Metodi di supporto alle decisioni manageriali

Supporto alle Decisioni Multi-Criterio

2

Funzioni ordinali

Il metodo più utilizzato per rappresentare un ordine debole ≥j su un insieme di alternative X è di associare ad ogni x∈ X un punteggio fj(x) tale che:

x ≥j y ⇔ fj(x) ≥ fj(y)

La funzione fj(x) si dice funzione ordinale e rappresental’ordine ≥j su X. Un esempio di funzione ordinale su un insieme finito di alternative è il conto di Borda. Se |X|< ∞ ⇒ ∃ f(x) TEOREMA (3.4 p.78)Se |X| = ∞ ∃ f(x) ⇔ ∀ x,y∈ X, x > y, ∃ z ∈ Y⊆ X : x ≥j z ≥j yCon Y denso (tra due punti ne esiste sempre un terzo) e numerabile

3

Funzioni ordinali

TEOREMA (3.5 p.79)Dato un ordine debole ≥j su un insieme di alternative X, due funzioni ordinali v(x) e w(x) rappresentano ≥j se e solo se esiste una trasformazione φ(.), funzione strettamente crescente, tale che:

w(x) = φ(v(x)) Dim⇒x ≥j y ⇔v(x) ≥ v(y) ⇔ φ(v(x)) ≥ φ(v(y)) ⇔ w(x) ≥ w(y)⇐Per costruzione (se X è finito) si può ottenere facilmente φ(.).

La funzione ordinale che rappresenta ≥j è quindi unica a meno di una trasformazione crescente.

4

Multi-Criteria Decision Making

Metodi razionali: modello MCDM

x = alternativa ammissibile

fj(.) = j-mo criterio (obiettivo, attributo)

X= insieme delle alternative ammissibili

[ ]n

Tq

Xxts

xfxfxF

R⊆∈

=

..

)(),...,()(max 1

x

5

Multi-Criteria Decision Making

[ ]n

Tq

Xxts

xfxfxF

R⊆∈

=

..

)(),...,()(max 1

Il metodo più utilizzato per risolvere il problema

consiste nel determinare la x che massimizza la quantità:

n

qjj

Xxts

xf

R⊆∈

∑=

..

)(max,...,1

Quando è lecito fare ciò?

6

Multi-Criteria Decision MakingIn altre parole, vorremmo trovare delle funzioni fj(x) tali che:

yxyfxfqj

jqj

j ≥⇔≥ ∑∑== ,...,1,...,1

)()(

TEOREMA (4.5 p.119)

Dato un ordine debole ≥ su X, esiste una funzione di valore misurabile f(x) che rappresenta ≥ se:1. Ordini marginali mutuamente preferenzialmente indipendenti

2. Esiste una sequenza standard limitata su X

3. Ogni attributo è essenziale

4. Per ogni attributo vale la risolvibilità ristretta

In questo caso la funzione vettoriale f(x) si dice funzione di valore misurabile.

Condizioninecessarie

7

Multi-Criteria Decision Making

Nota 1: in genere si vuole partire dalle funzioni fj(x) per generare un ordine debole ≥ su X, invece il teorema parte dall’ordine debole ≥ per definire le condizioni di esistenza di funzioni fj(x) misurabili

Nota 2: d’ora in poi un’alternativa x∈ X sarà definita da un vettore di q elementi, detti attributi. xj indica quindi l’attributo j-esimo, misurato dal criterio j. Si utilizzerà pertanto la notazione fj(xj) per esprimere la misura di xj, invece di fj(x), per evidenziare il fatto che il criterio j dipende esclusivamente da xj.

8

Indipendenza nelle preferenze

Definizione: detto B ⊂ {1,..,q} un sottoinsieme proprio degli attributi e F = {1,..,q} \ B, si può considerare ogni alternativa x∈ X costituita dai due sottovettori xB e xF, cioè: x = (xB xF). Gli attributi in B si dicono preferenzialmente indipendenti da quelli in F se ∀ x,y∈ X si ha:

Se ∃ α: (xB α) ≥ (yB α) ⇒ si ha (xB β) ≥ (yB β) ∀ β.

In questo caso l’ordine debole su X induce un ordine debole su B, detto ordine marginale. La funzione fi(x) dovrà rappresentare l’ordine marginale definito sull’attributo i.

Gli attributi {1,..,q} si dicono mutuamente preferenzialmente indipendenti se tutte le partizioni BF sono preferenzialmente indipendenti

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Preferenze finite

Definizione di sequenza standard limitata (detta anche assioma di Archimede). Corrisponde al noto principio di Archimede per cui, dati due numeri reali finiti, x grande a piacere e y piccolo a piacere, esiste sempre un intero n tale che ny > x.

Tradotto su X si richiede che date due alternative x e y sia sempre possibile costruire una sequenza finita di alternative y1, …, yk con queste proprietà:

1. La preferenza del decisore a scambiare y1 con y è indifferente a scambiare yi con yi-1, per i=1,..k.

2. yk è preferita a x.

In pratica si richiede che non esista un’alternativa infinitamente preferita ad un’altra.

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Attributi essenziali

Definizione: l’attributo i si dice essenziale se, detto B ={i} e F = {1,..,q} \ {i}, esistono due alternative x,y∈ X tali che:

x = (xB xF),

y = (yB yF),

xF = yF = α,

(xB α) ≥ (yB α).

Un attributo è quindi essenziale se permette di definire una preferenza tra almeno una coppia di alternative che, diversamente, risulterebbero indifferenti.

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Risolvibilità ristretta

La condizione di risolvibilità ristretta richiede che:

∀ x,y,z∈ X, con x = (xB α), y = (yB α), z = (zB β), x ≥ z ≥ y

⇒ ∃ w ∈ X : w=(wB α), w ~ z

α

xB

xF

β

y

z

xw

curve di indifferenza

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Funzione di valore misurabile

TEOREMA (4.6 p.120)Dato un ordine debole ≥ su un insieme di alternative X, due funzioni di valore misurabili

rappresentano ≥ se e solo se esistono delle costanti α>0, β1, …, βq, tali che:

∑∑==

==qj

jqj

j xwxwxvxv,...,1,...,1

)()()()(

qiperxwxv iii ,...,1)()( =+= βα

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Multi-Criteria Decision Making

Metodi razionali: modello MCDM

x = alternativa ammissibile

fj(.) = j-mo criterio (obiettivo, attributo)

X= insieme delle alternative ammissibili

[ ]n

Tk

Xxts

xfxfxF

R⊆∈

=

..

)(),...,()(max 1

x

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Multi-Criteria Decision Making

DefinizioneUna alternativa ammissibile x0∈ X si dice efficiente(non dominata, o Pareto ottima) se non esiste x∈ Xtale che fj(x) ≥ fj(x0) per ogni criterio j∈ K={1,...,k} e fj(x)≠fj(x0) per almeno un j∈ K

Le alternative efficienti sono quelle per cui non esiste un’altra alternativa ammissibile migliore per un citerio che non sia peggiore almeno un altro

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Multi-Attribute Decision Making

Ci limitiamo per ora ad un contesto deterministicosingolo decisore con m alternative e n criteri, o attributiLe alternative sono elencate esplicitamente: A1, A2, …, Am. cij indica il punteggio dell’alternativa Aisecondo il criterio j.Un problema MADM è definito dalla Matrice mxndelle Decisioni [cij] che valuta le m alternative secondo gli n criteri.

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Multi-Criteria Decision Making

Un esempioUna compagnia aerea vuole scegliere quale tipo di aereo da trasporto acquistare tra 4 possibili candidati

Vengono individuati 6 criteri/attributi rilevanti:

c1 Velocità massima (mach)c2 Raggio di azione (km)c3 Carico massimo trasportabile (Kg)c4 Costo (M$)c5 Affidabilità (qualitativo)c6 Manovrabilità (qualitativo)

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Multi-Criteria Decision Making

La matrice delle decisioni

Non c'è un'alternativa chiaramente migliore delle altreNon tutti gli attributi sono numericiGli attributi qualitativi possono essere scalarizzati associandoli ad un valore numerico arbitrario che ne conservi l'ordine, ad esempio:

Molto Basso = 1; Basso = 3; Medio = 5; Alto = 7; Molto Alto = 9

c1 c2 c3 c4 c5 c6 A1 2.0 1500 20000 5.5 Media Molto Alta

A2 2.5 2700 18000 6.5 Bassa Media

A3 1.8 2000 21000 4.5 Alta Alta

A4 2.2 1800 20000 5.0 Media Media

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Multi-Criteria Decision Making

La matrice scalarizzata

Definizione di dominanza (≥)Date due alternative distinte Ah e Ak, Ah domina Ak (Ah≥Ak) se: chj≥ckj per ogni j=1,...,n, con almeno una disuguaglianza strettaIn questo caso non ci sono alternative dominate

c1 c2 c3 c4 c5 c6 A1 2.0 1500 20000 5.5 5 9 A2 2.5 2700 18000 6.5 3 5

A3 1.8 2000 21000 4.5 7 7

A4 2.2 1800 20000 5.0 5 5

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Metodo ELECTRE

Metodo ELECTRE (ELimination Et Choix TRaduisant la realitE)

Costruisce una “relazione di preferenza" (outranking) tra le alternativeAd ogni attributo j viene assegnato un peso wj che ne definisce l’importanza relativaIl concetto chiave è che Ah è preferibile ad Ak se:

- C’è molta soddisfazione nel preferire Ah ad Ak

- C’è poca insoddisfazione nel preferire Ah ad Ak

Definizione di preferenza (Pj)Date due alternative distinte Ah e Ak, Ah è preferibile a Ak secondo il criterio j (Ah Pj Ak) se: chj≥ckj.

Se Ah è preferibile a Ak si dice che Ak è dominata da Ah

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Metodo ELECTRE

Per ogni coppia (Ah, Ak), h,k=1,...,m, h≠k, si definiscono una matrice di concordanza [Chk] e una matrice di discordanza [Dhk]:

La matrice di concordanza tiene conto del peso dei criteri per i quali h è preferibile a kLa matrice di discordanza tiene conto del criterio che si oppone maggiormente alla preferenza di h su k

∑

∑=

jj

APAjj

hk w

wc kjh:

−

−=

||maxmax

,:

vjujvu

hjkj

APAjhk cccc

dhjk

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Esempio c1 c2 c3 c4 c5 c6 A1 2.0 1500 20000 5.5 5 9 A2 2.5 2700 18000 6.5 3 5 A3 1.8 2000 21000 4.5 7 7

A4 2.2 1800 20000 5.0 5 5 wj 5 4 3 2 1 5 Max diff

0.7 1200 3000 2.0 4 4

chk A1 A2 A3 A4 A1 - 0,45 0,6 0,55 A2 0,55 - 0,55 0,8

A3 0,4 0,45 - 0,65

A4 0,65 0,45 0,35 -

dhk A1 A2 A3 A4 A1 - 1 0,625 0,375 A2 1 - 1 0,571 A3 0,5 1 - 0,65 A4 0,571 0,75 0,5 -

45,0512345

51312 =

+++++++

=c

1;;21;;

12001200;

7,00,25,2max12 =

•••−

=d

22

Metodo ELECTRE

Calcolo della matrice F di dominanza di concordanza. Si definisce una soglia per l'indice di concordanza, c0<1

Calcolo della matrice G di dominanza di discordanza. Si definisce una soglia per l'indice di discordanza, d0<1

<≥

=0

0

01

ccseccse

fhk

hkhk

>≤

=0

0

01

ddseddse

ghk

hkhk

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Esempiochk A1 A2 A3 A4 A1 - 0,45 0,6 0,55 A2 0,55 - 0,55 0,8

A3 0,4 0,45 - 0,65

A4 0,65 0,45 0,35 -

dhk A1 A2 A3 A4 A1 - 1 0,5 0,375

A2 1 - 1 0,571

A3 0,5 1 - 0,65

A4 0,571 0,75 0,5 -

fhk A1 A2 A3 A4 A1 - 0 1 1 A2 1 - 1 1

A3 0 0 - 1

A4 1 0 0 -

ghk A1 A2 A3 A4 A1 - 0 1 1

A2 0 - 0 0

A3 1 0 - 0

A4 0 0 1 -

c0=0,55 d0=0,5

24

Metodo ELECTRECalcolo della matrice di dominanza aggregata E=[ehk]=F∧ G, cioè: ehk=fhk ⋅ ghk

fhk A1 A2 A3 A4 A1 - 0 1 1 A2 1 - 1 1

A3 0 0 - 1

A4 1 0 0 -

ghk A1 A2 A3 A4 A1 - 0 1 1

A2 0 - 0 0

A3 1 0 - 0

A4 0 0 1 -

ehk A1 A2 A3 A4 A1 - 0 1 1

A2 0 - 0 0

A3 0 0 - 0

A4 0 0 0 -

ehk=1 ⇒ Ah preferita ad Ak

A1 domina A3 e A4

25

Metodo ELECTRE

Note:Se c0=1 e d0=0 si ha dominanzaIl metodo dipende dalla scelta delle soglie c0 e d0

La matrice E permette la definizione di un ordinamento parziale tra le alternative. L’insieme delle alternative non dominate (colonna =0) si dice NUCLEO di AEsistono molte varianti del metodo: ELECTRE I, ELECTRE II, ELECTRE III, ELECTRE IV, ELECTRE V, ELECTRE TRI.

26

Metodo ELECTRE III

Serve a definire un ordinamento parziale delle alternativePer ogni criterio si definiscono TRE SOGLIE, oltre ai pesi wj:

Soglia di indifferenza qj- Ah e Ak sono indifferenti (per il criterio j) se |chj – ckj| < qj

Soglia di preferenza pj ≥ qj- Ah è preferibile ad Ak (per il criterio j) se chj > ckj + pj

Soglia di veto vj ≥ pj- Ah NON è preferibile ad Ak se esiste un criterio j tale che

ckj > chj + vj

27

ELECTRE III

Relazioni di preferenza secondo il criterio j:

hIjk (Ah è indifferente a Ak) se | chj − ckj | ≤ qj

hQjk (Ah è preferita debolmente a Ak) se qj < chj – ckj ≤ pj

hPjk (Ah è preferita fortemente a Ak) se chj > ckj + pj

Relazione di veto:

hVk (Ah non può essere prefertita a Ak) se ∃ j: ckj − chj ≥ vj

28

ELECTRE III

Indice di concordanza cj(h,k) rispetto al criterio j:

−

−+−<−≥

=

altrimenticcp

cc0,ccs1,

k)(h,ckjhj

j

jj

j

jkjhj

jkjhj

qp

pseqe

1

0

cj(h,k)

chj chj +qj chj +pj ckj

29

∑

∑

=

== n

1jj

n

1jjj

w

k)(h,cwk)c(h,

matrice di concordanza

30

ELECTRE III

Indice di discordanza dj(h,k) rispetto al criterio j:

−

−−−≥−≤

=

altrimenticc

cc0,ccs1,

k)(h,dhjkj

j

jj

j

jkjhj

jkjhj

pvp

pseve

1

0

dj(h,k)

chj chj +qj chj +pj ckj chj +vj

31

ELECTRE III

∅≠−

−∅=

= ∏∈

Fse

Fse

k)F(h,j j

j

k)(h,c1k)(h,d1

k)c(h,

k)c(h,k)e(h,

Matrice di credibilità e(h,k)

Sia F(h,k) = {j: dj(h,k) > cj(h,k)}

32

ELECTRE III

Processo di classificazioneSi definisce una soglia λ

Classificazione discendenteQ(h)= numero di alternative dominate da Ah meno alternative che dominano Ah. Sarebbe la somma della riga h di T meno la somma della colonna h di TLe alternative con massimo Q sono messe nella fascia più alta, si cancellano righe e colonne e si ricominciaAlla fine si assegna un punteggio alle fasce della classificazione, a ritroso. Si assegna 1 all’ultima, poi 2, …, fino al numero massimo per la prima fascia trovata.

>

=altrimenti0,

λk)e(h,se1,k)t(h,

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ELECTRE III

Classificazione ascendenteCome prima: Q(h)= numero di alternative dominate da Ah meno alternative che dominano Ah. Sarebbe la somma della riga h di T meno la somma della colonna h di TLe alternative con minimo Q sono messe nella fascia più bassa, si cancellano righe e colonne e si ricominciaAlla fine si assegna un punteggio alle fasce della classificazione, a partire dalla prima. Si assegna 1 alla prima, poi 2, …, fino al numero massimo per l’ultima fascia trovata.

Classificazione finaleSi sommano i due punteggi e si ordinano le alternative per valore decrescente. Quella con punteggio massimo è la migliore.

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Esempio aerei c1 c2 c3 c4 c5 c6 A1 2,0 1500 20000 5,5 5 9 A2 2,5 2700 18000 6,5 3 5

A3 1,8 2000 21000 4,5 7 7

A4 2,2 1800 20000 5,0 5 5 wj 5 4 3 2 1 5

qj 0,1 300 500 0,2 1 1

pj 0,4 600 1000 1,2 2 2 vj 0,8 1000 3000 2 4 4

Indice di concordanza

c1(1,2) = 0

c2(1,2) = 0

c3(1,2) = 1

c4(1,2) = 0.2/1

c5(1,2) = 1

c6(1,2) = 1

c(1,2) = 3+0.4+1+5/20=0.47Indice di discordanza

d1(1,2) = 0.1/0.4=0.25 d3(1,2) = d4(1,2) = d5(1,2) = d6(1,2) =0d2(1,2) = 1 ⇒ F(h,k)={1,2} ⇒ e(h,k)=0

35

Esempio aerei

chk A1 A2 A3 A4 A1 - 0,47 0,67 0,91 A2 0,55 - 0,55 0,8 A3 0,59 0,45 - 0,72 A4 0,72 0,53 0,55 -

000000dj(4,3)

000,37500,750dj(4,2)

100000dj(4,1)

000000dj(3,4)

00100,250,75dj(3,2)

000000dj(3,1)

0000,500dj(2,4)010100dj(2,3)

1000,500dj(2,1)

000000dj(1,4)

000000dj(1,3)

000010,25dj(1,2)

Matrice di concordanza Indici di discordanza

F(h,k) A1 A2 A3 A4 A1 - 1,2 0 0 A2 3,6 - 3,5 3 A3 0 1,2,3 - 0 A4 6 2,4 0 -

36

Esempio aerei

E(h,k) A1 A2 A3 A4 A1 - 0 0,67 0,91 A2 0 - 0 0,4 A3 0,59 0 - 0,72 A4 0 0,08 0,55 -

Matrice di credibilitàE(h,k) A1 A2 A3 A4 A1 - 0 1 1 A2 0 - 0 0 A3 1 0 - 1 A4 0 0 1 -

Matrice T con λ=0,5

Classificazione discendente

Passo1:Q(1)=1Q(2)=0Q(3)=0Q(4)=-1

Passo2:

Q(2)=0Q(3)=0Q(4)=0

Punti:Q(1)=2Q(2)=1Q(3)=1Q(4)=1

Classificazione ascendente

Passo1:Q(1)=1Q(2)=0Q(3)=0Q(4)=-1

Passo2:Q(1)=0Q(2)=0Q(3)=0

Punti:Q(1)=2Q(2)=2Q(3)=2Q(4)=1

Graduatoriafinale

A1A2 A3

A4

37

ELECTRE III - esempio

Per il progetto di un complesso turistico in una regione con restrizioni ambientali sono stati proposti 7 progetti alternativiObiettivi:

Economico: valutato come beneficio netto annuale attesoImpatto ambientale durante la costruzione: valutato come numero di metri cubi di terra da movimentare per costruire il complessoSociale: generazione di nuovi posti di lavoroAmbientale dopo la costruzione: valutazione ambientale dell’impatto negativo su flora e fauna della regioneTurismo: valutato come numero di nuovi turisti atteso causato dalla nuova struttura ricettivaLegale: numero di problemi legali per acquisto dei lotti di terreno, ecc. Stanziamento di Capitali iniziali: attualizzati al tasso di sconto

38

Esempio

103 €Necessità iniziali di capitalec7

Qual.Problemi legalic6

Turisti (migliaia)

Numero di turisti attesi all’anno (migliaia)c5

indicatoreImpatto ambientale negativoc4

impiegatiNumero di nuovi impiegatic3

m3Metri cubi spostatic2

103 €Beneficio netto annuale in migliaia di euroc1

unitàCriteri di scelta

39

Valutazione impatto ambientaleLo schema DPSIR

Proposto dalla Agenzia Europea per l’ambiente (1994 and 1996)Può essere usato per descrivere l’evoluzione di un sistema naturale sottoposto a pressione umana

40

Valutazione impatto ambientale

Per l’area in questione (un lago, circondato da campi e foreste, con un villaggio di pescatori e piccolo turismo locale)

Le attività umane sono i “determinants”Il complesso genera un flusso di nutrienti verso il lago (“pressure”)Questi causano la proliferazione delle alghe (“the state changes”) con moria di pesci dovuto al calo di ossigeno nell’acquaQuesto può causare delle perdite nel turismo e nell’attività di pesca (“Impact”)

41

Esempio

L’agenzia ambientale può decidere di intervenire in vari modi (Response):

Regolando l’immissione di nitrati nel lago (action on pressures)Promuovendo la raccolta periodica delle alghe e/o l’immissione di ossigeno nel lago (action on state)Compensazioni monetarie alla popolazione per le perdite (action on impacts)

Segue una valutazione quantitativa dell’impatto ambientale negativo

42

Esempio

Valutazione quantitativa dei problemi legali:

50Insignificanti

40Pochi

30Moderati

20Significativi

10Molti

ValoreDescrizione

43

Matrice delle decisioni

C7 -

C6 -

C5 +

C4 -

C3 +

C2 -

C1 +

ALT.

600

Significat.

25

180

80

2 000

100

A1

ALTERNATIVE

500400350250300400

MoltiSignificInsignifi.PochiModeratiMolti

5152010715

6080130100110150

203050404560

7509001 0001 2001 2001 600

405065808590

A7A6A5A4A3A2

44

Matrice con soglie

1508415530010q

300108603550040v200206301545020p

-500105-6020-750407803030402060100w

-4002015-8030-900506-3505020-13050-1000655-2504010-10040-1200804-300307-11045-1200853-4001015-15060-1600902-6002025-18080-20001001

(-) c7c6c5(-)c4c3

(-) c2c1Alt.

45

Matrice di concordanza

=

1.000.880.500.320.360.580.570.961.000.680.610.650.670.580.890.891.000.750.690.690.630.720.920.881.001.000.900.580.720.810.830.991.000.860.720.720.710.670.690.691.000.850.720.500.420.420.490.561.00

C

46

Matrice di discordanza

=

0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.001.000.670.000.000.000.000.000.330.000.000.000.000.000.000.670.000.000.000.000.000.001.001.000.000.670.330.000.001.001.000.671.001.000.000.00

4D

47

Matrice di credibilità

=

1.000.000.000.000.000.000.000.961.000.680.610.470.000.000.000.891.000.750.690.690.290.720.920.001.001.000.900.000.720.000.000.991.000.000.000.000.000.000.690.691.000.000.000.000.000.000.000.561.00

E

48

Matrice T con λ= 0.4

=

1000000111110001111101101110100110000011100000011

T

Classificazione discendente D

i=1: Q(1)=2-1=1 Q(2)=-1, Q(3)=-2,

Q(4)=0, Q(5)=3, Q(6)=2, Q(7)=-3

Per cui: D1=5

Eliminando la fila 5 e la colonna 5, si ha:

Q(1)=1, Q(2)=0, Q(3)=-1, Q(4)=1, Q(6)=2, Q(7)=-3

Da cui: D2=6

Classificazione D: 5,6,4,1,2,3,7 v’(1)=3, v’(2)=4, v’(3)=5, v’(4)=3, v’(5)=1, v’(6)=2, v’(7)=6

49

Classificazione ascendente AQ(1)=1, Q(2)=-1, Q(3)=-2, Q(4)=0,Q(5)=3, Q(6)=2, Q(7)=-3

Per cui: A1=7Eliminando la fila 7 e la colonna 7, si ha:

Q(1)=1, Q(2)=-1, Q(3)=-3, Q(4)=-1, Q(5)=3, Q(6)=1

Da cui: A2=3

Classificazione A: 7,3,2,4,1,5,6v’’(1)=5, v’’(2)=3, v’’(3)=2, v’’(4)=4, v’’(5)=5, v’’(6)=5, v’’(7)=1

50

Classificazione finale

7211721055611156548444642235633239541

Ordinev’+v’’v’’v’Alt

Classificazione ELECTRE III:

5, 6, 1, 4, 2, 3, 7