1. COSA SI INTENDE PER RUMORE 2020 Il fenomeno è legato...

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1. COSA SI INTENDE PER RUMORE

Il fenomeno è legato all’osservazione di fluttuazioni delle tensioni o correnti all’uscita di amplificatori o ai capi di componenti passivi quando non vi sia presente una forma di eccitazione, nota, causale, applicata.

V0

V0

Da dove proviene questo segnale? Nel caso di dispositivi passivi sappiamo che le cariche non possono muoversi senza che nessuno gli dia energia.

Di conseguenza le cariche elettriche possono comunque muoversi in modo casuale nei materiali assorbendo energia “termica” dall’ambiente. In effetti il moto di “deriva” dovuto al campo elettrico applicato per esempio ad un resistore risulta sovrapposto al moto di origine termica.

In realtà esiste una sorgente ben precisa di energia che è una fonte inesauribile: l’ambiente. La temperatura che si misura, o constata, in un ambiente fornisce un’indicazione dell’energia presente nell’ambiente.

Un’altra forma di energia proviene dalla rete di polarizzazione dei circuiti. L’energia assorbita dalle cariche dalla rete di polarizzazione può servire da sonda per mettere in evidenza fenomeni statistici fastidiosi altrimenti non rilevabili (esempio se il numero dei portatori varia in modo casuale solo un flusso di corrente potrebbe metterne in evidenza il numero).

Allo stesso modo l’energia assorbita dal campo elettrico di polarizzazione può essere “utilizzata” in modo non appropriato per urti, intrappolamenti, ecc che determinano una variazione della carica pienamente disponibile alla conduzione. Si pensi ad esempio all’attraversamento di una giunzione. Vi è una probabilità finita che vi sia riflessione.

lunedì 6 aprile 2020

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………. cosa si intende per rumore 2

Da questa fenomenologia possiamo subito ricavare una proprietà importante:

Supposto che il dispositivo sia a temperatura uniforme, vale a dire che non vi siano gradienti termici presenti ai suoi capi, il rumore generato deve essere completamente isotropo, ovvero deve avere valore medio nullo.

La stessa situazione vale per gli effetti dovuti al campo elettrico. Ad esempio mediamente la quantità di carica che attraversa una barriera fluttua in modo arbitrario attorno al valore medio misurato ed aspettato.

Ovviamente queste quantità sono estremamente piccole. Ma quando si devono manipolare segnali molto piccoli tali effetti possono diventare tangibili.

Come si possono trattare questi fenomeni? La loro forma è poco definita nel dominio del tempo. Però l’analisi nel dominio della frequenza consente certamente di risolvere le cose in modo agevole.

Segnale, ovvero linea di base ingrandita, nel dominiodel tempo Segnale trasformato

nel dominio della frequenzaSegnale trasformato nel

dominio della frequenza e ‘mediato quadraticamente’: la forma rimane inalterata, ma meglio definita

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2. TEORIA DEL RUMORE

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x (t,1)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-3

-2

-1

0

1

2

3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x (t,2)

x (t,i)

Si abbia una schiera di dispositivi ‘uguali’, una produzione, che presentino del rumore alle loro uscite.

Il rumore è una funzione casuale.

In questo modo abbiamo costituito quello che viene definito un sistema ‘STOCASTICO’, vale a dire un sistema di funzioni casuali X(t,ξ), tale che per ogni valore di ξ abbiamo una funzione dipendente dal tempo, mentre fissato t si ottengono variabili casuali in funzione di ξ.In sostanza abbiamo un sistema di funzioni casuali.

Tutto ciò che ci interessa deriva dalla statistica del sistema stocastico limitato al primo ed al secondo ordine, cioè valore medio e varianza. Siamo poi fortunati perché il valore medio ci aspettiamo essere nullo.

Al primo ordine abbiamo:

Ovvero P è la probabilità che dato un valore di x all’istante t tutte le funzioni dell’insieme stocastico siano minori del valore x: la probabilità è una probabilità di insieme.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

X

t

Per ognuna delle curve.

F(x; t) = P x t, ξ ≤ x ∀ ξ

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……… teoria del rumore 2

Nel caso di rumore elettronico un elettrone in moto urta o si muove in modo scorrelato/indipendente dagli altri elettroni e la sua probabilità di compiere un’azione ha poca dipendenza dal suo stato (urto) precedente. Vale a dire che pur di considerare un intervallino di tempo sufficientemente grande si determina una scorrelazione/indipendenza individuale.

Quindi se studiamo il comportamento di 100 elettroni, o 1 elettrone preso in 100 intervalli di tempo sufficientemente lontani i risultati sono sostanzialmente simili.

Un processo si definisce ergodico quando la statistica di insieme coincide con quella del singolo….

La statistica che si dovrebbe costruire attorno a F(x;t) è una statistica di insieme. Molto laboriosa anche dal punto di vista sperimentale perché occorrerebbe eseguire la misura su molte unità differenti prima di trarre una valutazione del comportamento del Sistema.

Fortunatamente le cose si semplificano nel nostro caso perché il rumore elettronico si presenta come un processo stazionario ed ergodico per il quale si può dimostrare che la statistica legata ad un singolo elemento dell’insieme è del tutto simile a tutti gli altri elementi dell’insieme.

Cerchiamo di capirne la ragione in modo qualitativo.

Un processo è stazionario quando la sua statistica non dipende dal tempo, ovvero F(x;t)=F(x;t+τ) ∀τ, ovvero F(x;t)=F(x;0).

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Vediamo ancora cosa accade nel caso di un elettrone che al proprio moto ordinato nella direzione del campo elettrico applicato si sovrapponga il moto disordinato dovuto all’agitazione termica, ovvero agli urti che l’elettrone ha con gli ioni del reticolo che oscillano attorno alla loro posizione di equilibrio.

Supponiamo ora di considerare una resistenza a conduttore lunga. Avremo che un elettrone che la attraversa avrà che la probabilità di effettuare urti sarà circa la medesima in ogni punto, se il materiale fosse omogeneo.

Se ora dividessimo la resistenza in più parti e collegassimo in serie le parti avremo che la probabilità di urto che avrebbe l’elettrone nell’attraversare le parti sarebbe la medesima.

R

R/3 R/3 R/3

Per cui studiando la statistica di una qualsiasi delle parti sarebbe possibile applicarla a qualsiasi altra. Quindi abbiamo che il processo lo possiamo considerare assimilabile ad un comportamento ergodico.

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Ora, a che statistica siamo interessati in particolare per il nostro rumore?

Consideriamo, quindi, un singolo dispositivo ξ e chiamiamo X(t)=x(t,ξ).Definiamo:

R(τ) è l’auto-correlazione per una singola funzione. Vale che:

)X(t = limT→∞

12T �

−T

T

X(t)dt

R(τ) = limT→∞

12T �

−T

T

X(t)X(t + τ)dt

R(0) = limT→∞

12T �

−T

T

X(t)X(t)dt = X t 2

Quindi, valore medio e varianza. Sappiamo che il valore medio del nostro rumore è nullo.

Quello che importa è perciò la varianza, che fornisce la misura della fluttuazione del rumore attorno allo zero. Infatti nella varianza si sommano i contributi quadratici proprio per questa ragione. Ci fornisce il contenuto energetico della nostra funzione.

La funzione di autocorrelazione ci fornisce anche quanto il processo stesso ha strascichi nel tempo.

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……… teoria del rumore 5Un altro effetto matematico utile ed interessante è che il rumore è:

UN PROCESSO GOVERNATO DA UNA DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA’ GAUSSIANA (proprietà tipica di sistemi governati da un grande numero di variabili casuali, ognuna avente la stessa densità di probabilità):

Riassumendo, è quasi sempre soddisfatto che l’auto-correlazione si annulla per tempi sufficientemente grandi, ovvero R(τ)→0 per tempi sufficientemente grandi. In soldoni R(τ) si mantiene diverso da zero solo per τ prossimo a zero, perché è sempre possibile trovare eventi così lontani nel tempo che abbiano correlazione trascurabile. Per esempio nel rumore termico gli eventi sono sempre indipendenti per qualsiasi τ≠0, per cui R(τ)=aδ(τ).

Il rumore elettronico può essere considerato ergodico e le proprietà statistiche possono essere desunte con buona approssimazione dallo studio del comportamento di un singolo dispositivo:

Si può dimostrare, in modo ovvio, che la quantità non è nient’altro

che la σ2, o valore RMS (Root Mean Square), della Gaussina:

12πσ2

e− ⁄v 2σ 2

X t 2

X t 2 = XRMS2 = σ2

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RIASSUMENDO:

Abbiamo realizzato tanti dispositivi tutti simili, una produzione;

Misuriamo il rumore di un dispositivo (vedremo tra poco come) e da lì ricaviamo le proprietà statistiche di tutta la produzione;

Invero, per sicurezza misuriamo il rumore di qualche dispositivo per accertarci dell’uniformità della produzione. Non succede mai che la produzione sia di dispositivi perfettamente uguali ed una certa dispersione può sempre essere presente.

12πσ2

e− ⁄v 2σ 2

Agendo nel dominio del tempo abbiamo un risultato che ci fornisce la caratteristica del nostro dispositivo:

Però abbiamo un parametro, la varianza o σ, che è molto utile all’utilizzatore, ma ci dice poco riguardo al comportamento effettivo, l’origine e l’interpretazione del rumore. Sarebbe difficile cercare di ottimizzare il comportamento del dispositivo agendo per esempio su un filtraggio opportuno, se non andando a tentoni.

Tutti questi segnali di rumore sono degli impulsi di tensione e di corrente che propagano nel nostro dispositivo. Perciò possiamo certamente trattarli alla stregua di normali segnali, come vedremo.

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Dobbiamo fare ancora un passo perché operare matematicamente nel dominio del tempo non risulta agevole: la sigma è solo un numero ed inoltre abbiamo visto che è più agevole risolvere le reti circuitali nel dominio della frequenza.

Dal momento che il rumore è un segnale che canonicamente è presente sempre, anche per tempi ‘negativi’, intesi come precedenti all’istante in cui si è fissata l’origine dei tempi, cioè quando iniziamo la misura, è conveniente sviluppare l’analisi utilizzando il formalismo di Fourier. Ciò è canonico perché le variabili di rumore sono sempre limitate all’infinito ed hanno valore medio nullo, ovvero possono essere considerate come sovrapposizioni di funzioni sinusoidali. Funzioni per le quali sappiamo costruire la TF (trasformata di Fourier).

L’analisi del rumore si basa su una proprietà fondamentale delle trasformate di Fourier: IL TEOREMA DI PARSEVAL:

Siano: f(t) e g(t) 2 generiche funzioni, anche complesse, aventi come trasformate F(jω) e G (jω).

Succede che:

�−∞

+∞

𝐟𝐟(𝐭𝐭)𝐠𝐠∗(𝐭𝐭)𝐝𝐝𝐭𝐭 = �

−∞

+∞

f(t)12π

�−∞

+∞

G∗(jω)e−jωtdωdt =

=12π

�

−∞

+∞

G∗(jω) �−∞

+∞

f(t)e−jωtdtdω =12π

�

−∞

+∞

G∗(jω)dω �−∞

+∞

f(t)e−jωtdt =

=12π

�−∞

+∞

F(jω)G∗(jω)dω

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Ovvero:

Nel caso particolare in cui f(t)=g(t):

L’uguaglianza sopra ci dice sostanzialmente che l’energia misurata nel dominio del tempo rimane conservata nel dominio della frequenza.

Ritorniamo al rumore per cercare di sfruttare questa proprietà.Visto che oramai possiamo considerare il singolo dispositivo per costruire la nostra statistica, consideriamo pure una singola funzione dell’insieme che chiamiamo x(t).

Naturalmente il rumore, essendo un fenomeno che si mantiene assorbendo costantemente energia dall’ambiente «maneggia» un’energia sostanzialmente infinita e l’integrale sopra non potrebbe che divergere: è una funzione limitata, ma che non si annulla a tempi infiniti, non ne esiste ragione.

Ha più senso considerare il valore quadratico medio limitato ad un intervallo di tempo finito.Cominciamo col costruire la funzione limitata all’intervallo (-T, T), così da renderla integrabile:

Sia quindi XT(jω) la trasformata di xT(t), che in questo caso esiste di sicuro:

�−∞

+∞

f(t)g∗(t)dt =12π �

−∞

+∞

F(jω)G∗(jω)dω

�−∞

+∞

| )f(t |2dt =12π �

−∞

+∞

| )F(jω |2dω = �−∞

+∞

| )F(jω |2df

xT(t) = x(t) )1(t + T) − 1(t − T

XT jω = �−∞

∞

xT t e−jωtdt = �−T

T

x(t)e−jωtdt

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Considerando la varianza, secondo la definizione vista è:

XT(jω) = �−T

T

x(t)e−jωtdt

)x2(t = limT→∞

12T �

−T

T

x2(t)dt = limT→∞

12T �

−T

T

xT2(t)dt

limT→∞

12T �

−T

T

xT2(t)dt = limT→∞

12T

12π �

−∞

+∞

| )XT(jω |2dω

= limT→∞

�

−∞

+∞

| )XT(jω |2

2T df

= �

−∞

+∞

limT→∞

| )XT(jω |2

2T df

Applichiamo ora il teorema di Parseval:

Questo passaggio non è ortodosso, ma si può dimostrare valido se la funzione è integrabile ed il limite esiste.

teo

In (-T, T) xT(t)=x(t)

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Si definisce:SPETTRO DI POTENZA DELLA VARIABILE ALEATORIA x(t) LA

FUNZIONE S(ω) data da:

Abbiamo subito che S(ω) è reale e pari:

Importante:

Ovvero:

In definitiva:

(NOTA: le relazioni ricavate sono approssimate.)

S(ω) = limT→∞

| )XT(jω |2

2T

S(ω) = limT→∞

)XT(jω 2

2T = limT→∞

)XT(−jω 2

2T = S(−ω)

R(τ) =appr. limT→∞

12T �

−T

T

x(t)x(t + τ)dt = limT→∞

12T �

−T

T

xT t xT t + τ dt =

= limT→∞

12T

12π �

−∞

+∞XT∗ jω XT jω ejωτdω=

=12π

�

−∞

∞

limT→∞

| )XT(jω |2

2Tejωτdω =

12π �

−∞

∞

S(ω)ejωτdω

)R(τ) ↔ S(ω :

)x2(t = R 0 =1

2𝜋𝜋�−∞

+∞

S ω d𝜔𝜔 = �−∞

+∞

S ω df = 2�0

+∞

S ω df = �0

+∞

Sb ω df

Sb(ω) = 2S(ω) Sb(ω) = rumore monolatero

S(ω) è la TF di R(τ)

ω=2πf

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3. MISURA DEL RUMORE

Come si misura il rumore all’atto pratico. Certamente non si effettua una misura che dura un tempo infinito. In genere si agisce così.

Ripartiamo dalla definizione di spettro:

Siccome lo spettro sappiamo che non deve dipendere da T, S(ω), per T sufficientemente lunghi, non deve dipendere da T e deve essere una funzione ben definita. Questo significa che |XT(jω)|2 per valori superiori ad un certo To, adeguatamente grande, dovrà diventare linearmente dipendente da T, ovvero 2T. Ovvero, considerando intervalli nT0 con n intero grande:

S(ω) = limT→∞

| )XT(jω |2

2T

S ω ≈)XnT0(jω 2

2nT0=

)STo(jω 2nT02nT0

Ora, XnT0(jω) la posiamo costruire a partire dalla sovrapposizione di n funzioni, definite nei rispettivi intervalli:

XnT(jω)=XT1 jω + XT2 jω + … + XTn jω

E quindi:

SnT(jω)=ST1(jω) + ST2(jω) + … + ST3(jω) +

+XT1 jω XT2∗ jω + … + XTk jω XTj∗ jω

T1 T2 T3

xT0i t = x t [1 t − iT0i −− ]1(t − (i + 1)T0i)

(Ti=T)

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……… misura del rumore 2

Quindi:

I termini incrociati non sono correlati e dipendono anche dai possibili impulsi di rumore che iniziano in un intervallo e terminano nel successivo. Tutti questi effetti vanno a zero se l’intervallo di misura è adeguatamente elevato:

S ω =�)SnT1(jω nT1

nT1=∑k STk(jω)

nT1


nT1

T1

XT1 XT2 XT3

Per cui:

S ω →n grande

�)SnT1(jω nT1nT1

=∑kSTk(jω)

nT1


nT1

Termini che →0 per n>>1

Scegliendo T1, di lunghezza adeguata risulterà:

S ω →n grande

∑k ST1k(jω)T1nT1

=∑k ST1k(jω)

n

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Un analizzatore di spettro opera in questo modo.

Si determina una finestra temporale adeguata a comprendere tutto lo spettro di bassa frequenza del rumore e si campiona il segnale in modo da potere includere tutte le frequenze elevate.

Si calcola la trasformata di Fourier in ogni intervallo e se ne calcola il modulo.

Si ripete questo processo un numero elevato di volte e se ne fa il valore medio:

S ω →n grande

1T∑k ST0k(jω)

n

Attenzione: la frequenza massima che a cui si è sensibili è legata la teorema del campionamento, la minima a 1/T.

In realtà il rumore di bassa frequenza è spesso presente ed è difficile non incorrere nel fenomeno del leakage e si deve stare attenti in proposito. Di norma si tagliano i primi punti a bassa frequenza per sicurezza.

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Rumore 16

Una seconda tecnica per misurare lo spettro di rumore usata per frequenze elevate è quella eterodina. Ad alte frequenze infatti risulta più difficile potere eseguire la FT digitale, quindi una tecnica analogica si presta meglio.

Analizziamo dapprima nel dominio del tempo.

Immaginiamo di avere la nostra variabile di rumore en(t), avente trasformata di Fourier En(ω) e spettro S( ω). Come sappiamo la possiamo pensare come una sovrapposizione di sinusoidi.

Moltiplichiamo la nostra sorgente di rumore per una sinusoide di frequenza ωo, e sfasamento casuale Φ. Usando la Trasformata di Fourier discreta per semplicità:

Vωo t ÷ en t sin ωot + Φ

= �k=−∞

∞

αkejωkt ∆ω sin ωot + Φ

= �k=−∞

∞

αkejωkt∆ωejωot+jΦ

2j−

e−jωot−jΦ

2j

= �k=−∞

∞αkj2

ej ωk+ωo t+jΦ∆ω− �k=−∞

∞αkj2

ej ωk−ωo t−jΦ ∆ω

F-1(En(ω))

ω−k = −ωk,α−k = αk∗

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Rumore 17

Siccome lo sfasamento ϕ è completamente casuale rispetto al rumore risulta che quanto abbiamo che da:

Perciò, variando la frequenza ωo si riesce a ricostruire lo spettro di frequenza del rumore.

Vωo t ÷ αk0 sin ϕ− 𝜃𝜃 ∆ω

Ha come fluttuazione ( ⁄1 (2𝜋𝜋)∫02𝜋𝜋 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛2 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ⁄1 2):

Vωo(t)2 ÷ αk02∆ω2

2 ÷ En(ωo)2∆ω2

2 ÷)2π2ToS(ωo

2π∆ω2

2=

)S(ωo

22Δf

Per cui otteniamo 2 gruppi di sinusoidi, uno a frequenza centrato a ωo, l’altro centrato in 0. Se ora questo segnale lo filtriamo con un filtro passa basso di larghezza di banda 2∆ω: 1(ω-∆ω)-1(ω+∆ω), o un filtro passa-basso a singolo polo, ci riduciamo a, supposto ωo-∆ω ≤|ωko|≤ωo+∆ω (tutte le frequenze esterne all’intervallo (ωo-∆ω, ωo+∆ω ) sono filtrate):

Vωo t ÷α−ko

j2 ej −ωko+ωo t+jϕ∆ω −αkoj2 ej ωko−ωo t−jϕ∆ω

=αko∗

j2 e−j ωko−ωo t+jϕ∆ω −αkoj2 ej ωko−ωo t−jϕ∆ω, αk0 = αk0 ejθ

= αk0e−j ωko−ωo t+jϕ−jθ − ej ωko−ωo t−jϕ+jθ

j2 ∆ω

= − αk0 sin ωko − ωo t − ϕ + θ ∆ω

≈ αk0 sin ϕ− θ ∆ω

Vωo t ÷ �k=−∞

∞αkj2

ej ωk+ωo t+jΦ∆ω− �k=−∞

∞αkj2

ej ωk−ωo t−jΦ ∆ωω−k = −ωk,α−k = αk∗

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Rumore 18

Vediamo l’analisi nel dominio della frequenza.

Il nostro rumore en(t) avrà FT En(ω). La sinusoide con cui moltiplichiamo en(t) la possiamo esprimere come:

Per cui:

Filtrando ora per un filtro passa basso che supponiamo del tipo 1(ω-∆ω)-1(ω+∆ω) :

sin(ωot + Φ) =ejωot+jΦ

2j −e−jωot−jΦ

2j

Vωo(ω) = �

−∞

∞

en(t)e−j ω−ωo t+jΦ

2j dt − �

−∞

∞

en(t)e−j ω+ωo t−𝑗𝑗Φ

2j dt

= ejΦ)En(ω−ωo

2j − e−jΦ)En(ω+ ωo

2j

)V𝜔𝜔o2 (t = limT→∞

12T �

−∞

∞

| )Vo(ω |2 )1(ω− Δω) − 1(ω + Δω df

= limT→∞

12T �

−Δω

Δω

| )Vo(ω |2df ≈ limT→∞

12T

)Vo(0 22Δf

Ora:

)Vωo(0 = ejΦ)En(−ωo

2j − e−jΦ)En(ωo

2j

= ejΦ)En∗ (ωo

2j − e−jΦ)En(ωo

2j , )En(ωo = )En(ωo ejθ

= )En(ωoejΦe−jθ − e−jΦejθ

j2 = )En(ωo sin Φ + 𝜃𝜃

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Rumore 19

)Vωo(0 = )En(ωo sin Φ + 𝜃𝜃

)V𝜔𝜔o2 (t ≈ limT→∞

12T

)Vo(0 22Δf

≈ limT→∞

12T

| )En(ωo |2Δf =)S(ωo

22Δf

Essendo la fase Φ distribuita casualmente ( ⁄1 (2𝜋𝜋)∫02𝜋𝜋 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛2 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ⁄1 2 ):

Quindi anche qui, variando ω0 si può ricostruire )Vo2(t sommando tutti i contributi.

gpessina Rumore 20

4. RUMORE NELLE RETI

Cosa succede alla risposta di un sistema al cui ingresso è applicata un segnale avente sovrapposto del rumore?

Prima di tutto va considerato che vale il principio di sovrapposizione. Il segnale, per esempio di tensione, lo possiamo vedere come:

en(t)

vs(t)

Quindi l’analisi di rumore può essere svolta in modo distinto da quella del segnale causale.

T(jω)eni(t)

eno(t)

Chiaramente vale che:

Dove:

Vale che:

�sno(jω) = T(jω)sniT(jω) dove eno(t) ↔ sno(jω) e eniT(t) ↔ sniT(jω

eniT(t) = eni(t) )1(t + T) − 1(t − T

| )sno(jω |2 = | )T(jω |2| )snT(jω |2

| )sno(jω |2

2T= | )T(jω |2

| )sniT(jω |2

2T

eno ω = T(jω)eni(ω)

In particolare, l’uguaglianza vale anche se eni(t) lo consideriamo limitato all’intervallo (-T, T):

gpessina Rumore 21

……… rumore nelle reti 2

Ovvero:

Il passaggi all’ultimo limite può essere dimostrato in modo rigoroso.

| )sno(jω |2 = | )T(jω |2| )snT(jω |2

| )sno(jω |2

2T = | )T(jω |2| )sniT(jω |2

2T

⇒⇒ limT→∞

| )sno(jω |2

2T = limT→∞

| )T(jω |2| )sniT(jω |2

2T

=Teo | )T(jω |2 lim

T→∞

| )sniT(jω |2

2T

⇓ ⇓

�Nno(ω) = | )T(jω |2Nni(ω

gpessina Rumore 22


Quindi:

Come si agisce nella pratica:

en1(t)eno(t)Dobbiamo valutare il rumore

dovuto alle sorgenti indicate:

T1vp1(t)vo1(t)Si mettono sorgenti di prova per

valutare le funzioni di trasferimento applicando il principio di sovrapposizione:

en2(t)

T2vn2(t)

vp2(t)

Sostituiamo ora alle sorgenti di prova le FT delle funzioni di rumore limitate al solito intervallo (-T, T):

Passiamo al modulo della funzione ottenuta:

)eno2 (t = �−∞

+∞

Nno(ω)df = �−∞

+∞

| )T(jω |2Nni(ω)df

�vo(jω) = T1(jω)vp1(jω) + T2(jω)vp2(jω

)von(jω) = T1(jω)en1T(jω) + T2(jω)en2T(jω

| )von(ω |2 = | )T1(jω |2| )en1T(jω |2 + | )T2(jω |2| )en2T(jω |2

+2Rea )T1(jω)T2∗(jω)en1T(jω)en2T∗ (jω

gpessina Rumore 23


Passando ad eseguire la media l’ultimo termine risulta diverso da zero se le due sorgenti sono dipendenti. Ciò non avviene mai quando le sorgenti appartengono a dispositivi differenti.

Nel caso di sorgenti presenti nello stesso dispositivo potrebbe manifestarsi una correlazione in certe condizioni particolari. Ma questo effetto è generalmente limitato e trascurabile.

Dividiamo tutto per 2T:

Facendo il limite per T→∞:

Ovviamente rimane valido che:

| )von(ω |2

2T = | )T1(jω |2| )en1T(jω |2

2T + | )T2(jω |2| )en2T(jω |2

2T

+2Rea T1(jω)T2∗(jω))en1T(jω)en2T∗ (jω

2T

)No(ω) = | )T1(jω |2N1(ω) + | )T2(jω |2N2(ω

+2Rea )T1(jω)T2∗(jω) N12(ω

)eno2 (t = �−∞

+∞

Nno(ω)df

gpessina Rumore 24


In forma del tutto generale se scriviamo:

Otteniamo infine:

In caso di sorgenti incorrelate, ovvero nel 99 % delle situazioni, sempre nel caso le 2 sorgenti appartengono a dispositivi differenti, ci si riduce alla somma quadratica, essendo α=0.

Vale a dire che semplicemente quando sappiamo che le sorgenti sono tutte indipendenti una volta valutate tutte le funzioni di trasferimento relative ad ogni sorgente si deve semplicemente fare la somma dei QUADRATI. Questa è una proprietà da ricordare: il rumore si somma sempre in quadratura:

In genere, in presenza di n sorgenti incorrelate (indipendenti):

Il termine α misura pertanto il grado di correlazione.

Si ha:

en2T ω = αen1T ω + en2T" ω con α ≤ 1 e t.c . �en1T(ω)en2T" (ω = 0

N12(ω) ≈T→∞

)en2T(ω)en1T∗ (ω2T = αN1(ω) +

�en2T" (ω)en1T∗ (ω2T = αN1(ω)

)No(ω) = | )T1(jω |2N1(ω) + | )T2(jω |2N2(ω

+2Rea T1 jω T2∗ jω α∗ N1(ω)

No ω = )T1(jω 2N1 ω + )T2(jω 2N2 ω se α = 0

No(ω) = �k=1

n

)| )Tk(jω |2Nk(ω

gpessina Rumore 25

5. TEO DI CARSON E CAMPBELL

TEOREMI UTILI

TEOREMA DI CARSONSi consideri una successione di eventi casuali che si ripetono con frequenza casuale λ (eventi legati alla statistica di Poisson).

t1 t2 t3 tn

f(t-t1) f(t-tn)

Gli eventi siano rappresentabili da una funzione f(t) di durata finita e sia F(jω) la sua TF.

Il teo. di Carson stabilisce che:

TEOREMA DI CAMPBELL

Supposte valide le ipotesi del teo di Carson, il teo di Campbell è l’equivalente del teo di Carson valutato nel dominio del tempo. Vale a dire che valgono:

e

Questi 2 teoremi sono molto utili quando si deve valutare il contributo di rumore proveniente dal ‘pile-up’ o sovrapposizione dei segnali provenienti da un rivelatore di particelle quando, appunto, la frequenza di eventi incidenti è elevata.

S(ω) = λ| )F(ω |2

)f(t = λ �−∞

+∞

f(t)dt )f2(t − )f(t 2 = λ �−∞

+∞

f2(t)dt

gpessina Rumore 26

6. SORGENTI DI RUMORE TIPICHE

Rumore termico

R

Si ricava dalla legge di equipartizione dell’energia (vedi pagina successiva)

KB=1.38×10-23 J/K=costante di Boltzmann

en2 = �2KBTR bilatero4KBTR monolatero

�in2 =

2KBTR bilatero

4KBTR monolatero

Le 2 rappresentazioni sono ricavabili vicendevolmente. Infatti facendo l’equivalente di Norton del primo circuito sopra si ottiene:

R

Vn

R

In

In =VnR

con:

Per cui la funzione di trasferimento è: 1/R, quindi:

�in2 =en2

R2 =4KBTR

R2 =4KBT

R

R

en2

Ricordiamoci: T è espresso in K, non in °C. T ambiente significa circa 300 K.

gpessina Rumore 27

……… sorgenti di rumore tipiche 2

Rumore termico

Rumore shot (parallelo)

ID

q=1.6×10-19 C=carica dell’elettrone.

Si ricava facilmente dal Teo. Di Carson: nella media attraversano la giunzione n elettroni per unità di tempo, con una certa probabilità di essere riflessi. Questa media è distribuita attorno al valore medio in modo casuale. Ogni elettrone che passa porta un impulso di corrente qδ(t). Inoltre la frequenza delle cariche è dt-1=(dq/I)-1. Per cui:

R C

ne

Sistema regolato da un grado di libertà (eq. dif. al primo ordine) in equilibrio termodinamico.Quindi:

Ora sostituiamo alla sorgente en una sorgente di prova nota eT per caratterizzare la funzione di trasferimento della nostra sorgente incognita:

12 CvC2 =

12 KBT ⇒ vC2 =

KBTC

vC2 =12π

�

0

∞

en2

1 + ωRC 2 dω =en2

2πRC�0

∞1

1 + x2 dx

=en2

2πRC �arctg(x)0

∞=

en2

4RC ⇒en2

4RC =KBT

C , cioè en2 = 4KBTR

�in2 = �qID bilatero2qID monolatero

VC =⁄1 (sC)

⁄1 sC + R eT =1

1 + sCR eT = T ω eT quindi |T ω |2 =1

1 + ωRC 2

F ω = q S ω = λ|F ω |2 =Iq q2 = Iqe

x=ωRC

gpessina Rumore 28

……… sorgenti di rumore tipiche 3

Rumore di bassa frequenza o 1/f, o Flicker

Considerazioni su questa modellizzazione empirica: il rumore 1/f deve essere della forma 1/fn con n>1, altrimenti l’integrale del rumore puro divergerebbe all’infinito. Allo stesso modo questo rumore non può essere 1/f fino a frequenza zero, perché altrimenti divergerebbe anche qui il suo integrale, perciò deve per forza saturare ad una valore finito.

Interpretazione quantistica. Effetto che si ha quando una carica è accelerata o frenata. Emette radiazione di bassa frequenza (Bremsstrahlung) che interferisce con le cariche circostanti, imponendo fluttuazioni di bassa frequenza.

Intrappolamento a singola costante di tempo o costante di tempo multipla e/o distribuita. Se una carica viene intrappolata per un tempo finito la corrente diminuisce di una unità per quell’intervallo di tempo (vedremo il meccanismo studiando i transitori).

ef2 =Af

f ;bf2 ;

cfn

ef2 =Af

f

ef2 =a

1 + ω2τ2 , ef2 = �ai

1 + ω2τi2

ef2 = �igrande

ai1 + ω2τi2

≈a

fn, 1 < n ≤ 2

gpessina Rumore 29

Quando lo riportiamo all’ingresso stiamo introducendo una modellizzazione matematica, fisicamente la sorgente non è localizzata all’ingresso, per cui il rumore va rappresentato con un generatore che sia posto in un punto che non ne perturbi il comportamento, indipendentemente dalla rete connessa all’ingresso

7. RUMORE EQUIVALENTE IN INGRESSO

+

-

β

Il rumore si può misurare solo all’uscita e dipende dagli elementi che costituiscono la rete. Ci aspettiamo che questo rumore dipenda anche dal guadagno scelto, anche se gli elementi interni alla rete non mutano proprietà.

Perciò il rumore che si misura all’uscita non è in genere un parametro significativo perché cambia in funzione del guadagno scelto. Questo non deve stupire perché anche il segnale all’uscita cambia in funzione del guadagno scelto.

Quindi, importante: quello che conta non è mai tanto il rumore in se, ma il rapporto segnale su rumore, S/N.

Una rappresentazione molto più coerente è quella del rumore riportato all’ingresso con un generatore equivalente. In questo modo si confronta direttamente con il segnale e risulta indipendente dal guadagno.

Rappresentazioni possibili:

ziOppure: A

zi

Aeni2 =

vo2

A2

Avo2

vi′

eni2eni2

gpessina Rumore 30

ii=0

……… rumore equivalente in ingresso 2

Infatti assumiamo per esempio che zi=1/pCi:

ACi

CD

In questo caso, assumendo ∞ l’impedenza di ingresso dell’ampli, risulta che il generatore eni2 non è in grado di fare circolare corrente e ii=0, pertanto in CD+Ci non passa corrente e il potenziale al terminale di ingresso dell’ampli, vi, non può che essere eni2 .

Di conseguenza il rumore di uscita non può che essere:

CiCD

A

vi

vi

In questa circostanza, non corretta, risulta che:

Di conseguenza:

Infatti, detta I la corrente che circola:

E perciò:

eni2

vo2 = eni2 A2

vi2 =CD

CD + Ci

2

eni2

I =eT

1sCD

+ 1sCi

=sCDCi

CD + CieT

Vi =I

sCi=

CDCD + Ci

eT

vo2 =CD

CD + Ci

2

eni2 A2 ≠ eni2 A2

eni2

cioè, quello che effettivamente si misura.

Zi=∞

gpessina

Sia composto di più stadi in cascata. E supponiamo che ogni stadio abbia la propria sorgente di rumore in ingresso determinata con i criteri precedenti:

Rumore 31

8. RUMORE IN AMPLIFICATORI A PIU’ STADI

Supponiamo che l’amplificatore

Per valutare il rumore di uscita applichiamo il principio di sovrapposizione:

A1 A2 A3 Ak

voen12 en22 en32 enk2

A1 A2 A3 Ak

voeT1

vo1 = A1A2A3 ⋯AkeT1 vo12 = A12A22A3

2 ⋯Ak2en12

Quindi la seconda sorgente:

A1 A2 A3 Ak

voeT2

vo2 = A2A3 ⋯AkeT2 vo22 = A22A3

2 ⋯Ak2en22

0 V

gpessina

Iterando e considerando tutte le sorgenti indipendenti possiamo arrivare a scrivere:

Rumore 32

……… rumore in amplificatori a più stadi 2

Ma il rumore equivalente di ingresso lo troviamo dividendo il segnale così ottenuto all’uscita per il quadrato del guadagno totale, A1A2A3⋯Ak:

Ovvero, fatto molto importante, il primo stadio di amplificazione è quello che domina la caratteristica del sistema. Gli stadi successivi hanno un peso via via decrescente.

Per questo nella progettazione di un ampli a basso rumore si pone particolare cura nel primo stadio, ovvero al primo transistor, di amplificazione.

vo2 = en12 A12A22A3

2 ⋯Ak2 + en22 A2

2A32 ⋯Ak

2 + en32 A32 ⋯Ak

2 + ⋯+ enk2 Ak2

eni2 =vo2

A12A22A3

2 ⋯Ak2 = en12 +

en22

A12+

en32

A12A22 + ⋯+

enk2

A12A22 ⋯

A1 A2 A3 Ak

voen12 en22 en32 enk2

A1 A2 A3 Ak

voeni2

gpessina Rumore 33

9. RUMORE IN AMPLIFICATORI A PIU’ STADI REAZIONATI

Abbiamo visto che in una cascata di amplificatori il rumore equivalente di ingresso risulta:

A B

A B

Vediamo cosa succede quando reazioniamo il sistema.

Ovviamente:A B

β

-+

VsVO

A B

β

-+

VOB

VTVi

Studiamo l’effetto della sorgente di rumore di B:

Da cui:

ei2 = eA2 +eB2

A2

VO =1β Vs

�VOB = AVi + VT BVi = −βVOB

VOB =B

1 + ABβVT ≈

1β

VTA

eA2 eB2 Vo2 = A2B2eA2 + B2eB2

eA2 eB2

gpessina Rumore 34

……… rumore in amplificatori a più stadi reazionati 2

Ora vogliamo ottenere:

A B

β

-+

VO

A B

β

-+

VOA

VTVi

Studiamo l’effetto della sorgente di rumore di A:

Da cui:

Vogliamo che:

Quindi:

Il rumore equivalente serie all’ingresso della rete del solo AO non dipende dalla reazione.

(Ovviamente se il blocco β presenta sorgenti di rumore andranno considerate in aggiunta a quelle dell’AO).

�VOA = Vi + VT ABVi = −βVOA

VOA =AB

1 + ABβ VT ≈1β VT

ei2

VO2 =ei2

β2 = VOA2 + VOB2

ei2

β2 =1β2 eA2 +

1β2

eB2

A2 ⇒ ei2 = eA2 +eB2

A2

gpessina Rumore 35

10. IL FILTRO OTTIMO

Limite del rapporto Segnale/rumore per un rivelatore nucleare.

eniD

vo

N(ω)

La caratteristica fondamentale è che i segnali hanno tutti la stessa forma, cambiando solo per l’ampiezza.

Il rapporto segnale/rumore è espresso come il rapporto tra il massimo del segnale ed il rumore RMS:

Vale a dire che qualsiasi sia il tipo di filtro usato all’uscita del sistema, il rapporto segnale su rumore per una catena di lettura nucleare non può essere maggiore del risultato ottenuto.

)vo(tmaxrumore RMS

2

=vo tmax 2

∫−∞+∞N(ω)df

=

12π∫−∞

+∞Vo(jω)ejωtmaxdω2

∫−∞+∞N(ω)df

)vo(tmaxrumore RMS

2

=

12π�

−∞

+∞)Vo(jω)N(ω

)N(ω ejωtmaxdω

2

∫−∞+∞N(ω)df

≤dis. Schwartz

≤

12π

2�−∞

+∞ | )Vo(jω |2)N(ω dω∫−∞

+∞N(ω)dω

12π∫−∞

+∞N(ω)dω=

12π

�

−∞

+∞

| )Vo(jω |2

)N(ω dω

Schwartz: � f x g x dx

2

≤ � f x 2dx� g x 2dx,

Qui sopra: f ω = )Vo(jω)N(ω

ejωtmax g ω = )N(ω

gpessina Rumore 36

……… il filtro ottimo 2

Ma, esiste un filtro per il quale possa valere il segno di uguaglianza?

eniD

vo

N(ω)H(jω)

vo1=H(jω)vo

Ora abbiamo:

Nella diseguaglianza di Schwartz vale il segno di uguale quando le due funzioni integrate sono una proporzionale al complesso coniugato dell’altra:

Perciò il filtro ottimo, almeno teoricamente, esiste. Praticamente è spesso non implementabile a livello HD. Più spesso ha una soluzione a livello SW.

|H(jω)|2N(ω)

)vo1(tmaxrumore RMS

2

=

12π∫−∞

+∞H(jω)Vo(jω)ejωtmaxdω2

∫−∞+∞ | )H(jω |2N(ω)df

=

=

12π�

−∞

+∞)Vo(jω)N(ω

H(jω) )N(ω ejωtmaxdω

2

∫−∞+∞ | )H(jω |2N(ω)df

≤12π

�

−∞

+∞

| )Vo(jω |2

)N(ω dω

H jω )N(ω = KVo jω ∗

)N(ωe−jω tmax ⇒

H(jω) = KVo jω ∗

)N(ω e−jω tmax

f ω =)Vo(jω)N(ω

ejωtmax g ω = H(jω) )N(ω

gpessina Rumore 37

3. BIBLIOGRAFIA

A.Papoulis, S.P.Pillai

Probability, Random Variables and Stochastic Process

Fourth Edition

Mc Graw Hill,2002

Aldert Van der Ziel,

Noise in solid state devices and circuits

John Wiley & Sons, New York.

G.R.Cooper, C.D.McGillem

Methods of Signal and System Analysis

Holt, Rinehart and Winston, Inc, 1967, 621.38 COOG.MET /1967

Franco Sergio,

Amplificatori operazionali e circuiti integrati analogici : tecniche di progetto, applicazioni,

U. Hoepli, 1992.

E.Gatti, P.F.Manfredi,

Processing the signals from solid-state detectors in elementary-particlephysics,

La Rivista del Nuovo Cimento, V.9, serie 3, p.1-146, 1986.

Art Kay

Operational Amplifier Noise

Newnes 621.395 KAYA.OPE/2012

gpessina Rumore 38

0.97 8.52 74.85 657.98 5783.78 50840.721.02

1.37

1.84

2.47

3.31

4.43SNJ450 SOIC8 T= 300 K

nV/√

Hz

Hz

Rumore a 1 Hz= 3.318Rumore Bianco= 1.803

Incertezza della misura.

APPENDICE A: SPETTRO TRONCATO E SPETTRO DI POTENZASe costruiamo un processo in cui misuriamo N campioni, ovvero prendiamo un campione, lo misuriamo per un tempo T lungo, quindi dividiamo il tempo in N intervalli abbiamo che:

Otteniamo che:

La varianza si attenua di un fattore N così che la nostra funzione troncata arrotonda con maggiore precisione lo spettro della varianza.

Questo è il metodo su cui si basa il funzionamento degli strumenti capaci di compiere analisi spettrale.

Va osservato che un qualsiasi strumento è sensibile allo spettro troncato, visto che lo spettro effettivo può essere raccolto solo aspettando un tempo infinito.

Di fatto nelle misure di rumore le curve che si ottengono presentano sempre una leggera incertezza, che si riduce all’aumentare del numero di medie:

20 medie

Stiamo vedendo la radice del rumore. La parte bianca è 1.85 nV/√Hz. La fluttuazione aspettata è dell’ordine di ±1.85/√20=0.41 nV/√Hz.

�S =1N�

k

| )XT(jω |2

2T |k

E �S ≈ S ω e Var �S ≈1N S2(ω) ω ≠ 0

gpessina Rumore 39

APPENDICE B: RIASSUNTO

1. Si parte da un processo stocastico, ovvero un processo dato da un insieme di funzioni casuali dipendenti dal tempo: x(t; ξ). Realizziamo una serie di amplificatori realizzati con componenti della stesa specie: ogni amplificatore mostrerà del rumore alla sua uscita descrivibile da una funzione casuale. Ogni amplificatore sarà caratterizzato da una propria funzione di rumore.

2. Si introduce il valore medio di insieme: E{x(t; ξ)} e la funzione di autocorrelazione di insieme: R(t1, t2)= E{x(t1; ξ) x(t2; ξ)}.

3. Si verifica che il rumore elettronico è stazionario. Ovvero la statistica non dipende dal tempo: E{x(t; ξ)} = η e R(t1, t2)=R(τ).

4. Condizione essenziale è di potere dedurre le caratteristiche di insieme a partire da un qualsiasi elemento dell’insieme. Nella fattispecie a partire dalla media temporale risalire alla medie di insieme. Vale a dire che preso un qualsiasi amplificatore tra tutti quelli realizzati avente simile disegno, si può dedurre la statistica dell’insieme a partire dalla misura del rumore presente all’uscita. Questa situazione è verificata per i così detti processi di tipo ergodico. Il rumore elettronico soddisfa questa condizione. Quindi:

5. La condizione migliore si realizza nell’analisi del domino della frequenza. Considerando che il valore medio del rumore è nullo detta S(ω) la TF di R(τ) si ottiene che:

A meno di un’incertezza dell’ordine si S2(ω).

limT→∞

12T �

−T

T

x(t)dt = E )x(t = η

limT→∞

12T �

−T

T

x(t + τ)x(t)dt = E )x(t + τ)x(t = R(τ)

XT(jω) = �−T

T

x(t)e−jωtdt S(ω) = limT→∞

| )XT(jω |2

2T

1. COSA SI INTENDE PER RUMORE 2020 Il fenomeno è legato...

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