1

12. SINTESI DEI SISTEMI DI CONTROLLO

12.1 Introduzione

Come osservato in precedenza, un sistema è solo potenzialmente in grado di conseguire gliobiettivi prefissati. Al fine di conseguire tali obiettivi, è dunque necessario esercitare sulsistema un complesso di azioni dette azioni di controllo. Com’è noto, tali azioni vengonosviluppate a partire dalla conoscenza delle grandezze di comando e da altre grandezze chedefiniscono la struttura del sistema di controllo.

Il problema della sintesi dei sistemi di controllo consiste, quindi, nella scelta della strutturae dei parametri della parte controllante da associare al sistema controllato in modo che ilsistema complessivo si comporti nel modo desiderato, sia in grado, cioè, di riprodurre isegnali di comando, entro prefissati margini di tolleranza, contrastando gli effetti dei disturbie delle variazioni parametriche.

12.2 Strutture di controllo SISO

Com’è noto, una struttura di controllo semplice, ma di interesse, è quella a controreazionecon organi di correzione parte in cascata e parte in controreazione, illustrata nella Fig. 12.2.1.

Fig. 12.2.1 Schema a catena chiusa a un grado di libertà.

Nel caso in cui ( ) 1 1dH s K , si ha:

( ) ( ) ( )c pF s G s G s . (12.2.1)

( )( )

1 ( )

F sW s

F s

, (12.2.2)

1( )

1 ( )zW s

F s

, (12.2.3)

( )( )

1 ( )nF s

W sF s

, (12.2.4)

mentre l’errore diviene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d z n u z nE s K W s U s W s Z s W s N s E s E s E s . (12.2.5)

( )U s( )cG s ( )pG s

( )Y s( )M s

+

+( )Z s

+

( )N s

+ +

( )H s

2

Come già osservato, la struttura di Fig.12.2.1 è efficace quando il disturbo ( )z t ha un

contenuto armonico appartenente al campo dei valori di frequenza 0,u xu relativo alsegnale di comando ( )u t , e quando il contenuto armonico ,n in xn del rumore dimisura ( )n t è confinato nella regione ad alta frequenza ( in xu ).

Se il contenuto armonico del disturbo non è contenuto in quello del segnale di comando,occorre fare ricorso strutture di controllo a due gradi di libertà, come quella di Fig. 12.2.2. Sinoti che tale struttura è ancora a due gradi di libertà assumendo ( ) 1H s .

Fig. 12.2.2 Schema a catena chiusa a due gradi di libertà.

12.3 Sintesi per tentativi

Il metodo di sintesi per tentativi consiste nelle seguenti fasi:

1. scelta della struttura della parte controllante fra quelle più semplici ed efficienti;2. determinazione dei parametri della parte controllante utilizzando i legami diretti fra il

comportamento del sistema complessivo e quello delle sue singole parti;3. verifica delle prestazioni ottenute;4. eventuale modifica della struttura e/o dei parametri della parte controllante fino a

conseguire le prestazioni desiderate.

Con riferimento alla fase 1, si osservi che le strutture più semplici ed efficienti per ottenerele prestazioni usualmente richieste sono quelle a controreazione a uno o due gradi di libertà,riportate nelle Figg. 12.3.3 e 12.3.4 dove si è supposto 1dK .

Fig. 12.3.3 Schema di correzione in cascata a un grado di libertà

Fig. 12.3.4 schema di correzione a due gradi di libertà

( )U s( )cG s ( )pG s

( )Y s( )M s

+

+( )Z s

+ + +

( )H s

( )uG s

Gc (s) Gp (s)U

+ _

Y++

Z

Gc (s) Gp (s)U

+ _

Y++

Z

Gu (s)

3

Nello schema di Fig. 12.3.3, ( )cG s è la f.d.t. del dispositivo di correzione data da

( ) ( )c c ecG s K G s , dove cK è il guadagno del dispositivo di correzione e ( )ecG s è la f.d.t.dell’elemento di correzione. Nello schema di Fig.12.3.4, ( )cG s è la f.d.t. del dispositivo dicorrezione il cui scopo è quello di contrastare gli effetti del disturbo, mentre ( )uG s è la f.d.t.

del compensatore il cui scopo è quello di forzare il sistema a inseguire la grandezza dicomando.

Con riferimento alla fase 2, la determinazione dei parametri del dispositivo di correzioneviene effettuata in modo tale che il sistema complessivo soddisfi le prestazioni desiderate.Queste ultime vengono assegnate ispirandosi al criterio della soluzione parziale che, comedetto, consiste nell’isolare e trattare separatamente i diversi aspetti del comportamento delsistema, ossia la stabilità, il comportamento in regime permanente e il comportamentotransitorio. Poiché i legami diretti relativi al comportamento transitorio sono piuttosto incerti,affinché il procedimento di sintesi possa essere condotto a buon fine con un numero ditentativi ragionevole, occorre assegnare le succitate specifiche in maniera non rigida.

La verifica delle prestazioni ottenute viene effettuata utilizzando i procedimenti di analisiprecedentemente studiati. In proposito va ricordato che, poiché le specifiche vengono, disolito, assegnate sulla risposta indiciale, la valutazione del comportamento transitorio richiedeil calcolo della risposta indiciale relativa all’ingresso o al disturbo o delle relative grandezzecaratteristiche. Il calcolo della risposta indiciale può essere effettuato mediante il luogo delleradici che permette il calcolo della espressione analitica della f.d.t. ingresso-uscita o disturbo-uscita, mentre il calcolo delle grandezze grandezze caratteristiche della risposta indiciale puòessere effettuato in modo agevole utilizzando la carta di Hall o la carta di Nichols.

Nel seguito verranno trattate separatamente la sintesi dei sistemi di asservimento e quelladei sistemi di regolazione. Questa distinzione è dovuta al fatto che la parte controllante di unsistema di regolazione, denominata regolatore, ha struttura fissa e parametri aggiustabili. Ilcompito del progettista è allora quello di stabilire i valori dei parametri nel loro campo diescursione. Per i sistemi di asservimento, invece, esiste una certa libertà di scelta dellastruttura della parte controllante e la progettazione viene effettuata caso per caso.

Sia per i sistemi di asservimento che per quelli di regolazione, si farà riferimento alloschema di correzione a reazione unitaria di Fig. 12.3.3. Successivamente, verranno illustratele modifiche per sistemi a reazione proporzionale con 1dK .

Si noti, adesso che il metodo di sintesi per tentativi può essere sviluppato sia nel dominiodi s, sia nel dominio di . Verrà illustrato, dapprima, il metodo di sintesi per tentativi neldominio di , e successivamente quello nel dominio di s.

12.4 Sintesi per tentativi nel dominio di per i sistemi di asservimento

Con riferimento alla struttura di controllo SISO a un grado di libertà con ( ) 1 / 1dH s K ,si ha:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E s S s U s Z s C s N s , (12.4.1)

dove le funzioni di sensibilità e di sensibilità complementare, ( ) e ( ) ( )nS s C s W s , sonodate da:

4

1( )

1 ( )S s

F s

, (12.4.2)

( )( )

1 ( )

F sC s

F s

. (12.4.3)

con:( ) ( ) 1S s C s , (12.4.4)

essendo:( ) ( ) ( )c pF s G s G s .

12.4.1 Loop shaping

Il metodo di sintesi denominato loop shaping consiste nella scelta della f.d.t. deldispositivo di controllo la ( )cG s in modo da “sagomare” la f.d.t. a catena aperta ( )F j comesegue:a) ( ) 1, uF j ;b) ( ) 1, inF j ;c) la regione di transizione ,xu in sia sufficientemente stretta, ma con una adeguata scelta

della pulsazione di attraversamento e della pendenza del diagramma dei moduli, tale dagarantire la stabilità del sistema a catena chiusa;

d) la grandezza ( )m t non sia tale da sollecitare troppo l’attuatore che pilota il sistemacontrollato.

Progettando ( )cG s in modo tale che ( ) 1, uF j , si ha:

( ) 1, uS j , (12.4.5)( ) 1, ( ) 0, uC j C j . (12.4.6)

e quindi il sistema è in grado di riprodurre i segnali di comando con contenuto armonico u ,attenuare fortemente i disturbi con contenuto armonico appartenente a u . Inoltre,

progettando ( )cG s in modo tale che ( ) 0F j rapidamente per xu il sistema è ingrado di filtrare adeguatamente il rumore sovrapposto al segnale di comando utile. Infine, se

( )F s è strettamente propria e tale che ( ) 1, inF j , il sistema è anche in grado diattenuare gli effetti del rumore di misura il cui contenuto armonico è confinato nella regione

in .Nella Fig. 12.4.1 è illustrato un andamento ammissibile della funzione ( )F j . Assumendo

i limiti ( ) 1F j e ( ) 1F j pari, rispettivamente a ( ) 100F j ( ( ) 40dB

F j ) e

( ) 0.01F j ( ( ) 40dB

F j ), il sistema a catena chiusa è in grado di riprodurre

fedelmente segnali di comando con contenuto armonico nell’intervallo 0,0.01 rad/s,attenuare gli effetti di disturbi con contenuto armonico appartenente a tale intervallo eattenuare gli effetti del rumore di misura con contenuto armonico 8.62, rad/s.

Nella Fig. 12.4.2 è riportata la risposta in frequenza corrispondente alla f.d.t. di Fig. 12.4.1.

5

Fig. 12.4.1 Diagrammi di Bode della funzione10

( )( 1)( 10)

F ss s s

.

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10-3

10-2

10-1

100

101

102

-270

-180

-90

0

System: WFrequency (rad/sec): 1.3Phase (deg): -128

Phas

e (d

eg)

-150

-100

-50

0

50System: WFrequency (rad/sec): 1.31Magnitude (dB): -3.02

System: WFrequency (rad/sec): 8.68Magnitude (dB): -40M

agni

tude

(dB)

Fig. 12.4.2 Risposta in frequenza del sistema a catena chiusa corrispondente a10

( )( 1)( 10)

F ss s s

.

L’esame della Fig. 12.4.2 conferma quanto già osservato in precedenza, cioè che il sistemaa catena chiusa è in grado di riprodurre fedelmente segnali di comando con contenutoarmonico nell’intervallo 0,0.1 rad/s. Infatti, in tale intervallo di frequenze, il modulo ela fase della risposta in frequenza sono, rispettivamente, costante e pari a 1 e praticamentenulla.

La f.d.t. a catena chiusa corrispondente alla risposta in frequenza di Fig. 12.4.2, e i relativipoli sono dati da:

3 2

10( )

11 10 10W s

s s s

,

6

*1 2 3 210.1086, 0.4457 0.8892,p p j p p .

Si osservi che il passaggio dalla condizione ( ) 1F j a quella ( ) 1F j avviene incirca tre decadi, da 0.01 a 8.62 rad/s. Agendo sulla funzione ( )cG s si potrebbe ridurre tale

intervallo di frequenze riducendo la pulsazione di attraversamento t , pari a circa 0.8 rad/snell’esempio di Fig. 12.4.1. Aggiungendo ad esempio un ulteriore polo per 0.02s e unguadagno tale da mantenere inalterato il guadagno di partenza, si ha la situazione descrittanella Fig. 12.4.3.

L’esame della Fig.12.4.3 mette in luce che il passaggio dalla condizione ( ) 1F j aquella ( ) 1F j avviene in circa due decadi, da 0.01 a 1, ma il sistema a catena chiusadiviene instabile; infatti, il margine di fase risulta pari a 2 in corrispondenza a unapulsazione di attraversamento pari a 0.142 rad/s.

La ragione di questa situazione è che esiste un limite superiore alla pendenza deldiagramma dei moduli in corrispondenza alla pulsazione di attraversamento. Com’è noto, talelimite può essere facilmente determinato per la classe dei sistemi la cui funzione ditrasferimento a catena aperta sia a fase minima, e che abbia pendenza del modulosufficientemente costante nell’intorno di due decadi centrate sulla pulsazione diattraversamento stessa. In tal caso, la pendenza in questione, valutata per t , è data da:

10

( )40 dB/decade

log ( )t

dbd F j

d

. (12.4.7)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-40

0

40

System: GpFrequency (rad/sec): 0.141Magnitude (dB): -0.0805

Mag

nitu

de (d

B)

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-360

-270

-180

-90

System: GpFrequency (rad/sec): 0.148Phase (deg): -182

Phas

e (d

eg)

Fig. 12.4.3 Diagrammi di Bode della funzione0.2

( )( 0.02)( 1)( 10)

F ss s s s

.

7

Come già osservato, il sistema a catena chiusa corrispondente alla f.d.t. a catena aperta diFig. 12.4.3 risulta instabile. L’instabilità è dovuta alla coppia di poli complessi e coniugati aparte reale leggermente positiva presenti nella f.d.t. a catena chiusa data da:

4 3 2

0.2( )

11.02 10.22 0.2 0.2W s

s s s s

,

i cui poli sono:*

1 2 3 4 31.0021, 10.1997, 0.0009 0.1399,p p p j p p .

La risposta in frequenza non esiste poiché il sistema è instabile, e la risposta al gradinounitario del sistema a catena chiusa è illustrata nella Fig. 12.4.4 che, ovviamente, diverge.

Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 500 1000 1500-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Fig. 12.4.4 Risposta indiciale del sistema a catena chiusa corrispondente a0.2

( )( 0.02)( 1)( 10)

F ss s s s

.

12.4.2 Sintesi per tentativi basata su specifiche assegnate sulla risposta indiciale o sullarisposta in frequenza.

Un modo semplice di sagomare la ( )F j in modo da ottenere prestazioni soddisfacenti, èquello di tradurre le specifiche di progetto in specifiche sulla ( )F j stessa, e di progettare ildispositivo di correzione in modo che siano soddisfatte tali specifiche.

12.4.2.1 Fasi in cui si articola il metodo

Il metodo di sintesi per tentativi nel dominio di , basato su specifiche assegnate sullarisposta indiciale o sulla risposta in frequenza, si articola nelle seguenti fasi.

1. Traduzione delle specifiche di progetto usualmente assegnate sulla risposta indiciale inspecifiche sulla risposta in frequenza del sistema a catena chiusa.

2. Traduzione delle specifiche assegnate sulla risposta in frequenza in specifiche assegnatesulla f.d.t. a catena aperta ( )F j .

3. Determinazione della ( )cG j in modo da soddisfare le specifiche sulla ( )F j .4. Verifica delle specifiche di progetto assegnate sulla risposta indiciale.

La traduzione delle specifiche di progetto dalla risposta indiciale alla risposta in frequenzaviene effettuata ricorrendo ai legami globali. In proposito, si osservi che tali legami hanno una

8

struttura tale da consentire il calcolo delle grandezze caratteristiche della risposta indiciale apartire da quelle della risposta in frequenza. Pertanto, al fine di poterli utilizzare per latraduzione delle specifiche in questione occorre operare con una certa forzatura. Ad esempio,a partire dai legami seguenti, validi per sistemi a controreazione con f.d.t. a catena apertaavente da due a cinque poli di cui uno o due nell’origine, dati da:

106

log 1.5 rB

S MB

, (12.4.10)

6 ,5%6

2.16 0.4a rB

B t MB

, (12.4.11)

e dal legame:

1 0.85 rS M , (12.4.12)

conoscendo le specifiche sulla sovraelongazione e sul tempo di assestamento, è possibileottenere specifiche sull’ampiezza di risonanza e sulla banda passante, come segue:

dalla (12.4.10) si ottengono vincoli su6

rB

MB

;

dalla (12.4.11), noti ,5%at e6

rB

MB

,si ottengono vincoli su 6B ;

dalla (12.4.12), si determina rM e, successivamente,6

B

Be B .

La traduzione delle specifiche sulla risposta in frequenza in specifiche sulla f.d.t. a catenaaperta ( )F j può essere effettuata, in modo semplice, assumendo che la f.d.t. del sistemacontrollato non abbia poli a parte reale positiva ( 0P ) e tale che la corrispondente curvapolare abbia una sola intersezione con l’asse reale negativo e con il cerchio di raggio unitariocentrato nell’origine del piano di Nyquist. In tal caso, infatti, i segni positivi di gm ed mcostituiscono condizioni necessarie e sufficienti per la stabilità, e m può essere considerato

come misura della precisione dinamica, oltre che una misura del grado di stabilità del sistemaa catena chiusa.

La traduzione da rM a m può essere effettuata utilizzando i luoghi a M e costanti.

Con riferimento alla Fig. 12.4.7, ammettendo che il vincolo su rM sia dato da [1,3] dBrM ,i punti di intersezione dei luoghi a 1M e a 3M con l’asse 0 dB forniscono vincoliinferiore e superiore sul margine di fase. In particolare, si ha [42 ,53 ]m .

La prontezza di risposta può essere caratterizzata dalla pulsazione di attraversamento, laquale è legata alla banda passante a 3 dB dalla relazione:

[3 ,5 ]t B B , (12.4.13)

dove B è la banda passante in Hz.Ovviamente, i succitati legami sul comportamento transitorio, sono noti con un rilevante

margine di incertezza.

9

La traduzione delle specifiche inerenti il comportamento a regime risulta, invece, semplicee priva di incertezze. Infatti, l’appartenenza di un sistema a un determinato tipo implica unben definito numero di poli nell’origine nella ( )F s , mentre la specifica sull’errore finaleimplica un ben definito limite inferiore sul guadagno della ( )F s stessa.

Nichols Chart

Open-Loop Phase (deg)

Ope

n-Lo

op G

ain

(dB)

-180 -170 -160 -150 -140 -130 -120 -110 -100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0.0-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

6 dB

3 dB

1 dB -1 dB

-3 dB

-6 dB

-12 dB

-20 dB

Fig.12.4.7 Diagramma di Nichols della funzione5

( 1)( 5)s s s .

Nel caso in cui la f.d.t. del sistema controllato abbia poli a parte reale positiva ( 0P ) ilmargine di fase non è più indicativo né della stabilità né della precisione dinamica. Tale casoverrà trattato nel seguito.

12.4.2.2 Azioni elementari di correzione

Con riferimento alla scelta della ( )cG s , le azioni elementari di correzione utilizzate sono le

azioni attenuatrice, anticipatrice e combinata.

Azione attenuatrice. Viene utilizzata nei casi in cui è necessario attenuare il modulo dellaf.d.t. a catena aperta ( )F j . La f.d.t. di un elemento di correzione ad azione attenuatrice ècaratterizzata da una coppia polo-zero, con il polo più vicino all’origine, ed è data da:

1( )

1

r

recr

r

r

ms

G sm s

. (12.4.14)

10

I diagrammi di Bode della funzione:

1

( )1

r

recr

r

jm

G jj

, (12.4.15)

sono riportati nella Fig. 12.4.8. L’esame della Fig. 12.4.8 mostra che l’elemento di correzione( )ecrG j fornisce attenuazione al modulo a partire dal punto di rottura relativo al polo; la

massima attenuazione è pari a 20log rm . Inoltre, l’elemento in questione fornisce un ritardodi fase indesiderato, da una decade prima del punto di rottura relativo al polo a una decadedopo il punto di rottura relativo allo zero.

10-1

100

101

102

103

-60

-40

-20

0

20

40

Diagramma di Bode

Mod

ulo

M [

db]

10-1

100

101

102

103

-90

-45

0

45

90

Pulsazione [rad/s]

Fase

[gra

di]

Fig. 12.4.8 Diagrammi di Bode di un elemento di correzione ( )ecrG j : 0.5r , 10rm .

Reti elettrica e meccanica caratterizzate da una f.d.t. del tipo ( )ecrG s , sono illustrate nella Fig.

12.4.9 e 12.4.10. Il massimo valore di rm è pari a 16.

Azione anticipatrice. In generale, viene utilizzata quando è necessario introdurre un anticipodi fase nella f.d.t. a catena aperta ( )F j . La f.d.t. di un elemento di correzione ad azioneanticipatrice è caratterizzata da una coppia zero-polo, con lo zero più vicino all’origine, ed èdata da:

11

1

( ) aecaa

a

sT

G sm

sT

. (12.4.16)

Fig. 12.4.9 Rete elettrica descritta da una f.d.t. (12.4.14) con 1 2

2r

R Rm

R

, 2 2r rm R C .

Fig. 12.4.10 Rete meccanica descritta da una f.d.t. (12.4.14) con 1 2

2r

K Km

K

, 2

2r r

Bm

K .

I diagrammi di Bode della funzione:

11 1( ) ( )

1

aeca eca

aa a

a

j TG j G j

Tm m jm

, (12.4.17)

sono riportati nella Fig. 12.4.11. L’esame della Fig. 12.4.11 mostra che l’elemento dicorrezione ( )ecrG j fornisce un anticipo di fase, da una decade prima del punto di rotturarelativo allo zero a una decade dopo il punto di rottura relativo al polo. Inoltre, l’elemento inquestione fornisce una attenuazione al modulo, pari a 20log am , da 0

al punto di rottura

relativo allo zero, che può essere utilizzato per migliorare il comportamento a regime delsistema .

Reti elettrica e meccanica caratterizzate da una f.d.t. del tipo ( )ecaG s , sono illustrate nella

Fig. 12.4.12 e 12.4.13. Il massimo valore di am è pari a 16.

( )Y s

1R

2R

2C

( )U s

1K

2K

2B( )Y s

( )U s

12

10-1

100

101

102

103

-40

-20

0

20

40

60

Diagramma di BodeM

odul

o M

[db

]

10-1

100

101

102

103

-90

-45

0

45

90

Pulsazione [rad/s]

Fase

[gra

di]

Fig. 12.4.11 Diagrammi di Bode di un elemento di correzione ( )ecaG j : 0.5aT , 10am .

Fig. 12.4.12 Rete elettrica descritta da una f.d.t. (12.4.16) con 1 2

2a

R Rm

R

, 1 1a R C .

Fig. 12.4.13 Rete meccanica descritta da una f.d.t. (12.4.16) con 1 2

1a

K Km

K

, 1

1a

B

K .

1C

1R( )U s 2R ( )Y s

1B

2K

1K( )U s

( )Y s

13

Azione combinata anticipatrice-attenuatrice. In generale, viene utilizzata quando occorreintrodurre sia un’attenuazione nel modulo, sia un anticipo di fase nella ( )F j . La f.d.t. di unelemento di correzione ad azione combinata è caratterizzata da una coppia polo-zero-zero-polo, ed è data da:

1

( )1

arecra

r a

mss

TG s

ms s

T

. (12.4.18)

con1 1

r r a a

m m

T T

. I diagrammi di Bode della funzione:

1 1( )

1 1

r

aecra

ar

j j TmG jTj jm

, (12.4.19)

sono riportati nella Fig. 12.4.14.

10-1

100

101

102

103

104

-50

0

50

Diagramma di Bode

Mod

ulo

M [

db]

10-1

100

101

102

103

104

-90

-45

0

45

90

Pulsazione [rad/s]

Fase

[gra

di]

Fig. 12.4.14 Diagrammi di Bode di un elemento di correzione ( )ecraG j : 0.02aT , 10m , 0.5r .

14

L’esame della Fig. 12.4.11 mostra che l’elemento di correzione ad azione combinata è ingrado di introdurre sia un anticipo di fase sia un’attenuazione nel modulo della ( )F j ,sebbene in due intervalli diversi di valori di .

Reti elettrica e meccanica caratterizzate da una f.d.t. del tipo ( )ecraG s , sono illustrate nella

Fig. 12.4.15 e 12.4.16. Il massimo valore di am è pari a 16.

Fig. 12.4.15 Rete elettrica descritta da una f.d.t. (12.4.19) con 1 1r R C , 2 2aT R C , 12 1 2T R C ,2

12 12( ) 4

2r a r a r a

r

T T T T Tm

.

Fig. 12.4.16 Rete meccanica descritta da una f.d.t. (12.4.19) con, 1 1r B K , 2 2aT B K , 12 2 1T B K ,2

12 12( ) 4

2r a r a r a

r

T T T T Tm

.

Diagrammi universali

Per agevolare il procedimento di sintesi, sono stati costruiti i diagrammi del modulo e dellafase della funzione:

1( )

1un

jG j

j

m

, (12.4.20)

in funzione di log( ) per diversi valori di m. I diagrammi in questione sono riportati nelleFigg. 12.4.17 e 12.4.18.

C1

C2

R2R1

U(s) Y(s)

B1 K1

B2

K2

U(s)

Y(s)

15

16

17

12.4.2.3 Scelta della struttura del dispositivo di correzione

12.4.2.3 Scelta della struttura del dispositivo di correzione

La scelta della struttura e il calcolo dei parametri del dispositivo di correzione vengonoeffettuati in modo tale da soddisfare le specifiche sulla f.d.t. a catena aperta ( )F j . Lespecifiche in questione sono assegnate come segue:

m m , (12.4.21)

t t , (12.4.22)

F FK K , (12.4.23)sistema di tipo “ ” (12.4.24)

Inoltre, tali specifiche devono essere soddisfatte quanto più possibile prossime al segno diuguaglianza.

Nelle ipotesi fatte, e cioè che la f.d.t. del sistema controllato non abbia poli a parte realepositiva, il margine di fase positivo è condizione necessaria e sufficiente di stabilità, ecaratterizza la precisione dinamica. Inoltre, la pulsazione di attraversamento caratterizza laprontezza di risposta, il tipo di sistema definisce i segnali canonici che il sistema a catenachiusa è in grado di inseguire con errore finale nullo o finito e diverso da zero, e il guadagnodella f.d.t. a catena aperta caratterizza il valore massimo dell’errore finale stesso.

Ciò premesso, la scelta della struttura del dispositivo di correzione può essere effettuata inaccordo alla seguente procedura per passi.

1. Si definisce una funzione1

( ) ( )p pG s G ss

, dove il numero di poli che occorre

aggiungere alla funzione ( )pG s per soddisfare la specifica (12.4.24) sul tipo di sistema.

2. Si scelgono i valori della pulsazione di attraversamento e del guadagno, ˆt e ˆ F , neirispettivi intervalli (12.4.22) e (12.4.23) previsti dalle specifiche di progetto.

3. Si tracciano i diagrammi di Bode della funzione ( )pG j e si impongono le condizioni su

tale funzione e sulla f.d.t del dispositivo di correzione a guadagno unitario ˆ ( )cG j , inmodo da poter soddisfare le specifiche di progetto. Tali condizioni sono:

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 180c t p tG j G j m , (12.4.25)

dBdBdBdBˆ ˆˆ ˆ( ) ( )c t p t F pG j G j . (12.4.26)Le condizioni (12.4.25) e (12.4.26) assicurano, rispettivamente, di poter ottenere il marginedi fase e il comportamento a regime desiderati.

Più precisamente, la (12.4.25) afferma che scegliendo opportunamente ˆ ˆ( )c tG j èpossibile conseguire il desiderato margine di fase in corrispondenza della pulsazione diattraversamento desiderata. La (12.4.26) afferma che è possibile far sì che la pulsazione di

attraversamento sia quella desiderata, ˆt , aggiungendo alla funzione ˆ ( ) ( )c pG j G j un

guadagno, *tK , maggiore o uguale a quello necessario per soddisfare la specifica

18

sull’errore a regime. Infatti, si ha * ˆt F p dbdbdbK K K , il che implica che il guadagno a

catena aperta risulta * ˆF t p Fdb db dbdbK K K K .Ne consegue che le due condizioni

(12.4.25) e (12.4.26) sono sufficienti per soddisfare tutte le specifiche di progetto. Dalle(12.4.25) e (12.4.26) si ottengono i contributi al modulo e alla fase che il dispositivo dicorrezione a guadagno unitario deve essere in grado di fornire.

4. Si sceglie il tipo di azione correttrice in accordo alle seguenti situazioni:

a.dB

ˆ ˆ( ) 0c tG j , occorre impiegare l’azione attenuatrice;

b. ˆ ˆ( ) 0c tG j , occorre impiegare l’azione anticipatrice;

c. ˆ ˆ( ) 0c tG j e dBˆ ˆ( ) 0c tG j , potrebbe bastare l’azione anticipatrice;

d. ˆ ˆ( ) 0c tG j e dBˆ ˆ( ) 0c tG j , potrebbe bastare l’azione attenuatrice;

e. ovviamente, se le situazioni a. e b. sono contemporaneamente verificate, occorreutilizzare l’azione combinata.

Fig.12.4.19 Schema di controllo a catena chiusa.

12.4.2.4 Calcolo dei parametri del dispositivo di correzione

Dimensionamento del dispositivo di correzione ad azione attenuatrice

Il dispositivo in questione è descritto dalla f.d.t.:

1

( ) ( )1

r

rc c ecr c

r

jm

G j K G j Kj

. (12.4.27)

Tale dispositivo introduce un’attenuazione nel modulo della f.d.t. a catena aperta e, nelcontempo, un ritardo di fase.

Nel caso in questione, si ha ˆ ( ) ( )c ecrG j G j . Il dimensionamento del dispositivo dicorrezione ad azione attenuatrice verrà effettuato in due passi; nel primo verrà dimensionatol’elemento di correzione a guadagno unitario ( )ecrG j , mentre nel secondo passo verràdeterminato il guadagno cK . Il procedimento suggerito è il seguente.

1. Si determina l’attenuazione richiesta mediante la relazione (cfr. (12.4.26)):

dB dB ˆˆ ˆ( ) ( )ecr t p t F p dbdbG j G j K K . (12.4.28)

Dispositivo dicorrezione

U

+ _

YGc (s) Gp (s)

19

2. Utilizzando i diagrammi universali, si determina il valore di rm in modo tale che

l’elemento di correzione sia in grado di fornire l’attenuazione richiesta.3. Si determina r in modo che sia soddisfatta la (12.4.25). Più precisamente, determinato il

valore di r in corrispondenza al quale vale la (12.4.25), si valuta r mediante larelazione:

ˆt r r . (12.4.29)

5. Si tracciano i diagrammi di Bode della funzione ( ) ( )ecr pG j G j e si determina il valore

del guadagno *tK da associare a tale funzione, in modo tale che ˆt sia pulsazione diattraversamento.Il sistema progettato è illustrato nella Fig. 12.4.20.

Fig. 12.4.20 Schema a blocchi del sistema progettato.

6. Si determina il valore del guadagno cK del dispositivo di correzione, considerando che il

sistema di Fig. 12.4.19 risulta equivalente a quello di Fig. 12.4.20 se si sceglie *c tK K(vedi anche la (12.4.27)).

Dimensionamento del dispositivo di correzione ad azione anticipatrice

Il dispositivo in questione è descritto dalla f.d.t.:

"11 1( ) ( ) ( )1

ac c eca c c eca

aa a

a

jG j K G j K K G j

m mjm

. (12.4.30)

Tale dispositivo introduce un anticipo di fase e un’attenuazione nel modulo della f.d.t. acatena aperta.

Nel caso in questione, si ha ˆ ( ) '' ( )c ecaG j G j , mentre il guadagno del dispositivo di

correzione è c

a

K

m. Il dimensionamento del dispositivo di correzione ad azione anticipatrice

verrà effettuato in due passi; nel primo verrà dimensionato l’elemento di correzione ˆ ( )cG j ,mentre nel secondo passo verrà determinato il guadagno cK . Il procedimento suggerito è

quello che segue.

1. Si determina l’anticipo di fase che occorre introdurre nella f.d.t. a catena aperta affinché ilsistema possa avere il margine di fase desiderato in corrispondenza alla pulsazione diattraversamento desiderata. Tale anticipo si ottiene dalla relazione:

U

+ _

Y( )pG j* ( )t ecrK G j

20

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 180c t p tG j G j m . (12.4.31)

2. Mediante i diagrammi universali, si determina am in modo che l’elemento di correzione aguadagno unitario sia in grado di fornire l’anticipo di fase richiesto e, successivamente, sideterminano i valori di a , 1a o 2 1a a , in corrispondenza ai quali l’elemento dicorrezione fornisce detto anticipo di fase.

3. Si sceglie il valore di a che soddisfa la condizione sul modulo data da:

dBdB dBdBˆ ˆˆ ˆ( ) ( )c t p t F pG j G j K K . (12.4.32)Se entrambi i valori di a soddisfano la (12.4.32), si sceglie 2a cui corrisponde il

massimo valore del modulo di ˆ ( )cG j e quindi il minimo valore di guadagno addizionaleche dovrà essere aggiunto per soddisfare le specifiche di progetto. Si determina aT

mediante la relazione:

ˆt a aT .

4. Si tracciano i diagrammi di Bode della funzione ˆ ( ) ( )c pG j G j e si determina il valore

del guadagno *tK in modo tale che ˆt sia pulsazione di attraversamento.

5. Si verifica se il guadagno a catena aperta FK dato da*

1020log ( )F t p adb dbdbK K K m

soddisfa la specifica di progetto.6. Se la verifica di cui al punto 5 è positiva, si calcola il guadagno del dispositivo di

correzione in modo tale che il sistema progettato, riportato nella Fig. 12.4.21, siaequivalente a quello di Fig. 12.4.19. Perché ciò accada, basta imporre la relazione

*ct

a

KK

m , dalla quale si ricava cK . In caso contrario, occorre effettuare altri tentativi.

Fig. 12.4.21 Schema del sistema di controllo progettato

Dimensionamento del dispositivo di correzione ad azione combinata

La f.d.t. del dispositivo di correzione ad azione combinata è data da:

U

+ _

Y( )pG j* ˆ ( )t cK G j

21

1 1( ) ( ) ( ) ( )

1 1

r

acra c ecra c ecr eca c

ar

j j TmG j K G j K G j G j KTj jm

. (12.4.33)

Nel caso in esame, si ha ˆ ( ) ( )c ecraG j G j .I passi per il dimensionamento del dispositivo in questione sono di seguito illustrati.

1. Si valutano l’anticipo di fase e l’attenuazione richiesti, mediante le relazioni:

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 180c t p tG j G j m , (12.4.34)

dBdBˆ ˆˆ ˆ( ) ( )c t p t F p dbdbG j G j K K , (12.4.35)

2. A partire dalla (12.4.34), osservando che ˆ ( ) ( ) ( )c ecr ecaG j G j G j , si determinal’anticipo di fase che deve fornire la sezione anticipatrice ( )eca tG j , stimando in circa -5gradi il contributo di fase fornito dalla sezione attenuatrice:

ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) 180eca t ecr t p tG j G j G j m , (12.4.36)

3. Si sceglie un valore di m in modo tale che la sezione anticipatrice ( )ecaG j sia in grado difornire l’anticipo richiesto, e che la sezione attenuatrice ( )ecrG j sia in grado di fornirel’attenuazione richiesta, calcolata mediante la (12.4.35), compensando il contributopositivo al modulo fornito dalla sezione anticipatrice.

4. Si calcola a della sezione anticipatrice mediante la relazione 1ˆt a a ( 2ˆt a a ), e

r della sezione attenuatrice mediante la relazione ˆt r r , dove r è un valore di incorrispondenza al quale il ritardo di fase fornito dalla sezione attenuatrice è di 5°.

6. Si tracciano i diagrammi di Bode della funzione ˆ ( ) ( )c pG j G j e si determina il valore

del guadagno *tK in modo tale che ˆt sia pulsazione di attraversamento.7. Se le specifiche sono tutte soddisfatte si determina il valore del guadagno cK del

dispositivo di correzione mediante la relazione *c tK K .Se le specifiche non sono soddisfatte, occorre effettuare altri tentativi.

12.4.2.5 Sintesi per tentativi per sistemi con poli a parte reale positiva ( 0P )

Come già detto, se il sistema controllato è instabile per la presenza di poli a parte realepositiva, il margine di fase non è più indicativo della stabilità del sistema e, pertanto, non èpossibile progettare direttamente il controllore nel dominio di , poiché il segno del marginedi fase non è più indicativo della stabilità e, quindi, il valore del margine di fase non èindicativo della robustezza della proprietà di stabilità stessa.

In tale situazione, è possibile costruire un sistema di controllo, come quello illustrato nellaFig. 12.4.23, costituito da un anello di controllo interno che ha lo scopo di stabilizzare ilsistema, e da un anello esterno che ha lo scopo di ottenere prestazioni statiche e dinamichedesiderate. L’anello interno può essere progettato mediante il luogo delle radici, mentrel’anello esterno può ancora essere progettato mediante le tecniche nel dominio della frequenzaprecedentemente illustrate. Più precisamente, la f.d.t. 1( )cG s verrà progettata, mediante il

22

luogo delle radici, in modo da stabilizzare l’anello interno, mentre la f.d.t. 2 ( )cG s verràprogettata in modo da soddisfare specifiche di progetto espresse nel dominio della frequenzautilizzando i diagrammi di Bode.

Fig. 12.4.23 schema di controllo a due anelli.

Esempio 1 Progettare un sistema di controllo a catena chiusa per un sistema controllatodescritto dalla f.d.t.:

100 10( )

( 1)( 10) (1 0.1 )(1 )pG s

s s s s

,

in modo da soddisfare le seguenti specifiche: a) sistema stabile con 45m m ; b)

6 rad/st t ; c) sistema di tipo 1 con errore finale 1 0.2ue .

Sintesi Il diagramma polare della f.d.t. ( )pG j è illustrato nella Fig. 12.4.24. L’esame di talefigura mostra che non esistono valori di guadagno da associare alla ( )pG j in modo dastabilizzare il sistema a catena chiusa costruito attorno alla f.d.t. stessa. Poiché 1P , occorreprogettare un dispositivo di correzione tale che il numero di giri della funzione

1( ) 1 ( ) 1 ( ) ( )c pD j F j G j G j attorno al punto critico del piano di Nyquist della

( )F j sia pari a +1. Uno di tali dispositivi è costituito da 1 1( ) 1c cG j K illustrato nellaFig. 12.4.25.

Fig. 12.4.24 Diagramma polare della f.d.t. ( )pG j

Gp (s)U Y

+ _

+

_Gc2 (s) Gc1 (s)

1U

23

Infatti, il diagramma polare della f.d.t. a catena aperta del sistema di Fig. 12.4.44 divienequello di Fig. 12.4.26. L’esame di tale figura mostra che risulta 1T e, quindi, che ilsistema a catena chiusa risulta stabile.

Fig. 12.4.25 Anello di controllo costruito attorno al processo a guadagno unitario.

Ai fini della sintesi del sistema di controllo conviene, allora, aggiungere un guadagno taleda rendere stabile l’anello di controllo interno e, nel contempo, che i poli della f.d.t. di taleanello siano in posizione opportuna per conseguire le specifiche di progetto dell’interosistema stesso.

Fig.12.4.26 Diagramma polare della f.d.t. 1 ( )c pK G j

A tal fine conviene tracciare il luogo positivo delle radici dell’equazione:

1100

1 ( ) ( ) 1( 1)( 10)c p

G s G s Ks s

.

Il luogo in questione è riportato nella Fig. 12.4.27. L’esame di tale figura mostra che per0.506K i poli a catena chiusa sono complessi e coniugati con 0.708 e 6.36n .

Conviene allora scegliere ˆ 0.506pK . Il corrispondente diagramma polare della funzioneˆ ( )p pK G j è riportato nella Fig. 12.4.28. L’esame di tale figura mostra che l’anello interno è

stabile ( 1T ).

U1

+ _

Y1 ( )c pK G j

24

Fig.12.4.27 Luogo positivo delle radici della funzione100

1( 1)( 10)

Ks s

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

System: GpReal: -0.907Imag: -1.29Frequency (rad/sec): 2.91

Fig.12.4.28 Diagramma polare della f.d.t. 0.506 ( )pG j

Con la scelta effettuata, la f.d.t. dell’anello interno risulta:

1 2

50.6 50.6( )

( 4.5 4.5)( 4.5 4.5) 9 40.5pG s s j s j s s

.

Sintesi dell’anello esterno di controllo

Si consideri la f.d.t. data da:

1 11 2

2

( )( )

(1 2 s )

p pp

nn

G j KG j

s ss

,

dove 0.706 , 6.37n e 1 50.6 / 40.5 1.25pK , e il polo nell’origine è stato aggiunto

alla 1( )pG s al fine di ottenere un sistema di tipo1. I diagrammi di Bode della 1( )pG j sonoillustrati nella Fig. 12.4.29. Le specifiche di progetto sono:

45m m , 6t t , 14 dBF FdB dBK K .

25

Le condizioni da soddisfare perché il problema di sintesi ammetta soluzione sono:

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 180c t p tG j G j m , (12.4.25)

1 dBdBdBdBˆ ˆˆ ˆ( ) ( )c t p t F pG j G j . (12.4.26)

Scegliendo ˆt t , dBdBˆ

F F , si ha 1 dBˆ( ) 16.25 dBp tG j e 1 ˆ( ) 176p tG j ,

da cui:

ˆ ˆ( ) 135 176 41c tG j , (12.4.41)

dBˆ ˆ( ) (14 2) 16.25 4.25 dBc tG j . (12.4.42)

Fig.12.4.29 Diagrammi di Bode della funzione 1( )pG j .

Le specifiche sul controllore mostrano che le specifiche potrebbero essere soddisfatte conla sola azione anticipatrice. Per verificare se ciò è possibile, dai diagrammi universali siottiene che le specifiche sul controllore (12.4.41) e (12.4.42) possono essere quasi soddisfatte

per 6am e 1.4a . Infatti, per tale valore di a si ha dBˆ ( ) 4.5 dBc aG j , leggermente

maggiore di quello richiesto. Supponendo accettabile il conseguente peggioramento delle

prestazioni ottenute, rispetto a quelle richieste, il controllore ˆ ( )cG j risulta:

1ˆ ( ) , 6, 0.234 s1

ac a a

a

a

j TG j m T

Tj

m

,

con 6am e 0.234 saT . I diagrammi di Bode della f.d.t. 1ˆ( ) ( ) ( )c pF j G j G j sonoriportati nella Fig. 12.4.30. Si deduce che il guadagno da associate a ( )F j affinché lapulsazione di attraversamento sia pari a 6t è dato da

* 12 dBt dBK . Ne consegue che

*ct

a

KK

m , e quindi *c a tK m K =24.

26

Fig. 12.4.30 Diagrammi di Bode della ( )F j .

Le risposte indiciale e alla rampa lineare del sistema a catena chiusa sono illustrate nelleFigg. 12.4.31 e 12.4.32. L’andamento delle risposte mostra che le specifiche a regime sonosoddisfatte.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

risp

ost i

ndic

iale

ingressorisposta

Fig.12.4.31 Risposta indiciale

27

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t [s]

risp

osta

alla

ram

pa

ingressorisposta

Fig. 12.4.32 Risposta alla rampa lineare.