Equazioni di Maxwell

Equazioni di Maxwell

dtd

isdBAdB

dtd

sdEq

AdE

Eooo

B

o

F+=×=×

F-=×=×

òò

òò

eµµ

e

0

Sintetizzano la fisica dei campi elettromagneticiInsieme alla forza di Lorentz sulle particelle cariche:

danno una descrizione completa dell’elettromagnetismo

F= q E+ v×B

( )

Legge di Gauss per il campo elettrico / magnetico

uN

uN

ΦE = E∫ ⋅dA

=qintεo

Non esistono in natura “monopoli” magneticiverificato anche a livello atomico

Espresso matematicamente mediante la legge di Gauss:

ΦB = B∫ ⋅dA

= 0

E

E

E

E

B

B

B

B

Campo B ortogonale al piano, uniforme crescente nel tempo:

Campo E ortogonale al piano, uniforme crescente nel tempo:

La variazione di un campoimplica la presenza dell’altro

E∫ ⋅ds

= −

dΦBdt

B∫ ⋅ds

= εoµo

dΦEdt

B∫ ⋅ds

= µo i+εo

dΦEdt

$

%&

'

()

i = corrente concatenata

Equazioni di Maxwell

dtd

isdBAdB

dtd

sdEq

AdE

Eooo

B

o

F+=×=×

F-=×=×

òò

òò

eµµ

e

0

In forma integrale non forniscono un legame locale(punto per punto) fra carica e campo elettrico e tra corrente e campo magnetico

2

1

divergenza

z

y

x

(x, y, z) dydx

dz

Applichiamo la legge di Gauss a un elemento infinitesimo di volume dV:

dΦ1 + dΦ2 =∂Ex∂x

dxdydz

analogamente:

dΦ3 + dΦ4 =∂Ey∂y

dxdydz

dΦ5 + dΦ6 =∂Ez∂z

dxdydz

dΦTOT =∂Ex∂x

+∂Ey∂y

+∂Ez∂z

#

$%

&

'(dV

dΦE = E∫ ⋅dA

= dΦnn∑

divE=∇⋅E

Legge di Gauss

=qεo=ρεodV

* si veda la slide seguente

d!" = $ %, ', ( ) *,⃗"= - $- %, ', ( *' *(d!. = $ % + *%, ', ( ) *,⃗.= $- % + *%, ', ( *' *(

d!"+ d!. = $- % + *%, ', ( − $- %, ', ( *' *(

1$-1% *%

d!"+ d!. =1$-1% *% *' *(

divergenza

divE=∇⋅E=∂Ex∂x

+∂Ey∂y

+∂Ez∂z

=ρεo

operatore nabla ∇=∂∂xi+∂∂y

j+∂∂zk

divergenza

Teorema della divergenza:

il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa è uguale all’integrale della divergenza del campo vettoriale esteso al volume racchiuso dalla superficie.

divE=∇⋅E=∂Ex∂x

+∂Ey∂y

+∂Ez∂z

=ρεo

divB=∇⋅B=∂Bx∂x

+∂By∂y

+∂Bz∂z

= 0

Equazioni di Maxwellin forma differenziale

∇⋅E=ρεo

∇⋅B= 0

Specificano il legame locale fra i campi elettrico e magnetico e le loro sorgenti

Sono equazioni differenziali che fissano le condizioni per le derivate spaziali dei campi

divergenza

La divergenza di un campo vettoriale è la descrizione matematica della tendenza del campo a “fuoriuscire” da un punto.

divE > 0

divE < 0

divB = 0

Le linee di forza del campo magnetico non divergono mai da qualche punto:nessuna “carica” magnetica è stata mai scoperta

divergenza: significato “fisico”

∇⋅B= 0 ∇

⋅E=ρεo

La divergenza di un campo vettoriale è la descrizione matematica della tendenza del campo a “fuoriuscire” da un punto.

Le linee di forza del campo magnetico non divergono mai da qualche punto:nessuna carica magnetica è stata mai scoperta

rotore• Calcolo della circuitazione di B

lungo il cammino chiuso infinitesimo giacente nel piano xy:

x

y

z

dxdyyB

xB

sdB xyò ÷÷ø

öççè

涶

-¶

¶=×

>1

L 2

(x,y) (x+dx,y)

(x+dx,y+dy)(x,y+dy)<3

V4P(x, y)

!" # $&⃗ = " )̅, +, , # $)-⃗ + " ) + $), /+, , # $+0⃗-" )̅, + + $+, , # $)-⃗ − " ), /+, , # $+0⃗

= −"2 )̅, + + $+, , + "2 )̅, +, , $) + "3 ) + $), /+, , − "3 ), /+, , $+

− 45643 dy7"37) dx

= 45842 −45643 $)$+

1

2

(x,y) (x+dx,y)

(x+dx,y+dy)(x,y+dy) 3

4P(x, y)

rotore• Per la legge di Ampère-Maxwell:

e analogamente orientando il rettangolo nel piano yz otterremmo:

∂By∂x

−∂Bx∂y

#

$%

&

'(dxdy

= µoi+µoεodΦEdt

= µo j⋅dA+εo

d E⋅dA

( )dt

#

$

%%

&

'

((= µo jz +εo

∂Ez∂t

#

$%

&

'(dxdy

∂Bz∂y

−∂By∂z

#

$%

&

'(dydz = µo jx +εo

∂Ex∂t

#

$%

&

'(dydz

∂Bx∂z

−∂Bz∂x

#

$%

&

'(dxdz = µo jy +εo

∂Ey∂t

#

$%

&

'(dxdz

Possiamo esprimere vettorialmente questa equazione mediante le componenti del vettore rot B :

nel piano xz :

rotore

rot B=∇×B=∂Bz∂y

−∂By∂z

%

&'

(

)*i+∂Bx∂z

−∂Bz∂x

%

&'

(

)* j+∂By∂x

−∂Bx∂y

%

&'

(

)*k

rot B= µo j+ε oµo

dE

dtEquazione di Ampère-Maxwell in forma differenziale

=#⃗ $⃗ %&&'

&&(

&&)

*+ *, *-

Teorema di Stokes

La circuitazione di un campo vettoriale lungouna linea chiusa è uguale al flusso del rotoredel campo attraverso una qualunquesuperficie avente per contorno la linea.

Considerando un generico percorso chiuso e immaginando di suddividerloin tanti percorsi chiusi infinitesimi, con circolazione via via più piccola, che possiamo considerare piana:

Rotore: significato fisicoIl rotore di un campo vettoriale misura la tendenza del campo a “circolare” attorno a un punto.

rotB > 0

rotB = 0

dE/dt

B

0¹Brot

corrente stazionaria

Ad esempio, nel caso di un fluido in movimento il rotore della velocità in un puntodà una misura della vorticosità del moto

analogamente per il campo elettrico• Campo elettrostatico:

dB/dt

E

0¹Erot

In presenza di campo B variabile:

rot E = 0

campo E indotto

Il campo elettrostatico è conservativo

rot E= −

dB

dt

Equazioni di Maxwellin forma differenziale

∇⋅E=ρεo

∇×E= −

∂B

∂t

∇⋅B= 0 ∇

×B= µo j+εoµo

∂E

∂t