1 modello circuitale

Universit degli Studi di Salerno Corso di Laurea in Ing. Gestionale

Princpi di ElettrotecnicaModulo da 6 CFU del corso integrato di Princpi di Elettrotecnica e Automatica anno accademico 2010-2011 II semestre ing. Walter Zamboni

Dispensa n. 1 Il modello circuitale

Indice degli argomenti

1 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 1.3.1 1.3.2 1.4 1.4.1 1.5

Modello circuitale Carica, intensit di corrente e tensione Carica elettrica e sua conservazione Intensit di corrente Tensione elettrica e flusso del campo magnetico concatenato Modello di bipolo Intensit di corrente di un bipolo Tensione di un bipolo Convenzioni sui riferimenti Leggi di Kirchhoff Legge di Kirchhoff per le correnti Legge di Kirchhoff per le tensioni Potenza ed energia elettrica Bipoli passivi e bipoli attivi Limiti del modello circuitale

1 3 3 4 8 10 11 13 15 15 16 17 20 23 23

Autori: M. de Magistris, G. Miano

1 Modello circuitale

I circuiti elettrici, e pi` in generale ci` che nel linguaggio comune chiamiamo u o apparati elettrici od elettronici, sono senzaltro tra i sistemi moderni pi` diusi u e che maggiormente hanno contribuito a cambiare la vita umana negli ultimi 150 anni. Essi sono tutti pi` o meno basati sullelettricit`, cio` linsieme di u a e quei fenomeni (macroscopici) che coinvolgono le cariche elettriche e le loro interazioni. Lelettricit`, dal punto di vista fenomenologico, era ben nota allumanit` a a sin dai tempi antichi. Solo per` negli ultimi due secoli i progressi fatti nella o conoscenza delle leggi dellinterazione elettromagnetica hanno permesso allingegno umano di imbrigliare lelettricit` prevalentemente attraverso i circuiti a elettrici, permettendo di realizzare una enorme quantit` di nuovi sistemi. In a particolare, di straordinaria importanza ` stata la possibilit` di disporre, trae a sportare e distribuire lenergia sotto forma di energia elettrica nelle modalit` a che oggi conosciamo. Ancora, la rivoluzione dellinformazione, legata alla possibilit` di rappresentare, elaborare e trasmettere le informazioni attravera so lelettricit`, ha avuto un impatto che ` sotto gli occhi di tutti. Inne, la a e possibilit` di combinare lutilizzo dellenergia elettrica nelle macchine e nei a processi industriali con il loro controllo informatizzato, ha dato luogo alla straordinaria automazione degli apparati produttivi dei paesi industrializzati, ` che ben conosciamo. E in buona misura grazie a questo importante progresso scientico e tecnologico che lo sviluppo sociale ed economico dellumanit` ha a subito una straordinaria accelerazione nellultimo secolo. In questo testo ci occuperemo di introdurre le leggi ed i modelli che descrivono il funzionamento dei circuiti elettrici. Se ` vero che i circuiti rape presentano solo un sottoinsieme degli apparati il cui funzionamento ` basato e sullelettromagnetismo, certamente sono i pi` presenti nella maggioranza delu le applicazioni. Inoltre i circuiti rappresentano un importante paradigma per lo studio pi` in generale dei sistemi, e dunque i concetti, le metodologie e u le tecniche che introdurremo hanno spesso una validit` che va ben oltre la a descrizione dei circuiti stessi.

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1 Modello circuitaleoscilloscopio generatore di segnali transistor 0850.0 0055.0 condensatore

trasformatore

+ batteria resistore

Figura 1.1. Un esempio di circuito elettrico.

Un circuito ` sostanzialmente linterconnessione di componenti circuitali. e Essi possono essere oggetti sici di svariata composizione, struttura e forma, ma tutti caratterizzati dal possedere alcuni terminali, realizzati con conduttori elettrici, con i quali possono essere connessi ad altri componenti, e tramite i quali dunque interagire con il circuito nel suo complesso. In g. 1.1 ` e schematicamente rappresentato un esempio di circuito elettrico, con alcuni componenti. Durante il funzionamento sia i conduttori di collegamento che i componenti del circuito sono sedi di cariche e correnti elettriche che generano campi elettrici e magnetici. La dinamica di queste grandezze governata dalle equazioni dellelettromagnetismo: le equazioni di Maxwell e le relazioni costitutive dei materiali con cui sino realizzati i componenti ed i conduttori. I componenti pi` semplici, e che introdurremo per primi, sono ad esemu pio il resistore, il condensatore, linduttore, il generatore, etc.; poi ve ne sono altri, altrettanto importanti anche se pi` complessi, come il trasformatore, il u generatore controllato, lamplicatore operazionale. Va comunque sottolineato che alcuni componenti sono da considerarsi elementari, mentre altri possono essere a loro volta dei circuiti di componenti elementari eventualmente anche assai complessi, ma che sinteticamente realizzano una ben determinata funzione e comunque interagiscono con il circuito attraverso un numero limitato di terminali. Le principali grandezze elettriche di interesse in un circuito sono le intensit` di corrente attraverso i terminali dei componenti e le tensioni che si a stabiliscono tra gli stessi. Ci soermeremo poi, nel paragrafo successivo, sulla loro denizione rigorosa. In un circuito tali grandezze, in generale, saranno variabili nel tempo, e dovremo dunque descriverle come funzioni del tempo. In g. 1.2 mostriamo alcuni andamenti temporali tipici per queste grandezze che possiamo incontrare in un circuito.

1.1 Carica, intensit` di corrente e tensione a

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t (a) (b)

t

t (c) (d)

t

Figura 1.2. Andamenti temporali tipici di correnti e tensioni: (a) costante; (b) sinusoidale; (c) arbitrariamente variabile; (d) ad impulsi.

1.1 Carica, intensit` di corrente e tensione aLe cariche e le correnti sono gli attori principali che determinano linterazione elettromagnetica, come sappiamo dalla sica. La tensione, poi, rappresenta unimportante grandezza, legata in qualche modo allenergia necessaria a spostare le cariche nel campo elettrico. Tensione ed intensit` di corrente, assieme, a costituiscono le principali variabili circuitali, ed ` in termini di queste ultime e che generalmente si analizzano i circuiti. In questo paragrafo ci occuperemo di descrivere e denire pi` esattamente queste grandezze. u 1.1.1 Carica elettrica e sua conservazione La carica elettrica ` una propriet` intrinseca della materia, che si manifesta e a in generale attraverso linterazione elettromagnetica. Il modo pi` diretto e pi` u u celebre attraverso cui si pu` svelare questa interazione ` attraverso la forza o e dattrazione o repulsione tra due oggetti che ne siano dotati. A causa di questa doppia possibilit` alla carica ` associato convenzionalmente un segno positivo a e (+) o negativo (), convenzione che permette appunto di contemperare le due eventualit`: le cariche di segno opposto si attraggono, mentre quelle dello a stesso segno si respingono. La carica si misura in coulomb (C) nel Sistema Internazionale (SI) di unit` a di misura. Sappiamo, dalla sica, che essa ` associata direttamente ai costie tuenti elementari della materia a livello atomico, in particolare ai protoni ed agli elettroni. Questi ultimi sono dotati della stessa carica (in valore assoluto),

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ma con segno opposto. Convenzionalmente si ` assunta come positiva la carica e del protone, che risulta: qp = 1, 6022 1019 C. Propriet` molto importante della carica, sempre vericata in qualsivoglia a esperimento sico, ` che essa si conserva: e in un sistema chiuso (cio` nel quale non possano entrare od uscie re cariche) la somma delle cariche positive e negative ` costante nel e tempo. Naturalmente in un sistema aperto essa potr` variare, ma solo in ragione a delleventuale usso di carica complessivo attraverso il conne del sistema stesso; ma su questo concetto torneremo pi` avanti. u La conservazione della carica in un sistema chiuso si esprime matematicamente attraverso la relazione: QT ot (t) = Q+ (t) + Q (t) = cost; (1.1)

va comunque precisato che, in condizioni ordinarie, non solo si conserva la carica nel suo complesso (come somma algebrica di quella positiva e di quella negativa), ma si conservano singolarmente le aliquote di carica positiva totale Q+ e totale negativa Q . Esistono per` condizioni siche estreme, realizzabili o in particolari esperimenti, in cui quantit` uguali di carica positiva e negativa a possono essere distrutte o create simultaneamente, dando luogo rispettivamente al rilascio o allassorbimento di determinate quantit` di energia. Ci`, a o pur non violando la conservazione della carica totale come precedentemente enunciata, esula dagli ambiti di nostro interesse. 1.1.2 Intensit` di corrente a Possiamo pensare alla corrente elettrica come un movimento ordinato di cariche elettriche. In relazione alla natura del mezzo in cui le cariche si muovono, la corrente elettrica pu` concepirsi secondo modelli diversi. Nella maggior paro te delle applicazioni (metalli conduttori) essa consiste in un movimento degli elettroni liberi (gli elettroni periferici degli atomi, non stabilmente collegati ai rispettivi nuclei)1 . In assenza di forze applicate, questi elettroni hanno un moto disordinato, a causa dellagitazione termica, ad una velocit` media di a circa 100 km/s (a temperatura ambiente). Invece, in presenza di un campo elettrico2 gli elettroni liberi vengono sollecitati ad assumere un movimento di1

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Nei semiconduttori la corrente elttrica consiste nel movimento ordinato di elettroni liberi e lacune (quasi particelle equivalenti a cariche elementari positive) Le forze che danno origine alle correnti elettriche possono essere anche di origine diversa da quella elettrica, cos` come accade, ad esempio, nelle pile. In tal caso esse agiscono sul supporto materiale delle cariche.


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+ + - +

n + -

S

Figura 1.3. Una generica supercie aperta, con il verso della normale prescelto n ` attraversata da un insieme di cariche. e

insieme, caratterizzato da una velocit` media diversa da zero. Avremo quindi a una corrente elettrica di conduzione. Al moto delle cariche ` intuitivo associare il concetto di intensit` di correne a te elettrica. Per denirla pi` precisamente, consideriamo una certa supercie u S (non importa per il momento se aperta o chiusa). Scegliamo su di essa il verso della normale (si pu` gracamente indicarlo con una freccia, come in o g. 1.3). Consideriamo tale verso come verso di riferimento per lattraversamento della carica. Possiamo allora considerare la carica complessiva netta QS (positiva+negativa) che lattraversa, in un determinato intervallo di tempo (t,t + t), nel verso scelto, come schematicamente mostrato in g. 1.3. Va da s che nel calcolo di QS dovranno essere considerate con il segno posie tivo le cariche positive e che attraversano la supercie concordemente con il verso pressato, con il segno negativo le cariche positive che attraversano la supercie discordemente con il verso pressato, e cos` via. Possiamo allora denire il valor medio dellintensit` di corrente (nellina tervallo (t,t + t)) attraverso la supercie S come: iS = QS . t (1.2)

La carica netta QS che attraversa la supercie S nellintervallo (t,t + t) pu` essere letta come la dierenza tra tutta la carica QS (t + t) che ha o attraversato S nel verso prescelto, a partire da un dato istante t0 (in principio del tutto arbitrario) sino allistante t + t, meno la carica QS (t) che laveva gi` attraversata sino allistante t. In altri termini: a iS = QS (t + t) QS (t) . t (1.3)

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Se alla denizione di intensit` di corrente media applichiamo un processo a al limite per t 03 , riconosciamo facilmente dallequazione (1.3) il limite di un rapporto incrementale, dunque una derivata: iS (t) = dQS . dt (1.4)

La grandezza iS (t) cos` denita ` lintensit` di corrente istantanea attraver e a so S. Essa rappresenta la quantit` di carica che nellunit` di tempo attraversa a a la supercie orientata S. Lintensit` di corrente si misura in ampere (A) nel a Sistema Internazionale, dove 1A=1C/1s. Il verso prescelto come positivo per lattraversamento di S (che abbiamo indicato con una freccia), prende il nome di verso di riferimento per lintensit` di corrente. Dalla (1.4) si ha immediaa tamente che la quantit` di carica dQS che attraversa la supercie orientata S a nellintervallo di tempo innitesimo (t,t+dt) ` data da iS (t) dt. e ` E appena il caso di osservare che, cambiando il verso di riferimento prescelto, cambier` il segno con cui va computata la carica che attraversa la a supercie S nellintervallo considerato, e dunque il segno della corrispondente intensit` di corrente iS (t). a La relazione (1.4) esprime che lintensit` di corrente istantanea ` pari a e alla derivata della carica netta che attraversa la supercie S nellintervallo (t0 ,t), con t0 arbitrario purch t0 t. Essa pu` altres` essere riscritta nella e o corrispondente forma integrale:t

QS (t) = QS (t0 ) +t0

iS (t)dt.

(1.5)

Consideriamo, ora, una supercie chiusa che delimita una certa regione dello spazio , e ssiamo come verso di riferimento per lintensit` di corrente a attraverso quello uscente. Dalla legge della conservazione della carica (per sistemi chiusi) si ha: Q + Q = 0 (1.6) dove Q ` la carica netta che attraversa e Q ` la variazione della e e carica contenuta nella regione nell intervallo (t,t + t). Dividendo, prima, ambi i membri di questa equazione per t e facendo, poi, tendere a zero t otteniamo: i (t) = ovvero:3

dQ . dt

(1.7)

Qui, con il simbolo t 0 intendiamo un intervallo di tempo sicamente innitesimo, cio un intervallo di tempo molto piccolo rispetto alla scala dei tempi sui quali le grandezze elettriche macroscopiche variano apprezzabilmente, e tuttavia abbastanza grande di modo che sia attraversata da un numero elevato di cariche elementari.

1.1 Carica, intensit` di corrente e tensione at

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Q (t) = Q (t0 ) t0

i (t)dt.

(1.8)

Queste due equazioni esprimono in forma analitica la legge di conservazione della carica per sistemi aperti, nei quali, appunto, sia previsto un passaggio di carica attraverso la supercie con unintensit` di corrente i (t). In particoa lare la (1.8) pu` leggersi come segue: in un qualsiasi istante t, la carica Q (t) o contenuta allinterno di una regione di spazio ` pari a quella ivi presente e allistante iniziale t0 , Q (t0 ), diminuita dellintegrale da t0 a t dellintensit` a di corrente attraverso la supercie che delimita con verso di riferimento uscente. ` E importante osservare che in condizioni stazionarie, ovvero quando non vi sono variazioni temporali (d/dt=0), dalla (1.7) si ha sempre i =0; ovvero, lintensit` di corrente attraverso la supercie chiusa ` nulla. a e Esempio 1.1. Consideriamo un conduttore di forma allungata (come mostrato nella seguente g. 1.4) immerso in un mezzo isolante (per esempio anche in aria). Consideriamo la supercie chiusa che si realizza prendendo in considerazione due qualsiasi sezioni trasversali al conduttore, indicate con Sa ed Sb , e la supercie laterale Sl del conduttore compresa tra le stesse. In condizioni stazionarie possiamo certamente aermare che lintensit` di corrente attraverso ` nulla a e per quanto visto prima. Ma, tenuto presente che attraverso la supercie laterale non pu` esserci corrente elettrica (in quanto il materiale o esterno ` isolante), lintensit` di corrente ` diversa da zero solo su e a e Sa ed Sb . Pertanto, con riferimento al verso uscente indicato in gura, possiamo concludere che ia + ib =0. Dunque lintensit` di corrente a risulta indipendente dalla sezione del conduttore considerata in condizioni stazionarie; in particolare, scegliendo in modo concorde i due versi di riferimento per le intensit` di corrente, si avr` ia = ib = i; in a a altri termini, per un conduttore in condizioni stazionarie ` possibile e denire ununica intensit` di corrente. aApprofondimento: densit` di corrente elettrica a ` E utile ricordare che per denizione del campo di densit` di corrente elettrica J si a ha: ZZ iS = J ndS. (1.9)S

Nel sistema internazionale lunit` di misura del campo di intensit` di corrente a a elettrica ` ampere/metro2 (A/m2 ). Se Jn = J n fosse uniforme su S si avrebbe e Jn = iS /S. Il campo densit` di corrente pu` essere espresso in termini delle velocit` medie a o a e delle densit` numeriche (numero di particelle per unit` di volume. Assumendo che a a vi siano portatori di carica positiva q+ , con densit` numerica n+ e velocit` media a a

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Sl

iso

te lancondutSa

tore

Sb

Figura 1.4. Tronco di un conduttore allungato immerso in materiale isolante. v+ e di carica negativa q , con densit` numerica n e velocit` media v , il campo a a J dato dalla seguente espressione: J = q+ n+ v+ + q n v . In un metallo gli unici portatori presenti sono gli elettroni liberi. (1.10)

1.1.3 Tensione elettrica e usso del campo magnetico concatenato Nel precedente paragrafo abbiamo trattato, da un punto di vista descrittivo, il moto delle cariche, traducendolo nel concetto di corrente elettrica e denendone la grandezza corrispondente, lintensit` di corrente. Va comunque a considerato che, in presenza di campo elettrico, al moto delle cariche sar` a associato un certo lavoro che, ricordiamo, si misura in joule (J) nel Sistema Internazionale. Vogliamo ora introdurre il concetto di tensione elettrica. Immaginiamo a tal ne una carica unitaria positiva che si muova dal punto A al punto B lungo una linea che denotiamo con (g. 1.5a) in presenza di un campo elettrico E. Chiameremo tensione vAB | il lavoro compiuto dal campo elettrico su tale carica. La sua espressione `: e vAB | =

E tdl,

(1.11)

dove con t indichiamo il versore tangente a orientato da A verso B; essa si misura in volt (V) nel Sistema Internazionale, dove 1V=1J/1C. La relazione (1.11) pu` essere letta anche in questo modo: il valore medio della componente o tangente del campo elettrico lungo la linea ` dato dalla tensione vAB | diviso e la lunghezza della linea. Il verso di percorrenza di costituisce il verso di riferimento per la tensione. Cambiando il verso di riferimento prescelto, cambier` a


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A

A

g g' B (a)

g B (b)

Figura 1.5. (a) Percorso lungo da A a B; (b) due diversi percorsi e da A a B.

il verso di percorrenza della linea , e dunque il segno della corrispondente tensione. Se la componente tangente alla linea del campo elettrico Et fosse uniforme si avrebbe Et = vAB | /l dove l ` la lunghezza della linea. e Va subito osservato che in generale, se tra i punti A e B scegliamo un nuovo percorso (g. 1.5b), la tensione risulter` in generale diversa vAB | = a vAB | . Ha senso poi considerare (vedremo meglio in seguito a quale scopo) anche il lavoro compiuto dal campo elettrico per spostare una carica unitaria lungo una linea chiusa (orientata), a cui si d` il nome di circuitazione o forza a elettromotrice (FEM)4 : =

E tdl.

(1.12)

La circuitazione del campo elettrico ` legata al campo magnetico dalla e legge dellinduzione di Faraday: E tdl =

d , dt

(1.13)

dove ` il usso del campo magnetico B concatenato con la linea chiusa e (ferma): =S

B ndS;

(1.14)

S ` una qualsiasi supercie aperta che ha come orlo la linea ed n ` il e e verso della normale alla supercie S scelto concordemente con il verso di percorrenza di secondo la regola della mano destra. Ricordiamo che il usso non dipende dalla particolare supercie S scelta perch il campo e4

Il termine ` piuttosto infelice, non trattandosi di una forza, bens` di una grandezza e avente le dimensioni di una tensione, che come sappiamo, ` omogenea ad un lavoro e diviso per una carica. Ci` nonostante ` di uso consolidato. o e

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magnetico ` conservativo rispetto al usso 5 . Il usso dinduzione magnetica e si misura in weber (Wb) nel Sistema Internazionale, dove 1Wb=1V. 1s. Il fenomeno espresso dalla legge di Faraday ` quello dellinduzione elettroe magnetica, che lega in generale le variazioni di campo magnetico al campo elettrico, ed ` tra i pi` importanti dellelettromagnetismo. e u Unosservazione importante, a proposito della legge di Faraday (1.13) ` la e seguente: nel caso stazionario, quando appunto non vi sono variazioni temporali (d/dt=0), la circuitazione risulta nulla. Come immediata conseguenza di ci`, la tensione vAB in questo caso risulta indipendente dalla linea scelta o tra A e B, ovvero vAB | vAB | = 0. A ci` infatti si perviene immediatameno te considerando la circuitazione estesa alla linea chiusa costituita dallunione delle curve e (g. 1.5b). In queste condizioni, esiste una grandezza sica che chiamiamo potenziale elettrico, denita in modo tale che la tensione tra i due punti A e B pu` essere espressa come dierenza tra il valore del potenziale o elettrico nel punto A ed il valore del potenziale elettrico nel punto B.

1.2 Modello di bipoloIn un circuito, inteso come linterconnessione di componenti di vario tipo, il funzionamento di ogni singolo componente ` in ogni istante determinato dai e vincoli legati alla sua costituzione sica, ed al tempo stesso dalla sua interazione con tutto ci` cui esso ` collegato, ovvero la rimanente parte del circuito. o e In sostanza le condizioni del suo funzionamento sono il frutto di due contemporanee esigenze: che il componente rispetti la sua intrinseca natura, e che al tempo stesso il suo comportamento sia compatibile con quello di tutti gli altri componenti presenti nel circuito. In termini matematici, come vedremo, tali presupposti si esprimeranno in due gruppi di relazioni: le cosiddette equazioni caratteristiche dei componenti da un lato, e le equazioni di interconnessione (leggi di Kirchho) dallaltro. Il cuore del modello circuitale, che rappresenta unapprossimazione della descrizione pi` completa possibile in termini di campo elettromagnetico del u sistema circuito, risiede nel fatto che sia il comportamento del singolo componente che linterazione tra di essi possano essere ben descritte attraverso relazioni tra le tensioni tra i terminali e le intensit` di corrente nei termia nali. In questo capitolo consideremo soltanto circuiti con componenti a due terminali. Nel capitolo 6 estenderemo lo studio ai componenti con pi di due terminali.

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Il usso del campo magnetico attraverso una qualsiasi supercie chiusa ` seme pre uguale a zero. Questa ` una delle leggi fondamentali dellelettromagnetismo. e Da essa discende la propriet` che il valore del usso del campo magnetico attraa verso una generica supercie aperta dipende solo dalla forma del contorno della supercie e dalla distribuzione del campo.

1.2 Modello di bipolo

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1.2.1 Intensit` di corrente di un bipolo a Consideriamo un generico componente a due terminali. Esso pu` schematicao mente essere rappresentato come in g. 1.6. Applichiamo ora lequazione di conservazione della carica (1.8) alla supercie completamente esterna alla supercie limite del componente, e che taglia soltanto i terminali. Tenendo presente che immaginiamo allesterno del bipolo una regione isolante (tranne che per i terminali), e denite come iA lintensit` di corrente attraverso la a supercie SA in gura, intersezione di con il terminale A, ed analogamente per iB , si ha: dQ , (1.15) iA iB = dt dove Q ` la carica elettrica netta che si trova allinterno del componente e sui e terminali; i versi di riferimento per iA e iB sono indicati dalle frecce disegnate in prossimit` delle superci SA e SB , rispettivamente. Allora, in condizioni a di funzionamento stazionarie si ha iA = iB . Osserviamo che nelle suddette ` condizioni tale risultato ` rigoroso! E evidente, anche, che in condizioni non e ` stazionarie si ha, in generale, iA = iB . E facile convincersi che esistono condizioni di funzionamento non stazionarie per le quali, pur essendo la derivata di Q diversa da zero, la sua ampiezza ` trascurabile se confrontata con le e ampiezze di iA e iB . In queste condizioni si potr` dunque a porre: iA iB 0 iA iB . (1.16) = = Le condizioni in cui lapprossimazione (1.16) risulta valida vengono dette lentamente variabili. Dalla (1.16) deriva anche il fatto che i valori di iA e iB sono, in condizioni lentamente variabili, praticamente indipendenti dalle particolari sezioni SA e SB considerate. In conclusione, in condizioni lentamente variabili un componente con due terminali ` caratterizzato, per un assegnato e verso di riferimento, da ununica intensit` di corrente. aApprofondimento: valutazione dellapprossimazione quasi stazionaria La comprensione del concetto lentamente variabile pu` essere agevolata se si supo pone che la variabilit` temporale delle grandezze elettriche del circuito sia di tipo sia nusoidale, il che, come poi vedremo, non toglie molto alla generalit` della trattazione. a Poniamo, allora: iA (t) = IA cos (t + A ) , iB (t) = IB cos (t + B ) , (1.17) Q (t) = Q cos (t + ) ; i parametri IA , IB e Q sono le ampiezze massime, i parametri A , B e sono le fasi iniziali ed il parametro la pulsazione. La frequenza f = /2 rappresenta il numero di volte che la grandezza sinusoidale si ripete nellintervallo di tempo di un secondo. Per f 0 le grandezze tendono ad una funzione costante, mentre al crescere di f cresce la rapidit` con cui esse variano nel tempo. Dalla relazione 1.17 a abbiamo, allora:

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iA A S SA

iB B

SB

Figura 1.6. Rappresentazione schematica di un componente con due terminali, una supercie chiusa tutta esterna forata dai terminali, i versi di riferimento delle intensit` di corrente denite nei terminali. a IA cos (t + A ) IB cos (t + B ) = 2f Q sin (t + ) (1.18)

Il contributo dovuto alla variazione della carica ` trascurabile se lampiezza massie ma del termine sinusoidale a secondo membro ` molto pi` piccola delle ampiezze e u ` massime dei due termini sinusoidali che compaiono al primo membro.E evidente, allora, che, pur essendo f = 0, possiamo ritenere il termine dQ /dt trascurabile se confrontato con le due intensit di corrente iA e iB e se vericata la condizione: f > lc . u Esempio 1.4. Consideriamo un microprocessore di un computer con frequenza di clock di 10 GHz. I segnali elaborati da tale processore hanno tempi caratteristici (ovvero il tipico tempo in cui i segnali digitali passano dal valore basso a quello alto) dellordine di tc 1/f = 1010 s= 0.1ns. Pertanto avremo che la lunghezza don= da sar` c 1010 3 108 = 3 102 m = 3cm. Tenuto conto che a = le dimensioni tipiche delloggetto sono confrontabili con quelle della lunghezza caratteristica di propagazione, in questo caso non possiamo a priori concludere che il modello circuitale ` adeguato. Gli eetti e dei ritardi introdotti dalla velocit` nita di propagazione dei segnali a elettrici sono importanti. Esempio 1.5. Consideriamo un tipico sistema per la distribuzione dellenergia elettrica, costituito da una centrale di produzione, la rete di distribuzione ed i singoli utenti. Come ` noto la distribuzione dellenere gia ` realizzata in regime sinusoidale a 50 Hz. La lunghezza donda di e propagazione a queste frequenze, tenuto conto che tc 1/f = 0.02s. = sar` c 0.02 3 108 = 6 106 m = 6000 km. Dunque il sistema a = della distribuzione dellenergia elettrica potr` evidentemente essere a analizzato con il modello circuitale. ` E evidente allora che per ogni circuito sico esiste una frequenza caratteristica al di sopra della quale il modello circuitale non ` pi` valido. e u

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