L’acqua nei suoli e nel sottosuolo Richards 1-D

Riccardo Rigon

G.V

Du

Noye

r, O

ld r

ed s

and

ston

es, D

on

een

R

ock

, Mal

low

, Co, C

ork

R. Rigon

Iver

son

, 20

00

; D’O

dori

co e

t al

., 2

00

3,

Cord

ano e

Rig

on

, 20

08

!2

L’equazione di Richards su un versante piano

s

L’equazione di Richards semplificata

R. Rigon

Il termine transiente della pressione si può calcolare se si

assume K ~ costante e trascurando i termini sorgente

⇤⇥

⇤t= D0 cos2 �

⇤2⇥

⇤t2

!3

L’equazione Richards 1-D:

C( )@

@t= Kz 0

@2

@z2

D0 :=Kz 0

C( )Diffusività idraulica

L’equazione di Richards semplificata

R. Rigon

!4

Dove:

L’equazione Richards 1-D

Capacità idraulica

dei suoli

Pressione dell’acqua

Conducibilità idraulica

verticale di riferimento

Una soluzione dell’equazione di Richards

R. Rigon

L’equazione diventa LINEARE e, trovata una soluzione con

un impulso unitario istantaneo al contorno, la soluzione

dipendente da una precipitazione variabile viene a dipendere

dalla convoluzione di questa soluzione e la precipitazione.

⇤⇥

⇤t= D0 cos2 �

⇤2⇥

⇤t2

!5

L’equazione Richards 1-D

Una soluzione dell’equazione di Richards

R. Rigon

!6

Assunta che f(t,z) sia una soluzione dell’equazione di Richard - 1D sottoposta ad un impulso di pressione

Questo significa che:

Condizione iniziale

So luz ione Impulsiva

Variazione di pressione in superficie dovuto alla precipitazione

Una soluzione dell’equazione di Richards

R. Rigon

!7

L’equazione Richards 1-D

Una soluzione dell’equazione di Richards

R. Rigon

!8

Per un impulso di precipitazione di intensità costante, la soluzione

può scriversi:

D’O

dori

co e

t al

., 2

00

3

L’equazione Richards 1-D

Una soluzione dell’equazione di Richards

R. Rigon

In quel caso l’equazione ammette una soluzione analitica

D’O

dori

co e

t al

., 2

00

3

!9

L’equazione Richards 1-D

TD :=z2

D0Tempo scala infiltrazione

Una soluzione dell’equazione di Richards

R. Rigon

!10

In quel caso l’equazione ammette una soluzione analitica

L’equazione Richards 1-D

R. Rigon

L’EQ

UA

ZIO

NE

DI

RIC

HA

RD

S 1

D

D’O

dori

co e

t al

., 2

00

3

!11

TD

TD

TD

TD

Una soluzione dell’equazione di Richards

R. Rigon

I metodi di soluzione analitica dell’equazione di avvezione-dispersione

(anche non lineare) che risulta dall’equazione di Richards, si possono

trovare nei libri che trattano la diffusione del calore (l’equazione

linearizzata è la stessa), per esempio in Carslaw e Jager, 1959, pg 357.

!In genere, le strategie di soluzione sono 4 e basate: !

- Sul metodo di separazione delle variabili

- L’uso delle trasformate di Fourier

- L’uso delle trasformate di Laplace

- Metodi geometrici basati sulla simmetria delle equazione (e.g.

Kevorkian, 1993)

!Tutti i metodi mirano a ridurre l’equazione differenziale alle derivate

parziali ad un sistema di equazioni differenziali ordinarieL’EQ

UA

ZIO

NE

DI

RIC

HA

RD

S 1

D

!12

Una soluzione dell’equazione di Richards

R. Rigon

L’EQ

UA

ZIO

NE

DI

RIC

HA

RD

S 1

D

!13

Soluzioni dell’equazione di Richards

R. Rigon

!14

R. Rigon

!15

R. Rigon

!16