13.taglio

5/12/2018 13.taglio - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/13taglio 1/28

Il taglio nelle sezioni in C.A. rinforzate con FRP

1. Resistenza a taglio di travi in c.a.

Prima che si inneschino fenomeni fessurativi, la sollecitazione tagliante è equilibrata da

un sistema di tensioni principali che si sviluppano nel calcestruzzo, per cui in tale fase le

armature praticamente non partecipano alla resistenza. A fessurazione avvenuta, invece si

attivano diversi meccanismi resistenti a cui collaborano le parti di calcestruzzo compresse, le

armatura longitudinali tese e l’eventuale armatura trasversale presente (staffe e/o ferri

sagomati).

Per valutare la resistenza a taglio dopo la formazione della fessura si assimila lastruttura in esame ad una struttura reticolare (traliccio di Morsch), le cui aste orizzontali sono

un corrente compresso, costituito dal calcestruzzo in compressione al di sopra dell’asse

neutro, ed un corrente teso, costituito dall'armatura in trazione, collegate da un reticolo di

diagonali, compresse e tese. Tali diagonali sono formate dalle bielle compresse di

calcestruzzo delimitate dalle fessure inclinate e dalle armature trasversali tese (staffe e ferri

sagomati), che collegano i due correnti lungo l'elemento.

Fig.1

Da un punto di vista geometrico (fig.1) l'asse neutro dovuto alla flessione individua il corrente

compresso, l'armatura inferiore longitudinale rappresenta il corrente teso e le fessure diagonali

isolano le diagonali compresse di calcestruzzo; le armature trasversali disposte completano la

struttura reticolare resistente.

Questa schematizzazione non considera tuttavia l’effettivo comportamento della struttura.

Infatti le sperimentazioni condotte sulle travi in C.A. hanno mostrato che anche le travi prive

di armatura trasversale e dotate di sola armatura longitudinale hanno una resistenza a taglio

non nulla dovuta ad una serie di meccanismi resistenti, che lo schema proposto non porta in

conto. Inoltre si è osservato che le travi dotate di armatura trasversale in condizioni di rottura



57

presentano un’inclinazione delle fessure a taglio anche inferiore a 45°, consentendo un

maggiore sfruttamento delle armature.

L’approccio agli stati limite, pur adottando la schematizzazione del traliccio, introduce nel

computo della resistenza a taglio meccanismi resistenti che si attivano nelle travi anche in

assenza di specifica armatura a taglio e che, comunque, forniscono un contributo anche in

presenza della stessa.

In una trave armata solo longitudinalmente si attivano i seguenti meccanismi resistenti a

taglio:

• ingranamento inerti

•

effetto spinotto• effetto pettine

• effetto arco

1. Per quanto riguarda l'ingranamento inerti, il contributo di resistenza a taglio è dovuto

all’attrito che si sviluppa alle interfacce di una fessura obliqua, lungo la quale i due elementi

di trave tendono ad avere uno scorrimento relativo, e rappresenta la componente verticale

della risultante delle tensioni normali e tangenziali che insorgono sulla superficie di contatto.Si tratta di un vero e proprio ingranaggio tra le due facce della fessura, dipendente dalle

modalità di formazione della fessura nel calcestruzzo: la fessurazione si manifesta, difatti,

secondo la superficie più debole del materiale, cioè all’interfaccia inerte-cemento, cosicchè gli

inerti si configurano come dei veri e propri denti. Come intuibile, il contributo dipende

dall'area di contatto, dall’ampiezza delle fessure, dalla presenza di una forza assiale di

compressione, dalle caratteristiche degli inerti.

2. Il secondo meccanismo chiamato effetto spinotto, è dovuto alla presenza delle armature

longitudinali che, attraversando la zona tesa fessurata, si oppongono allo scorrimento relativo

delle due parti di trave separate dalla fessura (Fig.2.).



58

Fig. 2. Effetto spinotto.

Il contributo resistente di tale effetto è funzione di un elevato numero di fattori ed in

particolare da:

- resistenza del conglomerato

- quantità di armatura longitudinale presente in trazione.

Solitamente l’effetto spinotto esplica un contributo resistente, rispetto agli altri meccanismi,

di piccola entità ed anzi, innescando lesioni di distacco lungo l’armatura longitudinale

(splitting), può incrementare l’apertura delle lesioni inclinate e conseguentemente ridurre

l’effetto portante per ingranamento degli inerti. Da questo punto di vista, l’armatura

longitudinale non sostenuta da staffe ha l’effetto di innescare prematuramente la rottura a

taglio.

3. L’effetto pettine è stato chiaramente evidenziato in travi con sola armatura longitudinale,

dove si è osservato che le bielle inclinate di calcestruzzo, ossia i puntoni di conglomerato

integro individuato da due fessure successive, si comportano come mensole incastrate nel

corrente compresso e caricate in basso dalla variazione della forza di trazione dell’armatura

longitudinale.

In tal modo nella sezione di incastro di tale mensola si ha una sollecitazione di pressoflessione

accompagnata da taglio. Il contributo apportato da tale meccanismo varia in funzione

dell’altezza della trave.

Nelle diverse esperienze eseguite, sembra che per altezze superiori ai 50 cm 1’effetto pettine

possa essere trascurato, divenendo prevalente la sollecitazione flessionale cui la mensola è

sottoposta.



59

4. In alcuni casi un’aliquota del taglio esterno può essere fronteggiata per effetto arco ossia

mediante la formazione nella trave di un arco-tirante. A differenza dei meccanismi

precedentemente descritti che si possono individuare come singoli contributi, il meccanismo

ad arco si manifesta mediante un comportamento globale della trave, in cui si viene a creare

un vero e proprio arco di calcestruzzo compresso che si instaura tra il punto di applicazione

della forza e gli appoggi, la cui sagoma è definita dal flusso delle tensioni di compressione.

L’effetto arco è rilevante solo per travi con elevato rapporto tra altezza e luce (travi tozze),

pertanto nelle tipologie di travi più ricorrenti è generalmente trascurabile ed anche le formule

normative non ne tengono conto.

Contributo dell’armatura trasversale

Il contributo alla resistenza a taglio dell’armatura trasversale è tradizionalmente ricavato sulla

base dell’analogia del traliccio di Ritter-Morsch, precedentemente introdotto.

In base a questa analogia una trave in c.a. con fessure inclinate può essere sostituita da una

travatura reticolare a correnti paralleli e con aste incernierate ai nodi. Questo modello assume

che le fessure si formino a 45° rispetto all’asse longitudinale e che le aste di parete siano

costituite da puntoni di calcestruzzo paralleli alle fessure e dalle armature a taglio che

svolgono il ruolo di tiranti.

In realtà il meccanismo a traliccio interagisce con i meccanismi di resistenza del calcestruzzo

e la resistenza a taglio da esso fornita non è un termine indipendente dagli altri meccanismi

resistenti. Le staffe hanno l’effetto di limitare l’apertura delle fessure diagonali, migliorando il

contributo di ingranamento degli inerti, e di migliorare l’effetto spinotto sostenendo le

armature longitudinali.

Inoltre, la collaborazione dell’armatura trasversale è rilevante nel meccanismo di trave,

mentre è meno efficace quando il contributo del meccanismo di arco prevale rispetto a quellodi trave.

Una volta definita l’esistenza di diversi contributi alla resistenza a taglio delle travi in C.A.,

per la valutazione del taglio ultimo si possono utilizzare due metodi: il metodo standard

suggerito sia dalla normativa italiana che dall'Eurocodice 2 con piccole differenze, ed il

metodo del traliccio ad inclinazione variabile.

Nel caso del metodo standard, la resistenza dell’elemento si ottiene sommando il contributo

della trave armata solo longitudinalmente (portando in conto il contributo del calcestruzzo) e



60

quello del traliccio che si forma in presenza di armature a taglio trasversali.

Nel metodo del traliccio ad inclinazione variabile si può valutare solo la resistenza di una

trave con armature trasversali ma considerando variabile l’inclinazione delle fessure si può

tenere in conto il contributo degli altri meccanismi resistenti.

Nella verifica del traliccio, sia per il metodo standard sia per il metodo ad inclinazione

variabile, si introduce la verifica delle bielle di calcestruzzo compresso, evidenziando quindi

la possibilità che la crisi dell’elemento per taglio si possa verificare non solo per insufficienza

di armatura trasversale, ma anche per eccessiva sollecitazione del calcestruzzo. Questo aspetto

è particolarmente importante per la valutazione della resistenza in presenza di interventi di

rinforzo, in quanto, in perfetta analogia con quanto già sottolineato per il rinforzo a flessione,

anche per il taglio l’incremento di resistenza che si può ottenere non dipende solo dalla

quantità di materiale di rinforzo, ma anche dalle modalità di crisi. Se la crisi a taglio si

verifica per schiacciamento del corrente o delle bielle compresse del traliccio resistente

l’applicazione della lamina può risultare inefficace.



61

1.1 Metodo standard dell’Eurocodice2

Il metodo standard è basato sul principio generale che la resistenza a taglio di un trave si

ottiene come somma della resistenza a taglio dell’elemento armato solo longitudinalmente e

di quella dovuta alla presenza di armature di parete che consentono la formazione di un

traliccio resistente.

Pertanto si possono considerare due possibili situazioni:

- elementi che non richiedono armatura a taglio

- elementi armati a taglio.

a) Elementi che non richiedono armatura a taglio

Non è richiesto il progetto di un’armatura a taglio specifica quando il taglio di progetto V sd

risulti minore del contributo, VRd1, fornito dai meccanismi resistenti che si attivano in una

trave armata solo longitudinalmente:

db]15.0)402,1(k [V cps1rd1rd ⋅⋅σ⋅+ρ+⋅⋅τ= 1.

in cui:

− τrd è la resistenza unitaria a taglio di calcolo del calcestruzzo:c

ctk Rd

f

γ τ 05.025.0 ⋅

=

dove f ctk0.05 è il valore caratteristico inferiore della resistenza a trazione (frattile 5%) pari a:

f ctk0.05 = 0.7⋅f ctm

in cui f ctm è la resistenza media a trazione del calcestruzzo:

3 / 23.0 ck ctm f f ⋅= dove f ck è la resistenza a compressione caratteristica del calcestruzzo

espressa in [MPa].

- k 1 è un coefficiente, pari a 1 per elementi in cui più del 50% dell’armatura inferiore è

interrotta, o, in caso contrario, pari a:

k 1=1.6—d ≥ 1 con d altezza utile della sezione espressa in metri.



62

− ρ s=Asl /(bd) con As1 l’area dell’armatura longitudinale tesa che si estende oltre la sezione

che si verifica a taglio per una lunghezza non minore di d+lb,net, ove lb,net è la lunghezza

d’ancoraggio necessaria calcolata secondo normativa.

− σ cp è la tensione longitudinale nella sezione dovuta ai carichi o alla precompressione,

positiva se di compressione.

- b è la larghezza minima dell’anima della trave e d è l’altezza utile della sezione

- d è l’altezza utile della sezione

Pertanto se Vsd < VRd1 si disporrà l’armatura minima ed occorrerà verificare solo la resistenza

delle bielle compresse di calcestruzzo, VRd2:

d9.0bf 2

1V cd2Rd ⋅⋅⋅⋅ ν⋅= > Vsd 2.

b) Elementi armati a taglio

Il taglio ultimo sollecitante (Vsd), in tal caso maggiore di VRd1, deve risultare minore o uguale

del più piccolo tra i due valori di resistenza ultima: Vrd3, corrispondente alla crisi

dell’armatura trasversale e Vrd2, corrispondente alla crisi del calcestruzzo compresso.

La resistenza Vrd3 si ottiene come somma del contributo della trave armata solo

longitudinalmente e del traliccio che si forma in presenza di armatura trasversale:

Vrd3 = Vrd1+Vwd

Dove i due contributi sono rispettivamente:

db]15.0)402,1(k [V cps1rd1rd ⋅⋅σ⋅+ρ+⋅⋅τ= (1)

αα+⋅⋅⋅= sen)gcot1(f d9.0p

AV ywd

fwwd (3)

in cui:

− τrd è la resistenza unitaria a taglio di calcolo del calcestruzzo:c

ctk Rd

f

γ τ 05.025.0 ⋅

=



63

dove f ctk0.05 è il valore caratteristico inferiore della resistenza a trazione (frattile 5%) pari a:

f ctk0.05 = 0.7⋅f ctm

in cui f ctm è la resistenza media a trazione del calcestruzzo:

3 / 23.0 ck ctm f f ⋅= dove f ck è la resistenza a compressione caratteristica del calcestruzzo

espressa in [MPa].

- k 1 è un coefficiente, pari a 1 per elementi in cui più del 50% dell’armatura inferiore è

interrotta, o, in caso contrario, pari a:

k 1=1.6—d ≥ 1 con d altezza utile della sezione espressa in metri.

− ρ s=Asl /(bd) con As1 l’area dell’armatura longitudinale tesa che si estende oltre la sezione

che si verifica a taglio per una lunghezza non minore di d+lb,net, ove lb,net è la lunghezza

d’ancoraggio necessaria calcolata secondo normativa.

− σ cp è la tensione longitudinale nella sezione dovuta ai carichi o alla precompressione,

positiva se di compressione.

- b è la larghezza minima dell’anima della trave e d è l’altezza utile della sezione

- d è l’altezza utile della sezione

- p il passo tra le staffe

- α = inclinazione dell’armatura a taglio (α =90° per staffe verticali)

- f ywd= tensione di snervamento dell’armatura a taglio

- Afw= area dell’armatura a taglio

La massima forza di taglio di calcolo Vrd2 che può essere sopportata senza rottura delle bielle

compresse è:

)cot1(9.02

12 α ν gd b f V cd Rd +⋅⋅⋅⋅⋅= (3.4)



64

essendo v un fattore di efficienza, che tiene conto della riduzione della resistenza a

compressione di calcolo per effetto dello stato tensionale biassiale: 5.0200

7.0 ≥−= ck f ν , dove

f ck è espressa in [MPa] e f cd è la resistenza a compressione di progetto: f cd = 0.85*0.83*f ck / γ c.

In definitiva la resistenza a taglio risulta

Vrd=min(Vrd2, Vrd3) (3.5)

1.2 Verifica dell’armatura longitudinale

A tale verifica va aggiunta quella relativa all’armatura longitudinale che deve sopportare uno

sforzo di trazione dovuto al momento Msd e al taglio Vsd che sono i valori ultimi sollecitanti di

progetto. Tale sforzo è pari a:

)cot1(2

1α −⋅⋅+= sd

sd

d V z

M T (3.6)

con z = 0.9d.

La forza di trazione aggiuntiva che le armature devono sostenere è dunque pari a:

)cot1(2

1α +⋅⋅= sd da V T

e quindi l’armatura longitudinale aggiuntiva da introdurre nella trave è fornita da

sd

yld

sla V f

A ⋅⋅

=2

1⋅ (1+cotgα) (3.7)



65

1.3 Minimo di armatura a taglio

Di regola almeno il 50% dell’armatura a taglio deve essere realizzata con staffe.

I minimi di armatura a taglio previsti dall’EC2 sono indicati in tabella in funzione delle classi

del calcestruzzo e dell’acciaio in termini di percentuale di armatura a taglio:

Classi di AcciaoClassi di calcestruzzo

S220 S400 S500

Da C12/15 a C20/25 0.0016 0.0009 0.0007

Da C25/30 a C35/45 0.0024 0.0013 0.0011

Da C40/50 a C50/60 0.003 0.0016 0.0013

La percentuale di rinforzo a taglio è definita:

ρw= Asw /p⋅bw⋅senα

Essendo:

- Asw l’area di armatura a taglio,

- p il passo,

- bw la larghezza dell’anima dell’elemento,

- α l’angolo tra l’armatura a taglio e l’armatura principale (per staffe α=90°, senα=1).



66

2. Calcolo della resistenza a taglio secondo la normativa italiana

a) Elementi che non richiedono armatura a taglio

Non è richiesto il progetto di un’armatura a taglio specifica quando il taglio di progetto V sd

risulti minore del contributo, VRd1, fornito dai meccanismi resistenti che si attivano in una

trave armata solo longitudinalmente:

δ⋅⋅ρ+⋅−⋅⋅= bd)501()d6.1(f 25.0V ld,ct1rd

Dove

- 6.1 / f 3.0 / f f 3 / 2ck cctmctd ⋅=γ = è la resistenza a trazione di progetto espressa in [MPa].

− ρl = Asl /(bd) con As1 l’area dell’armatura longitudinale tesa

- b e d minima larghezza ed altezza della sezione

- δ =1 in assenza di sforzo normale, δ = 0 in presenza di un apprezzabile sforzo normale di

trazione, δ = 1 +M0 /MSdu in presenza di sforzo di compressione (o di precompressione); M0 è

il momento di decompressione riferito alla fibra estrema della sezione sui cui agisce MSdu;

MSdu è il momento agente massimo di calcolo nella regione in cui si effettua la verifica a

taglio, da assumersi almeno pari a M0.

Pertanto se Vsd < VRd1 si disporrà l’armatura minima ed occorrerà verificare solo la resistenza

delle bielle compresse di calcestruzzo, VRd2:

d9.0bf 3.0V cd2Rd ⋅⋅⋅⋅= > Vsd

b) Elementi armati a taglio

Il taglio ultimo sollecitante (Vsd), in tal caso maggiore di VRd1, deve risultare minore o uguale

del più piccolo tra i due valori di resistenza ultima: Vrd3, corrispondente alla crisi

dell’armatura trasversale e Vrd2, corrispondente alla crisi del calcestruzzo compresso e

calcolato come visto prima.

La resistenza Vrd3 si ottiene come somma del contributo dei meccanismi resistenti del

calcestruzzo e del contributo dell’armatura trasversale:



67

Vrd3 = Vrd1+Vwd

Dove i due contributi sono rispettivamente:

δ⋅⋅⋅⋅= d,ct1rd f db6.0V

)sen(cosf d9.0p

AV ywd

fwwd α+α⋅⋅⋅=

Essendo α l’inclinazione dell’armatura trasversale rispetto all’asse della trave (generalmente

per staffe = 90°).

Nelle travi si devono prevedere staffe aventi sezione complessiva non inferiore a

Ast = 0,10 (1+0,15 d/b) b cm²/m

essendo d l'altezza utile della sezione e b lo spessore minimo dell'anima in cm, con un minimo

di tre staffe al metro e comunque passo non superiore a 0,8 volte l'altezza utile della sezione.

In prossimità di carichi concentrati o delle zone d'appoggio, per una lunghezza pari all'altezza

utile della sezione da ciascuna parte del carico concentrato, il passo delle staffe non dovrà

superare il valore 12 φ essendo φ il diametro minimo dell'armatura longitudinale.

Le staffe devono essere collegate da apposite armature longitudinali.



68

3. Resistenza a taglio di travi in c.a. esternamente rinforzate a taglio con lamine

in FRP

Il metodo di calcolo proposto per la valutazione del taglio resistente di una trave

rinforzata esternamente a taglio con lamine in FRP segue un approccio formalmente analogo

a quello appena illustrato per le sezioni in C.A.: il contributo della trave armata solo

longitudinalmente viene sommato a quello delle armature trasversali e in tal caso anche a

quello del rinforzo esterno.

Poiché le lamine in FRP mostrano un comportamento elastico lineare fino a rottura, il

contributo portante del rinforzo fibroso è definito da un valore limite della deformazione

specifica efficace (εf,e) della lamina tesa. Tale valore limite rappresenta l’allungamento

unitario delle fibre al momento della crisi per taglio della trave e non coincide in genere con il

valore ultimo (εf,u) a rottura reale del materiale: si assume infatti che la crisi dell’elemento

C.A.-FRP possa avvenire per effetto di un improvviso distacco della lamina dal supporto in

calcestruzzo (peeling off) prima del superamento della deformazione εf,u.



69

3.1 Calcolo della resistenza a taglio delle fibre secondo il bollettino fib 14 (2001)

Il contributo a taglio offerto dalla lamina può essere scritto in una forma analoga al contributo

fornito dall’armatura interna, assumendo che la lamina sopporti solo sforzi normali nella

direzione delle fibre:

f e fk f fw fd senggd b E V γ α α ϑ ε ρ / )cot(cot9.0, ⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

dove:

b = larghezza della sezione trasversale

d = altezza utile della sezione trasversale

ρfw = percentuale di rinforzo a taglio offerto dalla lamina di FRP

Ef = modulo elastico della lamina di FRP

α = orientamento delle fibre rispetto all’asse della trave

θ = angolo formato dalle fessure diagonali con l’asse della trave, assunto uguale a 45°

seguendo la procedura del metodo standard

εfk,e = deformazione caratteristica effettiva della lamina di FRP

γ f = fattore parziale di sicurezza delle fibre.

Fig. 3: Contributo delle lamine in FRP alla resistenza a taglio.



70

d

c

w f

bw

t f

H z Angolo distrisce/fogliin FRP

Angolofessura

s f

β θ

pf

wf

θ

bw

hd

t s

angolo

fibre

angolo

fessure

La percentuale di rinforzo a taglio (ρfw) è data dal rapporto tra il volume di fibra per unità di

lunghezza diviso il corrispondente volume di calcestruzzo, per cui essendo:

– tf spessore lamina;

– bf larghezza delle strisce di rinforzo a taglio;

– sf passo tra le fasce;

– b larghezza trave;

si ha per rinforzi discontinui:

bs

bt

f

f f

fw⋅

⋅⋅

=

2

ρ

Per rinforzi a taglio realizzati in maniera continua la percentuale di rinforzo a taglio assume

l’espressione:

b

t f fw

⋅=

2 ρ

- Il valore caratteristico della deformazione effettiva εfk,e può essere approssimato

moltiplicando il valore medio della deformazione effettiva εf,e per un fattore riduttivo λ=0.8 .

Quindi nell’espressione di Vfd, assumendo εfk,e = λ⋅εf,e e λ= 0.8, si può anche definire la

deformazione di progetto nelle fibre come:

εfd,e = εfk,e / γ f

I valori proposti per i fattori parziali di sicurezza in ipotesi di crisi per trazioni della fibre sono

riportati in tabella:



71

FRP Applicazione tipo A Applicazione tipo B

CFRP 1.20 1.35

AFRP 1.25 1.45

GFRP 1.30 1.50

Applicazione tipo A: sistemi FRP ‘prefab’ sotto normali condizioni di controllo di qualità.

Applicazione tipo B: sistemi FRP ‘wet-lay-up’ sotto normali condizioni di controllo di

qualità, tutti i sistemi in condizioni di applicazione in sito difficili.

Se la crisi è prevista per delaminazione del rinforzo si assume γ f = γ f,d = 1.30.

Si definisce inoltre una deformazione massima nella lamina per garantire l’integrità del

calcestruzzo e che è posta pari a εmax = 0.006; se la crisi è governata da questo valore di

deformazione si assume analogamente γ f = 1.30 (εfk,e = εmax).

Sulla base di svariati studi sperimentali sono state proposte diverse formulazioni per il calcolo

del parametro “deformazione efficace media” εf,e che contemplano la dipendenza di tale

parametro dalla rigidezza della lamina ( ρ fw*E f ), dal tipo di lamina (fibre in carbonio o

aramidiche), dalla resistenza media del calcestruzzo ( f cm) e dalle modalità di rottura.

In particolare si ha:

1. FRP debonding:3

56.03 / 2

, 1065.0 −⋅

⋅⋅=

f fw

cm

e f E

f

ρ ε

2. CFRP rottura per trazione:

30.03 / 2

,

,17.0

⋅⋅=

f fw

cm

u f

e f

E

f

ρ ε

ε

3. AFRP rottura per trazione:

47.03 / 2

,

,048.0

⋅⋅=

f fw

cm

u f

e f

E

f

ρ ε

ε

A seconda dello schema di avvolgimento utilizzato per il rinforzo a taglio e del tipo di fibre la

deformazione effettiva si calcola come:



72

- CFRP “Totally wrapped” o applicazioni con opportuni sistemi di ancoraggio: εf,e è ottenuta

dall’equazione 2.

- CFRP side only o U-jacket : εf,e

è ottenuta come il minimo valore fornito dalle equazioni 1 e2.

- AFRP “Totally wrapped” : εf,e è ottenuta dall’equazione 3.

In tutte le equazioni f cm è espresso in MPa ed Ef è espresso in GPa.

La deformazione effettiva media del FRP è quindi calcolata come il minimo di tre valori:

– εfk,e ≤ εmax →, εfk,e = λ εf,e ≤ εmax ⇒ εf,e ≤ εmax / λ = 0.006/0.8 =0.00625 per cui in

definitiva: εf,e ≤ 0.0075;

– la deformazione corrispondente al debonding del FRP (equazione 1);

– la deformazione corrispondente alla rottura per trazione del FRP (equazioni 2 e 3).

3.1.2. Raccomandazioni di progetto

1. Per valori di ρfw⋅Ef al di sotto di un valore limite (ρfw⋅Ef )lim , si è visto sperimentalmente

che il progetto del rinforzo a taglio con lamine in CFRP è governato dalla limitazione della

deformazione delle fibre (εfk,e ≤ εmax). Ciò indica che non si è attivato alcun meccanismo di

rottura delle fibre o del legame di aderenza e quindi il contributo del FRP alla resistenza a

taglio è proporzionale a ρfw⋅Ef .

2. Per valori di ρ fw· E f che superano il valore limite ( ρ fw· E f )lim la rottura è governata:

− dal peeling-off combinato con la rottura per taglio del calcestruzzo, se la lamina di FRP

non è sufficientemente ancorata (nel caso ad esempio di schemi di avvolgimento side

only ed U-jacket)



73

− dalla rottura per taglio del calcestruzzo combinata con o seguita dalla rottura per

trazione del FRP, se la lamina è sufficientemente ancorata (nei casi di schemi di

applicazione totally wrapped).

Nel primo caso l’incremento di resistenza a taglio al crescere di ρ fw· E f è abbastanza

consistente, mentre la resistenza del calcestruzzo gioca un ruolo di secondaria importanza, nel

secondo caso invece l’incremento di resistenza a taglio al crescere di ρ fw· E f è trascurabile, ma

la resistenza del calcestruzzo gioca un ruolo importante se le fibre sono sufficientemente

ancorate.

Pertanto la rigidezza della lamina di FRP ρ fw· E f non dovrebbe eccedere il valore limite

( ρ fw· E f )lim, a meno che il peeling-off non possa essere prevenuto usando ancoraggi meccanici.

Il valore limite ( ρ fw· E f )lim affinché non si abbia il peeling-off è fornito dalla seguente

equazione:

3 / 23 / 2

56.0 / 1

max

3

018.01065.0

cmcm f f f f

k E ⋅=⋅

⋅⋅=⋅

−

ε ρ

Pertanto se il valore adottato per ( ρ fw· E f ) è maggiore del valore limite e qualora non sia

possibile ridurre la percentuale di fibre o il modulo elastico, occorre prevedere degli

ancoraggi meccanici.

3. Il passo delle strisce di FRP usate verticalmente non dovrebbe superare il valore 0.8 ·d, in

modo che nessuna fessura diagonale possa formarsi senza intercettare una striscia.



74

3.2 Calcolo della resistenza a taglio delle fibre secondo le istruzioni CNR DT 200-2004



75

Esempio numerico

Viene calcolato il taglio ultimo di una sezione in C.A. considerando i seguenti

coefficienti di sicurezza parziali per i materiali:

– calcestruzzo: γ c = 1.6;

– acciaio: γ s = 1.15;

Le dimensioni della sezione e le caratteristiche dei materiali sono riportate di seguito:

– sezione 30x50;

– copriferro 4 cm;

– armatura tesa: 3φ18 (As=7.63 cm2)

– staffe: φ8 disposte con passo 20 cm (Af=1 cm2);

– calcestruzzo Rck 25 Mpa;

– Acciaio Feb44k;

Calcolo della resistenza a taglio della sezione in c.a. in assenza di rinforzo esterno:

(formulazione EC2)

Taglio resistente: Vrd = min(Vrd2, Vrd3)

Vrd3 = Vrd1+Vwd

Calcolo di Vrd2:resistenza delle bielle compresse di cls

5.06.0200

f 7.0 ck >=−= ν essendo f ck = 0.83 25 = 20.75 MPa

f cd = 0.85*0.83*Rck / γ c = 110Kg/cm2, essendo γ c = 1.6

b= 30 cm; d = H-c = 50-4 = 46 cm



76

)gcot1(d9.0bf 2

1V cd2Rd α+⋅⋅⋅⋅⋅ ν⋅= = 0.5·0.6·110.2·30·0.9·46 = 40817Kg ≈ 408.2kN

essendo per α=90° (inclinazione dell’armatura a taglio) cotgα=0

Calcolo di Vrd3

a) Calcolo di Vrd1: contributo dei meccanismi resistenti del cls

3 / 23.0 ck ctm f f ⋅= =0.3·(20.75

2/3)= 2.27MPa; f ctk0.05 = 0.7⋅f ctm= 0.7⋅2.27=1.6 MPa;

c

05.0ctk Rd

f 25.0

γ

⋅=τ = 0.25⋅1.6 / 1.6 = 0.25 MPa;

ρs=As /(bd) =7.63/(30⋅46)= 0.00553;

k 1=1.6-d=1.6–0.46=1.14≥1 dove d=altezza utile della sezione è espressa in metri;

hb)402,1(k V s1rd1rd ⋅⋅ρ+⋅⋅τ= = 0.25⋅1.14⋅(1.2+40⋅0.00553)⋅30⋅46=5807Kg ≈ 58 kN

b) Calcolo di Vwd

Asw= 1cm2; p=10 cm; d=46 cm; f ywd = f yw / γ s= 4400/1.15=3826 Kg/cm

2;

L’armatura interna è realizzata con staffe per cui α=90°

⇒ α α seng f d p

AV ywd

fw

wd )cot1(9.0 +⋅⋅⋅= = Afw⋅0.9/p⋅d⋅ f ywd = 1⋅0.9⋅46/20⋅3826=

= 7900Kg ≈ 79kN

Vrd3 = Vrd1+Vwd = 58+79 = 137 kN

Vrd = min(Vrd2, Vrd3)= min(408.2, 137)=137 kN = Vrd3



77

2. Calcolo della resistenza a taglio della sezione in c.a. in assenza di rinforzo esterno:

(formulazione della normativa italiana)

Taglio resistente: Vrd = min(Vrd2, Vrd3)

Vrd3 = Vrd1+Vwd

2.1 Calcolo di Vrd2:resistenza delle bielle compresse di cls

d9.0bf 3.0V cd2Rd ⋅⋅⋅⋅= =0.3·110·30·0.9·46 = 40986kg = 410kN

Essendo:

- f cd = 0.85*0.83*Rck / γ c = 110Kg/cm2, essendo γ c = 1.6

- b= 30 cm; d = H-c = 50-4 = 46 cm

2.2 Calcolo di Vrd3

a) Calcolo di Vrd1: contributo dei meccanismi resistenti del cls

δ⋅⋅⋅⋅= d,ct1rd f db6.0V = 0.6·30·46·10·1= 8280Kg = 82.8kN

Essendo:

3 / 2ck ctm f 3.0f ⋅= =0.3·(20.752/3)= 2.27MPa;

f ctk0.05 = 0.7⋅f ctm= 0.7⋅2.27=1.6 MPa;

f ct,d = f ctk0.05 / γ c = 1.6/1.6 = 1MPa

δ = 1 in assenza di sforzo normale

- b= 30 cm; d = H-c = 50-4 = 46cm

b) Calcolo di Vwd

Asw= 1cm2; p=20 cm; d=46 cm; f ywd = f yw / γ s= 4400/1.15=3826 Kg/cm2;

L’armatura interna è realizzata con staffe per cui α=90°



78

⇒ ywdfw

wd f d9.0p

AV ⋅⋅⋅= =1⋅0.9⋅46/20⋅3826= = 7900Kg ≈ 79kN

Vrd3 = Vrd1+Vwd = 82.8+79 = 162 kN

Vrd = min(Vrd2, Vrd3)= min(410, 162)= 162 kN = Vrd3



79

3. Calcolo della resistenza a taglio della sezione in c.a. con rinforzo esterno:

(secondo bollettino fib 14 2001 ed istruzioni CNR DT200/2004)

Si ipotizza di realizzare un rinforzo a taglio del tipo U-jacket con fibre continue, disposte

perpendicolarmente all’asse della trave (α=90°).

Le fibre di carbonio utilizzate hanno resistenza a trazione 3500 Mpa, deformazione ultima

0.015, modulo elastico 230 GPa, spessore 0.165mm.

- Vrd = min(Vrd2, V’rd3)

- V’rd3 = Vrd1+Vwd+Vfrp

Per il bollettino fib Il calcolo di Vrd2, Vrd1,Vwd resta invariato rispetto alla sezione in

c.a. secondo quanto indicato dall’Eurocodice2 per cui:

Vrd2= 408 kN

Vrd1 = 58 kN

Vwd = 79 kN

Per le istruzioni CNR calcolo di Vrd2, Vrd1,Vwd resta invariato rispetto alla sezione in

c.a. secondo quanto indicato dalla normativa italiana per cui:

Vrd2= 410 kN

Vrd1 = 83 kN

Vwd = 79 kN



80

3.a. Calcolo di Vfrp (secondo bollettino fib 14 2001)

f e,fk f fwfd / sen)gcotg(cotd9.0bEV γ α⋅α+ϑ⋅⋅⋅⋅ε⋅⋅ρ=

Il rinforzo a taglio realizzato con fibre continue disposte perpendicolarmente all’asse della

trave (α=90°) secondo lo schema U-jacket.

α=90° ⇒ Cotgα=0 sen α=1

θ=45° ⇒ Cotgθ=1

f e,fk f fwfd / d9.0bEV γ ⋅⋅⋅ε⋅⋅ρ=

Coefficiente di sicurezza delle fibre: γ f =1.35

b=30 cm; d=H-c=50-4=46 cm

Ef = 2300000 Kg/cm2

b

t2 f fw

⋅=ρ = 2·0.165/300=0.0011

- resistenza a compressione media del calcestruzzo: f cm= f ck /0.7 = 20.75/0.7 = 30MPa

- deformazione ultima delle fibre di carbonio: εf,u=0.015

εf,e= min (εf,e1, εf,e2 ) dove

− εf,e1= deformazione effettiva dell’FRP in ipotesi di rottura per debonding:

3

56.0

f f

3 / 2cm

1e,f 10E

f 65.0 −⋅

⋅ρ⋅=ε = 0.0049

− εf,e2= deformazione effettiva dell’FRP in ipotesi di rottura per trazione e di fibre in carbonio:

u,f

30.0

f f

3 / 2cm

2e,f E

f 17.0 ε

⋅ρ⋅=ε = 0.0102

Il valore di deformazione effettiva massima che va considerato deve essere comunque

inferiore a 0.006.

εf,e= 0.0049 che è inferiore al valore limite di 0.006. Il valore caratteristico si calcola quindi:



81

εfk,e= 0.8· εf,e=0.8·0.0049 = 0.0039

E quindi il taglio resistente portato dalle fibre:

Vfrp= 0.0011·2300000·0.0039·30·0.9·46/1.25=10164 Kg = 102 kN

V’rd3= Vrd1+Vwd+Vfrp= 58 + 79+102= 239 kN

Vrd=min(Vrd2, V’rd3)=min(408, 239)=239 k V’rd3

Sezione Taglio ultimo rottura

C.A.Vrd=min(Vrd2,Vrd3)

137 kN Vmin= Vrd3

C.A.-FRPVrd=min(Vrd2,Vrd3+Vfrp)

239 kNVmin= (V’rd3)

εf,e calcolato in ipotesi di rottura per peeling

Incremento [%] 74%



82

3.b Calcolo di Vfrp (secondo istruzioni CNR)

Il rinforzo a taglio realizzato con fibre continue disposte perpendicolarmente all’asse della

trave (β=90°) secondo lo schema U-jacket.

β=90° ⇒ Cotgβ=0 sen β=1

θ=45° ⇒ Cotgθ=1

f

Rd,f fed f

Rd f

1 cot cot0.9 2

sin( )

wV d f t

p

θ β

γ θ β

+= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+= Rd

f

f f fed /

p

wt2f d9.0 γ ⋅⋅⋅

b=30 cm; d=H-c=50-4=46 cm

Ef = 2300000 Kg/cm2

tf = 0.165mm

Essendo il rinforzo continuo si ottiene che wf /pf = 1

Coefficiente di sicurezza relativo al modello di calcolo: γ Rd = 1.2

La tensione efficace nelle fibre si calcola:

{ }e

fed fdd

w

sin113 min 0.9 ,

l f f d h β = ⋅ −

Dove f fdd è la tensione di delaminazione:

f Fk fdd

f f,d c

21 E f

t

Γ

γ γ

⋅ ⋅= ⋅

⋅

Fk b ck ctm0 03. k f f Γ = ⋅ ⋅ ⋅

essendo γ c=1.6, γ fd = 1.5 e le dimensioni espresse in mm e le tensioni e i moduli elastici in

MPa, ed adottando nell’espressione di k b:

f wmin{0.9 , } sin( ) / sinb b d h= = ⋅ +θ β θ

→ bf = b = min (0.9d, hw) = 0.9d = 414mm



83

400 / b1

b / b2k

f

f b

+

−= = 0.7 < 1, per cui si adotta 1

f ck = 0.83 25 = 20.75 MPa;3 / 2

ck ctm f 3.0f ⋅= =0.3·(20.752/3

)= 2.27MPa

Fk b ck ctm0 03. k f f Γ = ⋅ ⋅ ⋅= 0.03 1 3.27.20 ⋅ = 0.206

f Fk fdd

f f,d c

21 E f

t

Γ

γ γ

⋅ ⋅= ⋅

⋅=

165.0

206.02300002

6.15.1

1 ⋅⋅

⋅= 409 MPa

)cf /(tEL2ctmf f e

⋅= = )23.2 /(165.0230000 ⋅⋅ = 91mm

La tensione effettiva nelle fibre è quindi pari a:

⋅

β−⋅=

)h,d9.0min(3

sinl1f f

w

efddfed = 409 ·

⋅−

4143

911 = 409 ·0.93 = 379 MPa

VRdf = Rd

f

f f fed /

p

wt2f d9.0 γ ⋅⋅⋅ = 414 · 379·2·0.165·1 / 1.2 = 43.7 kN

Vrd = min (Vrd2, V’rd3)

- V’rd3 = Vrd1+Vwd+Vfrp

Vrd = min (410, 82.8 + 79 + 43.7) = 205.7 kN

Sezione Taglio ultimo rottura

C.A.

Vrd=min(Vrd2,Vrd3)162 kN Vmin= Vrd3

C.A.-FRP

Vrd=min(Vrd2,Vrd3+Vfrp)205.7 kN Vmin= (V’rd3)

Incremento [%] 27 %

13.taglio

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