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Capitolo 2. Ottica

Introduzione

Come si visto nel capitolo precedente, la luce un fenomeno di natura ondulatoria. Di

conseguenza, la propagazione della luce equivalente alla propagazione di unonda. Nello

studio dellottica geometrica invalso da lungo tempo, luso di considerare i cosiddetti

raggi di luce, che rappresentano in definitiva le traiettorie rettilinee delle particelle di

luce descritte nella teoria di Newton. Tali raggi possono essere visualizzati mediante

lutilizzo di schermi forati posti lungo il cammino della luce. Come sappiamo dalla nostraesperienza, un ostacolo incontrato dal fascio luminoso, produce unombra che

esattamente la proiezione dellostacolo lungo la direzione di propagazione della luce.

Dunque, con uno schermo forato possiamo pensare di poter produrre un cilindro di luce,

sottile a piacere, purch il foro sia abbastanza piccolo. Le cose non stanno esattamente

cos. Gi nel Settecento, Padre Francesco Maria Grimaldi si accorse che, con un foro

troppo sottile, si aveva luce dove doveva esserci ombra. Insomma, qualcosa non

funzionava. Se vero che un sottile cilindretto di luce dimostra che la luce si propaga in

linea retta, daltra parte, non possibile ottenere un cilindro sottile come si vuole. Un

raggio di luce pu essere unutile astrazione, ma non risulta descrivere efficacemente

losservazione sperimentale per qualsiasi grado di approssimazione: sotto un certo limite,

la propagazione della luce non appare pi essere rettilinea.

In effetti, lidea di raggio luminoso come cammino di una particella di luce o comunque

come cammino della luce viene normalmente utilizzata nella cosiddetta ottica geometrica.Con il termine ottica geometrica si intende quel settore dellottica che studia tutti glistrumenti ottici, semplici o complessi, basati sulle leggi della rifrazione e riflessione e che

utilizza metodi puramente geometrici. Per la verit, ci si gi resi conto che la luce non si

propaga in linea retta, almeno non sempre, e che ha una natura ondulatoria. Dunque, il

passaggio attraverso mezzi trasparenti deve essere descritto utilizzando i metodi di

Huygens, Kirkhhoff e Fresnel.

Come spiegare le deviazioni dalla legge di propagazione rettilinea? Secondo Huygens*, possibile costruire un fronte donda a partire dal fronte donda precedente. Occorre

semplicemente considerare ogni punto del fronte donda iniziale come sorgente di

unonda sferica. Il fronte donda successivo si ottiene facendo la convoluzione delle

ampiezze di tutte queste onde sferiche. Per essere pi precisi, occorre moltiplicare le

ampiezze per un fattore, il cosiddetto fattore dobliquit, che modula lampiezza in

funzione dellangolo: massima in avanti, nulla allindietro. Questo fattore, dunque,elimina le onde che altrimenti verrebbero emesse allindietro ed ha la forma:

2

cos1)(

+=f . Naturalmente, usando il principio di Huygens, facile tenere conto di

eventuali ostacoli opachi: basta eliminare quei contributi del fronte donda che sono

fermati dallostacolo. Tuttavia evidente che, cos facendo, si eliminano dei contributi ed

*Trait de la lumire, Dunod, Paris 1992.

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Cap. 2 Ottica2

il fronte donda successivo non sar pi, almeno ai bordi, quello che sarebbe stato inassenza dello schermo. Si disegni unonda piana e si considerino tutte le onde circolari che

si propagano dai punti del fronte donda: facile convincersi che il fronte donda

successivo sar un piano, ma, se il primo fronte incide su uno schermo tutto opaco tranne

che per un foro circolare, le onde che passano attraverso lostacolo daranno luogo ad un

nuovo fronte donda che si propagher ad un certo angolo rispetto alla direzione iniziale e

pertanto determineranno una illuminazione dove ci si sarebbe aspettata la sola presenza diombra.

1. Linterferenza

Uno dei fenomeni pi caratteristici delle onde linterferenza. Linterferenza una

conseguenza del fatto che le onde obbediscono al principio di sovrapposizione: laperturbazione totale in un punto dello spazio dunque la sovrapposizione delle

perturbazioni presenti. In determinate circostanze, che verranno adesso esaminate,

lintensit della luce in alcuni punti dello spazio pu essere nulla o massima, cio variare

spazialmente, seguendo uno schema indipendente dal tempo.

Occorre subito puntualizzare che esiste una condizione preliminare, condizione la cui

necessit non immediatamente evidente, perch si verifichi il fenomenodellinterferenza. Tale condizione che le sorgenti siano in fase. Ripensando allo schema

dellatomo di Bohr, si ricordi che lemissione di luce da parte di un atomo avviene in

piccole quantit di energia: quelle relative al salto energetico tra due livelli. In termini

ondulatori, questo implica lemissione di un campo elettromagnetico oscillante, di breve

durata, che raggiunge un punto dello spazio ad un tempo e con una fase largamentearbitraria. Se allo stesso punto giunge contemporaneamente una seconda perturbazione, le

due si sommano dando luogo ad un campo elettromagnetico che pu essere massimo o

minimo a seconda della differenza di fase delle due perturbazioni. Tuttavia, altre onde

emesse in tempi successivi presenteranno differenze di fase ancora diverse e daranno

dunque luogo ad onde elettromagnetiche di ampiezza diversa ad altri istanti.

Lilluminazione dunque sar una funzione rapidamente variabile del tempo e quella che sipu percepire una media dei valori temporali. Affinch esista unilluminazione costante

in un punto, la relazione di fase tra le due onde interferenti deve rimanere costante nel

tempo. Questo si pu ottenere, sovrapponendo in uno stesso punto non due onde generate

da sorgenti separate, ma una stessa onda che raggiunga il punto, attraverso due cammini

diversi: se la differenza di fase dipende o dalla diversa distanza percorsa o dalla velocit

con cui si sono percorse queste distanze (per esempio, a causa di diversi indici dirifrazione) essa rimarr la stessa ad ogni emissione di luce e sar dunque indipendente dal

tempo. Usando la matematica per discutere il fenomeno, si possono prendere due onde

piane, con la stessa ampiezza e la stessa pulsazione:

=

=

)(

2

(

1

222

111

),(

)),(

xkti

xkti

Aetx

Aetx

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Cap. 2 Ottica 3

Si badi che stessa pulsazione non vuole necessariamente significare stesso vettore donda

o lunghezza donda, perch, se i due cammini ( 1x , 2x ) avvengono in materiali con indici

di rifrazione diversi, le lunghezze donda saranno diverse.

=

=

+

+

)(

2

)(

1

2

1

),(

),(

ti

ti

Aetx

Aetxcon 2,12,12,12,1 = xk

La loro somma pu essere riscritta come:

)(

21

+=+= tiBe ,

con: cos22 +=AB ,21

21

coscossentg

++=

sen e

112221 xkxk +== .

Lintensit dellonda sar: += )cos1(2 02 IBI

2cos4 20

II= .

Da questultima formula, si deduce che lintensit varier, e varier in modo indipendente

dal tempo, in funzione del punto dello spazio considerato. In altre parole, lintensit avrminimi e massimi secondo uno schema stazionario nel quale minimi e massimi si

susseguono a seconda della differenza di cammino ottico ( )(kx ) delle due onde dallerispettive sorgenti. Per cammino ottico si intende il prodotto della distanza per lindice

di rifrazione, ovvero, nei casi pi complessi, lintegrale =B

A

dxxnl )( . In particolare, si

avr un massimo dellilluminazione per m2= ed un minimo, per )12( += m ,

con mnumero intero.Si noti che stiamo parlando di luce monocromatica. Se la luce fosse bianca, le posizioni

dei minimi di illuminazione sarebbero spazialmente distinte luna dallaltra, a seconda delcolore.

Di conseguenza, se in un punto si ha un minimo, per esempio per il rosso, allora il verde

sarebbe la frequenza dominante ed il punto appare verde. Si troverebbero dunque delle

frange colorate.

Se si vuole utilizzare una sola sorgente per mantenere le due onde in fase, si ha bisogno di

un qualche sistema in grado di dividere unonda, facendo seguire cammini diversi alle dueperturbazioni e portandole poi ad interferire nello stesso punto. Vediamo alcuni di questi

sistemi.

Negli specchi di Fresnel, si usano appunto due specchi per sdoppiare i due cammini. In

questo caso, i due vettori donda sono identici: sono diversi solo i cammini geometrici

xkkx =)( . Come mostrato in fig. 16, i due raggi sembrano provenire dalla due

immagini 1S e 2S della sorgente formate dagli specchi piani.

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Cap. 2 Ottica4

Un secondo sistema per dividere unonda in due rappresentato dal biprisma, disegnato infig. 17 e dagli specchi di Lloyd in fig. 18.

Dopo aver separato i due cammini, sipossono poi far passare le due onde

attraverso mezzi caratterizzati da

indici di rifrazione diversi. Essendo

diverse le due velocit, ci sar

comunque uno sfasamento. In effetti,lo sfasamento proprio una misura

della diversa velocit e dunque del

diverso indice di rifrazione. Il sistema

ci d dunque la possibilit di

misurare lindice di rifrazione di un

mezzo rispetto al vuoto, se uno deidue cammini nel vuoto, o rispetto

allindice di rifrazione di un altro

mezzo.

S1

S2

Fig. 17: Biprisma di Billet.

schermo

S2

S1

Fig. 18: Specchi di Loyd.

Schermo

Fig. 16: Specchi di Fresnel.

S1

S2

schermo

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Cap. 2 Ottica 5

Fenomeni dinterferenza avvengono nelle lamine sottili. Cominciamo dalle lamine sottili afacce piane e parallele.

Si consideri il caso di incidenza

normale ( 0=i ) su una lamina

di spessore d. La differenza di

cammino :

dn

dndk

2

22

4

222

+=

=+=+=

Poich si sta considerando il caso di incidenza normale, lunico parametro che pu essere

cambiato lo spessore della lamina. Al variare di d dunque, si avranno dei massimi

quando le due onde sono in fase e si rinforzano, cio quando m2= , ed invece deiminimi quando le due onde sono in opposizione di fase e dunque si cancellano

reciprocamente, )12( += m . Ovvero:

Tutte le volte che si verifica una riflessione alla superficie di separazione tra un mezzo

dindice di rifrazione minore e uno dindice di rifrazione maggiore, occorre variare la fase

dell'onda riflessa di .

Fig. 19: Misura dellindice di rifrazione.

Vuoto

n

Lente convergente

n1

n2

Fig. 20: Interferenza in una lamina sottile.

d

i

B

AC

r

D

schermo

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Cap. 2 Ottica6

2

0min

42:

npdI

= e

2

max4

)12(:n

pdI

+= , con p numero intero. Si noti che il

significato di queste formule il seguente: nello spazio sopra la lamina le due onde

riflesse si cancellano (o si rinforzano, a seconda dei casi), e dunque non c onda riflessa.

Questo vuol dire che tutta la luce che cade sulla lamina sottile, la attraversa. In verit,

occorrerebbe fare lo stesso calcolo, tenendo conto delle diverse ampiezze delle onde

riflesse (coefficienti di Fresnel) sulle due superfici, per sapere quale frazione della primaonda riflessa viene cancellata dalla seconda. Ad ogni modo, utilizzando le considerazioni

fatte, si possono realizzare dei rivestimenti ottici antiriflettenti, che massimizzano cio la

luce che attraversa lottica e minimizzano la parte riflessa. Un esempio di lamine piane

dato da macchie dolio sullacqua. Lolio, trasparente, si dispone in uno strato molto

sottile sullacqua e la luce solare che incide su queste macchie d luogo ad uniridescenza

tipica, dovuta appunto allinterferenza tra i raggi riflessi sulle due superfici dello stratodolio. Nei punti dove un colore si cancella, la superficie dellolio appare colorata proprio

per mancanza di quel colore, il che spiega liridescenza. Riprendiamo adesso la situazione

descritta in fig. 20, ma poniamo 0i . Guardiamo ai raggi emergenti ad un angolo preciso

(frange di eguale inclinazione). I due raggi riflessi dalla superficie inferiore e da quella

superiore possono essere portati ad interferire con una lente (il cristallino per esempio).

La differenza di cammino ottico sar stavolta pari a:

2 2

2 2 2 22 2 2 sen 2 (1 sen )cos cos cos

d d dl n AB DC n n r n r

r r r = = = =

rdn cos2 2= , che d i massimi a:

2 02 12 2 cos

2mk l m n d r

= + = = . Ovvero per

)12(4

cos2

0 = mdn

r

. La formula 22 cosl n d r= viene usata anche nel caso di raggi X

che battano ad un angolo su un cristallo. I diversi piani di atomi che formano il cristallo

riflettono i raggi X e si ha interferenza a certi angoli per cui 2 sinl d = =

, in quel

caso occorre infatti porre 1n=

e si usa langolo

complementare di i . Dallangolo per

cui si ha interferenza costruttiva si calcola la lunghezza donda dei raggi X.

Si noti che nella fig. 20 solo la luce emergente dalla superficie superiore considerata:

facile capire che i raggi emergenti dalla superficie inferiore daranno anche loro

interferenza, se una lente viene usata per fare convergere i raggi su uno schermo. In pi si

deve notare come la luce viene riflessa molte volte allinterno della lamina e perci si

potranno avere molti raggi emergenti (sopra o sotto) se solo una parte piccoladellintensit luminosa attraversa la superficie del vetro finendo nellaria ad ogni

riflessione.

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Cap. 2 Ottica 7

Possiamo calcolare lintensit della luce riflessa o trasmessa, sommando le ampiezze dei

diversi raggi e quadrando lampiezza.

Se A lampiezza dellonda incidente, lampiezza dei raggi riflessi sono:

0'

i t

rE A e=

1'

i i t

rE A e e =

2

3'

i i t

rE A e e =

.2 1

'm

m im i t

rE A e e =

In cui , e ', ' sono rispettivamente i coefficienti di riflessione e trasmissione alla

superficie di separazione vetro-aria e aria-vetro.2

2 cosnd r

= come prima.

Sommando tutte le ampiezza, abbiamo:

( ) ( )2 1 2 1 ( 1)1 0

' ' ' 'm im i t i m i m i t E A e e A e e e + + = + = + =

( ) ( )( 1)

2 2 ( 1) 2

0 0' ' ' '

mi m i m i t i i i t A e e e A e e e

+ +

= + = + =

2' '

1

ii t

i

eA e

e

= +

. Si pu dimostrare che per i vari coefficienti di riflessione

e trasmissioni valgono le relazioni:2 ' 1 + = e ' = . Sostituendo, possiamo

eliminare ', ' e otteniamo:2

1

1

ii t

i

eE A e

e

=

, Da cui otteniamo lintensit

della radiazione riflessa:

2 2 2

0 0 02 2 2 2 4 4

1 1 1 1 2 2cos

1 1 1 1 2 cos

i i i i

r i i i i

e e e eI I I I

e e e e

+ = = =

+

Fascio incidente

Lamina di vetro

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Cap. 2 Ottica8

Lintensit della radiazione trasmessa si ottiene nello stesso modo. Per semplicitammettiamo semplicemente che lintensit della luce trasmessa sommata a quella della

luce riflessa deve essere uguale allintensit entrante in accordo con la conservazione

dellenergia e otteniamo:2

2

0 0 04 2 4

1 cos 2 (1 cos )2

1 2 cos 1 2 costI I I I

= =

+ + .

Lintensit della radiazione in funzione dellangolo r per molto piccola consiste inpicchi ben separati.

La lamina non deve necessariamente essere a facce piane e parallele.

Si consideri, infatti, il caso di un cuneo.

Nei punti di spessore xd= ,si ha interferenza tra le due

onde riflesse verso lalto, con il

massimo di riflessione se:

2

0

4)12(

nmx

+= , ed il

minimo se:2

0

2 nmx

= .

Gli anelli di Newton, sono un fenomeno di interferenza che si vede mettendo una lente

piano convessa su una lastra di vetro piana.Lo straterello daria tra i due vetri una lamina con spessore variabile. Se indichiamo con

Ril raggio di curvatura della lente, lo spessore ddello straterello costante su un cerchio

di raggiox, con:

22 2 2

1 ( )2

x xd R R x R R

R R= = .

Dunque si vedranno anelli luminosi seguiti da anelli scuri. Gli anelli luminosi (massimi) si

avranno a

R

xmd

24

)12(2

0=+=

, ovvero a

2

)12( 0R

mx += . Una formula analoga

pu essere scritta per gli anelli scuri.

Malgrado lo studio accurato del fenomeno degli anelli, Newton non giunse alla

conclusione che la luce fosse un fenomeno ondulatorio.

Vedere: I. Newton, Opticks, Dover (1979), pag. 198 e seguenti. Il fenomeno delle frange

colorate prodotte dalle macchie dolio sullacqua stato studiato da R. Hooke.

d

X

Fig. 21: Interferenza su un cuneo.

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Cap. 2 Ottica 9

Nel 1803, T. Young present

vari esperimenti alla Royal

Society che dimostrarono la

natura ondulatoria della luce.

Tra questi lesperimentouniversalmente noto come

esperimento di Young. Uno

schermo con un foro

rettangolare posto davanti ad

una sorgente luminosa. La luce

che passa attraverso la fenditura

non si propaga rettilineamente,ma a causa della diffrazione si

propaga anche al di fuori

dellombra geometrica. La luce,

passata la fenditura, arriva su

un secondo schermo con due

fenditure parallele.Su un terzo schermo, stavolta

senza fenditure, si osservano le

frange di interferenza. Possiamo

descrivere il sistema sorgente

pi prima fenditura, come una

sorgente capace di illuminare ledue fenditure che diventano

cos due sorgenti in fase. Le

frange che vediamo sullo

schermo finale sono dunque

dovute allinterferenza tra le

onde emesse dalle due sorgentiS1e S2.

Consideriamo allora le due onde sferiche che partono dalle due sorgenti:

)cos( 11

01

1 tkrr

= e )cos( 22

02

2 tkrr

= .

Sullo schermo finale queste due onde arriverannocon una differenza di fase

Per i dettagli storici, vedere: D. Park,Natura e significato della luce, McGraw Hill, pag.

255 e seguenti.

Fig. 23: Lesperimento di

Youn .

Onde

iane

Onde

sferiche

S1

S2

RR

x

r

Fig. 22: Gli anelli di Newton.

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Cap. 2 Ottica10

)(2

)( 2121 rrrrkrk ===

. Come

abbiamo gi detto, nei punti in cui m2= ,avremo un massimo dintensit e, dove

)12( += m , avremo dei minimi.Dalla fig. 24, ricaviamo per la differenza dei

cammini:

sen

2sen21 ddrr == .

Dunque avremo massimi nelle direzioni

d

m=sen (dalla condizione

md 2sen

2= ) e minimi nelle direzioni

d

m

2

)12(sen

+= .

Lintensit sar cos :

)sen(cos4 20

dII= , nellipotesi di uguali

ampiezze delle due perturbazioni.

Si tenga presente che si sono trascurati i fattori che rendono disuguali le due ampiezze, peresempio il fattore ral denominatore. E anche vero che le componenti del vettore elettrico

giacente nel piano del foglio non sono esattamente parallele. In aggiunta, lintensit della

luce decresce con langolo , a causa del fattore dobliquit2

cos1)(

+=f . Infine, si

noti che langolo definito per una fenditura, e per laltra sar diverso. Qui si suppone

comunque che sia ld

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Cap. 2 Ottica 11

in aria, lindice di rifrazione 1 e si tratta dunque di una lamina sottile in aria. Gliintervalli temporali usati nel cap.1 di Fisica Generale 1 si trasformano in differenze di fase

moltiplicandoli per : = . Per il resto lapparato gi stato discusso. Nel primo

capitolo del corso di Fisica Generale I, abbiamo stabilito che, secondo la relativit

classica, 21 24

' ( )t t d dc

=

, ovvero che

differisce da 0 per il fattore

21 2

4( )d d

c

, in cui

la frequenza della sorgente. Lesperimento di Michelson

pertanto progettato proprio per verificare lesistenza di questo fattore. Volendo usare un

interferometro per mettere in evidenza lesistenza di questa correzione, occorre che:

2

1 2

4

( )c d dc

. Poich nellesperimento di Michelson:

4 2 8

10 10=

=

,75 10 m

e 1 11d m , questa condizione soddisfatta.

-0,2 0,0 0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

sen()

I(ua)

Fig. 25: Illuminazione tra due fenditure.

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Cap. 2 Ottica12

Gli interferometri (vedere anche di seguito) possono essere usati per una variet di misure.

Se i due fasci che vengono portati ad interferire sono spazialmente ben separati, allorapossono essere usati per misurare la variazione di cammino ottico in uno dei suoi bracci

causata dallinserzione sul cammino del fascio di un pezzo di materiale trasparente e per

conseguenza, nota la dimensione del campione, del suo indice di rifrazione

(interferometro di M., di Jamin, di Mach-Zender). Si po aggiungere che lindice di

rifrazione pu dipendere da vari parametri fisici, per esempio la temperatura o la

concentrazione di un soluto in un solvente, questi parametri possono quindi esseremisurati. Nel caso dellinterferometro di M. si potuto misurare la lunghezza del metro

campione in termini della lunghezza donda di una riga particolare (riga rossa del Cd) e

per conseguenza ridefinire il campione di lunghezza.

Il metodo banale in teoria, molto complesso in pratica, Poich al variare della lunghezza

di un braccio si ottengono passaggi alternati di piena luminosit a oscurit. Un passaggio

dal massimo al minimo di luminosit implica un movimento pari alla met dellalunghezza donda della luce usata: dopo N passaggi si sar misurata una lunghezza pari a

/ 2N . La misura del metro campione richiederebbe un conteggio assai elevato dicambiamenti di luminosit, pertanto il procedimento pi complicato.

2b. Interferometro di Jamin

E fatto disponendo due lamine di grosso spessore (per esempio 4 cm) parallele tra loro e a

45 rispetto al fascio incidente ( 1S ed 2S ). Le due lamine hanno la superficie posteriore

Fig. 26: Interferometro di Michelson.

Fascio di luce

Specchi

d2

d1

S1 S2

Specchio

semiriflettente

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Cap. 2 Ottica 13

argentate in modo da riflettere la luce. Il fascio incidente sulla superficie anteriore di 1S

si divide in un fascio riflesso sulla superficie anteriore ed un fascio rifratto nella lamina e

poi riflesso dalla superficie posteriore. I due fasci ben separati lateralmente tra loro, sono

poi portati ad interferire sulla faccia anteriore di 2S .

Se le due lamine fossero esattamente uguali ed esattamente parallele, il sistema sarebbe

uguale ad una lamina in aria di spessore costante e la superficie anteriore di S 2sarebbe

uniformemente illuminata. Se si ruota intorno ad un asse perpendicolare alla pagina unadelle lamine si osserveranno frange dinterferenza come in una lamina a cuneo.

2c. Interferometro di Mach-Zender

Un fascio monocromatico viene diviso in due fasci da uno specchio semitrasparente (St). I

due fasci sono riflessi da due specchi ( 1S ed 2S ). e interferiscono sulla superficie

posteriore di una lamina di vetro (L).

Fascio incidente

Superficie riflettente

posteriore

S1

S2

Fascio incidente

S1

S2

St

L

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Cap. 2 Ottica14

2d. lamina di Lummer e Gehrke

Consiste in una lamina di vetro in cui un fascio di luce subisce riflessioni multiple sulle

sue superfici interne, lasciando uscire un po di luce ad ogni riflessione. La luce in uscita

viene fatta interferire su uno schermo, usando una lente convergente.

2e, Interferometro di Fabry-Perot

Un uso delle lamine a facce piane e parallele nellinterferometro di Fabry-Perot. La luce

passa ripetutamente attraverso la lamina e la quantit di luce che passa attraverso la

lamina varia a seconda della lunghezza donda, lo spessore della lamina, lindice di

rifrazione secondo la stessa regola: per avere un massimo, occorre che (notate

leliminazione del fattore addizionale : non c riflessione!)

2

0

22 cos 2k l n d r m

= = = . Facendo cadere la luce sullinterferometro, avremo

una luminosit del fascio passante che dipende dalla lunghezza donda. Ne segue che si

Fascio incidente

Lente convergente

SchermoLamina di vetro

Interferenza

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Cap. 2 Ottica 15

pu misurare molto accuratamente la lunghezza donda, variando lo spessore della lamina,

che viene realizzata con due specchi semiriflettenti. In questo caso sar: 2 1n = . Il

sistema pu essere usato anche come filtro: lasciando cadere sul fabry-perrot della luce

con uno spettro continuo di frequenze, solo certe frequenze passeranno.

3. Interferenza tra N fenditure

Consideriamo un sistema come quello in fig. 27. Generalizzando quello che abbiamo fatto

con due fenditure, sappiamo che tra le onde

provenienti da due successive fenditure c uno

sfasamento

sen

2

d= .

Dobbiamo sommare le N perturbazioniprovenienti dalle fenditure, ognuna delle quali

avr la forma: kiti

kk ee 0= , con

+=1kk . Mettendo in evidenza il

fattore con la dipendenza temporale, abbiamo:

==k

i

k

ti

k

kkeetxtx

0),(),( . A

questo punto occorre calcolare la somma di

numeri complessi: =k

ik

ke 00 . Poich un

numero complesso pu essere rappresentato da

Schermo

S1

SN

d

Fig. 27: Interferenza tra

Nfenditure.

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Cap. 2 Ottica16

un vettore nel piano complesso, prendiamo ilprimo di questi numeri come vettore lungo

lasse reale e sommiamogli gli altri, tenendo

conto dello sfasamento relativo a quello

precedente (vedi fig. 29). Lo sfasamentoapparir come un cambiamento di inclinazione

pari a rispetto al vettore precedente. I vettoriallora si dispongono su un cerchio, essendo le

loro lunghezze k0 tutte uguali. Ne segue che il

vettore somma :2

sen20

N

= . Del resto,

possiamo scrivere che:2

sen201 = . In

conclusione, abbiamo:

2sen

2sen

010

N

= .

Infine, elevando al quadrato, avremo:

2010 )

2

sen

2sen

()(

N

II = . Questa formula si riduce a quella gi trovata, nel caso in cui

2=N , usando lidentit trigonometrica:2

cos2

sen2)2

2(sen

= . E evidente che

lilluminazione ha un massimo per 0= , dove sia il numeratore che il denominatorevanno a zero. In genere, numeratore e denominatore sono nulli in quelle direzioni tali che

dm

=sen , con mnumero intero. In tal caso, usando la regola dellHopital, evidente

che lintensit va come 2N . Nelle direzioni definite dalla relazione:dN

m=sen , con

...1,1,...,1 += NNm , il numeratore nullo, ma non il denominatore. Si hanno cos

dei minimi. Nelle direzioni in cui il numeratore ha un massimodN

m

1

2

12sen

+= e il

denominatore non nullo, si hanno massimi secondari. In fig. 29, abbiamo riportato il

grafico della funzione

)2

(sen

)2

(sen

2

2

N

, cio dellilluminazione, in unit arbitrarie, perN=4.

X

Y

Fig. 28: Somma di vettori complessi.

N

0 0

01

7/26/2019 2.Ottica

17/30

Cap. 2 Ottica 17

Fig. 29: Illuminazione da quattro fenditure.

Rifacendo lo stesso grafico con numeri grandi, corrispondenti adNdi parecchie migliaia, i

massimi primari crescono in altezza come 2N rispetto ai massimi secondari (che

rimangono dellordine dellunit). Di conseguenza, lilluminazione tutta concentrata

nelle direzioni dei massimi principali. Gli altri parametri del grafico sono: d=3,3m e=300nm.

4. La diffrazione

Come sappiamo, la luce non si propaga sempre in linea retta. I fenomeni nei quali

presente una deviazione dalla propagazione rettilinea si chiamano fenomeni di diffrazione.Qui ci si vuole occupare a scopo illustrativo di due casi notevoli: la diffrazione attraverso

una fenditura utile per la descrizione del reticolo di diffrazione - e quella attraverso un

foro - per capire i limiti della risoluzione negli strumenti ottici. Fenomeni di diffrazionesono pure il passaggio di luce in zone che, geometricamente, dovrebbero essere dombra.

Siamo abituati a questi fenomeni: per esempio, guardando attraverso le ciglia sorgenti di

luce, osserviamo frange colorate. Si tratta appunto di frange dovute alla diffrazione. Siconsideri allora una fenditura di altezza h.

Si divida la fenditura in strisce di

altezza infinitesima dy e si

sovrappongano le perturbazioni

-0,10 -0,05 0,00 0,05 0,10

0

5

10

15

20

sen()

I(ua)

7/26/2019 2.Ottica

18/30

Cap. 2 Ottica18

provenienti da queste striscioline,utilizzando una lente convergente. La

differenza di cammino tra la

strisciolina a y=0 e quella a

coordinata y : senyl = , di

conseguenza, la differenza di fase

sen2 y

= . La perturbazione

proveniente dalla fenditura la

somma delle perturbazioni

infinitesime che provengono da

ciascuna strisciolina.

Dunque:)( +

= ti

c eh

dyEdE . Sommandole con lo stesso metodo usato per

linterferenza daNfenditure

0

0

0

0

2 2( )

2 2

2 sen

(cos ) sen( sen )2 sen sen

sen

h h

i t i t i i t ic cc

h h

i t i t c c

i tc

E EdyE E e e dye e e d

h h h

E E he isen d e

h h

zE e

z

+

= = = =

= + = =

=

con:

senh

z = . In conclusione, lilluminazione va come 2)sen

(z

z. In fig. 31 viene

riportato il grafico dellilluminazione in funzione di sen. In esso si vede nettamente lapresenza di picchi secondari dilluminazione.

Notare che la formula precedente:

)2

(sen

)2

(sen

2

2

N

della interferenza da fenditure di

altezza si riduce alla formula della diffrazione da unapertura di altezza per +

e 0in modo che lim = .

dy

h

Y

Fig. 30: Diffrazione da una fenditura.

7/26/2019 2.Ottica

19/30

7/26/2019 2.Ottica

20/30

Cap. 2 Ottica20

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

sen()

(senz/z)2

Fig. 31: Diffrazione da una fenditura.

6. Lo spettro dellatomo didrogeno

Utilizzando un reticolo di diffrazione, si pu esaminare lo spettro della luce emessa da un

gas ad alta temperatura. In particolare, si pu studiare lo spettro della luce emessadallatomo didrogeno, essendo questo latomo pi semplice.

La caratteristica pi importante dello spettro di emissione di un gas che le emissioni

avvengono solo su precise frequenze: lo spettro, cio la distribuzione delle frequenze,

appare come una sequenza di righe luminose su uno sfondo buio. Pi esattamente possibile descrivere le frequenze ammissibili con la formula (di Balmer):

)11

(22 knh

K= , dove fissato il numero intero ...3,2,1=n (cio fissata la serie di righe),

si troveranno tutte le righe corrispondenti alla sequenza dei numeri interi ,...1, += nnk In

7/26/2019 2.Ottica

21/30

Cap. 2 Ottica 21

verit esiste anche un principio di combinazione di Ritz che sostiene che la differenza tra

due termini del tipo2

1K

h n

=

costituisce sempre una frequenza possibile.

Come si vede, la formula delle frequenze ammissibili identica nella forma a quella

descritta al Cap. 4 e relativa ai salti energetici tra due orbite di Bohr

)11

(22

nkKHHH mn == , con: 22

0

4 1

)4(2

1

emK= =cost.

Di conseguenza, se ammettiamo con Planck che lenergia del campo elettromagnetico

esprimibile nella forma: hH= , dove h la costante di Planck e la frequenza dellaluce, allora, la quantizzazione dell'energia operata da Bohr risulta equivalente ad una

quantizzazione delle frequenze emesse. Un problema insormontabile con latomo di Bohr costituito dal fatto che lelettrone in rotazione intorno al protone irraggia secondo la

legge di Larmor e rapidamente decade sul nucleo. Latomo di Bohr instabile!

Calcoliamo lordine di grandezza del tempo impiegato dallelettrone a finire sul nucleo.Per un moto circolare, usando la formula di Larmor, lenergia irraggiata per unit di tempo

:

2 4

3 2

0

2

3 4

e vP

c r= . Con ovvio significato dei simboli:

2 4 2

3 2 20 0

1 2 1

4 3 4

dE e v edt dt mvdv dr

dt c r r = = +

2

1

0

2

0

22

20

22

)1

4

(1

4

1

4 mr

ev

r

emv

r

e

r

vm

=== e differenziando:

20

2

8 r

dremvdv

= . Sostituendo:

2 4 2 2 2 2 22

3 2 2 3 2 2 20 0 0 0 0 0

2 42 2

2 3 2 3 2 20 0

2 1 1 2 1 1 1 1 1( )

3 4 4 3 4 4 8 4

4 1 1 4 1 1( )

3 4 3 (4 )

e v e e e e edt mvdv dr dt dr dr

m rc r r c r r r

e edt dr dt dr dt r dr

rm c m c r

= + = +

= = =

2

2 2 21 3 1

2 30

4 1 4( ) 3,15 10

3 4 3 e

er c m s

m c

= = = , con

215

20

12,8 10

4e

er m

mc

= = ,

raggio classico dellelettrone. Integrando:

1

30 3

0

( ) (1 3 )r t r t r

= , ricordando che per un atomo didrogeno: mr

100 1053,0

= , si

deduce che: 0=r a 12t ps= .

7/26/2019 2.Ottica

22/30

Cap. 2 Ottica22

0 2 4 6 8 10 12

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

t(ps)

r(m).1010

O r i g in P r o 8 E v a lu a t io n O r i g in P r o 8 E v al u a t io n

O r i g in P r o 8 E v a lu a t io n O r i g in P r o 8 E v al u a t io n

O r i g in P r o 8 E v a lu a t io n O r i g in P r o 8 E v al u a t io n

O r i g in P r o 8 E v a lu a t io n O r i g in P r o 8 E v al u a t io n

O r i g in P r o 8 E v a lu a t io n O r i g in P r o 8 E v al u a t io n

O r i g in P r o 8 E v a lu a t io n O r i g in P r o 8 E v al u a t io n

O r i g in P r o 8 E v a lu a t io n O r i g in P r o 8 E v al u a t io n

7/26/2019 2.Ottica

23/30

Cap. 2 Ottica 23

0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045 0,050

0

200000

400000

600000

800000

1000000

sen()

Illum

inazione(ua)

Fig. 32: Illuminazione da reticolo di diffrazione.

7. La formula di Kirchhoff e la diffrazione

Ricaviamo adesso la formula di Kirchhoff che d una trattazione matematica del principio

di Huygens-Fresnell.

Partiamo dallequazione delle onde e consideriamo unonda monocromatica:ti

ezyxtzyx

),,(),,,( = . Sostituiamo nellequazione delle onde e otteniamo:2 0k + = che lequazione di Helmholtz (modifica dellequazione di Poissons

che ha 02 =k ). Prendiamo adesso due onde con lo stesso valore di k: 1 e 2 .

Scriviamo lequazione di Hemholtz, moltiplichiamo la prima per 2 , la seconda per 1

e sottraiamo. Si ha:2 2

2 1 1 1 2 2( ) ( ) 0k k + + = . Integriamo su un volume V,

da una superficie che racchiude tutto (vedi disegno in basso) e otteniamo:

7/26/2019 2.Ottica

24/30

Cap. 2 Ottica24

2 2

2 1 1 1 2 2

1 2

2 1 1 2 2 1

( ( ) ( )) 0

( ) ( )

V

S S

k k dV

d dndS ndS

dn dn

=

= =

Dove la derivata lungo la normale alla superficie ndn

d = 2,1

2,1

. Prendiamo

adesso come 1 , la soluzione dellequazione di Helmholtz ( ) e come 2 , la funzione

ikrer

1 che anchessa soluzione dellequazione di Helmholtz

22

2 22

10

dr k

r dr

=

ovunque tranne che nellorigine. Possiamo dire che 2 la

funzione di Green ( )G G r= per il nostro caso. In effetti2( ) ( ) 4 ( )G r k G r r + =

. In

essa r

la distanza del punto P dal punto sulla superficie. Per conseguenza il primo

membro della precedente relazione, si riduce a:14 ( )

V

r dV

Otteniamo:1 1 1

( ) ( ( ))4

ikr ikr d dr e e d

r dn dn r

=

.

P

V

7/26/2019 2.Ottica

25/30

Cap. 2 Ottica 25

=

==

ddn

de

rrdn

de

dn

de

r

derdn

d

dn

de

r

ikrikrikr

ikrikr

)1

)1

(1

(4

1

))1

(1

(4

1

.

Da cui si ha che:

++= d

dn

dree

rik

dn

dr

ree

dn

dee

rtzyx

tiikrtiikrtiikr )111

(4

1),,,(

2

Ovvero:

++= d

dn

dr

rike

rdn

de

rtzyx

crticrti ))1

(11

(4

1),,,( )/()/(

Come si vede la perturbazione al punto Pal tempo t data dalla somma di perturbazioni

generate ad un tempo anteriore1:c

rt a punti distanti rda P, per raggiungere il qual

punto il tempo preso dalla perturbazione appuntoc

r. In conclusione, il valore del campo

a Pal tempo t determinato dalle perturbazioni prodotte dai punti di una superficie S, ad

un tempo antecedente a t di un tempo che esattamente uguale al tempo che laperturbazione prende ad andare dal punto della superficie al punto P. Il potenziale

)(

),,()/( cr

ti

ezyxcrt

=

si chiama il potenziale ritardato.

Per la verit, nellintegrale appare non solo la perturbazione, ma anche la derivatanormale alla superficie; tuttavia si pu dimostrare che le due cose non sono indipendenti.In conclusione, possiamo scrivere:

1

Notare che, se avessimo preso la onda nella forma

1 ikrer , si sarebbe avuto

rt c al

posto dic

rt . In questo caso avremmo dovuto dire che la perturbazione a Pora

determinata da quello che accadr sulla superficie nel futuro. Accanto a soluzioni ritardate

esistono soluzioni anticipate, che qui scartiamo per ragioni evidenti. Tuttavia lesistenza di

queste soluzioni sottolinea il fatto che lelettromagnetismo invariante sotto linversione

temporale.

7/26/2019 2.Ottica

26/30

7/26/2019 2.Ottica

27/30

Cap. 2 Ottica 27

In questo caso, 1cos 1 = rigorosamente, perch la normale allo schermo ha la direzione

dellasseZ e dunque2

cos1)(

+=f .

Il contributo alla perturbazione in P, dovuto alla parte dello schermo non forato sarovviamente zero. Anche il contributo dovuto alla semisfera il cui raggio facciamo

divergere sar nullo, perch la perturbazione viaggerebbe allindietro e il fattoredinclinazione sarebbe nullo. Dar cos contributo solo la superficie del foro. Dobbiamo,

dunque, calcolare solo lintegrale su tale superficie. Inoltre, se poniamo la posizione dello

schermo opaco a 0=z , sar [ ] =

drctkfr

Atxyx sin)(

1),,,(

.

Cominciamo col considerare una fenditura rettangolare di lati 2a e 2b e calcoliamolintegrale sullarea del rettangolo.

Nel disegno langolo (non marcato per evitare confusione) langolo formato da rcon

la normale allo schermo opaco nel punto dintegrazione Q.Lorigine degli assi coordinati nel centro della fenditura.

+

=

drctkr

Adrctk

r

Atzyx )(sin

1)(sin

2

cos11),,,(

. Lultima

approssimazione dovuta al fatto che supponiamo lo schermo su cui si trova P molto

Schermo opaco

Z

X

Y

Onda incidente

fenditura

P(x,y,z)

2b

rQ(,,)

7/26/2019 2.Ottica

28/30

Cap. 2 Ottica28

lontano (z molto grande rispetto a b: massimo valore di 01tan

7/26/2019 2.Ottica

29/30

Cap. 2 Ottica 29

y

ybk

x

xak

ybk

xak

xy

)sin()sin(

4)sin()sin(42

== .

0)cos()sin(

)sin()cos()sin()cos(

)cos()sin()sin(

2

2

=

==+

+=+

+

+

+

+

b

b

a

a

b

b

a

a

b

b

a

a

b

b

a

a

yk

xk

xy

yk

xk

xy

ddy

kx

k

ddy

kx

kddyx

k

In conclusione:

sin( ) sin( )

( , , , ) 4 sin ( )

sin( ) sin( )sinsin4 sin ( ) sin ( )

yx

x y

xa ybk k

Ax y z t k ct

x y

xa ybk k

zzA Aab k ct S k ct xa yb z z

= =

= =

In cui: abS 4= (a e b sono i semilati della fenditura),

ybkz

xakz

yx == , . La

formula trovata coincide, mutatis mutandis, con quella trovata precedentemente al par.4.

Nel caso della fenditura rettangolare si trova il primo minimo a

ax

xaz

x2

2

=== e

by

2

= .

Nel caso di un foro circolare si trova la stessa formula con Rba =, , =R raggio del

foro.sinsin

( , , , ) sin ( )yx

x y

zzAx y z t S k ct

z z

= .

Nel caso del foro circolare troviamo il diametro del primo minimo:

DRd

== sin

2, in cui: RD 2= = diametro del foro, per

d=sin , vedere

7/26/2019 2.Ottica

30/30

Cap. 2 Ottica30

la definizione alla fine del par.4 a proposito della condizione di Rayleigh. Nel caso di uno

strumento ottico, abbiamo: = distanza focale dellobbiettivo. In realt, come si

precedentemente detto,D

22,1sin = dove il fattore moltiplicativo si ottiene con una

teoria non scalare.