2. Problemi unidimensionali

44

2. Problemi unidimensionali

Per i sistemi meccanici unidimensionali costituiti da un punto soggetto a forza posizionale,e possibile costruire esplicitamente la soluzione mediante quadrature. Per altri sistemi,come il punto in un campo di forze centrali, la riduzione unidimensionale e consentitadalle proprieta di simmetria.Le orbite nel piano delle fasi sono le curve di livello dell’integrale primo del moto, che el’energia meccanica. L’analisi delle orbite, attraverso l’integrale primo, si estende anche aquei sistemi non meccanici, definiti da un generico campo vettoriale nel piano delle fasi,cui si possa associare una forma differenziale esatta.Partendo dall’integrale primo si determina la legge oraria per il moto come collezione disoluzioni locali, costruite, con il metodo di separazione delle variabili, tra successivi puntidi inversione.Si considerano i sistemi conservativi, costituiti da un punto materiale che si muove suuna retta sotto l’azione di una forza posizionale. Per essi si analizzano, nello spazio dellefasi, i punti di equilibrio (critici) e la topologia delle orbite nel loro intorno, mostrandol’equivalenza con un sistema lineare, e si delinea la costruzione qualitativa del ritratto difase.Per le orbite chiuse, su cui il moto e periodico, si introducono le azioni e le coordinateangolari, che trasformano l’orbita in un cerchio percorso con velocita angolare costante.Questo e possibile perche le trasformazioni conservano le aree, contrariamente ad altreparametrizzazioni dell’orbita. Si illustrano infine esempi di sistemi piani, come l’equazionedi Volterra, indicando le condizioni per l’esistenza di orbite chiuse.

c©88-08- 9820 2.1. Piano delle fasi 45

2.1. PIANO DELLE FASI

Se le componenti della forza F dipendono solo dalle coordinate e velocita omologhe, si haun moto unidimensionale indipendente lungo ogni asse. Se il campo di forze e centraleF(r) = F (r)r/r il moto nella variabile radiale r = ‖r‖ e ancora unidimensionale, vedicapitolo 3.

Equazioni di evoluzione

Per un sistema meccanico unidimensionale lo spazio delle fasi ha dimensione due e laequazione del moto si scrive nella forma

dx

dt= Φ(x), (2.1.1)

dove il vettore x ed il campo Φ sono rappresentati da

x =

x

v

, Φ =

v

f(x, v)

(2.1.2)

La prima componente di Φ e la velocita v, la seconda e il campo di accelerazione f ; le lineedi forza di Φ sono le le orbite del sistema.

Particella non relativistica. Nel caso di una forza posizionale F (x) dalla seconda leggemv = F (x) segue

f = m−1F (x) (2.1.3)

Particella relativistica. Dalla equazione del moto relativistica

d

dt

mv√

1− v2

c2

= F (x) (2.1.4)

segue che la accelerazione e

f = m−1

(

1− v2

c2

)3/2

F (x) (2.1.5)

Forza dissipativa. Dipende soltanto dalla velocita F (v) ed ha potenza negativa vF (v) < 0poiche ostacola il moto e dissipa energia

f = m−1F (v) (2.1.6)

Sistemi autonomi piani. I sistemi meccanici unidimensionali con forze stazionarie rientranonella classe piu generale dei sistemi autonomi piani le cui equazioni del moto si scrivono

x = Φx(x, y), y = Φy(x, y) (2.1.7)

46 2. Problemi unidimensionali c©88-08- 9820

dove indichiamo con (x, y) anziche x, v le coordinate dello spazio delle fasi. La secondacoordinata infatti e la velocita soltanto se x = y vale a dire se Φx(x, y) = y. Esempisignificativi di sistemi autonomi di origine non meccanica sono la equazione di Volterraper il sistema preda predatore e l’equazione per la propagazione di una epidemia, che sonotrattate alla fine di questo capitolo.

Integrale primo

La soluzione del sistema di equazioni (2.1.7) nel piano delle fasi si ottiene costruendol’integrale primo del moto, cioe una funzione H(x, y) definita sullo spazio delle fasi, cheassume valore costante su ogni orbita x = x(t), y = y(t). Tale valore E e fissato dal puntoiniziale (x(0), y(0)) dell’orbita, che risulta definita implicitamente dalla equazione

H(x, y) = E (2.1.8)

Le orbite sono le curve di livello della funzione z = H(x, y), il cui grafico e una superficie inR

3. La prima condizione perche H sia un integrale primo e che gradH sia perpendicolarea Φ, la seconda e che sia globalmente definita su un dominio D (che puo essere l’interopiano) invariante rispetto alla evoluzione St(D) = D.

dH

dt= Φx

∂H

∂x+ Φy

∂H

∂y= 0 (2.1.9)

La ortogonalita e soddisfatta se esiste una funzione c(x, y), detta fattore integrante, taleche

gradH ≡ ∂H

∂x= c(x, y)

−Φy

Φx

(2.1.10)

dove la funzione c(x, y) e determinata dalla condizione che la forma differenziale

dH = −c(x, y)Φy(x, y)dx+ c(x, y)Φx(x, y)dy (2.1.11)

sia chiusa. Tale condizione si scrive

∂

∂y(−cΦy) =

∂

∂x(cΦx) (2.1.12)

o nella forma equivalentediv (cΦ) = 0 (2.1.13)

Affinche la funzione H sia globalmente definita, e costituisca l’integrale primo del sistemaoccorre che non vi siano punti singolari, vale a dire che la forma differenziale sia esatta.Supposto che cio accada, la funzione H si determina integrando la forma differenziale daun punto (x0, y0) al punto (x, y) lungo una spezzata coi lati paralleli agli assi coordinati.Invertendo la (2.1.10) si ha

Φ = c−1(x, y)

∂H

∂y

−∂H∂x

(2.1.14)


Il fattore integrante e costante se Φ ha divergenza nulla div Φ = 0. Se invece il rapportoΦy/Φx si fattorizza

Φy(x, y)

Φx(x, y)=f(x)

g(y), (2.1.15)

scelto c(x, y) = f(x)/Φy = g(y)/Φx la forma differenziale e data da

dH = −f(x)dx+ g(y)dy (2.1.16)

Singolarita. Se la forma differenziale (2.1.11) e chiusa ma non esatta, per la presenza di singolarita, la

funzione H non e piu ad un sol valore, perche cambia a seconda dei percorsi fatti attorno alle singolarita.

In questo caso H=E definisce le orbite solo localmente e non e un integrale primo. Nel caso in cui vi siano

linee di singolarita e H sia definita su domini connessi disgiunti, si puo ancora definire H come integrale

primo; i percorsi che non attraversano le singolarita appartengono a ciascuna componente connessa, come

le orbite del sistema. Come esempio consideriamo i campi vettoriali lineari. Se Φ=(λx,µy), scelto (xy)−1

come fattore integrante, la forma chiusa −µx−1dx+λy−1dy e il differenziale di

H(x,y)=λ log |y|−µ log |x|

Gli assi x,y sono linee di singolarita ed H e univocamente definita su ciascun quadrante privato degli assi,

cui appartiene ogni singola orbita. Il risultato si estende ai campi Φ=Lx se L ha autovalori reali distinti.

Un campo che non ammette integrale primo, inteso come una funzione regolare globalmente definita, e

Φ=(λx+ωy,λy−ωx). Scelto 2(x2+y2)−2 come fattore integrante, la forma differenziale (2.1.11) si scrive

dH=2ω xdx+ydy

x2+y2 +2λ −ydx+xdy

x2+y2

e risulta singolare nell’origine, che e il punto critico del campo. Il primo contributo e una forma esatta,

il secondo una forma chiusa con circolazione 2π, vedi (1.9.14). Quindi H=ω log(x2+y2)+2λarctan (y/x)

e solo localmente definito. Il risultato appare chiaro passando in coordinate polari, vedi (3.15): le

equazioni del moto diventano r=λr, φ=−ω e scelto 2r−1 come fattore integrante si ha funzione H si

scrive H=2ω log r+2λφ. Questa non e piu ad un solo valore (tranne se λ=0), perche aumenta di 2π ad ogni

giro attorno all’origine. Il significato dinamico e chiaro: le orbite sono spirali che diventano cerchi per λ=0.

Considerazioni analoghe si applicano all’equazione x=Lx se L ha autovalori complessi. L’integrale primo

non e unico: infatti se F (x) e una funzione invertibile definita su IR anche F (H(x,y)) e un integrale primo,

che corrisponde ad una diversa scelta del fattore integrante.

Sistemi meccanici

Per i sistemi meccanici unidimensionali l’integrale primo H e l’energia totale se la forzaapplicata e posizionale; se la forza e dissipativa l’ integrale primo H e ancora definito madiverso dall’energia.

Particella non relativistica. Se la forza e posizionale F (x), la divergenza del campo Φ enulla: divΦ = 0 e scelto c = m (il fattore integrante e costante), la forma differenziale

dH = −F (x)dx+mvdv (2.1.17)


e esatta e l’integrale primo e l’energia meccanica

H(x, v) =1

2mv2 + V (x), V (x) = −

∫ x

F (x′)dx′ (2.1.18)

Particella relativistica. Scelto m(1 − v2/c2)−3/2 come fattore integrante, l’integrale dellaforma differenziale definita nella striscia |v| < c

dH = −F (x)dx+

(

1− v2

c2

)−3/2

mvdv (2.1.19)

e l’energia relativistica della particella.

H(x, v) =mc2

√

1− v2

c2

−mc2 + V (x) (2.1.20)

il cui limite non relativistico c→∞ e (2.1.18).

x

v

x

v

Figura 2.1.1. Traiettorie: punto soggetto a forza elastica (lato sinistro), dissipativa lineare (lato destro).

Forza dissipativa F (v). Scegliendo −m/F (v) come fattore integrante, la forma differenziale

dH = dx− mv

F (v)dv (2.1.21)

ha come integrale

H(x, v) = x−m∫ v v′

F (v′)dv′ (2.1.22)

Poiche F (0) = 0, il fattore integrante e singolare su tutto l’asse x. La funzione H, chein questo caso non e l’energia meccanica, risulta definita separatamente nel semipianosuperiore ed in quello inferiore, nei quali si hanno due distinte famiglie di orbite. La figura2.1.1 mostra le traiettorie nello spazio delle fasi di un oscillatore armonico F = −kx (latosinistro) e di un punto soggetto a forza dissipativa lineare F (v) = −mβv (lato destro), peri quali si ha H = mv2/2 + kx2/2 e H = x+ v/β rispettivamente.


Invertibilita, legge oraria

L’equazione dell’orbita H(x, y) = E definisce implicitamente la funzione y = y(x,E),nell’intorno di ogni punto (x0, y0) in cui ∂H/∂y 6= 0, secondo il teorema di Dini. Analoga-mente la funzione x = x(y, E) e definita nell’intorno dei punti (x0, y0) in cui ∂H/∂x 6= 0.I punti nel cui intorno y = y(x,E) non e definita sono quelli in cui in gradiente di H eorizzontale (∂H/∂y = 0), i punti nel cui intorno non e definita x = x(y, E) sono quelli incui il gradiente e verticale. Se ad esempio H = y2 − x allora il gradiente (−1, 2y) di H eorizzontale nel punto (−E, 0).

x

y

x x

y y

P0

Φ

Φ

P0

Φ

P0

Figura 2.1.2. Condizioni di invertibilita. Se Φx=0, e definito x=x(y) (in alto a sinistra). Se Φy=0, e

definito y=y(x) (in alto a destra). Se Φx 6=0, Φy 6=0, sono definiti y=y(x) e x=x(y) (in basso).

In un suo intorno x = y2 − E e univocamente definita mentre si hanno due soluzioniy = ±(E+x)1/2 per ogni x. Se H = x2− y i ruoli di x e y si scambiano. Un altro esempiosignificativo e dato da H = x2 + y2: le traiettorie H(x, y) = E sono cerchi, i punti congradiente orizzontale (±E1/2, 0) quelli a gradiente verticale (0,±E1/2).

Poiche il campo Φ e ortogonale al gradiente di H la funzione y(x,E) risulta definitanell’intorno dei punti che non hanno tangente verticale, x(y, E) di quelli che non hannotangente orizzontale: la figura 2.1.2 si riferisce alle traiettorie H = x2 + y2 = E del campoΦ = (2y,−2x).

Se (x0, y0) e un punto nel cui intorno y(x,E) e definita cioe Φx(x0, y0) 6= 0, allora la legge


oraria x = x(t) si ottiene integrando la equazione differenziale del primo ordine

dx

dt= Φx(x, y(x,E)) (2.1.23)

mediante il metodo di separazione delle variabili, che verra discusso nel paragrafo seguente.La soluzione x = x(t) e localmente definita, poiche y(x,E) e univoca fintanto che Φx(x, y) 6=0. Per ottenere una soluzione globale occorre raccordare le soluzioni locali, con un proced-imento che verra illustrato nei prossimi paragrafi. Se e definita x = x(y, E) la legge orariay = y(t) si ottiene integrando

dy

dt= Φy(x(y, E), y) (2.1.24)

e risulta definita fintanto che Φy(x, y) 6= 0.

Un sistema meccanico non relativistico con forza posizionale definisce v = v(x,E) tramite(2.1.18) nell’intorno di ogni punto (x0, v0) in cui v0 6= 0 e la legge oraria e definita da

dx

dt= v(x,E) (2.1.25)

fintanto che v(x,E) 6= 0.

Punti critici

Si definiscono punti critici xc = (xc, yc) quelli in cui il campo vettoriale si annulla.

Φ(xc, t) = 0, ∀t ∈ R (2.1.26)

I punti critici sono orbite del sistema, poiche x(t) = xc e soluzione della equazione del moto.I punti critici determinano la struttura del campo vettoriale e quindi delle traiettorie. Unpunto critico e anche punto di stazionarieta, cioe un massimo o un minimo o un punto asella, per la funzione H ( il suo grafico z = H(x, y) e una superficie in R

3, le cui curvedi livello sono le traiettorie). Nell’intorno di un punto critico la equazione H(x, y) = E,dove E = H(xc, yc), puo avere piu di una soluzione. Si consideri ad esempio H = y2 − x2

corrispondente al campo Φ = (y, x); la equazione y2 − x2 = 0 non definisce una bensı duesoluzioni y = ±x.Per un sistema meccanico i punti critici sono xc = (xc, 0) dove xc e il punto di equilibriodella forza

F (xc) = 0, → V ′(xc) = 0 (2.1.27)

Se V ha un minimo in xc si dice che xc e un punto di equilibrio stabile, se ha un massimo sidice che xc e un punto di equilibrio instabile. Nel primo caso la funzione H(x, v) ha un min-imo nel secondo caso ha una sella nel punto critico (xc, 0), che vien detto rispettivamenteellittico ed iperbolico.

c©88-08- 9820 2.2. Equazioni separabili 51

2.2. EQUAZIONI SEPARABILI

Si dice che la equazione differenziale

dx

dt= β(x)α(t) (2.2.1)

e separabile perche la fattorizzazione della dipendenza da x e t consente di ricondurne aquadrature la soluzione. Indicando con xc il punto critico, β(xc) = 0 con B(x) e A(t)primitive di 1/β(x) e di α(t),

B(x) =

∫ x dx′

β(x′), A(t) =

∫ t

α(t′)dt′ (2.2.2)

la soluzione del problema ai valori iniziali x(t0) = x0 e definita come segue

Proposizione. Se β(x) e continua in un intorno di x0 6= xc e se α(t) e integrabile, alloraesiste un intorno di t0 in cui l’equazione (2.2.1) con condizione iniziale x(t0) = x0 ammetteuna soluzione data in forma implicita da

B(x)− B(x0) = A(t)−A(t0) (2.2.3)

Se x(t0) = xc la soluzione e x(t) = xc.

La continuita impone che sia β(x) 6= 0 in un intorno di x0 e quindi B(x) e ivi definito.La (2.2.3) definisce x = x(t) implicitamente in un intorno di x0 poiche dB/dx = 1/β(x)e non nulla in x = x0. Cio e assicurato dalle ipotesi del teorema in quanto 1/β(x) puoannullarsi in x0 solo se β(x) e ivi singolare, ad esempio β(x) = |x − x0|−α con α > 0.La funzione x = x(t) definita implicitamente da (2.2.3) soddisfa la condizione iniziale edanche l’equazione (2.2.1); infatti derivando la (2.2.3) rispetto a t si ha

dB

dxx =

dA

dtcioe

x

β(x)= α(t) (2.2.4)

Unicita. Le condizioni date sopra non assicurano l’unicita. Consideriamo ad esempio laequazione x = x2 la cui soluzione e x(t) = x0[1−x0(t−t0)]−1, definita per t < t∗ = t0+1/x0

se x0 6= 0, e x(t) = 0 se x0 = 0. Il limite x0 → 0 mostra che la soluzione e unica, vedi anche

figura 2.2.1. La equazione x = x1/2 ha soluzione x(t) = [x1/20 + (t − t0)/2]2 se x0 6= 0 e

x(t) = 0 se x0 = 0. La soluzione non e unica, perche prendendo il limite x0 → 0 si si trova


x

xx

t−t t−t

x0

0t*

0

0

Figura 2.2.1. Soluzione per x=xα con α>1 (lato sinistro), e limite x0→0, (t∗→∞) ( lato destro).

che x(t) = (t − t0)2/4 e soluzione con x(t0) = 0, vedi figura 2.2.2. La unicita e garantitasolo se la derivata di β(x) e continua, come nel caso di x2, vedi paragrafo 13.1.

Piu in generale consideriamo l’equazione dx/dt=βxα con α>0, β>0 e x∈IR+, la cui a soluzione e data da

x(t)=

[x1−α0 +(1−α)β(t−t0)]

11−α per α6=1

x0eβ(t−t0) per α=1

Per α>1 la soluzione e definita per t−t0<t∗=x1−α0 [β(α−1)]−1 poiche in t−t0=t∗ presenta una singolarita.

Si noti che per x0→0 si ha t∗→+∞ e x(t)→0, e pertanto la soluzione nulla e unica. Invece per α<1 la

soluzione e sempre definita per t−t0>0 e nel limite x0→0 si ha x(t)→[(1−α)β(t−t0)]1/(1−α). La condizione

iniziale x0=0 presenta una nuova soluzione accanto alla soluzione nulla. La perdita di unicita e dovuta alla

non continuita in 0 della derivata di xα; infatti αxα−1 diverge in x=0 se α<1.

xx

0x

t−t 0 t−t 0t*

Figura 2.2.2. Soluzione per x=xα con α<1 (lato sinistro), e limite x0→0, (t∗→0) (lato destro).

Equazione lineare

Se l’ equazione e lineare si puo scrivere la soluzione generale anche in presenza di un terminenon omogeneo

dx

dt= xα(t) + g(t) (2.2.5)

La soluzione della equazione omogenea e data da

x(t) = x(t0) eA(t)−A(t0), A(t) =

∫ t

α(t′)dt′ (2.2.6)

c©88-08- 9820 2.3. Esempi di campi vettoriali 53

Ponendo x(t) = w(t)eA(t)−A(t0) si trova che w(t) soddisfa l’equazione

dw

dt= e−A(t)+A(t0)g(t) (2.2.7)

con la stessa condizione iniziale w(t0) = x(t0). La soluzione per x(t) diventa

x(t) = x(t0)eA(t)−A(t0) +

∫ t

t0

eA(t)−A(t′)g(t′)dt′ (2.2.8)

Se prendiamo ad esempio α(t) = −(t + 1)−1 e g(t) = cos t e t0 = 0 la soluzione e x(t) =x(0)(1 + t)−1 + sin t+ (cos t− 1)(1 + t)−1.

2.3. ESEMPI DI CAMPI VETTORIALI

Le linee di forza di un campo vettoriale autonomo Φ sono le traiettorie della equazionex = Φ. La rappresentazione grafica del campo Φ = (y, f(x, y)), si realizza associando adogni punto P = (x, y) il punto P ′ = (x+ y, y+ f(x, y)) e tracciando il segmento orientatodi estremi P, P ′. Per ogni punto P appartenente ad una retta parallela all’asse y il puntoP ′ si costruisce con uno spostamento orizzontale fino ad incontrare il punto Q = (x+ y, y)sulla bisettrice tra la retta e l’asse x ed uno spostamento verticale di f(x, y), come mostrala figura 2.3.1. Se f = f(y) il campo e invariante per traslazione lungo x.

x

P ’

P ’

P

P ’

x

y

Q

P ’

Q Q

PQ

P

P

y

Figura 2.3.1. Costruzione del campo di vettori Φ=(y,β y) (lato sinistro) e Φ=(y,f(x)) (lato destro).

Forze posizionali

Analizziamo i campi vettoriali corrispondenti alle forze posizionali piu significative per lafisica.


i) Forza nulla F = 0 V = 0

L’integrale primo H = mv2/2 e l’energia cinetica. Le traiettorie nello spazio delle fasi sonorette orizzontali, vedi figura 2.3.2, e la legge del moto e x(t) = x0 + v0t, v(t) = v0

xx

v v

Figura 2.3.2. Campo Φ=(v,0) (lato sinistro); campo Φ=(v,g) (lato destro) e corrispondenti traiettorie.

ii) Forza costante F = mg V = −mgx

L’integrale primo e H(x, v) = 12mv2 −mgx, le traiettorie nel piano di fase sono parabole,

vedi figura 2.3.2, e la legge del moto e v = v0 + gt, x = x0 + v0t+ 12gt

2.

iii) Forza esponenziale F = ke−x V = ke−x

le traiettorie nello spazio delle fasi hanno asintoti orizzontali, vedi figura 2.6.4 a pagina 71.Infatti per |x| >> 1 la forza e trascurabile ed il moto e quello di una particella libera.

iv) Oscillatore armonico F = −kx V = k2x

2

Le orbite sono ellissi di semiassi (2E/k)1/2, (2E/m)1/2, vedi figura 2.5.1 a pagina 63 ed ilmoto e periodico.

v) Oscillatore iperbolico F = kx V = −k2x2

le orbite sono iperboli, vedi figura 2.5.3 a pagina 66 e non si hanno moti limitati, tranneche su uno degli asintoti.

vi) Oscillatore cubico F = −x+ x2 V = x2

2 −x3

3

Per E < 1/6 si ha un’orbita chiusa ed una aperta, mentre per E > 1/6 c’e solo un’orbitaaperta, vedi figura 2.8.1 a pagina 76. L’orbita con E = 1/6 e detta separatrice.

vii) Oscillatore quartico F = x− x3 V = −x2

2 + x4

4

Per E < 0 si hanno due orbite chiuse simmetriche, per E > 0 una sola orbita chiusa el’orbita con E = 0 e detta curva separatrice, vedi figura 2.8.2 a pagina 78.

vii) Pendolo F = − sinx V = 1− cosx

c©88-08- 9820 2.3. Esempi di campi vettoriali 55

Si hanno orbite chiuse per E < 2, orbite aperte per E > 2 e la curva separatrice per E = 2,vedi figura 2.8.3 a pagina 79. Data la periodicita in x del potenziale se si identificano ipunti le cui ascisse differiscono per multipli interi di 2π, lo spazio delle fasi diventa uncilindro, sul quale tutte le orbite sono chiuse.

viii) potenziale kepleriano F = −x−2 + x−3 V = −x−1 + 12x

−2

Per E < 0 le orbite sono chiuse, per E > 0 aperte, vedi figure 2.6.5 a pagina 71. Nelproblema del campo centrale, lo spazio delle fasi e il semipiano x > 0.

Forze dissipative

La forza dissipativa che agisce su un corpo che si muove in un mezzo resistente e data da

F(v) = − v

‖v‖β(‖v‖) (2.3.1)

dove β > 0: la potenza della forza W = v ·F e negativa e l’energia cinetica decresce con t,per il teorema delle forze vive. Se non vi sono altre forze il moto e unidimensionale: infattila equazione v = F ammette soluzione v = vn dove n e un versore costante nella direzionedella velocita iniziale. Scelto l’asse x nella direzione di n le equazioni del moto sono

x = v, mv = − v

|v|β(|v|) (2.3.2)

L’integrale primo del moto definito da (2.1.22) diventa

H(x, v) = x+m

∫ v |v′|β(|v′|)dv

′ (2.3.3)

Gli studi balistici mostrano che la legge empirica β(v) per la resistenza dell’aria su diun proiettile, (cilindro sormontato da un cono) e lineare per basse velocita fino a 30 m/s,quadratica per velocita intermedie fino a 300 m/s, lineare per velocita superiori, vedi figura2.3.3. Per una sfera di raggio R che si muove in un fluido di densita ρ e viscosita η si hauna legge lineare per basse velocita, quadratica per velocita intermedie. Piu precisamentenei due regimi, noti come legge di Stokes e di Newton, si ha

β(v) =

6πηRv N Re < 1 Stokes

0.22πR2ρv2 700 < N Re < 5000 Newton(2.3.4)

dove 0.22 e un numero puro e N Re e un parametro adimensionale detto numero diReynolds

N Re = 2R |v| ρη

(2.3.5)


100 200 3001 10 10 10

2 4 6

1

102

β (v)

NRe

v

D

Figura 2.3.3. Funzione balistica β(v) (lato sinistro), coefficiente di drag D per la sfera (lato destro).

La legge fenomenologica si esprime nella forma β(v)=πR2 12 ρv2D(N−1

Re) dove D e il coefficiente di drag

(trascinamento). Nel caso di una legge di potenza D=c0Nα−2

Reabbiamo β(v)=β0 |v|α La curva empirica

per D e approssimabile interpolando tra la legge di Newton D=0.44 e di Stokes D=24 N−1

Re. In scala

bilogaritmica queste leggi diventano due rette, tratteggiate nella figura 2.3.3, e la curva empirica, a tratto

continuo, e approssimale con l’iperbole che ha le due rette come asintoti.

Nel caso di una legge di potenza β(v) = β0|v|α la funzione H, definita separatamente nelsemipiano superiore ed inferiore, e data da

H = x+v

β

|v|1−α

2− α , α 6= 2, H = x+1

β

v

|v| log |v|, α = 2 (2.3.6)

dove β = β0/m. Per α = 1 le traiettorie sono rette e la legge del moto e

v = v0e−βt, x = x0 +

v0β

(

1− e−βt)

(2.3.7)

mentre per α = 2 si ha

v =v0

1 + β|v0|t, x = x0 +

v0|v0|β

log(1 + β|v0|t) (2.3.8)

Moto di un grave in un mezzo viscoso. Se F = −mβv + mg, scelto (βv − g)−1 comefattore integrante, l’integrale primo del moto, definito nei due semipiani separati dallaretta v = g/β diventa

H(x, v) = x+v

β+

g

β2log |βv − g| (2.3.9)

e la legge del moto e data da

v =g

β+

(

v0 −g

β

)

e−βt, x = x0 +g

βt+

1

β

(

v0 −g

β

)

(1− e−βt) (2.3.10)

c©88-08- 9820 2.4. Legge oraria 57

2.4. LEGGE ORARIA PER FORZE POSIZIONALI

L’integrale primo dell’energia definisce globalmente le orbite di un punto soggetto a unaforza posizionale

H(x, v) = mv2

2+ V (x) = E (2.4.1)

e localmente puo essere esplicitata nella forma v = v(x,E) nell’intorno del punto (x0, v0)con v0 6= 0. Risolvendo rispetto a v otteniamo due soluzioni, una per ciascun segno dellaradice quadrata, che corrispondono ai due rami dell’orbita nel semipiano superiore edinferiore. Il dato iniziale (x0, v0) equivale alla coppia (x0, E) se si aggiunge il segno di v0;infatti per ogni x0, E si hanno due punti nello spazio delle fasi, uno per ciascun verso dellavelocita iniziale. Se nel punto iniziale la velocita e nulla v0 = 0, il segno di v per t > 0 efissato da V ′(x0) poiche mv(0) = −V ′(x0).

x

x x x x xx

v

y

V(x)

1 2 3 4 5

E

Figura 2.4.1. Punti di inversione (in alto), orbite corrispondenti (in basso).

Definizione. I punti xk(E) in cui le orbite H(x, v) = E, di energia E assegnata, interse-cano l’asse x, si dicono punti di inversione. In questi punti la velocita si annulla e l’energiapotenziale e uguale alla energia totale.

v(xk, E) = 0, ←→ V (xk) = E, k = 1, 2, . . . (2.4.2)

La figura 2.4.1 mostra i punti di inversione per un potenziale V (x) ed una assegnata energiaE insieme con le corrispondenti orbite nel piano delle fasi. Nei punti di inversione si perdel’invertibilita rispetto a v poiche ∂H/∂v = mv si annulla. Se in questi punti si annullaanche ∂H/∂x = V ′(x) il gradiente di H si annulla e quindi si annulla il campo vettoriale


Φ, che e proporzionale al gradiente di H ruotato di π/2

Φ(x) = m−1

∂H∂v

−∂H∂x

(2.4.3)

Definizione. Un punto di inversione si dice critico se coincide con un punto di staziona-rieta del potenziale.

V (xk) = E, V ′(xk) = 0 (2.4.4)

Se il potenziale ha un massimo nel punto critico, le orbite definite da H(x, v) = Ec ≡ V (xc)si dicono curve separatrici. Il corrispondente punto critico xc = (xc, 0) dello spazio dellefasi e un punto di stazionarieta della funzione H(x, v). La figura 2.4.2 mostra un un puntodi inversione critico xc per l’energia Ec = V (xc) e la curva separatrice nello spazio dellefasi. Ogni orbita ha le seguenti proprieta geometriche,

i) simmetria rispetto all’asse xii) tangente verticale nei punti di inversione non critici

La proprieta i) vale poiche H(x, v) e funzione pari di v, la ii) poiche la prima componentedi Φ e v.

x

v

V(x)

Ec

x xc

y

Figura 2.4.2. Punto di inversione critico (in alto), orbita corrispondente (in basso).

Per un valore fissato della energia si possono avere una sola orbita oppure un numerofinito o infinito di orbite. Ad esempio i punti di inversione, dati dalle soluzioni (2.4.4)della equazione V (x) = E, sono al piu g se V (x) e un polinomio di grado g, nessunoo infiniti se V (x) e una funzione periodica come cos(x). Per una fissata energia sianox1 < x2 < . . . < xg i punti di inversione non critici con V ′(x1) < 0: se g e pari si hannog/2 intervalli [x1, x2], [x3, x4], . . . , [xg−1, xg] ove V (x) < E ed in ciascuno di essi una distintaorbita chiusa. Se g e pari e V ′(x1) > 0, si hanno g/2− 1 intervalli [x2, x3], . . . , [xg−2, xg−1]con orbite chiuse e due intervalli ] − ∞, x1], [xg,+∞[ con orbite aperte. Se g e disparisi hanno (g − 1)/2 intervalli con orbite chiuse e un intervallo con orbita aperta. Questa

c©88-08- 9820 2.4. Legge oraria 59

classificazione si estende al caso in cui sia presente un punto critico considerandolo comelimite di due punti di inversione contigui.

L’analisi si estende senza difficolta al caso generale di un sistema autonomo Φ=(Φx(x,y),Φy(x,y)) di cui si

sia determinato l’integrale primo H(x,y) tramite un opportuno fattore integrante.

Chiamiamo punti di inversione (xk,yk) quelli in cui ∂H/∂y=0; essi sono critici se anche ∂H/∂x=0.

Nei punti di inversione la tangente alla curva e verticale ma la simmetria rispetto all’asse x, e sostituita

da una simmetria locale . Infatti sviluppando H in serie di Taylor al secondo ordine nell’intorno del

punto critico si ha x=xk − 12 (y−yk)2 (∂2H/∂y2)(∂H/∂x)−1+O((y−yk)3) dove le derivate sono calcolate in

(xk,yk).

Legge del moto

Per integrare l’equazione del moto

dx

dt= v(x,E) (2.4.5)

occorre ricordare che l’orbita v = v(x,E) consta di due rami simmetrici rispetto all’asse x;un’orbita puo non intersecare l’asse x o intersecarlo in un punto x1 oppure in due punti;in questo ultimo caso l’orbita e chiusa e corrisponde ad un moto periodico.La soluzione della equazione del moto e espressa in forma implicita

t =

∫ x

x0

dx′

v(x′, E)(2.4.6)

valida fintanto che v(x,E) 6= 0. E conveniente introdurre la funzione

τ(a, b) =

√

m

2

∫ b

a

dx√

E − V (x)(2.4.7)

che da il tempo di percorrenza tra i punti a e b se b > a. Costruiamo la legge del motoconsiderando separatamente il caso in cui abbiano nessuno, uno o due punti di inversione.

Nessun punto di inversione: se E > V (x) per x ∈ R, come nella figura 2.4.3, si ha

t = τ(x0, x) v0 > 0

t = τ(x, x0) v0 < 0

(2.4.8)

Qualunque sia il segno di v0 si ha che t e una funzione monotona di x crescente o decres-cente, la cui inversione fornisce x = x(t), vedi figura 2.4.4.

Un solo punto di inversione non critico. Sia x1 < x0 con V (x1) = E, V ′(x1) < 0.


E

x x

vy

V(x)

x x0 0

Figura 2.4.3. Nessun punto di inversione.

x x t0

0x

xt

Figura 2.4.4. Legge oraria corrispondente.

Se v0 > 0 allora t = τ(x0, x) e una funzione monotona crescente di x; la funzione inversax = x(t) e monotona crescente ed il punto di inversione non e mai raggiunto per t > 0.Se v0 < 0 allora la soluzione t = τ(x, x0) e monotona decrescente di x nell’intervallo [x1, x0]ed il punto di inversione viene raggiunto in un tempo finito t1 = τ(x1, x0).Si noti che per t > t1 la velocita e positiva poiche l’accelerazione e positiva all’istantet = t1 essendo mv(t1) = −V ′(x(t1)) = −V ′(x1) > 0. Scelto t1 come nuovo istante inizialela soluzione successiva data da t− t1 = τ(x1, x), risulta monotona e quindi invertibile perx ≥ x1. La soluzione si scrive nella forma

t =

τ(x, x0) x1 ≤ x ≤ x0 v < 0

t1 + τ(x1, x) x ≥ x1 v > 0(2.4.9)

E utile verificare il risultato sopra ottenuto, seguendo l’orbita nello spazio delle fasi; nelprimo caso v0 > 0 ci muoviamo sempre sullo stesso ramo che non interseca l’asse x; nelsecondo caso v0 < 0 l’asse x viene attraversato nel punto x1, come mostra la figura 2.4.5.La funzione t = t(x) e a un sol valore nel primo caso, a due valori nel secondo, ove presentatangente verticale nel punto (x1, t1), e va quindi costruita in due stadi distinti, vedi (2.4.9);la funzione x = x(t) e ad un sol valore ed ha un minimo x = x1 in t = t1, vedi figura 2.4.6.

Proposizione. Se V (x1) = E con V ′(x1) 6= 0 e V ′(x) e continua, il tempo di transitofino al punto di inversione t1 = τ(x1, x0) e finito.

Supponiamo dapprima che V ′(x) < 0 in tutto l’intervallo [x1, x0] ed indichiamo con mgil minimo di −V ′(x) in questo intervallo. Usando lo sviluppo di Taylor al primo ordine

c©88-08- 9820 2.4. Legge oraria 61

x x x xx x

vy

E

V(x)

01 1 0

Figura 2.4.5. Un punto di inversione.

x x t tx1 0

x

t1

1

0

1

t

x

x


si ha E − V (x) = V (x1) − V (x) = −V ′(ξ)(x − x1) ≥ mg(x − x1) poiche ξ ∈ [x1, x]. Set = τ(x, x0) e t1 = τ(x1, x0) il tempo di percorrenza da x a x1 e dato da

t1 − t = τ(x1, x) ≤1√2g

∫ x

x1

dx′√x′ − x1

=

√

2

g

√x− x1 (2.4.10)

Da questa disuguaglianza segue che t1 = τ(x1, x0) ≤ [2(x0 − x1)/g]1/2 e finito e che

x ≥ x1 + g(t1− t)2 /2. Se V ′(x) si annulla in [x1, x0], considerando l’ intervallo [x1, x∗] oveV ′(x) e negativo, si vede che τ(x1, x∗) e finito.

Moti periodici. Consideriamo il caso, rappresentato in figura 2.4.7 in cui vi siano duepunti di inversione non critici x1 e x2 > x1. Supponendo che v0 < 0 la soluzione e


t =

τ(x, x0) x1 < x ≤ x0 v < 0

t1 + τ(x1, x) x1 < x < x2 v > 0

t2 + τ(x, x2) x0 ≤ x ≤ x2 v < 0

(2.4.11)

dove t1 = τ(x1, x0), t2 = t1 + τ(x1, x2) hanno un valore finito. In ciascuno dei tre inter-valli definiti in (2.4.11) la funzione t(x) e monotona e quindi invertibile; cio permette lacostruzione di x = x(t). All’istante t = T definito da

T = t2 + τ(x0, x2) = τ(x1, x0) + τ(x1, x2) + τ(x0, x2) = 2τ(x1, x2) (2.4.12)

si ritorna nel punto iniziale dello spazio delle fasi x(T ) = x(0), v(T ) = v(0). Ne segueche al tempo t+ T la soluzione e la stessa che al tempo t e dunque il moto e periodico diperiodo T

x(t+ T ) = x(t), v(t+ T ) = v(t) (2.4.13)

La figura 2.4.7 mostra il potenziale V (x), i punti di inversione e l’orbita chiusa nello spaziodelle fasi. La figura 2.4.8 mostra il grafico della funzione a piu valori t = t(x), definita da(2.4.11), e della funzione inversa, a un sol valore e periodica, x = x(t).

x x x x x21 0

x0

x21x

v

E

y V(x)

Figura 2.4.7. Due punti di inversione.

x x x x t t T t

x

x2

1

t2

t1

Txt

1 0 2 1 2

x0


c©88-08- 9820 2.5. Punti critici e potenziali quadratici 63

2.5. PUNTI CRITICI E POTENZIALI QUADRATICI

Abbiamo analizzato finora il moto di un punto sotto l’azione del potenziale V (x) sup-ponendo che i punti di inversione non fossero punti critici del sistema. Quando il puntodi inversione coincide col il punto critico xc distinguiamo due casi. Il potenziale ha unminimo in xc ove V ′′(xc) > 0: la sola soluzione possibile e quella di equilibrio x(t) = xc.Il potenziale ha un massimo V ′′(xc) < 0: oltre alla soluzione di equilibrio x(t) = xc, sonopossibili altre soluzioni con condizioni iniziali x(0) 6= xc e le orbite corrispondenti si chia-mano varieta stabile e instabile del punto critico. Le orbite nell’intorno del punto criticosono topologicamente equivalenti a quelle del potenziale quadratico, come proveremo nelprossimo paragrafo; da questo ha origine la denominazione di ellittico od iperbolico per ilpunto critico corrispondente ad un minimo od un massimo del potenziale.

Oscillatore armonico

Il potenziale quadratico, che definisce l’oscillatore armonico, corrisponde ad una forzalineare attrattiva.

V (x) =k

2x2 =

mω2

2x2 (2.5.1)

Se E = 0, il punto critico coincide con il punto di inversione e la soluzione e quella diequilibrio x(t) = v(t) = 0. Se E > 0 le orbite nello spazio delle fasi sono ellissi i cuisemiassi di lunghezza a, b sono lungo gli assi coordinati, vedi figura 2.5.1.

v2

b2+x2

a2= 1, a =

√

2E

mω2, b =

√

2E

m= ωa (2.5.2)

x x

V(x)y

vE

Figura 2.5.1. Potenziale (lato sinistro) e traiettorie (lato destro) per l’oscillatore armonico V = k2 x2.


La legge del moto e data da (2.4.6) dove v = ±ω√a2 − x2. I due punti di inversione sono

x = ±a e supposto v0 < 0 la soluzione per −a ≤ x ≤ x0 e data da

t = τ(x, x0) = − 1

ω

∫ x

x0

dx√a2 − x2

=1

ω

(

arccos(x/a)− arccos(x0/a))

(2.5.3)

valida per t ≤ t1 = τ(−a, x0), con arccos(x) a valori in ]0, π[. Invertendo troviamo per x ev = dx/dt la seguente espressione

x = a cos(ωt+ α), v = −ωa sin(ωt+ α), α = arccos(x0/a) (2.5.4)

dove a e α sono l’ampiezza e la fase del moto armonico, che nel caso considerato e in ]0, π[,vedi figura 2.5.2. E immediato verificare che

T = 2τ(−a, a) =2π

ω(2.5.5)

e il periodo del moto. Si noti che se costruiamo la soluzione nei due tratti successivi trax = −a e x = a in cui v > 0 e t varia tra t1 e t2 = t1 + T/2 oppure tra x = a e x = x0 incui v < 0 e t varia tra t2 e T , troviamo che dopo l’inversione il risultato e ancora espressoda (2.5.4). Risulta cosı evidente come la periodicita della x(t) implichi una definizione intre stadi distinti della funzione inversa t = t(x) nell’intervallo [0, T ].

α x

v

(x ,v )0 0

Figura 2.5.2. Fase dell’oscillatore armonico.

La soluzione (2.5.4) puo anche essere scritta nella forma

x(t)

v(t)

=

cos(ωt) 1ω sin(ωt)

−ω sin(ωt) cos(ωt)

x0

v0

(2.5.6)

se si sviluppa cos(ωt+α) = cos(ωt) cosα−sin(ωt) sinα e analogamente sin(ωt+α) tenendopresente che da (2.5.4) segue

x0 = a cos(α), v0 = −ωa sinα (2.5.7)

c©88-08- 9820 2.5. Punti critici e potenziali quadratici 65

E conveniente riscrivere la (2.5.6) nella forma(

xv

)

= UR(ωt)U−1

(

x0

v0

)

, U =

(

1√ω

0

0√ω

)

(2.5.8)

dove R e la matrice di rotazione e U−1 la matrice di trasformazione ad un nuovo sistemadi coordinate, in cui le orbite sono dei cerchi anziche ellissi. Infatti dette

x′ ≡

x′

v′

= U−1x (2.5.9)

le nuove coordinate normali, la legge del moto e una semplice rotazione x′(t) = R(ωt)x′(0)e le traiettorie sono cerchi

x′2

+ v′2

=2E

mω(2.5.10)

Oscillatore iperbolico

Il potenziale quadratico, che definisce l’ oscillatore iperbolico, corrisponde ad una forzalineare repulsiva

V (x) = −k2x2 ≡ −mω

2

2x2 (2.5.11)

Quando E = 0 l’origine oltre che punto critico e anche punto di inversione: se x0 = 0 siha la soluzione di equilibrio mentre se x0 6= 0 si hanno orbite rettilinee

v2 − ω2x2 = 0, −→ v = ±ωx (2.5.12)

che prendono il nome di varieta stabile se v = −ωx e di varieta instabile se v = ωx. Lalegge del moto ottenuta integrando dx/dt = ±ωx e infatti

x = x0e±ωt (2.5.13)

Sulla varieta stabile il punto si muove verso l’origine con legge esponenziale mentre sullavarieta instabile si allontana dall’origine con legge esponenziale. Ad E = 0 corrispondono5 orbite distinte, l’origine e 4 semirette.

x x

V(x)

vy

E

Figura 2.5.3. Potenziale (lato sinistro) e traiettorie (lato destro) per l’oscillatore iperbolico V =− k2 x2.


Se E 6= 0 le orbite sono iperboli con asintoti v = ±ωx vedi figura 2.5.3. Se E > 0 non sihanno punti di inversione e l’equazione delle iperboli e data da

v2

b2− x2

a2= 1, a =

√

2E

mω2, b =

√

2E

m(2.5.14)

Se invece E < 0 si hanno due punti di inversione perche le orbite tagliano l’asse x e quindil’equazione degli altri due rami di iperbole e data da

−v2

b2+x2

a2= 1, a =

√

2|E|mω2

, b =

√

2|E|m

(2.5.15)

Nel caso E < 0 con x0 > a, v0 > 0 la legge del moto e

t =1

ω

∫ x

x0

dx√x2 − a2

=1

ω

(

arc ch (x/a)− arc ch (x0/a))

(2.5.16)

Se E > 0 la soluzione e t = ω−1[arc sh (x/a) − arc sh (x0/a)]. Come per l’oscillatorearmonico possiamo riscrivere la soluzione nella forma

x(t)

v(t)

=

ch(ωt) 1ω sh(ωt)

ωsh(ωt) ch(ωt)

x0

v0

= URH(ωt)U−1

x0

v0

(2.5.17)

dove con RH indichiamo la rotazione iperbolica

RH(α) =

(

chα shαshα chα

)

(2.5.18)

e U e definito da (2.5.8). Introducendo le coordinate normali x′ = U−1x le legge del motoe una rotazione iperbolica e le orbite sono iperbole di equazione

x′2 − v′2 = a2ω =

2|E|mω

(2.5.19)

Essendo RH(α) diagonalizzabile con autovalori e±α

RH(α) = W

(

e−α 00 eα

)

W−1, W =1√2

(

1 1−1 1

)

(2.5.20)

se scegliamo x′ = W−1U−1x come coordinate normali, anziche x′ = U−1x, la soluzioneassume una forma particolarmente semplice

x′ = x′0 e−ωt, v′ = v′0 e

ωt (2.5.21)

le traiettorie sono iperboli equilatere con gli assi come asintoti (la trasformazione W e unarotazione di π/4) e l’integrale primo del moto e dato da

x′ v′ =|E|mω

(2.5.22)

c©88-08- 9820 2.6. Topologia delle orbite 67

2.6. TOPOLOGIA DELLE ORBITE

Nell’intorno di un punto critico, usando gli sviluppi di Taylor si puo approssimare il campocon la sua parte lineare oppure l’integrale primo H(x, v) con la sua parte quadratica.Supponendo che V ′′(xc) 6= 0 si ha V ′(x) = V ′′(xc)(x − xc) + O((x − xc)

2), da cui seguel’approssimazione lineare al campo Φ mentre per l’integrale primo si ha

H(x, v) = mv2

2+ V (xc) +

1

2V ′′(xc) (x− xc)

2 + O(

(x− xc)3)

(2.6.1)

Trascurando il resto le orbite sono quelle dell’oscillatore armonico se V ′′(xc) > 0, dell’o-scillatore iperbolico se V ′′(xc) < 0, cioe cerchi ed iperbole equilatere se usiamo coordinatenormali. Questa analisi diventa rigorosa se anziche trascurare il resto si mostra che esisteuna trasformazione di coordinate nell’intorno del punto critico, che muta le orbite in cerchied iperbole.

Sviluppi di Taylor

Lo sviluppo di Taylor di una funzione f(x) ∈ Cn+1 si ottiene a partire dalla funzione restodefinita da

Rn(x) =1

n!

∫ x

x0

(x− t)nf (n+1)(t)dt (2.6.2)

dove f (n)(x) ≡ dnf/dxn. Integrando per parti si ottiene la ricorrenza

Rn−1(x) =(x− x0)

n

n!f (n)(x0) + Rn(x) (2.6.3)

Osservando che per n = 0 la (2.6.2) da R0(x) = f(x) − f(x0), iterando la (2.6.3) esostituendo a R0 il suo valore otteniamo la formula di Taylor

f(x) = f(x0) +n∑

k=1

(x− x0)k

k!f (k)(x0) +Rn(x) (2.6.4)

Poiche la funzione (x− t)n e positiva per t ∈ [x0, x] se x > x0, applicando il teorema dellamedia si ha

Rn(x) =f (n)(ξ)

n!

∫ x

x0

(x− t)ndt = f (n)(ξ)(x− x0)

n+1

(n+ 1)!, ξ ∈ [x0, x] (2.6.5)


Si noti che ξ e una funzione continua di x0 ed x che ha limite x0 per x → x0. Usando lele proprieta degli sviluppi di Taylor possiamo allora provare il seguente risultato

Lemma di Morse. Se V (x) ha derivata seconda continua e se V ′(xc) = 0, V ′′(xc) 6= 0,detto σ il segno di V ′′(xc), in un intorno del punto critico (xc, 0) esiste un cambiamento dicoordinate (x, v)→ (y, u) continuo ed invertibile che trasforma le orbite in cerchi se σ = 1,in iperboli se σ = −1, la cui equazione e

u2 + σy2 = E − V (xc) (2.6.6)

Usando la formula di Taylor scriviamo V (x) = V (xc) + 12V

′′(

ξ(x))

dove ξ(x) ∈ [xc, x] ede continua in x. Sotto le ipotesi fatte esiste un intorno di xc dove σ V ′′(ξ(x)) > 0 e quindipossiamo introdurre la seguente trasformazione, vedi figura 2.6.1

y =√

σ(V (x)− V (xc)) segno (x− xc) u =

√

m

2v (2.6.7)

La trasformazione e invertibile in un intorno del punto critico e V (x) − V (xc) = σy2.Infatti

dy

dx=

σV ′(x)

2√

σ(V (x)− V (xc))segno(x− xc) =

σV ′

2y(2.6.8)

Il limite per x→ xc puo essere calcolato scrivendo 2y = (x− xc)[2σV′′(ξ(x))]1/2 e svilup-

pando V ′(x) in serie di Taylor V ′(x) = V ′′(ξ(x))(x− xc) dove ξ(x) e , ξ(x) sono continueed hanno limite xc per x→ xc

dy

dx

∣

∣

∣

∣

x=xc

= limx→xc

σV ′(x)

2y(x)=

√

σV ′′(xc)

2(2.6.9)

Poiche dy/dx e continua si manterra positiva in un intorno di xc, e dunque la trasformazioneivi e invertibile.

y(x) y(x)V(x)

V(x)

Figura 2.6.1. Andamento della funzione y(x) nel caso di un minimo (lato sinistro) o massimo (lato

destro) del potenziale in xc=0 (V (x)∼x2+x4 ).


Con la trasformazione ora scritta l’integrale primo del moto diventa H = u2 +σy2+V (xc).Le equazioni del moto, che nelle nuove variabili si scrivono

dy

dt=dy

dxv =

σV ′(x(y))

y

u√2m

du

dt=

√

m

2

dv

dt= −V

′(x(y))√2m

(2.6.10)

non hanno una forma semplice contrariamente alla equazione dell’orbita. Si noti che ilcampo vettoriale corrispondente e Φ = (σ V ′/y)(2m)−1/2(u,−σy) ha lo stesso andamentodel campo (u,−σy), con cui condivide l’ integrale primo, se si sceglie (2m)1/2 σy/V ′ comecome fattore integrante. Nel prossimo paragrafo introduciamo trasformazioni nello spaziodelle fasi che rendono semplice sia l’equazione dell’orbita sia la legge del moto.

Moto sulle varieta stabile e instabile

Quando il potenziale ha un punto di massimo V ′′(xc) < 0, le orbite con E = V (xc) sonole varieta stabile e instabile, vedi figura 2.6.2, su cui la legge del moto e esponenziale comeper l’oscillatore iperbolico. Infatti se x0 > xc, v0 < 0 si ha

t =

√

m

2

∫ x0

x

dx′√

E − V (x′)=

∫ x0

x

dx′

x′ − xcψ(x′) (2.6.11)

xx x xc 0 0

V(x) v

xc

Figura 2.6.2. Potenziale con un massimo (lato sinistro), varieta stabile e instabile (lato destro).


dove

ψ(x) =

(

m

2

(x− xc)2

V (xc)− V (x)

)1/2

(2.6.12)

e una funzione di x continua in un intorno di xc con ψ(xc) =[

−m/V ′′(xc)]1/2

se V ′′(x)e continuo. Supponendo percio che x0 sia sufficientemente vicino a xc si possono trovaredue costanti T1, T2 tali che

T1 ≤ ψ(x) ≤ T2

e quindi maggiorando e minorando l’integrale in (2.6.11) si ottiene

T1 logx0 − xc

x− xc≤ t ≤ T2 log

x0 − xc

x− xc(2.6.13)

Invertendo (2.6.13) si trova, vedi figura 2.6.3

xc + (x0 − xc)e−t/T1 ≤ x ≤ xc + (x0 − xc)e

−t/T2 (2.6.14)

dove le due costanti T1 e T2 hanno lo stesso limite T1, T2 → T = [−m/V ′′(xc)]1/2

perx0 → xc.

x

x

t

0

c

x

Figura 2.6.3. Stime (linee tratteggiate) per la legge oraria sulla separatrice (linea continua).

Per ottenere l’andamento qualitativo delle traiettorie nello spazio delle fasi e sufficientecalcolare tutti i punti critici ed usare il Lemma di Morse per costruire le orbite in unintorno. Per raccordare poi le orbite tra loro sara sufficiente notare quanto segue.


x

V(x)

-1 5-1

2

x

v

0 5-2

2

Figura 2.6.4. Potenziale esponenziale V =e−x e traiettorie del suo campo Φ=(v,e−x). Le rette orizzontali

sul lato sinistro corrispondono ai diversi valori di E per i quali sono tracciate le orbite sul lato destro.

Teorema. Nell’intorno di ogni punto non critico (x∗, v∗) esiste un cambiamento di coor-dinate che rettifica le orbite se V (x) ha derivata prima continua.

Se V ′(x∗) 6= 0 e σ e il suo segno, nell’intorno di x∗, cioe σV ′(x) > 0, si considera latrasformazione invertibile

y = σV (x), u =m

2v2 segno (v) (2.6.15)

L’inverso v = (2|u|/m)1/2segno (u) e continuo ma non differenziabile nel punto diinversione. Le orbite sono rette parallele nei semipiani u > 0, u < 0 e la loro equazione e

|u|+ σy = E (2.6.16)

E possibile eliminare il punto angoloso se si considera la trasformazione differenziabiledefinita da y = σV (x) e u = (m/2)1/2v. Le orbite nel piano sono parabole di equazioneu2 + σy = E che, tramite proiezione stereografica sulle tangenti nei rispettivi vertici, sitrasformano in rette. Il lemma di Morse e questo teorema di rettificazione consentono dicostruire ritratto di fase qualitativo per un qualsiasi potenziale, vedi figure 2.6.4 e 2.6.5.

x

V(x)

0 8-0.3

0.6

x

v

0 8-2

2

Figura 2.6.5. Potenziale kepleriano V =−x−1+ 12 x−2 e traiettorie del suo campo Φ=(v,−x−2+x−3).


2.7. COORDINATE AZIONE E ANGOLO

La legge oraria per le orbite chiuse, puo essere determinata evitando i problemi di in-versione, che impongono la costruzione a tratti della soluzione. Tale risultato si ottienepassando ad un sistema di coordinate in cui l’orbita diventa circolare ed il moto su di essauniforme; anche le trasformazioni del lemma di Morse conducono ad orbite circolari, mala legge oraria e qualsiasi. Allo scopo si introducono le coordinate angolo e azione (Θ, J),definite in modo che la trasformazione dalle coordinate originali conservi le aree.

Orbite chiuse e coordinate normali

Consideriamo il piano delle fasi (x, p) anziche (x, v), dove p = mv e la quantita di moto.L’integrale primo diventa H(x, p) = 1

2mp2+V (x) e le equazioni nelle coordinate (x, p) sono

date da

x =∂H

∂p, p = −∂H

∂x(2.7.1)

Consideriamo un nuovo sistema di coordinate (X,P ) nello spazio delle fasi tale che

H(x, p) = H

(

P 2 +X2

2

)

(2.7.2)

Nelle nuove coordinate, dette normali, l’orbita e il cerchio di equazione X2 + P 2 = 2J .La variabile J , detta azione, dipende dalla energia e si ottiene invertendo l’equazioneH(J) = E. Se la trasformazione e X = X(x, p), P = P (x, p), le equazioni del moto nellenuove coordinate diventano

X =∂X

∂xx+

∂X

∂pp =

∂H

∂P

(

∂X

∂x

∂P

∂p− ∂X

∂p

∂P

∂x

)

P =∂P

∂xx+

∂P

∂pp = −∂H

∂X

(

∂X

∂x

∂P

∂p− ∂X

∂p

∂P

∂x

)

(2.7.3)

ed hanno esattamente la stessa forma delle equazioni nelle coordinate iniziali x, p se iltermine tra parentesi tonde vale 1. Le trasformazioni che consideriamo sono di questo tipoe quindi conservano le aree ( il determinante jacobiano della trasformazione vale 1). L’areadell’orbita iniziale e uguale all’area del cerchio che vale 2πJ , e quindi l’azione J vienedefinita come l’area dell’orbita divisa per 2π. Per provare le (2.7.3) usiamo le equazioni(2.7.1) riesprimendo le derivate di H rispetto a x, p attraverso le derivate di H rispetto a

X,P cioe X = ∂X∂x

∂H∂p − ∂X

∂p∂H∂x = ∂X

∂x

(

∂H∂X

∂X∂p + ∂H

∂P∂P∂p

)

− ∂X∂p

(

∂H∂X

∂X∂x + ∂H

∂P∂P∂x

)

.

Scegliendo una trasformazione che conserva le aree le equazioni del moto in coordinatenormali si scrivono

X = Ω

(

P 2 +X2

2

)

P, P = −Ω

(

P 2 +X2

2

)

X (2.7.4)

c©88-08- 9820 2.7. Coordinate azione angolo 73

dove

Ω(J) =∂H(J)

∂J(2.7.5)

La soluzione e data da una rotazione di un angolo Θ = Ω(J)t nello spazio delle fasi X,Psul cerchio di raggio (2J)1/2 poiche Ω e costante sull’orbita. E assai comodo introdurreun nuovo sistema di coordinate costituite dall’angolo Θ sul cerchio e dall’azione J ; latrasformazione da (Θ, J) a (X,P ) definita da

X =√

2J cos Θ, P = −√

2J sin Θ (2.7.6)

conserva le aree come si verifica calcolando il determinante jacobiano o notando che ad unsettore di raggio (2J)1/2 ed angolo Θ nel pianoX,P che ha area JΘ corrisponde nel pianoΘ, J un rettangolo di base Θ ed altezza J . La soluzione delle equazioni del moto e quindiespressa da Θ(t) = Ωt+ Θ(0), J(t) = J(0) e soddisfano le equazioni del moto

Θ =∂H

∂J, J = −∂H

∂Θ= 0 (2.7.7)

poiche H dipende da J e non da Θ.Nel piano (Θ, J) le orbite sono rette orizzontali; i punti la cui coordinata Θ differisce perun multiplo intero di 2π corrispondono allo stesso punto sull’orbita e vanno identificatipoiche Θ e un angolo. Con tale identificazione il piano (Θ, J) diventa un cilindro.

Funzioni a piu valori

Su una curva chiusa di equazione H(x, p) = E si possono definire funzioni che dipen-dono dai percorsi. Un percorso γ e specificato da un punto iniziale (x0, p0), un puntofinale (x, p) ed un intero corrispondente al numero di giri. Il punto iniziale fissa l’energiaE = H(x0, p0); il percorso associato al punto (x, y) e all’ intero n consiste nel descriverela curva da (x0, p0) a (x, y) dopo aver compiuto n giri, nel verso specificato dal campovettoriale Φ. Il tempo di percorrenza t, l’angolo Θ = Ωt e l’area W , spazzata dal seg-mento verticale, che congiunge il punto con la sua proiezione sull’asse x, vedi figura 17.7.1a pagina 350. sono funzioni ad un sol valore sui percorsi. Su di un punto dell’orbita lestesse funzioni sono a piu valori perche ad un punto (x, p) corrispondono i percorsi (x, p, n)con n arbitrario. Chiamiamo determinazione principale quella che le funzioni assumonoassumono su un percorso principale (x, y; 0) e la indichiamo con t(x, p), Θ(x, p), W (x, p)rispettivamente. La determinazione principale e una funzione ad un solo valore sull’orbita,e le funzioni t(x, p;n), Θ(x, p;n), W (x, p;n) definite sui percorsi si ottengono aggiungendoalla determinazione principale il periodo T , l’angolo giro 2π, l’area 2πJ moltiplicate per n

t(x, p, n) = t(x, p)+ nT, W (x, p, n) = W (x, p)+ 2πJ n, Θ(x, p, n) = Θ(x, p) + 2πn(2.7.8)

Si puo notare che i percorsi formano un gruppo e che e le funzioni t,Θ,W sono additivesu di esso.


Variazioni dell’area

Per dare una esplicita espressione per la determinazione principale delle funzioni W,Θ, tscegliamo come punto iniziale il primo punto di inversione x1 limitandoci alla semiorbitanel semipiano superiore p > 0

W (x;E) =

∫ x

x1

p(x′, E)dx′ =

∫ x

x1

[2m(E − V (x′)]1/2dx′ (2.7.9)

Nel semipiano inferiore p < 0 si ha invece W = πJ +∫ x2

x[2m(E − V (x′)]1/2dx′, dove

x2 e il secondo punto di inversione, poiche il valore su una semiorbita e meta dell’area.Ricordiamo infatti che l’area totale vale 2πJ avendo definito l’azione

J =Area

2π=

2

2π

∫ x2

x1

p(x′, E)dx′ (2.7.10)

La variazione dell’area W (nota come azione ridotta), corrispondente a una variazioneinfinitesima dell’energia, fornisce il tempo t di percorrenza, mentre la variazione dell’areatotale dell’orbita 2πJ da il periodo T . Infatti

dJ

dE=

1

π

[

p(x2, E)∂x2

∂E− p(x1, E)

∂x1

∂E

]

+1

π

∫ x2(E)

x1(E)

dx

v(x,E)=

T

2π=

1

Ω(2.7.11)

se osserviamo che ∂p/∂E = 1/v e che p si annulla agli estremi di integrazione x1, x2 poichesono punti di inversione. La funzione J(E) e monotona e quindi invertibile ed indichiamola sua inversa con E = H(J). La derivata di H(J) e la frequenza del moto, vedi anche(2.7.4). Il tempo di percorrenza t e l’angolo Θ sono dati da

∂W

∂E=

∫ x

x0

dx′

v(x′, E)= t,

∂W

∂J=∂W

∂E

∂E

∂J= Ωt = Θ (2.7.12)

Cambiamento di coordinate

La soluzione globale si ottiene direttamente introducendo un angolo φ come coordinataintermedia. Scelto (x1, 0) come punto iniziale sulla curva poniamo

x = x1 + (x2 − x1) sin2 φ

2(2.7.13)

Fattorizziamo i due zeri che E − V ha nei due punti di inversione

v2 =2

m(E − V (x)) = (x2 − x)(x− x1)f(x) (2.7.14)

c©88-08- 9820 2.7. Coordinate azione angolo 75

ed usando (2.7.11) si ha

p =m

2(x2 − x1) sinφ

√

f(x1 + (x2 − x1) sin2 φ

2) (2.7.15)

dove la radice quadrata e sempre scelta con la determinazione positiva. Si noti che (2.7.13)e (2.7.15) parametrizzano l’orbita al variare φ nell’intervallo [0, 2π]. Quando φ ∈ [0, π] siha p > 0 ed il punto (x, p) descrive la semiorbita nel semipiano superiore, se φ ∈ [π, 2π]si ha p < 0 e la semiorbita descritta appartiene al semipiano inferiore. Per il tempo dipercorrenza scriviamo

t(φ) =

∫ φ

0

dφ′√

f(x1 + (x2 − x2) sin2 φ′

2 )

(2.7.16)

ed il periodo e dato da T = t(2π). L’angolo Θ e quindi espresso da

Θ = Ωt = 2πt(φ)

t(2π)(2.7.17)

Notiamo la corrispondenza biunivoca tra i percorsi e φ e che sia t sia Θ sono funzionimonotone di φ. Consideriamo φ,E come variabili intermedie, che consentono il passaggioalle coordinate Θ, J , che conservano le aree. L’azione data da (2.7.10) si scrive

J =m

2π

(

x2 − x1

2

)2 ∫ 2π

0

√

f(

x1 + (x2 − x2) sin2 φ

2

)

sin2(φ) dφ (2.7.18)

Dopo aver invertito Θ = Θ(φ) si introducono le funzioni S(Θ) = sin(φ(Θ)), C(Θ) =cos(φ(Θ)), che soddisfano C2 + S2 = 1 e consentono di riesprimere x e p, date da (2.7.11)e (2.7.13), attraverso Θ e J dopo aver sostituito E con H(J). La trasformazione (Θ, J)→(x, p) conserva le aree mentre (φ,E)→ (x, p) non gode di questa proprieta.

Come esempio consideriamo l’oscillatore armonico dato da (2.5.1). Da v2 = ω2(a2 − x2)segue f(x) = ω2, che implica Θ = φ e Ω = ω. Sostituendo in (2.7.13) e (7.2.15) si ottienex = −a cos Θ, p = maω sin Θ mentre l’azione vale J = E/ω. Riesprimendo a in funzionedi J e scegliendo (a, 0) come punto iniziale anziche (−a, 0) si ottiene

x =

√

2J

mωcos Θ, p = −

√2mωJ sin Θ (2.7.19)

Le coordinate normali sono X = (mω)1/2x e P = (mω)−1/2p e si ha H = 12ω(P 2 +X2).

Cambiando il punto iniziale cambia la parametrizzazione: scegliendo (x2,0) si ha x=x1+(x2−x1) cos2(φ/2)

e p=−2−1 m(x2−x1) sin φ√

f ; inoltre dx/v=dφ/√

f sempre con il segno positivo. Segnaliamo un altro utile

cambiamento di variabili: se 2m−1(E−V )=(g(x2)−g(x))(g(x)−g(x1))f(x) dove g(x) e monotona in [x1,x2] e

f(x) e positiva, scegliendo g(x)=g(x1)+[g(x2)−g(x1)] sin2(φ/2) e prendendo x(0)=x1,x(0)=0 la legge oraria

diventa t=∫

φ

0[g′(x)√

f(x) ]−1dφ.


2.8. PENDOLO, OSCILLATORI ANARMONICI

Come applicazione della teoria svolta nei paragrafi precedenti consideriamo alcuni tra isistemi unidimensionali non lineari piu significativi e cioe l’oscillatore cubico, l’oscillatorequartico ed il pendolo. Si costruisce la trasformazione alle variabili angolo e azione tramiteintegrali riconducibili a funzioni ellittiche.

Oscillatore cubico

Consideriamo una particella soggetta al potenziale

V (x) =x2

2− x3

3(2.8.1)

i cui punti critici, soluzione dell’equazione V ′(x) = x− x2 = 0, sono x = 0 ellittico e x = 1iperbolico. Il grafico del potenziale e le traiettorie nello spazio delle fasi per diversi valoridell’energia sono mostrati nella figura 2.8.1.

x

V(x)

-2 2-0.5

1

x

v

-2 2-2

2

Figura 2.8.1. Potenziale cubico V =x2/2−x3/3 e traiettorie del campo Φ=(v,−x+x2).

Il massimo del potenziale vale 1/6 e per energia E < 1/6 si hanno tre punti di inversionereali x1(E) < x2(E) < x3(E) che possono essere calcolati usando le formule di Cardano.Scegliendo per semplicita la massa unitaria m = 1 gli zeri di E − V (x) sono

x1 =1

2− cos

π − α3

, x2 =1

2− cos

π + α

3, x3 =

1

2+ cos

α

3, (2.8.2)

c©88-08- 9820 2.8. Pendolo e oscillatori anarmonici 77

dovecosα = 1− 12E (2.8.3)

Per E → 1/6 le radici x2, x3 convergono allo stesso valore e diventano una radice doppia.Riscrivendo quindi

2(E − V ) =2

3(x− x1)(x2 − x)(x3 − x) (2.8.4)

ed effettuando il cambiamento di variabile (2.7.9) si trova

f(x) =2

3(x3 − x) =

2

3(x3 − x1)

(

1− k2 sin2 φ′

2

)

(2.8.5)

avendo posto

k2 =x2 − x1

x3 − x1(2.8.6)

La legge oraria

t(φ) =

√

3

2

1√x3 − x1

∫ φ

0

dφ′√

1− k2 sin2 φ′

2

(2.8.7)

e una funzione monotona di φ al pari dell’angolo Θ = Ωt ed il periodo e dato da T = t(2π).L’azione e espressa da

J =2

2π

∫ x2

x1

√

2(E − V )dx′ = (x2 − x1)2

√x3 − x1

2π√

6

∫ π

0

sin2 φ′√

1− k2 sin2 φ′

2dφ′ (2.8.8)

Oscillatore quartico

Consideriamo il potenziale

V (x) = −x2

2+x4

4(2.8.9)

che viene anche detto doppia buca perche presenta due minimi. I punti critici soluzionedell’equazione V ′(x) = −x+x3 = 0 sono x = ±1 ellittici e x = 0, iperbolico. Distinguiamodue famiglie di orbite delimitate dalla curva separatrice che ha E = 0.

Caso E > 0

Esistono due soli punti di inversione e ponendo

a2 = 1 +√

1 + 4E, b2 =√

1 + 4E − 1 = a2 − 2 (2.8.10)

si ha

E − V =1

4(a2 − x2)(x2 + b2) (2.8.11)


Poiche i punti di inversione sono ±a il cambiamento di variabile (2.7.13) diventa

x = −a cosφ (2.8.12)

La legge oraria t = t(φ) si scrive

t =

√2√

a2 + b2

∫ φ

0

dφ′√

1− k2 sin2 φ′(2.8.13)

dove

k2 =a2

a2 + b2(2.8.14)

Il grafico del potenziale e le traiettorie nello spazio delle fasi per diversi valori dell’energiasono mostrati nella figura 2.8.2.

x

V(x)

-2 2-0.5

1

x

v

-2 2-2

2

Figura 2.8.2. Potenziale quartico V =−x2/2+x3/3 e traiettorie del campo Φ=(v,x−x3).

Invertendo la (2.8.13) si ottiene φ = φ(t) ed il periodo del moto e T = t(2π).

Caso E < 0.

Si hanno quattro punti di inversione x = ±a, x = ±b dove

a2 = 1 +√

1 + 4E, b2 = 1−√

1 + 4E (2.8.15)

Gli intervalli di moto sono sono [−a,−b] e [b, a] e si ha

E − V =1

4(a2 − x2)(x2 − b2) (2.8.16)

Effettuando il cambiamento di variabile

x2 = a2 − (a2 − b2) sin2 φ

2(2.8.17)


e scegliendo condizioni iniziali x(0) = a, x(0) = 0 si ottiene la seguente espressione per lalegge oraria

t =1

a√

2

∫ φ

0

dφ′√

1− k2 sin2 φ′

2

(2.8.18)

dove

k2 =a2 − b2a2

(2.8.19)

Il pendolo

Prendiamo come integrale primo H = θ2/2−ω2 cos θ l’energia meccanica del pendolo divisaper m`2, dove m, ` sono la massa e la lunghezza del pendolo e ω = (g/`)1/2 la frequenzadel pendolo linearizzato (sin θ → θ). Le orbite di “energia” E < ω2

E =θ2

2− ω2 cos θ (2.8.20)

descrivono le oscillazioni del pendolo con elongazione α

E = −ω2 cosα (2.8.21)

I due punti di inversione di queste orbite chiuse sono θ = ±α. Con condizione inizialeθ(0) = −α, θ(0) = 0 la legge del moto per 0 < t < T/2 risulta data da

t =1

ω

∫ θ

−α

dθ′√

2(cos θ − cosα)=

1

2ω

∫ θ

−α

dθ′√

sin2 α2 − sin2 θ′

2

(2.8.22)

Il grafico del potenziale e le traiettorie nello spazio delle fasi per diversi valori dell’energiasono mostrati nella figura 2.8.3.

x

V(x)

-10 10-2

8

x

v

-10 10-4

4

Figura 2.8.3. Potenziale del pendolo V =1−cos x e traiettorie del campo Φ=(v,− sin x).


Se effettuiamo il cambiamento di variabile

sinθ

2= sin

α

2sinφ (2.8.23)

si ottiene

t =1

ω

∫ φ

−π/2

dφ′√

1− k2 sin2 φ′(2.8.24)

dove

k2 = sin2 α

2=E + ω2

2ω2(2.8.25)

ed il periodo e dato da T = 2t(π/2).I cambiamenti di variabili per l’oscillatore quartico ed il pendolo sono stati scelti in mododa riportare gli integrali sempre alla stessa forma, riconducibile immediatamente a funzioniellittiche. Per valutare numericamente questi integrali, si puo usare il metodo dei trapeziiterato, che consente di ottenere una precisione adeguata.

Leggi asintotiche

Nei problemi esaminati finora la costante k2 da cui dipende il periodo del moto si annullaquando l’energia E e minima; le correzioni al periodo per energie vicine al minimo sipossono quindi valutare tramite uno sviluppo in serie di k2. Per l’oscillatore quartico ilminimo di E vale −1/4 e si ha k2 ' 2

√4E + 1 per E → −1/4; per il pendolo il minimo di

E e −ω2 e k2 si annulla linearmente per E → −ω2, vedi (2.8.25). Sviluppando in serie dik2 al primo ordine otteniamo∫ π/2

0

dφ√

1− k2 sin2 φ=

∫ π/2

0

(

1 +k2

2sin2 φ+ . . .

)

dφ =π

2

(

1 +k2

4+ . . .

)

(2.8.26)

Il periodo del pendolo e dato da

T =2π

ω

(

1 +1

4sin2 α

2+ . . .

)

(2.8.27)

Un’altra legge asintotica e quella che da la divergenza del periodo sulla separatrice. Perl’oscillatore quartico E = 0 sulla separatrice e si ha k2 = 1 − |E| + . . .; per il pendolok2 = 1 + (E − ω2)/(2ω2) + . . . per E < ω2. Ponendo k2 = 1− ε dove ε e proporzionale a|E − E sep | il periodo e espresso da

T ∝∫ π/2

0

dφ√

1− (1− ε) sin2 φ=

∫ π/2

0

dψ√

sin2 ψ + ε cos2 ψ∼∫ π/2

0

dψ√

ψ2 + ε(2.8.28)

dove si e posto ψ = π/2− φ e l’ultima approssimazione e giustificata nell’intorno di ψ = 0da cui viene il contributo dominante. L’integrale si valuta ponendo ψ =

√ε sh τ ed il

risultato e

T ∝ arcsh

(

π

2√ε

)

∼ log

(

1√ε

)

∼ 1

2log

1

|E − E sep |(2.8.29)


Legge oraria sulla separatrice

La legge oraria sulla separatrice, per i potenziali esaminati in questo paragrafo, si esprimein termine di funzioni elementari data la presenza di uno zero doppio. Ci limitiamo adindicare il risultato nel caso del pendolo e dell’oscillatore quartico. Per un pendolo conenergia uguale a quella della separatrice E = ω2 si ha

(

θ

2

)2

= ω2 cos2θ

2(2.8.30)

e quindi per condizione iniziale θ(t0) = θ0 la legge del moto in [t0, t] e data da

±(t− t0)ω =

∫ θ/2

θ0/2

dφ

cosφ=

∫ θ/2

θ0/2

d sinφ

1− sin2 φ(2.8.31)

dove ± e il segno della velocita iniziale θ(0). Posto u = sinφ si ha

±(t− t0)ω =

∫ sin(θ/2)

sin(θ0/2)

du

1− u2=

1

2log

1 + sin θ2

1− sin θ2

1− sin θ02

1 + sin θ02

(2.8.32)

da cui segue

sinθ

2=A(t)− 1

A(t) + 1, A(t) =

1 + sin θ02

1− sin θ02

e±2ω(t−t0) (2.8.33)

La soluzione con il segno + corrisponde a θ(0) > 0 quella con il segno − a θ(0) < 0se siamo nell’intervallo −π ≤ θ ≤ π poiche ivi cos(θ/2) > 0. Notiamo che la soluzione+ ha per limite θ(±∞) = ±π, mentre per la soluzione − i limiti sono invertiti. Lesoluzioni + e − connettono le varieta stabili ed instabili nei semipiani θ > 0 e θ < 0rispettivamente. Se linearizziamo attorno a θ = π ponendo θ = π+ 2ϑ con ϑ ∼ 0, siccomecos(θ/2) = − sinϑ ∼ −ϑ le soluzioni ± coincidono con quelle della equazione ϑ = ∓ωϑ.Le soluzioni + e − sono la varieta stabile ed instabile del punto θ = π nei semipiani θ > 0e θ > 0 con θ < π.

Per l’oscillatore quartico il calcolo e simile. Per integrare l’equazione x = −x(1−x2/2)1/2,scritta per condizioni iniziali tali che x(0) > 0, x(0) < 0, si effettua il cambiamento di

variabili x =√

2 sin θ e si ottiene t = − log tan(θ/2)|θθ0. Invertendo si trova la legge oraria

con θ ∈ [π/2, π]

tanθ

2= tan

θ02et (2.8.34)

ed in particolare se x(0) =√

2 si ha x(t) =√

2/ch t.


2.9. SISTEMI DINAMICI PIANI

Consideriamo sistemi non conservativi con forze del tipo −mvβ(x, v). Se β e ovunquepositiva la forza e dissipativa, altrimenti la curva β(x, v) = 0 divide il piano delle fasi indue regioni ove la potenza della forza e di segno opposto. Se il punto e soggetto anche aduna una forza conservativa con potenziale V la funzione H(x, v) = mv2/2 + V (x) variasecondo la legge dH/dt = −mv2β e quindi nella regione ove β > 0 (β < 0) si passa concontinuita su su curve di livello descrescente (crescente) di H. La natura delle possibiliorbite per un generico sistema piano e specificata dal seguente teorema.

Teorema di Poincare-Bendixon. SeD ⊂ R2 e una regione limitata dello spazio delle fasi

e se il campo Φ(x) e non singolare, ogni semi-orbita x(t) definita per t ≥ 0 ed appartenentea D o e una curva chiusa, o tende ad una curva chiusa per t→ +∞ oppure termina in unpunto critico.

Le curve chiuse, cui sono asintotiche le semi-orbite vengono dette cicli limite. Se definiamocome attrattore un insieme Ω+ tale che x(t) ∈ Ω+ per t → +∞, allora per i sistemi nonconservativi gli attrattori sono o cicli limite oppure punti critici, vedi figura 2.9.1.

a b c

Figura 2.9.1. Orbite periodiche (a), asintotiche a un ciclo limite (b), asintotiche a un punto critico (c).

Cicli limite

Un esempio di ciclo limite ha quando β(x, v) si annulla su una curva di livello di H(x, v)come accade se scegliamo β ∝ H(x, v)− E. Ad esempio la equazione

x = v, v = −x− v(x2 + v2 − 1) (2.9.1)

c©88-08- 9820 2.9. Sistemi dinamici piani 83

ha come ciclo limite il cerchio unitario, vedi figura 2.9.2. Quando la forza non conservativanon si annulla su una delle curve di energia costante del sistema conservativo associato,come nel caso della equazione di Van der Pol

x = v, v = −x− βv(1− x2) (2.9.2)

vale il seguente risultato sull’esistenza di un ciclo limite

Teorema. Se β e V sono continue, se β(0, 0) < 0 e β(x, v) > 0 al di fuori di un disco diraggio R, se V ′(0) = 0 e xV ′(x) > 0 con V (x) → +∞ per x → ±∞ allora esiste un ciclolimite.

Le condizioni sul potenziale garantiscono che con β = 0 si hanno soltanto orbite chiuse conun punto critico ellittico nell’origine. Se la forza −mvβ(x, v) e repulsiva vicino all’origineed attrattiva fuori da un certo disco, ogni traiettoria e asintotica ad una curva chiusa.

x

y

Figura 2.9.2. Ciclo limite per il campo Φ=(

v,−x+v(1−x2−v2))

.

Equazioni dell’ecologia

Tra le equazioni differenziali di origine non meccanica consideriamo quella di Volterra,che costituisce la base dell’ecologia matematica. Un ecosistema e costituito di due specieanimali: una di erbivori (prede), con risorse alimentari illimitate ed una di carnivori (preda-tori), che si alimentano cacciando la prima specie. La variazione per unita di tempo delnumero x(t) di prede e somma di due contributi: uno positivo αx dovuta all’incrementodemografico, una negativa −µxy, dovuta alle perdite causate dai predatori. La variazionedel numero y di predatori e somma di un termine negativo −βy, dovuta al decrementodemografico in assenza di prede ed uno positivo νxy proporzionale al numero di prededisponibili.

x = αx− µx y

y = −γ y + ν x y(2.9.3)

Il sistema ha due punti critici: l’origine e

xc =(γ

ν,α

µ

)

(2.9.4)


Scelto (xy)−1 come fattore integrante forma differenziale dH = (γ/x− ν)dx+(α/y−µ)dye chiusa e gli assi sono linee di singolarita. Sul quadrante positivo, che costituisce lo spaziodelle fasi del sistema, e regolare, quindi esatta, e la funzione

H(x, y) ≡ γ logx+ α log y − νx− µy (2.9.5)

e l’integrale primo. La funzione H ha un massimo in xc: infatti il gradiente si annullae la matrice hessiana e diagonale definita negativa ∂2H/∂x2

∣

∣

xc= −ν2/γ e ∂2H/∂y2

∣

∣

xc=

−µ2/α. Le traiettorie nell’intorno di questo punto critico stabile sono curve chiuse ed ilmoto e periodico con periodo T . L’origine e un punto critico instabile. Le traiettorie nelpiano delle fasi sono quelle illustrate dalla figura 2.9.3.

0 20

2

x

y

0 200

2

t

x,y

Figura 2.9.3. Traiettorie nello spazio delle fasi per la equazione di Volterra con α=β=γ=δ=1 (lato

sinistro). Legge oraria (lato destro) con x(t) in linea continua e y(t) in linea punteggiata.

L’equazione linearizzata nell’intorno del punto critico e

d

dt(x− xc) = −µγ

ν(y − yc),

d

dt(y − yc) =

να

µ(x− xc) (2.9.6)

Le orbite di (2.9.6) sono una famiglia di ellissi; se sviluppiamo (2.9.5) attorno a puntocritico abbiamo H = H(xc, yc) − 1

2 (x − xc)2ν2/γ − 1

2 (y − yc)2µ2/α e le equazioni (2.9.6)

si riottengono esprimendo il campo Φ tramite (2.1.14) dove c−1 = xcyc. Il periodo delmoto in questa approssimazione e costante ed e dato da T = 2π/

√αγ. Il periodo esatto

del moto occorre si ottiene sostituendo y nella prima delle equazioni (2.9.3) con y(x,E),definito implicitamente da H(x, y) = E ed integrando l’equazione

T (E) =2

µ

∫ x2(E)

x1(E)

dx

x(yc − y(x,E))(2.9.7)

dove x1, x2 sono i due punti di inversione, definiti da ∂H/∂y = 0, H(x, y) = E; qui H none invertibile rispetto a y, Nei punti di inversione, situati in questo caso sull’intersezionedell’orbita con la retta y = yc, l’integrale e finito, poiche l’integrando si comporta come|x− xk|−1/2 come risulta dallo sviluppo di H(x, y) in prossimita di (xk, yc)

c©88-08- 9820 2.9. Sistemi dinamici piani 85

0 =∂H

∂x

∣

∣

∣

∣

xk,yc

(x− xk) +1

2

∂2H

∂x2

∣

∣

∣

∣

xk,yc

(x− xk)2 +1

2

∂2H

∂y2

∣

∣

∣

∣

xk,yc

(y − yc)2 + . . . , k = 1, 2

(2.9.8)e da (2.9.5) segue (y− yc)

2 = 2αν(x1µ2)−1 (xc−xk)(x−xk)+ . . .. L’esistenza di soluzioni

periodiche si intepreta come una variazione ciclica delle due popolazioni, vedi figura 2.9.3.Se le risorse alimentari per le prede sono limitate la loro evoluzione in assenza di predatori edettata da x = αx−βx2 che presenta un limite asintotico x(∞) = α/β anziche una crescitaesponenziale. Conseguentemente cambia anche l’equazione di Volterra. Se si hanno duespecie in competizione per le stesse risorse l’equazione si scrive

x = αx− βx2 − µx y

y = γ y − δx2 − ν x y(2.9.9)

Equazione di un’epidemia

Data una popolazione di N individui sia x la frazione di individui sani y la frazione diindividui infettati e z = 1− y−x la frazione restante che sono o deceduti o immuni perchehanno contratto la malattia guarendone. La equazione e

x = −r xy

y = −γy + rxy(2.9.10)

dove r e γ sono coefficienti legati alla probabilita di contrarre la malattia ed alla sua durata.Siccome x + y + z = 1 possiamo aggiungere una terza equazione z = γy. Con il fattoreintegrante c(x, y) = (xy)−1 si ricava l’integrale primo definito sul quadrante positivo

H(x, y) = −rx− ry + γ logx (2.9.11)

Con condizioni iniziali x0, y0, z0 = 0 si ha x0 + y0 = 1 e E = −r + γ logx0 da cui segue

y = 1− x+ ρ log(x/x0), ρ =γ

r(2.9.12)

La funzione y(x) ha un massimo in x = ρ; la y(t) cresce poi diminuisce fino al valore limitey∞ = 0 corrispondente a x∞. Se y0 x0 in approssimazione quadratica si trova che ilmassimo e simmetrico tra x∞ e x0 cioe x0 − ρ = ρ− x∞, vedi figura 2.9.4. La dipendenzatemporale si calcola su z partendo da dx/dz = −x/ρ che integrata da x = x0e

−z/ρ. Allora

dz

dt= γy = γ(1− x− z) = γ(1− z − x0e

−z/ρ) ≡ f(z) (2.9.13)

Poiche z e proporzionale alla frazione y di individui infettati la sua evoluzione temporaledescrive l’andamento dell’epidemia. Si puo mostrare che z = γy aumenta fino a raggiungereun valore massimo e poi decresce tendendo a zero asintoticamente.

La funzione f(z) ha un massimo in z∗ = ρ log(x0/ρ) dove f ′′(z∗) = −γ/ρ. La approssi-mazione quadratica f(z) = (z+ − z)(z − z−)γ(2ρ)−1, ottenuta dallo sviluppo di Taylor,


0 10

1

x

y

-5 50

0.5

Figura 2.9.4. Traiettorie per la equazione di un’epidemia con r=2, γ=1 (lato sinistro) e grafico di dz/dτ

(lato destro).

ove z± = z∗ ±(

2ργ−1f(z∗))1/2

e z− < 0, consente di integrare la equazione z = f(z) concondizione iniziale z(0) = 0, fornendo un risultato qualitativamente corretto

γt

2ρ=

∫ z

0

dz′

(z+ − z′)(z′ − z−)=

1

z+ − z−

[

logz − z−z+ − z

− log−z−z+

]

(2.9.14)

Posto τ = (z+ − z−)γt(2ρ)−1 + log(−z−/z+), la soluzione e la sua derivata si scrivono

z =z+e

τ + z−eτ + 1

,dz

dτ= (z+ − z−)

eτ

(1 + eτ )2(2.9.15)

Il grafico della funzione dz/dτ , che nella approssimazione sopra descritta presenta un mas-simo per τ = 0, e mostrato nella figura 2.9.4.

2. Problemi unidimensionali

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