C. M

en

cuccin

i V. S

ilvestrin

i ES

ER

CIZ

I DI F

ISIC

A E

LETTR

OM

AG

NE

TISM

O E

OTTIC

A

ESERCIZI DI FISICAELETTROMAGNETISMOE OTTICAinteramente svolti

Risorse online• Esercizi

con soluzione assistita

Per l’accesso registrarsi e abilitare la risorsa su https://my.zanichelli.it

Maggiori informazioni nella seconda di copertina

Una raccolta di 190 esercizi interamente svolti che coprono gli argomenti di Elettromagnetismo e di Ottica. Sono suddivisi in tre tipologie:– esercizi con soluzione assistita– esercizi di consolidamento– esercizi di riepilogo

Il suggerimento è quello di provare ad affrontare l’esercizio con i propri mezzi. Se non si riesce a trovare la soluzione da soli o con il supporto di qualunque libro di testo, allora si può ricorrere ai differenti tipi di aiuto che questo eserciziario offre: sulla carta e online.Sul sito collegato a questo libro (maggiori informazioni nella colonna a fianco e nel retro di copertina) ci sono i suggerimenti, erogati in modo interattivo e progressivo, che portano alla soluzione degli esercizi della prima tipologia e possono fornire qualche indicazione anche per quelli del secondo tipo. In ogni caso per questi ultimi e per gli esercizi di riepilogo, si può ricorrere ai brevi suggerimenti nelle pagine finali di ciascun capitolo e alla soluzione integrale alla fine del libro. Gli esercizi sono raggruppati per capitoli che corrispondono alla tradizionale suddivisione di argomenti presenti su qualsiasi testo di Fisica.

Ogni capitolo dell’eserciziario, è introdotto da uno schema riepilogativo degli strumenti concettuali, leggi, teoremi, utili per lo svolgimento degli esercizi. In chiusura del volume è fornita anche un’appendice di formule matematiche.

Corrado Mencuccini Vittorio Silvestrini

ESERCIZI DI FISICAELETTROMAGNETISMO

E OTTICAinteramente svolti

MENCUCCINI*ESERCIZI FISICA 2 (CEA QISBN 978-88-08-18703-1

9 788808 187031

Al Pubblico € 22,00••• P. Cop. € 21,15

Corrado MencucciniVittorio Silvestrini

ESERCIZI DI FISICAELETTROMAGNETISMO

E OTTICAinteramente svolti

Questo libro di esercizi è rivolto a studenti dei corsi di laurea in fisica, ingegne-ria e matematica, con l’obiettivo di assisterli nella conquista di abilità di pro-blem-solving, che richiede di armonizzare l’intero processo che va dalla sche-matizzazione alla scelta delle leggi generali da utilizzare di caso in caso.Il passo zero, preliminare all’attacco di ogni esercizio, deve essere lo studio della teoria; solo dopo aver compiuto questo primo passo, si può rivolgere l’attenzio-ne ai problemi presentati nell’eserciziario. Problemi che possiamo suddividere in tre classi.

Un primo tipo di problemi, contrassegnati dall’icona , si occupa di sviluppa-re, in modo sistematico e graduale, i passaggi logici che vanno dalla schema-tizzazione della particolare situazione proposta, all’individuazione delle leggi generali di cui l’esercizio è applicazione. Di ogni esercizio è dato il testo e la soluzione numerica. Lo studente deve, per cominciare, cercare di risolvere au-tonomamente il problema, anche con il ricorso a consultazione del libro di te-sto o di appunti, e senza avere fretta di passare alle richieste di aiuto. In caso di persistente difficoltà, ampiamente prevista nella prima fase di preparazione, ci si collega al sito web (online.universita.zanichelli.it/mencuccini-es2) e si chiede il primo di una serie di aiuti. Ogni aiuto si presenta come una schermata su cui appaiono, in sequenza comandata da un clic, riquadri con commenti scritti, richiami di leggi, disegni schematici, formule, ecc. Tra un clic e il successivo si presuppone che lo studente si soffermi a tentare di anticipare il contenuto del successivo elemento della schermata. E così di seguito fino all’ultimo aiuto. È chiaro che, nella sequenza, ogni aiuto risulta più specifico del precedente. Gli esercizi di questo primo tipo li chiameremo a soluzione assistita.

Prefazione

IV Prefazione ISBN 978-88-08-18703-1

Salvo poche eccezioni, subito dopo ogni esercizio a soluzione assistita è pro-posto un esercizio evidenziato con un fondino grigio e contrassegnato dallo stesso numero dell’esercizio precedente con asterisco. L’argomento è simile a quello dell’esercizio che lo precede e simili sono anche gli strumenti concettuali necessari alla soluzione. Di questi esercizi di consolidamento sono forniti brevi suggerimenti a fine capitolo e soluzione dettagliata in fondo all’eserciziario. È chiaro che, in caso di difficoltà, è facile trovare aiuto ricorrendo alla soluzione assistita dell’esercizio precedente.

Per ogni capitolo, subito dopo i primi due gruppi di esercizi, ne è fornito un terzo, che può essere considerato di riepilogo e rifinitura della preparazione, con una miscellanea di problemi che coprono i vari argomenti; anche per essi sono dati, come per gli esercizi di consolidamento, suggerimenti e soluzione.Come parte preliminare di ogni capitolo dell’eserciziario, è presentato uno schema riepilogativo degli strumenti concettuali, leggi, teoremi, ecc., detti ‘’punti chiave’’, attinenti al corrispondente capitolo del libro di testo.Alla fine dell’eserciziario è fornita un’appendice di formule matematiche utili alla soluzione degli esercizi.

Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini

Corrado Mencuccini È stato professore ordinario di Fisica generale presso la Facoltà di Scienze dell’Univer-sità di Napoli Federico II e, dal 1980, presso la Facoltà di Ingegneria dell’Università di Roma “La Sapienza”. Ha anche insegnato presso l’Università Campus Biomedico di Roma. Ha svolto ricerche in fisica subnucleare presso l’Elettrosincrotrone dei Labora-tori Nazionali di Frascati, di cui è stato anche direttore, presso il Protosincrotrone di Argonne (USA) e presso l’anello di accumulazione di elettroni e positroni Adone di Frascati. Si è anche occupato di produzione di luce di sincrotrone (UV e X) da elettroni relativistici orbitanti in sistemi magnetici, nonché di didattica universitaria, di energia elettrica e di storia della fisica.

Vittorio SilvestriniAttualmente è presidente della Fondazione IDIS (Istituto per la Diffusione e la Valoriz-zazione della Cultura scientifica) nonché fondatore della Città della Scienza di Bagnoli (NA) di cui è anche presidente. È stato a lungo professore ordinario di Fisica generale presso l’Università degli Studi di Napoli Federico II e ha alle spalle una prestigiosa attività di ricerca che spazia dalle particelle elementari all’energetica, all’ottimizzazione e pianificazione dei sistemi complessi. Ha pubblicato numerosi testi e saggi di divulga-zione scientifica; nel 2006 ha ricevuto il prestigioso premio “Descartes” per la comuni-cazione scientifica.

Indice

Elettrostatica nel vuoto. Campo elettrico potenziale 1Punti chiave 1Esercizi assistiti e di consolidamento 4Esercizi di riepilogo 8Suggerimenti 10

Sistemi di conduttori e campo elettrostatico 13Punti chiave 13Esercizi assistiti e di consolidamento 15Esercizi di riepilogo 18Suggerimenti 19

Elettrostatica in presenza di dielettrici 21Punti chiave 21Esercizi assistiti e di consolidamento 23Esercizi di riepilogo 26Suggerimenti 28

Corrente elettrica stazionaria 29Punti chiave 29Esercizi assistiti e di consolidamento 31Esercizi di riepilogo 36Suggerimenti 39

Fenomeni magnetici stazionari nel vuoto 41Punti chiave 41Esercizi assistiti e di consolidamento 44Esercizi di riepilogo 47Suggerimenti 49

Magnetismo nella materia 51Punti chiave 51Esercizi assistiti e di consolidamento 55Esercizi di riepilogo 56Suggerimenti 56

Campi elettrici e magnetici variabili nel tempo 57Punti chiave 57Esercizi assistiti e di consolidamento 59Esercizi di riepilogo 64Suggerimenti 67

Correnti alternate 69Punti chiave 69Esercizi assistiti e di consolidamento 70Esercizi di riepilogo 72Suggerimenti 72

Onde elettromagnetiche e fenomeni classici di interazione fra radiazione e materia 73Punti chiave 73Esercizi assistiti e di consolidamento 77Esercizi di riepilogo 82Suggerimenti 83

Ottica geometrica 85Punti chiave 85Esercizi assistiti e di consolidamento 87Esercizi di riepilogo 90Suggerimenti 91

Soluzioni degli esercizi 93

Formule utili in matematica 157

ESERCIZI DI FISICAELETTROMAGNETISMO

E OTTICAinteramente svolti

Elettrostatica nel vuotoCampo elettricoe potenziale

Punti chiave

Legge di Coulomb

q1

q2

�r21

1 2 2121 2

0 2121

1 4

q q rFπε rr

=

�� [I.2]

(per cariche puntiformi)

Costante dielettrica del vuoto ε0 = 8,854 · 10–12 C2/N · m2

Principio di conservazione della carica elettrica

In un sistema isolato la somma algebrica delle cariche elettriche è costante nel tempo

Quantizzazione della carica Ogni carica di un dato segno può essere considerata come il prodotto di un numero intero positivo o negativo per una costante che rappresenta il modulo della carica dell’elettrone e = 1,6 · 10–19 C

Campo elettrico

0

N VoltC

lim

mq

FEq→

= =

�� [I.5]

Basato sul Capitolo 1 di C. Mencuccini e V. Silvestrini, Fisica - Elettromagnetismo e ottica

Gli esercizi di questo capitolo riguardano il tema dell’elettrostatica nel vuoto, i cui concetti fondamentali sono brevemente riassunti nei Punti chiave. La numera-zione delle equazioni, indicata tra parentesi quadre, si ri-ferisce al volume di C. Mencuccini e V. Silvestrini, Fisica - Elettromagnetismo e ottica.

Gli Esercizi assistiti, contrassegnati dall’icona prevedono una serie di aiuti disponibili sul sito del libro (vedi seconda di copertina). A ciascun esercizio assistito corrispondono uno o più Esercizi di consolidamento, contrassegnati da *, la cui risoluzione è simile a quella dell’esercizio assistito corrispondente.

4 Elettrostatica nel vuoto. Campo elettrico e potenziale ISBN 978-88-08-18703-1

Esercizio 1.1 (Esercizio correlato: 1.1*)

Punti chiave

Dipolo in campo elettrico esterno

�E

�p

Momento della coppia di forze:

M p E= � ��

Energia del dipolo:

U p E= − ⋅��

Operatore rotore

�υ (x, y, z)

ki

jO

ˆˆˆ

rot

x y z

i j k

υx y z

υ υ υ

∂ ∂ ∂≡∂ ∂ ∂

� = [I.79]

ˆˆˆ y yz x z x

υ υυ υ υ υi j k

y z z x x y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Teorema di Stokes

n

dSS

l

d rot dl Sυ υl S⋅ = ⋅∫ ∫

�� ��� [I.81]

Campo elettrostatico irrotazionale

0

0 d 0rot 0

ll

EE ⋅ =

=∫� ��� [I.83]

Esercizi assistiti e di consolidamento

y

O D 2D 3Dx

A B

Ch

Un segmento di lunghezza 2D, posto nel vuoto, è uni-formemente carico con densità lineare di carica λ. Nella disposizione indicata in figura, ricavare le componenti cartesiane del campo elettrico nei punti A(D,h), B(2D,h) e C(3D,0).

Rispostea)

2 202

0

y

x

λ DEπε h h

E

D= ⋅

+

=

b)

2 2

0

2 20

14 4

24 4

x

y

λ hEπε h D hλ DE

πε h D h

= ⋅ − +

=+

c)

060y

xλE

πε DE =

=

ISBN 978-88-08-18703-1 Esercizi assistiti e di consolidamento 5

Esercizio 1.1*Un segmento di lunghezza d, posto nel vuoto, porta una carica positiva Q uniformemente distribuita sulla sua lunghezza. Nella disposizione indicata in figura, ricavare l’espressione del modulo del campo elettrico nel punto P(2d,d/2).

Risposta

E(P) = 0,22 2

02Qπε d

y

O Dd 2d x

Q

P

d/2

Esercizio 1.2*Su un supporto filiforme rigido costituito da un trat-to rettilineo (1) molto lungo, raccordato a un estremo con un tratto (2) a forma di un quarto di circonferen-za di centro A e raggio R, è distribuita uniformemen-te una carica elettrica positiva con densità lineare λ, come mostrato in figura. Il tutto è nel vuoto. Ricavare l’espressione delle componenti cartesiane Ex ed Ey del campo elettrico nel punto A (nel sistema di riferimen-to Oxy indicato in figura).

Risposta

Ex = λ/(2πε0R); Ey = 0

y

RAO x

(2)

(1)

λ

λ

Esercizio 1.2 (Esercizio correlato: 1.2*)

Un sottile anello circolare di raggio R è posto nel vuoto ed è uniformemente carico con densità lineare di ca-rica positiva λ. Ricavare l’espressione del potenziale e del campo elettrico in un punto P dell’asse della spira a distanza z dal suo centro.

Risposte

2 20

2 2 3/20

( ) /2

( )2 ( )z

V z λR ε z RλR zE zε z R

= +

=+

λ

RO

+

+

++

++

++

++

++

++++

= dqdl

P

z

Esercizio 1.3 (Esercizi correlati: 1.3* e 1.3**)

CO A By

x

R

z

ca

b

Un lungo cilindro retto, a sezione circolare di raggio R, è posto nel vuoto ed è uniformemente carico. La differenza di potenziale tra i punti A(0,a,0) e B(0,b,0) nel sistema cartesiano indicato in figura, vale ΔV. Ricavare l’espressione del campo elettrico nel punto C(0,c,0).

Risposta

E(C) = (cΔV)/[R2ln (b/a)]

8 Elettrostatica nel vuoto. Campo elettrico e potenziale ISBN 978-88-08-18703-1

Esercizio 1.7*Una carica elettrica positiva è uniformemente distribuita, con densità superficiale σ, su una corona circolare di raggio interno a, raggio esterno b e centro O, posta nel vuoto. Ricavare l’espressione della differenza di potenziale ΔV = [V(O) – V(P)] tra il centro O della corona e il punto P dell’asse della corona a distanza h dal centro O.

Risposta

2 2 2 2

02σΔV b a b h a hε = − − + + +

z

h

P

ab Oσ

Esercizi di riepilogo

Esercizio 1.8Due cariche puntiformi positive uguali sono separate da una distanza 2a. Sul piano ortogonale alla congiun-gente le due cariche e passante per il centro C della congiungente stessa, determinare il luogo dei punti in cui il campo è massimo.

RispostaCirconferenza di raggio

2aR =C

Pianoortogonale

+ q+ q

Esercizio 1.9Una carica negativa −q di massa m è posta inizialmente nel punto P, sull’asse di una circonferenza di raggio a vincolata in posizione fissa; P si trova a distanza 3a dal centro C della circonferenza stessa. La circonferen-za è caricata uniformemente, con carica positiva totale pari a Q. La carica −q viene lasciata libera di muoversi, partendo dalla situazione di quiete. Con che velocità υf passa dal centro della circonferenza? (Valori numerici: q = 1,5 · 10−8 C; Q = 6 · 10−8 C; a = 10 cm; m = 10−5 kg.)

Risposta

υf = 2,84 m/sa

C Pa√3

Esercizio 1.10In un volume sferico di raggio R e centro O è distribuita con simmetria sferica una carica elettrica la cui densità di volume è = Ar, dove A è una costante ed r è il mo-dulo della distanza dal punto O e tutto è disposto nel vuoto. Ricavare l’espressione della carica totale Q con-tenuta nella sfera e l’andamento del campo elettrico con la distanza r, internamente ed esternamente alla sfera.

Risposte

Q = πAR4;

E0(r > R) = Q/4πε0r2;

E0(r < R) = Ar2/4ε0

ISBN 978-88-08-18703-1 Esercizi di riepilogo 9

Esercizio 1.11

O

x

E0

Esercizio 1.12

Esercizio 1.13Sulla superficie di un cilindro di altezza molto mag-giore del raggio (“cilindro indefinito”) è distribuita della carica con densità superficiale σ uniforme. Cal-colare il campo elettrico in un punto qualsiasi interno al cilindro.

RispostaE(INT) = 0 ovunque

Esercizio 1.14Un filo sottile e rigido, uniformemente carico con densità di carica lineare λ positiva, è sagomato in modo da formare due tratti rettilinei di lunghezza 2b

ortogonali tra loro e raccordati da un quarto di circon-ferenza di raggio R, con R << 2b e centro O. Ricavare l’espressione, nel vuoto, del campo elettrostatico nel punto O.

Risposta

Ex = Ey = λ/4πε0R; 02 /4E λ πε R=

R

R O

2b

2b

y

x

Esercizio 1.15Sia data, nel vuoto, una superficie semisferica di rag-gio R uniformemente carica con densità superficiale di carica σ. Qual è l’espressione del potenziale e del campo elettrico nel centro O della semisfera?

Risposte

0 0

, 2 4σR σV Eε ε

= =

;

0 0

, 2 4σR σV Eε ε

= =

O R

Una sbarretta omogenea, di se-zione trascurabile e lunghezza 2l, è dotata di una densità line-are di carica non uniforme, de-scritta dalla legge λ = ax, dove x è la coordinata longitudinale presa con origine nel centro. In-

cernierata nel suo punto di mezzo a un asse verticale, la sbarretta è immersa in un campo elettrico uniforme E0 orizzontale. In che posizione di equilibrio si dispo-ne? Spostata di un piccolo angolo rispetto alla sua po-sizione di equilibrio, essa prende a oscillare con pulsa-zione ω. Quanto vale la sua massa?

Risposte

Parallelamente al campo;

m = 0

2

2E alω

Una sfera di raggio a, uniformemente carica, è racchiu-sa dentro una superficie sferica di raggio b, concentrica alla sfera carica. Il potenziale della sfera di raggio b è tenuto fisso al valore V = 0, mentre il centro della sfe-ra carica è a potenziale V. Ricavare l’espressione della densità della carica contenuta nella sfera di raggio a.

Risposta

02

6(3 2 )ε bV

a b a=

−�

10 Elettrostatica nel vuoto. Campo elettrico e potenziale ISBN 978-88-08-18703-1

Esercizio 1.16Sia dato, nel vuo-to, un filo rettilineo molto lungo unifor-memente carico con densità lineare λ, cir-condato per tutta la sua lunghezza da una superficie cilindrica coassiale di raggio R, uniformemente cari-ca con densità super-ficiale di carica σ. Nel sistema di riferimen-to cartesiano indicato

in figura, i punti A e B hanno coordinate A ≡ (0, yA, 0) e B ≡ (0, yB, zB), rispettivamente. Ricavare l’espressione della differenza di potenziale [V(A) – V(B)].

Risposta

V(A) – V(B) = 0 0

ln ln2

B B

A

y yλ σRπε y ε R

+

R

B

AO

λ

σ

z

y

x

Esercizio 1.17Un dipolo elettrico di momen-to di dipolo p

� è posto, nel vuo-

to, sull’asse di un sottile anello rigido, circolare di raggio R, fisso e uniformemente carico con densità di carica positiva λ. Se il dipolo è disposto pa-rallelamente all’asse e orien-tato come in figura, ricavare l’espressione della distanza z0

per la quale la forza sul dipolo è nulla. Ricavare il segno di tale forza per z < z0 e z > z0.

Risposta

z0 = R/ 2

�p

z

R

λ

Suggerimenti1.1*Decomporre il segmento carico in elementi infinitesimi dx sedi di ca-riche puntiformi dq. Per ognuna di queste cariche è noto il campo elet-trico dE

� a distanza r. Applicare il

principio di sovrapposizione.

1.2*Il contributo della semiretta carica (1) si calcola come nell’esercizio 1.1, mentre il contributo dell’arco di cir-conferenza (2) si calcola in modo ana-logo a quanto fatto nell’esercizio 1.2.

1.3*La simmetria cilindrica della configu-razione rende agevole l’applicazione del teorema di Gauss per calcolare il campo elettrico.

1.3**Risolvere come in 1.3*.

1.5*La simmetria piana della configurazio-ne geometrica rende agevole l’applica-zione del teorema di Gauss per il cal-colo del campo E

�, con cui ricavare ΔV.

1.6*La simmetria sferica della configura-zione geometrica rende agevole l’ap-plicazione del teorema di Gauss e il calcolo del campo E

�.

1.7*Decomporre la corona circolare ca-rica in corone concentriche di raggio interno r e raggio esterno r + dr. Ogni punto di una di tali corone è equidi-

stante dal punto P e quindi è sempli-ce determinare il suo contributo dV al potenziale V(P). Applicare quindi la proprietà di additività dei poten-ziali integrando per r che va da a a b.

1.8Si calcoli il campo risultante usando il principio di sovrapposizione; il mas-simo si calcola poi uguagliando a zero la derivata del modulo del campo ri-sultante.

1.9Conviene applicare il teorema di con-servazione dell’energia ΔK = –ΔU, tenendo conto che la variazione di energia potenziale è facilmente espri-mibile in termini di variazione del po-tenziale elettrostatico.

ISBN 978-88-08-18703-1 Suggerimenti 11

1.10La carica si trova integrando sul volume della sfera. Per determinare l’andamento del campo elettrico ap-plicare la legge di Gauss.

1.11Lungo la sbarretta l’ascissa x assume valori positivi da un lato e negativi dall’altro e lo stesso vale per la carica. Si realizza una struttura dipolare, il cui momento è dp x q= ∫ , noto il quale e noto il campo elettrico esterno, si cal-cola l’energia potenziale e il momento delle forze. Da qui si procede per il cal-colo delle grandezze richieste.

1.12Per il campo elettrico procedere come nel caso generale di distribuzioni di carica dotate di simmetria sferica, alle quali applicare il teorema di Gauss.

1.13Supporre infinita la lunghezza del ci-

lindro e utilizzare il teorema di Gauss, tenendo conto della simmetria cilin-drica della distribuzione.

1.14Applicare il principio di sovrapposi-zione degli effetti, tenendo conto che i tratti rettilinei contribuiscono come ricavato nell’esercizio 1.2*, con la con-dizione semplificativa R << 2b, e che il tratto curvo contribuisce secondo l’e-spressione dedotta nell’esercizio 1.2*.

1.15Per quanto riguarda il potenziale ba-sta osservare che ogni elemento in-finitesimo di area in cui può essere suddivisa la superficie semisferica di-sta della quantità R dal punto O. Per il calcolo del campo elettrico conviene suddividere la superficie semisferica in elementi dS infinitesimi carichi e considerarne i contributi al campo elettrico in O, tenendo in opportuno

conto la geometria del sistema, così da limitare il calcolo alla sola compo-nente ortogonale al piano equatoriale della semisfera.

1.16Applicare il principio di sovrappo-sizione per i campi generati da filo e superficie cilindrica. Per il calcolo di questi campi applicare il teorema di Gauss.

1.17Il campo elettrico generato dalla spira sul suo asse è stato calcolato nell’e-sercizio 1.2. Questo campo non è uniforme. Si calcoli il risultante del-le forze che si esercitano sulle carica (+q) e (–q) a distanza δ con cui si può schematizzare un dipolo di momento p qδ=

��. Tenere conto del fatto che la

distanza della carica (+q) è (z + δ/2), che la distanza della carica (–q) è (z – δ/2) e che δ << z.

Soluzionidegli esercizi

Questa parte del volume contiene le soluzioni agli Esercizi di consolidamento e agli Esercizi di riepilogo. Le soluzioni guidate degli Esercizi assistiti sono disponibili sul sito del libro (vedi seconda di copertina).

Elettrostatica nel vuoto. Campo elettrico e potenziale

1.1* Procedendo come in 1.1 si ha:

20

1 dd4

λ xEπε r

= ; d d senxE E θ= ; d d cosyE E θ=

2(2 ) tg d d2 2cosD DD x θ x θ

θ− = → = −

/2cosr D θ=

0

0

0

d sen d2

d d 2 d cos d

2

λEx θ θπε DλE θ

πε D λEy θ θπε D

= −= − = −

2

12 1

0 0

sen d (cos cos )2 2

θ

x θ

λ λE θ θ θ θπε D πε D

= − = −∫

2

11 2

0 0

cos d (sen sen )2 2

θ

y θ

λ λE θ θ θ θπε D πε D

= − = −∫

y

O

x 2D – x

D x

dx

P

D/2

dq = λdxr

d�E

θ

θ

dExdEy

Trigonometria

seny R θ=

1cotgtg

θθ

=

cosx R θ=

1seccos

θθ

=

tgY R θ=

tgy x θ=

sentgcos

θθθ

=

1cscsen

θθ

=

2 2sen cos 1θ θ+ = 2 1/2sen (1 cos )θ θ= −

sen( ) senθ θ− = − cos( ) cosθ θ− =

sen( ) sen cos sen cos sen cos2πα β α β β α θ θ ± = ± → − =

x

YyR

Oθ

Formule utilidi matematica

158 Formule utili di matematica ISBN 978-88-08-18703-1

cos( ) cos cos sen sen cos sen2πα β α β α β θ θ ± = → − =

∓

1sen cos [sen( ) sen( )]2

α β α β α β= + + −

1cos cos [cos( ) cos( )]2

α β α β α β= + + −

sen sen 2sen cos2 2

α β α βα β + − + = ⋅

sen sen 2sen cos2 2

α β α βα β − + − = ⋅

cos cos 2cos cos2 2

α β α βα β + − + = ⋅

cos cos 2sen sen2 2

α β β αα β + − − = ⋅

2 2sen sen sen( ) sen( )α β α β α β− = + ⋅ −

2 2cos cos sen( ) sen( )α β α β β α− = + ⋅ −

sen(2 ) 2sen cosθ θ θ=

2 2 2cos(2 ) cos sen 1 2senθ θ θ θ= − = −

tg tgtg( )1 tg tg

α βα βα β

+± =

∓

2

2tgtg(2 )1 tg

θθθ

=−

Per un triangolo qualsiasi valgono le relazioni:

sen sensen β γαa b c

= = (legge dei seni)

c2 2 22 2 cosc a b ab γ= + − (relazione di Carnot)

Numeri complessi

A a jb= + 1j = −

2 2

1 1 a jbA a jb a b

−= =

+ − 1 1A

A

⋅ =

2 2A a jb a b= + = + (modulo)

*A a jb= − (complesso coniugato)

α

βγ

ca

b

O a

�rAb

θ

A= a+jb

RappResentazione polaRe

C. M

en

cuccin

i V. S

ilvestrin

i ES

ER

CIZ

I DI F

ISIC

A E

LETTR

OM

AG

NE

TISM

O E

OTTIC

A

ESERCIZI DI FISICAELETTROMAGNETISMOE OTTICAinteramente svolti

Risorse online• Esercizi

con soluzione assistita

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Maggiori informazioni nella seconda di copertina

Una raccolta di 190 esercizi interamente svolti che coprono gli argomenti di Elettromagnetismo e di Ottica. Sono suddivisi in tre tipologie:– esercizi con soluzione assistita– esercizi di consolidamento– esercizi di riepilogo

Il suggerimento è quello di provare ad affrontare l’esercizio con i propri mezzi. Se non si riesce a trovare la soluzione da soli o con il supporto di qualunque libro di testo, allora si può ricorrere ai differenti tipi di aiuto che questo eserciziario offre: sulla carta e online.Sul sito collegato a questo libro (maggiori informazioni nella colonna a fianco e nel retro di copertina) ci sono i suggerimenti, erogati in modo interattivo e progressivo, che portano alla soluzione degli esercizi della prima tipologia e possono fornire qualche indicazione anche per quelli del secondo tipo. In ogni caso per questi ultimi e per gli esercizi di riepilogo, si può ricorrere ai brevi suggerimenti nelle pagine finali di ciascun capitolo e alla soluzione integrale alla fine del libro. Gli esercizi sono raggruppati per capitoli che corrispondono alla tradizionale suddivisione di argomenti presenti su qualsiasi testo di Fisica.

Ogni capitolo dell’eserciziario, è introdotto da uno schema riepilogativo degli strumenti concettuali, leggi, teoremi, utili per lo svolgimento degli esercizi. In chiusura del volume è fornita anche un’appendice di formule matematiche.

Corrado Mencuccini Vittorio Silvestrini

ESERCIZI DI FISICAELETTROMAGNETISMO

E OTTICAinteramente svolti

MENCUCCINI*ESERCIZI FISICA 2 (CEA QISBN 978-88-08-18703-1

9 788808 187031