2017-18 Astronomia1 L02 [modalità...
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righe di emissione
righe di assorbimento
continuo
(non si può parlare di “energia monocromatica”!)
SpettroDistribuzione della densità di flusso spettrale della sorgente
in funzione di frequenza/lunghezza d’onda
Tipico spettro stellare
• Il colore delle stelle è determinato dallo spettro continuo
• Il colore delle stelle è determinato dallo spettro continuo
• Il colore dipende dalla temperatura
• Il colore dipende dalla temperatura
• Fisica della relazione colore-temperatura:
Legge di corpo nero
• Fisica della relazione colore-temperatura:
Legge di corpo nero
� La misura del continuo consente di determinare T� La misura del continuo consente di determinare T
• Lo spettro della radiazione emessa dal corpo nero dipende solo dalla sua temperatura
Corpo nero: buona approssimazione del continuo degli spettri stellari
K cm 29.0max =Tλ(Wien’s displacement law)
• Per T crescenti:- la potenza irradiata per cm2
aumenta rapidamente:
Il corpo nero
4Sw T∝
(Stefan-Boltzmann)
- la lunghezza d’onda del picco diminuisce:
• Sorgente ideale: equilibrio termodinamico– Tutta l’energia incidente sul corpo nero è assorbita– L’energia è scambiata liberamente con l’ambiente– Il flusso netto di energia è nullo (Ein = Eout)
bb
Il corpo nero• Esempio (1)Qual è la temperatura superficiale (approssimativa) di una
stella che ha il picco del suo spettro nel visibile, intorno a 500nm?
• Esempio (2)A quale lunghezza d’onda la Terra emette il massimo della
sua radiazione e.m.?
7
0.29 K 5800 K
500 10−= =⋅ vicino alla temperatura
superficiale del Sole
310 cm 10µm −= =(Infrarosso)
K 300=T
max 500 nm λ =
max
0.29K
[cm]T
λ=
max
0.29 0.29cm cm
300Tλ = =
La legge di PlanckFine 1800: Previsioni teoriche per la radiazione di corpo nero in disaccordo con i dati sperimentali
22
2( )
kTI T
cν ν=
– Deduzione classica (Rayleigh-Jeans):
Proporzionale all’energia cinetica della particella
K erg1038.1 116 -k −×=Costante di Boltzman
Diverge ad alte frequenze!
“catastrofe ultravioletta”
La legge di RJ concorda con i dati sperimentali a basse frequenze
La legge di Planck
3
2 /
2 1( )
e 1h kT
hI T
cν νν=
−
1<< e 1x x≈ +
• Ci aspettiamo che questa si riduca alla legge di Rayleigh-Jeans a basse frequenze:
Max Planck (1858 – 1947)
serg1063.6 27 ⋅×= −hCostante di Planck
Legge di importanza decisiva per la fisica moderna
3
2
2 1( , )
e 1x
hI T
c
νν =−
Legge di Rayleigh-Jeans
2
22
c
kTν=3
2
2 1h
c x
ν≈hν
kT
c
h2
32 ν=
Max Planck, 1900: deduzione legge “empirica” in accordo con i dati sperimentali
xkTh ≡)/( ν
[erg s-1 cm-2 Hz-1 sr-1]
Il corpo nero
Raddoppiando la temperatura, la potenza irraggiata aumenta di un fattore 16
Aumentando T di un fattore 10, la potenza aumenta di 104
Energia totale emessa
Al crescere della temperatura l’energia totale emessa (per unità di tempo e di superficie emittente) aumenta molto rapidamente
1425 sKcm erg107.5 −−−×= -σcostante di Stefan-Boltzman
Potenza irradiata per unità di superficie
Relazione di Stefan-Boltzman (dapprima trovata empiricamente):
0 0Sw I d I dλ νλ ν∞ ∞
= =∫ ∫4 Tσ=
Legge di Planck
22
2( , )
kTI T
cν ν=
1e
12),(
/2
3
−=
kThc
hTI ν
νν
2
2
/2
3 2
1e
12
c
kT
c
hkTh
ννν →
− 1/ <<kThνper
La Temperatura è l’unico parametro libero!
4
0 Sw I d Tν ν σ
∞= =∫
Luminosità totale• Luminosità intrinseca totale di una stella
= potenza totale irradiata da tutta la superficie
))(4( 42 TR σπ=
10 2 5 1 -2 4 3 44 (7 10 cm) (5.7 10 erg s cm K )(5.8 10 K) L π − − −= ⋅ ⋅ ⋅⊙
57 10 km R = ×⊙
5 1 2 45.7 10 erg s cm K-σ − − −= ×5800 KT =
⊙
erg/s104 33×=Unità di misura per la luminosità di altre stelle, sorgenti astronomiche
SwRL )4( 2π=Potenza irradiata per
unità di superficieApprossimazione di black body
• EsempioCalcolare la luminosità del Sole
Approssimazione sferica
• Legge di Planck in funzione della lunghezza d’onda
La legge di Planck
λν /c→1e
12),(
/2
3
−=
kThc
hTI ν
νν
λλνν dTIdTI ),(),( =
λννλ
d
dTITI ),(),( =
2λλν c
d
d =
2/2
3
1e
1)/(2),(
λλλ λ
c
c
chTI
kThc⋅
−=
2
5 /
2 1
e 1hc kT
hcλλ
=−
Energia del fotone
Regione Lunghezza d’onda Frequenza (Hz) Energia per fotone (eV)
Radio > 10 cm < 3 × 109 < 10-5
Microonde 0.1 mm – 10 cm 3 × 109 – 3 × 1012 10-5 – 0.01
Infrarosso 700 nm – 0.1 mm 3 × 1012 – 4.3 × 1014 0.01 – 2
Visibile 400 nm – 700nm 4.3 × 1014 – 7.5 × 1014 2 – 3
Ultravioletto 10 nm – 400nm 7.5 × 1014 – 3 × 1016 3 – 102
Raggi X 0.1 nm – 10 nm 3 × 1016 – 3 × 1018 102 –104 (0.1–10 keV)
Raggi γ < 0.1 nm > 3 × 1018 > 104 (>10 keV)
19 19(1.6 10 C) (1 Volt) 1.6 10 J− −= × × = ×
eV 3≈
• Esempio: energia (in eV) di un fotone di λ = 400 nm
• Elettronvolt (eV):
27 10
5 12
(6.63 10 erg s) (3 10 cm/s) 1
4 10 cm 1.6 10 erg-
−
−
× ⋅ × ×=× ×
erg10J 1 7=erg106.1 12−×=
/
eV eV
E hc λ=
1 eV 1 Volte= ×
• Ogni reale misura di flusso è integrata su un intervallo finito di lunghezze d’onda/frequenze
Filtri fotometrici
Filtro λ (max)
[nm]∆λ (range)
[nm]
U 350 70
B 435 100
V 555 80
R 680 150
I 800 150
• Diversi sistemi fotometrici (“filtri standard”) sono stati sviluppati in diversi osservatori�Trasformazioni da un sistema all’altro necessarie per confrontare
le osservazioni
∫∞
⋅=0
)(~ λλλ dbPb
Pλ
Visibile-IR
Relazione colore – temperatura
La misura del picco di blackbody consente di stimare la temperatura superficiale di una stella
max
0.29[K]
[cm]T
λ=
Problema: Non è agevole misurare l’intero spettro di blackbody
1λ 2λ
Misure di flusso a in 2 bande di frequenza ci danno sufficienti informazioni
• Definiamo indice di colore corrispondente a λ1 e λ2 la differenza di magnitudini
12 1 10
2
( )2.5log
( )
bm m
b
λλ
− =ɶ
ɶ
Indice di colore
11 2
2
( , )( , , )
( , )
I TT
I T
λξ λ λλ
=
• Per un corpo nero basta misurare il rapporto di flusso a 2 lunghezze d’onda per determinare T
Dal colore alla temperatura
1e
12),(
/5
2
−=
kThc
hcTI λλ
λ
2
1
5 /2
/1
e 1
e 1
hc kT
hc kT
λ
λλλ
−= − MisuratoOgni quantità è nota tranne T
� Ricavo la temperatura T
Indici di colore
102.5log [ ( ) / ( )]B VB V b bλ λ− = − ɶ ɶ
Sole
Betelgeuse
Bellatrix
0B Vb b B V> → − <
0B Vb b B V< → − >
Stelle calde
Stelle fredde