Studente: Francesco Davide Cascone

M64/449

PROGETTAZIONE MECCANICA

STUDIO PRELIMINARE E ANALISI DELLE PRINCIPALI STRUTTURE

1

PROGETTAZIONE MECCANICA STUDIO PRELIMINARE E ANALISI DELLE PRINCIPALI STRUTTURE

In questo breve fascicolo vengono presentati gli esercizi svolti, sotto forma di

case-study e progetti preliminari, le principali strutture meccaniche asservite ai

bisogni della società. In particolare, dopo un’attenta analisi delle giunzioni,

siano esse saldate o bullonate, si passa allo studio di:

1. Gru e montacarichi

2. Ascensori, idraulici ed elettrici

3. Impianti a fune

Il D.P.R. N207/2010 introduce tre livelli nella progettazione:

- Progettazione preliminare

- Progettazione definitiva

- Progettazione esecutiva

In questo fascicolo viene presa in considerazione la progettazione preliminare

lasciando, ad altri ambiti, i livelli successivi di progettazione ossia vengono

trattati gli elaborati minimi utili per:

- Il dimensionamento di massima e

- Il calcolo strutturale

Nello studio vengono prese in considerazioni le normative:

- NTC-2008 (ex CNR)

- Eurocodice

Gli esercizi-progetto sono, in ordineRis e per categoria:

Giunzioni Saldate e Bullonate

1. Giunto Saldato a U

2. Saldatura di due profili

3. Saldatura di profilo a C su piastra

4. Tirante saldato su piastra

5. Fatica nelle giunzioni saldate

6. Risoluzione del 2 nei confronti del giunto bullonato

7. Verifica di due piastre giunte a mezzo di bulloni

8. Giunto bullonato con doppio copri-giunto

9. Fatica nelle giunzioni bullonate

2

Gru e montacarichi

1. Carroponte

2. Gru a torre

Ascensori e Montacarichi

1. Ascensore Elettrico

2. Ascensore Idraulici

Impianti a fune

1. Funivia

3

Parte Prima – Collegamenti Saldati

NTC-2008

Metodo 1

√𝜎⊥2 + 3(𝜏⊥

2 + 𝜏//2) ≤

𝑓𝑡𝑘

𝛽 ∗ 𝛾𝑀2

dove:

𝑓𝑡𝑘 è la resistenza a rottura dell’elemento più debole che stiamo considerando

𝛽 = 0.8: 𝑆𝑡235, 𝑆𝑡2750.9: 𝑆𝑡3551.0: 𝑆𝑡420, 𝑆𝑡460

𝛾𝑀2 coefficiente di sicurezza tabellato in funzione del tipo di acciaio

Metodo 2

𝐹𝑤,𝐸𝑑 ≤ 𝐹𝑤,𝑅𝑑

dove:

𝐹𝑤,𝑅𝑑 = 𝑎

(𝑓𝑡𝑘

√3)

(𝛽 ∗ 𝛾𝑀2)

Metodo 3

√(𝑛⊥2 + 𝑡⊥

2 + 𝑡//2 ≤ 𝑓𝑡𝑘(𝛽1)

𝑛⊥ + 𝑡⊥ ≤ 𝑓𝑡𝑘(𝛽2)

𝛽1 = 0.85: 𝑆𝑡2350.7: 𝑆𝑡275 𝑆𝑡3550.62: 𝑆𝑡420, 𝑆𝑡460

𝛽2 = 1: 𝑆𝑡2350.85: 𝑆𝑡275 𝑆𝑡3550.75: 𝑆𝑡420, 𝑆𝑡460

Eurocodice 3

Metodo 1

Il primo metodo prevede che sia rispettata tale uguaglianza:

𝐹𝑤,𝑅𝑑 = 𝑓𝑣𝑤,𝑑 ∗ 𝑎

4

dove:

𝐹𝑤,𝑅𝑑 è la resistenza di progetto per unità di lunghezza

𝑓𝑣𝑤,𝑑 =𝑓𝑢

√3∗𝛽𝑤∗𝛾𝑀𝑤 è la resistenza di progetto a taglio della saldatura

𝑓𝑢 è la resistenza nominale a rottura per trazione dell’elemento più debole costituente il giunto

𝛾𝑀𝑤 è il coefficiente di sicurezza del materiale

𝛽𝑤 è un coefficiente di correlazione in funzione di 𝑓𝑢

Metodo 2

Il secondo metodo è basato sul controllo dello stato tensionale e prevede la verifica delle seguenti

diseguaglianze:

√𝜎⊥2 + 3(𝜏⊥

2 + 𝜏//2) ≤

𝑓𝑢

𝛽𝑤 ∗ 𝛾𝑀𝑤

𝜎⊥ =𝑓𝑢

𝛾𝑀𝑤

5

Esercizio 1

Si richiede il valore di Fmax per

1. St235

2. St355

Utilizzando

NTC-2008

EC-3

6

7

8

9

10

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29

30

ESERCIZIO n°12

Viene assegnato il seguente schema di un carroponte, e si chiede di calcolare la classe

di appartenenza dello stesso, il dimensionamento delle ruote, delle rotaie, dei cuscinetti

e delle boccole. Calcolare infine le caratteristiche dei dispositivi di fine corsa del

carroponte. I dati sono riportati nella seguente tabella.

DATI DI RIFERIMENTO

Passo (b) = 3680 mm

L= 18960 mm

Xg=1550 mm

Yg=8790 mm

Peso struttura (G) = 141000 N

Carico utile + organi di

sollevamento (Qu) = 162500 N

Ymin=1505 mm

Ymax = 17875 mm

Xmin= 1310 mm

Xmax = 2650 mm

f=22.5% (fattore di utilizzo)

Vr= velocità a regime = 20

m/min

31

Classe del carroponte

Gli apparecchi di sollevamento vengono raggruppati secondo certe classi di

appartenenza, che vengono definite in base alla funzione alla quale l’impianto di

sollevamento deve assolvere. Le classi sono definite per mezzo di due parametri

fondamentali, qui di seguito specificati, e cioè il numero totale di cicli di carico, ed il

regime di carico fornito dallo spettro di carico. Il ciclo inizia quando il carico viene

sollevato, e ha termine nel momento in cui il carico viene depositato, l’apparecchio è

così pronto per effettuare un nuovo ciclo di carico. Le norme vigenti definiscono un

prospetto (1) in cui si definiscono 10 intervalli per tali cicli di carico. Il regime di carico

è identificato dal fattore di spettro di carico Kp. Il numero di cicli è pari a 120000,

quindi la condizione di impiego 8definita dalle norme) è U3.

Relativamente al regime di carico ipotizzeremo che il carico sollevato è sempre pari al

massimo carico utile.

E tale carico verrà sollevato una sola volta, per ogni ciclo di carico. Il coefficiente Kp

può così essere calcolato:

32

𝐾𝑝 = ∑ [𝑛

𝑛𝑖(

𝑃𝑖

𝑃𝑚𝑎𝑥)

3

]

Risulta essere unitario. A questo punto è facile definire la classe dell’apparecchio

poiché definito il regime di carico che è pari a Q4, e definito l’utilizzo, la seguente

tabella mostra la classe di appartenenza che è A5.

Abbiamo un tipo di carico (regime molto pesante) pari al 100%. Potremmo anche

pensare di classificare il meccanismo di sollevamento caratterizzato da tutti i suoi

accessori, quali funi, benne, polipi e ganci. Anche in questo caso si parla di regime di

carico e spettro di carico. Abbiamo otto classi differenti. Anziché assumere come base il

ciclo di carico, considereremo il numero di ore presunto di funzionamento. Si noti il

seguente prospetto:

Nel nostro caso abbiamo un tipo di carico L4, molto pesante, cioè siamo in presenza di

apparecchi di movimentano regolarmente carichi di valore prossimo al valore del

carico massimo. Conosciamo inoltre le condizioni di impiego appartenenti al gruppo U3,

corrispondente alle condizioni di impiego dei meccanismi pari a T3, con 1600 ore in

durata. Frequenza di utilizzo del 22.5% (irregolare). La classe del meccanismo è M5.

33

Dimensionamento dei dispositivi di arresto e fine corsa

Per imporre una decelerazione b=1m/s essendo il peso del carroponte in newton pari

a 141000 N, i dispositivi di fine corsa devono sopportare una forza così calcolabile:

𝐹 =𝐺

𝑔𝑏 =

141000

10= 𝟏𝟒𝟏𝟎𝟎 𝑵

I respingenti devono quindi assorbire un’energia pari a:

𝐸 =1

2

𝐺

𝑔(0.2𝑉𝑟)2 = 𝟑𝟏 𝑱

Calcolo delle ruote e delle rotaie

Per il calcolo delle ruote e delle rotaie dobbiamo per forza di cose calcolare le reazioni

vincolari, con l’utilizzo

dello schema ripotato in alto. Il telaio con quattro ruote che tende a muoversi lungo “y”.

L’azione del carico totale agisce sul telaio. Le condizioni critiche ci diranno quale delle

quattro ruote è quella maggiormente sollecitata. E in base a quella dimensioneremo le

ruote e le rotaie. Avremo quindi delle reazioni dalle quattro ruote per effetto del carico.

Scriviamo quindi il sistema in quattro equazioni e quattro incognite, l’ultima relazione si

trova considerando l’abbassamento delle ruote sotto l’azione del carico.

bQQxQ

lQQyQ

QQQQQ

cd

cb

dcba

)(

)( dbca QQQQ

34

Nel caso specifico in esame, il carico utile non occupa sempre una stessa posizione, ma

può spostarsi entro i limiti definiti nella traccia. Con riferimento alla simbologia adottata

nella scrittura delle equazioni di equilibrio, questo fatto determina la variabilità dei

bracci x e y. Alla luce di questa complicazione si procederà prima con il calcolo delle

reazioni quando il carroponte non trasporta alcun peso, e cioè le reazioni derivanti dal

solo peso proprio. Successivamente, mediante le stesse equazioni, si calcoleranno le

reazioni dovute solo al carico utile considerando le quattro posizioni di estremità e la

condizione di coincidenza con il baricentro del carroponte. Le reazioni ottenute saranno

sommate algebricamente con quelle derivanti dal solo peso proprio della struttura. Così

facendo si potrà individuare la condizione più critica per le ruote e procedere con il

dimensionamento. Portiamo i risultati di seguito:

Condizione di

carico

QA QB QC QD

Solo peso

struttura

43550 38090 26950 32410

Carico utile 94955 84971 60995 70979

Sommando i risultati abbiamo che il parametro secondo il quale dobbiamo effettuare il

dimensionamento è quello maggiormente critico, questo accade nei riguardi della ruota

A. con carico massimo pari a 155950 N. Relativamente alle ruote, invece, la normativa

suggerisce di considerare, conoscendo i valori massimi e minimi delle forze in gioco, una

sorta di carico medio per ogni ruota espresso dalla seguente relazione:

3

Q2QQ minmax

N

E di scegliere come base di calcolo il massimo valore di QN, e quindi un valore medio di

120560 N.

35

Calcolo rotaie

Passiamo adesso al calcolo delle rotaie (di tipo sospese). Allo scopo di sostenere i carichi

già analizzati si cercherà di dimensionare un profilo HE adeguato. Lo schema di calcolo

è il seguente considerando un carico Q = 155950 N.

Si definisci di seguito una tensione di confronto, considerando il fatto che ogni ala è una

mensola incastra nell’anima, con “h” altezza minima dell’ala e “Q” carico agente

possiamo scrivere che:

𝜎𝑐 = 4.5 𝑄

ℎ2

Possiamo poi esprimere la sigma a flessione nel seguente modo:

𝜎 =(6 𝑄 ∙

𝐿2)

𝑏 ∙ ℎ2

Con “L” la lunghezza dell’ala. Allora uguagliando le due tensione si scopre che il rapporto

tra le due dimensioni “b” ed “L” deve essere circa pari a 0,70. Le vie di corsa

36

generalmente hanno svariate forme, in Italia generalmente le più utilizzate sono le

seguenti tipologie: rotaie Burbak e le rotaie Vignola. Le prime vengono scelte per le gru,

causa la loro notevole rigidità laterale. Con un’adeguata verifica statica si è giunti alla

scelta del seguente profilo per le rotaie:

Il profilo in questione è il modello con l’acronimo HE 600X337. Con le seguenti misure:

b=310mm, h=632 mm e tw= 25.5 mm.

37

Tensione di confronto è pari a 330 MPa, contro i 270 MPa calcolati dalla sigma a

flessione.

Calcolo delle ruote

La scelta del tipo di ruota (senza bordino laterale dato il tipo di rotaia) si fonda sullo

studio del contatto hertziano con la rotaia, calcolando una tensione normale:

σ = σ N b1 b2 b3 = QN / (D L)

Dove σ N è una tensione di riferimento fissata dalla normativa in funzione del tipo di

acciaio della ruota, QN è stato valutato nella sezione precedente e b1, b2, b3 sono

coefficienti da scegliersi nelle tabelle seguenti, in relazione rispettivamente al tipo di

materiale impiegato, alla velocità di rotazione della ruota e al fattore di marcia.

n(giri/min)

b2 fm b3

38

Nel caso in esame, si decide di adottare un acciaio C40, ricavando, pertanto, σ N = 5

MPa e b1 = 0.89.

Per poter valutare in maniera esatta il coefficiente b2 occorrerebbe conoscere a priori il

diametro della ruota in modo da ricavare, nota la velocità di traslazione, il valore della

velocità di rotazione. Ovviamente non è possibile procedere in tal modo, pertanto si

assume b2 = 0.66 in via cautelativa.

Inoltre, essendo stato assegnato un fattore di marcia pari al 22.5%, si sceglie b3 = 1.12

Con questi fattori si ricava:

σ N b1 b2 b3 = 32.8 MPa

e, dunque si applica la formula inversa per risalire al valore del diametro necessario,

ipotizzando una larghezza normalizzata di 75 mm. Si ricava, in tal modo:

D = QN / (32.8*75) = 382 mm

Decidendo, infine, di adottare un valore normalizzato del diametro della ruota D = 400

mm, compatibile con l'ingombro massimo realizzabile.

200 0,66 < 16 1,25

160 0,72 2516 1,12

125 0,77 4025 1

100 0,82 30 64 0,9

80 0,87 > 63 0,8

50 0,94

Materiale 𝝈𝒏(MPa) b1

C40 50 0,89

C50 56 1

C60 65 1,16

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ESERCIZIO N° 13

L’esercizio proposto ci fornisce lo schema di una gancio di sezione circolare

costante con diametro pari a 10 mm. Inoltre sono noti il raggio medio pari a

30 mm. Il materiale di cui è costituito presenta una tensione di snervamento

pari a 600 MPa. Carico applicato P = 1000 N.

Bisogna calcolare il coefficiente di sicurezza, allora dobbiamo trovare

inizialmente i reggi esterno ed interno e capire per mezzo del loro rapporto

se è possibile applicare la teoria delle travi curve. Come si vede dai calcoli il

rapporto cade nell’intervallo previsto. Quindi possiamo procedere con

l’utilizzo della teoria delle travi curve.

ri = rm – d

2 = 30 -

10

2 = 25mm

re = rm+ d

2=30 +

10

2 = 35 mm

40

ri

re =

25

35= 0,714

Poiché 0,4<ri

re<0,85 la teoria della trave curva è applicabile.

A questo punto possiamo determinare rn ossia il raggio che individua l’asse

neutro a partire dal centro di curvatura del gancio. Esso per la sezione

circolare è definito dalla formula:

rn= ( re−ri)

8(ri+re

2−√reri)

Sostituendo i valori si ottiene rn= 29,79 mm

Si ricava anche che δ= rm – rn= 0,21 mm e A = πd2

4 = 78,5mm2

Sulla sezione più sollecitata, quella ortogonale alla direzione del carico P,

agiranno sia lo sforzo normale applicato nel baricentro che il momento

flettente che rappresenta la coppia di trasporto della forza del carico nel

baricentro della sezione più sollecitata dell’organo in esame.

P = 1000N

Mf = P · rm

41

Pertanto possiamo calcolare le tensioni indotte da questo sistema di

sollecitazioni:

σn = P

A =

1080

78,5 ·

N

mm2 =12.73 MPa

σf non è costante nella sezione ma raggiunge il massimo valore al bordo

interno, per cui si ha dalla teoria della trave curva :

σf,max=Mf ∙ Yi

A ∙δ∙ri (dove Yi è la distanza della fibra esterna interna)

dall’ asse neutro cioè: Yi =rn– ri

Pertanto σf, max= Mf ∙(rn −ri)

A ∙δ∙ ri = P · rm·

(rn−ri)

A ∙δ∙ri

Sostituendo i valori si ottiene σf,max = 348 MPa

Il coefficiente di sicurezza si determina effettuando il rapporto fra la tensione

ammissibile del materiale che noi prendiamo pari alla σ1 di snervamento e la

massima tensione di esercizio data dalla somma (nel punto più critico ossia

all’intradosso del gancio) tra σf, maxeσN:

n =σs

σf,max+ σN =

660

376,58 + 13,76=

660

390,34 = 1,6

Essendo un valore superiore a 1,5 il nostro coefficiente di sicurezza è

Accettabile nel campo degli acciai.

42

ESERCIZIO N° 14

L’esercizio propone un gancio a sezione trapezoidale, costituito da un acciaio

S235 e quindi con tensione di snervamento pari a 235 MPa, il carico applicato

è pari a 5500 N e i dati geometri sono di seguito riportati:

ri=16mm

re =66mm

a =16mm

b =42mm

e=6.75 mm

43

Calcolare le tensioni flessionali e da sforzo normale e il relativo coefficiente

di sicurezza. Il rapporto tra i raggi ri e re vale: ri

re= 0,24, che è minore di 0,4,

tuttavia possiamo applicare la teoria delle travi curve salvo verifiche

supplementari. Determiniamo quindi i raggi notevoli del gancio:

h = re + e - ri= 56.75 mm

Si calcola rg nel riferimento che vede come origine il centro di curvatura del

raggio interno; pertanto:

rg= ri + h

3∙

2a+b

a+b = 40mm

Al contrario per il raggio dell’asse neutro sono rilevanti i valori delle

curvature infatti considerando i due casi in cui si calcolano i raggi a partire

dai due centri, abbiamo:

ri1 =16mm

ri2 =9.25 mm

re1 =72.75 mm

re2= 66 mm

e perciò:

rn= (re −ri)²(a+b)

2[(b∙re − a∙ri) lure ri

–(b−a)(re−ri)] = rn1 = 33

rn2 = 25

44

Per confrontarli dobbiamo riportare rn2 nel sistema di riferimento del centro

di curvatura di ri, quindi rn2 = 25,098 + 6.75 ~ 32 mm

Si deve perciò considerare il valore medio rn = 32 mm

Risulta immediato δ = rg– rn= 2 mm

Calcolate: area: A = (a+b)h

2 = 783 mm2

δ = rg- rn = 8 mm

yi = rn - ri= 16 mm

Si possono calcolare facilmente:

σf,max= P ∙rg ∙ yi

A ∙δ∙ri = 35 MPa

σN = P

A = 7 MPa

Pertanto σf, max= Mf ∙(rn −ri)

A ∙δ∙ ri = P · rm ·

(rn−ri)

A ∙δ∙ri

La massima tensione agente sul punto all’ intradosso vale:

45

σ =σn+ σf,max = 42 MPa

Il relativo coefficiente di sicurezza possiamo così trovarlo:

n= 235 MPa / 42 MPa = 5.5 allora siamo in sicurezza.

46

Esercizio numero 15

Le gru a torre sono impianti di sollevamento, ed in quanto tali è possibile classificare gli

stessi, atti al sollevamento e trasporto di oggetti. Sono possibili le seguenti manovre:

volata, alzata, rotazione e traslazione (se la gru è fornita di binari). Nell’immagine

notiamo una classica gru a torre. E nella tabella sono forniti i seguenti dati tecnici.

P1 495060 N

P2 60020 N

P3 81080N

P4 29785 N

q 55005 N

z 510000 N

QU 21085N

S1 21.28 m2

S 47,85 m2

Yr 6,95 m

J 682346 kg

m2

wr 2 giri/min

VC 20 m/min

L1 16,9 m

L2 8.45 m

L3 18.35 m

L4 37.7 m

2a 4,9 m

H 24.95 m

xg 1,85 m

yg 8,62 m

yv 15m

D 250 mm

d 50 mm

f 0.12

α 1/4

47

L’esercizio propone il calcolo del bilanciamento statico e dinamico (quest’ultimo in

relazione alle forze del vento), inoltre si chiede il calcolo dell’effetto delle forze

centrifughe e il calcolo del coefficiente di sicurezza. Infine si chiede di calcolare gli

elementi strutturali quali gancio e fune. Partiamo con una verifica statica della gru, per

evitare che questa si ribalti la risultante dei carichi deve capitare nel poligono di

appoggio della gru. Il grado di sicurezza al ribaltamento intorno ad “A” e “B”, visti

come gli appoggi della gru possono così calcolarsi:

ξ𝐴 =𝑞(𝐿1 + 𝑎) + 𝑃1(𝐿2 + 𝑎) + (𝑃2 + 𝑃4 + 𝑧)𝑎

𝑄𝑢(𝐿4 − 𝑎) + 𝑃3(𝐿3 − 𝑎)= 3.34 > 1

ξ𝐵 =𝑃3(𝐿3 + 𝑎) + (𝑃2 + 𝑃4 + 𝑧)𝑎

𝑞(𝐿1 − 𝑎) + 𝑃1(𝐿2 − 𝑎)= 0.53 < 1

Siamo quindi in sicurezza solo per la prima disuguaglianza. Evidentemente per trovare

una soluzione al problema si potrebbe pensare di aumentare la zavorra. Passiamo

adesso al bilanciamento dinamico della gru, inizialmente immaginiamo i freni innestati e

la gru è sottoposta all’azione del vento. Per il vento adottiamo, come da testo

dell’esercizio una velocità media del vento nella regione Campania pari a 27 m/s, dato

fornito dall’atlante dei venti. Inoltre sappiamo che la gru è stata costruita, o deve essere

costruita ad un’altitudine sopra il livello del mare pari a 650 metri, a quella quota la

densità dell’aria è pari a 1.20 kg/mm^3. E quindi possiamo dire che la forza del vento

è così definibile:

𝐹𝑣 =1

2𝑘𝑠𝜌𝑉2

Dove:

48

ξ = 1,20

kg

mm3⁄ È il valore corrispondente all'altitudine di esercizio

k = 2,8 ∗ S1/S = 1,25 È il coefficiente aerodinamico di forma

Definiamo la velocità minima del vento suscettibile ad innescare il moto traslazionale

della gru:

𝑉𝑡 = √2(𝑅 + 𝐹𝑓)

𝑘𝑆𝜌= 40 𝑚

𝑠⁄

Con:

𝑅 =(𝑄𝑘𝑤)

1000= 7533 𝑁 È la risultante delle resistenze a rotolamento delle ruote

𝑄 = 𝐺 + 𝑄𝑢 = 793000𝑁

𝑘𝑤 = 9.5 È la resistenza specifica ricavata considerando il diametro della ruota della

gru

𝐹𝑓 =1

2𝑓𝐺 = 46314 𝑁 È la forza frenante

𝐺 = 771915 𝑁 È il peso proprio della struttura

Essendo V<Vt con la gru ferma ed i freni innestati non si determina alcun moto di

traslazione.

49

Considerando il caso di gru sottoposta all’azione della forza frenante definiamo il campo

di sicurezza entro il quale la gru non subisce traslazione sotto l’azione della forza del

vento.

La curva limite è definita nel piano η - ξ dalla seguente equazione:

ξ = √1 + 𝜉

Dove:

𝜉 =𝐹𝑓

𝑅= 6.14

Il valore limite di η è:

ξ1 =𝑉𝑡

𝑉1= 2.63

dove:

𝑉1 = √2 𝑅

𝐾𝑆 𝜌= 15 𝑚/𝑠

Il nostro η di funzionamento risulta:

ξ =V

V1= 1.8 < ξ1

Dobbiamo ora confrontare il nostro valore di 𝜉 con i valori limite di sicurezza rispetto

alla traslazione con strisciamento (𝜉s) ed al ribaltamento (𝜉r):

50

𝜉𝑠 =

(𝑄𝑎𝑓)

𝑅= 26

Dove:

𝑄𝑎 = 𝛼(𝐺 + 𝑄𝑢) = 1942850 𝑁 è il carico aderente effettivo

𝜉𝑟 =(𝑄𝑥𝑔)

(𝑅𝑦𝑣) − 1= 22.6

Nel nostro caso risultando ξ < ξ s si avrà traslazione senza strisciamento.

Nel nostro caso risultando ξ < ξ r non si determina ribaltamento.

Consideriamo ora il caso di gru in movimento nella direzione del vento sottoposta

all’azione frenante. La curva limite di sicurezza al ribaltamento in fase di frenatura è

definita dall’equazione:

ξ2 = √𝑄𝑋𝑔 − (1 + 𝜉)𝑌𝑔𝑅

𝑅(𝑌𝑣 − 𝑌𝑔)= 4.57

L’ascissa ξ v rappresenta il limite di frenatura atto ad innescare il ribaltamento della gru

durante la manovra di arresto e in assenza di vento.

ξ𝑣 =(𝑄𝑥𝑔)

(𝑅𝑦𝑔) − 1= 22 < ξ

Non si determina ribaltamento. Considerando la gru sottoposta all’azione del vento

durante la rotazione della torre superiore dobbiamo tenere conto delle forze centrifughe

dovute all’ inerzia delle masse rotanti. Il dominio di sicurezza risulterà ridotto e sarà

definito dalle due curve limite relative alla traslazione ed al ribaltamento.

ξ1′

= √1 + 𝜉 − (𝐽𝑤𝑟2)/(𝑅𝑌𝑟)

51

ξ2′

= √𝑄𝑋𝑔 − (1 + 𝜉)𝑌𝑔𝑅 − (𝑌𝑟 − 𝑌𝑔)𝐽𝑤𝑟

2/𝑌𝑟

𝑅(𝑌𝑣 − 𝑌𝑔)

Il nostro punto di funzionamento risulta all’interno del dominio di sicurezza primario. Ma

non siamo coperti per quanto concerne l’effetto delle forze centrifughe.

Calcoliamo infine i coefficienti di sicurezza. Per valutare il grado di sicurezza della

struttura si introduce il parametro:

ξ =Fv

R= 3.19

Il campo di sicurezza viene definito nel piano ξ -ψ dalle seguenti equazioni:

ξ𝑓 = [𝑄𝑋𝑔

𝑅𝑌𝑔 − 𝜉 − 1 + ℎ (1 −

𝑌𝑟

𝑌𝑔)]

𝑌𝑔

𝑌𝑣 − 𝑌𝑔= 14,51

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

η

ξ

η1

η1'

η2

η2'

ξs

Dominio di sicurezza

52

ξ𝑡 = 1 + 𝜉 − ℎ= 4.53

Dove:

ℎ =(𝐽∗𝑤𝑟

2)

(𝑦𝑟∗𝑅) =2,61

Il campo di sicurezza risulta diviso in tre zone. Il nostro punto si trova nella zona II, in

questo caso il grado di sicurezza viene espresso dalla seguente relazione:

𝑛𝐼𝐼 =𝜉𝑣 ∗ 𝑌𝑔

𝜉 ∗ 𝑌𝑔 + 𝜓(𝑌𝑣 − 𝑌𝑔)= 2.7

La gru risulta in sicurezza. Ora per il calcolo della fune possiamo utilizzare il metodo del

fattore di selezione “C”, esso prevede che il diametro minimo della fune deve essere pari

a:

0

2

4

6

8

10

12

14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

ψ

ξ

ψt

ψf

P

Campo di sicurezza

53

𝑑 = 𝐶√𝑆 = 24 𝑚𝑚

Dove:

𝐶 = √𝑍𝑝

𝐾′𝑅= 0,14

Nella stessa formula possiamo distinguere Zp che è un coefficiente di utilizzazione preso

in relazione alla classe dei meccanismi dell’organo di sollevamento. Purtroppo in

mancanza di dati per la classificazione del meccanismo possiamo considerare che

essendo il carico utile piuttosto basso la classe di sollevamento potrebbe essere M3, da

qui ricaviamo un valore di Zp pari a 3.55. k’ invece è un fattore di correzione empirico

che nel nostro caso vale 0.33. Infine R è il carico a rotture della fune che per un acciaio

C40 vale 500MPa. “S” invece è la forza di trazione massima della fune che tiene conto

dell’organo di presa e della fune. Maggiorando quindi il carico di servizio nominale

possiamo ottenere un valore di 30000 N. otteniamo così il valore del minimo diametro

della fune. Per la scelta del gancio si è consultato un catalogo della GOLFARI

ACCESSORI:

Quindi la scelta è caduta su un gancio Nr 012 poiché si è stabilito il sede di progetto che

il diametro minimo di fune debba essere di 24 mm.

54

Esercizio numero 16

Le gru a torre sono impianti di sollevamento, ed in quanto tali è possibile classificare gli

stessi, atti al sollevamento e trasporto di oggetti. Sono possibili le seguenti manovre:

volata, alzata, rotazione e traslazione (se la gru è fornita di binari). Nell’immagine

notiamo una classica gru a torre. E nella tabella sono forniti i seguenti dati tecnici.

P1 66780 N

P2 37090 N

P3 67995N

P4 46780 N

q 51000 N

z 47500 N

55

L’esercizio propone il calcolo del bilanciamento statico e dinamico (quest’ultimo in

relazione alle forze del vento), inoltre si chiede il calcolo dell’effetto delle forze

centrifughe e il calcolo del coefficiente di sicurezza. Infine si chiede di calcolare gli

elementi strutturali quali gancio e fune. Partiamo con una verifica statica della gru, per

evitare che questa si ribalti la risultante dei carichi deve capitare nel poligono di

appoggio della gru. Il grado di sicurezza al ribaltamento intorno ad “A” e “B”, visti

come gli appoggi della gru possono così calcolarsi:

QU 21085N

S1 21.28 m2

S 47,85 m2

Yr 6,95 m

J 682346 kg

m2

wr 1.5 giri/min

VC 18 m/min

L1 16,9 m

L2 8.45 m

L3 19.30 m

L4 38.60 m

2a 4.68 m

H 25.70 m

xg 1.95 m

yg 8.30 m

yv 16.95m

D 250 mm

d 52 mm

f 0.12

α 1/4

56

ξ𝐴 =

𝑞(𝐿1 + 𝑎) + 𝑃1(𝐿2 + 𝑎) + (𝑃2 + 𝑃4 + 𝑧)𝑎

𝑄𝑢(𝐿4 − 𝑎) + 𝑃3(𝐿3 − 𝑎)= 1.01 > 1

ξ𝐵 =𝑃3(𝐿3 + 𝑎) + (𝑃2 + 𝑃4 + 𝑧)𝑎

𝑞(𝐿1 − 𝑎) + 𝑃1(𝐿2 − 𝑎)= 1.54 > 1

Non siamo in sicurezza giacché il rapporto dovrebbe avere un valore di almeno 1,5.

Passiamo adesso al bilanciamento dinamico della gru, inizialmente immaginiamo i freni

innestati e la gru è sottoposta all’azione del vento. Per il vento adottiamo, come da testo

dell’esercizio una velocità media del vento nella regione Campania pari a 27 m/s, dato

fornito dall’atlante dei venti. Inoltre sappiamo che la gru è stata costruita, o deve essere

costruita ad un’altitudine sopra il livello del mare pari a 100 metri, a quella quota la

densità dell’aria è pari a 1.20 kg/mm^3. E quindi possiamo dire che la forza del vento

è così definibile:

𝐹𝑣 =1

2𝑘𝑠𝜌𝑉2

Dove:

ξ = 1,20 kg

mm3⁄ È il valore corrispondente all'altitudine di esercizio

k = 2,8 ∗ S1/S = 1.14 È il coefficiente aerodinamico di forma

Definiamo la velocità minima del vento suscettibile ad innescare il moto traslazionale

della gru:

𝑉𝑡 = √2(𝑅 + 𝐹𝑓)

𝑘𝑆𝜌= 24 𝑚

𝑠⁄

57

Con:

𝑅 =(𝑄𝑘𝑤)

1000= 2743 𝑁 È la risultante delle resistenze a rotolamento delle ruote

𝑄 = 𝐺 + 𝑄𝑢 = 288705𝑁

𝑘𝑤 = 9.5 È la resistenza specifica ricavata considerando il diametro della ruota della

gru

𝐹𝑓 =1

2𝑓𝐺 = 15968 𝑁 È la forza frenante

𝐺 = 266145 𝑁 È il peso proprio della struttura

Essendo V>Vt con la gru ferma ed i freni innestati, si può destare un moto di traslazione

con freni innestati. Potremmo aumentare contestualmente il peso della struttura.

Considerando il caso di gru sottoposta all’azione della forza frenante definiamo il campo

di sicurezza entro il quale la gru non subisce traslazione sotto l’azione della forza del

vento.

La curva limite è definita nel piano η - ξ dalla seguente equazione:

ξ = √1 + 𝜉

Dove:

𝜉 =𝐹𝑓

𝑅= 5.82

Il valore limite di η è:

ξ1 =𝑉𝑡

𝑉1= 2.59

dove:

58

𝑉1 = √

2 𝑅

𝐾𝑆 𝜌= 9.25 𝑚/𝑠

Il nostro η di funzionamento risulta:

ξ =V

V1= 2.91 > ξ1 anche in questo caso non siamo ovviamente in sicurezza.

Dobbiamo ora confrontare il nostro valore di 𝜉 con i valori limite di sicurezza rispetto

alla traslazione con strisciamento (𝜉s) ed al ribaltamento (𝜉r):

𝜉𝑠 =(𝑄𝑎𝑓)

𝑅= 6.31

Dove:

𝑄𝑎 = 𝛼(𝐺 + 𝑄𝑢) = 144352 𝑁 è il carico aderente effettivo

𝜉𝑟 =(𝑄𝑥𝑔)

(𝑅𝑦𝑣) − 1= 12

Nel nostro caso risultando ξ < ξ s si avrà traslazione senza strisciamento.

Nel nostro caso risultando ξ < ξ r siamo in sicurezza sul ribaltamento.

Consideriamo ora il caso di gru in movimento nella direzione del vento sottoposta

all’azione frenante. La curva limite di sicurezza al ribaltamento in fase di frenatura è

definita dall’equazione:

ξ2 = √𝑄𝑋𝑔 − (1 + 𝜉)𝑌𝑔𝑅

𝑅(𝑌𝑣 − 𝑌𝑔)

L’ascissa ξ v rappresenta il limite di frenatura atto ad innescare il ribaltamento della gru

durante la manovra di arresto e in assenza di vento.

59

ξ𝑣 =

(𝑄𝑥𝑔)

(𝑅𝑦𝑔) − 1= 24 < ξ

Non si determina ribaltamento. Considerando la gru sottoposta all’azione del vento

durante la rotazione della torre superiore dobbiamo tenere conto delle forze centrifughe

dovute all’ inerzia delle masse rotanti. Il dominio di sicurezza risulterà ridotto e sarà

definito dalle due curve limite relative alla traslazione ed al ribaltamento.

ξ1′

= √1 + 𝜉 − (𝐽𝑤𝑟2)/(𝑅𝑌𝑟)

ξ2′

= √𝑄𝑋𝑔 − (1 + 𝜉)𝑌𝑔𝑅 − (𝑌𝑟 − 𝑌𝑔)𝐽𝑤𝑟

2/𝑌𝑟

𝑅(𝑌𝑣 − 𝑌𝑔)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

η

ξ

η1

η1'

η2

η2'

ξs

Dominio di sicurezza

60

Il nostro punto di funzionamento non ricade nel dominio di sicurezza come volevasi

dimostrare.

Calcoliamo infine i coefficienti di sicurezza. Per valutare il grado di sicurezza della

struttura si introduce il parametro:

ξ =Fv

R= 8.54

Il campo di sicurezza viene definito nel piano ξ -ψ dalle seguenti equazioni:

ξ𝑓 = [𝑄𝑋𝑔

𝑅𝑌𝑔 − 𝜉 − 1 + ℎ (1 −

𝑌𝑟

𝑌𝑔)]

𝑌𝑔

𝑌𝑣 − 𝑌𝑔

ξ𝑡 = 1 + 𝜉 − ℎ

dove:

ℎ =(𝐽∗𝑤𝑟

2)

(𝑦𝑟∗𝑅)

61

Non ricadiamo in nessuna zona. La Gru palesemente deve essere riprogettata, d’altra

parte quando si inventano i dati …

ESERCIZIO N°17

Sia assegnata la gru a cavalletto, rappresentata in figura, destinata alla

movimentazione di fabbricati. Nella tabella seguente vengono riportati i dati necessari

per la valutazione del:

0

2

4

6

8

10

12

14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

ψ

ξ

ψt

ψf

P

Campo di sicurezza

62

1) Coefficiente di sicurezza 𝑛𝑡𝑚𝑖𝑛 ;

2) Coefficiente di sicurezza 𝑛𝑠𝑚𝑖𝑛 .

Per valutare il grado di sicurezza al ribaltamento attorno a t consideriamo la gru

assoggettata all'azione del vento 𝐹𝑣 e ai carichi Q,P e p, quando le azioni inerziali

sono nulle (F=0).

Il grado di sicurezza al ribaltamento è definito come:

Q 90000 N

Q1 80000 N

Q2 10000 N

q 10000 N

p 25000 N

FV 8000 N

xq 33 m

Yq 5 m

Xq1 36.25 m

Yq1 4.8 m

Xq2 10 m

yq2 6.66 m

yp 3 m

L 60 m

zo 10 m

zv 12 m

xv 33.10 m

h 15 m

zf 8.15 m

F 0

63

𝑛𝑡 =

𝑄𝑎 + 𝑃 (2𝑎 − 𝑦𝑝 )

𝐹𝑣𝑧𝑣 + 𝑞 (𝑦𝑝 − 2𝑎) + 𝐹𝑧𝑓

Dove:

𝑦𝑝= 𝑎 + ℎ𝑐𝑜𝑠𝛽

Il grado di sicurezza è minimo per 𝛽 = 0:

𝑛𝑡𝑚𝑖𝑛 = 4.84

Il grado di sicurezza al ribaltamento intorno a s è:

𝑛𝑠 =𝑀𝑠

𝑀𝑟

dove:

𝑀𝑠 è il momento stabilizzante:

𝑀𝑠 = 𝑄1[𝑎𝑥𝑞1 + (𝑎 − 𝑦𝑞1)𝐿 + 𝑃[𝑎𝑥 + (𝑎 − 𝑦𝑝)𝐿]

𝑀𝑟 è il momento ribaltante:

𝑀𝑟= 𝐹𝑣[𝐿𝑧𝑣 − (𝐿 − 𝑥𝑣)𝑧0] + 𝑄2[𝑎𝑥𝑞2 + (𝑎 − 𝑦𝑞2)𝐿 − 𝑞[𝑎𝑥𝑞 + (𝑎 − 𝑦𝑞)𝐿]

+ 𝐹[(𝑎𝑧𝑓 − 𝐿 − 𝑥𝑓)𝑧0]

Il grado di sicurezza ns dipende anche dalla posizione x, oltre che dall'anomalia β . Per

questo risulta variabile istante per istante durante una manovra di traslazione del

carico. Risulta dunque necessario ricavare il valore minimo di questo coefficiente. Tale

valore si raggiunge quando il rapporto tra 𝑀𝑠 e 𝑀𝑟 è minimo, cioè quando β 1 è

compreso tra -4° e -7° e per x=0.

Dunque:

64

𝑛𝑠𝑚𝑖𝑛 =

𝑄1 ∗ [𝑎 ∗ 𝑥𝑞1 + (𝑎 − 𝑦𝑞1) ∗ 𝐿] + 𝑃(𝑎 − 𝑦𝑝) ∗ 𝐿

𝐹𝑣 ∗ [𝐿 ∗ 𝑧𝑣 − (𝐿 − 𝑥𝑣) ∗ 𝑧0] + 𝑄2 ∗ [𝑎 ∗ 𝑥𝑞2 + (𝑎 − 𝑦𝑞2) ∗ 𝐿] − 𝑞 ∗ [𝑎 ∗ 𝑥𝑞 + (𝑎 − 𝑦𝑞) ∗ 𝐿] + 𝐹 ∗ [𝑎 ∗ 𝑧𝑓 − (𝐿 − 𝑥𝑓) ∗ 𝑧0]= 9.05

ESERCIZIO 18

(svolto in aula)

Ascensore elettrico

Determinare il numero di ascensori elettrici da inserire in un edificio di 6 piani fuori terra e 2 piani

interrati, di superficie netta di 460 mq, destinato ad uffici aperti al pubblico.

Calcolare:

1) il numero di ascensori;

2) il tempo di attesa;

3) il tipo di motore e di funi;

4) le guide.

1) Numero di ascensori

Per valutare il numero di ascensori necessari ed il tempo di attesa bisogna calcolare alcuni parametri

fondamentali.

Nel caso di edificio destinato ad uffici aperti al pubblico per calcolare la popolazione totale bisogna

considerare 1 persona per ogni metro quadro:

𝑃𝑡 = 1 ∗ 460 =460 persone

Il numero medio di persone in attesa ai piani nell’ora di traffico più intenso è pari a:

𝑃𝑚 =𝑃𝑡 ∗ 0.80

𝑁= 46

dove N è il numero di piani di cui è composto l'edificio.

Supponendo che un piano sia di 4 metri, la corsa dell’ascensore (C) è pari a 32 metri. Inoltre la velocità

è di 2 𝑚𝑠⁄ .

La durata tecnica di una corsa completa tra i piani estremi dell’edificio in salita e in discesa è pari a:

𝑇𝑡 =2 ∗ 𝐶

𝑣= 32 𝑠

65

Il ciclo di rotazione medio è pari a:

𝑇𝑟 = 𝑇𝑡 + (𝑥 + 1) ∗ 𝑡𝑝 + (𝑥 + 1) ∗ (𝑡𝑐 + 𝑡𝑎) + 𝑛 ∗ (𝑡𝑒 + 𝑡𝑢) = 181 𝑠

dove:

𝑥 = 𝑁 − 𝑁 ∗ (𝑁 − 1𝑁⁄ )𝑛 = 5.25 è il numero di fermate probabili

N è il numero dei piani

n è il numero delle persone

𝑡𝑝 = 8 𝑠 è il tempo perso durante le accelerazioni e le decelerazioni tabellato

𝑡𝑐 + 𝑡𝑎 = 12 𝑠 è la somma del tempo di apertura e di chiusura delle porte

𝑡𝑒 + 𝑡𝑢 = 3 𝑠 è la somma del tempo di entrata e uscita delle persone

La capacità di trasporto relativa ad un periodo di punta del traffico è pari a:

𝑛5 =(𝑛 ∗ 60 ∗ 5)

𝑇𝑟= 13.25

Questo valore viene calcolato nell'ipotesi più critica in cui l'ascensore viaggia a pieno carico.

Il numero di ascensori necessario è pari a:

𝑛𝑎 =𝑃5

𝑛5= 3.47 → 4 𝑎𝑠𝑐𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟𝑖

dove:

𝑃5 = 0.1 ∗ 𝑃𝑡 è il numero ottimale di passeggeri da trasportare in 5 minuti tabellato.

2) Tempo di attesa

Una volta calcolato il numero di ascensori andiamo a calcolare il tempo di attesa.

Il tempo di attesa è pari a:

𝑇𝑎 =𝑇𝑟

𝑛𝑎= 45 𝑠

3) Tipo di cabina

66

È stato ipotizzato un numero massimo di passeggeri n=8. La portata corrispondente, considerando un

peso medio per persona di 75Kg, risulta di 600Kg. Per valutare la superficie della cabina ci siamo

riferiti alla norma EN81.

In corrispondenza di n=8 e di una portata di 600Kg ricaviamo:

Superficie utile massima 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 1.6 𝑚2

Superficie utile nominale 𝑆𝑛 = 1.45 𝑚2

Per valutare le caratteristiche del vano di corsa ci siamo riferiti alla norma ISO 4190-1. I valori

estrapolati sono riferiti alla portata ed al tipo di edificio.

Per il tipo di edificio considerato (uffici ) e la portata di 600Kg abbiamo ricavato:

Cabina Larghezza 1100 mm

Profondità 1350 mm

Porte di cabina Larghezza 800 mm

Altezza 2000 mm

Tipo apertura centrale

Vano Larghezza 1500 mm

Profondità 1950 mm

La larghezza di 800 mm permette di rispettare la norma relativa all’ utilizzo da parte di portatori di

handicap.

LOCALE MACCHINE

67

4) Tipo di motore e di funi

Si è scelto di utilizzare un ascensore elettrico di tipo a frizione che sfrutta l’attrito tra le funi di

sospensione e le gole della puleggia. In particolare data la velocità di salita della cabina contenuta di

2m/s è stato scelto un elevatore a frizione con riduttore del tipo a vite senza fine e ruota elicoidale.

Per quanto riguarda il tipo di motore utilizzato è conveniente scegliere un motore in corrente continua a

tensione variabile, che oltre alla semplicità ed alla economicità di installazione, garantisce un ottimo

comfort di marcia ed un buon livellamento al piano. Nel caso esaminato di ascensore elettrico è inoltre

necessaria la presenza del contrappeso, destinato ad equilibrare il peso della cabina, rispetto alla

quale si muove in verso opposto, ed un’aliquota del carico da trasportare, consentendo così un notevole

risparmio di energia motrice. In particolare il contrappeso viene opportunamente dimensionato

considerando un peso pari a quello della cabina vuota più la metà del carico totale. In tal modo è

possibile operare con una potenza pari ad ¼ di quella necessaria senza contrappeso.

Oltre a far riferimento al tipo di motore e alle funi è necessario far riferimento al paracadute.

Il paracadute è un dispositivo di sicurezza che entra in funzione quando la velocità di discesa della

cabina supera di una certa percentuale quella di normale esercizio e provoca l’arresto più o meno

istantaneo dell’elemento mobile. Considerata la velocità della cabina di 2 m/s, l’unico tipo di

paracadute adatto è quello a presa progressiva.

Tale tipo di paracadute prevede la presenza di un controcuneo fissato all’intelaiatura della cabina, dei

cunei lisci che aderiscono alle guide grazie a delle molle opportunamente tarate.

Con questo meccanismo l’energia cinetica delle masse da arrestare è quasi interamente smaltita in attrito

tra i cunei e l’anima delle guide.

Sappiamo che la presenza di questo tipo di paracadute prevede l'utilizzo di ammortizzatori idraulici.

Gli ammortizzatori sono un altro dispositivo di sicurezza ed entrano in funzione qualora la cabina non

dovesse arrestarsi alla fermata più bassa, ma continuasse a scendere. Per gli ascensori elettrici il tipo

68

di ammortizzatori più utilizzato è quello a dissipazione di energia. Essi sono di tipo idraulico, sono

pertanto costituiti da un sistema pistone-cilindro e per dissipare l’energia contenuta dalla cabina,

sfruttano il lavoro necessario per far passare olio idraulico contenuto nel cilindro attraverso aperture

calibrate. Nel provocare l’arresto graduale della cabina è opportuno che gli ammortizzatori non causino

danni o provochino sensazioni fastidiose ai passeggeri.

Da prove sperimentali è stato perciò accertato che la decelerazione massima che il corpo umano può

sopportare senza subire danni è di 2.5*g e che lo spazio entro cui la cabina si deve arrestare non deve

essere inferiore a:

𝑆 =𝑣2

2 ∗ 𝑔= 0.2 𝑚

Per quanto riguarda le funi, esse sono costituite da un anima centrale e da 6 funi con 9 fili ciascuno.

Il dimensionamento delle funi viene condotto considerando la fune soggetta alla sola sollecitazione di

trazione.

Considerando un coefficiente di sicurezza pari a k=50 la resistenza della fune è data dalla seguente

relazione:

𝑅 =𝑘 ∗ 𝑃

𝑛= 20000 𝑁

dove:

𝑃 = 200 + 600 = 800 𝑘𝑔 è il peso complessivo da sollevare;

𝑛 = 2 è il numero di funi.

Considerando un diametro di primo tentativo del filo della fune d=8mm è possibile valutare il carico

unitario a rottura minimo dei fili che deve risultare minore di 1570N/mm2:

𝜎𝑟 =2 ∗ 𝛽 ∗ ∑(

𝜋 ∗ 𝑑2

4 )

𝑅= 353

𝑁

𝑚𝑚2

Dato che tale valore risulta molto inferiore al valore limite possiamo considerare un diametro d=6mm.

5) Guide

Le guide hanno il compito di assicurare la traiettoria rettilinea della cabina ed inoltre se è presente il

paracadute costituiscono l’organo di ancoraggio della cabina stessa. Le guide sono realizzate i acciaio

con profilati di sezione a T. Nel caso esaminato la velocità nominale risulta maggiore di 0.46 m/s e

quindi è preferibile utilizzare guide lavorate del tipo Fe430 B con carico di rottura di 520 N/mm2. Le

guide possono essere considerate come travi soggette a carichi di punta durante l‘intervento del

paracadute. Secondo le normativa europea EN 81.2 la sollecitazione massima che esse possono

sopportare è data dalla seguente relazione:

69

𝜎𝑘 =

10 (𝑃 + 𝑄) ∗ 𝜔

𝐴

dove:

𝑃 = 200 𝑘𝑔 è il peso della cabina vuota + il peso delle funi + il peso degli organi che sono fissi alla

cabina;

𝑄 = 600𝑘𝑔 è la portata massima dell'ascensore;

𝜔 = 10 è il coefficiente di maggiorazione del carico di punta compreso tra un valore di 1.4 e uno di

17;

A è l'area resistente della guida.

Orientativamente per una portata di 600 kg le dimensioni delle guide dovrebbero essere circa

80x80x9 e

quindi dovrebbero avere una sezione di circa 14 cm2.

Considerando tale valore per l’area delle guide calcoliamo la sollecitazione σ che in tal caso risulta:

𝜎 =10 ∗ (200 + 600) ∗ 10

1400= 11.42

𝑁

𝑚𝑚2

Questo valore risulta molto inferiore a quello critico pari a 210 𝑁

𝑚𝑚2.

Si può pensare quindi di diminuire la sezione delle guide e di utilizzare una sezione standard T75-1

con dimensioni 75x55x9 e area pari 7.98 cm2.

70

ESERCIZIO 13

Ascensore idraulico

Valutare l’inserimento di ascensori idraulici a servizio di un fabbricato condominiale di 4 piani fuori

terra oltre ad un piano interrato destinato a garage. La superficie di ciascun piano è di 330 mq e

l’altezza d’interpiano è di 3,40 m.

Calcolare:

1) la portata e il tipo di cabina;

2) il tempo di attesa;

3) il gruppo cilindro-pistone;

4) le tubazioni;

5) la scelta del motore e della pompa;

6) il silenziatore;

7) lo scambiatore di calore.

1) Portata e tipo di cabina

È stato ipotizzato un numero massimo di passeggeri n=4.

La portata corrispondente, considerando un peso medio per persona di 80Kg, risulta di 320Kg. Per

valutare la superficie della cabina ci siamo riferiti alla norma EN81.

In corrispondenza di n=4 e di una portata di 320Kg possiamo ricavare:

Superficie utile massima 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 1 𝑚2

Superficie utile nominale 𝑆𝑛 = 0.79 𝑚2

Per valutare le caratteristiche del vano di corsa ci siamo riferiti alla norma ISO 4190-1.

I valori estrapolati sono riferiti alla portata ed al tipo di edificio.

71

Per il tipo di edificio considerato e la portata di 320Kg abbiamo ricavato:

Cabina

Larghezza 900 mm

Profondità 1000 mm

Altezza 2200 mm

Porte della cabina

Larghezza 800 mm

Altezza 2000 mm

Tipo apertura

centrale

Vano Larghezza 1400 mm

Profondità 1600 mm

La larghezza di 800 mm è stata scelta in quanto permette di rispettare la norma relativa all’utilizzo da

parte di portatori di handicap.

2) Tempo di attesa

Per valutare il tempo di attesa bisogna calcolare alcuni parametri fondamentali.

Nel caso considerato di abitazione avente 5 piani di 330 mq, la popolazione totale è pari a:

𝑃𝑡 =330

25= 13.2 → 14 persone

Il numero ottimale di passeggeri da trasportare in 5 minuti è:

𝑃𝑚 =0.80 ∗ 𝑃𝑡

𝑁= 2.24

dove:

N è il numero di piani.

La durata tecnica di una corsa completa tra i piani estremi dell’edificio in salita e in discesa è pari a:

𝑇𝑡 =2 ∗ 𝐶

𝑣= 36 𝑠

dove:

72

𝐶 = 3.4 ∗ 5 = 17 𝑚 è la corsa totale

𝑣 = 0.95 𝑚2 è velocità cabina ipotizzata per ascensore idraulico diretto.

Il ciclo di rotazione medio è pari a:

𝑇𝑟 = 𝑇𝑡 + (𝑥 + 1) ∗ 𝑡𝑝 + (𝑥 + 1) ∗ (𝑡𝑐 + 𝑡𝑎) + 𝑛 ∗ (𝑡𝑒 + 𝑡𝑢) = 174.4 𝑠

dove:

𝑥 = 𝑁 − 𝑁 ∗ (𝑁 − 1𝑁⁄ )𝑛 = 2.95 è il numero di fermate probabili

N è il numero dei piani

n è il numero delle persone

𝑡𝑝 = 8 𝑠 è il tempo perso durante le accelerazioni e le decelerazioni tabellato

𝑡𝑐 + 𝑡𝑎 = 12 𝑠 è la somma del tempo di apertura e di chiusura delle porte

𝑡𝑒 + 𝑡𝑢 = 3 𝑠 è la somma del tempo di entrata e uscita delle persone

La capacità di trasporto relativa ad un periodo di punta del traffico è pari a:

𝑛5 =(𝑛 ∗ 60 ∗ 5)

𝑇𝑟= 6.9

Il numero di ascensori necessario è pari a:

𝑛𝑎 =𝑃5

𝑛5= 0.2 → 2 𝑎𝑠𝑐𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟𝑖

dove:

𝑃5 = 0.1 ∗ 𝑃𝑡 è il numero ottimale di passeggeri da trasportare in 5 minuti tabellato.

In queste ipotesi il tempo di attesa risulta:

𝑇𝑎 =𝑇𝑟

𝑛𝑎= 87.2 𝑠

Questo valore del tempo di attesa è accettabile in quanto esso è inferiore al limite massimo (100 s) per

un piccolo edificio residenziale.

73

3) Gruppo cilindro-pistone

Negli ascensori idraulici i pistoni sono assimilabili ad aste snelle, quindi dovremo verificare la stabilità

al carico di punta. Inoltre il cilindro e il fondello dello stesso verranno dimensionati tramite la teoria dei

recipienti in pressione a pareti sottili.

CILINDRO

Il cilindro è destinato a contenere il liquido in pressione, che tramite il pistone, sostiene la cabina.

È costruito in acciaio ed è composto dal fondello, dal corpo cilindrico e dalla testata. Il fondello ha la

funzione di chiudere inferiormente il cilindro e nel caso considerato è stato scelto a fondo piano.

Il corpo cilindrico deve resistere alla pressione che il liquido raggiunge in esso. Per assicurare la

resistenza del cilindro è necessario che lo spessore delle pareti sia verificato dalla seguente relazione:

𝑠 ≥𝐾 ∗ 𝑝 ∗ 𝐷

2 ∗ 𝑅+ 𝑠0

Risulta che:

𝑠 ≥ 0.077 𝑚

E' stato scelto per le pareti del cilindro uno spessore di 8 cm.

FONDELLO

Una volta determinato lo spessore è possibile stabilire le dimensioni del fondello.

dove:

𝑒𝑜 = 8 𝑐𝑚 è lo spessore delle pareti del cilindro

𝑒3 ≥ 8.31 𝑐𝑚 → 𝑒3 = 3 ∗ 𝑒0 = 24 𝑐𝑚 è lo spessore del fondello

𝑟3 = 3 𝑐𝑚

𝑢3 ≥ 27 𝑐𝑚 → 𝑢3 = 27 𝑐𝑚

PISTONE

74

Si è scelto di utilizzare un pistone ad uno stadio, che agisce direttamente sull’intelaiatura della cabina.

Nel caso degli ascensori idraulici i pistoni vengono considerati come delle aste snelle e devono quindi

essere effettuate sia una verifica per la resistenza a compressione, sia una verifica all’instabilità a

carico di punta.

La pressione statica massima agente sulla sommità del pistone risulta:

𝑝𝑠 =𝐶 + 𝑄 + 𝐹

ξ − 𝛾 ∗ 𝐻 = 5,21 𝑏𝑎𝑟

dove:

𝐶 = 200 𝑘𝑔 è il peso della cabina

𝑄 = 320 𝑘𝑔 è la portata

𝐹 = 124 𝑘𝑔 è il peso proprio del pistone

𝛾 = 0.9 𝑘𝑔

𝐿𝑖𝑡𝑟𝑜⁄ è il peso specifico dell'olio

𝐻 = 1700 𝑐𝑚 è la corsa

Ω = 12 cm2 è la sezione trasversale del pistone

Per la verifica a compressione deve risultare:

𝜎𝑟 ≥ 6 ∗ 𝑝𝑠 ∗ ξ

𝐴= 3.13 𝑀𝑃𝑎

e risulta verificata in quanto la tensione di rottura dell’ acciaio S355 è pari a 510 MPa.

Per la verifica all’ instabilità deve risultare:

𝑝𝑠 ∗ ξ ≤ 3 ∗ 𝜋2 ∗ 𝐸 ∗ 𝐴

𝜆2= 2444 𝑁

dove:

𝐸 = 190 𝐺𝑃𝑎 è il modulo di Young

𝐴 = 12 𝑐𝑚2 è l'area resistente dello stelo che corrisponde all'area della sezione trasversale del

pistone

λ = 𝐻 ∗ √𝐴

𝐽 = 1661 è la snellezza

75

J = 𝜋 ∗

𝑟4

4= 12,56 𝑐𝑚4 è il momento d'inerzia

𝐻 = 1700 𝑐𝑚 è la corsa

La relazione risulta verificata in quanto risulta:

𝑝𝑠 ∗ ξ = 625 ≤ 2444 𝑁

4) Tubazioni

La tubazione ha il compito di collegare idraulicamente le apparecchiature dell’unità di potenza con

quelle del gruppo di azionamento ed è costituita generalmente da tubi d’acciaio trafilati, facilmente

curvabili e saldati.

La tubazione è percorsa, sia in fase di salita che di discesa, da liquido in pressione, per tale motivo è

necessario che abbia requisiti idonei dal punto di vista idraulico e buone caratteristiche di resistenza

meccanica.

Per far scorrere il liquido nella quantità ed alla velocità prevista, è necessaria una determinata

pressione, detta perdita di carico.

Tale pressione dipende dal numero di Reynolds e quindi dal tipo di moto che si instaura nella tubazione

(laminare o turbolento).

Nel caso in esame di tubazioni lisce e a sezione circolare risulta:

𝑅𝑒 =21.22 ∗ 𝑄

𝑑 ∗ 𝑣= 319

dove:

𝑑 = 30 𝑚𝑚 è il diametro interno della tubazione tabellato in funzione della portata della pompa

𝑣 = 144 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑠𝑡𝑜𝑘𝑒 è la viscosità cinematica dell'olio idraulico

Dato che risulta Re<2300 il moto che si instaura nella tubazione è laminare e la caduta di pressione è

espressa dalla seguente relazione:

∆𝑝 = 127 ∗ 103 ∗𝑄2

𝑅𝑒 ∗ 𝑑5= 0.06 𝑏𝑎𝑟

𝑚⁄

Per assicurare una buona resistenza meccanica, se la tubazione è rigida, si deve verificare:

76

𝑠 ≥

𝑘 ∗ 𝑝 ∗ 𝐷

2 ∗ 𝑅+ 𝑆0

dove:

𝐷 = 35 𝑚𝑚 è il diametro esterno della tubazione tabellato in funzione della portata della pompa

𝑑 = 35 𝑚𝑚 è il diametro interno della tubazione tabellato in funzione della portata della pompa

𝑠 =(𝐷−𝑑)

2= 2.5 𝑚𝑚 è lo spessore della tubazione

𝑘 = 3 è il coefficiente di sicurezza

𝑠0 = 1 𝑚𝑚 è una quantità addizionale

𝑝 = 45 𝑏𝑎𝑟 è la pressione del liquido

𝑅 = 510 𝑁𝑚𝑚2⁄ è la tensione di rottura dell'acciaio S355

La relazione precedente è verificata poiché risulta:

2.5mm ≥ 1.46mm

5) Scelta del motore e della pompa

Una delle caratteristiche principali degli ascensori deve essere quella di mantenere la velocità costante

al variare del carico. A tale scopo negli ascensori idraulici vengono impiegati motori asincroni con rotore

in cortocircuito. Questi motori hanno una grande semplicità costruttiva, una particolare robustezza e non

richiedono alcuna manutenzione. Si preferisce installare il gruppo motore pompa nel serbatoio immerso

in olio per facilitarne il raffreddamento.

La potenza da assegnare al motore è pari a:

𝑁 =𝑔 ∗ 𝑃 ∗ 𝑣

1000 ∗ 𝜂= 5 𝐾𝑊

dove:

𝑃 = 520 𝑘𝑔 è il peso totale da sollevare, somma della portata e del peso della cabina

𝜂 = 0.95 è il rendimento dell'impianto

La potenza ridotta permette di ridurre l’altezza dei picchi di corrente.

Durante la fase di avviamento si inseriscono sullo statore resistenze opportunamente tarate.

77

Il compito della pompa è quello di trasformare l’energia meccanica fornita dal motore elettrico in

energia idraulica necessaria per sollevare il pistone e far assumere alla cabina una determinata velocità

di salita.

La portata della pompa è pari a:

𝑄 =612 ∗ 𝑁 ∗ 𝜂

𝑝𝑠= 65 𝐿

𝑚𝑖𝑛⁄

dove:

𝑝𝑠 = 45 𝑏𝑎𝑟 è la pressione statica massima del liquido

La sezione trasversale del pistone è pari a:

ξ =Q

(6 ∗ v)= 12 cm2

È stato considerato un pistone ad uno stadio ad azione diretta.

È stato ipotizzato l’utilizzo di una pompa volumetrica a cilindrata variabile, nello specifico una pompa

a 3 viti a due principi. La vite centrale è accoppiata direttamente all’ asse del motore e trascina le viti

laterali che servono solo da tenuta.

6) Silenziatore

I rumori presenti negli ascensori idraulici derivano da pulsazioni di pressione o da vibrazioni meccaniche

trasmesse dal serbatoio, dalla tubazione di mandata e dal cilindro e in particolar modo dal gruppo

motore-pompa.

È necessario quindi calcolare, al fine di valutare l’entità del problema, la frequenza delle pulsazioni

generate dalla pompa.

Considerando un motore asincrono a due poli si ha:

𝑓𝑒 =𝑛 ∗ 𝑧

60= 100 𝐻𝑧

dove:

𝑛 = 3000 𝑔𝑖𝑟𝑖

𝑚𝑖𝑛⁄

z=2

78

La frequenza di vibrazione è elevata ed è necessario introdurre un silenziatore avente una lunghezza

di massima insonorizzazione pari a:

𝐿 =𝑐 ∗ 𝑎

𝜋 ∗ 𝑓𝑒= 4,14 𝑚

dove:

𝑐 = 1300 𝑚𝑠⁄ è la velocità del suono in un liquido

𝑎 = 1 è un numero intero dispari

Il rumore provocato dall’impianto dipende anche dalla lunghezza delle tubazioni e del vano corsa le

cui lunghezze critiche sono:

𝐿𝑐𝑟 𝑡𝑢 =0,9 ∗ 𝑐

2 ∗ 𝑓𝑒= 5,8 𝑚 → 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑡𝑢𝑏𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒

𝐿𝑐𝑟 𝑣𝑐 =𝑎 ∗ 𝑐0

𝜋 ∗ 𝑓𝑒= 1 𝑚 → 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑎𝑙 𝑣𝑎𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑠𝑎

dove:

𝑐𝑜 = 340 𝑚𝑠⁄ è la velocità del suono nell'aria

Nel caso esaminato la lunghezza adottata per la tubazione (4 m) non essendo un multiplo intero della

lunghezza critica 𝐿𝑐𝑟 𝑡𝑢 , la condotta non entra in risonanza e quindi non esalta il rumore prodotto dalla

pompa stessa.

Stesso identico ragionamento può essere effettuato per la lunghezza del vano corsa (13,2m), che non

risulta essere un multiplo dispari della lunghezza critica 𝐿𝑐𝑟 𝑣𝑐 .

7) Scambiatore di calore

L’ energia elettrica assorbita dal motore di azionamento viene trasformata in calore che provoca il

riscaldamento dell’olio presente all’interno del circuito. Se le corse dell’ascensore sono intervallate da

periodi di riposo più o meno lunghi di tempo, gran parte del calore può essere smaltito tramite le

superfici esterne del pistone del cilindro e del serbatoio. Se invece gli intervalli di riposo sono brevi,

come accade in hotel o edifici per uffici, la temperatura dell’olio può salire eccessivamente e causare

un malfunzionamento. Occorre perciò sapere se il calore che si genera può essere o meno

completamento smaltito dalle superfici disperdenti che sono a contatto con l’olio.

La quantità di energia che ogni ora viene assorbita dalla rete e viene trasformata in calore è:

79

𝑄𝑝 =𝐺 ∗ 𝐻 ∗ 𝑁 ∗ 𝑔 ∗ 𝜓 ∗ 𝛾

4187𝜂𝑖𝜂𝑚= 2939

𝐾𝑐𝑎𝑙

ℎ

dove:

𝐺 = 520 𝑘𝑔 è la somma del peso della cabina + la portata

𝐻 = 17 𝑚 è la corsa della cabina

𝑁 =3600∗4

𝑇𝑟= 125 è il numero di inserimenti compiuti dal motore in un'ora

𝜓 = 0.95 è un coefficiente che tiene conto del fatto che solitamente l’ascensore non effettua

completamente tutta la corsa al massimo carico

𝛾 = 0.56 è un coefficiente che tiene conto del fatto che tra una corsa, il tempo di inattività e la corsa

successiva l’olio tende a raffreddarsi

𝑔 = 9.81 𝑚𝑠2⁄ è l’accelerazione gravitazionale

𝜂𝑖 = 0.71 è il rendimento idraulico

𝜂𝑚 = 0.66 è il rendimento meccanico

La quantità di calore che può essere dissipata attraverso le pareti dei recipienti a contatto con l’olio è:

𝑄𝑑 = 𝐾 ∗ 𝑆(𝑇𝑜𝑙 − 𝑇𝑎𝑚𝑏) = 5789 𝐾𝑐𝑎𝑙

ℎ

dove:

𝐾 = 9 è il coefficiente di trasmissione del calore tra olio e aria

𝑆 = 𝑆𝐶 + 𝑆𝑡 + 𝑆𝑠 = 21.44 𝑚2 è la superficie disperdente somma della superficie elle tubazioni, del

serbatoio e del cilindro

𝑆𝑡 = 𝜋 ∗ 𝑑𝑡𝑢𝑏𝑜 ∗ 4 = 𝑜, 44 𝑚2 è la superficie delle tubazioni

𝑆𝑠 = 4.5 ∗ 𝑉𝑂𝐿𝐼𝑂

2

3 = 13 𝑚2 è la superficie del serbatoio

𝑆𝑐 = 𝜋 ∗ 𝐷𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 ∗ 𝐻 = 8 𝑚2 è la superficie del cilindro

80

Risulta:

𝑄𝑑 ≥ 𝑄𝑝

e quindi non è necessario l’installazione di uno scambiatore di calore.

ESERCIZIO 19

FUNIVIA A CAMPATA UNICA

In riferimento ad una funivia a campata unica, effettuare il dimensionamento preliminare avendo cura

di calcolare:

1) Il tiro della fune portante;

2) Tipo e diametro della fune portante;

3) Spinta della fune portante a valle e a monte;

4) Freccia massima della fune;

5) Coefficiente di sicurezza della fune;

6) Velocità massima a regime;

7) Scelta motore;

8) Puleggia.

I dati sono:

a) Lunghezza orizzontale campata = l = 1490 m;

b) Dislivello della campata = d = 499m;

c) Angolo pendenza media = 18°;

d) Peso da trasportare = P = 6995 kg.

81

È stata scelta una funivia a doppia via di corsa nella quale sono presenti più cabine che sono posizionate in

maniera equidistante lungo la fune portante. Durante il funzionamento, immaginando che l’impianto sia dotato

di 4 cabine, due di queste saranno posizionate in attesa nelle piazzole di carico e scarico una a monte e l’altra

valle, e le restanti due occuperanno rispettivamente la fune di risalita e di discesa. Per tale motivoil carico

massimo presente su un tratto della fune portante (tratto di salita o di discesa) sarà pari a P= 6995/4 =1749

kg.

1) Il tiro nella fune portante

Fune scarica

Nel caso in esame, ipotizzando la presenza di un contrappeso 𝐶 = 11000 𝑘𝑔 disposto a valle, la tensione della

fune portante vale:

𝑇𝐴 = 𝐶 = 11000 𝑘𝑔

Ipotizzando inizialmente un peso per metro lineare della fune pari a 𝑝 = 1 𝑘𝑔/𝑚 , la tensione a monte 𝑇𝐵 è pari

a:

𝑇𝐵 = 𝐶 + 𝑝 ∙ 𝑑 = 11499 𝑘𝑔

Per ricavare l’angolo 𝛼 , angolo della tangente alla fune nel punte estremo di valle, si può utilizzare la formula

indicata dal prof. D’ARMINI:

𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑡𝑔 𝛾 −𝑙 ∙ 𝑝

2 ∙ 𝑇𝐴) = 14.4°

con:

𝑡𝑔 𝛾 =𝑑

𝑙= 0.33 → 𝛾 = 18° angolo formato dalla fune tra il punto di ancoraggio a valle e quello a monte

se questa fosse perfettamente tesa.

Nota 𝛼, possiamo ricavare il valore della tensione orizzontale 𝐻:

𝐻 = 𝑇𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 10653 𝑘𝑔

82

da cui possiamo risalire al valore dell’ angolo β , infatti, poiché :

𝐻 = 𝑇𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝑇𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝛽

risulta che:

𝛽 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 (𝑇𝐴

𝑇𝐵𝑐𝑜𝑠𝛼) = 22.1°

dove β rappresenta l’angolo della tangente alla fune nel punto estremo di monte.

Inoltre, nota 𝐻, possiamo ricavare il valore della tensione media nella fune:

𝑇𝑚𝑒𝑑 =𝐻

𝑐𝑜𝑠 𝛾= 11202 𝑘𝑔.

Il valore della freccia in mezzeria è pari a:

𝑓𝑚 =𝑝𝑙2

8𝐻 cos 𝛾=

𝑝𝑙𝐿

8𝐻= 27.4 𝑚

dove 𝐿 =𝑙

𝑐𝑜𝑠𝛾= 1567 𝑚rappresenta la lunghezza della corda AB ( punto di ancoraggio a valle e a monte).

Fune carica

Il valore della tensione a valle 𝑇𝐴è pari a:

𝑇𝐴 = 𝐶 = 11000 𝑘𝑔

mentre la tensione a monte 𝑇𝐵 è pari a:

𝑇𝐵 = 𝐶 + 𝑝 ∙ 𝑑 + 𝑃 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛾 = 12039 𝑘𝑔.

Supponendo che il carico 𝑃 sia applicato in mezzeria, gli angoli 𝛼 e 𝛽 si ricavano dalle seguenti espressioni:

𝛽 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑡𝑔𝛾 +

𝑝𝐿 + 𝑃

2𝐻) = 25.7°

𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑡𝑔𝛾 −𝑝𝐿 + 𝑃

2𝐻) = 9.6°

Dunque, il valore della tensione media nella fune è pari a:

𝑇𝑚𝑒𝑑 =𝑐𝑜𝑠 𝛽 𝑐𝑜𝑠 𝛼

𝑐𝑜𝑠 𝛾 ∙ [𝑠 𝑖𝑛(𝛽 − 𝛼)]∙ (𝑃 + 𝑝𝐿) = 11202 𝑘𝑔

83

Nota 𝑇𝑚𝑒𝑑 , possiamo ricalcolare il valore della tensione orizzontale H nella fune:

𝑇𝑚𝑒𝑑 =𝐻

𝑐𝑜𝑠 𝛾⇒ 𝐻 = 𝑇𝑚𝑒𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛾 = 10653 𝑘𝑔 ;

Il valore della 𝑇𝑚𝑎𝑥 è pari a𝑇𝐵:

𝑇𝑚𝑎𝑥 = 𝑇𝐵 = 12039 𝑘𝑔;

Il valore della freccia verticale nel punto di mezzeria si ricava mediante l’applicazione del principio di

sovrapposizione degli effetti, come somma della freccia dovuta al peso proprio della fune e di quella dovuta

all’applicazione del carico 𝑃:

𝑓𝑚 = 𝑝𝐿2

8𝑇𝑚𝑒𝑑+

𝑃𝐿

4𝑇𝑚𝑒𝑑 =

𝑝𝑙𝐿

8𝐻+

𝑃𝑙

4𝐻= 27.4 𝑚

2) Tipo e diametro della fune portante

𝑇𝐵 = 𝐶 + 𝑝 ∙ 𝑑 + 𝑃𝑠𝑒𝑛𝛾 = 12039 𝑘𝑔 → 118103𝑁 = 118,103 𝑘𝑁

Dal catalogo della FAS (azienda che si occupa di funi e attrezzature per sollevamento) è stata scelta una fune

metallica di tipo chiusa portante utilizzata per funivie e impianti di risalita.

84

È stata individuata come possibile scelta la fune con diametro ∅30 mm avente carico di rottura pari a 883kN e

peso per metro pari a 4,90 kg/m. A questo punto, bisogna ricalcolare i valori delle tensioni a monte e a valle:

𝑇𝐴 = 𝐶 = 11000 𝑘𝑔

mentre la tensione a monte 𝑇𝐵 è pari a:

𝑇𝐵 = 𝑇𝑚𝑎𝑥 = 𝐶 + 𝑝 ∙ 𝑑 + 𝑃 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛾 = 13985 𝑘𝑔

⇒ 𝑇𝑚𝑎𝑥 = 137 𝑘𝑁 < 883𝑘𝑁

Ora è anche possibile ricavare il nuovo valore dell’angolo𝛼 , angolo della tangente alla fune nel punto estremo

di valle tramite la formula indicata dal prof. D’ARMINI:

𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑡𝑔 𝛾 −𝑙 ∙ 𝑝

2 ∙ 𝑇𝐴) = −0.4°

nota 𝛼, possiamo ricavare il valore della tensione orizzontale 𝐻:

𝐻 = 𝑇𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 10998 𝑘𝑔;

da cui possiamo risalire al valore dell’ angolo β , infatti, poiché :

𝐻 = 𝑇𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝑇𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝛽

risulta che:

𝛽 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 (𝑇𝐴

𝑇𝐵𝑐𝑜𝑠𝛼) = 38.1°

Il valore della tensione media è pari a:

𝑇𝑚𝑒𝑑 =𝐻

𝑐𝑜𝑠 𝛾= 11563 𝑘𝑔

3) Coefficiente di sicurezza della fune

85

Il coefficiente di sicurezza della fune vale:

𝑠𝑎𝑓𝑒𝑡𝑦 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 =𝑅

𝑇𝑚𝑎𝑥=

883

137.14= 6.4

Pertanto la fune soddisfa i requisiti di resistenza imposti dalle normative europee.

4) Spinta della fune sui sostegni a valle e a monte

La spinta a valle di una fune con tensione 𝑇𝐴 = 11000 𝑘𝑔 ed angolo di inclinazione 𝛼 = −0.4° vale:

𝑆𝐴 = 2𝑇𝐴 sin90° − 𝛼

2= 15610 𝑘𝑔

La spinta a monte di una fune con tensione 𝑇𝐵 = 13985𝑘𝑔 ed angolo di inclinazione 𝛽 = 38.1° vale:

𝑆𝐵 = 2𝑇𝐵 sin90° − 𝛽

2= 12231 𝑘𝑔

5) La freccia massima della fune

È possibile ora calcolare la nuova freccia massima della fune:

𝑓𝑚 = 𝑝𝐿2

8𝑇𝑚𝑒𝑑+

𝑃𝐿

4𝑇𝑚𝑒𝑑 =

𝑝𝑙𝐿

8𝐻+

𝑃𝑙

4𝐻= 26.5 𝑚

6) La velocità massima a regime

Per garantire il sicuro e regolare svolgimento delle operazioni di imbarco e di sbarco, la velocità dei veicoli deve

essere adeguata alla categoria dei viaggiatori, alle modalità di imbarco e di sbarco, al numero dei posti offerti

da ogni singolo veicolo. L'intervallo di tempo fra il passaggio di due veicoli consecutivi deve, inoltre, risultare

86

sufficiente per consentire a ciascun viaggiatore di accedere agevolmente al punto d'imbarco alla partenza e di

disimpegnarsi tempestivamente dal veicolo all'arrivo.

Per l’impianto in questione possiamo scegliere una velocità di regime pari a :

𝑉𝑅𝐸𝐺 = 5 𝑚

𝑠

dato che la lunghezza di risalita è pari a 𝐿 = 1566.7 𝑚 , il tempo impiegato per una corsa di una cabina sarà

pari a:

𝑇 =𝐿

𝑉𝑅𝐸𝐺=

1524

5= 313,3 𝑠 (~5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑖)

Per poter trasportare l’intero carico di 6995 kg serviranno 4 cabine che partiranno a distanza di 5 minuti l’una

dall’altra.

7) Potenza massima ed il motore

Potenza massima

Per realizzare un trasporto per un dislivello di𝑑 = 499 𝑚, verso monte, di un certo carico P, supponendo, con

ottimismo, un rendimento totale 𝜂 = 0,6 è necessario fornire un’energia complessiva pari a :

𝐸 =𝑃 ∙ 𝑑

𝜂= 1454400 𝑘𝑔 ∙ 𝑚

dove:

𝜂= il rendimento complessivo dell’impianto

In precedenza, si è visto che il tempo impiegato per una corsa è pari a:

𝑇 =𝐿

𝑉𝑅𝐸𝐺=

1524

5= 304,8 𝑠 (~5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑖).

Supponendo di realizzare in un ‘ora 12 corse, l’energia occorrente (in un ora) è pari a:

𝐸𝑜𝑟𝑎 = 12 ∙ 𝐸 = 17452525 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 ∙ 𝑜𝑟𝑎

La potenza, ricordando che 1 kW = 102 𝐾𝑔 ∙ 𝑚/𝑠, sarà:

𝑁 =𝐸

3600 × 102= 47.5 𝑘𝑊

ed in CV:

87

𝑁(𝐶𝑉) = 𝑁 ∙

102

75= 64.63 𝐶𝑉

Questa sarebbe la potenza effettiva del motore se l’impianto funzionasse in continuità ed in modo uniforme per

tutta l’ora.

Supponendo che in un ora si sfrutti solo 2/3 della potenza appena calcolata, possiamo calcolare la potenza

necessaria come:

𝑁′ =𝐸𝑜𝑟𝑎

3600 × 102 ×

2

3= 31.68 𝑘𝑊

pari a:

𝑁′(𝐶𝑉) = 43 𝐶𝑉.

Negli impianti a moto discontinuo esistono sempre punte di potenza assorbita dovute alle forze d’inerzia, alle

variazioni di pendenza, ed altre cause. È necessario prevedere l’utilizzo di un motore con potenza superiore e

quindi la potenza di tale motore dovrà essere non inferiore ai 100 𝐶𝑉 .

Motore

Lo sforzo motore a regime disponibile all’asse della fune sarà:

𝐹 = 𝑇0 − 𝑡 = 𝑃𝑠𝑒𝑛𝛽 + 𝑎𝑡𝑡𝑟𝑖𝑡𝑖 𝑝𝑢𝑙𝑒𝑔𝑔𝑒 = 12549 𝑘𝑔 = 12.3 𝑘𝑁

con:

𝑇0= tiro massimo della fune;

𝑡 = tiro del ramo non teso;

attrito pulegge = 0,1* P.

Secondo le normative, il rapporto tra il diametro di avvolgimento D e il diametro della fune deve essere:

𝐷

𝑑> 40

Pertanto ricordando che il diametro della fune è di 30 mm, è stato ipotizzato un diametro della puleggia pari

a:

𝐷 = 1200 𝑚𝑚

La coppia motrice 𝐶𝑚 è pari a:

88

𝐶𝑚 = 𝐹 ∙

𝐷

2= (𝑇0 − 𝑡) ∙

𝐷

2= 7.38 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 (752.5 𝑘𝑔 ∙ 𝑚)

Scelta della motrice

La potenza richiesta, calcolata in precedenza è pari a:

𝑁 = 73.3 𝑘𝑊 (100 𝐶𝑉)

Il motore scelto in grado di soddisfare tale potenza meccanica è un motore trifase a singola polarità (2 poli), con

una velocità di 2980 giri/min.

Il rendimento del motore elettrico moderno può essere pari a 𝜂𝑚 = 0,955, e quindi è possibile ricavare anche la

potenza elettrica assorbita 𝑃𝑤:

𝑃𝑤 =𝑁

𝜂𝑚≅ 49.7 𝑘𝑊

Dalla velocità massima di regime pari a 5𝑚/𝑠 è possibile ricavare la velocità massima di rotazione della

puleggia:

𝜔𝑝𝑢𝑙𝑒𝑔. =𝑉

𝑅= 8.3

𝑟𝑎𝑑

𝑠 ;

ovvero:

𝑛𝑝𝑢𝑙𝑒𝑔. =60 ∙ 𝜔

2𝜋= 79.5

𝑔𝑖𝑟𝑖

𝑚𝑖𝑛 ;

Tra il motore e l’argano sarà necessario l’inserimento di un riduttore, il cui rapporto di riduzione 휀 è dato dal

rapporto tra il valore della velocità angolare 𝜔𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟𝑒 del motore in ingresso e quello 𝜔𝑎𝑟𝑔𝑎𝑛𝑜 in uscita:

휀 =𝜔𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟𝑒

𝜔𝑎𝑟𝑔𝑎𝑛𝑜=

2980

79.5= 37,5

8) Puleggia

Dimensionamento del diametro Il rapporto di avvolgimento, cioè il rapporto tra il diametro del tamburo o puleggia e il diametro della fune,

nel caso di nuove progettazioni, deve essere quello indicato dalla norma UNI ISO 4308 in funzionedella

classe dei meccanismi.

89

La durata delle funi che lavorano su pulegge e tamburi dipende in modo determinante dal corretto

dimensionamento delle gole e dalla giusta scelta del rapporto tra il diametro della fune e quello delle pulegge

e del tamburo di avvolgimento, normalmente chiamato rapporto di avvolgimento.

Come già precedentemente indicato il rapporto tra il diametro di avvolgimento D e il diametro d della fune

deve essere pari a:

𝐷

𝑑> 40 ;

pertanto ricordando che d=30 mm, è stato ipotizzato un diametro della puleggia pari a:

𝐷 = 1200 𝑚𝑚

Dimensionamento gole L’appropriato dimensionamento delle gole delle pulegge è determinante poiché gole insufficienti o eccessive provocano una deformazione della struttura della fune pregiudicandone la durata. Il diametro della gola deve essere di circa l’8% maggiore del diametro nominale della fune adottata.

con: d = 30 mm(diametro della fune);

g = diametro gola= 1,08 *d= 32.4mm

h = 1,5÷2,5 d = 76.5 mm

α = 40°÷60°

La pressione di contatto è l’indice più indicativo per la durata di vita di una fune di sollevamento.

α

h

g

d

90

Essa influisce sulla resistenza alla fatica, sull’usura dei fili e delle pulegge, sugli attriti interni, sullacontinuità

della pellicola d’olio tra i fili.

La pressione di contatto è data da:

𝑝 =200∗𝑃

𝜆∗𝑑∗(𝐷−𝑑)= 130.2 kg/cm2

P= Tmax=13714daN (trazione fune in daN);

D=1200 (diametro primitivo puleggia in mm);

d= 30(diametro fune in mm);

λ = 0.8 coefficiente di forma tabellato in funzione del tipo di fune.

La fune portante scelta(compattata) corrisponde a quella SNH riportata in tabella.

La pressione specifica per l’acciaio C40 risulta 145 daN > 130.2 daN prima ricavata.

Aderenza della fune traente sulla puleggia motrice

Per assicurarsi che la fune non possa slittare nella gola della puleggia motrice, deve verificarsi che, anche nelle

fasi transitorie di avviamento e di frenatura, sia:

𝑇0

𝑡≤ 𝑒𝑎𝛿

dove:

91

- 𝑇0/𝑡 è il rapporto fra gli sforzi di trazione "T" nel ramo più teso e "t" nel ramo meno teso della fune,

all’ingresso ed all’uscita della puleggia motrice, nelle condizioni più sfavorevoli per carico, avviamento

e frenatura, sia in salita che in discesa;

- "𝑒"alla base dei logaritmi Neperiani = 2,718;

- 𝛿 = 114° = 2 𝑟𝑎𝑑 è l'angolo di avvolgimento della fune portante-traente sulla puleggia motrice in

radianti;

- "𝑎" è il coefficiente di aderenza fra fune portante-traente e gola della puleggia motrice.

Per il coefficiente di attrito fra fune portante-traente e gola della puleggia motrice, rivestita con guarnizione in

gomma o con altro materiale di analoghe caratteristiche di attrito, si assume convenzionalmente il valore di

0,20. Valori più elevati possono essere ammessi solo per rivestimenti con materiali speciali.

𝑇0

𝑡≤ 𝑒𝑎𝛿 →

12039

11000≤ 𝑒0,2∙2 → 1,09 ≤ 1,49

Pertanto non si verifica slittamento tra fune e puleggia.