1D Photonic Crystal Struttura a bande. ……. d M0M0 M0M0 M0M0 M0M0 M0M0 MNMN.

1D Photonic CrystalStruttura a bande

NN

N

N

N

NN

o

tt

r

t

r

tM

tt

rt

r

tM

1

1

1

1

*

*

*

*

*

*

…….

d

…….

M0 M0 M0 M0 M0

MN

Sistema con N periodiRiprendiamo

RR

RR

N

NN 2

2

1

IMM NNN

100

11

Re

tse

22

sin

sin

N

N

11

Re

tse

22

sinh

sinh

N

N

Stop band99.99% riflessione

Leaky modes

11

Re

t

11

Re

t

Propagazione attraverso un mezzo omogeneo seguita da una slab dielettrica

tt

rt

r

t

jn

nnj

n

nn

jn

nnj

n

nn

dnj

n

nnj

n

nn

jn

nnj

n

nn

M iii

1

1

exp2

exp2

exp2

exp2

2;

exp2

exp2

exp2

exp2

*

*

*

11

121

1

12

11

121

1

12

22

122

2

12

22

212

2

12

d2d1

)(2

U

)(2

U

)(1

U

)(1

U

Trasmissione dell’elemento singolo

)(2

U

)(2

U

)(1

U

)(1

U

d2d1/2 d1/2

tt

rt

r

t

jn

nnj

n

nn

jn

nnj

n

nn

jn

nnj

n

nn

jn

nnj

n

nn

j

jM

1

1

2/exp2

2/exp2

2/exp2

2/exp2

exp2

exp2

exp2

exp2

2/exp0

02/exp

*

*

*

11

121

1

12

11

121

1

12

22

122

2

12

22

212

2

12

1

1


1212

212

1212

212

122

1222

1212

1*

cos4

cos4

1Re

2/expexpexp4

2/exp1

nn

nn

nn

nn

t

jjnnjnnnn

j

t

)(2

U

)(2

U

)(1

U

)(1

U

d2d1/2 d1/2

Sistema con N periodi

RR

RR

N

NN 2

2

1

sin

sin NN

t

1Recos

1212

212

1212

212 cos

4cos

4

1Re

nn

nn

nn

nn

t

iii dn 2


1212

212

1212

212 cos

4cos

4

1Re

nn

nn

nn

nn

t

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

Re(

1/t)

B

B

B

iii

dndn

c

dnc

21

2211 )(2

2

5.3

5.1

2

1

21

n

n

dd

)(2

U

)(2

U

)(1

U

)(1

U

d2d1/2 d1/2


212 tripround

N

triproundB

RMax

2@

10

5.3

5.1

2

1

21

N

n

n

dd

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

Re(1

/t)

b

N

2

d2d1/2 d1/2


1212

212

1212

212 cos

4cos

4

1Re

nn

nn

nn

nn

t

B

B

iii

dndn

c

dnc

21

2211 )(2

2

5.2;5.3

5.1;5.1

22

11

21

nn

nn

dd

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

Re(

1/t)

b

d2d1/2 d1/2

5.3

5.1

2

1

n

n21 dd

2211 dndn

2211 dndn 5.35.1 21 nn

5.3

0.1

2

1

n

n

Dependence on ni Dependence on di

Width of the stop band

14

2/cos

42/

1Re

0

12

212

12

212

12

nn

nn

nn

nn

t B

B

B

2

12

212

212

12

212

212

212

12

212

12

212

12

212

12

212

12

212

2

2cos

42cos

4

41

2cos

4

41

21cos

4

nn

nnnn

nn

nnnnnn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

B

B

B

B

Width of the stop band

12

12

12

12

212

2122

212

212

212

212

212

arcsin4

arcsin4

2

4sin2

2

2cos1

2

2cos

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nnnn

B

B

B

B

B

5.3

5.1

2

1

n

n53.0

B

10N

50N

Dependence on N

.

.10log..

trasm

incid

I

IDO

Field amplitude within the stop bandFinite multilayer: Bragg mirror

http://en.wikipedia.org/wiki/File:BroadBandDielectricMirror.jpg

Evanescent fielddue to interference

Evanescent wavefunction

Field amplitude within the stop bandInfinite multilayer: 1D Photonic crystal

Bragg mirrorTunneling out of a barrier

1D PhCEvanescent wave in the barrier

Infinite Bragg

N

Origine del band gap

1

k

0

Mezzo uniforme

ck

1

Legge di dispersione

1

(x) = (x+a)a

k

0 π/a–π/a

[ Lord Rayleigh, “On the maintenance of vibrations by forces of double frequency, and on the propagation of waves through a medium endowed with a periodic structure,” Philosophical Magazine 24, 145–159 (1887). ]

Trattiamolo come periodico

bands are “folded”by 2π/a equivalence

ei

a

x

,e i

a

x

cosa

x

, sin

a

x

Legge di dispersione è ripiegata nella FBZ


(x) = (x+a)a

1

0 π/a x = 0

Trattiamolo come periodico


Gli stati degeneri abordo zona sono riscrivibili come

xa

AxE

xa

AxE

cos)(

sin)(

2

1

)(

)(

2

1

xE

xE

(x) = (x+a)a

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

0 π/a

Aggiungiamo una piccola anisotropia

2 = 1 +

x = 0

Tutti i sistemi 1d hanno gap

Stato con ventre in 1

Stato con ventre in 2

xa

AxE

xa

AxE

cos)(

sin)(

2

1

)(

)(

2

1

xE

xE

Principio variazionale

Principio variazionale: gli autostati minimizzano il funzionale energia, quindi i modi fotonici di più bassa frequenza

In (MQ) le funzioni d’onda di più bassa energia hanno ampiezza concentrata nelle regioni a potenziale minore. Vale anche in MQ la “legge dei nodi”.

23

23

)()(

Errd

ErdHU f

23

*3 ˆˆ

rd

HrdH

hanno ampiezza concentrata nella regione ad alto dielettrico. Inoltre un dato modo in generale conterrà più nodi rispetto a un modo di minore frequenza.

band gap

0 π/a

sina

x

cosa

x

(x) = (x+a)a

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

x = 0

Splitting della degenerazione:state concentrated in higher index (2)

has lower frequencyAggiungiamo una piccola anisotropia

2 = 1 +

Air band

Dielectric band


band gap

0 π/a

Air band

Dielectric band

Valore del mid gap

a

dndnn

n

ck

eff

eff

2211

B

eff

Mmidgap

dndn

c

n

ck

22211

band gap

0 π/a

Air band

Dielectric band

Stati nel band gap

Ck

Rk

ak

2

2

2

2

Nel band gap onde evanescenti

Ingegnerizzazione del band gap

Gap/mid gap: quarter wave stack

1212

212

12

212 cos

4cos

4

1Re

nn

nn

nn

nn

t B

021

12

12

212

2122

212

212

212

12

212

122

12

21212

12

212

12

212

arcsin42

2sin

2118

cos

81

4)(cos

14

)(cos

4

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nnnn

nn

nn

nn

nn

B

B

B

B

B

B

B

2

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

Re(

1/t)

B

Et

Ht

y x TM

Near Brewsterangle

Incidenza obliqua: perdita del band gap

Perdita gap

Modi Ex (TE)

Cono di luce Evanescent waves

)0,,0( yk

)/,,0( ak y

kz

Assenza band gap completo

Struttura a bande per propagazione nel piano

a

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Modi EE Extended-Extended

All’interno di una banda e dentro il cono di luce

Tipologia dei modi

a

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Modi ED Extended-Decay

All’interno di un gap e dentro il cono di luce

Tipologia dei modi

a

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Tipologia dei modi

Modi DE Decay-Extended

All’interno di una banda e oltre il cono di luce

Cono di luce Evanescent waves

Modi Ex (TM)

LEGENDA

ED=Extended in air, Decay in PhC DE=Decay in air, Extended in PhCEE=Extended in air, Extended in PhC DD=Decay in air, Decay in PhC

Tipologia dei modi

a

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Tipologia dei modi

Modi DD Decay-Decay

Stati di interfaccia

Nel band gap propagazione proibita: Modo EDTutta l’energia è riflessa

True band gap Omnidiretional mirror

Omnidiretional mirror True band gap

Bande Bragg mirror

No band gap

Bande Bragg mirror

1

1sin

sin

n

nc

k

ck

L

Ly

y

Cono di luce

Bande Bragg mirror

1

1sin

sin

n

nc

k

ck

L

Ly

y

Cono di luce

Omnidirectional mirror

Angolo di Brewster

Angolo di Brewster

2

12

1

21

22

11

tantan

sin

sin

n

n

n

n

nc

k

nc

k

BB

By

By

2

tan

tan

tB

iti

tir EE

Angolo di Brewster

Onda TM non è riflessa

1

2tann

nB

Angolo di Brewster è simmetrico

tantan1

tantantan

2

tan

tan

21

2

12

1

21

BB

B

B

n

n

n

n

n1 n2 n1n2

1B2B

Angolo di Brewster1

2,1tan

n

nB

n1 n2 n1 n2

Cono di luce1

,1

1sin

nL n1 n2 n1

LB

BL

,1,1

,1,1

Onda esterna TM può propagarsi a Brewster

Onda esterna TM non può propagarsi a Brewster

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,530

35

40

45

50

55

60

65

70

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,510152025303540455055606570

n2

n2

Ang

olo

Ang

olo

1

2arctann

nB

1

1arcsin

nL

2

1arctann

nB

2

1arcsin

nL

n1 n2 n1 n2

Air

n2 n2

Air

n1 n1

111

22

21

nn

Confronto angolo Brewster vs angolo limite (n1=1.5)

1

2arctann

nB

1

1arcsin

nL

1

2

1

1

2

1sin

1cos

1sin

tan

n

n

n

n

nLB

111

22

21

nn

Confronto angolo Brewster vs angolo limite

Se i due angoli coincidono

Quindi

Specchio Omnidirezionale

gap

LB ,1,1

Specchio Omnidirezionale

Gap/midgap

111

22

21

nn

[ Y. Fink et al, Science 282, 1679 (1998) ]

Omnidirectional Mirrors in PracticeQuickTime™ and aGraphics decompressorare needed to see this picture. 11.21.41.61.822.22.42.62.8311.11.21.31.41.51.61.71.81.92

S m a lle r in d e x , n

1

0%10%20%30%40%50%/mid

6 9 1 2 1 50

5 0

1 0 0

0

5 0

1 0 0

0

5 0

1 0 0

0

5 0

1 0 0

0

5 0

1 0 0

normal

450 s

450 p

800 p

800 s

Re

flec

tanc

e (

%)

Wavelength (microns)

Te / polystyrene

Ref

lect

ance

(%

)

contours of omnidirectional gap size

1D Photonic Crystal Struttura a bande. ……. d M0M0 M0M0 M0M0 M0M0 M0M0 MNMN.

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Transcript of 1D Photonic Crystal Struttura a bande. ……. d M0M0 M0M0 M0M0 M0M0 M0M0 MNMN.