1 Introduzione meccanica delle strutture

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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE Insegnamento: Meccanica delle strutture n Lezione: 1 Titolo: Introduzione al corso

FACOLT DI INGEGNERIA

LEZIONE 1 Introduzione al corso

Nucleo tematico

Lez. Contenuto

1 1 Introduzione al corso; definizioni degli elementi strutturali; richiami sulle caratteristiche inerziali delle figure piane.

Le costruzioni dellingegneria civile (edifici, ponti, opere di sostegno del terreno, ecc.) sono soggette ad azioni esterne in relazione al loro utilizzo. Queste azioni possono essere di diversa natura, per esempio:

- forze applicate e carichi distribuiti, derivanti dai pesi degli oggetti contenuti in un edificio, dal traffico veicolare o pedonale su un ponte, dal peso del terreno a tergo di un muro di sostegno, dal vento che investe una superficie ecc.;

- gradienti termici, derivanti dalla presenza di punti della costruzione a temperatura diversa o da variazioni di temperatura rispetto a quella presente al tempo della costruzione;

- spostamenti impressi a punti della costruzione rispetto alla configurazione iniziale della stessa, derivanti ad esempio da cedimenti di fondazione, spostamenti di altre costruzioni cui quella in esame connessa;

- accelerazioni alla base, derivanti da eventi sismici.

La parte della costruzione che pensata e verificata come idonea a sopportare le azioni detta comunemente struttura e gli elementi che la compongono sono detti elementi strutturali.

Lapplicazione delle azioni esterne produce effetti sulla struttura che, nei casi pi comuni, sono descrivibili attraverso:

- spostamenti relativi tra i punti della struttura; - deformazioni degli elementi strutturali; - forze che le varie parti della struttura o degli elementi strutturali si

scambiano mutuamente.

In questo corso sono descritti i fondamenti dei metodi analitici per la previsione degli effetti sulla struttura delle azioni applicate alla costruzione, secondo lo schema di figura 1.1.

Figura 1.1.

COSTRUZIONE

Schematizzazione, semplificazione

STRUTTURA

AZIONI ESTERNE

EFFETTI

Meccanica delle

strutture


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La previsione degli effetti indispensabile per:

- formulare giudizi sullidoneit degli elementi strutturali delle costruzioni esistenti a sopportare con gli adeguati margini di sicurezza le azioni applicate;

- dimensionare gli elementi strutturali delle nuove costruzioni in modo che siano idonei a sopportare con gi adeguati margini di sicurezza le azioni applicate.

In questo contesto si fa riferimento ad unaccezione intuitiva del concetto di sicurezza, che invece sar oggetto di ampi approfondimenti nei corsi successivi.

Si osserva che la distinzione in una costruzione tra elementi strutturali ed elementi non strutturali non n immediata n univoca; questa distinzione tuttavia indispensabile per schematizzare il problema rappresentato in figura 1.1 tanto da renderlo sufficientemente semplice da essere analiticamente o numericamente maneggevole.

Gli elementi strutturali possono essere schematicamente classificati in base alle loro caratteristiche geometriche in:

1. elementi trave; 2. elementi lastra; 3. elementi tridimensionali.

Definizioni

Si dice elemento trave un solido generato da una figura piana avente forma e dimensioni variabili con continuit che si muove nello spazio mantenendosi ortogonale alla traiettoria continua descritta dal suo baricentro ed avente le dimensioni piccole rispetto alla lunghezza della traiettoria del baricentro (figura 1.2).

Figura 1.2.

[

]

KG

G

1

2

x

y

G

Sezione 1

x

y

G

Sezione 2


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La figura piana che genera lelemento trave si dice sezione

trasversale della trave; la traiettoria percorsa dal baricentro della sezione trasversale si dice asse della trave.

La sezione trasversale pu cambiare forma e dimensioni durante i moto del suo baricentro lungo lasse; se ci avviene, la trave si dice a sezione variabile (figura 1.2), altrimenti si dice a sezione costante (figura 1.3).

Figura 1.3.

Se lasse della trave contenuto in un piano, la trave si dice piana (figura 1.4); se lasse della trave un segmento la trave si dice ad asse rettilineo o asta (figura 1.5).

Figura 1.4.


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Figura 1.5.

Si dice elemento lastra un solido generato da un segmento che si muove nello spazio mantenendosi ortogonale alla superficie continua descritta dal suo punto medio ed avente le lunghezza piccola rispetto alle dimensioni della superficie (figura 1.6).

Figura 1.6.

Gli elementi strutturali la cui geometria non soddisfa le precedenti definizioni sono detti in modo generico tridimensionali.

Relativamente ad una trave, la figura 1.7 mostra un tipico esempio del problema schematizzato in figura 1.1: il mezzo che transita sulla alla struttura (trave) costituisce, con il peso associato alla sua massa, lazione esterna che la causa, ad esempio, della deformazione della trave stessa. Lentit di questa deformazione viene determinata con i procedimenti della meccanica delle strutture.

Figura 1.7.

Causa

Schematizzazione

Effetto

Effetto


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In questo corso sono descritti i fondamenti dei metodi analitici

relativi al problema schematizzato in figura 1.1 ed esemplificato in figura 1.7 relativamente agli elementi trave piani ed ai sistemi di elementi trave piani, cio ai sistemi costituiti da elementi trave aventi tutti gli assi sullo steso piano, tra loro variamente connessi. Si far particolare riferimento agli elementi trave ad asse rettilineo ed a sezione costante. Pertanto in questo corso il termine struttura viene utilizzato per indicare un sistema piano costituito da elementi trave. Solitamente, ed anche in questo contesto, gli elementi trave vengono rappresentati mediante una linea che ne rappresenta lasse; si intende che ogni punto dellasse rappresenta la sezione trasversale che si ottiene sezionando la trave con un piano ortogonale allasse. I punti comuni tra due elementi trave vengono in genere chiamati nodi. (figura 1.8).

A

AB

BCC

Sezione A-A

x

y

G

Sezione B-B

x

y

G

Sezione C-C

x

y

G

A

AB

BCC

Nodi

Figura 1.8.

Gli elementi trave verranno brevemente denominati

semplicemente travi oppure aste. Si precisa tuttavia che nel linguaggio corrente la dicitura trave in genere riservata ad elementi trave con asse non verticale, mentre gli elementi trave con asse verticale sono comunemente detti pilastri.


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LEZIONE 1 Sessione di studio 1 Richiami sulle caratteristiche inerziali delle figure piane CARATTERISTICHE INERZIALI DELLE SEZIONI

Una trave caratterizzata dalla forma della sua sezione trasversale e dallandamento della sua linea dasse. La sezione di una trave una figura piana, relativamente alla quale sono definite alcune propriet note dal corso di Meccanica Razionale e che vengono nel seguito brevemente richiamate con particolare riferimento allutilizzo nella meccanica delle strutture.

Definizione

Data una sezione S di area A ed assunto un sistema di riferimento (xOy) nel piano della sezione, si chiama baricentro il punto G del piano di coordinate

S

G dSxA

1x

SG dSyA

1y (1.1)

essendo x ed y le coordinate del generico punto P di S (figura 1.9).

Figura 1.9.

Definizione

Data una sezione S ed assunto un sistema di riferimento (xOy) nel piano si chiama momento statico della sezione rispetto allasse x la quantit

S

x dSyS (1.2)

analogamente si chiama momento statico della sezione rispetto allasse y la quantit

S

y dSxS (1.3)


x

y

G

Sezione

xG

yG

P

x

y

Sx = yGA Sy = xGA

O


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Definizione

Date una sezione S ed una retta r nel piano della sezione si chiama momento di inerzia della sezione S rispetto alla retta r la quantit

S

2rr dSPdI (1.4)

essendo dr(P) la distanza del generico punto P della sezione dalla retta r (figura 1.10).

G

Sezione

P

r

dr(P)

Figura 1.10.

In particolare restano definiti i momenti di inerzia della sezione rispetto agli assi x ed y di un sistema di riferimento (xOy) del piano:

S

2x dSyI

S

2y dSxI (1.5)

essendo, a meno del segno, x la distanza del generico punto P dallasse y (dx(P) = _y_) ed y la distanza del generico punto P dallasse x (dy(P) = _x_), figura 1.11.

Figura 1.11.

Definizione

Date una sezione S ed una retta r nel piano della sezione si chiama raggio di inerzia della sezione rispetto alla retta r la quantit

x

y Sezione

P

x

y dy(P)

O

dx(P)


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A

Irr U (1.6)

essendo Ir il momento di inerzia della sezione rispetto allasse r ed A larea della sezione S. In particolare restano definiti i raggi di inerzia della sezione rispetto agli assi x ed y di un sistema di riferimento (xOy) del piano:

A

Ixx U

A

Iyy U (1.7)

Definizione

Date una sezione S ed assunto nel piano della sezione un sistema di riferimento (xOy) si chiama momento di deviazione o prodotto di inerzia o momento centrifugo rispetto alla coppia di assi (x,y) la quantit

S

xy dSyxI (1.8)


Definizione

Date una sezione S ed un punto O del suo piano si chiama momento di inerzia polare rispetto al punto O la quantit

S

2OO dSPdI (1.9)

essendo dO(P) la distanza del generico punto P della sezione dal punto O r (figura 1.12).

Figura 1.12.

Definizione

Date una sezione S ed un punto O del suo piano si dice matrice di inerzia della sezione relativa al punto O la matrice

> @

yxy

xyx

IIII

J (1.10)

Sezione

P

O

dO(P)


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essendo Ix ed Iy i momenti di inerzia della sezione rispetto agi assi x ed y di un sistema di riferimento avente origine in O ed Ixy il momento di deviazione rispetto alla coppia di assi (x,y). Si osserva che, assegnata una sezione, ad un punto O del suo piano possono associarsi infinite matrici di inerzia relativamente agli infiniti sistemi di riferimento (xOy).

Definizioni

Data una sezione ed un punto O del suo piano si chiamano assi principali di inerzia della sezione relativi a punto O le coppie di assi ortogonali ([,K) passanti per O rispetto alle quali nullo il momento di deviazione della sezione. Si chiamano momenti principali di inerzia della sezione relativi al punto O i momenti di inerzia I[ ed IK della sezione rispetto agli assi [ ed K rispettivamente. Definizione

Data una sezione S ed un punto O del suo piano si chiamano raggi principali di inerzia della sezione relativi al punto O i raggi di inerzia rispetto agli assi principali di inerzia relativi al punto O, cio le quantit

A

I[[ U A

IKK U (1.11)

essendo I[ ed IK i momenti principali di inerzia relativi al punto O. Definizione

Data una sezione S ed un punto O del suo piano si chiama ellisse di inerzia relativa al punto O lellisse avente centro in O e i semiassi di lunghezza pari ai raggi principali di inerzia relativi al punto O. Solitamente lellisse di inerzia si rappresenta con il semiasse di lunghezza U[ sullasse principale K e con il semiasse di lunghezza UK sullasse principale [, come in figura 1.13.

Figura 1.13.

x

y

O

[

KUK

U[


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Osservazione 1

Le definizioni ricordate sono evidentemente casi particolari relativi a oggetti piani ed omogenei delle analoghe studiate nel corso di Meccanica Razionale per sistemi continui o discreti di masse. Osservazione 2

Le coordinate del baricentro dipendono evidentemente dal sistema di riferimento scelto, mentre la posizione del baricentro indipendente dal sistema di riferimento scelto, come pu immediatamente dimostrarsi scegliendo due sistemi di riferimento e calcolando con le (1.1) le coordinate del baricentro di una sezione rispetto ad entrambi i sistemi.

Osservazione 3

Tenendo conto della (1.1) e delle (1.2) ed (1.3) si ha

AxS Gy AyS Gx (1.12) cio il momento statico di una sezione rispetto ad un asse x o y pari allarea della sezione per la coordinata yG o xG del baricentro della sezione stessa (figura 1.9). Come caso particolare, le (1.12) consentono di affermare che il momento statico di una sezione rispetto allasse x (o rispetto allasse y) nullo se e solo se lasse x (o lasse y) contiene il baricentro della sezione (figura 1.14). Inoltre larbitrariet del sistema di riferimento fa concludere che il momento statico di una sezione nullo rispetto a qualunque asse passante per il suo baricentro.

Figura 1.14.

Osservazione 4

Dalle definizioni date evidente che il momento statico di una sezione rispetto ad un asse pu essere positivo, negativo o nullo dipendentemente dalla posizione relativa tra la sezione e lasse ed ha le dimensioni di una lunghezza elevata alla terza; il momento di

x

y

G

Sezione

xG = 0

P

x

y

Sx = yGA = 0 Sy = xGA = 0 yG = 0


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inerzia di una sezione rispetto ad un asse invece una quantit positiva che ha le dimensioni di una lunghezza elevata alla quarta; il momento di deviazione rispetto ad una coppia di assi pu essere positivo, negativo o nullo ed ha le dimensioni di una lunghezza elevata alla quarta; il raggio di inerzia di una sezione rispetto ad un asse infine una quantit positiva ed ha le dimensioni di una lunghezza.

Osservazione 5

Considerando la sezione S come lunione di n figure piane

n21 S,...,S,S aventi aree n21 A,...,A,A (in figura 1.12 esemplificato un caso con n = 4) le coordinate del suo baricentro possono essere espresse come

n21 Sn

S2

S1G dSx...dSxdSxA

1x

n21 Sn

S2

S1G dSy...dSydSyA

1y

(1.13)

Applicando la definizione (1.1), le coordinate del baricentro della i-esima figura piana Si (i = 1, 2,,n) sono

iS

ii

Gi dSxA

1x

iSi

iGi dSyA

1y (1.14)

Figura 1.15. Quindi le coordinate del baricentro di S possono essere calcolate come

nGn22G11GG Ax...AxAxA

1x

nGn22G11GG Ay...AyAyA1

y (1.15)

o equivalentemente

x

xG1 xG2 xG3 xG xG4

S1, A1

S2, A2

S3, A3

S4, A4

y

yG1

yG2

yG3

yG4 G1

G2 G3

G4

G yG

O


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yn2y1yG S...SSA1x xn2x1xG S...SSA

1y

(1.16)

essendo xn2x1x S,...,S,S ed yn2y1y S,...,S,S i momenti statici di

n21 S,...,S,S rispetto agli assi x e y, rispettivamente. Le (1.15) e (1.16) sono di grande utilit in quanto spesso una sezione della quale non nota la posizione del baricentro pu essere suddivisa in un certo numero di parti delle quali nota la posizione del baricentro. La posizione del baricentro della sezione si determina quindi in funzione delle posizioni dei baricentri delle parti in cui la sezione stata suddivisa. Osservazione 6

Considerando la sezione S come lunione di n figure piane

n21 S,...,S,S aventi aree n21 A,...,A,A il momento di inerzia della sezione S rispetto ad un asse r pu esprimersi come la somma dei momenti d inerzia di n21 S,...,S,S rispetto allasse r, cio

n21 S

n2r

S

22r

S

12r

S

2rr dSPd...dSPddSPddSPdI (1.17)

Osservazione 7

Se una sezione ha un asse di simmetria il baricentro giace su questo asse. Questaffermazione si dimostra immediatamente considerando la sezione costituita dalle due parti in cui la sezione stessa resta divisa dallasse di simmetria ed applicando la (1.15) o la (1.16). Evidentemente se la sezione ha due o pi assi di simmetria il suo baricentro, dovendo appartenere a tutti gli assi, il punto intersezione di questi. Osservazione 8

evidente che noto il raggio di inerzia Ur di una sezione S di area A rispetto ad una retta r il suo momento di inerzia rispetto alla stessa retta dato da

2rr AI U (1.18) il che equivale a calcolare il momento di inerzia Ir immaginando la sezione costituita da un solo punto a distanza Ur da r nel quale si immagina concentrata tutta larea della sezione.


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Osservazione 9

Il momento di inerzia polare di una sezione rispetto al polo O del suo piano il momento di inerzia della sezione rispetto ad un asse z passante per O ed ortogonale al piano della sezione.

Assunto un sistema di riferimento (xOy) nel piano della sezione il momento di inerzia polare rispetto al polo O pu esprimersi come (figura 1.16)

xyS

2

S

2

S

22

S

2OO IIdSydSxdSyxdSPdI (1.19)

Figura 1.16. Osservazione 10

Si dimostra che noti i momenti di inerzia di una sezione rispetto agli assi di un sistema di riferimento (xOy) ed il momento di deviazione della sezione rispetto alla coppia di assi (x,y), il momento di deviazione rispetto ad una coppia di assi (xy) di un sistema di riferimento (xOy) ruotato dellangolo J rispetto a (xOy) pu esprimersi come (figura 1.17)

JJ 2sinII2

12cosII yxxy'y'x (1.20)

Figura 1.17.

x

y Sezione

P

x

y

y

x

J

x'

y'

J x' y'

y'

x'

O

x

y Sezione

P

x

y

y

x

O

dO(P)


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LEZIONE 1 Sessione di studio 2 Richiami sulle caratteristiche inerziali delle figure piane Teorema

Data una sezione S ed un sistema di riferimento (xOy) nel piano, siano Ix, Iy i momenti di inerzia della sezione rispetto agli assi x ed y e sia Ixy il momento di deviazione della sezione rispetto alla coppia di assi (x,y). Il momento di inerzia Ir della sezione rispetto alla retta r passante per O (figura 1.18)

> @ uuJIr u (1.21) essendo > @J la matrice di inerzia relativa al punto O, cio

Figura 1.18.

> @

yxy

xyx

IIII

J (1.22)

ed u il versore della retta r, cio, con riferimento alla figura 1.18

DD

sin

cos

u

uu

y

x (1.23)

Nella (1.21) il simbolo x indica il prodotto scalare ed il simbolo indica il prodotto tra matrici (righe per colonne). Per la dimostrazione di questo teorema si rimanda al corso di Meccanica Razionale. Per esteso la (1.21) si scrive

DDDD cossinI2sinIcosII xy2y2xr (1.24) La (1.21) ed equivalentemente la (1.24) sono di importanza fondamentale in quanto, noti i momenti di inerzia di una sezione rispetto agli assi di un riferimento (xOy) ed il momento deviazione rispetto alla coppia di assi (x,y), ne consentono la determinazione del momento di inerzia rispetto ad una retta r qualunque passante per il punto O.

x

y Sezione

P

x

y

y

x

D

r

_u_ = 1

ux = cosD uy = sinD

O


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Osservazione 11

La matrice > @J simmetrica per costruzione; dovendo valere la (1.21) si conclude che la matrice > @J definita positiva (si ricordi che il momento di inerzia di una sezione una quantit positiva). Ricordando i noti teoremi dellAlgebra Lineare si pu affermare che > @J ha due autovalori reali positivi e due autovettori ortogonali, cio esistono due numeri reali O1 e O2 e due direzioni [ e K identificate rispettivamente dai versori 1v e 2v tali che

> @ 111 vvJ O > @ 222 vvJ O (1.25)

Osservazione 12

Il momento di deviazione rispetto ad una coppia di assi ortogonali ([,K) aventi le direzioni degli autovettori di > @J nullo. Di conseguenza la matrice di inerzia scritta rispetto ad un riferimento ([OK) avente gli assi nelle direzioni degli autovettori di > @J ha struttura diagonale ed ha sulla diagonale principale i momenti principali di inerzia, cio i momenti di inerzia rispetto agli assi [ ed K.

Si consideri una sezione ed un sistema di riferimento (xOy) nel suo piano. Siano > @J la relativa matrice di inerzia e O1 e O2 i suoi autovalori. La direzione dellasse x quella di un autovettore di > @J se e solo se soddisfatta la (1.25), cio

> @ 111 eeJ O (1.26) essendo

010sin

0cose1 (1.27)

il versore dellasse x. Sviluppando il primo membro della (1.27) si ottiene

xy

x

yxy

xyx

II

01

IIII

(1.28)

La condizione (1.26) quindi

O

O

001

II

11

xy

x (1.29)

cio


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0II

xy

1x O

(1.30)

Analogamente, considerando il versore dellasse y si ottiene

O

O

22

y

xy 010

II

(1.31)

e quindi

0II

xy

2y

O

(1.32)

Si conclude che gli assi del riferimento (xOy) hanno le direzioni degli autovettori di > @J se e solo se il momento di deviazione rispetto alla coppia di assi (x,y) nullo:

0Ixy (1.33) e quindi se e solo se la matrice di inerzia scritta nel riferimento (xOy) diagonale, cio

> @

y

x

I00I

J (1.34)

In questo caso i momento di inerzia Ix ed Iy sono gli autovalori di > @J , come evidente dalla (1.30) e dalla (1.32).

Si conclude che data una sezione e scelto un punto O del piano esistono due assi [ ed K tra loro ortogonali passanti per O rispetto ai quali il momento di deviazione nullo; questi assi sono identificati dalle direzioni degli autovettori della matrice di inerzia associata al punto O e sono, per definizione, gli assi principali di inerzia della sezione relativi al punto O. I momenti di inerzia rispetto a questi assi sono gi autovalori della matrice di inerzia associata al punto O e sono, per definizione, i momenti principali di inerzia della sezione. Osservazione 13

Rispetto al sistema di riferimento ([,O,K) con gli assi coincidenti con gli assi principali di inerzia relativi al punto O la matrice di inerzia :

> @

K

[[K I0

0IJ (1.35)

sicch per la (1.21) il momento di inerzia della sezione rispetto ad una generica retta r passante per O

> @ [K[K[K u uuJIr (1.36)


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essendo [Ku il versore della retta r in cui le cui componenti sono

scritte nel riferimento ([OK), cio (figura 1.19)

EE [K sin

cosu (1.37)

Equivalentemente la (1.36) si scrive

EE K[ 22r sinIcosII (1.38) Questultima relazione fornisce il momento di inerzia rispetto ad una qualunque retta r passante per O ed inclinata di E rispetto allasse principale di inerzia [.

Figura 1.19. Al variare di E tra 0 e S il grafico della (1.38) tracciato in figura 1.19; questo grafico rende evidente come i momenti principali di inerzia siano il massimo ed il minimo tra tutti i momenti di inerzia rispetto alle rette passanti per O. Di quanto affermato ci si pu rendere conto immediatamente anche annullando la derivata prima e studiando il segno della derivata seconda della (1.38). Osservazione 14

Sia data una sezione S ed un sistema di riferimento (xOy) i cui assi non necessariamente coincidono con gli assi principali di inerzia. Si valutino i momenti di inerzia della sezione rispetto agli assi x ed y ed i momento di deviazione rispetto alla coppia di assi (x,y) in modo da costruire la matrice di inerzia

> @

yxy

xyx

IIII

J (1.39)

I momenti principali di inerzia sono gi autovalori di > @J . O un autovalore di > @J se e solo se soddisfatta la relazione

x

y

P

_u_ = 1 u[ = cosE

uK = sinE

O

[

K[

K

r

E

I(E)

E E = 0 E = S/2 E = S

I[

IK


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> @ vvJ O (1.40) essendo v il corrispondente autovettore. Premoltiplicando entrambi i membri della (1.40) per la matrice identica

> @ 10 01I (1.41) si ha

> @ > @ > @ vIvJI O (1.42) e quindi

> @ > @ > @ 0vIvJI O (1.43) cio

> @ > @ 0vIJ O (1.44) Per esteso

0vv

IIII

2

1

yxy

xyx

OO

(1.45)

essendo v1 e v2 le componenti dellautovettore v . Il sistema (1.45) ha soluzioni diverse dalla banale (v1 = v2 = 0) se e solo se la matrice dei coefficienti > @ > @ O IJ singolare, cio se e solo se il suo determinante nullo

> @ > @ 0II IIdetIJdet yxy xyx

O

O O (1.46)

e cio:

0III 2xyyx OO (1.47) od anche

0IIIII 2xyyxyx2 OO (1.48) Questultima unequazione di secondo grado le cui soluzioni sono gli autovalori di > @J e quindi i momenti principali di inerzia della sezione:

2

I4IIIII

2

xy2

yxyx

1

O [

2

I4IIIII

2

xy2

yxyx

2

O K (1.49)

La (1.45) relativamente al primo autovalore, I[, :


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> @ > @ 0vIIJ [[ (1.50) essendo [v lautovettore relativo allautovalore I[ scritto nelle sue componenti rispetto al sistema (xOy). Per esteso:

0vv

IIIIII

y

x

yxy

xyx

[[

[[ (1.51)

in cui sono state chiamate v[x e v[y le componenti di [v secondo gli assi x ed y. Le due equazioni lineari rappresentate dalla (1.51) sono dipendenti avendo imposto la (1.46), quindi consentono solo la determinazione di v[x e v[y a meno di una costante. Equivalentemente, una qualunque delle due equazioni (1.51) consente la determinazione del rapporto tra le suddette componenti. Utilizzando ad esempio la prima

0vIvII yxyxx [[[ (1.52) si trova

xy

x

x

y

I

II

v

v [

[

[ (1.53)

Evidentemente (figura 1 20) questo rapporto la tangente dellangolo tra lasse x e lasse [, cio

D [[

xy

x

I

IItana (1.54)

Figura 1.20. Equivalentemente, scrivendo la (1.45) relativamente al secondo autovalore, IK

> @ > @ 0vIIJ KK (1.55)

x

y

P

O

[

K

[K

D[

v[xv[y

_v[_ = 1

_vK_ = 1

VKx

VKy

DK


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si trova il corrispondente autovettore Kv . Procedendo quindi come

appena descritto, con evidente significato dei simboli (figura 1.20), si trova

D KK

xy

x

I

IItana (1.56)

Ovviamente per la determinazione degli assi principali di inerzia non necessaria lapplicazione di entrambe le relazioni (1.54) ed (1.56), in quanto detti assi sono ortogonali.

Si osserva infine che anche la (1.20) pu essere utilizzata per lidentificazione degli assi principali di inerzia. Basta ricordare che rispetto a tali assi il momento di deviazione nullo. Pertanto noti i momenti di inerzia Ix ed Iy rispetto agli assi di un sistema di riferimento (xOy) ed il momento di deviazione rispetto alla coppia di assi (x,y) gli assi principali ([,K) di inerzia sono identificati da 02sinII

2

12cosII yxxy JJ [K (1.57)

e quindi dalle inclinazioni rispetto allasse x del riferimento

xy

xy

II

I2tana

2

1

J (1.58)

Osservazione 15

Data una sezione S e scelti due sistemi di riferimento (xOy) ed (xOy) nel suo piano si ha (figura 1.21)

'y'xyx IIII (1.59) essendo Ix ed Iy i momenti di inerzia della sezione rispetto agli assi x ed y ed Ix ed Iy i momenti di inerzia della sezione rispetto agli assi x ed y. In altre parole, la somma dei momenti di inerzia invariante rispetto allorientamento del sistema di riferimento.


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Figura 1.21. Di questo ci si rende facilmente conto osservando che

22222O 'y'xyxPd (1.60) pertanto

'x'yS

22xy

S

22 IIdS'y'xIIdSyx (1.61) Teorema del trasporto di Huygens-Steiner

Il momento di inerzia di una sezione rispetto ad un asse r pari alla somma del momento di inerzia della sezione rispetto ad un asse rG parallelo a r e passante per il baricentro G della sezione e del prodotto dellarea della sezione per la distanza tra gli assi r ed rG (figura 1.22).

Figura 1.22. In simboli:

2

rGr dAII (1.62) in cui Ir il momento di inerzia rispetto allasse r, IrG il momento di inerzia rispetto allasse rG parallelo ad r e passante per il baricentro G, A larea della sezione e d la distanza tra gi assi r ed rG. Talvolta il

r G

rG

d

Area A

x

y Sezione

P

x

y

O

dO(P)

y'

x'

y'

x'


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termine Ad2 che il momento di inerzia della sezione pensando tutta la sua area concentrata nel suo baricentro detto momento di trasporto. Per la dimostrazione di questo teorema si rimanda al caso generale studiato nel corso di Meccanica Razionale. Teorema del trasporto del momento di deviazione

Il momento di deviazione di una sezione rispetto alla coppia di assi ortogonali (x,y) di un sistema di riferimento (xOy) pari alla somma del momento di deviazione rispetto alla coppia di assi (xg,yg) paralleli a gli assi x ed y e passanti per il baricentro G della sezione e del prodotto dellarea della sezione per il prodotto delle coordinate di O nel riferimento (xgGyg), figura 1.23. In simboli

OOyxxy yxAII gg (1.63) in cui Ixy il momento di deviazione rispetto alla coppia di assi (x,y), Ixgyg il momento di inerzia rispetto alla coppia di assi (xg,yg) paralleli

ad x ed y e passanti per G, A larea della sezione ed xO e yO sono le coordinate dellorigine del riferimento (xOy) rispetto al riferimento (xgGyg). evidente che se gli assi (xg,yg) sono assi principali di inerzia relativi a G il primo addendo della (1.63) nullo. Per la dimostrazione di questo teorema si rimanda al caso generale studiato nel corso di Meccanica Razionale.

Figura 1.23.

Osservazione 16

La (1.62) che esprime il teorema del trasporto rende evidente che il momento di inerzia di una sezione rispetto ad un asse r passante per il suo baricentro il minimo tra tutti i momenti di inerzia della sezione rispetto a rette parallele ad r.

Osservazione 17

Dal teorema del trasporto Huygens-Steiner discende immediatamente la relazione tra i momenti di inerzia di una sezione rispetto a due assi r ed s tra loro paralleli (figura 1.24):

x

y

G xg

yg

O

yO

xO Area A


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2s2rrs ddAII (1.64) essendo A larea della sezione e dr e ds le distanze delle rette r ed s dalla retta rG ad esse parallela e passante per il baricentro della sezione.

Figura 1.24.

Osservazione 18

I teoremi ricordati consentono la determinazione del momento di inerzia di una sezione rispetto a qualunque asse del suo piano una volta noti i momenti di inerzia Ix ed Iy rispetto agli assi di un sistema di riferimento ed il momento di deviazione rispetto alla coppia di assi (x,y). Infatti, note queste quantit e volendo determinare il momento di inerzia della sezione rispetto ad un asse r non passante per O e formante langolo D con lasse x possibile calcolare dapprima il momento di inerzia rispetto allasse r parallelo ad r e passante per O con la (1.21) e successivamente sfruttare il teorema del trasporto per calcolare il momento di inerzia rispetto ad r in funzione della delle distanze tra gli assi r ed r dal baricentro G della sezione con la (1.64).

In alternativa possibile calcolare dapprima i momenti di inerzia ed il momento di deviazione rispetto agli assi di un sistema di riferimento (xOy) avente origine O in un punto qualunque dellasse r mediante i teoremi del trasporto e successivamente utilizzare la (1.21) per calcolare il momento di inerzia rispetto alla retta r inclinata di a rispetto a x.

Osservazione 19

Per le definizioni e le considerazioni fin qui svolte sono stati considerati una sezione ed un sistema di riferimento (xOy) nel suo piano non avente necessariamente origine nel baricentro della sezione. Le entit definite, cio momenti di inerzia, momento di deviazione, matrice di inerzia, assi principali di inerzia, possono ovviamente, come caso particolare, essere valutate assumendo un

r G

rG

dr Area A

ds

s


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sistema di riferimento (xGy) avente origine nel baricentro della sezione. In questo caso si hanno le definizioni seguenti.

Definizione Si chiamano assi centrali di inerzia gli assi principali di inerzia

relativi al baricentro della sezione, ossia gli assi passanti per il baricentro della sezione rispetto ai quali il momento di deviazione nullo. Questi hanno le direzioni degli autovettori della matrice di inerzia relativa al baricentro della sezione.

Definizione Si chiamano momenti principali di inerzia baricentrici i

momenti di inerzia della sezione rispetto agli assi centrali di inerzia della sezione. Questi sono gli autovalori della matrice di inerzia relativa al baricentro della sezione e sono il massimo ed il minimo tra i momenti di inerzia della sezione rispetto agli assi passanti per il suo baricentro.

Definizione Si chiamano raggi principali di inerzia baricentrici di una i

raggi di inerzia rispetto agli assi centrali di inerzia.

Definizione Si chiama ellisse centrale di inerzia di una sezione lellisse

avente centro nel baricentro della sezione e semiassi pari ai raggi principali di inerzia baricentrici (figura 1.25).

Figura 1.25. Osservazione 20

Se per una sezione S lasse r un asse di simmetria questo uno degli assi centrali di inerzia della sezione. Naturalmente in questo caso, nota la posizione del baricentro, nota anche lubicazione dellaltro asse centrale di inerzia. Questo infatti deve passare per il baricentro della sezione (per definizione) ed essere ortogonale r (si ricordi che gli assi principali di inerzia sono tra loro ortogonali). La verifica di questosservazione immediata; basta verificare che nullo il momento di deviazione rispetto alla coppia di assi (r,s),

[G

K

UKU[


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essendo r lasse di simmetria ed s ortogonale ad r e passante per il baricentro.


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LEZIONE 1 Sessione di studio 3 Richiami sulle caratteristiche inerziali delle figure piane

Sono proposti nel seguito due esempi da risolvere. La soluzione commentata proposta nella prossima lezione. Esempio 1.1

Si determini il momento di inerzia rispetto allasse x, rispetto ad un asse parallelo allasse x e passante per il baricentro e rispetto ad un asse contenente una diagonale della sezione rettangolare di figura. Sia b = 300 mm e h = 400 mm.

Esempio 1.2

Si determinino i momenti centrali di inerzia della sezione di figura e se ne tracci lellisse centrale di inerzia. Sia a = 100 mm.

x

b

h

y

O

a a a

a

a

a

a

a

x

y

O

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1 Introduzione meccanica delle strutture

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