1 Il lavoro Lavoro fatto da una forza costante su un percorso rettilineo: d F L < 0 d F L > 0 d F L...

1

Il lavoro

dFFddFW ||cos

Lavoro fatto da una forza costante su un percorso rettilineo:

d

F

L < 0

d

F

L > 0

d

F

L = 0

[L]=[F][L]=[ML-2T -2] S.I.: 1 Joule = 1 m2 kg s-2

2

zzyyxx dFdFdFdFW

Il lavoro

È una grandezza scalare Indipendente dalla scelta degli assi coordinati

È una grandezza scalare Indipendente dalla scelta degli assi coordinati

dFFddFW ||cos

3

Applicazione: Lavoro ed energia

Una persona traina una cassa di 50kg per 40 m lungo un pavimento orizzontale applicando una forza costante Fp=100N e agente con un angolo di 37o. Il pavimento è scabro ed esercita una Fatt=50N. Determinare il lavoro compiuto da ciascuna forza e il lavoro totale.

jNiNjsenFiFF ppp

2.608.79cos

id

m40

iNFatt

50

jNjmgP

490

jNgmFN

490

zzyyxx dFdFdFdFW

JWWW attptot 1192

JdFW xpxp 3192

JdFW xattxatt 2000

0 dPWP

0 dFW NFN

4

Il Lavoro

Se la forza non è costante e/o il percorso non è rettilineo, possiamo:

dividere il percorso in tratti infinitesimi in modo da poter considerare il tratto rettilineo e la forza costante su quel tratto

Calcolare il lavoro su ciascuno dei tratti Sommare tutti i lavori calcolati sui singoli tratti

sddW

F

i

f f

i

sdW

F

5

f

i

f

i

f

i

f

i

sdsdsdsdW

321321 FFFFFF

Il lavoro è pari alla somma dei lavori delle singole forze agenti, ciascuno dei quali può essere: positiva, negativo oppure nullo

Nel caso di più forze:

Il Lavoro

6

Il lavoro della forza elastica

A B

ikxFk

Posizione di riposo

F k si oppone alla forza applicata (f. di richiamo) in verso tale da riportare la molla nella posizione di riposo

F p Forza esterna applicata

kF

kF

7

B

A kAB dFW r

02

1d 22 AB

B

AAB xxkxxkW


AB

kF

kF

8

Il lavoro dipende dal percorso??

x

y

A

B

21

B

A

rdFL

1

B

A

rdFL

2

21 LL

P

9

Il lavoro della forza peso

2 B

AAB dW2,

rP

jP

mg

B

A

B

A

B

AzyxAB dymgmgdydzPdyPdxPW2, 2, 2,

AByyAB mgymgyymgW B

A

ABPBPBPB

APAPAP

yymgmgW

mgW

180cos

090cos

dP

dP

ABPBAPAB yymgWWW

1

kjir

dzdydxd

A x

yB

21

P

10

ABAB mgymgyW

mgyU

UUUW ABAB

Finale Iniziale Una forza si dice conservativa se:

il lavoro eseguito dalla forza sul punto materiale P mentre si sposta dalla posizione A alla posizione B dipende soltanto dalla posizione iniziale e dalla posizione finale non dal percorso effettuato, dalla traiettoria seguita per andare da A a B, né da alcun altro parametro come la velocità, il tempo impiegato.

Allora esiste una funzione U, energia potenziale della posizione del punto materiale P

U(P) = U(x,y,z)tale che il lavoro fatto dalla forza conservativa quando il punto materiale si sposta tra due punti qualsiasi, A e B, è dato dalla differenza tra i valori che la funzione U assume nel punto iniziale A meno quello che assume nel punto finale B.

Per l’energia potenziale non esiste una espressione generale, ma essa dipende dalla particolare forza conservativa cui essa si riferisce.!!

Le forze conservative e l’energia potenziale

11


B

A KAB dFW r

A B j

kxFK

ABB

AAB xxkxxkW 22

2

1d

2

2

1kxU

UUUW ABAB La forza elastica è una forza conservativa

12

Il Lavoro delle forze conservative

B

A

B

A

AB rdFrdFW2,1,

02,1,

B

A

B

A

rdFrdF

02,1,

A

B

B

A

rdFrdF

0 rdF Il lavoro effettuato da una forza

conservativa su un percorso chiuso è nullo

13

Ancora sull’energia potenziale

WP1P2 U U(P1) U(P2 )

WPo P U U(Po) U(P)

Considerando i punti Po, iniziale, e P, il generico punto dello spazio:

U(P ) U(Po ) WPoP U(Po )

F d

r

Po

P

Per derivare la funzione energia potenziale occorre:

Fissare arbitrariamente un punto dello spazio Po.

Assegnare un valore arbitrario all’energia potenziale del punto Po.

Calcolare il lavoro effettuato dalla forza da Po al generico punto P lungo una qualsiasi traiettoria che connetta Po con P.

Non è necessario specificare la traiettoria

costante

14


Per esempio per la forza peso:

Un punto arbitrario dello spazio Po. Assegnare un valore arbitrario all’energia

potenziale in Po. Calcolare il lavoro effettuato dalla forza peso

da Po al generico punto P lungo una qualsiasi traiettoria che connetta Po con P.

h

U(P0)=0

U(P ) U(Po ) WPoP U(Po )

F d

r

Po

P

)( P

P oo

yymgdrF

mghyymgPU )()( 0

15

Il lavoro della forza di attrito

12,,,

2

11

2

11

2

1121

mgldsmgmgdsdW d

P

Pd

P

P d

P

P attPP

rF

imgiNF ddatt

costante

Il lavoro della forza di attrito dinamico non dipende solo dal punto iniziale e da quello finale, ma anche dalla lunghezza della traiettoria scelta

Su un percorso chiuso il lavoro è diverso da zero

La forza di attrito dinamico non è conservativa

La forza di attrito statico fa un lavoro è nullo

16

Teorema dell’energia cinetica

dsmadsFsddW tt

F

mvdvvdtdt

v d

dsmds

dm

vdv B

A

B

AmdW

Si definisce Energia cinetica della particella

2v2

1mEk

F

sdA

B

A2

B2 v

2

1v

2

1 W mm

Teorema delle forze vive

17

kEW

[Ek]=[M][v2] S.I.: 1 m2 kg s-2 = 1 Joule

Teorema delle forze vive: la variazione dell’energia cinetica subita dal punto materiale quando si sposta di r risulta uguale al lavoro compiuto dalla forza lungo il percorso.

Teorema delle forze vive: la variazione dell’energia cinetica subita dal punto materiale quando si sposta di r risulta uguale al lavoro compiuto dalla forza lungo il percorso.

L’energia cinetica rappresenta la capacità di un corpo a compiere del lavoro cioè di trasferire movimento ad altri corpi. La corrente del fiume fa muovere le macine di un mulino!!

L’energia cinetica rappresenta la capacità di un corpo a compiere del lavoro cioè di trasferire movimento ad altri corpi. La corrente del fiume fa muovere le macine di un mulino!!

18

l’energia cinetica è una grandezza che caratterizza il punto materiale: dipende dallo stato di moto del corpo

I corpi possono scambiarsi energia: il lavoro rappresenta un modo attraverso cui i corpi si scambiano energia.

Se la risultante delle forze esterne compie un lavoro positivo (forza motrice, concorde con il moto), allora Ek del punto materiale aumenta. Ossia:

l’ambiente esterno ha compiuto un lavoro sul punto materiale il punto materiale ha acquisito Ek dall’ambiente esterno.

Se la risultante delle forze esterne compie un lavoro negativo (forza resistente, opposta al moto), allora Ek diminuisce. Ossia:

il punto materiale ha effettuato del lavoro sull’ambiente esterno

a spese della sua energia cinetica

Energia-Lavoro: riassumiamo

kEW

19

Conservazione dell’energia

Se agiscono solo forze conservative:

kEW

UW +

0 UEk

La somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale, ET (energia meccanica) di un punto materiale che si muove sotto l’azione di forze conservative resta costante durante il moto: cioè ET si conserva.

La somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale, ET (energia meccanica) di un punto materiale che si muove sotto l’azione di forze conservative resta costante durante il moto: cioè ET si conserva.

20

Se agiscono anche forze non conservative:

kEW

UWc

+

cnc WWW

nck WUE

L’energia meccanica non resta costante ma la sua variazione è pari al lavoro delle forze non conservative.

L’energia meccanica non resta costante ma la sua variazione è pari al lavoro delle forze non conservative.

Conservazione dell’energia generalizzata

21

(Ec + U) Punto generico = (Ec + U) Punto più alto

Nel punto più basso, la velocità è massima:

)cos(cos2v 0 gl

)cos1(2v 0 glo

E

00

)cos)(cos2(2

1v

2

10

2 glmmEc

U=mgl(1-cos )

Ec + U = costante

Applicazioni : il pendolo.

02 cos1v

2

1cos1 mglmmgl

22

Piano inclinato

La forza spostamento

non produce lavoro

N

ET si conserva !!

Punto di partenza

Punto di arrivo

Punto generico

EC = 0 U=mgho

EC = ½ mVf2

U = 0

EC = ½ mV 2 U = mgh

mgh0 = ½ mVf

2 Vf = 02gh

23

Forza elastica

F = -Kx Forza conservativa

ET Si conserva!!2

2

1kxU

0x 0x0

Punto più a destra

Punto più a sinistra

Punto centrale

Ec = 0

U = ½ k X02

Ec = 0

U = ½ k X02

Ec =1/2 mVo2

U = 0

mkxxmkmkx /v/vv2

1

2

10

20

20

20

20

24

Forza elastica

Punto generico

Oppure

2v2

1mEC 2x

2

1kU

20

22 x2

1v

2

1x

2

1kmk 2

022 v

2

1v

2

1x

2

1mmk

25

Il giro della morte

Da quale altezza si deve partire per fare correttamente il giro?

Se il corpo parte da un’altezza generica h, alla base V = gh2ghB 2v Bmv2/1

2

mghPerché il corpo possa arrivare in C

mghmE BB v2/1 2

0BU

cv2/1 mEc RmgUc 2

2

Attenzione:vc 0!

26

Il giro della morte

VC 0

0N Altrimenti il corpo si stacca!!

Nel punto CCondizione limite:

N si annulla in C.

Conservazione dell’energia tra A e C

R

mNmg

2v

R

mmg

2Cv

RgCv

Rmgmmgh 2v2

1 2C RhRmgmRgmgh

2

52

2

1

27

Data un forza esegue un lavoro W in un intervallo di tempo t, si definisce potenza media nell’intervallo t il rapporto :

Pmedia W

t La Potenza sviluppata dalla forza all’istante t (potenza

istantanea), si ottiene facendo il limite per t che tende a zero:

P dW

dt

dW F d

r F

v dtP

dW

dt

F dr

dt

F

dr

dt

F

v

Le dimensioni [P] = [ML2T-2][T-1] = [ML2T-3]Nel SI si misura in watt (W)

Kilovattora come unità di misura del lavoro1kwattora=3.6MJ

Potenza e lavoro

28

UW

dUrdFdUdL

drdUFT /

La componente della forza nella direzione dello spostamento, si ottiene derivando la funzione U, rispetto alla coordinata relativa.

La componente della forza nella direzione dello spostamento, si ottiene derivando la funzione U, rispetto alla coordinata relativa.


Per le forze conservative

dUdrF

dUFdr

T cos

In generale U(x,y,z)

Esempio: U=mgz


ixUFx

)/(

jyUFy

)/(

kzUFz

)/(

kzUjyUixUgradUF

)/()/()/(

kmgkzUFz

)/(

Forza peso U=mgzPercorso 1 : L = 0

Percorso 2 : L = mg(h2-h1)

Percorso 3 : L = mg(h2-h1)

Superficie a Z = cost. si chiama

Superficie “equipotenziale”.

La forza è sempre diretta perpendicolarmente alla superficie equipotenziale diretta nel verso in cui essa decresce.La forza è sempre diretta perpendicolarmente alla superficie equipotenziale diretta nel verso in cui essa decresce.

gm

zz udZdUF ˆ)/(


Le curve di energia potenziale

Forza elastica U=1/2 KX2

KXdXdUF )/(

In generale

F=-dU/dX

se dU/dX=0

U=Max o min

0 0X2

KXF

0 0X1

KXF

32

Forze centrali

Si definisce forza centrale una forza agente in una certa regione dello spazio con le seguenti proprietà:

per qualunque posizione del punto materiale P che subisce la forza, la direzione della forza agente su P passa sempre per un punto fisso dello spazio, detto centro della forza centrale,

il suo modulo è funzione soltanto della distanza del punto materiale P dal centro stesso.

la forza di gravitazione universale.

Forza di Coulomb

r

F

x

y

O=S

P

F G

mM

r2u r G

mM

r2

r

r

F

1

4o

q1q2

r2u r

La forza elastica F kxi

33

rurFF

B

A

B

A

B

A

r dsrFsdurFsdrFL cos)()()(

La soluzione di questo integrale dipende solo da BA rr

,)( rBrA UUL

rU Energia potenziale

dr

Forze centrali: forze conservative

ru

34

Quantità di moto:

(dipende dal sistema di riferimento scelto)

Quantità di moto

v

mp F

Δpp’

p1

dtdp

F dt

pd

dt

Vdm

dt

VdmamF

Posiamo definire la forza anche come la rapidità di variazione con il tempo della quantità di moto

Se la m è costante

35

L’impulso e teorema dell’impulso

dt

pdF

pddtF

p

p

tpddtF

00

dtFpt

0

impulso di una forza: J

t

pdtFJ0

Teorema dell’impulso: l’impulso della forza risultante che agisce su una particella, durante un certo intervallo di tempo, è uguale alla variazione della quantità di moto della particella in quell’intervallo di tempo.

Teorema dell’impulso: l’impulso della forza risultante che agisce su una particella, durante un certo intervallo di tempo, è uguale alla variazione della quantità di moto della particella in quell’intervallo di tempo.

s

mkgJ

Conservazione della quantità di moto

37

dt

pdF

Se costante 0 pF

Conservazione della quantità di moto: in assenza di forze applicate la quantità di moto di un punto materiale è costante, ossia la quantità di moto si conserva.

Conservazione della quantità di moto: in assenza di forze applicate la quantità di moto di un punto materiale è costante, ossia la quantità di moto si conserva.

Momento Angolare

Moti Traslatori v

mp per un punto materiale

Conservazione della quantità di moto!!Conservazione della quantità di moto!!

Moti Rotatori

Momento angolare di una particella rispetto ad OMomento angolare di una particella rispetto ad O

prl

Sia xy il piano individuato dai vettori r e p

O

rpprl ||

Momento angolare

39

rpprrpsenl ||

O

pr

r braccio di p rispetto ad O ossia la distanza della retta di azione di p rispetto ad O

prl

l

Applicazione..

40

/sm kg62.0v|| 2 hmrpsenl

O

h

Una particella di massa 13.7 g è in moto alla velocità costante di 380 m/s. La traiettoria rettilinea della particella passa a distanza di 12 cm dall’origine. Si calcoli il momento angolare della particella rispetto all’origine.

Momento angolare ed il momento angolare torcente

41

prl

dt

prd

dt

ld )(

dt

pdrp

dt

rd

dt

ld

v

Frdt

ld

F

vm

dt

ldIl momento torcente totale rispetto al polo O delle forze agenti sulla particella è uguale alla variazione temporale del momento angolare della particella calcolato rispetto allo stesso polo.

Il momento torcente totale rispetto al polo O delle forze agenti sulla particella è uguale alla variazione temporale del momento angolare della particella calcolato rispetto allo stesso polo.

Teorema del momento dell’impulso

42

JrdtFrdtFrdtttt

000

)(

Fr

dt

d

Teorema del momento dell’impulso: la variazione di momento angolare è uguale al momento dell’impulso applicato al punto. Teorema del momento dell’impulso: la variazione di momento angolare è uguale al momento dell’impulso applicato al punto.

Se la forza è applicata per un tempo t breve r è praticamete costante:

Conservazione del momento angolare

43

dt

d

0 Fr

Fr

//

0F

0dt

d

costante

Il momento angolare di un punto materiale è costante nel tempo (ossia si conserva) se il momento delle forze è nullo. Il momento angolare di un punto materiale è costante nel tempo (ossia si conserva) se il momento delle forze è nullo.

44

Moto di un punto materiale sotto l’azione di una forza centrale

Il momento di una forza centrale valutato rispetto al centro della forza è nullo. La forza ed il vettore posizione sono paralleli o anti paralleli

dodt

M o

dodt

0 o cos tan te

Verso: La traiettoria viene percorsa sempre nello stesso verso: orario o antiorario

Modulo: La velocità areale è costante: il segmento che connette il centro della forza con il punto materiale spazza aree uguali in tempi uguali.

Il momento della quantità di moto rispetto al centro della forza deve rimanere costante

Direzione: Il moto è un moto piano

F

r

y

O x

v

r (t)

y

O x

v (t)

r (t t)

v t t

1 Il lavoro Lavoro fatto da una forza costante su un percorso rettilineo: d F L < 0 d F L > 0 d F L...

Documents

Transcript of 1 Il lavoro Lavoro fatto da una forza costante su un percorso rettilineo: d F L < 0 d F L > 0 d F L...