157 - Aracne · 2017-09-20 · della geometrizzazione della Fisica e lo studio delle conseguenze...

A01157

Prof.Dr. Agostino Prastaro

Universita di Roma ”La Sapienza”

Dipartimento di Metodi e Modelli Matematici per le Scienze Applicate (MEMOMAT)

Via A.Scarpa, 16 - 00161 ROMA - Italy.

e-mail: [email protected]

e-mail: [email protected]

Agostino Prástaro

ELEMENTI DI

MECCANICARAZIONALE

Copyright © MMXARACNE editrice S.r.l.

[email protected]

via Raffaele Garofalo, 133/A–B00173 Roma

(06) 93781065

ISBN 978–88–548–3601–3

I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica,di riproduzione e di adattamento anche parziale,

con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.

Non sono assolutamente consentite le fotocopiesenza il permesso scritto dell’Editore.

I edizione: giugno 1997II edizione: novembre 1998III edizione: febbraio 2000IV edizione: giugno 2002

V edizione: settembre 2006VI edizione: ottobre 2009

VII edizione: novembre 2010

”Nessuno entri che non conosca la geometria”

v

PREFAZIONE

Questi appunti sono un’introduzione alla Meccanica Razionale rivisitata con un lin-guaggio geometrico moderno. L’approccio e comunque assolutamente elementare,tenendo presente che il pubblico al quale si rivolge e quello degli studenti delle Fa-colta d’Ingegneria e di Scienze. Il materiale e cresciuto, per cosı dire, intorno aicorsi di Meccanica Razionale, tenuti dal sottoscritto dal 1976 ad oggi. In questianni, la ricerca che mi ha sempre interessato e coinvolto moltissimo, e stata quelladella geometrizzazione della Fisica e lo studio delle conseguenze fisico-matematichepiu importanti che ne scaturivano. A fondamento di cio era la convinzione profondache la Fisica e essenzialmente Geometria e che quindi il linguaggio piu opportunoda usare, per chi vuole descrivere fenomeni fisici, e quello della Geometria. Oggiquesta convinzione e oggettivamente affermata a livello internazionale. Ho semprepensato che l’insegnamento universitario, per essere al passo coi tempi, dovesse es-sere vicino alla ricerca dei suoi stessi docenti. Pertanto ho adottato la “politica” diformulare il mio corso di Meccanica Razionale con un linguaggio geometrico mod-erno. Naturalmente, la realizzazione pratica di questa mia intenzione, non e semprestata facile, tenendo presente che il pubblico al quale e rivolto un tale corso non ecerto esperto di matematica, e tenendo anche presente, che difficilmente corsi par-alleli sono ben coordinati fra loro. Il fatto che, dopo un numero consistente di anni,abbia cambiato facolta, (ed universita) mi ha spinto a rendere il corso di Mecca-nica Razionale, che andavo facendo, ad esser piu sensibile anche agli interessi deglistudenti d’Ingegneria. Cio mi ha consigliato di rivisitare un certo materiale sullameccanica dei corpi rigidi e dei corpi continui. Un certo spazio e stato dedicato allageometria delle equazioni differenziali (EDP). Infatti, l’equazione dinamica, e il vero“universo” di un fenomeno fisico. Pertanto, una teoria geometrica della fisica deveessere essenzialmente una teoria geometrica di EDP. Naturalmente di cose da direce ne sarebbero tante, e tutte importanti, ma il tempo a disposizione e pur semprequello di un corso semestrale intensivo e quindi estremamente limitato. Per cui,argomenti trascurati di Meccanica se ne troveranno, in questi appunti, infiniti. Mapenso che quelli qui trattati, nonche lo spirito con il quale sono stati presentati, esufficientemente formativo, e possa mettere in grado uno studente di capire in qualidirezioni deve muoversi per continuare la preparazione nel settore di suo interessespecifico. A questo fine ho messo in bibliografia solo alcuni libri significativi chesono in qualche modo connessi agli argomenti trattati.

Roma, Maggio 1993. Agostino Prastaro

vii

INDICE

Poster 1 - Grandi Matematici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1Poster 2 - Grandi Matematici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3Poster 3 - Grandi Matematici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51. - Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. - Equazioni Differenziali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193. - Connessioni Differenziali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334. - Spazio-Tempo Galileiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435. - Dinamica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676. - Equazioni Cardinali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817. - Equazioni di Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .998. - Dinamica dei Sistemi Rigidi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119. - Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12310. - Meccanica dei Continui. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18311. - Reottica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21312. - Relativita Ristretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22113. - Esercizi Complementari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

13.1 - Esercizi di Geometria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22713.2 - Esercizi di Meccanica dei Sistemi Discreti o Rigidi. . . . . . . . . . . . . . 24713.3 - Esercizi di Meccanica dei Sistemi Continui. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .313

Indice Analitico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361Lista dei Simboli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373Bibliografia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

ELEMENTI DI MECCANICA RAZIONALE 1

Poster 1 - Grandi Matematici: Cartesio, Gauss, Galileo, Newton, Noether,

Leibniz, Euler, Poincare, Maxwell, Hamilton, Hilbert, Lagrange, Jacobi.1

1(Da sinistra a destra e dall’alto verso il basso.)


Poster 2 - Grandi Matematici: Einstein, Bernouilli, Abel, Cartan, Bianchi,

Caratheodory, Riemann, Lie, Frobenius, Levi-Civita, Ricci-Curbastro.2



Poster 3 - Grandi Matematici: Boole, Tricomi, Cauchy, Betti, Chern, d’Alembrt,

Clifford, Lewy, de Rham, Dini, Check, Ehresmann, Hodge, Spencer.3


1 - ALGEBRA


1. ALGEBRA

Definizione 1.1. Una matrice e un’applicazione del tipo:

f : I1 × · · · × Ik → R, f : (i1, . . . , ik) �→ fi1i2i3

...ik∈ R

dove I1 ≡ {1, . . . , n1}, . . . , Ik ≡ {1, . . . , nk}. Denoteremo l’insieme delle matrici conk indici Mn1

n2n3...nk

. Chiameremo covarianti gli indici che compaiono scritti inbasso e controvarianti quelli scritti in alto.

Esempio 1.2. 1)

k = 2, n1 = n, n2 = m, I1 = I ≡ {1, . . . , n}, I2 = J ≡ {1, . . . ,m}f : I × J → R, f : (i, j) �→ fij

avendo indicato con fij il generico elemento della matrice. In questo caso si puopensare di rappresentare la matrice stessa nella seguente forma:⎛⎜⎜⎝

f11 . . f1m. . . .. . . .

fn1 . . fnm

⎞⎟⎟⎠ .

Questa e un esempio di matrice n×m con due indici covarianti.2) (fij) appartiene allo spazio delle matrici Mn

m; il primo indice e covariante, ilsecondo controvariante.

Proposizione 1.3. L’insieme delle matrici di un certo tipo e uno spazio vettorialesu R.

Per esempio in Mnm abbiamo: (a) (f1 + f2)ij = (f1)ij + (f2)ij , (addizione); (b)(λf)ij = λfij , (prodotto per uno scalare). Lo zero di Mnm e la matrice (0ij),con 0ij = 0 ∈ R; l’opposta di (fij) e (−fij). Infatti per ogni indice i, j risulta:fij − fij = 0.

Definizione 1.4. V ∗ ≡ L(V ;R) e lo spazio delle applicazioni lineari da V in R.V ∗ si definisce duale di V .

Osservazione 1.5. I seguenti isomorfismi tra spazi vettoriali sono possibili solo dopoaver fissato una base. Una base di V e per definizione un insieme {ei}1≤i≤n costi-tuito da vettori linearmente indipendenti di V , tale che ogni vettore v ∈ V ha comeunica rappresentazione:

v =∑i

viei, vi ∈ R.

10 AGOSTINO PRASTARO

Tab. 1. Isomorfismi notevoli con spazi matriciali.

V ∼=Mn

V ∗ ∼=Mn

L(V ;W ) ∼=Mnm

L(R;W ) ∼=W ∼=Mm

L(V ;R) ≡ V ∗ ∼=Mn

L(V1, V2;W ) ∼=Mn1n2m

L(V ∗1 , V2;W ) ∼=Mn1n2

m

L(V ∗1 , V

∗2 ;W ) ∼=Mn1n2m

L(V1, V2;W ∗) ∼=Mn1n2m

L(V ∗1 , V2;W ) ∼=Mn1n2m

L(V ∗1 , V

∗2 ;W

∗) ∼=Mn1n2m

L(V1, V ∗2 ;W

∗) ∼=Mn1n2m

L(V1, . . . , Vp;W ) ∼=Mn1...npm

Gli isomorfismi sono non canonici ed indotti dalle basi.

In Tab.1 riassumiamo alcuni importanti isomorfismi con spazi di matrici.Qui abbiamo indicato con L(V ;W ) lo spazio delle applicazioni lineari V → W . Inseguito porremo anche HomK(V,W ) ∼= L(V ;W ). Inoltre L(V1, . . . , Vp;W ) indicalo spazio delle applicazioni p-lineari V1 × · · · × Vp →W .

Definizione 1.6. Poniamo GL(n;R) ≡ {a ∈Mnn|det a �= 0}. GL(n;R) e chiama-

to gruppo generale lineare n-dimensionale reale.

Abbiamo il seguente toerema.

Teorema 1.7. La matrice del cambiamento di base in uno spazio vettoriale n-dimensionale deve necessariamente appartenere al gruppo GL(n;R).

Dimostrazione. Sappiamo infatti che un generico vettore dello spazio e rappre-sentabile come combinazione lineare dei vettori di una base {ei}:

v =∑

1≤i≤nviei.

Si considerino ora due basi distinte: {ej}, {ej}, collegate da una matrice (Aij). Ogni

vettore di una base e esprimibile come combinazione lineare dei vettori dell’altrabase:

v =∑

1≤i≤nviei =

∑1≤i≤n,1≤j≤n

viAij ej =

∑1≤j≤n

vj ej

quindi:

vj =∑

1≤i≤nviAi

j

Siccome il ruolo fra le due basi puo essere scambiato segue che la matrice (Aij)

deve essere invertibile e quindi il suo determinante deve essere diverso da zero. �


Definizione 1.8. (Prodotto tensoriale fra spazi vettoriali). Siano assegnati duespazi vettoriali V e W , di dimensione rispettivamente n e m. Consideriamo inoltreaccanto a questi tutte le possibili combinazioni lineari delle coppie di vettori (v, w)con v ∈ V ed w ∈ W . Indichiamo questo spazio con < V ×W >. In < V ×W >

consideriamo i vettori del tipo:

(v1 + v2, w)− (v1, w)− (v2, w)(λv,w)− λ(v, w)(v, w1 + w2)− (v, w1)− (v, w2)(v, λw)− λ(v, w).

Indicando con I il sottospazio generato da questi vettori. Definiamo prodotto ten-soriale di V con W il seguente spazio vettoriale V

⊗W :

V⊗

W ≡< V ×W > /I.

Indichiamo con u ⊗ v la classe di equivalenza individuata da (u, v) ∈< V ×W >.Diciamo che u⊗ v e il prodotto tensoriale di u con v.

Teorema 1.9. 1) Il prodotto tensoriale fra V e W e uno spazio vettoriale di di-mensione n×m se dimV = n e dimW = m.2) Si hanno i seguenti isomorfismi canonici:

L(V ;W ) = V ∗⊗WL(V1, V2;W ) = V ∗

1

⊗V ∗2

⊗W.

Dimostrazione. 1) {ei}1≤i≤n = base di V , {εj}1≤j≤n = base di W ,

t = u⊗ w = (uiei)⊗ (wjεj) = uiwjei ⊗ εj ,

segue che {ei ⊗ εj}1≤i≤n,1≤j≤m e una base di V⊗

W .4

2) La dimostrazione si ottiene attraverso l’applicazione canonica:

f : V ∗⊗W → L(V ;W ),

definita per ogni elemento α⊗ w ∈ V ∗ ⊗W nel modo seguente:

f(α⊗ w)(v) =< α, v > w

ed estesa per linearita a tutto V ∗⊗W . Si vede subito che f e allora un isomorfismoperche ker(f) = {0}. �

Definizione 1.10. Un tensore del tipo (r, s) su V , dove dimV = n, e un vettoreche appartiene a

(1) T rs (V ) ≡ V

⊗. . .r · · ·

⊗V⊗

V ∗⊗ . . .s · · ·⊗

V ∗.

Proposizione 1.11. Per ogni base ei di V vale la seguente rappresentazione lin-eare:

t = ti1...ir j1...jsei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ θj1 ⊗ · · · ⊗ θjs ,

4Qui e nel seguito utilizzeremo la convenzione che la somma fra indici covarianti e controvariantiomonimi e della stessa dimensione viene sottointesa.


dove(ti1...ir j1...js) ∈Mn1...nr

n1...ns

e {θj}1≤j≤n e la base duale di ei definita dalla condizione:

θj(ei) = δji ,

essendo (δji ) la matrice identita di Kronecker:

(δji ) =

⎛⎜⎝ 1 0. . .

0 1

⎞⎟⎠ .

Infine abbiamo: dimT rs (V ) = nr+s.5

Definizione 1.12.

T 00 (V ) = R, T 0

1 (V ) = V ∗, T 10 (V ) = V.

Si hanno le seguenti dimensioni:

dimT 00 (V ) = 1, dimT 0

1 (V ) = n, dimT 10 (V ) = n.

Definizione 1.13. Uno spazio Euclideo e uno spazio vettoriale n-dimensionale Vstrutturato con un’applicazione bilineare, (prodotto scalare):

g : V × V → R

avente le seguenti proprieta:(a): (simmetria) g(v1, v2) = g(v2, v1);(b): (non degenerazione) g(v, v) �= 0,∀v �= 0, g(v, v) = 0 se e solo se v = 0;(c): (positivita) g(v, v) > 0,∀v �= 0.

Proposizione 1.14. 1) Se g e una struttura Euclidea su di uno spazio vettorialeV abbiamo che:

g ∈ T 02 (V ).

2) Per ogni base {ei} di V :g = gijθ

i ⊗ θj

dove (gij) ∈Mnm o piu precisamente (gij) ∈ GL(n;R).3) Esistono basi {ei} di V tali che gij ≡ g(ei, ej) = δij, (basi ortonormate).4) Si ha gij = gji, (simmetria).5) La matrice inversa (gij) di (gji) e una matrice controvariante; per essa vale laseguente relazione:

gijgjk = δik.

6) Si ha l’isomorfismo canonico

′g : V → V ∗ :{ ′g(v) ≡ gv : V → R,

gv(u) = g(u, v)

}.

5Se non siamo interessati a mettere in evidenza l’ordine degli spazi in (1) scriveremo semplice-

mente ti1...irj1...jsanziche ti1...ir j1...js .


L’isomorfismo ′g e rappresentato dalla matrice gij.

v = (vi) �→ (vj =∑i

vigij) = ′g(v) ∈ V ∗, (i = 1, 2, . . . , n), ∀v ∈ V.

Per l’isomorfismo inverso ′g−1 otteniamo:

α ∈ V ∗ ⇒ (αj)⇒ (vi =∑j

αjgji) = ′g−1(α) ∈ V.

Definizione 1.15. In uno spazio vettoriale Euclideo (V, g), mediante l’identifica-zione canonica V ≡ V ∗, possiamo pensare un vettore v ∈ V anche come un elementodi V ∗. Quindi, rispetto ad una base {ei} di V , possiamo riferirci alle componenticontrovarianti (vi) di v, ma anche alle sue componenti covarianti vj = gjiv

i: questesi possono considerare due aspetti diversi di uno stesso ente.

Teorema 1.16. Rispetto ad una base ortonormata {ei} si ha che le componenticovarianti e controvarianti coincidono:

vi = vi, ∀i ∈ (1, . . . , n).

Dimostrazione.

vi = vjgji = vjδ

ji = vi.

�

Definizione 1.17. 1) Un tensore u⊗ v ∈ T 20 (V ) e detto simmetrico se verifica:

u⊗ v = v ⊗ u.

2) Lo spazio dei tensori simmetrici si denota con S20(V ).

3) Un tensore u⊗ v e detto antisimmetrico se accade che:

u⊗ v = −v ⊗ u.

4) Denotiamo lo spazio dei tensori antisimmetrici, di tipo (2, 0), con Λ20(V ).

Proposizione 1.18. Si hanno le seguenti applicazioni (proiezioni) canoniche:(a): (simmetrizzazione)

s : T 20 (V )→ S2

0(V ), u1 ⊗ u2 �→12(u1 ⊗ u2 + u2 ⊗ u1) ≡ u1 � u2;

(b): (antisimmetrizzazione)

a : T 20 (V )→ Λ20(V ), u1 ⊗ u2 �→

12(u1 ⊗ u2 − u2 ⊗ u1) ≡ u1 ∧ u2.

Si ha il seguente isomorfismo:

T 20 (V ) ∼= S2

0(V )⊕

Λ20(V ), t �→ s(t) + a(t).

Se (V, g) e una struttura Euclidea risulta che g appartiene a S20(V ).


Definizione 1.19. Le proprieta di simmetria si possono estendere ai tensori deltipo (r, 0) e (0, r).(a) u1 ⊗ . . . .⊗ ur e simmetrico se verifica:

u1 ⊗ . . . .⊗ ur = uσ(1) ⊗ . . . .uσ(r), ∀σ ∈ Sr,

dove Sr e il gruppo delle permutazioni di (1, . . . , r).(b) Lo spazio dei vettori simmetrici del tipo (r, 0) e indicato con il simbolo Sr

0(V ).(c) Si ha la seguente applicazione canonica:

s : T r0 (V )→ Sr

0(V ), u1 ⊗ · · · ⊗ ur �→ u1 � · · · � ur ≡1r!

∑σ∈Sr

uσ(1) ⊗ · · · ⊗ uσ(r).

(d) u1 ⊗ · · · ⊗ ur e antisimmetrico se:

u1 ⊗ · · · ⊗ ur = ε(σ)uσ(1) ⊗ · · · ⊗ uσ(r), ∀σ ∈ Sr

dove ε(σ) e la segnatura della permutazione σ. Lo spazio dei tensori antisimmetricidel tipo (r, 0) e indicato con Λr0(V ).(e) Si ha la seguente applicazione canonica:

a : T r0 (V )→ Λr0(V ),

u1 ⊗ · · · ⊗ ur �→ u1 ∧ · · · ∧ ur ≡ 1r!

∑σ∈Sr

ε(σ)uσ(1) ⊗ · · · ⊗ uσ(r).

Osservazione 1.20. Se r > 2, si ha l’inclusione propria: Sr0(V )

⊕Λr0(V ) ⊂ T r

0 (V ).

Osservazione 1.21. (Gruppi di simmetria). 1) Il gruppo di simmetria, GL(V ), diuno spazio vettoriale V , cioe l’insieme degli isomorfismi di V , che e gruppo rispettoalla legge di composizione, e isomorfo ad un gruppo di matrici, una volta che sifissa una base su V . Piu precisamente abbiamo il seguente isomorfismo:

GL(V ) ∼= GL(n;R).

2) Il gruppo di simmetria O(V, g) di uno spazio vettoriale Euclideo (V, g) e il sot-togruppo di GL(V ) che conserva la metrica:

O(V, g) ≡ {f ∈ GL(V )|So2(f)(g) = g}.

Per ogni scelta di base su V , si ha il seguente isomorfismo:

O(V, g) ∼= O(n) ≡ {(aij) ∈ GL(n;R)|(det(aij))2 = 1}.

O(n) si chiama il gruppo delle matrici ortogonali.

Osservazione 1.22. L’equazione agli autovalori per un operatore lineare A ∈ L(E),dove (E, g) e uno spazio Euclideo n-dimensionale, si scrive, rispetto ad una base{ei} su E nel modo seguente:

Ajiv

i − λδji vi = 0,

ovvero(Aj

i − λδji )vi = 0.

Questa equazione puo anche porsi nella seguente forma:

gjk(Aji − λδji )v

i = 0,


e quindi

(2) (Aik − λgik)vi = 0,

dove Aik ≡ gjkAji . Questo significa che abbiamo usato l’isomorfismo canonico

L(E) ∼= E∗ ⊗ E ∼= E∗ ⊗ E∗. L’equazione (2) ammette soluzioni se e solo se

(3) det[Aik − λgik] = 0.

Una struttura fondamentale della Matematica e della Meccanica Razionale e quelladi spazio affine. Infatti, l’arena naturale per la descrizione della Meccanica classicae lo spazio-tempo Galileiano. Questo risulta appunto uno spazio affine (arricchitodi una particolare struttura).

Definizione 1.23. (Struttura di spazio affine). La struttura di spazio affine ecomposta dai seguenti elementi:(a) M ≡ insieme di punti;(b) M ≡ spazio dei vettori liberi;(c) α ≡ M×M → M ≡ operazione di traslazione, α : (v, p) �→ p′ = p+ v. Questae transitiva e senza punti fissi. Cio significa che fissato un punto O di riferimento,mediante l’operazione di traslazione, ad ogni punto p dello spazio e associato unoed un solo vettore di M. Possiamo, cosı, pensare di ricoprire M interamente con ivettori di M.Lo spazio tangente di M in p ∈M e lo spazio vettoriale:

TpM ≡ (M, p) ∼=M.

I vettori di TpM sono chiamati vettori applicati in p.Se M e Euclideo, lo spazio affine corrispondente e detto anche Euclideo.

Proposizione 1.24. 1) Per ogni punto O ∈M abbiamo l’identificazione canonica:

M ≡M.

2) Per ogni coppia (O, {ei})1≤i≤n, dove {ei} e una base diM, abbiamo l’isomorfismo:M ∼= R4. (O, {ei}) e chiamato riferimento affine3) Ad ogni riferimento affine e associato un sistema di coordinate: xα : M → R.xα(p) e l’α-ma componente, nella base {ei}, del vettore p−O, cioe, v ≡ (p−O) =xα(p)eα.

Teorema 1.25. Siano (xα) e (xα) due sistemi di coordinate corrispondenti aiseguenti riferimenti affini (O, {ei}), (O, {ei}); essi sono legati da una trasfor-mazione affine:

(4) xα = Aαβx

β + yα

dove

(5) (yα) ∈ Rn, (Aαβ ) ∈ GL(n;R).

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