante da uno e uscente dall’altro allora M12 < 0.

i1 i2

• •

M12 > 0••

• •

i1 i2

•

•

M12 > 0

•

•

•

•

i1 i2

• •

M12< 0

•

• •

•

i1 i2

•

•

M12 < 0•

•

•

•



62

L’energia magnetica immagaz-zinata in induttori accoppiati da -∞ all’istante t, assumendo che i1(-∞) = i2(-∞) = 0, i1(t) = I1 ei2(t)=I2, è:

Energia magnetica immagazzinata in induttori accoppiati i1

v1 v2

i2M12

L1 L2


( ) [ ]

[ ]( ) 2

222112211

t2222112

211

t2

221

22

1121

11

t

2211

IL ½II MIL ½ t

iL ½ii MiL ½d

dtdtdiiL

dtdii

dtdiiM

dtdiiL

dtvivi t

++=¥-

++=

þýü

îíì

+úûù

êëé ++=

=+=¥-

ò

ò

ò

¥-

¥-

¥-

,

,

e

e

•

••

• • •

63

Elementi ad N porte q In un elemento circuitale a p terminali con ppari, i terminali possono essere organizzati due a due in porte. In ogni porta la corrente entra da un terminale della porta ed esce dall’altro. Le porte dell’elemento circuitale sono N = p/2.q Le grandezze che definiscono lo stato dell’elemento sono date da:

i =

i1

i2

.iN

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

; v =

v1

v2

.vN

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

p(t) = v1 i1 + v2 i2 + .... + vN iN = vT i

ε = p(t') dt-∞

t

∫ ' ε ≥ 0Quando l’N-porte è un elemento passivo.

1

i2

iN

.....

1

1’

2

2’

NN’

v1

vN

v2

Per ogni porta si ha:vk = fk(i1, i12, … , iN)con k = 1, 2,..,N


•

•

•

•

•

•

64

1’ i1’ 2’i2’

1 i1 2i2

Disposiotivo HI-FI

Tasformatore a due avvolgimenti

⎯v1 v2

- Porta di ingresso: porta 11’ - Porta di uscita: porta 22’ - Tensioni: v1, v2- Correnti: i1, i2 (i1 = i1’, i2 = i2’)

i v

0 c i B v A

v i

T p

vv ; i

i 2

1

2

1

=

=++

úûù

êëé=úû

ùêëé=

0cibib va va

0cibib va va

2222 121222112

1212 111212111

=++++

=++++

2211 i v i v p +=

Elementi a due porte

Per un elemento a due porte lineare e tempo-indipendente


•

• •

•

www.unibo.it

Alma Mater Studiorum - Università di Bologna


ElettrotecnicaCorso dei CdL

in Ingegneria elettronica per l’energia e l’informazione ed in Ingegneria biomedica

3. Elementi circuitali - unibo.it · 2020. 11. 20. · 2 Elemento circuitale ØLo stato...

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