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MECCANICA

• STATICA• CINEMATICA • DINAMICA

Biotecnologie 2011-2012

1Saverio Altieri Dipartimento di Fisica Università di Pavia

FISICA SPERIMENTALE

Corso di Laurea in BIOTECNOLOGIE

Saverio Altieri

CINEMATICASTUDIO DEL MOTO DAL PUNTO DI VISTA GEOMETRICO

DINAMICA

STUDIO DEL MOTO DAL PUNTO DI VISTA DELLE CAUSE

PUNTO MATERIALE: punto matematico senza dimensione dimensioni piccole rispetto al sistema che si sta studiando



xf

x

xi

X = 0

î

MOTO IN UNA DIMENSIONE

Velocità media

x

x

t=

xf - xi î tf - ti

Vm = [L]

[T]

m

s

ti tft

t = 0t

Vm



x

t

1

n

t

x

x(t)

t1 tn

xn

x1

x(t) equazione oraria posizione istante per istantePiano x-t

x

tVm = = tg

x1 t1

x2 t2

x3 t3

… …

xn tn



Velocità istantanea

t

x

P

Q

Q’Q’’

ti

t1

t2

t3

t3 tft2

xi

x3

x2

xf x1

tangente in P

x

tl i m

t 0Vi =

dx

dt=

modulo = tg

direzione data dalla retta del moto rettilineo

x2



t

x

SR

P

P

Q

S

viP = tg P > 0

ViQ

= tg Q > 0

viR = tg R = 0

viS = tg S < 0

tS

xS Q

xP

xQ

xR

modulo vi = tg

Parte da xP, arriva in xRdove si ferma e torna indietro



Accelerazione media

v

t=

vf - vi î tf - ti

am = [T]

[T]

m

s2

[L]

Accelerazione istantanea

v

tl i m

t 0ai =

d2x

dt2=

dv

dt=

d

dt=

dx

dt

ACCELERAZIONE: variazione di v nel tempo



v(t) velocità istante per istantePiano v-t

v

tam = = tg

v1 t1

v2 t2

v3 t3

… …

vn tn

v

t

P

Q

t

v

v(t)

tP tQ

vQ

vP



)t(x

14)t(vdt

da xx ==

2735)( tttx ++= t143vx += 14ax =

2t7t35)t(x ++=

t143)t(xdt

dvx +==

)t(xdt

d)t(x

dt

d

dt

d)t(v

dt

da

2

2

xx ===

)t(xdt

dvx =

14

10

06

0214tg =θ



)()(

)()()(

)()()(

txdtvtvdtaa

tvdttvdt

ddtatv

dt

da

txtxdt

ddtvtx

dt

dv

xxxx

xxxxx

xx

=⇒=⇒

==→=

==→=

∫∫

∫∫

∫∫



)t(a x

5)t(a x =

x0xx vdt)t(av += ∫dtvdt)t(a(dt)t(v)t(x x0xx ∫∫ ∫∫ +==

002

0 52

15)()( xtvtdtvdttdttvtx xxx ++=+== ∫∫∫

xxx vtdttav 05)( +== ∫



000

0

)(

0

xtvdtvtx

vv

a

xx

xx

x

+==

==

∫

Moto rettilineo uniforme

t

00)( xtvtx +=x

0x

t

v0)( vtv =

0v

t

a 0)( =ta

0

ALCUNI ESEMPI



xx ata 0)( = 2000 2

1)( tatvxtx xx ++=tavv xxx 00 +=

002

000

000

0

2

1)()()(

)(

)(

xtvtadtvtadttvtx

vtadtadttav

akta

xxxxx

xxxxx

x

++=+==

+===

==

∫∫∫∫

Moto uniformemente accelerato

t

v

xv0

t

a

xa0

t

x

0x

java

http://www.walter-fendt.de/ph14i/



++=

+=

200

0

2

1tatvxx

tavv

xx

xxx

( ) ( )

−+−=−

−=

2

200

00

0

2

1

x

xxx

x

xxx

x

xx

a

vva

a

vvvxx

a

vvt

( )

−+−=− xxxxx

x

vvvvva

xx 0000 2

1

2

11

( )

+−=− xxxx

x

vvvva

xx2

1

2

11000

( )( )x

xxxxxx

x a

vvvvvv

axx

22

1 20

2

000

−=+−=−

Velocità funzione della posizione



( )02

02 2 xxavv xxx −+=

( )02

0 2 xxavv xxx −+=

se

0

0

0

0

==

v

x

=

=

xav

xav

xx

xx

2

22

Velocità funzione dello spazio



( )

−+=

++=

+==

02

0

200

0

0

2

2

1

xxavv

tatvxx

tavv

aa

xxx

xx

xxx

xx

Moto uniformemente acceleratoriassumendo



MOTO IN DUE DIMENSIONI

y

x

)( 1tr

)( 2tr

piano x-y

traiettoria)( 1try

)( 1trx



)()( 12 trtrr −=∆

12

12 )()(

tt

trtr

t

rvm −

−=∆∆=

dt

rdt

rv

ti

=

∆∆=

→∆ 0lim

y

x

)( 1tr

)( 2tr

r∆mv

)t(v 1

)t(v 2

Velocità vettoriale



)()( 12 tvtvv −=∆

12

12 )()(

tt

tvtv

t

vam −

−=∆∆=

dt

vdt

va

ti

=

∆∆=

→∆ 0lim

)( 1tv

y

x

)( 1tr

)( 2tr )( 2tv

v∆

Accelerazione vettoriale



x

y

at

ara

a

at

ar

traiettoria

tr aaa +=

rata

acc. tangenziale

acc. radiale

cambia

modulo velocità

direzione velocità

accelerazione tangenziale e radiale



jaiajdt

dvi

dt

dv

dt

vda yx

yx +=+==

→

z

y

x

r

r

r

r

→

z

y

x

v

v

v

v

→

z

y

x

a

a

a

a

+=

+=+=

tavv

tavv

tavv

zzz

yyy

xxx

0

0

0

⇒+= tavv

0

i

xr

y

x

jyr

r

Equazioni vettoriali

jvivjdt

dri

dt

dr

dt

rdv yx

yx +=+==

jrirr yx

+=



MOTO DEL PROIETTILE

• accelerazione g costante verso il basso• no resistenza aria

moto con traiettoria parabolica

−+=

+−=

−=

200

0

2

1gttvyy

vgtv

ga

y

yy

y

+==

tvxx

vv

x00

x0x

x

y



Lancio con velocità orizzontale



Il pacco lanciato dall’aereo



Lancio con velocità verticale



y

x

xv0

yv

xv0

yv

traiettoria parabolica

maxy

gittata

g yga ˆ−=

yv0

0v

xv0

0θ

xv0

yvθ

xv0

0=yv0=θ


java



la scimmia e la banana



DINAMICA forza

Forza:

operativamente: si misura col dinamometro

cambia lo stato di quiete o di moto di un oggetto

forte

debolenucleare forza

neticaelettromag forza

nalegravitazio forza

distanza a

molla una tirare

carrelloun spingere

palloneun calciare

contatto di

forze

=

reazione e azione di principio :terza

amF :seconda

inerzia di principio :prima

dinamica della leggi tre



uniforme rettilineo moto di

quiete di:statoIn assenza di forza due possibili stati:

senza attrito

Principio di inerzia

Un oggetto in quiete o in moto rettilineo uniforme rimarrà nel suo stato stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché

non interverrà una forza dall’esterno.



Principio di inerziaUn oggetto permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché non

interviene una forza che ne cambia lo stato



Sistemi inerziali

Sistema di riferimento inerziale: un sistema in cui è valida la prima

legge di Newton

Qualunque sistema di riferimento in moto rettilineo uniforme

rispetto ad un riferimento inerziale è un sistema inerziale

Un sistema fisso o in moto rettilineo uniforme rispetto alle stelle “fisse” è un sistema di riferimento inerziale

La Terra ruota intorno al proprio asse e intorno al Sole, perciò un sistema fisso

rispetto alla Terra non è un sistema inerziale 2

3riv.-c 104.4a

sm−×=

22

rot.-c 1037.3as

m−×=

tuttavia

Nella maggior parte delle situazioni sarà possibile trascurare queste piccole

accelerazioni e considereremo inerziale un sistema solidale con la Terra



MOTO relativo

O

S

r

'r

O’

u

0t =

S’

'r

S’

O’

u

1tt =

1tu

uvv

udt

rd

dt

'rd

turr

'

1'

−=

−=

−=

aa

dt

ud

dt

vd

dt

vd

=

−=

'

'



Passaggio dall’uno all’altroper mezzo delle

trasformazioni di Galilei

'

'

'

aa

uvv

turr

=−=−=

Trasformazioni di Galilei

Invarianza galileiana

Un oggetto in moto rettilineo uniformein un sistema inerziale

risulta in moto rettilineo uniforme in uno qualsiasi dei sistemi inerziali.

Se è soggetto ad un’ accelerazione a, esso avrà lastessa accelerazione in tutti gli altri sistemia



Seconda legge della dinamica

ka

F

a

F

a

F

a

F

a

F

n

n ===== ...4

4

3

3

2

2

1

1

amF

= oggettodell' massa ⇒≡= mtgk θa1 an

a

F

F1

Fn

θ

newtonNs

mkgmaF

≡

⇒=

1

2

La forza di 1 N imprime

un’accelerazione di

2 1s

m

ad una massa di

Kg 1

F1 F2 F3 F4 … Fn

a1 a2 a3 a4 … an

( )

luce della velocità

12

2

0

=

−=

ccv

mvm



Forza gravitazionale e peso

PgmF

gaamF

≡=

=⇒= allora

seuna forza particolare:

il pesoforza con cui un oggetto viene attirato verso il

centro della Terra

pesom KgNs

mKgmgP 18.98.91

2≡=×==

P

Cambia da punto a punto sulla Terra

=

==

76.9

80.9 70per

2

2

s

mg

s

mg

Kgmal livello del marein cima ad una montagna

NP 686=

NP 683=

Sulla Luna

NP 113=

Peso di 1 Kgm



Terza legge della dinamicaprincipio di azione e reazione

TSST FF

−=

1

2 2112 FF

−=F12

F21

S

TFST

FTS

Agiscono su corpi diversiSono uguali e opposte



Quantità di motom

v vmp

=Quantità di moto

o Momento (lineare)

dt

vdmamF

==

00 =⇒=dt

pdFse

=

==

⇒ ==

cost3p

cost2p

cost1p

cost

z

y

x

p

Conservazione dellaquantità di moto

dt

pdvm

dt

dF

== )(

Quando in un sistema di particelle queste sono soggette solo a forze interne newtoniane(e la risultante delle forze esterne è nulla) la quantità di moto totale del sistema rimane costante



UrtiIn un sistema isolato si conserva la quantità di moto

Isolato:la somma delleforze esterne

è nulla

PRIMA

11 vmp=

02 =p

21prima ppp

+=

DOPO

primadopo pp =

h/KmKg300h/Km20Kg15pp 1prima ⋅=⋅== v)6015(pp300 dopoprima ⋅+===

h/Km4)6015(

300v =

+=



PRIMA DOPO

11 vmp=

02 =p

primadopo pp =

21 pppprima

+=

s/mKg680pprima ⋅⋅= s/m4Kg)4080(

s/mKg680vdopo =

+⋅⋅=



java



Gravitazione universale

rr

MmGFg ˆ

2−=

M mr

gF

gF

−gF

2211 KgmN1067.6G −− ⋅⋅⋅=

Costante di gravitazione universale



r̂r

MmGF

2g −=

Sulla superficie della Terra

TRr =

2

2

8.9s

mg

gaR

MGa T

T

TT

=

≡⇒−=

TM

TR

r

m

TL

L

LL

gg

R

MGg

6

1

2

≅

−=

Sulla Luna

2

2

r

MGa

mar

MmGF

=

==



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