Appunti per Geometria 1 - secondo modulo

Monica Ida`

February 22, 2015

Queste sono le note del secondo modulo del corso di Geometria 1, di cui il primo modulo e` statotenuto dalla prof.M.Manaresi; quindi qui assumiamo noto tutto quanto visto in tale modulo.

Useremo le seguenti notazioni:

Se A e B sono due insiemi, A B vuol dire che A e` contenuto in o uguale a B, mentre A Bvuol dire che A e` incluso strettamente in B.

Siano f : X Y e g : Y Z due funzioni; la composizione di f e g e` la funzioneg f : X Z

x 7 g(f(x))

Siano f : X Y una funzione, e U X; f ristretta ad U e coristretta ad f(U) e` la funzione:

f|f(U)|U : U f(U)

v 7 f(v)

1 Applicazioni lineari

1.1 Le prime definizioni

Nel seguito K denota un campo fissato.

Definizione 1.1 Siano V , W due K-spazi vettoriali; una applicazione f : V W e` detta linearese v, v V , a, b K, si ha:

f(av + bv) = af(v) + bf(v)

Osserviamo che, in particolare, f(0) = f(0v) = 0f(v) = 0.

Nel seguito la frase: Sia f : V W lineare sottointende che V e W sono spazi vettoriali su unostesso campo.

Osservazione 1.2 Ricordiamo che se V e` un K-spazio vettoriale, (V,+) e` un gruppo abeliano;quindi una applicazione lineare f : V W e` un morfismo dei gruppi additivi che soddisfi lacondizione f(av) = af(v) v V , a K.

1

Esempi 1.3 Sono lineari le seguenti applicazioni:

1) f : R Rx 7 3x

2) g : R2 R2(x, y) 7 (x+ y, 3x y)

3) d : R[x] R[x]a0 + a1 + . . .+ anxn 7 a1 + 2a2x+ . . .+ nanxn1

4) f : M2(R) M2(R)(a bc d

)7

(a d bc 0

)Esempi 1.4 Non sono lineari le seguenti applicazioni:

1) g : R2 R2(x, y) 7 (1 + x, y)

2) f : R Rx 7 x2

Infatti: in 1) g(0) 6= 0; in 2) f(1 + 2) = 9, f(1) + f(2) = 5.

Definizione 1.5 Siano V , W due K-spazi vettoriali.

Una applicazione lineare f : V V e` detta endomorfismo di V .Una applicazione lineare e biettiva f : V W e` detta isomorfismo (di spazi vettoriali). Se esisteun isomorfismo f : V W , scriviamo V = W .Un isomorfismo f : V V e` detto automorfismo di V .

Proposizione 1.6 a) Siano V,W,U K-spazi vettoriali e f : V W , g : W U applicazionilineari. Allora g f : V U e` lineare.

b) Sia f : V W un isomorfismo. Allora lapplicazione inversa f1 e` lineare e quindi e` unisomorfismo.

c) Si ha: V = V ;V = W W = V ;V = W,W = U V = U .

Dimostrazione a) (g f)(av+ bv) = g(f(av+ bv)) = g(af(v)+ bf(v)) = ag(f(v))+ b(g(f(v)) =a(g f)(v) + b(g f)(v).

b) La f1 : W V esiste perche f e` biettiva. Siano w,w W , a, b K; allora esistono, e sonounici, v, v V tali che f(v) = w, f(v) = w, e si ha

f1(aw + bw) = f1(af(v) + bf(v)) = f1(f(av + bv)) = av + bv = af1(w) + bf1(w)

2

c) Lidentita` su V e` lineare e biettiva, quindi Vid= V ;

Vf= W W

f1= V per il punto b);

Vf= W,W

g= U Vgf= U per il punto a), tenendo conto che la composizione di due biezioni e`

una biezione.

Notazione 1.7 Sia V un K-spazio vettoriale finitamente generato (dora in poi scriviamo f.g.),e sia B = (v1, . . . , vn) una base. Il vettore di coordinate (a1, . . . , an) rispetto alla base B verra`denotato cos`:

(a1, . . . , an)B := a1v1 + . . .+ anvn

Proposizione-Definizione 1.8 Sia V un K-spazio vettoriale f.g., e sia B = (v1, . . . , vn) una base.Lapplicazione:

B : Kn V(a1, . . . , an) 7 (a1, . . . , an)B

e` un isomorfismo di K-spazi vettoriali, detto lisomorfismo tra V e Kn definito dalla base B.

Dimostrazione Sappiamo che B e` biunivoca. Linearita`:

B(a(a1, . . . , an)+b(b1, . . . , bn)) = B((aa1+bb1, . . . , aan+bbn)) = (aa1+bb1)v1+. . .+(aan+bbn)vn =

= a(a1v1 + . . .+ anvn) + b(b1v1 + . . . bnvn) = aB((a1, . . . , an)) + bB((b1, . . . , bn))

Notazione 1.9 Nel seguito denotiamo sempre con B lisomorfismo inverso di B, che associa adogni vettore v V , v = (a1, . . . , an)B, le sue coordinate rispetto alla base B:

B : V Knv 7 (a1, . . . , an)

Esempi 1.10 1) Se V = Kn e E = (e1, . . . , en) e` la base canonica, (a1, . . . , an) Kn si ha(a1, . . . , an) = (a1, . . . , an)E , quindi E = idKn .

2) Siano v1 = (1, 2), v2 = (3, 1) R2; allora B = (v1, v2) e` una base per R2. Consideriamo adesempio il vettore v = (0, 5); si ha v = 3v1 v2, quindi v = (3,1)B e B(v) = (3,1).

Abbiamo quindi dimostrato il:

Teorema 1.11 Se V e` un K-spazio vettoriale di dimensione finita n > 0, allora

V = Kn.

Teorema 1.12 Siano V e W K-spazi vettoriali, sia V f.g. e sia B = (v1, . . . , vn) una sua base;siano w1, . . . , wn vettori di W . Allora esiste ununica applicazione lineare f : V W tale che

f(vi) = wi, i = 1, . . . , n ()

3

Dimostrazione ): v V , siano a1, . . . , an K tali che v = aivi; poniamof(

aivi) :=

aiwi

La f cos` definita e` lineare: v, v V , v = aivi, v = bivi, a, b K, si ha:f(av + bv) = f(a

aivi + b

bivi) = f(

(aai + bbi)vi) =

=

(aai + bbi)wi = a

aiwi + b

biwi = af(v) + bf(v)

!): Siano f, g applicazioni lineari tali che f(vi) = wi, g(vi) = wi i = 1, . . . , n; allora v V ,v =

aivi, si ha:

f(v) = f(

aivi) =f lineare

aif(vi) =

aiwi =

aig(vi) =

g lineare

g(

aivi) = g(v)

Notazione 1.13 Nelle notazioni di Teorema 1.12 diciamo che lapplicazione lineare f e` ottenutaestendendo per linearita` le ()

Esempio 1.14 Lapplicazione definita in 1.8 e` ottenuta estendendo per linearita` le ei 7 vi.

Teorema 1.15 Sia f : V W lineare. Allora valgono le seguenti affermazioni:

a) Se v1, . . . , vn V sono l.d., allora f(v1), . . . , f(vn) sono l.d.

b) Se U e` sottospazio di V , allora f(U) := {f(u) | u U} e` sottospazio di W .

c) Se T e` sottospazio di W , allora f1(T ) := {v V | f(v) T} e` sottospazio di V .

d) Se U =< u1, . . . , un >, allora f(U) =< f(u1), . . . , f(un) >.

Dimostrazione a) Per ipotesi esistono a1, . . . , an K non tutti 0 tali che: a1v1+ . . .+anvn = 0;allora

0 = f(a1v1 + . . .+ anvn) = a1f(v1) + . . .+ anf(vn)

b) a, b K, w,w f(U), esistono u, u tali che w = f(u), w = f(u), e quindi:aw + bw = af(u) + bf(u) = f(au+ bu

U) f(U)

c) a, b K, v, v f1(T ), si ha f(v), f(v) T , e quindi:

f(av + bv) = af(v) + bf(v) T av + bv f1(T )d) Si ha

f(U) = {w W | u U,w = f(u)} == {w W | a1, . . . , an K,w = f(a1u1 + . . .+ anun) = a1f(u1) + . . .+ anf(un)} =

=< f(u1), . . . , f(un) >

4

Proposizione-Definizione 1.16 Sia f : V W lineare. Il nucleo di f e` il nucleo di f comemorfismo dei gruppi additivi:

Kerf := {v V, f(v) = 0}e limmagine di f e` limmagine insiemistica di f :

Imf := f(V ) = {w W, v V,w = f(v)}.

Si ha che Kerf e` un sottospazio di V , e Imf e` un sottospazio di W .

Inoltre:

per definizione f e` suriettiva se e solo se Imf = W ;

f e` iniettiva se e solo se Kerf = {0};se (v1, . . . , vn) sono generatori per V , Imf =< f(v1), . . . , f(vn) >.

Dimostrazione kerf = f1(< 0 >) e Imf = f(V ) sono sottospazi rispettivamente di V e W perTeorema 1.11.

f iniettiva Kerf = {0} e` ovvio; viceversa, sia Kerf = {0}; allora f(v) = f(v) f(v v) =0 v v Kerf v = v.

Proposizione 1.17 Siano V e W K-spazi vettorali f.g., f : V W un isomorfismo, v1, . . . , vn V , e U V , T W sottospazi. Allora si ha:

a) v1, . . . , vn generatori per V f(v1), . . . , f(vn) generatori per W ;

b) v1, . . . , vn l.i. f(v1), . . . , f(vn) l.i.;

c) (v1, . . . , vn) base per V (f(v1), . . . , f(vn)) base per W ;

d) dimV = dimW ;

e) dimU = dimf(U), dimT = dimf1(T ).

Dimostrazione a) segue da Teorema 1.15 d); b) segue da Teorema 1.15 a); c) segue da a)+b); d)segue da c); e) si vede cos`: f(U) e f1(T ) sono sottospazi per Teorema 1.15, e le applicazioni:

f|f(U)|U : U f(U)

v 7 f(v) ,f1 |f1(T )|T : T f1(T )

w 7 f1(w)sono lineari e biettive, quindi isomorfismi di spazi vettoriali, e si conclude usando d).

5