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alcuni modi di vedere l’infinito in matematica

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Attività 1a

Hai davanti a te una torta. Puoi mangiarla seguendo queste regole:

dividi la torta in due parti uguali e mangi in un sol boccone una delle due parti;

dividi a metà la parte rimasta; mangi in un sol boccone una delle due parti e così via.

Ai professori devi riservare la torta rimasta. Avanzerà qualche cosa ?…… Perché ?

2

1

4

1

2

1 1...

8

1

4

1

2

1

3

Attività 1c (aiutati colorando il quadrato dell’allegato 1 che trovi nella pagina seguente)

Dividi il quadrato in quattro parti uguali, colorane una.Applica lo stesso procedimento al quadrato non adiacente

e continua così “infinite volte”.Che parte del quadrato grande hai colorato?……

4

1

16

1

3

1...

64

1

16

1

4

1

4

Lavorando con le torte si scopre che:

E’ facile costruire alcune successioni numeriche costituite di infiniti termini, ove ogni termine è più piccolo del precedente e più grande del susseguente, e tali che la somma converge ad un valore finito.

2

1....

3

1...

81

1

27

1

9

1

3

1

n 3

1....

4

1...

256

1

64

1

16

1

4

1

n

4

1....

5

1...

125

1

25

1

5

1

n

1

1....

1...

11132

nnnnn m

...;;2

1...;;

16

1;

8

1;

4

1;

2

1n

1....2

1...

16

1

8

1

4

1

2

1

n

Congettura!

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Il paradosso di Zenone su Achille e la tartaruga è analogo al problema delle torte, per esempio nell’ipotesi che Achille vada a velocità doppia della tartaruga e conceda metà strada come vantaggio alla tartaruga:

Dovrà coprire una distanza costituito da infiniti tratti:

…

AMAMAM

1....

16

1

8

1

4

1

2

1

Sempre che la nostra congettura sulle torte sia esatta!

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Alla dimostrazione della nostra congettura si può arrivare attraverso le curiose proprietà dei numeri periodici: essi non sono solo un altro modo di toccare l’infinito, ma sono anche una possibile chiave nella dimostrazione della nostra congettura.

Dato un numero periodico è possibile risalire alla sua frazione generatrice, esempio:

110

44,0

xx 1

110

99,0

xx

In particolare:

110

1...1111111,01,0

Questa uguaglianza è vera se assumiamo come validi i principi di risoluzione delle equazioni.

CONSIDERAZIONE: I principi di risoluzione restano veri indipendentemente dalla base in cui siano stati scritti i numeri che vi compaiono: 0,11111…; 1; 10;

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Poiché l’ultima relazione è indipendente dalla base in cui sono scritti i numeri che vi compaiono:

base 5

base n

base 10

base 3

binaria

se trascritta in base 10 significa:

Nella base:

)2()2(

)2()2( 110

1...111,0

1

12

1...

16

1

8

1

4

1

2

1

)3()3(

)3()3( 110

1...111,0

2

1

13

1...

81

1

27

1

9

1

3

1

)5()5(

)5()5( 110

1...111,0

)10()10(

)10()10( 110

1...111,0

)()(

)()( 110

1...111,0

nn

nn

4

1

15

1...

625

1

125

1

25

1

5

1

9

1

110

1...

1000

1

100

1

10

1

1

1...

1111432

nnnnn

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Cascata, Mauritz Cornelis Escher Costruzione a tre travi

Modello per la costruzione a tre travi

9

Limite del quadrato, Maurits Cornelis Escher

10

la figura completa contiene quadrati

disposti con un lato orizzontale e con un lato lungo la diagonale del quadrato precedente.

I quadrati sono successivamente uno la

metà del precedente.

11

Il teorema di Pitagora e la diagonale del quadrato

12

Irrazionalità e incommensurabilità

13

con il metodo geometrico possiamo individuare la frazione continua che permette di ottenere valori sempre più approssimati di 2

Si ottiene che:

........2

12

12

112

La frazione continua di 2

ossia lo spettro:

,...)2,2,2;1(2

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Con il metodo aritmetico, sfruttando la proprietà dei radicali:

2 11

2 1

L’uso della frazioni continue evidenzia un algoritmo molto pratico per la determinazione di 2

1+1

+21/x

+1

Numero cicli inverso …….+1

0 cicli 0,5 0,5+1=1,5

1 ciclo 0,4 0,4+1=1,4

2 cicli

15

16