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Universita degli Studi di CagliariFacolta di Ingegneria-ArchitetturaLaurea in Ingegneria Elettrica, Elettronica e Informatica – anno accademico 2017/2018

Modulo 4TRASPORTO DI CARICA nei SEMICONDUTTORI

Luciano ColomboDipartimento di Fisica - Universita degli Studi di CagliariCittadella Universitaria, 09042 Monserrato (Ca)E-mail: [email protected]: people.unica.it/lucianocolombo

NOTE

• In linea generale, ho riportato in questo testo la dimostrazione di ogni affermazione fatta. A volte ladimostrazione e proposta in modo formale, altre volte si utilizzano evidenze sperimentali, altre volte ancorasi usano argomenti di analogia con risultati precedentemente acquisiti.

• Questo modulo didattico non ha la pretesa di essere una trattazione completa del trasporto di carica neisemiconduttori. Per lo Studente desideroso di approfondire questi argomenti per interesse personale hoindicato in Bibliografia alcuni testi che puo utilmente consultare. In particolare, segnalo che mei testi diNeamed e di Grundmann si trovano molti piu argomenti di quelli trattati nella mia Dispensa. In ognicaso, sottolineo che per la preparazione dell’esame di “Fisica dei Semiconduttori” e sufficiente acquisirele conoscenze di base sul trasporto elettronico nei semiconduttori al livello cui sono presentate in questomodulo didattico.

• Al fine di aumentare la leggibilita della Dispensa ho adottato alcuni artifizi grafici: (i) ogni capitolo si aprecon un syllabus; (ii) le parole-chiave sono evidenziati in colore blu; (iii) i risultati piu significativi sonoevidenziati con uno sfondo in colore grigio.

• Per quanta cura e attenzione io possa aver messo nel redigere questa Dispensa e inevitabile che abbiacommesso errori. Invito il Lettore a mandarmi un messaggio di posta elettronica segnalandomi i problemiche ha riscontrato, senza alcun timore di risultare ne inopportuno ne sgradito. Al contrario, apprezzeroogni segnalazione intesa a migliorare questa Dispensa e saro riconoscente per avermela inviata.

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La riproduzione, anche parziale, di questa Dispensa in qualsivoglia formato cartaceo, elettronicoo multimediale e severamente vietata.Eventuali richieste di autorizzazione all’uso di questa Dispensa vanno indirizzate tramite messaggidi posta elettronica direttamente all’Autore.

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Indice

1 Costanti Fisiche 3

2 Trasporto di carica nei semiconduttori 42.1 Inquadramento generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Teoria microscopica per la velocita dei portatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Regime di campo elettrico debole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2 Elettroni e lacune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.3 Analisi fenomenologica dello scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.4 Conducibilita elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.5 Regime di campo elettrico intenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.6 Resistenza differenziale negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.7 Effetti di gradiente di concentrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Vettore densita di corrente totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Determinazione sperimentale della conducibilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5 Statistica dei portatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5.1 Semiconduttori all’equilibrio termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5.2 Livello di Fermi in semiconduttori intrinseci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5.3 Livello di Fermi in semiconduttori estrinseci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5.4 Legge di azione di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.5 Semiconduttori fuori equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6 Equazione di continuita fuori dall’equilibrio termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Figure 27

4 Bibliografia 31

2



Capitolo 1

Costanti Fisiche

Simbolo Grandezza Valore

R costante universale dei gas 8.314 J K−1

NA numero di Avogadro 6.022×1023

KB costante di Boltzmann 1.3807×10−23 J K−1

KBT a temperatura T=293K 4.05×10−21 Jme massa elettrone 9.11×10−31 Kgmp massa protone 1.67×10−27 Kge carica elettrone 1.60×10−19 Ce/m rapporto carica/massa elettrone 1.76×1011 C Kg−1

h costante di Planck 6.62×10−34 J s~ h/2π 1.05×10−34 J sc velocita della luce nel vuoto 3.00×108 m s−1

σ costante di Stefan 5.67×10−8 W m−2 K−4

R costante di Rydberg 109677 cm−1

µB magnetone di Bohr 9.27×10−24 J T−1

3



Capitolo 2

Trasporto di carica neisemiconduttori

Syllabus - Dopo aver ricordato le definizioni delle grandezze fondamentali che macroscopicamentedefiniscono il fenomeno della conduzione elettrica, si sviluppa la teoria microscopica per la velocitadei portatori di carica in un semiconduttore considerando sia il caso di correnti di deriva generate dacampi elettrici sia il caso di correnti di spostamento generate da gradienti di concentrazione. In questocontesto si definiscono i concetti di mobilita, tempo di rilassamento e conducibilita di importanzafondamentale nella fisica dei semiconduttori. Si passa poi a studiare la statistica dei portatori inun semiconduttore all’equilibrio termico, ricavando le leggi generali che predicono la concentrazionedi portatori di carica in semiconduttori intrinseci ed estrinseci. Si conclude facendo breve cenno aiprocessi di non equilibrio che comportano generazione e ricombinazione di portatori e si ricava la formapiu generale per l’equazione di continuita della corrente elettrica.

2.1 Inquadramento generale

Al livello piu elementare il fenomeno del trasporto di carica in un materiale e quantificato dalla grandezzafisica intensita di corrente i definita come

i =dq

dt(2.1)

dove dq e la quantita di carica che attraversa una sezione di area unitaria nel tempo dt. Questa definizionenon e sufficiente per la maggior parte degli scopi applicativi perche non contiene informazioni relativealla direzione e al verso del flusso di carica. Piu propriamente, quindi, si introduce il vettore densitadi corrente ~j definito come

~j = n q ~vd (2.2)

dove q e la carica dei portatori1, n e la loro concentrazione (cioe il loro numero per unita di volume) e ~vdla loro velocita di deriva.

Le due quantita definite in eq.(2.1) e (2.2) sono legate da una precisa relazione. Si consideri unasuperficie Σ dentro al materiale che ospita la corrente di carica e sia u il versore normale al suo elementoinfinitesimo dΣ, come illustrato in Fig.3.1. La quantita di carica dq che attraversa dΣ nel tempo dt equella trasportata dall’insieme di tutti i portatori che in quel tempo attraversano l’elemento di superficieconsiderato. Supponendo che la velocita dei portatori formi un angolo θ con il versore u, possiamo dunquescrivere che

dq = (v cos θ dt dΣ) n q (2.3)

dove il termine tra parentesi tonde rappresenta quel volume cilindrico che contiene tutti i portatori capacinel tempo dt di attraversare la superficie dΣ (si veda Fig.3.1). La corrispondente intensita di corrente siscrive

di = (v cos θ dΣ) n q = ~j · u dΣ (2.4)

1Spesso viene utilizzata l’espressione “portatori liberi”, intendendo che in tutte le equazioni che descrivono fenomenidi conduzione elettrica vanno unicamente considerati i portatori che effettivamente contribuiscono alla corrente, in quantoliberi di essere accelerati da un’opportuna forza trainante.

4



CAPITOLO 2. TRASPORTO DI CARICA NEI SEMICONDUTTORI 5

da cui, integrando su tutta la superficie, si ottiene

i =

∫Σ

~j · u dΣ (2.5)

ovvero: l’intensita di corrente e il flusso del vettore densita di corrente attraverso la superficie Σ.Se consideriamo, in particolare, una superficie Σ chiusa che racchiude un volume V , allora possiamo

calcolare l’intensita di corrente totale che attraversa questa porzione di volume come

i =

∮Σ

~j · u dΣ = −dqint

dt(2.6)

dove il simbolo∮

indica che l’integrale e eseguito questa volta su una superficie chiusa. L’ultima ugua-glianza e imposta dal principio di conservazione della carica elettrica: la corrente che attraversa il volumeV e data dalla variazione netta della carica totale qint contenuta al suo interno. Utilizzando il teoremadella divergenza applicato al caso specifico del vettore densita di corrente∮

Σ

~j · u dΣ =

∫V

~∇ ·~j dV (2.7)

otteniamo la

equazione di continuita della corrente elettrica:

~∇ ·~j +∂ρ

∂t= 0 (2.8)

dove ρ e la densita di carica (cioe la carica per unita di volume).

Nel caso di correnti stazionarie (quelle per cui ∂ρ/∂t = 0) il vettore densita di corrente risulta essere

solenoidale, ovvero: ~∇ ·~j = 0.L’eq.(2.8) e l’equazione costitutiva per la teoria elementare del trasporto di carica nei materiali: da

essa si evince il ruolo fondamentale rivestito dal vettore densita di corrente. Dunque siamo chiamati asviluppare una teoria microscopica per ~j che incorpori in modo appropriato tutte le nozioni sin quiacquisite in merito alla struttura elettronica di un semiconduttore. Questo equivale ad elaborare tre diversimodelli microscopici, rispettivamente per: (i) la densita dei portatori; (ii) la carica trasportata da ciascunodi essi; (iii) la velocita con cui si muovono. Sulla base delle conoscenze sin qui sviluppate, solo il secondomodello e gia pronto: sappiamo che in un semiconduttore esistono due diversi tipi di portatori, elettronie lacune, che portano rispettivamente carica −e e +e. In questo Capitolo svilupperemo in dettaglio irimanenti due modelli: risultera piu conveniente cimentarsi inizialmente con il problema di determinarela velocita dei portatori, analizzando tutte le situazioni che tipicamente si incontrano in un dispositivoa semiconduttore; successivamente, ci dedicheremo a determinare la concentrazione dei portatori, perentrambe le specie, sia in condizioni di equilibrio termico sia in condizioni fuori dall’equilibrio: questoequivarra a sviluppare un’opportuna statistica dei portatori di carica.

2.2 Teoria microscopica per la velocita dei portatori

Le due situazioni di maggior interesse applicativo si riferiscono ai differenti casi in cui i portatori dicarica presenti in un semiconduttore siano accelerati in regime di conduzione (i) da un campo elettricoesterno oppure (ii) dall’esistenza di un gradiente spaziale di concentrazione. In entrambi i casi dovremoconsiderare esplicitamente il caso degli elettroni e delle lacune. Tuttavia, alcune argomentazioni generalivalgono identicamente per i due tipi di portatori e quindi adotteremo la seguente convenzione:

• sviluppando un concetto valido sia per elettroni sia per lacune, useremo genericamente la locuzione“portatori di carica”: tutte le grandezze fisiche rilevanti (velocita, masse efficaci, accelerazioni, ...)non saranno contraddistinte da alcun pedice specifico e la carica trasportata verra genericamenteindicata col simbolo q;

• applicando gli argomenti della discussione a un caso specifico, useremo esplicitamente le parole“elettroni” o “lacune” e tutte le rispettive grandezze fisiche saranno indicizzate dai pedici e oppureb, rispettivamente.




Si consideri il caso semplice di un semiconduttore all’equilibrio termico, con una distribuzione uniformedi portatori, non soggetto all’azione di un campo elettrico applicato esternamente. In questo caso iportatori di carica si muovono solamente per effetto dell’agitazione termica. Applicando i risultati dellateoria cinetica possiamo in buona approssimazione descrivere questi portatori come delle particelle liberedi massa efficace m∗, cui compete una velocita termica ~vT il valor medio del cui modulo puo essereottenuto applicando il principio di equipartizione dell’energia

1

2m∗v2

T =3

2kBT (2.9)

Usando i tipici valori di m∗ per elettroni e lacune e assumendo T = 300 K, si ottengono valori di velocitatermiche abbastanza elevati (dell’ordine di 104-105 cm/s). Tuttavia, essi vanno attribuiti a portatoriin moto trermico caratterizzati da una distribuzione totalmente casuale della direzione e del verso deicorrispondenti vettori velocita. Quindi, pur essendo in condizioni di bande solo parzialmente occupate(causa il fenomeno dell’eccitazione termica trattato nel precedente capitolo), in assenza di campo esternonon si puo avere trasporto di carica. Questo risultato, perfettamente coerente col nostro intuito fisico, siriassume formalmente dicendo che la velocita che compare in eq.(2.2) e nulla semplicemente perche essae data da una media vettoriale a risultato nullo in quanto calcolata sulle velocita di portatori in casualemoto di agitazione termico. Insomma: per avere corrente e necessario applicare una “forza trainante” aiportatori.

2.2.1 Regime di campo elettrico debole

Consideriamo il caso in cui al semiconduttore2 venga applicato un campo elettrico esterno ~E . Per sempli-cita considereremo il caso di un campo elettrico costante nel tempo, spazialmente uniforme e non troppointenso. Quest’ultima condizione e normalmente definita “regime di campo debole” e corrisponde aun’ampia classe di situazioni effettivamente incontrare nelle applicazioni ingegneristiche.

Il campo ~E esercita su ciascun portatore una forza q~E e, pertanto, lo accelera lungo la sua stessadirezione (il verso dell’accelerazione dipendera dal segno della carica): questa e proprio la “forza trainante”di cui abbiamo bisogno. Il moto risultante del portatore e descrivibile come la sovrapposizione di un motodi agitazione termica e di un moto di trascinamento dovuto all’azione del campo. Come abbiamo visto,al primo non e associata alcuna corrente elettrica: possiamo pertanto concentrarci solo sul moto ditrascinamento che risulta caratterizzato da una velocita di deriva ~vd che si calcola facilmente scrivendol’equazione che governa la corrispondente dinamica

q~E = m∗~a = m∗d~vddt

(2.10)

La soluzione di questa equazione e immediata

~vd(t) =q~Em∗

t (2.11)

avendo ovviamente imposto che ~vd(0) = 0, ovvero che in assenza di campo (acceso solo per tempit > 0) non ci sia alcuna velocita di deriva. Il risultato di eq.(2.11) non e fisicamente accettabile: pereffetto del campo elettrico i portatori sarebbero animati da un moto uniformemente accelerato, convelocita in modulo crescente linearmente nel tempo. Questo avrebbe l’assurda conseguenza che ~j → +∞per t→ +∞, ovvero: il valore di densita di corrente (e, quindi, l’intensita della corrente) crescerebbenel tempo pur avendo applicato un campo costante, fino a raggiungere valori infinitamente grandi pertempi abbastanza lunghi. Il fallimento del modello sin qui sviluppato impone di rivedere criticamente leassunzioni che stanno alla sua base.

Il modello e sostanzialmente basato su una ben determinata equazione del moto per i portatori: dun-que e da qui che conviene partire. Nello scrivere l’eq.(2.10) abbiamo assunto che i portatori si comportinocome particelle libere, dotate di massa efficace m∗. L’uso della massa efficace ci garantisce che sia statacorrettamente inclusa nel nostro modello fisico la sottostante struttura a bande, a sua volta generata dallaperiodicita del potenziale cristallino agente sugli elettroni. Ma allora, dove risiede l’errore? La risposta esottile ma di grande importanza fisica: il calcolo della struttura a bande (e, dunque, il risultante valore di

2Continuiamo a considerare applicabili le stesse condizioni di equilibrio termico e distribuzione uniforme di portatoriintrodotte in precedenza.




massa efficace) si poggia su alcune ipotesi semplificatrici dettagliatamente discusse all’inizio del preceden-te capitolo. In particolare, abbiamo assunto che (i) gli ioni siano fissi nelle loro posizioni reticolari e (ii)che il cristallo sia perfetto, ovvero che non contenga alcun tipo di difetto. L’effetto combinato di questeapprossimazioni e che nello sviluppare il modello di eq.(2.10) abbiamo di fatto trascurato di includere ifenomeni resistivi che ostacolano il moto dei portatori di carica. Se il reticolo fosse effettivamente staticoe perfetto, il suo unico effetto sui portatori sarebbe solo quello di rinormalizzarne la massa al valore m∗.Ma a temperatura finita (i) gli ioni oscillano e (ii) sono presenti difetti3 e allora possiamo concludere che

le vibrazioni e i difetti reticolari rappresentano meccanismi di diffusione dei por-tatori che, interagendo con essi, vengono deviati dalle traiettorie lungo le quali sono acceleratidal campo elettrico applicato.

La descrizione complessiva di questi fenomeni e efficacemente riassunta in un termine inglese, che adot-teremo da qui in avanti: si dice che per effetto delle vibrazioni reticolari e della presenza di difetti iportatori di carica subiscono dei processi di scattering che di fatto ostacolano la loro accelerazione sottol’azione del campo elettrico. Lo scattering dei portatori e alla base di cio che a livello macroscopico vienedescritto come il fenomeno della resistenza elettrica.

L’introduzione del concetto di scattering dei portatori richiede una differente analisi della dinamicadei portatori sotto l’azione del campo. La svilupperemo adottando la

approssimazione del tempo di rilassamentoin base alla quale si assume che la frequenza di occorrenza degli eventi di scattering siaproporzionale alla velocita di deriva ~vd dei portatori

ovvero1

τ∼ ~vd (2.12)

dove chiamiamo τ il tempo di rilassamento, ovvero: il tempo che in media separa due eventi di scatteringconsecutivi.

Questa descrizione degli eventi di scattering ricorda cio che in meccanica classica viene chiamatoattrito viscoso: tutto va come se i portatori, accelerati dal campo esterno, si muovessero in un mezzoche offre loro una resistenza descritta in termini di forza di attrito viscoso proporzionale alla lorovelocita di deriva. Se chiamiamo β la costante di proporzionalita tra velocita e risultante forza diattrito, possiamo riscrivere l’e.(2.10) nella forma

q~E = m∗d~vddt

+ β~vd (2.13)

In condizioni di regime stazionario4 si ha che d~vd/dt = 0 e quindi

q~Em∗

=β

m∗~vd =

~vdτ

(2.14)

L’ultimo passaggio discende dall’analisi dimensionale dalla quale ricaviamo immediatamente che il fattoreβ/m∗ deve avere le dimensioni dell’inverso di un tempo: e naturale identificare β/m∗ = 1/τ avendo fattoesplicito uso del concetto di tempo di rilassamento. Concettualmente l’eq.(2.13) rappresenta finalmentela corretta formulazione dell’equazione del moto per i portatori soggetti all’azione di un campo elettriconon intenso in quanto: (i) tutti gli effetti di struttura a bande (cioe tutti gli effetti di interazione deiportatori con gli ioni reticolari e di interazione tra portatori) sono riassunti nella massa efficace m∗ e (ii)tutti gli effetti resistivi legati ai fenomeni di scattering sono riassunti nel tempo di rilassamento τ .

Prima di proseguire con altri sviluppi, possiamo fornire grazie all’eq.(2.13) un significato fisico ma-croscopico molto trasparente al tempo di rilassamento. Supponiamo che al tempo t < 0 un campione disemiconduttore sia attraversato da una corrente stazionaria. Al tempo t = 0 viene annullato il campoesterno ~E che la genera: l’eq.(2.13) predice la legge di variazione della velocita di deriva dei portatoririspetto al tempo nella forma ~vd(t) = ~vd(0) exp(−t/τ), dove abbiamo indicato con ~vd(0) la velocita di

3Quelli generati termicamente sono ovviamente difetti nativi, ma in aggiunta dobbiamo anche considerare i difettiintrodotti artificialmente per drogaggio e le impurezze da contaminazione.

4Ricordiamo che una corrente elettrica in regime stazionario e una corrente che non varia nel tempo: e dunque descrittada un vettore densita di corrente costante. In virtu della eq.(2.1) la condizione di stazionarieta equivale a porre ~vd=costante.




deriva in condizioni di corrente stazionaria. Quindi, possiamo interpretare τ come il tempo che il sistemaimpiega a passare da un regime stazionario ad uno stato di equilibrio (che e ovviamente caratterizzatodalla condizione ~vd = 0). Nei semiconduttori si trova che il tempo di rilassamento varia nell’intervallocompreso tra 10−13 secondi e 10−12 secondi.

Risolvendo l’eq.(2.14) otteniamo l’espressione completa per la

velocita di deriva dei portatori

~vd =qτ

m∗~E (2.15)

in condizioni di regime stazionario e in approssimazione del tempo di rilassamento, dalla quale possiamoricavare la

forma microscopica per il vettore densita di carica

~j = n q ~vd =q2τ

m∗n ~E (2.16)

in regime di campo debole. Entrambe le eq.(2.15) e (2.16) mettono in evidenza che il fenomeno dellaconduzione elettrica in un semiconduttore dipende dalla combinazione di parametri fisici specifici delmateriale considerato e dalle condizioni esterne di polarizzazione. Queste ultime sono definite dal valoredel campo elettrico applicato5, mentre le prime comportano la combinazione delle grandezze fisiche (i)carica e massa dei portatori, (ii) tempo si rilassamento tra eventi di scattering e (iii) densita dei portatori.Il fattore tecnologicamente importante per le applicazioni in microelettronica e che queste grandezzefisiche non sono assegnate una volta per tutte, ma invece possono essere ingegnerizzate a seconda dellaspecifica necessita. Infatti:

• il numero dei portatori puo essere controllato dal livello di drogaggio;

• la massa efficace dei portatori e determinata dalla struttura a bande (cioe dallo specifico semicon-duttore prescelto);

• il tempo di rilassamento e governato dalla quantita di difetti presenti (il cui maggiore o minorenumero modifica la frequenza degli eventi di scattering), nonche dalla temperatura (che determinale ampiezze di oscillazione degli ioni).

Stante il ruolo fondamentale rivestito nella teoria del trasporto nei semiconduttori dalla combinazionedelle tre grandezze fisiche “carica”, “tempo di rilassamento” e “massa efficace” e utile definire la

mobilita µ dei portatori

µ =qτ

m∗(2.17)

usualmente espressa nelle unita di misura [cm2/Vs]: questa grandezza fornisce una misura diretta dellafacilita con cui i portatori possono essere accelerati. Infatti, la mobilita aumenta all’aumentare del tempodi rilassamento τ (cioe al diminuire della frequenza degli eventi di scattering) e al diminuire della massaefficace m∗ (che misura l’inerzia al moto). Viene anche definita la

conducibilita σ

σ =q2τ

m∗n = n q µ (2.18)

usualmente espressa nelle unita di misura [1/Ωcm]. La conducibilita non e una proprieta dei portatori,ma piuttosto del semiconduttore che li contiene, stante il fatto che in essa compare la loro densita n.Combinando le eq.(2.16) e (2.18) si ritrova la legge di Ohm

~j = σ ~E (2.19)

5Ripetiamo che nel contesto in cui stiamo sviluppando questi argomenti il campo e costante, uniforme e debole.




Tabella 2.1: Equazioni per il trasporto di carica di elettroni e lacune

elettroni lacune

mobilita µe = eτem∗

eµl = eτl

m∗l

velocita di deriva ~vd,e = − eτem∗e

~E = −µe~E ~vd,b = + eτlm∗

l

~E = +µl~E

vettore densita di corrente~je = −e ne ~vd,e

= e2τem∗

ene ~E

~jl = +e nl ~vd,b

= e2τlm∗

lnl ~E

conducibilita σe = e2τem∗

ene = eµene σl = e2τl

m∗lnl = eµlnl

mentre inserendo l’espressione per la mobilita nell’eq.(2.15) otteniamo la

dipendenza della velocita di deriva dal campo applicato

~vd = µ ~E (2.20)

2.2.2 Elettroni e lacune

Adesso che disponiamo della struttura di base della teoria microscopica della conduzione elettrica,possiamo specializzarla al caso dei due tipi di portatori presenti in un semiconduttore: elettroni e lacune.

Sostanzialmente si usano le equazioni derivate nel precedente Paragrafo con la sola doppia accortezzache: (i) nelle equazioni di tipo scalare (quelle che definiscono mobilita e conducibilita) si sostituisce allagenerica carica q il valore assoluto della carica di elettroni e lacune, ovvero si scrivera sempre q = e,mentre (ii) nelle equazioni di tipo vettoriale (velocita di deriva, vettore densita di corrente) si sostituiscealla generica carica q il valore algebrico ±e della carica, a seconda che si tratti di elettroni e lacune. Nerisulta la struttura di equazioni riportata in Tab.2.1, dove e evidente significato dei diversi simboli. Inparticolare, notiamo che le densita di elettroni e di lacune sono state rispettivamente indicate con ne enl.

In ogni semiconduttore a T > 0 K sono presenti sia elettroni sia lacune: questa affermazione e validatanto per i semiconduttori drogati quanto per quelli intrinseci (per questi ultimi almeno il fenomeno dellaeccitazione termica ha promosso elettroni in banda di conduzione generando lacune in banda di valenza).Pertanto il vettore densita di corrente totale ~jtot e dovuto alla somma della corrente elettronica e dellacorrente di lacune

~jtot = ~je +~jl = (σe + σl) ~E = σtot~E (2.21)

dove abbiamo introdotto la

conducibilita totale σtot

σtot = e (ne µe + np µp) (2.22)

E evidente dall’eq.(2.21) quanto gia anticipato qualitativamente nel precedente Capitolo: i due contributidi corrente dovute ai diversi portatori si sommano sempre perche elettroni e lacune (i) differiscono nelsegno della carica che trasportano e (ii) i rispettivi vettori velocita di deriva hanno verso opposto.

2.2.3 Analisi fenomenologica dello scattering

In un semiconduttore reale esiste una grande molteplicita di meccanismi di scattering, sostanzialmentedovuti a due diverse classi di fenomeni




1. scattering dei portatori da parte delle vibrazioni reticolari

2. scattering dei portatori da parte dei difetti (nativi, contaminanti o di drogaggio) carichi o elettri-camente neutri.

che agiscono con diversa efficienza sulla mobilita dei portatori.Nell’ambito dell’approssimazione del tempo di rilassamento e possibile trattare separatamente i di-

versi meccanismi, attribuendo a ciascuno di essi un suo proprio valore di frequenza media di occorrenza.Se dunque chiamiamo τi i tempi per i diversi meccanismi numerati tramite l’indice i, possiamo scrivereche il tempo di rilassamento complessivo τtot e dato dalla

regola di Matthiesen1

τtot=∑i

1

τi(2.23)

dove la somma e estesa a tutti i meccanismi attivi. La regola di Matthiesen consente di trattare sepa-ratamente i singoli fenomeni di scattering e, pertanto, ricordando la relazione esistente tra mobilita etempo di rilassamento (vedi Tab.2.1), possiamo scrivere la mobilita totale µtot come somma di contributiindipendenti

1

µtot=∑i

1

µi(2.24)

Questo modo di scrivere le cose consente di sviluppare un’analisi fisica molto dettagliata: se consideria-mo il singolo i-esimo meccanismo, possiamo dire che la corrispondente µi sarebbe la mobilita risultatedei portatori se nel semiconduttore fosse presente solo quel tipo di scattering. Inoltre, poiche tutti imeccanismi hanno una specifica dipendenza dalla temperatura, possiamo studiarli separatamente e poiconfrontarli in modo da determinare quale di essi domini nel regime di temperature di nostro interesse.

Studiamo dunque i diversi fenomeni di scattering che in sintesi sono:

Scattering da vibrazioni reticolari - Per descrivere l’effetto delle vibrazioni reticolari e convenienteadottare il linguaggio dei fononi che, a seconda del loro carattere acustico oppure ottico, agiscono in mododiverso sui portatori di carica.

• I fononi acustici di grande lunghezza d’onda comportano la compressione/dilatazione periodica delreticolo con conseguente variazione del volume del cristallo: e come se fosse applicata una pressionemodulata spazialmente. Come abbiamo visto nel Modulo 3 la pressione altera la struttura a bandeed e proprio in questo fenomeno che risiede l’effetto di scattering da fononi acustici: variando lastruttura a bande si modifica di conseguenza la massa efficace dei portatori e, in ultima analisi, laloro mobilita. Poiche l’ampiezza delle oscillazioni acustiche dipende dalla temperatura, anche lamobilita risultera dipendere dalla temperatura. Sperimentalmente si verifica che per questo feno-meno µ ∼ T−3/2: lo scattering da fononi acustici domina alle alte temperature, nel senso che aqueste temperature e massimamente efficace nel diminuire la mobilita dei portatori. Nel caso deisemiconduttori elementali questo e il piu importante tra i fenomeni indotti dalle vibrazioni reticolari.

• I fononi ottici di grande lunghezza d’onda generano, nei semiconduttori composti (cioe polari), uncampo elettrico interno che, ovviamente, interagisce con i portatori di carica alterandone la dinami-ca: anche in questo caso il fenomeno di scattering da fononi ottici si traduce in una diminuzione dellamobilita all’aumentare della temperatura. Tale dipendenza e molto complessa, ma se ci si limita atemperature non troppo elevate si verifica che a causa dello scattering da fononi ottici µ ∼ exp(1/T ).

• Infine, il caso dello scattering piezoelettrico e riscontrato solo in quei semiconduttori che manifestanopolarizzazione elettrica sotto deformazione. E il caso del GaAs e dei semiconduttori composti II-VI:per questi materiali i fononi acustici possono effettivamente indurre polarizzazione e il risultantecampo elettrico modifica la mobilita dei portatori. In questo caso la dipendenza dalla temperaturasi manifesta con una legge del tipo µ ∼ T−1/2.




L’uso del linguaggio dei fononi consente di descrivere i fenomeni di scattering tra portatori e vibrazionicome se si trattasse di urti tra particelle (portatori e fononi) che in regime di campo debole possono esseretrattati come urti elastici: lo scattering da fononi modifica la direzione e il verso del moto dei portatori,ma non sottrae loro energia.

Scattering da difetti - Limitandosi a considerare difetti puntuali, dobbiamo distinguere tra i casi didifetti carichi oppure elettricamente neutri.

• E abbastanza intuitivo immaginare che un difetto carico possa essere sede di un fenomeno di scat-tering coulombiano: un portatore che si avvicina al sito occupato dal difetto carico risentira dellasua attrazione/repulsione coulombiana, a seconda dei segni di carica coinvolti nello specifico eventodi interazione. I difetti carichi sono comunemente associati alla presenza di impurezze contaminatio droganti ionizzate. Le azioni di attrazione/repulsione si traducono in una modifica della dinamicadel portatore e, quindi, in una modifica della sua mobilita. Anche per lo scattering coulombiano siosserva una dipendenza dalla temperatura che stavolta prevede un aumento della mobilita all’au-mentare di T secondo una legge µ ∼ T 3/2. Il risultato e facilmente giustificabile osservando che,all’aumentare della temperatura, la cinetica dei portatori diventa piu veloce ed essi finiscono colrisiedere per meno tempo in regioni prossime ai difetti carichi: il relativo meccanismo di scatteringrisulta meno efficace. In definitiva, limitatamente a questo fenomeno possiamo concludere che lamobilita cresce all’aumentare di T .

• Infine, si osserva anche il fenomeno dello scattering da impurezze neutre, cioe non elettricamentecariche. Si tratta di difetti droganti o contaminanti non ionizzati, oppure di difetti sostituzio-nali isovalenti (per esempio: un atomo di Ge che sostituisce un atomo di Si in un cristallo disilicio). In questo caso lo scattering e di tipo puramente meccanico, attribuibile alla locale varia-zione del potenziale cristallino in prossimita del difetto. Questo fenomeno di scattering, che puremodifica la dinamica dei portatori, e praticamente indipendente dalla temperatura e comunquecomparativamente molto meno importante degli altri meccanismi.

Dipendenza della mobilita dalla temperatura - In Fig.3.2 riassumiamo la dipendenza della tempe-ratura µ = µ(T ) dei singoli meccanismi di scattering nel caso specifico di un campione di GaAs drogaton. Osserviamo, tuttavia, che questo grafico e comunque rappresentativo dei tipici andamenti osservatiin un qualunque altro semiconduttore6. La mobilita risultante µtot e anch’essa rappresentata in figura(curva piu spessa). Al fine di giustificare qualitativamente la sua dipendenza dalla temperatura, pos-siamo limitarci a considerare solo i due principali meccanismi di scattering che, nel caso specifico chestiamo discutendo, sono quello da fononi e quello coulombiano da impurezze cariche. Quindi, in buonaapprossimazione scriveremo che

1

µtot∼ 1

µfononi+

1

µcoulomb(2.25)

con ovvio significato dei simboli. Sappiamo dalla precedente discussione che lo scattering da fononi evia via piu efficiente all’aumentare della temperatura e, quindi, impone una diminuzione della mobilitaal crescere della stessa. Al contrario, lo scattering da impurezze cariche diminuisce all’aumentare dellatemperatura. Il risultato complessivo si riassume come segue

• alle basse temperature il meccanismo di scattering da impurezze domina nel limitarela mobilita dei portatori e, quindi, da eq.(2.25) deduciamo che µtot ∼ µcoulomb

• alle alte temperature il meccanismo di scattering fononico domina nel limitare lamobilita dei portatori e, quindi, da eq.(2.25) deduciamo che µtot ∼ µfononi.

Ricordiamo che equiparare la mobilita totale a quella calcolata in corrispondenza di un solo meccanismoequivale a dire che in quel regime di temperature la mobilita e di fatto quella che si osserverebbe in unsistema idealizzato in cui fosse presente quel solo specifico meccanismo di scattering.

Concludiamo osservando che tutte le argomentazioni qui sviluppate si applicano tanto al caso deglielettroni quanto a quello delle lacune. Ribadiamo che tutte le conclusioni elaborate nel caso concreto

6Cambiano da caso a caso i valori assoluti di mobilita e i pesi relativi dei diversi meccanismi.




discusso in questo Paragrafo sono in realta valide in generale per tutti i semiconduttori.

Effetto del drogaggio sulla mobilita - I pesi relativi dei diversi meccanismi di scattering varianoda caso a caso: mentre la temperatura rende i meccanismi mediati da fononi piu o meno efficienti,l’effettiva concentrazione di impurezze determina il peso dello scattering coulombiano che dipende daquante impurezze cariche siano effettivamente presenti nel semiconduttore. E quindi necessario chiarirecome la mobilita dei portatori dipenda dall’effettiva concentrazione di droganti.

L’analisi sperimentale di questa dipendenza dimostra che (i) a bassi valori di drogaggio la mobilitadei portatori e sostanzialmente indifferente al numero di impurezze, mentre (ii) per drogaggi pesanti lamobilita decresce in modo monotono con la loro concentrazione. L’andamento complessivo e riportatoin Fig.3.3 nei due casi di elettroni e lacune per un campione di silicio. Gli andamenti sperimentali sonogiustificati da queste semplici argomentazioni: a basse concentrazioni di droganti lo scattering e dominatodai meccanismi fononici, mentre quello coulombiano gioca un ruolo marginale e, dunque, la mobilita inquesto regime e sostanzialmente costante (stiamo mantenendo costante la temperatura del campione);al contrario, nel regime di drogaggio pesante domina scattering coulombiano, in ragione crescente colnumero di impurezze presenti: piu droganti, maggiore scattering, minore mobilita dei portatori.

Il risultato di Fig.3.3 si presta ad un interessante commento. A seconda della specifica applicazionemicroelettronica di nostro interesse, noi potremmo essere interessati a massimizzare (i) la densita di por-tatori, oppure (ii) la mobilita dei portatori. Gli andamenti di Fig.3.3 dimostrano che le due condizioni dialto drogaggio e alta mobilita sono in contrasto per quanto riguarda il loro effetto complessivo sullacapacita del campione di condurre corrente elettrica. La reciproca influenza di temperatura e livello didrogaggio si manifesta in una complessa dipendenza della mobilita da questi due fattori, come illustratoin Fig.3.4 nel caso specifico degli elettroni in un campione di silicio drogato n. Dunque, per quantoriguarda la capacita di sostenere correnti elettriche di elevata intensita, il “miglior” semiconduttore none ne quello con mobilita dei portatori massima (condizione che necessariamente corrisponde a una bassaconcentrazione di portatori, stante il fatto che il loro numero e ovviamente determinato dal numero diatomi droganti), ne quello con concentrazione di portatori elevatissima (condizione che necessariamenteimpone una loro bassa mobilita). Nella realta applicativa bisognera sempre controllare le caratteristichedel campione al fine di determinare l’ottimale bilanciamento tra concentrazione di droganti e mobilitadei portatori. In questo risiede uno dei principi di “ingegnerizzazione” del materiale, ovvero della suaottimizzazione per l’applicazione di interesse.

2.2.4 Conducibilita elettrica

L’eq.(2.22) definisce la conducibilita elettrica, ovvero la grandezza che complessivamente quantifica lacapacita di un semiconduttore di condurre corrente. In essa compaiono esplicitamente sia la densita deiportatori liberi sia la mobilita che, a loro volta, singolarmente dipendono dalla temperatura: dunque,anche conducibilita dipende dalla temperatura. In Fig.3.5 viene riportato l’andamento paradigmaticodella conducibilita nel caso di un semiconduttore drogato n: sebbene non vengano riportati valori numericiprecisi, gli andamenti indicati sono quelli osservati nei casi reali. Si faccia pero attenzione che sull’asseorizzontale e rappresentato l’inverso della temperatura e, dunque, le alte temperature sono a sinistra,mentre le basse temperature sono a destra. Come indicato in figura si evidenziano qualitativamente trediverse regioni:

• regione 1: nella regione di alta temperatura la concentrazione dei portatori e molto elevata:infatti, non solo tutte le impurezze sono state ionizzate, ma e particolarmente efficiente anche l’ec-citazione termica di elettroni intrinseci dalla banda di valenza a quella di conduzione. Inoltre,quanto piu si aumenta la temperatura, tanto piu aumenta la concentrazione di portatori e, peculia-rita di questa regione, il loro numero aumenta piu rapidamente di quanto non diminuisca la mobilitaper effetto dello scattering da fononi che, come sappiamo, domina alle alte temperature. In questointervallo di temperature la conducibilita e dunque dominata dai portatori intrinseci e, pertanto,viene indicato col nome di regione intrinseca;

• regione 2: nella regione di temperatura intermedia la concentrazione dei portatori rimane co-stante perche (i) tutte le impurezze sono ionizzate, ma (ii) la temperatura non e piu cosı elevata dagenerare un significativo numero di portatori intrinseci. In questo intervallo, dunque, il fenomeno




della conduzione e governato dall’aumento della mobilita al diminuire della temperatura e, pertanto,si parla di regione estrinseca;

• regione 3: nella regione di bassa temperatura il numero di portatori descresce al diminuiredella temperatura piu rapidamente di quanto non aumenti la mobilita (che in questa regione eprincipalmente limitata dallo scattering coulombiano). Ci si riferisce a questo regime di temperaturecome alla regione di congelamento.

2.2.5 Regime di campo elettrico intenso

Le espressioni riportate in Tab.2.1 per la mobilita e la conducibilita sono state ricavate sotto l’esplicitaassunzione che i tempi di rilassamento τe e τl fossero indipendenti dal campo applicato ~E . Questacondizione e fisicamente verificata solo se |~vd| < |~vT |: condizione che rappresenta la tipica situazione diregime di campo debole. Se, al contrario, supponiamo di applicare campi elettrici molto elevati, entriamoin un diverso regime di conduzione in corrispondenza del quale i portatori possono essere accelerati avalori di velocita di deriva (anche significativamente) maggiori della velocita termica. Parleremo alloradi conduzione in “regime di campo forte”.

Se estendiamo anche al gas dei portatori il concetto termodinamico che alla velocita delle particelle eassociabile una temperatura, il regime di campo forte corrisponde ad una situazione in cui la temperaturadel gas di portatori e molto elevata, addirittura superiore alla temperatura del reticolo cristallino (de-terminata dai moti di vibrazione degli ioni). Questo rende possibile che i portatori trasferiscano energiaal reticolo, in analogia a quanto accade quando due gas a temperature diverse vengono in contatto: ilpiu caldo cede energia al piu freddo, determinandone un innalzamento di temperatura. Nel caso chestiamo discutendo il trasferimento di energia da portatori a reticolo e ovviamente mediato dai fenomenidi scattering che, a differenza di quanto avviene in regime di campo debole, sono quindi descrivibili comeurti di tipo anelastico7.

Il fatto che la temperatura del reticolo cresca equivale a dire che gli urti in regime di campo fortegenerano fononi: l’energia necessaria a generarli e sottratta al gas di portatori tramite un meccanismo chediventa sempre piu efficiente all’aumentare del campo esterno che accelera i portatori. In conseguenzadi questo complesso di fenomeni, il valore della velocita di deriva cresce in funzione del campo applicatofino a raggiungere un valore di saturazione vs: oltre a tale valore di velocita non e possibile accelerarei portatori perche si generano cosı tanti fononi da limitare sempre piu efficacemente la loro mobilita.

Possiamo stimare almeno l’ordine di grandezza del modulo della velocita di saturazione vs sempli-cemente valutando il bilancio energetico per gli elettroni in condizioni di saturazione8: l’e-nergia guadagnata nell’unita di tempo per effetto dell’accelerazione impressa dal campo esterno deveessere uguale all’energia persa per emissione di fononi nello stesso tempo. Questo bilancio si traducenell’equazione

− e~vs · ~E =~ωfonone

τe(2.26)

dove il termine di destra e dato dal rapporto tra l’energia del fonone emesso (che dipende dalla suafrequenza ωfonone) e dal tempo τe che in media separa due eventi successivi di scattering elettrone-fonone(per i nostri scopi identificato con il tempo che separa due processi consecutivi di emissione di fononi).

Poiche la velocita di saturazione ~vs e il valore limite della velocita di deriva ~vd = −eτe~E/m∗e data inTab.2.1, possiamo riscrivere l’eq.(2.26) come

− e~vs ·m∗e−eτe

~vs =m∗eτev2s (2.27)

da cui otteniamo facilmente la stima della

7E interessante notare che, con riferimento alle approssimazioni che abbiamo posto alla base del nostro studiosulla struttura elettronica dei semiconduttori, la situazione di scattering anelastico rappresenta un fenomeno di tiponon-adiabatico.

8Il valore esatto di vs puo essere calcolato solamente sviluppando nel dettaglio la fisica dello scattering anelasticoelettrone-fonone.




velocita di saturazione in regime di campo forte

vs =

√~ωfonone

m∗e(2.28)

espressa in funzione dell’energia dei fononi emessi. La Fig.3.6 riassume l’andamento della velocita dideriva in regime di campo forte nel caso specifico del silicio. La ragione per cui le lacune ed elettronihanno velocita di deriva diverse e legata alle diverse mobilita.

Anche la velocita di saturazione vs risente degli effetti di temperatura: al suo aumentare vs dimi-nuisce perche diventa sempre piu intenso lo scattering con fononi. L’andamento nel caso del silicio erappresentato in Fig.3.7: risulta ben descritto da una legge fenomenologica del tipo

vs(T ) ∼[1 + c1 exp

(T

c2

)]−1

(2.29)

dove c1 e c2 sono costanti determinate empiricamente.

2.2.6 Resistenza differenziale negativa

Alcuni semiconduttori sono caratterizzati da un andamento della velocita di deriva molto particolare:si osserva sperimentalmente che per valori di campo applicato intermedi tra il regime di campo debole9

e quello di campo forte10 si osserva una diminuzione della velocita di deriva all’aumentare del cam-po. La situazione e riassunta in Fig.3.8 (sinistra) per il GaAs che rappresenta il caso paradigmatico disemiconduttore caratterizzato da questo fenomeno detto di resistenza differenziale negativa.

La diminuzione della velocita di deriva e dovuta ad una particolare specificita della struttura a bandedel GaAs che possiamo evidenziare considerando Fig.4.9 e prestando particolare attenzione all’andamentodella prima banda di conduzione lungo la direzione L→ Γ→ X della zona di Brillouin: questa e la bandadove piu facilmente vanno a collocarsi gli elettroni eccitati termicamente. Per comodita, il dettaglio diinteresse per questa sola banda viene riportato in Fig.3.8 (destra): la particolarita cui prestare attenzionerisiede nel fatto che la banda possiede due minimi. Il primo, ovvero il minimo assoluto della BC, eposizionato in corrispondenza del punto Γ della prima zona di Brillouin, mentre il secondo cade nel puntoL. In corrispondenza dei due minimi e diversa la curvatura della banda e quindi la corrispondente massaefficace. Distingueremo i due casi riferendoci ad un “elettrone leggero” (nel punto Γ) oppure ad un“elettrone pesante” (nel punto L).

I due minimi hanno una separazione in energia di soli ∼ 0.3 eV e pertanto, applicando un campoelettrico debole, risulta occupato il solo minimo a Γ. Al crescere dell’intensita del campo si trasferiscemaggiore energia agli elettroni che possono compiere una transizione allo stato L. Nel farlo subisconoun aumento del valore di massa efficace che a sua volta determina una diminuzione di mobilita, secondoquanto riportato in Tab.2.1. In ultima analisi la transizione tra gli stati Γ → L determina il fenomenodella resistenza differenziale negativa evidente in Fig.3.8 (sinistra) per valori di campo applicato compresinell’intervallo 50-100 kV/cm. Manifestano un simile comportamento tutti i semiconduttori che hanno labanda di conduzione caratterizzata da due minimi, quali ad esempio: InP, GaN o anche la lega ternariaInGaAs.

2.2.7 Effetti di gradiente di concentrazione

In un semiconduttore si osserva passaggio di corrente anche in assenza di campo applicato purche alsuo interno esista un gradiente spaziale nella concentrazione di elettroni e/o di lacune, ovvero purchetali concentrazioni non siano uniformi. Poiche questa situazione si ritrova in moltissimi casi di interesseapplicativo (esistono dispositivi il cui principio di funzionamento e basato proprio su queste correnti,dette correnti di diffusione), e necessario sviluppar e un modello quantitativo.

Consideriamo un semiconduttore all’equilibrio termico a temperatura T > 0K all’interno del qualegli elettroni siano distribuiti in modo non uniforme lungo una certa direzione che convenzionalmenteindicheremo con z: sia ne(z) la corrispondente concentrazione. Se consideriamo una sezione arbitraria

9Dove la velocita di deriva aumenta all’aumentare del campo.10Dove la velocita di deriva raggiunge un valore di saturazione costante.




Σ del semiconduttore posta in posizione z = 0 e scelta in modo che risulti normale alla direzione dellacorrente, essa risulta continuamente attraversata da elettroni: si definisce flusso di elettroni il numero diportatori che attraversano Σ nell’unita di tempo. Causa la distribuzione del tutto casuale della velocitatermica e possibile che un elettrone attraversi tale superficie sia muovendosi da destra (simbolo: d) versosinistra (simbolo: s) sia muovendosi in direzione opposta. Pertanto, il flusso netto di elettroni Φe e datodalla somma algebrica

Φe = Φs→de − Φd→s

e (2.30)

con ovvio significato dei simboli. Se fossimo in condizione ne(z) =costante i due flussi componentisarebbero in media uguali e non si osserverebbe alcuna corrente netta attraverso Σ. Nel caso, invece,di distribuzione non uniforme la differenza di concentrazione tra lato sinistro e destro della sezioneconsiderata determina uno sbilanciamento tra i due flussi (ovvero: Φs→d

e 6= Φd→se ) che infatti risultano

dati da

Φs→de =

1

2ne(z = −λe) vT,e

Φd→se =

1

2ne(z = +λe) vT,e (2.31)

dove vT,e e il modulo della velocita termica degli elettroni, mentre λe = vT,e τe e il loro libero camminomedio, ovvero la distanza che in media riescono a compiere tra due eventi di scattering consecutivi. Ilfattore 1/2 che sta a prefattore indica che, assegnata la direzione z, in media meta degli elettroni si muoveverso sinistra e meta verso destra. Inserendo le eq.(2.31) nell’eq.(2.3) otteniamo immediatamente

Φe = 12 [ne(z = −λe)− ne(z = +λe)] vT,e

= 12

[ne(z = 0)− dne(z)

dz λe

]−[ne(z = 0) + dne(z)

dz λe

]vT,e

(2.32)

dove abbiamo sviluppato in serie la funzione ne(z), arrestandoci al primo ordine: questo e consentitose la variazione di concentrazione di elettroni lungo la direzione z non e troppo brusca sull’intervallo dilunghezza −λe ≤ z ≤ +λe. Sviluppando l’algebra otteniamo finalmente un’espressione per il

flusso netto di elettroni

Φe = − λe vT,edne(z)

dz= −λ

2e

τe

dne(z)

dz= −De

dne(z)

dz(2.33)

che prende il nome di legge di Fick: il flusso netto di elettroni e proporzionale al gradiente della loroconcentrazione. La costante di proporzionalita De tra flusso e gradiente e detta

diffusivita degli elettroni

De = λe vT,e =λ2e

τe= v2

T,e τe (2.34)

e rappresenta per le correnti di diffusione esattamente cioe che la mobilita rappresenta per le correnti dideriva indotte da campi elettrici. La diffusivita viene di solito misurata in unita [cm2/s] e rappresentauna proprieta intrinseca dello specifico semiconduttore considerato.

L’analogia tra diffusivita e mobilita non e solo qualitativa: esiste, infatti, una precisa relazione ma-tematica tra le due grandezze che rende conto della duplice osservazione sperimentale in accordo allaquale (i) se gli elettroni di un dato semiconduttore hanno alta mobilita elettronica, allora possiedonoanche alta diffusivita, e (ii) quest’ultima cresce all’aumentare della temperatura. Per ricavare questarelazione utilizzeremo i risultati del Paragrafo 3.2, con la sola accortezza di osservare che nel nostro casostiamo parlando di moti unidimensionali: la diffusione degli elettroni avviene principalmente lungo ladirezione del gradiente di concentrazione. Pertanto, la corrispondente energia cinetica e in media pari am∗ev

2T /2 = kBT/2 (se il semiconduttore e, come abbiamo supposto, all’equilibrio termico). Dunque

v2T,e =

kBT

m∗e(2.35)




da cui si ottiene la

relazione di Einstein per gli elettroni

De = v2T,e τe =

kBT

m∗eτe =

kBT

eµe (2.36)

avendo nell’ultimo passaggio usato i risultati riassunti in Tab.2.1. L’eq.(2.36) giustifica pienamente ledue osservazioni sperimentali ricordate poco sopra.

Come in tutti gli altri casi sin qui analizzati, anche per il fenomeno delle correnti di diffusione pos-siamo estendere i risultati ottenuti al caso delle lacune. Ripercorrendo i ragionamenti sviluppati nel casoelettronico, possiamo definire la

diffusivita delle lacune

Dl = λl vT,l =λ2l

τl= v2

T,l τl (2.37)

tramite la quale calcolare il

flusso netto di lacune

Φl = − λl vT,ldnl(z)

dz= −λ

2l

τl

dnl(z)

dz= −Dl

dnl(z)

dz(2.38)

e la corrispondente

relazione di Einstein per le lacune

Dl = v2T,l τl =

kBT

m∗lτl =

kBT

eµl (2.39)

Nelle eq.(2.37), (2.38) e (2.39) tutti i simboli usati hanno ovvio significato: l’unica accortezza e ricordareche va usato il corrispondente valore per le lacune.

Noti i flussi netti di elettroni e lacune dati, rispettivamente, dalle eq.(2.33) e (2.38) e immediato co-struire nel caso unidimensionale il

vettore densita di corrente di diffusione totale

je + jl = (−e) Φe + (+e) Φl = e

(De

dnedz−Dl

dnldz

)(2.40)

come somma algebrica di un contributo elettronico e uno di lacuna. Va specificato che in eq.(2.40) ilsegno della carica trasportata dal singolo portatore e stato esplicitato una volta per tutte, mentre il segnodel gradiente delle due concentrazioni dovra essere calcolato per ciascun caso specifico di interesse.

2.3 Vettore densita di corrente totale

Il caso piu generale che si puo dare e quello di trasporto di carica in un semiconduttore tridimensionale condistribuzione non uniforme di portatori e contemporaneamente soggetto all’azione di un campo elettrico~E . In queste condizioni la corrente totale e dovuta alla somma delle correnti di deriva e di diffusione siadi elettroni sia di lacune e pertanto

~jtot = ~je +~jl (2.41)

dove ~je = e µe ne ~E + e De

~∇ne~jl = e µl nl ~E − e Dl

~∇nl(2.42)




In accordo alla convenzione esplicita adottata, in queste equazione va inteso che e rappresenta la caricaelementare in valore assoluto, mentre il simbolo ~∇ rappresenta la versione tridimensionale del gradiente.

2.4 Determinazione sperimentale della conducibilita

La discussione sin qui sviluppata porta a concludere che la grandezza fisica che principalmente determinale proprieta di trasporto elettrico di un semiconduttore e la conducibilita: non solo nel caso di correntidi diffusione essa fornisce direttamente il vettore densita di corrente, ma la sua conoscenza consente anchedi calcolare la mobilita dei portatori ovvero, in ultima analisi, la loro diffusivita (tramite le relazione diEinsten). Da un punto di vista applicativo e quindi di grande importanza poter misurare la conducibilitaper ogni campione di specifico interesse: la tecnica principale e concettualmente molto semplice e si basasu una misura di effetto Hall.

Consideriamo il caso di un campione di semiconduttore a sezione rettangolare (di lati a e b), carat-terizzato da una distribuzione uniforme di droganti tipo n. Per quanto noto, non ci saranno correnti didiffusione; al contrario, se applichiamo campo elettrico esterno costante ~E = (Ex, 0, 0) orientato lungo ladirezione perpendicolare alla sezione del campione, allora osserveremo l’insorgere di una corrente stazio-naria di cui e facilmente misurabile l’intensita ix: come sappiamo, essa e dovuta agli elettroni in motodi deriva con velocita ~vd. Se a questo punto si applica un campo magnetico ~B = (0, 0,Bz) omogeneo,uniforme e costante, gli elettroni di conduzioni saranno soggetti ad una equazione del modo del tipo

− e~E − e~vd × ~B = m∗e~vdτe

(2.43)

dove il termine di sinistra e la nota forza di Lorentz che agisce su ogni carica in moto sotto l’azionecongiunta di un campo elettrico e di un campo magnetico, mentre nel termine di destra e risultatoconveniente scrivere l’accelerazione degli elettroni come rapporto tra le grandezze finite “velocita dideriva” e “tempo di rilassamento”. Utilizzando l’espressione per il vettore densita di corrente elettronicadi deriva ~je riportato in Tab.2.1, possiamo ricavare dall’equazione del moto il valore del campo elettricoapplicato

~E =1

eµene~je +

1

ene~je × ~B = ρe ~je −RH ~je × ~B (2.44)

dove abbiamo introdotto la resistivita elettrica11 ρe = (eµene)−1 = σ−1

e e il coefficiente Hall RH =

−1/ene. Nel caso specifico che stiamo considerando risulta che ~je ⊥ ~B e quindi

Ex = ρe je,x Ey = −RH je,x Bz Ez = 0 (2.45)

Questo semplice insieme di equazioni consente una determinazione sperimentale completa e di facilerealizzazione della conducibilita elettrica e del coefficiente Hall. Infatti:

• la componente Ex e determinata dalla differenza di potenziale applicata al campione lungo la dire-zione x, mentre la corrispondente intensita di corrente ix si misura facilmente: la loro combinazionefornisce, tramite la legge di Ohm, il valore di conducibilita (o, equivalentemente, di resistivita);

• la componente Ey del campo determina l’insorgere di una differenza di potenziale elettrostaticoai capi del campione lungo la direzione y che risulta essere Vy = aEy (abbiamo assunto che siaa la dimensione del campione lungo y; quindi la dimensione lungo z e pari a b); inoltre, poicheje,x = ix/ab, possiamo ricavare la seguente espressione per il coefficiente Hall

RH = − Eyje,xBz

= − Vy/a

Bzix/ab= − bVy

ixBz(2.46)

dove e tutto noto perche: (i) la dimensione b del campione e data, (ii) il campo magnetico Bz eimposto, (iii) il valore Vy si ottiene con una semplice misura elettrica.

In definitiva, quindi: (i) la misura del coefficiente Hall fornisce direttamente una stima della concentra-zione di elettroni di conduzione ne = −1/eRH e in secondo luogo (ii) una misura di conducibilita σeconsente di ricavare la mobilita elettronica µe = σe/ene.

11Cioe l’inverso della conducibilita.




2.5 Statistica dei portatori

Per completare la teoria microscopica del trasporto di carica dobbiamo affrontare il problema di comedeterminare la concentrazione dei portatori (sia elettroni sia lacune) considerando separatamente i duecasi di semiconduttore all’equilibrio termico e di semiconduttore fuori equilibrio. Nel primocaso ci riferiremo a una situazione fisica in cui la concentrazione dei portatori liberi (siano essi elettroniin BC oppure lacune in BV) e determinata unicamente dalla temperatura. Il sistema si trovera, quindi,in condizioni di temperatura costante e sara isolato da qualunque altra azione esterna. Al contrario, nelsecondo caso ci riferiremo ad una situazione fisica in cui la concentrazione dei portatori liberi e influenzatada fattori esterni che si aggiungono agli effetti termici.

2.5.1 Semiconduttori all’equilibrio termico

Se consideriamo un sistema all’equilibrio alla temperatura T , il numero di elettroni per unita di volumepresenti in banda di conduzione e dato da

ne(T ) =

∫ +∞

EC

Dc(E)fFD(E, T )dE (2.47)

dove EC e l’energia del bottom della BC, Dc(E) e la densita degli stati per unita di volume in BC efFD(E, T ) e la funzione di Fermi-Dirac calcolata alla temperatura di equilibrio del sistema: essa forniscela probabilita che lo stato di conduzione di energia E sia occupato da un elettrone eccitato termicamente.Useremo l’espressione della densita di stati come ottenuta in approssimazione di banda di conduzioneparabolica. In modo analogo, scriviamo il numero di lacune per unita di volume presenti in banda divalenza come

nl(T ) =

∫ EV

−∞Dv(E) [1− fFD(E, T )] dE (2.48)

dove EV e il top della BV e Dv(E) e la densita degli stati per unita di volume in BV. Il terminetra parentesi quadre indica la probabilita che uno stato di valenza di energia E non sia occupato da unelettrone, ovvero la probabilita che quello stesso stato sia occupato da una lacuna. Le due espressioni datein eq.(2.47) e (2.48) vanno calcolate esplicitamente se si vuole conoscere la concentrazione dei portatoriin funzione della temperatura.

Iniziamo a considerare il caso degli elettroni e sostituiamo la forma esplicita di densita e funzione diFermi-Dirac nell’eq.(2.47)

ne(T ) =

∫ +∞

EC

4π

(2m∗eh2

) 32

(E − EC)12

1

1 + exp(E−EF

kBT

)dE (2.49)

L’integrale di eq.(2.49) prende il nome di integrale di Fermi. Esso si estende su un intervallo di energie chedistano considerevolmente dal livello EF perche sono tutte relative alla banda di conduzione (condizioneE EF ): pertanto, risulta verificata la condizione E − EF kBT (purche la temperatura non siatroppo elevata) grazie alla quale e possibile approssimare la funzione di Fermi-Dirac come segue

fFD(E, T ) =1

1 + exp(E−EF

kBT

) ∼ exp

(−E − EF

kBT

)(2.50)

e riscrivere l’eq.(2.49) nella forma semplificata

ne(T ) = 4π

(2m∗eh2

) 32∫ +∞

EC

(E − EC)12 exp

(−E − EF

kBT

)dE (2.51)

ed ottenere la

concentrazione di elettroni in banda di conduzione ne(T ) = NC exp(−EC−EF

kBT

)NC = 2

(2πm∗eh

−2kBT) 3

2

(2.52)

quando il semiconduttore e all’equilibrio alla temperatura T




Passando al caso delle lacune e procedendo in modo analogo a quanto gia fatto per gli elettroni,possiamo calcolare esplicitamente l’eq.(2.48) con la sola accortezza di osservare che, stante l’intervallo dienergie da considerare (corrispondente alla banda di valenza per la quale vale la condizione E EF ),risulta che |E − EF | kBT . Cio consente di adottare l’approssimazione

fFD(E, T ) =1

1 + exp(E−EF

kBT

) ∼ 1− exp

(−EF − E

kBT

)(2.53)

purche la temperatura non sia troppo elevata. Cosı facendo otteniamo la

concentrazione di lacune in banda di valenza nl(T ) = NV exp(−EF−EV

kBT

)NV = 2

(2πm∗l h

−2kBT) 3

2

(2.54)

quando il semiconduttore e all’equilibrio alla temperatura T .

Le due costanti NC ed NV sono a volte indicate col nome di densita effettiva degli stati in conduzionee in valenza, rispettivamente: esse sono una proprieta specifica di ogni singolo materiale (misurata inunita [cm−3]) perche dipendono dalla massa efficace dei portatori liberi12

Dobbiamo sottolineare che i risultati ottenuti dimostrano che, una volta fissata la temperatura diequilibrio del materiale, la concentrazione risultante di portatori liberi dipende dalla posizionein energia del livello di Fermi. E dunque richiesta l’elaborazione di un opportuno modello capace diprevedere tale posizione: a tal fine dovremo distinguere tra semiconduttori intrinseci ed estrinseci.

2.5.2 Livello di Fermi in semiconduttori intrinseci

Quando un semiconduttore non drogato si trova in condizioni di equilibrio termico il numero di elettroniin BC e uguale al numero di lacune in BV: pertanto, usando le concentrazioni date in eq.(2.52) e (2.54),possiamo scrivere

NC exp

(−EC − EF

kBT

)= NV exp

(−EF − EV

kBT

)(2.55)

da cui si ottiene la definizione esatta della

posizione del livello di Fermi

EF =EV + EC

2− kBT

2lnNCNV

=1

2EG −

kBT

2lnNCNV

(2.56)

in un semiconduttore intrinseco all’equilibrio termico.

In questa espressione abbiamo introdotto esplicitamente il valore EG = (EV +EC)/2 del gap proibito dienergia.

Questo risultato e molto importante, sia concettualmente sia agli effetti pratici. Innanzitutto, l’eq.(2.57)risolve una ambiguita presente nel modello a bande, come sviluppato nel precedente Capitolo. In quelcontesto, considerando un semiconduttore a T = 0K, abbiamo identificato l’ultimo livello della sua bandadi valenza pienamente occupata come il livello di Fermi: ad esso e stata attribuita la proprieta di sepa-rare i livelli pienamente occupati (quelli con energia E < EF ) dai livelli assolutamente vuoti (quelli conenergia E > EF ). In realta questa proprieta formale la possiedono anche tutti i livelli con energia postaentro la gap proibita. Dunque, e rimasta inevasa la domanda: “dove esattamente si pone il livello diFermi in un semiconduttore posto a temperatura nulla?”. La questione e finalmente risolta dal risultatodi eq.(2.56): in un semiconduttore intrinseco il livello di Fermi a T = 0K e posto esattamente

12Va precisato che nel nostro sviluppo abbiamo esplicitamente fatto uso del fatto che le bande fossero paraboliche edimplicitamente assunto che non fossero degeneri. Come visto in precedenza, entrambe queste assunzioni non corrispondonoalla vera struttura a bande di un semiconduttore: tuttavia e possibile dimostrare che gli effetti di non-parabolicita e didegenerazione possono essere inclusi nel valore di massa efficace da usare nelle espressioni di NC e NV . Questo valorerinormalizzato viene di solito chiamato “massa densita di stati”, ad indicazione del fatto che non solo tiene conto dellacurvatura delle bande, ma anche di tutti gli altri effetti che e necessario includere nella corretta determinazione delladensita di stati in valenza e in conduzione.




al centro della gap proibita. E comune riferirsi al livello di energia EF = EG/2 come al livello diFermi intrinseco. In secondo luogo, possiamo ora giustificare perche abbiamo considerato trascurabilela dipendenza del livello di Fermi13 dalla temperatura: il peso del termine proporzionale a T e datodal termine lnNC/NV ∼ lnm∗e/m

∗l che risulta agli effetti pratici trascurabilmente piccolo in quanto i

tipici valori di massa efficace per elettroni e lacune di uno stesso semiconduttore sono molto simili. Inconclusione, e pienamente giustificata l’approssimazione secondo la quale la posizione del livello diFermi di un semiconduttore intrinseco non varia al variare della temperatura di equilibrio.

2.5.3 Livello di Fermi in semiconduttori estrinseci

Nei semiconduttori drogati la concentrazione risultante dei portatori e determinata dalla combinazionedei fenomeni di eccitazione termica e di ionizzazione dei droganti, fenomeni che ovviamente avvengonocontemporaneamente. Per ciascun tipo di portatori (elettroni e lacune) distingueremo dunque tra

• portatori intrinseci: essi sono generati termicamente, in perfetta analogia al caso dei semiconduttorinon drogati, per eccitazione di elettroni in BC e conseguente generazione di un pari numero di lacunein BV;

• portatori estrinseci: essi corrispondono a (i) elettroni presenti in BC per eccitazione termica da unlivello donore (caso dei semiconduttori estrinseci drogati n) oppure (ii) lacune presenti in BV comeconseguenza della eccitazione termica di un elettrone dalla stessa BV ad un livello accettore (casodei semiconduttori estrinseci drogati p).

Essendo diversa la natura dei portatori estrinseci, dovremo trattare separatamente i due diversi casi didrogaggio.

Semiconduttori drogati n

Il drogaggio tipo n introduce nella struttura a bande del semiconduttore un livello donore ad energiaED poco sotto l’energia EC del bottom della BC. Supponiamo siano stati impiantati atomi droganti inconcentrazione ND: il livello ED e ND-volte degenere. Il numero ne(T ) di elettroni per unita di volumepresenti in BC quanto il semiconduttore e all’equilibrio alla temperatura T e dato da

ne(T ) = ni(T ) + nD(T ) (2.57)

dove ni(T ) e la densita di elettroni intrinseci, mentre nD(T ) ≤ ND rappresenta il numero di elettroniestrinseci per unita di volume, corrispondente al numero di atomi droganti per unita di volume chesono stati ionizzati alla temperatura T . L’eq.(2.57) assume diverse forme a seconda della temperaturaconsiderata, seguendo questi argomenti:

• regime di basse temperature (regione di congelamento): il numero di elettroni intrinseci e trascura-bilmente piccolo, mentre il numero di elettroni estrinseci e uguale al numero di livelli donori vuoti(corrispondente al numero di atomi donori ionizzati), ovvero grazie ad eq.(2.52)

ne(T ) = NC exp

(−EC − EF

kBT

)= ND [1− fFD(ED, T )]

∼ ND exp

(ED − EFkBT

)(2.58)

dove, poiche stiamo considerando stati in BC caratterizzati da un’energia E EF , abbiamo usatol’approssimazione data in eq.(2.50). Da questo risultato si ottiene direttamente la posizione del

livello di Fermi in un semiconduttore drogato n

EF =EC + ED

2+kBT

2lnNDNC

(2.59)

all’equilibrio termico nella regione di congelamento.

In particolare, osserviamo che a temperatura nulla EF risulta essere posizionato esattamente a metatra il livello donore e il bottom della BC.

13Ricordiamo che sarebbe piu corretto riferirsi al potenziale chimico, piuttosto che al livello di Fermi.




• regime di temperature intermedie (regione estrinseca): il numero di elettroni intrinseci continua adessere trascurabilmente piccolo, ma il numero di quelli estrinseci e adesso esattamente uguale alnumero di livelli donori perche tutti gli atomi droganti sono ionizzati, ovvero grazie ad eq.(2.52)

ne(T ) = NC exp

(−EC − EF

kBT

)= ND (2.60)

da cui si ricava la posizione del


EF = EC − kBT lnNCND

(2.61)

all’equilibrio termico nella regione estrinseca.

• regime di alte temperature (regione intrinseca): in questo caso tutti gli atomi droganti sono ionizza-ti, ma la concentrazione dei portatori intrinseci diventa dominante. Pertanto, in questo regime valeche ni(T ) nD = ND ed il semiconduttore si comporta a tutti gli effetti come un semiconduttoreintrinseco. In conclusione la posizione del


EF =1

2EG (2.62)

all’equilibrio termico nella regione intrinseca.

A conclusione di questa discussione e importante sottolineare che, a differenza di quanto dimostratoper un semiconduttore intrinseco, il livello di Fermi in un semiconduttore drogato n e funzione dellatemperatura. L’andamento generale e quello riportato in Fig.3.9.

Semiconduttori drogati p

Il drogaggio tipo p introduce nella struttura a bande del semiconduttore un livello accettore ad energiaEA poco sopra l’energia EV del top della BV. Supponiamo siano stati impiantati atomi droganti inconcentrazione NA: il livello EA e NA-volte degenere. Il numero nl(T ) di lacune per unita di volumepresenti in BV quanto il semiconduttore e all’equilibrio alla temperatura T e dato da

nl(T ) = ni(T ) + nA(T ) (2.63)

dove nA(T ) ≤ NA rappresenta il numero di lacune estrinseche per unita di volume, corrispondente alnumero di atomi droganti per unita di volume che sono stati ionizzati alla temperatura T . Si noti che inquesto caso la concentrazione ni(T ) si riferisce alle lacune intrinseche. L’eq.(2.63) assume diverse formea seconda della temperatura considerata; procedendo con gli stessi argomenti sviluppati nel paragrafoprecedente distinguiamo tre diversi regimi di temperatura:

• regime di basse temperature (regione di congelamento): il numero di lacune intrinseche e trascu-rabilmente piccolo, mentre il numero di lacune estrinseche e uguale al numero di livelli accettorioccupati (corrispondente al numero di atomi donori ionizzati); questo bilancio fornisce la posizionedel

livello di Fermi in un semiconduttore drogato p

EF =EV + EA

2− kBT

2lnNANV

(2.64)

all’equilibrio termico nella regione di congelamento

che a temperatura nulla risulta essere posizionato esattamente a meta tra il livello accettore e il topdella BV.




• regime di temperature intermedie (regione estrinseca): il numero di lacune intrinseche continua adessere trascurabilmente piccolo, ma il numero di quelle estrinseche e adesso esattamente uguale alnumero di livelli accettori perche tutti gli atomi droganti sono ionizzati; questo bilancio fornisce laposizione del


EF = EV + kBT lnNVNA

(2.65)

all’equilibrio termico nella regione estrinseca.

• regime di alte temperature (regione intrinseca): in questo caso tutti gli atomi droganti sono ionizza-ti, ma la concentrazione dei portatori intrinseci diventa dominante. Pertanto, in questo regime valeche ni(T ) nA = NA ed il semiconduttore si comporta a tutti gli effetti come un semiconduttoreintrinseco. In conclusione la posizione del


EF =1

2EG (2.66)

all’equilibrio termico nella regione intrinseca.

In conclusione, analogalmente a quanto gia fatto nel caso precedente possiamo affermare che il livello diFermi di un semiconduttore dropato p e funzione della temperatura, secondo l’andamento rappresentatoin Fig.3.9.

Semiconduttori compensati

In un semiconduttore reale e molto comune che siano presenti contemporaneamente droganti dei due tipi,cioe donori ed accettori. In questo caso accade che impurezze di tipo diverso si compensano, ovvero:elettroni provenienti da livelli donori si possono ricombinare con lacune provenienti da livelli accettori.

La conseguenza importante di questi processi di ricombinazione e che viene alterata la statistica deiportatori calcolata nei paragrafi precedenti nei limiti ideali di un semiconduttori drogato solo con donorioppure solo con accettori. In particolare, risulta che le caratteristiche elettriche dei semiconduttoricompensati sono determinate non piu dai singoli valori di drogaggio n oppure di drogaggio p, bensı dallaconcentrazione netta di drogaggio |NA −ND|.

Se consideriamo il regime di temperature intermedie (regione estrinseca) in cui le caratteristiche elet-triche sono governate dai portatori estrinseci, la situazione si presta facilmente a una analisi qualitativa:

• quando ND NA l’effetto dei droganti accettori e marginale: il semiconduttore si comportasostanzialmente come un materiale drogato n;

• quando ND = NA siamo in condizione di perfetta compensazione: il semiconduttore e nei fattiequivalente ad un materiale intrinseco;

• quando ND NA l’effetto dei droganti donori e marginale: il semiconduttore si comporta sostan-zialmente come un materiale drogato p.

La diversita dei comportamenti si riflette nel fatto che la posizione del livello di Fermi in un semiconduttorecompensato varia al variare della concentrazione netta di drogaggio, come illustrato in Fig.3.10.

2.5.4 Legge di azione di massa

Le due espressioni generali per la concentrazione di elettroni e buche in condizioni di equilibrio termicopossono essere combinate nella




legge di azione di massa

ne(T )nl(T ) = NCNV exp

(−EC − EV

kBT

)= NCNV exp

(− EGkBT

)(2.67)

valida per ogni semiconduttore in qualsivoglia condizioni di drogaggio. Il risultato importante risiede nelfatto che il prodotto delle concentrazioni di elettroni e lacune e indipendente dal livello di Fermi e, invece,dipende unicamente dal valore del gap di energia.

In un semiconduttore intrinseco vale sempre la relazione

ne(T ) = nl(T ) (2.68)

che riflette in modo ovvio la condizione di neutralita di carica: l’eccitazione termica preserva lo stato dicarica complessivo del semiconduttore perche per ogni carica negativa eccitata in BC ne viene generatauna positiva in BV. Grazie alla condizione di neutralita possiamo riscrivere l’eq.(2.67) nella forma cheassume il nome di

legge di azione di massa per semiconduttori intrinseci

ne(T )nl(T ) = n2i (T ) = NCNV exp

(− EGkBT

)(2.69)

e che riveste un ruolo di primaria importanza nella statistica dei portatori di carica. Per esempio, sosti-tuendo i valori di NC e NV , essa fornisce la dipendenza esplicita dalla temperatura della concentrazionedi portatori intrinseci

ni(T ) ∼ T 32 exp

(− EG

2kBT

)(2.70)

La dipendenza dalla temperatura esplicitata in questa equazione rende quantitativamente ragione delperche abbiamo considerato dominante la popolazione dei portatori intrinseci nel regime di alte tempe-rature.

Il risultato di eq.(2.70) mette in diretto collegamento una proprieta di struttura elettronica tipica delsemiconduttore (il valore della gap proibita di energia) con una proprieta di trasporto dei suoi porta-tori intrinseci. In particolare, e interessante notare che essa quantifica l’aumento della concentrazionedi portatori liberi all’aumentare della temperatura e quindi, in virtu dell’eq.(2.22), della conducibilitaelettrica. Questo effetto puo rivelarsi svantaggioso per alcune le applicazioni tecnologiche: in diversitipi di dispositivi esiste, infatti, la necessita di creare degli “strati di svuotamento”, cioe delle regionispaziali in cui risulti particolarmente bassa la concentrazione di portatori e, dunque, il valore locale diconducibilita. L’aumentare della temperatura gioca contro la possibilita di realizzare questa condizione,cosı ostacolando la formazione di strati a bassa conduzione. Controbilancia questo effetto la larghezza delgap proibito di energia: maggiore e EG, minore e la risultante ni(T ) per ogni data temperatura. Questeconsiderazioni servono a determinare quale sia, sotto questo profilo, il migliore semiconduttore da usareper l’applicazione dispositivistica di interesse.

La legge di azione di massa assume una forma particolare anche nel caso di semiconduttori estrinseci.Iniziamo preliminarmente riscrivendo le concentrazioni dei portatori liberi come segue

ne(T ) =

[NC exp

(−EC − EG/2

kBT

)]exp

(−EG/2− EF

kBT

)nl(T ) =

[NV exp

(−EG/2− EV

kBT

)]exp

(−EF − EG/2

kBT

)(2.71)

e ricordando che per un semiconduttore non drogato l’energia EG/2 e quella che corrisponde proprio allivello di Fermi intrinseco. Pertanto i due fattori racchiusi in parentesi quadre in eq.(2.71) rappresentanoentrambi la concentrazione di portatori intrinseci ni(T ). Questo consente di scrivere le concentrazioni diportatori liberi nel seguente modo

ne(T ) = ni(T ) exp

(−EG/2− EF

kBT

)




nl(T ) = ni(T ) exp

(−EF − EG/2

kBT

)(2.72)

dove e messo in risalto il fatto che il numero di elettroni in BC e di lacune in BV dipende dalla differenzadi energia tra il livello di Fermi effettivo (che in questo caso dipende dal drogaggio) e la posizione delcentro della gap proibita.

Nei semiconduttori estrinseci la condizione di neutralita di carica assume la forma

nl(T )− ne(T ) + nD(T )− nA(T ) = 0 (2.73)

in cui e rappresentato il bilancio che e necessario realizzare tra la concentrazione dei portatori liberi dientrambi i segni e la concentrazione delle impurezze ionizzate di entrambi i segni affinche il materialesia nel suo complesso elettricamente neutro. Dobbiamo inoltre considerare esplicitamente il fatto chein un semiconduttore drogato il numero di elettroni non e uguale al numero di lacune: quale delle dueconcentrazioni di portatori risulti maggiore dipende dal tipo di drogaggio. E quindi utile distinguere traportatori di maggioranza e portatori di minoranza secondo questo schema

• nei semiconduttori drogati n i portatori di maggioranza sono gli elettroni, mentre iportatori di minoranza sono le lacune;

• nei semiconduttori drogati p i portatori di maggioranza sono le lacune, mentre iportatori di minoranza sono gli elettroni.

E utile per fini pratici disporre di equazioni che forniscano la concentrazione nM (T ) dei portatori dimaggioranza nei due diversi casi di drogaggio. Assumendo di essere alle temperature tipiche del regimeestrinseco (quindi tutti i droganti sono ionizzati, ovvero:, nD(T ) = ND e nA(T ) = NA), combinando lalegge di azione di massa data in eq.(2.67) con la condizione di neutralita data in eq.(2.73) si ottengonofacilmente la

concentrazione dei portatori di maggioranza

nM (T ) =1

2(ND −NA) +

1

2

√(ND −NA)

2+ 4n2

i (T ) (2.74)

in un semiconduttore drogato n

e la

concentrazione dei portatori di maggioranza

nM (T ) =1

2(NA −NB) +

1

2

√(NA −ND)

2+ 4n2

i (T ) (2.75)

in un semiconduttore drogato p

E opportuno sottolineare ancora una volta che la nM (T ) data in eq.(2.74) rappresenta la concentrazione dielettroni in un semiconduttore drogato n, mentre la nM (T ) data in eq.(2.75) rappresenta la concentrazionedi lacune in un semiconduttore drogato p. In entrambi i casi le espressioni sono scritte per la situazionepiu generale possibile di semiconduttore compensato; tuttavia, si deve intendere che nel caso di drogaggion vale ND > NA, mentre nel caso di drogaggio p vale la condizione opposta ND < NA. I casi limite didrogaggio ideale tipo n o ideale di tipo p corrispondono, rispettivamente a porre NA = 0 in eq.(2.74) e aporre ND = 0 in eq.(2.75).

Osserviamo infine che quando e possibile trascurare la concentrazione di portatori intrinseci14 leconcentrazioni dei portatori di maggioranza assumono la forma

nM (T ) =

ND −NA semiconduttore drogato n

NA −ND semiconduttore drogato p(2.76)

14Questo e possibile quando le temperature corrispondono alla regione estrinseca e/o siamo in condizione di forte drogaggiotale per cui |ND −NA| ni.




In tutti i casi di interesse, la concentrazione dei portatori di minoranza si ottiene per semplicecombinazione della legge di azione di massa e della espressione per nM (T ) valida nello specifico casoconsiderato.

2.5.5 Semiconduttori fuori equilibrio

Un semiconduttore e fuori equilibrio termodinamico quando la concentrazione di portatori di carica none determinata unicamente dalla combinazione di temperatura e condizioni di drogaggio, ma anche dallaazione di fattori esterni la tassonomia dei quali prevede l’esistenza di

• processi di iniezione o estrazione di portatori

• processi di generazione o ricombinazione di portatori, legati all’interazione con un campoesterno di radiazione elettromagnetica.

Le due categorie di fenomeni sono importanti per applicazioni in microelettronica e in optoelettronica,rispettivamente.

L’iniezione di portatori e un processo che genera un eccesso di elettroni o di lacune rispetto alla con-centrazione che questi portatori avrebbero in condizioni di equilibrio. Per esempio, e possibile iniettareelettroni in un semiconduttore tramite un opportuno sistema di contatti elettrici con un circuito esternoed applicando una opportuna differenza di potenziale. Si distinguono le condizioni di iniezione stazio-naria oppure di iniezione transitoria: nel primo caso, pur essendo presente il fenomeno di iniezione, laconcentrazione risultate di portatori rimane costante nel tempo; nel secondo caso, tale concentrazionevaria nel tempo secondo la legge che regola il fenomeno di iniezione. Analoghe considerazioni valgono peril processo di estrazione di portatori.

La generazione di portatori e anche detta fotogenerazione perche comporta la promozione di elet-troni a livelli energetici superiori (e la conseguente generazione di lacune nel livello energetico inferioredi partenza) per assorbimento di fotoni di opportuna energia. Sono possibili diversi meccanismi di as-sorbimento, tra i quali ricordiamo (i) il meccanismo inter-banda in corrispondenza del quale l’elettroneviene eccitato dalla BV alla BC (questo processo coinvolge fotoni di energia almeno pari a EG) e (ii)il meccanismo che coinvolge uno stato di banda e un livello di impurezza (e possibile che un elettroneinizialmente su un livello donore venga eccitato in BC, cosı come che un elettrone inizialmente in BV siaeccitato su un livello accettore o anche su un livello donore, purche libero).

Gli opposti processi di ricombinazione di portatori prendono il nome dal fatto che al loro termineuna coppia elettrone-lacuna risulta ricombinata. Cio puo avvenire sia tramite processi tipo radiativo siatramite processi di tipo tipo non-radiativo. Nel primo caso la ricombinazione comporta l’emissione difotoni di energia pari alla differenza di energia tra il livello inizialemente occupato dall’elettrone e quellofinale. Anche in questo caso le ricombinazioni possono avvenire in modalita inter-banda, oppure possonocoinvolgere livelli di impurezza. Nel caso di ricombinazione non-radiativa tutta o parte dell’energiarilasciata dall’elettrone nella sua transizione ad un livello energetico inferiore viene rilasciata sotto forma diemissione di fononi. I processi non-radiativi pertanto comportano il riscaldamento del reticolo cristallino.

La caratteristica comune a tutti i processi di non-equilibrio e che in loro presenza non e piu verificatala legge di azione di massa. Infatti, e chiaro che le concentrazioni di lacune ed elettroni soddisfano adessole seguenti disuguaglianze

nenl > n2i nel caso di iniezione o fotogenerazione

nenl < n2i nel caso di estrazione o ricombinazione. (2.77)

In generale si distinguono i due diversi casi di bassa iniezione e di alta iniezione a seconda che la concen-trazione dei portatori iniettati (o generati) sia rispettivamente maggiore o minore della concentrazione diequilibrio dei portatori di maggioranza. Nella maggior parte dei casi di interesse applicativo si lavora inregime di bassa iniezione.

2.6 Equazione di continuita fuori dall’equilibrio termico

I processi di non-equilibrio sono ovviamente caratterizzati fornendo una misura della loro efficienza nelcreare o distruggere portatori in eccesso rispetto alle concentrazioni di equilibrio. Definiamo quindi




• il rateo di generazione Gp come il numero di portatori creati per unita di volume nell’unita ditempo

• il rateo di ricombinazione Rp come il numero di portatori distrutti per unita di volume nell’unitadi tempo

dove il pedice p = e, l indica, a seconda del caso, elettroni o lacune. I ratei di generazione e ricombinazionesi misurano in unita [cm−3s−1] e vanno definiti di volta in volta in relazione ai singoli meccanismi diiniezione/fotogenerazione ed estrazione/ricombinazione eventualmente presenti nel sistema di interesse.Qualora esso sia contemporaneamente soggetto a processi di entrambi i tipi, le concentrazioni di equilibriosubiscono un rateo complessivo di variazione pari al bilancio netto tra generazione ricombinazione, ovvero:il tasso netto di incremento temporale delle concentrazioni dei portatori rispetto ai valoridi equilibrio e dato dalla differenza Gp −Rp che puo essere positivo o negativo a seconda del pesorelativo dei due tipi di meccanismi.

L’esistenza dei fenomeni di generazione/ricombinazione si riflette in una importante modifica dellaequazione di continuita della corrente elettrica. Se consideriamo la legge nella sua forma generale datain eq.(2.8) dobbiamo innanzitutto distinguere tra corrente elettrica trasportata dagli elettroni e correnteelettrica trasportata dalle lacune: a tal fine, bastera legare la densita di carica ρ che ivi compare allaconcentrazione netta degli uni e delle altre, semplicemente ponendo per gli elettroni ρ = (−e)ne e perle lacune ρ = (+e)nl. Cosı facendo si ottengono due equazioni di continuita, una per ciascun tipo diportatore. A rigore questo e pero vero solo se il sistema e all’equilibrio termico. Se, invece, consideriamouna situazione fuori dall’equilibrio dobbiamo ammettere che nel bilancio di carica manca il conteggio ditutta la carica iniettata o estratta dai fenomeni di generazione/ricombinazione. Dobbiamo quindi scriverein forma completa l’eq.(2.8) per i due casi come

• equazione di continuita della corrente di elettroni

∂ne∂t

= Gn −Rn +1

e~∇ ·~je (2.78)

• equazione di continuita della corrente di lacune

∂nl∂t

= Gl −Rl +1

e~∇ ·~jl (2.79)

dove nel caso piu generale i due vettori densita di corrente contengono a loro volta sia il contributo didensita di corrente di deriva dato in forma generale dall’eq.(2.19) sia il contributo di densita di correntedi diffusione i cui termini sono singolarmente presenti in eq.(2.40).



Capitolo 3

Figure

dΣ

v

uθ

Σ

Figura 3.1: Definizioni delle relazioni spaziali tra velocita ~v dei portatori, versore n normale all’elementodi superficie dΣ e superficie Σ attraverso la quale calcolare l’intensita di corrente che fluisce nel materiale.

scattering piezoelettrico

scattering

coulom

biano scattering

fon

on

i ottic

i

scattering difetti neutri

scattering

fononi acustici

temperatura(scala logaritmica)

10 K 100 K

105

106

mo

bil

ità [

cm

2/V

s]

(scala

log

aritm

ica)

µtot

GaAs

Figura 3.2: Linee sottili: andamento della mobilita elettronica in funzione della temperatura nel GaAsper i singoli meccanismi di scattering dei portatori. Linea spessa: mobilita elettronica totale risultantedall’eq.(2.24) nel caso specifico di un campione drogato n.

27



CAPITOLO 3. FIGURE 28

Si

T=300K

concentrazione di droganti [cm-3]

mob

ilità

[cm

2/V

s]

elettroni

lacune

Figura 3.3: Andamento della mobilita di elettroni (linea continua) e lacune (linea tratteggiata) nel silicioa temperatura ambiente in funzione della concentrazione di droganti presenti.

Temperatura [K]

mobili

tà d

egli

ele

ttro

ni [c

m2/V

s]

Figura 3.4: Andamento della mobilita degli elettroni in funzione della temperatura in un campione disilicio drogato n. I livelli di drogaggio coprono un ampio intervallo che va dalla condizione di “bassodrogaggio” (1014 donori/cm3) a quella di “alto drogaggio” (1019 donori/cm3). In quest’ultimo regime siriconosce l’andamento ricavato nella discussione generale sui meccanismi di scattering (vedi Fig.5.2).

1 2 3

regione

intrinseca

regione

estrinseca

regione

di congelamento

1/T

tutt

e le

gra

nd

ezze

in

sca

la lo

ga

ritm

ica

temperaturabassa

temperaturaalta

temperaturaintermedia

conduttività

mobilità

concentrazioneportatori

Figura 3.5: Andamento qualitativo della conducibilita (linea continua spessa) in funzione della tempe-ratura nel caso generale di un semiconduttore drogato n. Vengono anche riportati gli andamenti dellaconcentrazione di portatori liberi (linea a tratto-punto) e della mobilita (linea punteggiata).




campo elettrico [V/cm]

102 103 104 105

velo

cità d

i deriva [cm

/s]

105

106

107

elettroni

lacune

velocità di saturazione

Figura 3.6: Andamento della velocita di deriva di elettroni (linea continua) e lacune (linea tratteggiata)in silicio in regime di campo forte ed a temperatura ambiente.

temperatura [K]

10

velo

cità d

i satu

razio

ne [10

7 c

m/s

]

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

100 600

Figura 3.7: Andamento della velocita di deriva per gli elettroni nel silicio. Le temperature sono in scalalogaritmica.

L Γ X

elettrone

"pesante"

elettrone

"leggero"~ 0.3 eV

campo elettrico [kV/cm]

0

velo

cità d

i deriva [

10

7 c

m/s

]

1.0

2.0

100 200

0.0

Figura 3.8: Sinistra: andamento in funzione del campo elettrico applicato della velocita di deriva nelGaAs a temperatura ambiente. Destra: Dettaglio della prima banda di conduzione del GaAs lungo ladirezione che collega i punti L→ Γ→ X della prima zona di Brillouin (questo grafico non e in scala).




energ

ia d

el liv

ello

di F

erm

i

temperatura

banda di valenza

banda di conduzione

1

2EG

EC

EV

ED

EA

semiconduttore drogato n

semiconduttore drogato p

regione di

congelamento

regione

estrinseca

regione

intrinseca

Figura 3.9: Andamento dell’energia del livello di Fermi per un semiconduttore drogato in funzione dellatemperatura. Le grandezze EC , ED, EG, EA e EV sono definite nel testo.

energia del livello di Fermi

1

2EG

EC

EV

ED

EA

|NA −ND|

comportamento tipo

semiconduttore drogato n

comportamento tipo

semiconduttore drogato p

comportamento tipo

semiconduttore intrinseco

0

Figura 3.10: Andamento dell’energia del livello di Fermi per un semiconduttore compensato in funzionedella concentrazione netta di drogaggio |NA−ND|. L’andamento rappresentato e quello tipico del regimedi temperature intermedie (regione estrinseca).



Capitolo 4

Bibliografia

1. S.O. Kasap, Principles of electrical engineering materials and devices (McGraw Hill, 2000)

2. D. A. Neamen, Semiconductor physics and devices (McGraw Hill, 2003)

3. M. Grundmann, The physics of semicondutcors (Springer, 2006)

31


2017 luciano.colombo@unica - Università di...

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