11

METODI 2 2005-2006METODI 2 2005-2006

22

MODELLO DI GOODWIN

Tesina di:

Ermanno Longagnani

Pietro Dallari

Silvia Cossu

Metodi matematici 2 2005-

2006 Professore: Gianni

Ricci

33

Richard Murphey Goodwin - Newcastle (Indiana, USA) - nasce nel 1913 da una famiglia benestante, successivamente colpita dalla crisi del '29. È proprio l'esperienza della crisi a spingerlo ad iscriversi, nell'anno successivo, all'Università di Harvard, dove studia scienze politiche e partecipa attivamente alla vita di facoltà. Laureatosi con lode con una tesi di critica marxista, dal 1934 al 1937, continua gli studi a Oxford, dove, anche grazie alla vicinanza a Sir Roy Harrod, discepolo di Keynes, approfondisce i temi della dinamica economica. In questo periodo viaggia in Germania e in Italia, partecipa attivamente alle attività a sostegno della Repubblica spagnola e s'iscrive al Partito comunista inglese. Nel frattempo frequenta la Ruskin Art School, facendo così maturare i due grandi interessi della sua vita: pittura ed economia.

La vita

44

Nel 1937 sposa Jacqueline Wynmalen, di famiglia anglo-olandese, in Inghilterra per motivi di studio. Nel 1938, rientra ad Harvard, dove, allievo di grandi maestri come Leontief e Schumpeter, consegue il Master in economia. Con "Studies in Money. England and Wales, 1919 to 1938", consegue il dottorato, concludendo il lavoro di ricerca iniziato ad Oxford. Dal 1941 al 1945 insegna fisica e matematica applicata e consolida l'interesse per la formalizzazione della dinamica, che si realizza - grazie anche all'incontro con il fisico francese Le Corbeiller - nella riformulazione rigorosa della teoria del ciclo economico. Frattanto il suo rapporto di amicizia con Joseph A. Schumpeter si consolida. Il suo corso di teoria del ciclo economico è frequentato dallo stesso Schumpeter e da Haberler, mentre in tempi diversi sono suoi studenti Solow, Chenery e Ellsberg.

55

Alla morte di Schumpeter viene allontanato da Harvard per motivi politici e, nell'anno accademico 1950-'51, accetta l'invito di Richard Stone trasferendosi in Inghilterra al Department of Applied Economics dell'Università di Cambridge, dove rimane fino al 1980. Dal 1955 collabora con il governo indiano in materia di programmazione economica; proprio in India incontra il biologo Haldane che indirizza i suoi interessi verso le teorie biologiche delle popolazioni; da qui il famoso studio sul ciclo della crescita, presentato al congresso mondiale della Econometric Society a Roma nel 1964.

66

Gli anni di Cambridge trascorrono tra insegnamento (molti i suoi studenti italiani) e ricerca, in particolar modo con la partecipazione al secret seminar iniziato da Keynes e continuato da N. Kaldor e J. Robinson. Contemporaneamente si dedica alla pittura, caratterizzata da uno stile astratto e cromatico la cui evoluzione riflette le fasi della vita e gli stimoli dei suoi numerosi viaggi.

77

Nel novembre 1980 diventa professore ordinario di Economia Politica alla Facoltà di Scienze Economiche e Bancarie dell'Università di Siena. Qui conosce una stagione intellettuale tra le più fruttuose e ripensa i grandi temi della sua ricerca, attribuendo alla teoria della complessità un ruolo sempre più rilevante. Dipinge alternativamente in una bella casa nel Chianti - vivace cenacolo di pensiero e discussione - ed in un ritiro indiano offerto da un mecenate, amico sin dai tempi di Oxford. Un contrappunto di ispirazioni che si riflette nei contrasti cromatici e nella scelta dei materiali: rigorosamente canvas ottenuti da tessuti riciclati.

88

Professore emerito nel 1983, continua a partecipare attivamente alla didattica all'interno dei corsi del Dottorato di Ricerca in Economia politica. Tiene il suo ultimo ciclo di lezioni di dinamica economica nella primavera del 1995.Muore a Siena il 6 agosto 1996, generosamente ricordando la Facoltà con un lascito e donando ad essa i dipinti che ora l'adornano. È sepolto nel piccolo cimitero di San Giovanni di Pianella, vicino alla casa degli ultimi anni della sua vita.

tratto da Università degli Studi di Siena, Facoltà di Economia “Richard M. Goodwin”

99

Goodwin sviluppò il suo modello di conflitto sociale nel 1967. Esso prevede l’interazione di due attori principali - capitalisti e lavoratori – e può essere riassunto nel modo seguente.

Un elevato tasso di occupazione genera inflazione nei salari, ciò aumenta il valore del monte salari pagato ai lavoratori in rapporto al prodotto totale dell’economia. Conseguentemente si riduce la quota di profitti per i capitalisti, la loro capacità di investimento e il prodotto futuro che sarà realizzato. Questo provocherà una diminuzione della domanda di lavoro, rallenterà la crescita dei salari o addirittura ne provocherà la contrazione.

Il modello

1010

Si osserverà, quindi, una diminuzione della quota del prodotto nazionale destinata ai lavoratori e, in modo speculare, una ripresa dei profitti e degli investimenti. Ciò stimolerà la domanda di lavoro, aumenterà il potere contrattuale della classe operaia che potrà beneficiare di aumenti salariali. Al che il modello ricomincia in modo ciclico lungo il percorso appena delineato.

Due sono i contributi teorici fondamentali per la costruzione del modello di Goodwin:

1. la curva di Phillips

2. l’approccio ciclico nella generazione del profitto di Kalecki.

1111

1. La curva di Phillips

La curva di Phillips fu proposta per la prima volta nel 1958 dall’economista inglese A. W. H. Phillips. Questi, in uno studio sull’andamento dei redditi inglesi osservati tra il 1861 e il 1957, individuò una relazione negativa tra il tasso di variazione dei salari nominali e il tasso di disoccupazione: ovvero, i salari aumentavano tanto più rapidamente quanto più basso era il tasso di disoccupazione.

1212

W

W

u Tasso di disoccupazione

Tasso di variazione salari

1313

La spiegazione data all’epoca dall’economista fu che per bassi livelli di disoccupazione si ha un eccesso di domanda di lavoro da parte dei capitalisti, dunque le imprese entrano in concorrenza ed offrono salari più elevati per attrarre mano d’opera scarsa. Viceversa, per alti livelli di disoccupazione si ha un eccesso di offerta di lavoro e la concorrenza tra lavoratori ha l’effetto di tenere basso il salario.Ciò spiega la pendenza negativa della curva di Phillips. Da notare che nel punto A il tasso di variazione dei salari è nullo e il tasso di disoccupazione è quello naturale.All’epoca la curva di Phillips fu accolta come uno strumento efficace e robusto, anche di fronte a questioni rilevanti come l’osservazione di un persistente aumento dei salari nel lungo periodo.

1414

Secondo la più accreditata spiegazione, quella di Lipsey, la logica di ciò, a livello individuale, era che l’eccesso di domanda in una singola industria generasse inflazione dei salari per attrarre lavoratori da altre industrie. Non appena il gap fosse stato colmato, il sistema sarebbe tornato in equilibrio. Tuttavia, a livello aggregato, l’economia non ha un pool di lavoratori disponibili che possano essere inseriti secondo necessità – a meno di non considerare coloro che volontariamente non sono occupati. Dunque, l’eccesso di domanda persiste a livello aggregato e non è eliminato dal meccanismo di variazione dei salari. Al che, è legittimo chiedersi perché i salari continuino ad aumentare se è chiaro che non possono annullare l’eccesso di domanda.

1515

La risposta si fonda sulla prospettiva individuale della singola impresa, che ha convenienza ad aumentare i salari per cercare di sottrarre manodopera agli altri operatori economici. Successivamente, autori come Samuelson e Solow affermarono che la curva di Phillips poteva essere usata per rappresentare il legame tra inflazione e disoccupazione, essendo i prezzi fissati dalle imprese strettamente legati ai salari da queste pagati.

Furono Friedman e Phelps a mettere in luce come questa relazione fosse valida solo nel breve periodo mentre nel lungo le aspettative razionali degli attori economici ne minano la solidità.

1616

E’ tuttavia indubbio che tra le ipotesi del modello di Goodwin, di poco successivo alla prima formulazione della curva di Phillips, vi sia anche una relazione inversa tra l’andamento dei salari e quello della disoccupazione.

Goodwin in realtà non considerò propriamente la curva di Phillips, ma una retta che collegava i salari all’ occupazione

1717

0 + 1

SS0{

S = variazione che i

lavoratori chiedono

come incremento

salariale

1818

2. L’approccio ciclico nel processo di generazione del profitto di Michal Kalecki

Economista polacco, Kalecki nel 1935 presenta la prima formulazione di un modello ciclico di generazione del profitto e di allocazione degli investimenti, oggi riconosciuto come anticipatore di concetti più tardi sviluppati nel corpus macroeconomico keynesiano.

1919

Secondo Kalecki, nelle decisioni di investimento un ruolo fondamentale è riservato al profitto: i capitalisti fanno profitti tramite lo svolgimento della loro attività economica e li reinvestono: quanto maggiori sono i profitti realizzati, tanto più alto sarà il valore degli investimenti futuri.

Siano:

)(

)(

t

t

I

D Decisione di investimento al tempo t

Capitale effettivamente installato al tempo t

Arco di tempo intercorrente tra la decisione di investimento e la sua effettiva realizzazione

2020

Dunque, il capitale effettivamente installato in un dato momento t deriva dalla decisione di investimento presa al tempo t-θ

)()( tt DIIl valore dei beni capitali non ancora consegnati in un dato momento t equivale al valore delle decisioni di investimento che sono state formulate nel periodo t-θ. Poiché l’intervallo di tempo è continuo si può scrivere

dtDWt

t

tt

)()(

Dove W(t) è il valore dei beni capitali non consegnati.

2121

Il valore medio dei beni di investimento per unità di tempo equivale al rapporto

dtIA

dtDA

WA

t

t

tt

t

t

tt

tt

)()(

)()(

)()(

1

1

2222

Poiché l’investimento può essere letto come variazione dello stock di capitale rispetto al tempo

dt

dKI t

t)(

)(

è possibile riformulare il valore medio dei beni capitali come

)()()(

)()(

1

1

ttt

t

ttt

KKA

KA

2323

Secondo quest’ultima formulazione, A(t) rappresenta la spesa per investimenti al tempo t.

Per ciò che concerne il reddito, Kalecki sosteneva che questo potesse essere scomposto in profitti destinati ai capitalisti e salari. Inoltre ipotizzava che i capitalisti reinvestissero tutto il profitto e che i lavoratori consumassero l’intero loro reddito. In simboli

)(

)(

)()(

t

t

tt

Y

s

P

sYP

profitti

quota di reddito destinata ai capitalisti

reddito totale

2424

Richiamando che Kalecki condivideva l’idea secondo cui la decisione di investire è positivamente correlata ai profitti, come già ricordato, ma negativamente legata allo stock di capitale, è possibile rappresentare la funzione di decisione di investimento come )()()( , ttt KsYD dove Φ(., .) è una funzione lineare così rappresentata

0,

)()()(

ttt KsYD

2525

L’equilibrio del mercato richiede che in un qualsiasi momento t il prodotto totale eguagli la somma di ciò che è consumato e investito, ovvero

)()()(

)()()()()(

)()()()(

)()()(

1

1

11

ttt

ttttt

tttt

ttt

KKs

Y

KKsYYY

KKYsY

ACY

2626

Inserendo quest’ultima espressione nella funzione di decisione di investimento si ottiene

)()()(

)()()()(

)()()()(

ttt

tttt

tttt

KKD

KKKD

KKKD

2727

Richiamando che

dt

dKID t

tt)(

)()(

e riportando il tutto indietro di θ periodi si ottiene:

)()()(

tt

t KKdt

dK

Questa equazione sintetizza il modello di Kalecki. La sua soluzione è possibile sia nella forma lineare sopra riportata sia in quella non lineare. Tuttavia, per i nostri scopi, altri sono gli aspetti su cui soffermarsi.

2828

Si ricordi che: )()()(

1ttt KK

sY

Il prodotto totale del sistema economico può quindi essere visto come una funzione della variazione dello stock di capitale nel tempo

dt

dKfY t

t)(

)(

Sappiamo inoltre che

dt

dKD

dt

dKD

tt

tt

)()(

)()(

2929

Normalizzando θ, il prodotto totale al tempo t può essere riscritto come funzione positiva delle decisioni di investimento formulate nel periodo precedente.

)1()( tt DfYQuesta funzione è centrale nello sviluppo del modello ciclico di generazione del reddito e di allocazione delle decisioni di investimento.

3030

Si immagini di disporre di uno stock iniziale di capitale K1. Dato un livello iniziale di produzione Y1, si ottiene un profitto P1=sY1. Questi elementi, lo stock di capitale e il profitto, entrano nella funzione di decisione di investimento al tempo t=1, D1=Φ(sY1,K1). Nell’ipotesi, erronea, che il capitale non si consumi ma rimanga costante nel tempo, la funzione di decisione di investimento rimarrebbe inalterata: graficamente, all’aumentare del prodotto totale ci si sposterebbe comunque sempre sulla stessa curva di decisione di investimento.

3131

Y1 Y2

D1

D(t)

Y

D(t)=Φ(sY(t),K1)

Y(t)=fD(t-1)

3232

Tuttavia il capitale non rimane costante nel tempo: è ragionevole immaginare che per un Y1 sufficientemente piccolo, il capitale diminuisca poiché non vi è un livello di investimento adeguato per rimpiazzare il capitale consumato nel processo. La contrazione del capitale da K1 a K2 provoca una traslazione verso l’alto della funzione di decisione di investimento – che è negativamente correlata alla dotazione di capitale.

Questo fenomeno si ripeterà fin tanto che l’incremento nella dotazione di capitale sarà inferiore alla sua velocità di consumo: quando questi valori si eguaglieranno, il ciclo sopra esposto si invertirà, cioè si rivedranno al ribasso le decisioni di investimento o, addirittura, si procederà a destrutturazioni.

3333

In un primo tempo la realizzazione di decisioni di investimento adottate nei periodi precedenti farà si che l’accumulazione di capitale continui ad eccedere il suo deprezzamento. Successivamente, al venire meno di commesse precedenti, la creazione di nuovo capitale sarà insufficiente per compensare il deprezzamento di quello esistente, lo stock di capitale incomincerà a diminuire e la funzione di decisione di investimento a salire nuovamente.

3434

D(t)

Y

Y(t)=fD(t-1)

D1

D2D3

Y1 Y2 Y3

3535

Variabili del modello di Goodwin

Q = reddito totale aggregato o prodotto totale aggregato

N = popolazione (offerta forza lavoro)

L = occupazione

a = Q/L = produttività media del lavoro

w = tasso salario reale

k = Q/K = rapporto reddito capitale

s = percentuale di profitti risparmiati

S = Entità degli incrementi salariali richiesti dai lavoratori in sede di contrattazione sindacale

3636

N

Lu t )(

Q

wLv t )(

)(1 tv

)1( )(tvs

Tasso di occupazione

Quota del reddito nazionale destinata ai lavoratori sotto forma di stipendi

Remunerazione del capitale investito dai capitalisti

Quota dei profitti reinvestiti dai capitalisti. Nell’ipotesi di Goodwin s è pari a 1

3737

Produttività media del lavoro. Anche in questo caso si assume un saggio di variazione costante. Quindi

K

Qk Rapporto reddito-capitale. Si presume sia costante ed

esogenamente determinato.

Ipotesi del modello di Goodwin

ntt eNN 0)(

ma

a

nN

N

La forza lavoro cresce a tassi costanti. Da ciò segue che

Si assume quindi che siano costanti tutti i parametri e che siano variabili solo u e v.

mtt eaa 0)(

3838

Alla luce di quanto detto è possibile sviluppare alcune trasformazioni

Na

Q

LNQ

LLQ

NQ

LQ

N

Lu t )(

a

w

LQ

w

LQ

LwL

Q

wLv t )(

Considerando i logaritmi di queste espressioni e derivandoli, si ottiene:

3939

NaQu

NaQuNa

Qu

t

t

t

lnlnlnln

lnlnln

lnln

)(

)(

)(

nmQ

Q

u

u

N

N

a

a

Q

Q

u

u

NaQu t

''''

'')( lnlnlnln

4040

awva

wv

t

t

lnlnln

lnln

)(

)(

mw

w

v

v

a

a

w

w

v

v

awv t

'''

'')( lnlnln

mw

w

v

v

mnQ

Q

u

u

4141

Concentriamoci sul saggio di variazione del reddito e dei salari. Il primo può essere interpretato come variazione del profitti investiti dato un certo stock di capitale. Ovvero:

k

vs

Q

Q t )(1

Il secondo può essere fatto dipendere dal potere contrattuale dei lavoratori, approssimato dal tasso di disoccupazione

uSSw

w

10

4242

Fatte queste precisazioni è possibile scrivere il modello di Goodwin:

muSSv

v

nmk

vs

u

u t

1

1

0

)(

4343

muSSv

v

mnk

vs

u

u

1

1

0

'

'

u=v; v=u

mvSSu

u

mnk

us

v

v

1

1

0

'

'

Equazioni di Lotka Volterra

Rispetto al modello di Goodwin sono necessarie alcune trasformazioni delle variabili considerate.

m=α S=ρ n=β So=γ s=1

4444

2

2

1

1

'

'

1

1

11

b

a

bk

ak

pongo

uvu

vukk

v

4545

uvbau

vubav

22'

11'

Queste sono le equazioni di Lotka-Volterra, sviluppate nel corso degli anni Venti separatamente da Lotka e da Volterra nell’ambito di studi di biologia matematica (scenario preda-predatore).

La teoria qualitativa o topologica delle equazioni differenziali studia le proprietà della soluzione di una equazione - o di un sistema – differenziale senza la conoscenza della soluzione stessa e senza cercarla attraverso metodi quantitativi

a1 ,a2 ,b1,b2 sono costanti > 0. Vengono considerati solo valori positivi di y1,y2

4646

2

1212

2

122

2

12

1

211

1

211

1

21

21222

12111

y

ayyb

y

aya

y

a

dt

dy

y

ayb

y

aya

y

a

dt

dy

yybadt

dy

yybadt

dy

4747

1212122

11

2

1212122

12

1

21

lnlnybayba

dt

yda

dt

yda

ybaybay

a

dt

dy

y

a

dt

dy

Si moltiplica la prima equazione per e la seconda per . Successivamente si sommano membro a membro.

1b2b

2121212

11

2

21212212

1

12211121

2

lnln

ln

ln

ybaybadt

ydb

dt

ydb

yybbyabdt

ydb

yybbyabdt

ydb

4848

Alla luce dei risultati precedenti possiamo scrivere:

0lnln 2

11

22

11

2 dt

dyb

dt

dyb

dt

yda

dt

yda

Questa equazione è integrabile e fornisce l’integrale univoco

Ayayaybyb 21122112 lnln

Dove A è una costante arbitraria.

4949

Lo stesso risultato può ottenersi con l’uso della procedura per le curve integrali.

Si elimina δt dal sistema

01212221211

1211

2122

1

2

dyyybadyyyba

yyba

yyba

dy

dy

Si separano le variabili dividendo per 21yy

0121

12211

21 dybyadybya

5050

Si sviluppa l’integrale

21

21

21

12122121

121

12211

21

222

211

111

122

122112

lnln

BXX

eyBey

Be

poniamo

eyyee

Aybyaybya

Adybyadybya

XyX

yba

XyX

yba

A

Aaaybyb

5151

Le caratteristiche sono così determinate e ad ogni caratteristica corrisponde un valore di B.

Si studia la forma della funzione )( 11 yX

1X

1Y2

2

b

a

5252

2

21

1

1

1

22112

112

1

1

0

122122

b

ay

dy

dX

y

abXeybeya

dy

dX ybayba

0

0

0

21

12

1

1

1

1

dy

Xd

dy

dX

dy

dX per

per

per 0

02

21

2

21

y

b

ay

b

ay

5353

Si studia la forma della funzione

22 yX

2X

2Y1

1

b

a

5454

12

1221

121

2

2 211211 by

aXeybeya

dy

dX ybayba

0

0

0

2

2

2

2

2

2

dy

dX

dy

dX

dy

dXper

per

per 1

12

1

12

1

12

0

b

ay

b

ay

b

ay

5555

2A

2X

22 yX

1X

2Y

2

2

b

a

21 BXX

0p

11 yX

1y

1

1

b

a

11y 12y

21y

22y

2211 yBXyX

p’’

p’

OK

C

F

G

D E

2

1

3

4

5656

Nel II e IV quadrante sono rappresentati e .

Nel III quadrante è rappresentato .

Si considera un punto qualsiasi sul segmento OK, compreso tra P’ e P’’ e si individuano D, E, F, G ed 1, 2, 3, 4 nel I quadrante.

A ciascun valore di B corrisponde una caratteristica.

Lo stato di equilibrio è la caratteristica che coincide con il punto

C detto centro .

22 yX 11 yX

21 BXX tanB

0P

1

1

2

2 ,b

a

b

a

5757

Il senso di rotazione è antiorario: si considera il punto 2

0

0

01

211

1

1

12

dt

dy

yba

dt

dy

b

ay

diminuisce 1y

0

0

02

122

2

2

21

dt

dy

yba

dt

dy

b

ay

2y diminuisce

5858

Al movimento del punto lungo la caratteristica corrisponde una

oscillazione di e .

Dati le condizioni iniziali risulta determinata la pendenza della retta OK e la corrispondente curva caratteristica.

Un disturbo cambia la curva caratteristica, ma conserva la periodicità senza fine.

Il sistema è conservativo e non lineare.

12111 , yyy 21222 , yyy

B

5959

Si immagini un sistema economico con una data dotazione di capitale K. Questo capitale, una volta impiegato, genera un reddito Q dal quale, sottratto il monte salari wL destinato ai lavoratori, rimane la remunerazione del capitale, (1-v). La quota s che viene reinvestita contribuirà alla generazione di nuovo capitale. Quindi è valida l’uguaglianza:

vsK

1Richiamando che

K

Qk

Tuttavia il modello di Goodwin così come è stato rappresentato in precedenza è non lineare. Si rendono quindi opportune alcune modifiche

6060

Posto il primo membro uguale a zero, si ricava che

K

K

Q

Q

E cioè che

K

vs

Q

Q

1

K

K

Q

Q

k

k

KQk

'' lnlnln

Si possono sviluppare i seguenti passaggi

6161Se lo si rappresenta graficamente, il segmento (1-v) è approssimato dal logaritmo vln

v

1

1-v

-lnv

6262

Considerazioni speculari valgono per il segmento (1-u).Da questo si evince che il modello può essere riscritto come:

muSSv

nmvk

su

t

t

lnln

lnln

0'

)(

')(

6363

Posto

vx

ux

ln

ln

2

1

mSSxx

nmxk

sx

012

21

6464

Modello Goodwin-RicciModello Goodwin-Ricci

)(

)(

012

21

mSSxx

nmxk

sx

Modello Goodwin-

Ricci

Questo è un sistema di equazioni differenziali non

omogeneo, lineare e che quindi può essere risolto.

Sappiamo che sistemi di questo tipo hanno una soluzione

data dalla combinazione lineare della soluzione generale

del sistema omogeneo associato y(t), con una soluzione

particolare del sistema non omogeneo z(t).

6565

soluzione del sistema soluzione del sistema omogeneo associato y(t)omogeneo associato y(t)

In forma matriciale:In forma matriciale:

)(

)(

0

0

02

1

2

1

mS

nm

x

x

S

ks

x

x

Troviamo gli autovalori calcolando il 0)det( IA

000

0det

S

ks

S

ks

6666

L’equazione caratteristica L’equazione caratteristica èè

02 Sk

s

Gli autovalori

sono

Sk

s2,1 sono immaginari puri

Sappiamo che i 1 Possiamo quindi scrivere:

Sk

sS

k

s1)1( Gli autovalori sono:

Sk

si 2,1

6767

Calcoliamo gli autovettori Calcoliamo gli autovettori associati perassociati per

1 Risolviamo il

sistema:0)( 1 IA

0

0

2

1

iSk

sS

k

siS

k

s

Per costruzione fatta: 0)det( 1 IA 2)( 1 IAr Inoltre 0)( 1 IAr perché non è una matrice nulla.

Allora,la soluzione del sistema equivale a quella di una delle sue

equazioni

6868

Prendiamo la seconda:Prendiamo la seconda:

212

2121 0

iSks

iS

ks

S

iS

Sks

iSk

sS

Se 12 Si ottiene una delle possibili soluzioni del sistema

dato:tSi

k

s

eiS

ksty

1)()1(

1

6969

Calcoliamo gli autovettori Calcoliamo gli autovettori associati per associati per

2 risolvendo il

sistema:0)( 2 IA

0

0

2

1

iSk

sS

k

siS

k

s

Per costruzione fatta: 0)det( 2 IA 2)( 2 IAr Inoltre 0)( 2 IAr perché non è una matrice nulla.

Allora,la soluzione del sistema equivale a quella di una delle sue

equazioni

7070

Prendiamo la secondaPrendiamo la seconda::

212

2121 0

iSks

iS

ks

S

iS

Sks

iSk

sS

Se 12 Si ottiene una delle possibili soluzioni del sistema

dato: tSik

s

eiS

ksty

1)()2(

2

7171

Questi due autovettori non sono reali, per costruire Questi due autovettori non sono reali, per costruire l’integrale generale del sistema di equazioni dato è l’integrale generale del sistema di equazioni dato è necessario introdurre un metodo per passare da una necessario introdurre un metodo per passare da una espressione non reale ad una reale.espressione non reale ad una reale.

i

i

2

1

Supponiamo di aver trovato due autovalori della matrice A del tipo:Supponiamo di aver trovato due autovalori della matrice A del tipo:

2)2(

2)1(

)(

)(

bia

bia

In corrispondenza dei due autovalori si trovano gli autovettori:

i

i

2

1

oa 22

21

)(

)(

bi

bi

S

ks

0

7272

tety 1)1()1( )( tiebity )()2( )()(

tiebity )()1( )()(

Le corrispondenti soluzioni del sistema di equazioni differenziali

saranno:Ovvero:

tety 2)2()2( )(

Consideriamo solo la prima delle due espressioni e ricordando

la formula di De Moivre: zizeiz sincos

tz

7373

Possiamo scrivere:

ietetb

titebitytt

t

)(cos)sin(

)sin(cos)()()1(

Abbiamo ottenuto una espressione che è formata da un

coefficiente reale per un numero immaginario, se

poniamo:

t

t

etbty

etbty

)cos()(

)sin()()2(

)1(

7474

Si può dimostrare che queste sono soluzioni reali e

linearmente indipendenti del sistema omogeneo

associato riprendendo il modello di Goodwin

abbiamo:

xAx

iS

ksi

iS

ksi

2

1

7575

Possiamo scrivere le due soluzioni reali: Possiamo scrivere le due soluzioni reali: sappiamo che sappiamo che

tetS

ksty 0)1( sin

0cos

1

0

tetS

ksty 0)2( cos

0sin

1

0

1cos

sin

t

tS

ks

1sin

cos

t

tS

ks

10 tt ee

7676

Soluzione particolare del Soluzione particolare del sistema non sistema non omogeneo z(t)omogeneo z(t)

Se guardiamo alla struttura della matrice dei coefficienti Se guardiamo alla struttura della matrice dei coefficienti possiamo vedere che essa ha la diagonale principale possiamo vedere che essa ha la diagonale principale composta da soli zeri. Questa caratteristica è molto composta da soli zeri. Questa caratteristica è molto importante, perché se ora annulliamo le derivate prime di importante, perché se ora annulliamo le derivate prime di xx11 e x e x2 2 , che significa rendere uguale a zero le variazioni , che significa rendere uguale a zero le variazioni delle variabili xdelle variabili x11 e x e x22, troviamo quella situazione in cui al , troviamo quella situazione in cui al variare del tempo le due componenti xvariare del tempo le due componenti x11 e x e x22 rimangono rimangono ferme allo stesso valore(soluzione stazionaria).ferme allo stesso valore(soluzione stazionaria).

In particolare se:In particolare se:

0

0

2

1

x

x

Si trovano i punti critici del

sistema

)(

)(

0

0

02

1

2

1

mS

nm

x

x

S

ks

x

x

7777

Nel nostro caso l’unico punto critico avrà queste

coordinate:

s

nmkx

S

mSx

)(2

01

Ora essendo x1=-ln u e x2=-lnv, cambiando i segni e

passando agli esponenziali ambo i membri troviamo che:

2

1

x

x

ev

eu

(1)

(2)

7878

Sostituendo a xSostituendo a x11 e x e x22 la (1) e la (2) troviamo che: la (1) e la (2) troviamo che:

s

nmk

S

mS

ev

eu)(

0

Il punto che ha queste coordinate è un punto che si trova

dentro l’area del rettangolo definito dalle rette u=1 e

v=1

7979

. t = 0

.G

1

10

Tale punto critico è

anche detto centro e se

l’economia parte da

questo punto il sistema

non si sposta dall’orbita

chiusa disegnata.

Questo significa che

l’economia ha un ciclo

economico

v

uS

mS

eu

0

s

nmk

ev

8080

Adesso possiamo calcolare l’integrale generale:Adesso possiamo calcolare l’integrale generale:

8.0

8.0)0(tx

v

u

t

tS

ksc

t

tS

kscty

sin

cos

cos

sin)( 21

Posta la condizione iniziale

e sapendo che sin0=0 e

cos0=1

v

uS

ksccy

01

0

8.0

8.0)0( 21

6.0

56.0

v

u

8181

v

uS

ksc

c0

0

8.0

8.02

1

)8.0(

8.0

1

2

vc

ucS

ks

Sks

uc

)8.0(2

s

nmk

S

mS

ev

eu)(

0

8282

Ricordando che sin0=0 e cos0=1,Ricordando che sin0=0 e cos0=1, l’integrale generale è:l’integrale generale è:

t

tS

ks

Sks

u

t

tS

ksvy

sin

cos)8.0(

cos

sin)8.0()0(

Sks

tutv

uS

ksv

ty sin)8.0(cos)8.0(

1)8.0()8.0(

)(La soluzione trovata con la

condizione iniziale è unica

cioè rappresenta un solo

vettore.

8383

)(

)(

012

21

mSSxx

nmxk

sx

Alcune considerazioni:

Riprendendo la formulazione del modello di

Goodwin:

m,n, s, S0 e k sono delle costanti e con s ed S che sono

rispettivamente la propensione marginale al risparmio dei

capitalisti e gli incrementi salariali richiesti dai lavoratori, variabili,

che a differenza del modello originario in cui erano state fissate

arbitrariamente, possono essere utilizzate dalle autorità decisionali

per guidare il modello nel raggiungimento di certi obiettivi.

8484

Inoltre abbiamo visto che annullando le derivate di xInoltre abbiamo visto che annullando le derivate di x11 e x e x22

si determinano le coordinate del punto critico che èsi determinano le coordinate del punto critico che è un centro posizionato nel quadrato 0-1 del piano (u,v) con un centro posizionato nel quadrato 0-1 del piano (u,v) con

una una posizione che dipende dai valori assegnati ai parametri cheposizione che dipende dai valori assegnati ai parametri che intervengono nel modello.intervengono nel modello.

s

nmk

S

mS

ev

eu)(

0

Con m,n, S0 e S costanti, il sistema dinamico sarebbe costituito da due equazioni differenziali lineari in xx11 e x e x2 2 di di

cui abbiamo trovato la soluzione che ha il seguente cui abbiamo trovato la soluzione che ha il seguente andamento.andamento.

8585

u, v

t

u (0)

v (0)

0

U(0) e v(0) sono

le coordinate del

punto di

partenza e che

hanno

andamenti

oscillanti,

costanti e

anticicliche l’una

rispetto all’altra

8686

Noi sappiamo che: x1=- ln u

x2= -ln v

Quindi parlare di x1 e x2 o di u e v è qualitativamente la

stessa cosa, anche se è più semplice parlare di u e di v

dato che queste variabili hanno un certo significato

economico (u= tasso di occupazione; v= quota del reddito

nazionale dei salariati). Abbiamo visto che risolvendo il

sistema e trovando le espressioni per x1 e x2 si applica

questa trasformazione in modo da esprimere la soluzione

in termini di u e v.

8787

Se si rappresentano u e v su un piano, si ottiene un punto, G, detto centro stazionario.

u

v

v=1

u=1

G

8888

Non bisogna tuttavia trascurare che u e v sono variabili espresse in funzione del tempo t. Poiché l’andamento della soluzione precedentemente trovata per u e v è oscillante, costante e anticiclica, se si rappresentano sul piano i valori di u e v al variare del tempo si ottiene una curva, detta “curva integrale o di livello”.

G

v=1

u=1

v

u

curva integraleP

8989

Le curve integrali rappresentano orbite chiuse lungo le quali si muove il sistema economico, senza possibilità che lo stesso si sposti da un’orbita all’altra. Goodwin ipotizzava cioè un andamento ciclico stazionario del sistema economico, in cui le leve che guidano l’economia sono i profitti e l’occupazione.

Si consideri la seguente esemplificazione. Si immagini di partire dal punto P, in cui la maggior parte del reddito nazionale è assorbita dai lavoratori e l’occupazione è elevata. Lo sviluppo logico secondo Goodwin è una contrazione dell’occupazione – dovuta ad una insufficiente remunerazione del capitale – e un speculare incremento dei profitti. Conseguentemente, i capitalisti torneranno a investire per ampliare la dotazione di capitale consentendo al contempo una ripresa dell’occupazione a fonte della quale crescerà la quota di salari destinata ai lavoratori fino a quando l’economia tornerà nella posizione iniziale P. Il sistema economico si è quindi mosso in senso orario lungo la stessa curva integrale.

9090

Una implicazione teorica rilevante è che, alla luce di una tale impostazione, il conflitto di classe appare ineliminabile.

Si noti, inoltre, che quanto detto è paragonabile a un modello “preda-predatore” dove l’occupazione è preda: se questa sparisce, la quota di reddito destinata ai salari - il predatore - non ha ragione di esistere, cioè muore. Viceversa se il predatore scompare, l’occupazione cresce illimitatamente.

Rispetto a queste conclusioni sembra tuttavia ragionevole chiedersi se non sia possibile stabilizzare l’andamento delle variabili u e v su valori medi per entrambe. Questo esito pare anzitutto preferibile per gli attori stessi, rispetto ad una situazione di continua ciclicità, ossia alternanza di situazioni vantaggiose e svantaggiose per gli uni o per gli altri; nonché più verosimile, in quanto sarebbero abbandonate le ipotesi di permanenza sulla stessa curva integrale e di dipendenza del sistema economico dalla situazione iniziale dello stesso

9191

Per fare questo, si è scelto di trasformare s (saggio di profitti reinvestiti nel sistema) e S (entità degli aumenti salariali) in variabili, mentre fino ad ora, è bene ricordarlo, sono stati considerati parametri dati. In altre parole, si ipotizza che i capitalisti possano intervenire sul sistema economico stabilendo quanta parte dei profitti reinvestire mentre l’entità degli incrementi salariali rappresenta la variabile strumentale dei lavoratori.

In simboli, indicando con 1 i lavoratori, con 2 i capitalisti e con u le variabili strumentali

su

Su

2

1

9292

Appare tuttavia chiaro che capitalisti e lavoratori non sono d’accordo sull’equilibrio finale del sistema economico. I primi avranno interesse a che si collochi in prossimità di G’, dove i profitti sono massimizzati e l’occupazione contenuta. Viceversa, i lavoratori propendono per G’’

G

G’’

G’

v

uu=1

v=1

9393

Si delinea, quindi, l’opportunità di procedere nello sviluppo del modello servendosi degli strumenti messi a disposizione dalla teoria dei giochi.

Capitalisti e lavoratori – considerati secondo la dottrina marxista come due gruppi distinti, omogenei, ciascuno con un proprio profilo – rappresentano i giocatori.

Ovviamente, alla luce di quanto affermato nella slide precedente, il gioco si configura come non cooperativo.

E’ possibile costruire le funzioni obiettivo – o funzioni delle perdite – dei due giocatori, basate sulla distanza tra la posizione di G che si ottiene dall’andamento del sistema dinamico e quella desiderata dal giocatore, più il peso che questi attribuisce allo stato finale:

9494

T

T

T

T

xFdtuuxuuxJ

xFdtuuxuuxJ

0

2

2

2222

2

12112

0

1

2

2122

2

11111

2

1

2

1

21

21

22

11

12

,

,

,

FF

uu

uu valori di s e S desiderati dai lavoratori

valori di s e S desiderati dai capitalisti

importanza che 1° e 2° giocatore attribuiscono allo stato finale

9595

La dinamica del sistema è rappresentata da

mSSxx

nmxk

sx

012

21

Ora, però, s e S non sono più parametri ma variabili, quindi

mSxux

nmxk

ux

0112

21

1

202

101

0

0

xx

xx

le condizioni iniziali, note:

9696

In questo modo il modello di Goodwin può essere sviluppato come un gioco non cooperativo in cui ciascun giocatore cerca di minimizzare la sua funzione delle perdite.

Si definiscono le Hamiltoniane dei due giocatori:

mSxupnmxk

upuuxuuxH

mSxupnmxk

upuuxuuxH

011222

221

2

2222

2

12112

011122

211

2

2122

2

11111

2

1

2

1

2

1

2

1

9797

Come stabilito dal principio del minimo di Pontryagin si deriva l’Hamiltoniana di ciascun giocatore rispetto alla sua variabile strategica e la si eguaglia a zero:

00

00

2212

222

2

2

1121

111

1

1

k

xpuux

du

dH

xpuuxdu

dH

Ora si ricavano i valori delle variabili di controllo ottimo:

21

222

12

111

1p

kuu

puu

9898

222

22

121

21

xdu

dH

xdu

dH

Per stabilire se si tratta di punti di massimo o di minimo si calcola la derivata seconda delle Hamiltoniane rispetto alle variabili strategiche:

Poiché in entrambi casi si tratta di valori positivi, se ne deduce che i valori trovati per le variabili di controllo ottimo sono punti di minimo.

Procedendo nello sviluppo del principio del minimo di Pontryagin si scrive l’equazione canonica Hamiltoniana come:

9999

k

upuup

upuup

k

upuup

upuup

dx

dHp

dx

dHp

dx

dHp

211

2

212

12

112

2

111

11

211

2

212

12

112

2

111

11

2

112

1

111

11

2

12

1

2

1

2

1

100100

k

upuup

upuup

k

upuup

upuup

dx

dHp

dx

dHp

dx

dHp

221

2

222

22

122

2

121

21

221

2

222

22

122

2

121

21

2

222

1

221

22

2

12

1

2

1

2

1

101101

mSxuxdp

dHx

nmxk

ux

dp

dHx

0112

2

22

22

1

1

11

102102

Per ottenere informazioni più dettagliate circa le strategie dei giocatori nel tempo, si immagini di portare il tempo a più infinito. Così facendo si ottiene un unico extremal steady state (ESS), che è soluzione stazionaria dell’equazione canonica Hamiltoniana.

Per fare questo è necessario dapprima riorganizzare le variabili aggiuntive sostituendo in ciascuna espressione i valori delle variabili di controllo ottimale. Successivamente, si pongono uguali a zero le derivate della variabili aggiuntive e di quelle di stato e si ricavano le corrispondenti strategie di controllo ottimale.

103103

12

11

212

11

121

2

11

12

121

2

12

11

12

12

212

11

12

212

12

11

12

212

11

11

1

1

2

1

2

2

2

12

12

1

pup

up

p

upp

p

pupp

pupp

puppuup

104104

22

12

22

11

212

21

11

12

221

11

212

22

12

22

11

12

11

12

21

211

11

21

221

22

12

212

22

11

12

11

211

12

21

11

21

221

22

12

11

12

11

12

11

21

21

22111

21

21

122

211

21

221

122

211

21

221

2

1

2

1

2

12

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

12

1

2

1

22

1

pppupuupuu

ppppupupuuuuu

ppppupuupuuuu

ppupupuuu

puuuuu

upuuuu

upuuuup

105105

11

212

11

22

2212

12

22

21

222

12

11

212

11

22

2212

21

22

21

12

222

22

12

212

21

112

2212

21

22

11

22

21

22

222

21

12

22

12

212

11

21

22

21

22

21

22

12

12

11222

12

12

211

222

12

212

211

222

12

212

1

2

11

2

11

2

1

11

2

111

2

1

2

1

1

2

1

2

11

2

1

2

11

2

1

1

2

1

2

111

2

1

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

12

2

1

ppk

puk

pk

uupk

uu

ppk

puk

pk

puk

puk

uuuu

ppk

pk

puk

puk

puk

upuk

uuu

pk

pk

upk

upk

uuu

pk

uuuuu

upk

uuuu

upk

uuuup

106106

21

22

2212

22

21

21

21

22

21

21

2212

22

21

221

21

22

21

221

22

22

2

2

1

2

1

2

11

1

2

11

111

2

1

111

2

1

puk

pk

upk

pk

pk

upk

pk

pk

uk

ppk

pk

uk

ppk

uup

107107

Alla luce della definizione di extremal steady state, ovvero di punto di equilibrio stazionario per le variabili di stato e aggiuntive, si pongono uguali a zero le derivate rispetto al tempo.

0

2

10

2

10

12

11

12

12

12

11

212

p

upp

pup

0

1

2

10

1

2

10

21

22

212

21

21

22

2212

p

uk

pk

p

puk

pk

108108

212

21

11

12

221

11

12

11

22

12

11

22

212

21

11

12

221

11

22

12

22

11

212

21

11

12

221

11

2

1

2

12

1

2

10

2

1

2

10

puupuupup

puppuupuu

pppupuupuu

Dato si ha 012 p

11

221

11

22

1

2

1

uuup

109109

2212

12

22

21

212

22

21

22

11

21

22

11

2212

12

22

21

212

22

11

21

11

22

2212

12

22

21

212

22

2

11

2

11

1

2

11

2

10

11

2

11

2

10

pk

uupk

uupupk

pupk

pk

uupk

uu

ppk

puk

pk

uupk

uu

Dato si ottiene021 p

22

212

22

11

1

2 uuu

kp

110110

22

2

22

220

u

nmkx

nmxk

u

nmxk

u

1

01

0110

u

mSx

mSxu

111111

Le corrispondenti strategie di controllo ottimo sono quindi

111

12

111

uu

puu

222

21

222

1

uu

pk

uu

Si nota che la strategia di ciascun giocatore coincide con lo stato di equilibrio desiderato: infatti richiamando quanto detto in precedenza, rappresenta il valore di S desiderato dai lavoratori e il valore di s desiderato dai capitalisti.

11u22u

112112

Le coordinate del punto di equilibrio con t che tende a infinito, sono così determinate in parte dai lavoratori e in parte dai capitalisti, ciascuno dei quali interviene sulla variabile sotto il suo controllo – rispettivamente S e s – in modo tale da essere parzialmente soddisfatto dell’equilibrio ottenuto.

G

G’

G’’

G

u

v

113113

Si può dimostrare che l’equilibrio ottenuto in G* non è globalmente e asintoticamente stabile: risulta quindi razionale che il sistema si porti in G*, ma le fluttuazioni dello stesso non saranno annullate, bensì continueranno in un intorno di G*.

mSxux

nmxuk

x

01112

2221

1

Infatti il sistema ottenuto sostituendo le strategie ottime alle variabili strategiche dei due giocatori è lineare e la traccia della matrice dei coefficienti è nulla. La dinamica del sistema, anche riformulato con le strategie ottime, conserva quindi le caratteristiche del modello originale: oscillante, costante e anticiclica. La lotta tra classi non sarà dunque eliminata, ma continuerà in un intorno di G*.