4. Le Basi Della Meccanica Quantistica

7/26/2019 4. Le Basi Della Meccanica Quantistica

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Capitolo 4. Le basi della Meccanica Quantistica

2. Stati quantici e lequazione di Schroedinger

Associamo ad ogni particella una funzione donda . Evidentemente, ogni funzione

donda rappresenter uno stato diverso: ma quali propriet deve avere la funzione dondaper poter rappresentare uno stato quantico?E chiaro che le funzioni donda non possono di per s darci una probabilit, perchquestultima una quantit definita positiva. E anche chiaro che da ogni funzione donda

si pu ottenere una quantit definita positiva: il modulo quadro. Questo pu essere tentati-vamente identificato con la probabilit per la particella di trovarsi in un certo punto. Tut-

tavia, sar necessario che sia verificata la condizione di normalizzazione: 12

dVV

,

dove il dominio di integrazione V quello su cui la funzione donda non nulla, per-

ch evidentemente la probabilit di trovare la particella in almeno un punto deve essere 1.Questa condizione pu sempre essere verificata, purch lintegrale sia finito. Infatti, se la

funzione donda non normalizzata a 1, se cio: AdVV

2

, allora ridefiniremo la fun-

zione donda come:A

' e ' sar normalizzata ad 1.

Una richiesta che si pu fare alle nostre funzioni donda che esse rappresentino degli sta-ti con qualche variabile dinamica precisamente definita, per esempio lenergia, il momen-to della quantit di moto, ecc.... Dunque, dato un sistema definito, si consideri un certonumero di variabili dinamiche: a, b, c,, che sia possibile conoscere, cio misurare, allostesso tempo e si prenda linsieme delle funzioni donda, ciascuna delle quali corrisponda,normalizzata ad 1, ad un possibile stato.Tale insieme di funzioni d'onda rappresenter tutti gli stati possibili, tutti gli stati cio incui possiamo trovare il sistema, se lo sottoponiamo alla misura delle variabili dinamicheprescelte. A priori, il sistema si trova in uno stato che una combinazione lineare di tuttele funzioni donda attraverso dei coefficienti il cui modulo quadro d la probabilit di tro-vare il sistema in quello stato.

A questo punto, ci si deve chiedere come trovare o calcolare questo insieme completo di

funzioni donda o, come sono chiamati, di autostati del sistema.Occorre costruire unequazione che dia gli autostati e gli autovalori corrispondenti. Perprocedere, si stabilisce di rappresentare loperazione di misura su una particolare variabiledinamica con lo stesso simbolo della variabile dinamica con un cappello sopra.Loperazione di misura viene applicata alla funzione donda e si vuole ottenere

lautovalore della variabile dinamica per lo stato. In simboli: a a . Si tratta allora di

trovare lespressione corretta delloperatore e risolvere lequazione. Schroedinger assegn


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Cap. 4 Le basi della meccanica quantistica2

alloperatore dellenergia la forma dellenergia classica 21

2E p V

m , sostituendo

allimpulso loperatore derivata rispetto alle coordinate spaziali:

x

y

z

pi x

pi y

pi z

E t

3. La scelta degli operatori dimpulso, di posizione e di energia

Consideriamo un pacchetto donde (unidimesionale):

dkekx ikx)(2

1)(

(

dxexk ikx)(2

1)(

) normalizzato ( 1)(

2

dxx ) e calcoliamo il valore medio

dellimpulso:

dxexkexdkdxdkkkkkdkkkp ikxikx )()'(*'2

)()(*)( '2

'

'

1' *( ') ( ) ( )

2

1' *( ') ( ( ))

2

ikx ikx

ikx ikx

dx dk x e x e dxi x

dx dk x e e x dxi x

Lultimo passaggio (integrazione per parti) giustificato dal fatto che lintegrale:

0)()'(*'21))(()'(*'

21 ''

ikxikxikxikx exdkexdxdxexxi

exdkdx

giacch 0)( . Dunque:


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Cap. 4 Le basi della meccanica quantistica 3

( ' )1 ' *( ') ( ( )) ' ( ') *( ') ( ( ))2

*( ) ( ( ))

ik x xp dx dk x e x dx dx x x x x dxi x i x

x x dxi x

Se vogliamo calcolare x , scriviamo: *( ) ( )x x x x dx

. Come si vede, lespressione

di x e di p sono simili. In un caso usiamo come operatore x e nellaltro pi x

.

Nello spazio delle coordinate, abbiamo insomma i due operatori: x x e pi x

Da ricordare che: ( ' )2 ( ') ik x xx x e dk

e che ( ) ( ) (0)y f y dy f

. La funzione

( )y nota come delta di Dirac.

Analogamente, nello spazio degli impulsi:

dkk

pikx ))(()(*

2

1

. Ne segue che abbiamo i due operatori: xi p

e p p .

Analogamente si pu calcolare lenergia media:

'

' '

( ' )

*( ) ( ) *( ') ( ) '2

*( ') ( ) ' *( ') ( ) '2 2

( ) ( )*( ') ' *( ') ( ' )

2

i t i t

i ti t i t i t

i t t

E d t e t e d dtdt

et e t e d dtdt t e t d dtdt

i t

t tt e d dtdt i t t t

i t t

'

( )*( ')

d dtdt

ti t dt

t

Da cui si deduce che loperatore dellenergia : E it

e ,E t i

.


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* *( ( *) ( ) ( * ) ) ( )

2 2

* 1( * ) * *

2

i d d d d i d d d d x x dx x x dx

m dx dx dx dx m dx dx dx dx

i d d i d d pdx dx dx

m dx dx m dx m i dx m

Lintegrale

dxxdx

d

dx

dx

dx

d)*)(*( , nullo, perch la funzione donda zero

allinfinito. Ripetendo il procedimento si ottiene:2

2

d x V

xdt

o, in tre dimensioni:

2

2

d rV

dt

(le parentesi indicano media) che il secondo principio della dinamica.

2 2

2* * *

d x d d m dx dx dx

t i dx i t dx i t xdt

2* ** ( * )dx dx dx dx

i t x i t x i t x i x t

2 2

2 2* * * * *

2

idx dx dxi x t i t x x t i m x xx x

2* * **

4V V dx dx

i x x m x x x x x

22( )1 * ( *)

*V V

V V dx Vdx dx dxi i x x x x x

2 V Vdx

x x

.

E questo il teorema di Ehrenfest . Esso stabilisce che le medie degli operatori sono legatetra loro e alle forze come nella meccanica classica. Dunque, se potessimo portare a zerogli errori su posizione e impulso, cio se non valesse il principio di Heisenberg,lequazioni classiche sarebbero valide. Dunque nei limiti in cui possiamo considerare

0 , vale le meccanica classica.


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Dimostriamo adesso che la probabilit conservata. Cosa che rinforza la nostra interpre-tazione probabilistica della funzione donda. Prendiamo lequazione di S. moltiplichiamo

a sinistra per la complessa coniugata della funzione donda * . Prendiamo lequazione

di S. scritta per la * e moltiplichiamola per la funzione donda e, finalmente, sottraia-

mo le due equazioni. Otteniamo:

ti

ti

ti

tiV

mV

m

222 *)(**)

2()

2(*

22 2 2

2

( )*( ) ( ) * ( * *)

2 2 2

* *2

ii

m m m t i

m t

Posto: ( * * )2

ij

m

e

2 otteniamo appunto la conservazione della

probabilit:2

0d

j dVt dt

, cos come lanaloga equazione esprime la

conservazione della carica in elettromagnetismo. Facciamo vedere che lespressione delladensit di corrente si pu riscrivere come il prodotto della densit di probabilit per unavelocit, cos come abbiamo fatto per la conservazione della carica:

Per una onda piana ( ) ( ) ikx

x k e abbiamo:' '

2'

* ( * ) *( ') ( ) ( ') * ( )

2

1 1*( ') ( ) ' ( )

ik x ikx ik x ikx

ik x ikx

ij k e p k e k e p k e

m x x

k e p k e dkdk p x vm m

Tutto ci sta a dire che il numero di particelle si conserva e che dunque non ci pu esserecreazione o distruzione di particelle. In meccanica quantistica relativistica lequazione diS. viene sostituita dallequazione che si ottiene dalla relazione relativistica:

42222 cmpcE , sostituendo gli operatori scritti prima:

22

2

2

2

2 )1

( cm

tc

che viene chiamata equazione di Klein-Gordon. Palesemente

questa equazione si riduce allequazione delle onde, se la massa nulla. Dunque una e-quazione che funziona per i fotoni e, pi in generale, per i bosoni. Non vale invece per ifermioni. Lequazione di Klein-Gordon non ha una probabilit conservata, ovvero per essail numero di particelle non si conserva. Per esempio, un fotone pu produrre una coppia dielettroni di carica opposta o una coppia di elettroni di carica opposta si pu annichilare indue fotoni, rendendo cos il numero di particelle (fotoni o elettroni) non costante. Quantodetto vale perch oltre agli elettroni negativi esistono gli elettroni positivi, scoperti nel


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raggi cosmici da Anderson nel 1932, o pi in generale perch esiste lantimateria. La ra-gione per cui lapplicazione della relativit ristretta alla meccanica quantistica implichiimmediatamente lesistenza dellantimateria alquanto complicata.Infine dimostriamo il principio di Heisenberg.

Un operatore si dice hermitiano quando genera medie reali corrispondenti a quantit

misurabili. Perch ci avvenga deve essere: *( ) ( ) ( ) ( ) *x x dx x x dx

,

cio la media deve essere uguale al suo complesso coniugato. Ovvero:

( ) * * *( )x x .Consideriamo due operatori hermitiani che non commutano e il cui commutatore si pu

scrivere: , i

. Preso un parametro reale , consideriamo lespressione:

2 ( )* *( )( ) ( ) ( ) ( ) 0x x dx x dx

2 2 2 0 .

Poich questa relazione deve essere vera a prescindere dal valore di non ci devono es-

sere radici reali di questa equazione in . Perch sia cos, il discriminante dellequazione

deve essere minore di zero, cio: 2 2 24 . Poich anche gli operatori e

sono hermitiani e hanno un commutatore pari a i , deve essere vero che

2 2 24( ) ( ) . Prendendo le radici quadrate, si trova:

2 2( ) ( )2

. Le espressioni sotto le radici quadrate sono lespressione

dellerrore quadratico medio che possiamo denotare come e , ottenendo:

che il principio di Heisenberg. Come si vede c una stretta correlazione tra

il principio di Heisenberg e la non commutabilit degli operatori, cio operatori che noncommutano corrispondono a variabili dinamiche che non possono essere determinate allostesso tempo.

4. La velocit della particella

Consideriamo che una particella ha:m

phE

2

2

e kh

p

, risulta allora che:

m

k

m

kE

22

222

, come si vede una relazione tra frequenza angolare e lunghezza

donda diversa da quella della luce, per cui vale che: ck . E vero naturalmente che la


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velocit di una particella classica :m

p

dp

dEv , che nel nostro caso si traduce in

m

k

dk

dv

. Come noto per unonda in un mezzo dispersivo, la velocit

dk

dv

la

velocit di gruppo, mentre la velocit di fase )( tkx , cio la velocit di un punto a

fase costante :kt

xvtxk f

0 , che risulta essere:

m

k

kvf

2

,

diversa dalla velocit di gruppo per un fattore 2. Naturalmente nel caso della luce nel vuo-to le due velocit sono identiche.

La velocit di gruppo gv definita come la velocit del punto del pacchetto che abbia

spazialmente il massimo. La condizione perch questo accada che le fasi corrispondentiai vari vettori donda siano pressoch uguali e dunque diano luogo ad interferenza positi-va, in altre parole la fase in funzione di k deve avere un massimo o un minimo. Cio:

tdk

dx

dk

dtx

dk

d 0 , dunque

dk

dvg

.

5.

Autofunzioni ed autovalori

Applicando loperatore impulso ad unonda piana, si vede che vale lequazione:p p , cio applicando loperatore si riottene la funzione donda moltiplicata per un

numero che indica limpulso corrispondente a quella funzione donda.

Pi in generale possiamo scrivere per un operatore qualsiasi lequazione: , in

cui si indica che loperatore applicato alla funzione donda ritorna la funzione donda mol-tiplicata per un numero. Evidentemente soluzioni esisteranno in genere solo per alcuni va-

lori di cui corrispondono certe soluzioni per lequazione donda . Lequazione si

chiama una equazioni ad autovalori. si chiama autovalore e lautofunzione. Pos-

siamo in effetti distinguere i casi in cui gli autovalori sono un insieme continuo, even-tualmente infinito e quello in cui gli autovalori e le autofunzioni sono un insieme numera-bile. Il primo caso si ha per una particella libera in cui gli autostati dellimpulso sono onde

piane dipendenti dal parametro continuo k. Come vedremo nel caso dellatomo

didrogeno e delloscillatore armonico (stati legati), si ha un insieme numerabili di autova-

lori dellenergia nE e corrispondenti autostati n . Questo fatto rappresenta appunto la

quantizzazione dei livelli energetici nei casi detti. In ogni caso la funzione donda si pu

scrivere come sovrapposizione di autostati, ciascuno pesato da un fattore nC , il cui modu-lo quadro rappresenta la probabilit di trovare, a seguito di una misura, il sistema in

quellautostato: n nn

C Eventualmente la somma diviene un integrale come nel

caso della funzione donda di una particella libera: ( ) ( ) ikxx k e dk

.


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6. Particella dotata di momento magnetico in un campo magnetico esterno

Prendiamo un atomo con un suo momento della quantit di moto L

orbitale, ovvero unaparticella dotata di spin s

in un campo magnetico costante esterno, diretto lungo lasseZ.

Il campo magnetico ha potenziale vettore: jxBiyBA zz

2

1

2

1 , come si verifica fa-

cilmente, calcolando il rotore di A

.Scriviamo adesso la hamiltoniana (energia totale) della particella nel campo em, usando il

principio di minimalit, cio sostituendo a p

p eA

, con A

il potenziale vettore del

campo magnetico:2

222

222

2

1)(

2

1A

m

eAp

m

ep

mAep

mH

. Consideriamo il secondo termine:

BmBLm

eLB

m

eprB

m

expypB

m

eH zzzzyxz

22)(

2)(

22 . Per

quanto riguarda m

, vedi pag 126 delle dispense. Questa formula generalizzabile al mo-

mento magnetico associato allo spin. Per quanto riguarda il terzo termine:

222

22

422r

B

m

eA

m

e z esso viene considerato trascurabile a causa del termine di carica al

quadrato (carica piccola) e del fatto che il valore medio di 2r piccolo per sistemi atomi-

ci. Lequazione di S. diventa allora:2

22 ( )

2 2

i ep A V x i

m m tx

.

Da notare che il termine kTe

della statistica di Boltzmann sar modificato dalla presenza

di un campo magnetico e il rapporto tra termini con il momento magnetico allineato al

campo esterno e contro allineati : kTBmz

e2

.

Notiamo pure che in campo magnetico costante non ci sono forze associate con tale ter-mine dellenergia, ma solo coppie che tendono ad allineare il momento magnetico nel ver-so del campo. Tuttavia, se il campo non costante, ma presenta un gradiente lungo Z. al-

loradz

BdmBm

dz

dFz

)( non sar nullo: un fascio di particelle dotate di spin con

velocit perpendicolare allasseZ, in tale campo si divider verticalmente in due fasci as-

secondo dellorientamento dello spin lungo tale asse (Esperimento di Stern e Gerlach).La presenza di una forza pu essere visualizzata immaginando una spira quadrata che siaallineata al campo e si muova in tale campo lungoX. La forza applicata ai due lati supe-riore e inferiore non sono uguali in un campo non omogeneo e dunque oltre alla coppiache allinea la spira perpendicolarmente al campo, ci sar una forza che la spinge su o gi.

3. Un semplice esempio di uso dellequazione di Schroedinger: loscillatorearmonico


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Il modo migliore per capire le affermazioni fatte sinora di applicarle ad un caso sempliceuni-dimensionale. Lequazione di Schroedinger si scriver allora:

EVdx

d

m )

2(

2

22

. Studiamo allora la versione quantistica delloscillatore armoni-

co, per cui : 21

( )2

V x kx , con k costante elastica. Lequazione di S. sar:

Ekxdx

d

m )

2

1

2( 2

2

22

, ovvero: 0))2

1(

2( 2

22

2

kxEm

dx

d

. Ponendo:

;2

2

mE

202

2

22

mkma , si ha: 0))( 222

2

xadxd . Una soluzione

di questa equazione :2

2

1 axAe

, come si vede sostituendo. In questo caso deve esse-

re per: 000

2

02

1

2

1

2 h

m

mEa

.

Per trovare le altre soluzioni, sostituiamo: )()(2

2

12

2

1

xveexv axax

nellequazioneprecedente e otteniamo:

2

2( 2 ( ) ) 0d v dv

ax a vdxdx

, ovvero, posto nn

nxaxv )( :

0))12(()1(

0)(2)1(2

2

n

n

nn

n

n

n

n

nn

n

nn

n

n

xanaxann

xaaxnaaxann

Che richiede:

2 2(2 1)

( 2)( 1) ( (2 1)) 0( 2)( 1)

n n n na n

n n a a n a a an n

. La serie diverge

pi rapidamente dellesponenziale2

21 ax

e

e pertanto occorre che i coefficienti siano nulli

a partire da qualche nperch la soluzione sia limitata, ovvero deve essere:

)()()12(2

)12(21

21

002 nhnEn

mmEna n

.

Formula che ci d la sequenza degli autovalori dellenergia, che, come si vede, sono glistessi ottenuti da Planck.Scriviamo adesso la forma esplicita delle prime due funzioni. Come si vede esistono dueserie: quella corrispondenti ai coefficienti pari e quella corrispondente ai coefficienti di-

spari. Dobbiamo prendere o 0 10; 0a a o 1 00; 0a a . In caso contrario possiamo

terminare una delle serie, ma non entrambe. Poniamo allora 0 10; 0a a . Sopravviver

solo la serie a coefficienti dispari, ma per ridurla ad un polinomio di primo grado occorre


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porre 3 0a in modo che 3 0a . In conclusione abbiamo:21

21( )

axx xe

. Per la

seconda autofunzione dobbiamo porre: 1 00; 0a a e 5 0a , ne segue che:

2 0 05

22

aa a a a

e che:

2

2 22 0 (1 2 )

ax

a x e . Lo studioso lettore pu, a titolo

di esercizio, verificare che tali funzioni sono soluzioni dellequazione delloscillatore ar-

monico:2

2 2

2( )) 0

da x

dx .

7. Le relazioni di commutazione per il momento della quantit di moto

Per gli operatori di posizione e di quantit di moto valgono le relazioni.

izzz

zi

zpzp

iyyy

yi

ypyp

ixxx

xi

xpxp

zz

yy

xx

)(

)(

)(

Mentre: 0 xy ypxp , ecc

I tre operatori del momento della quantit di moto sono definiti come in fisica classica:

xyz

zxy

yzx

ypxpL

xpzpL

zpypL

con , , , , ,x y zx y z p p p gli operatori precedentemente definiti invece che numeri.

Le relazioni di commutazione sono:

))(())(( yzzxzxyzxyyx zpypxpzpxpzpzpypLLLL

zzzxyzzxzzy

zzxzzyyzzxzyxz

yzyxzzzxzyzzxyxz

Lizpzpypxpzpzpypzpzpxp

zpzpypzpzpxpzpxpypzpxpzpzpyp

zpxpzpzpypxpypzpxpzpxpypzpzpzpyp

))(()()(

)()(

yzxxz LiLLLL

xyzzy LiLLLL

2222 zyx LLLL


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0)()(

)()(222222

yyzzzy

yzxxzzzyxxyyzxxzyxxyxx

LiLiLLiLiL

LiLLLLLLiLLLLLLLLLLLLLLLLL

E simili.Dunque non possiamo usare contemporaneamente pi di una componente del momentodella quantit di moto, ma possiamo usare contemporaneamente il modulo quadro e unacomponente.In coordinate polari:

)

cos

(cos)

coscos

(

))coscos

()(()(

sen

sen

isen

zsenzysen

i

sen

senyz

senzy

iyz

zy

izpypL yzx

)coscos

()coscos

(

))()coscos

(()(

sensen

isen

zxsensenz

i

senzx

sen

senxz

izx

xz

ixpzpL zxy

isen

y

sen

xsenxysen

isen

senxy

sen

senyx

ixy

yx

iypxpL xyz

))cos

()cos(cos

())cos

cos()

coscos(()(

Dove abbiamo usato le derivate delle coordinate polari in quelle cartesiane a pag. X delledispense.Da cui:

))((

)cos1

()coscos

cos

coscoscoscoscoscos

coscos

coscoscoscoscos

cos(

2

2

2

2

2

2

22

22

2

2

2

2

22

22

2

2

2

222

22

222

sensensen

sensensen

sensen

sensen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

senL

e:2

222

zL


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Dallespressione del laplaciano a pag. XII delle dispense e dallespressione di 2L , otte-niamo:

2 22 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )2

rr sen p Lr mr r sen r sen r

, e

1r r

i r r

da cui si deduce che lhamiltoniana (loperatore dellenergia) commuta con

2L e con zL . Lequazione di S. :

2 22

2

1 1 ( ) 0

2 2 2r

LV E p V E

m m mr

, Se si usa lequazione di S.

per descrivere stati stazionari, la soluzione dellequazione di S. 0 ( , )x t deve potersi scri-

vere come il prodotto di una parte funzione dipendente dalle coordinate e una parte cherappresenta unoscillazione, proprio come le onde stazionarie su una corda dunque

0 ( , ) ( ) i tx t x e

. Da cui si deduce che lequazione di S. si pu riscrivere:

2

( ) ( )2

i t i t i t x e V x e em

, ovvero:

2

( ) ( )2

x V x Em

e 0 ( , ) ( )

Ei t

x t x e

.

Operatori di raising e lowering o costruzione e distruzione. Fanno passare da unostato di momento della quantit di moto definita ad un altro stato con un valore di L maggiore o minore.

)(2

1

)(2

1

yx

yx

iLLL

iLLL

LLLx e LLLy

02222 LLLLLLLL e

zzyxxyyx

yxxyyxyxyxyxyx

LiLLLLLiLLLLiLL

LLLLiLLiLLiLLiLLiLLLLLL

2)(

)())(())(()(2

22

22

LLiLiLiiLiiLLLLiLLLLLL yxxyyxzzyxzz )(2

1)(

2

1

2

1)(

2

1)(

2

1

LLiLiLiiLiiLLLLiLLLLLL yxxyyxzzyxzz )(2

1)(

2

1

2

1)(

2

1)(

2

1


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Consideriamo lautostato diL2eLz ),(2

zLL e applichiamo loperatore L ( L ):

L ( L ) e successivamente applichiamoLz: LlLLLL zzz )1()(

( LlLLLL zzz )1()( ), ovvero L ( L ) unautofunzione di L (

L ) con autovalore 1zl ( 1zl ). Da cui il nome di raising e lowering.

Per lo spin:

2

1S con:,

01

10x ,

0

-0

i

iy e

10

01z (matrici di Pauli)

che sono tre delle quattro matrici indipendenti 2x2 (lultima quella unitaria), precisa-

mente sono le tre matrici unimodulari. Evidentemente: zxyyx i 2 ,

yzxxz i 2 e xyzzy i 2 A causa di queste relazioni di commuta-

zione le tre matrici vengono prese come rappresentanti un momento della quantit di motoe precisamente quello di spin degli elettroni. Si ha poi:

)12(2)112(131112 .

Inoltre, dati gli autostati di

0

1 e

1

0,

0

1

1

0

00

10 e

1

0

0

1

01

00

a. Latomo di idrogeno e le forze centrali

A questo punto occorrerebbe discutere latomo didrogeno: dopotutto sono stati i problemiincontrati nel tentativo di capire la struttura atomica che ci hanno obbligati a discuterenuovamente i fondamenti della fisica e a modificare cos radicalmente la fisica classica. Sipu infatti dimostrare come la meccanica quantistica permetta di calcolare naturalmente lospettro di autovalori dellatomo di idrogeno. Qui ci si atterr ad una trattazione breve sen-za entrare in troppe complicazioni matematiche.

Riscriviamo lequazione di Schroedinger:2 2 2 2

2 2 2( ) ( )

2 e U r E

m x y z

in

coordinate polari. La soluzione pu essere cercata prendendo una funzione del tipo:

)()()(),,( rRr che, sostituita nella equazione di Schroedinger, d:

2 22

2 2 2 21 1 1 1 1 1 1( ) ( (sen ) ) ( )

2 sen sene

Rr U r Em R r r r r

,

avendo diviso per . Si pu riscrivere questa equazione in un altro modo:

2 2 22 2

2 2

1 1 1 1 1( ) ( ( ) ) ( (sen ) )

2 2 sen sene e

Rr r U r E

m R r r m


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soluzioni complete, denotate mlY . Per esempio:0

01

4Y

; 01

3cos ;

4Y

1 11 1

3 3sin ; sin

8 8

i iY e Y e

.

Se prendiamo 0m , abbiamo costante e possiamo modificare la prima equazione,facendo la sostituzione: cosx .

22 2 2

2

2 22 2 2

2 2

( 1) sen sen (sen ) 0 ( 1) sen sen sen cos

sen ( 1) cot (1 ) ( 1) (1 ) 2

l l l l

l l x l l x xxx

che si pu riscrivere: 2( )

( 1) ( ) ((1 ) ) 0llP x

l l P x xx x

( )lP x

Lultima di queste equazioni definisce i polinomi di Legendre che sono:

0

1

2 22

3 33

( ) 1

( ) cos

1 1( ) (3 1) (3cos 1)

2 2

1 1( ) (5 3 ) (5cos 3cos )

2 2....

P x

P x x

P x x

P x x x

Nella figura in basso, si vede il polinomio con l=2, in cui la funzione si avvolge intorno

al cerchio di raggio 1. Si pu confrontare questa figura con quella immaginata da De Bro-

glie (pag. 327).


17/20


18/20


e il termine inEdominati dal termine 2

1)1(

rll . Di conseguenza, 121

ll rCrC .

Di queste due soluzioni, una sola accettabile: la soluzione: lrC 1 infatti diverge e

deve perci essere 01C . Viceversa per r , l equazione radiale si riduce a

2 2

22 e

d E

m dr

che ha come soluzione:

2 2

1 2

e em E m E i r i r

C e C e

. Per 0E , come caratteristica di uno stato legato, una

soluzione va effettivamente a zero e laltra diverge. Dunque di nuovo deve essere 01 C .

La soluzione sar del tipo:

2

1 ( )

em Er

l r e f r , dove la funzione )(rff pu ades-

so venire rappresentata mediante uno sviluppo di Taylor: n

nnrrf )( . Cos:

2 2

1 1e em E m E

r rl n n l

n n

n n

r e r e r

Derivando e sostituendo nell equazione radiale, si ha:

2 22

1 1

2 2

2

2 ( 1)( )

22 ( 1)

e e

e

m E m E r r

n l n l en n

n n

m Ere n l

n

n

m Ed e r e n l n l r

dr

m Ee n l r

.

Si noti che il primo termine si cancella con il termine al membro di destra dellequazioneradiale. Si pu poi eliminare lesponenziale che appare in tutti i membri e si ottiene:

2 2

1

0

2( 1) ( 1)( ) 2 ( 1)

4 2

en l n l n n

en n

m Eel l n l n l r n l r

m

.

Perch questa equazione possa essere soddisfatta, i coefficienti delle stesse potenze di rdevono essere uguali, ovvero:

2

01

2( 1) / 24

( 1) ( 1)( 2)

en n

en l E m

l l n l n l

.

Tuttavia, se i coefficienti sono tutti non nulli, allora la serie diverge allinfinito. Perch cinon accada, i coefficienti devono essere tutti nulli a partire da qualche n, cio:

2

0

2( 1) / 2 04

ee

n l E m

.


19/20


Da questo si ottiene infine:2

21 2 2

0

1 1( )

2 4 ( 1)n e

eE m

n l

, che lo spettro di ener-

gia gi trovato a suo tempo, utilizzando il modello di Bohr (cap. 4). Per vedere ci basta

cambiare i simboli nel modo seguente: nn (numero quantico radiale), nl (nu-

mero quantico azimutale) e porre: nnn (numero quantico principale):

22

2 20

( )4 2

en

meE

n

. Una cosa che possiamo calcolare adesso il raggio pi probabile

per lorbita di minore energia (n=0), massimizzando la

0222 2 2 02

0 0

em Er

r e Y

, na-

turalmente: 12

V

dV e )()(0

0 Y la soluzione della parte angolare:

022 0 02 2 02 2 1

0 0 0

34 22 100

2 2 10 31 19 2

2 2(2 2 ) ( )

4 1 1 (6,63 10 )0,531 10

4 0,899 10 / 9,1 10 (1,6 10 )

em Er e em E m E

e Y r r r ar

J sm

me m F kg C

Che appunto il raggio di Bohr dellidrogeno gi calcolato al cap. 4. Ricordiamo che:

sJsJh

3434

10527,056,12

1063,6

2 .

Per brevit si rinuncia qui a discutere laltro problema che dovrebbe essere adesso affron-tato: quello della diffusione di Rutherford.

Appendice 1. Leffetto Compton classico

Elettrone nellorigine. Onda piana sinusoidale. Campo elettrico lungo +Z, campo magneti-co lungo +Y, propagazione lungo +X.Equazioni del moto:

ymBev

zmBeveE

xz

xyz

, ricordando che: c

EB zx , abbiamo


20/20


ymEc

ve

zmEc

veeE

zz

z

y

z

ovvero:

ymEe

zEm

e

zz

yz

)1( Nel caso non relativistico ( 1y ),

abbiamo:

ymEe

zEm

e

zz

z

. La prima : ztsenEm

ez 0 che integrata d: )cos1(

0 tE

m

ev zz

e

infine: )()( 0

tsent

E

m

etz z . Sostituendo nella seconda, abbiamo:

ttsenc

E

m

ey z

cos1)(

202 , da cui:

tt

c

E

m

ev zy

2

2

202 coscos1)(

Langolo della traiettoria nel piano Y-Z:

1)cos1(2

cos1tan

2

0

t

t

eE

mc

v

v

zy

z

. In pratica il moto avviene solo lungo lasse Z

e consiste in un moto traslatorio cui sovrapposta unoscillazione. Poich lemissione diradiazione dipende dallaccelerazione al quadrato dellelettrone, avremo unemissione con

frequenza angolare pari a quello della sorgente (elettrone).

4. Le Basi Della Meccanica Quantistica

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