ANTONIO PIGNEDOLI

MODELLI NELLA TEORIA DEL TRASPORTO

(Conferenza tenuta il 15 rnaggio 1973)

1. Introduzione generate.

Da diversi anni (vedi bibl.) mi sono occupato di ricerche siste-matiche sulla diffusione e sul trasporto neutronico.

Questa conferenza di seminario e dedicata appunto ad uno studio e ad una comparazione dei modelli che si presentano come sostan-ziali nella teoria del trasporto di particelle, in particoiare nella teoria del rallentamento e della diffusione dei neutroni in un mezzo moderatore. Le teorie che verranno qui considerate interessano, quindi, anche i reattori nucleari di fissione, anzi quelli in modo particoiare. (Ma noi non ci occuperemo qui della struttura e degli aspetti tecnologici dei reattori stessi, come non ci occuperemo, d'altra parte, degli aspetti astrofisici della teoria del trasporto di « particelle »).

Nella «v i ta» di un neutrone in un mezzo moderatore si distin-guono, sostanzialmente, due fasi. La prima riguarda il comporta­mento del neutrone dalla emissione fino alio stato di energia termica. La seconda fase riguarda il comportamento del neutrone come termico; si riferisce, cioe, aH'intervallo di tempo intercorrente fra Yentrata della particella nella « regione » dell'energia termica e l'istante della cattura.

Ma, per uno studio piu approfondito della vita del neutrone, interessa anche la costruzione di un modello che traduca in maniera soddisfacente il comportamento dei neutroni nella zona energetica che sta immediatamente al di sopra della regione dell'energia termica.

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Dal punto di vista matematico, i modelli di cui ci occupiamo, in maniera estremamente sintetica qui, facendo riferimento ad un complesso di ricerche dell'autore e di altri ricercatori (natural-mente), si concretano in impostazioni mediante equazioni integrali, equazioni differenziali ed equazioni integro-differenziali (teoria del trasporto). Uno schema di discussione dell'operatore integro-diffe-renziale del trasporto nel caso non-stazionario e per una geometria unidimensionale conclude questa breve memoria.

2. // processo di rallentamento dei neutroni.

Come e ben noto, i neutroni lenti, una volta formati, costitui-scono, in seno ad un mezzo idrogenato, una specie di gas. II processo di rallentamente consta essenzialmente:

a) delVurto elastico;

b) dei fenomeni di cattura (n, y) e dei fenomeni di cattura seguita da emissione di altre particelle pesanti (n, a), (n, p) ; la cat­tura nelPidrogeno e assai piu importante che non la cattura in ossigeno e in carbonio ed e, d'altra parte, un fenomeno assai piu raro che non quello dell'urto elastico. Va tenuto presente che la teoria indica che, per energie e ^ l O 4 ^ , le sezioni per cattura va-riano proporzionalmente all'inverso della velocita, cioe la cattura diventa trascurabile al di sopra della regiohe termica: in acqua o in paraffina pura, praticamente piu del 96 % dei neutroni vengono rallentati fino ad energie dell'ordine di grandezza di kT prima di essere catturati (k e la costante cinetica di BOLTZMANN, T la tern-peratura assoluta). Indichiamo ora con v la velocita neutronica, con cr(. la sezione d'urto per cattura.

. . 1 La legge di proporzionalita. orc oc_ ha come conseguenza il fatto

v che ad un neutrone lento si pud attribuire una ben definita vita media r. Nel processo di rallentamento dei neutroni si ha poi:

c) I'effetto del legame chimico; va tenuto presente, per questo, che l'ordine di grandezza delPenergia di legame di un protone in una molecola paraffinica e un electronvolt.

Invece l'energia dei neutroni termici e dell'ordine di grandezza di kT . = 0,025 eV. In prima approssimazione possiamo dire quanto segue: in un urto un neutrone non acquista e non perde, in media, energia. Viceversa, in vari problemi interessa proprio sapere con

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quale rapidita venga rallentato un neutrone quando esso abbia ener-gia inferiore all'energia di legame chimico di un volt-elettrone, ma sensibilmente superiore alia energia termica kT.

Un tale intervallo di energia puo essere denominato regione delV energia chimica.

Uno studio teorico degli urti in tale intervallo puo essere im-postato nel modello in cui i protoni vengano considerati come legati elasticamente ad una posizione fissa nella molecola, cioe come oscillatori lineari, in analogia col celebre modello di EINSTEIN

del corpo solido. I protoni possono essere pensati come oscillatori armonici isotropi ( F E R M I ) od anche come oscillatori armovnici ani-sotropi con clue frequenze proprie di vibrazione.

3. Teoria dello spettro neutronico neWintervallo di energia fra la soglia delV energia termica e Venergia di legame chimico.

Poniamo € = ykT e prendiamo in esame l'intervallo di ener­gia definito dalla doppia disuguaglianza-uguaglianza 0,025 eV ^ ^ e = ykT^leV. Suddivideremo l'intervallo energetico in que-stione nei due intervalli 0,025 eV I—I 0,4 eV e 0,4 eV I—I 1 eV. Nel secondo di tali intervalli parziali ed anche per e > 1 eV i pro­toni possono essere considerati come liberi; si trascura il rallen-tamento da parte degli atomi di ossigeno e di carbonio. In acqua pura anche il fenomeno di cattura si puo ritenere trascurabile. Ogni neutrone emesso dalla sorgente si degrada energeticamente e nel mezzo idrogenato si determina una distribuzione neutronica stazio-naria. Indicheremo con n(v)dv il numero di neutroni presenti nella sostanza idrogenata (paraffina) ad un certo istante £, con velocita compresa fra v.e v-\- dv. Tenendo presente che il numero probabile di neutroni che nel tempo elementare dt subiscono un urto e n(v) (v/A(v)) dvdt, si trova per la funzione n(v) l'equazione in-tegrale:

njv) fn(v')dv' 2Q 1 ; A(v) J v'A(v') v0

2 '

dove Q e il numero di neutroni emessi per minuto secondo dalla sorgente con velocita v0 e A(v) e il cammino medio libero fra due urti consecutivi con protoni. L'equazione integrale (1) si risolve per

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derivazione rispetto a v e fornisce la formula dello spettro di FERMI :

(2) n(v)=2QA(y)jv2,

spettro particolarmente ricco verso le basse energie e nel quale la funzione A(i>) puo essere considerata, praticamente, costante:

Indichiamo ora con jokT l'energia « chimica » di 0,4 eV. Per e inferiore a tale soglia, ci troviamo di fronte al problema di una particella relativamente leggera che si muove in un gas di gruppi CH2 molto piu pesanti. Limitandoci a pensare al valore assoluto della velocita, cioe prescindendo dalla sua direzione e dal suo verso, siccome l'energia di un neutrone varia di poco in un urto, pos-siamo studiare il problema del moto neutroni co nel modello tipico del moto browniano. Invero le variazioni di energia che ci inte-ressano sono il risultato di molti urti, il che ci consiglia di applicare le leggi limiti del calcolo delle probabilita. Dette M la massa della particella urtata ed m la massa della particella urtante, l'approssi-mazione sarebbe ottima per (M/m) > 1. Nel nostro caso abbiamo (considereremo l'approssimazione come accettabile):

(M/» t)=.(Mc ,„.yMBi , ,)-14 .

Rappresentiamo l'energia del neutrone mediante un punto di ascissa y su di una semiretta. In seguito agli urti, il punto rappre-sentativo compie quelli che si possono chiamare dei « piccoli salti irregolari».

Applichiamo la teoria del moto browniano, procedendo preci-samente nel modo seguente. Sia F(y, t)dy il numero di neutroni che, airistante t, posseggono energia compresa nell'intervallo energetico ykT I—I (y + dy)kT.

Trascuriamo la cattura neutronica e trascuriamo anche la gene-razione di neutroni (che si dimostra essere rappresentata da un

3 - 1 -termine - Qy0

2 iy dy).

Per determinare la equazione funzionale che esprime la varia-zione della funzione F(y,t) rispetto al tempo, teniamo presente che, se si considera un numero molto grande di sistemi simili fra di loro e se y e una variabile dinamica relativa ad uno qualunque di tali sistemi, variabile soggetta a variazioni molto rapide ed irregolari, detto F(y,t)dy il numero di sistemi per i quali la variabile y,

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all'istante t, e compresa fra y ed y + dy, la variazione della funzione F rispetto al tempo t risulta, in generale essere fornita dalla equa-zione funzionale, che qui scriviamo:

(3) Sim^[F(y,t)} .

Nella (3) XI e un operatore lineare. Ma i salti della variabile dinamica y nei singoli urti sono molto piccoli. Possiamo allora affermare che la derivata parziale dF(x,t)/dt deve dipendere sol-tanto dai valori della funzione F(y,l) in punti molto vicini al punto'y.

Ne consegue che XI pud essere assunto come un operatore diffe-renziale. A questo punto occorre precisare la struttura di tale ope­ratore. Per fare questo va tenuto presente che il fenomeno consi-derato non e un fenomeno a carattere deter ministico, ma a carat-tere statistico.

Se l'operatore differenziale XI fosse assunto del primo ordine, esso esprimerebbe un fenomeno a carattere deterministico. Bisogna, dunque, salire almeno al secondo ordine, e cosi si fa nei modello che consideriamo.

All'equazione (3) dovra poi essere imposto di soddisfare ad un teorema di conservazione del numero di particelle. Scriveremo percio:

8

dy

1 d (4) _ Q[F(y,t)]=- - - {a (y)F(y, t))-b(y)F(y,t)

[2 dy

dove a(y) e b(y) sono due funzioni il cui significato preciseremo in seguito e che, in un primo tempo, potremo assumere come arbitrarie.

Circa la (4), cioe per quanto riguarda l'effettivo significato fisico della medesima, terremo presente quanto segue. La variazione nel-l'unita di tempo del numero di sistemi ad energia compresa fra i due limiti yt ed y2 e fornita dalla quantita:

1/2 1/2 Vl

<s> i/'&.'>*-/^*-/=Si(->-*• dt J J dt J dy Vi l/i Vi J

2 Sy dy =

1 JL {aF} - bF 2 3yx '

t/2

Vl

9,

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che tende a zero per y^. -> — °o, y2 ~~* + °° ? purche F si annulli ivi abbastanza rapidamente. Quindi affermeremo che

2 ay

rappresenta il numero di sistemi che, nell'unita di tempo, passano da valori minori a valori maggiori della variabile dinamica y.

Resta da precisare il significato delle funzioni a(y) e b{y). Lo faremo per il caso, che ci interessa, dei neutroni. Intanto scriviamo esplicitamente la (3), tenuto conto della (4), Avremo:

(6 ) SHLH = Q[F{y>t)]= 1 *L[a(y)F(y, t)}-±[b(y)F(y,«)],

cioe una equazione differenziale fondamentale per i fenomeni sto-castici e cioe la equazione differenziale di FOKKER-PLANCK. Nel caso particolare, che ci interessa, dei neutroni, per cui la y indi-chera l'energia neutronica soggetta a « salti > molto piccoli del tutto irregolari, la quantita F(y,t)dy sara il numero di neutroni che, all'istante t, posseggono energia compresa nell'intervallo ykT I—I I—I (y-\-dy)kT e Pequazione differenziale di FOKKER-PLANCK rap-presentera dunque la distribuzione energetica dei medesimi, qualora si trascurino i termini di generazione e di cattura.

Nella equazione differenziale (6) la quantita b(y)dt rappresenta la variazione nell'intervallo elementare di tempo dt dell'energia media di un neutrone avente inizialmente l'energia y in unita kT. Si potrebbe procedere ammettendo che la perdita media di energia sia proporzionale ad y e scrivere semplicemente b(y) — — y/6 dove 0 e il cosiddetto «tempo di rilassamento » che, nel caso del mode-ratore paraffinico, e dell'ordine di grandezza di un ventesimo della vita media r. Ma, cosi facendo, non si terrebbe conto dell'agitazione termica dei gruppi CH2. La funzione b(y) va presa in modo che l'energia media non tenda a ridursi a zero per t~* °° ma al valore

3 richiesto dall'equilibrio termico, valore che e, precisamente —kT;

3 2

cioe y deve tendere al valore —. Si e cosi indotti a porre:

1 / 3

(7) h^=—o\y-'2

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Per determinare la funzione a(y) si osservera che una F della

forma maxwelliana F= fye'v deve essere una soluzione della equazione di FOKKER-PLANCK, il che fornisce:

cioe

(9) 2 Ty [a(r)i/y^]-[Hr)t/r«""]=cost=o.,

dove la costante a secondo membro deve effettivamente annullarsi e cid perche, per y—> + 00, il primo membro della (9) deve an­nullarsi.

Va tenuto presente che a(y) non deve comportarsi come l'espo-nenziale exp y per y —> + °°. Ne consegue che si prendera a(y)=2y/6. Dunque l'equazione differenziale di FOKKER-PLANCK

per la distribuzione dei neutroni nell'intervallo energetico compreso fra la soglia dell'energia termica e quella dell'energia chimica sara, nell'approssimazione assunta in cui non tiene conto dei termini di generazione e di cattura, la seguente:

(io) e _ ^ ^ _ ^ ^ + ( y ^ ) - A ^ + F (y,o .

Esprimendo ora il fatto che il numero di neutroni che, per unita di tempo, passano da valori minori a valori maggiori dell'energia y e nullo per la soglia y= y0~ 0,4 eF, otteniamo la condizione ai limiti: :

(ii) y'-^+(r-l)F(y.<)-o

per y '= y0 = 0,4 electronvolt e per ogni t, cioe:

dF(y, t) (12) - j ^ 2 + hF(y>t)=.0

per y=yo e per ogni t, con h costante nota.

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Imporremo poi alPequazione di FORCER-PLANCK (10) un'altra condizione supplementare, cioe la seguente:

(13) F(y, 0 = ^ p e r y=® e p e r °gn^ l '

esprimente quest'ultima il fatto — largamente evidente per il nostro problema — che e nullo il numero di neutroni aventi energia uguale a zero per ogni valore del tempo t; esprimente, inoltre, anche in questo caso, la validita del teorema di conservazione del numero di particelle.

Si supporra, infine, assegnata una condizione iniziale:

(14) f (r .o)- / ( r ) . '

esprimente la conoscenza della distribuzione energetica dei neutroni all'istante t = 0.

Mediante la separazione di variabili:

(15) F(y,i)-9(y)T(i) ,

l'equazione differenziale (10) si scinde nel sistema:

f(t) + jT(t)=o , r(0=r0exP(__^^ ,

y<p"(y) + [y + 2) v' 60+(a2 + x) * O0=o »

con le condizioni ai limiti:

(17) < K 0 ) = 0 , <p'(y) + h<p(y)=0 p e r j = y 0 .

La seconda delle (16) e l'equazione differenziale cui soddisfa la 1

funzione di POCHHAMMER-KUMMER ^ ( c ^ + l, - , —y) . Avremo

dunque:

(18) tfy)-A .^(a2 +1, \, -y) + Bty,F, (a' + 1 1 , - y) ,

(16)

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con A e B costanti arbitrarie. In virtu della prima condizione ai limiti, si ha:

(19) y ( O ) - ^ 1 F 1 ( a « + l t i , 0 ) = O .

Ora la funzione iFi(a, c,y) e definita dalla serie:

(20) 1F1(«,c,y)-l + - ^ + ^ J ,+

«(« + ! ) (g + 2> f

c(c + l ) ( c + 2) 3 ! " '

con c ^ O e non intero negativo. Sicche la funzione

(21) 1f1(„« + l,l,_y)-l_?!±l.Jl + 1 — . \-

1 ! 2

4-(a2 + l)(a2 + 2) f

1 1 3 2* 2

2!

non si annulla per y = 0. Risulta, quindi, A = 0 e la soluzione (18) /- o 3 3

si riduce a ByyiF^a + y «, —y)- A questa dovremo imporre la seconda condizione ai limiti:

(22) fp,(yo) + ^(p(yo)==^ > (fc=costante) ,

cioe

(23) . F . C a ' + l . \, - y „ ) - | l / ^ ^ , ( a 2 + | , | - y o ) +

+ 2 f c ^ , F 1 ( a t + | , | , - 3 r , ) = 0 ,

che e l'equazione determinatrice degli autovalori del parametro a2. Dopo cio il problema si puo considerare risolto « alia FOURIER ».

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4. Modello « fenomenologico» delta diffusione. Equazione alle de-rivate parziali della diffusione. Generalizzazione del problema.

La teoria fenomenologica della diffusione dei neutroni lenti in un mezzo diffondente, teoria di interesse fondamentale per i reattori nucleari a fissione, rinverdisce — per cosi dire — ed estende la teoria classica del calore.

La teoria del fenomeno diffusivo si pud fare, invero, in un modello « alia F I C K », cioe operando il bilancio dei neutroni per unita di volume del mezzo considerato. La variazione della densita neutronica p per unita di tempo sara data da:

,nA\ dQ (neutroni prodotti — neutroni sfuggiti al contomo ^ ' fit +intensita delle sorgenti — neutroni assorbiti.

Indicati con D0 il coefficiente convenzionale di diffusione e con o~a la sezione d'assorbimento per centimetro cubo, il bilancio sopra-scritto (procedendo con metodo analogo a quello che si usa per ricavare l'equazione del calore) si traduce nella equazione diffe-renziale alle derivate parziali:

s^r\ r> A , o &Q (S= funz. intensita delle (25) DQA2Q — O-VQ4-S=-Z. , v . , v v y u 4 a ' St sorgenti neutroniche).

La densita neutronica p dovra soddisfare ad una condizione al contorno di annullamento, sul cosiddetto «contorno estrapolato».

Nel caso in cui il mezzo diffondente sia moltiplicante, se si indica con Kao il numero di neutroni termici prodotti per ogni neutrone termico catturato, risulta evidentemente S •= K^u-^p e l'equazione differehziale diffusiva prende la forma:

(26) J 8 g +g " " 1 « = -±— • BA

dove M e la cosiddetta «lunghezza di migrazione» dei neutroni. Dunque lo studio della diffusione neutronica nel modello fenome­nologico e una estensione della teoria del calore e ad essa si ricon-duce, come ben si vede dalle equazioni differenziali che vi inter-vengono. Ma la teoria della diffusione neutronica si pud generaliz-zare in un modello che inquadra tanto il rallentamento e la diffu-

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sione dei neutroni di fissione quanto la diffusione di quei neutroni di fissione che, per rallentamento, sono «entrat i» nella regione della energia termica.

L'equazione differenziale che descrive tanto il rallentamento quanto la diffusione dei neutroni di fissione (neutroni veloci) e la cosiddetta equazione differenziale della « age theory », valida fra la soglia delPenergia di fissione e la soglia dell'energia termica:

(27) Si^+^Sfc^.^ )+

d2 B2 B2 \ / 0* 2 ' 9 , 2 > By2 dz

dove xix> y>z>L>r) c l a funzione densita di rallentamento dei neu­troni di fissione, di « age » r in un punto P, cioe il numero di neutroni che per unita di tempo e di volume raggiungono l'« age » T, essendo

(28) t = | ° n

T) du

con u*= « letargo » neutronico, E<= energia neutronica, du= d log E, j- .= variazione logaritmica media di energia per urto, D = coeffi-ciente di diffusione per il flusso. (Va tenuto presente che l'equazione differenziale della « age theory » e scritta nell'approssimazione in cui non si tenga conto dei fenomeni di cattura). La funzione Si (x, y, z, t, T) e detta, al solito, funzione delle sorgenti neutroniche, II coefficiente di diffusione, funzione dell'age, ®(r) vale:

(29) © (r) = vl (r)/3 (1 — cos 0) , (v = velocita neutronica),

essendo 0 l'angolo di scattering nel sistema dell'osservatore ed /(r) il libero cammino medio dei neutroni di « age » T.

Detta ora o~(x, y, z, t) la distribuzione spaziale dei neutroni ter-mici, detti D0 il coefficiente costante convenzionale di diffusione e

1 TC'— — la costante di vita media per cattura dei neutroni, detta

S(x,y,z,t) la funzione delle sorgenti (numero di neutroni che di-ventano termici per unita di tempo e di volume) per la funzione

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p(x, y, z, t) vale l'equazione differenziale:

(30) dQ(X}y^t>T) = S(x)y)z)t)r)+D0AzQ(.X}y>Z)t)-

1 / N

%c

che regge la diffusione dei neutroni termici. Possiamo chiamare problema di diffusione generalizzato quello rappresentato dal si-stema delle equazioni differenziali alle derivate parziali (27) e (30) nelle condizioni che specificheremo.

Anzitutto, poiche il tempo di rallentamento dei neutroni di fissione si pud considerare breve, si potra. sostituire in luogo di © (T) il suo valor medio ©m. Inoltre si potra ammettere che la funzione x(x,y,z,t,T) soddisfi ad una condizione supplementare X(x,y, z, t, 0) s= 0. Infine imporremo alia x(x, y,z, t, r) la condi­zione, sul contorno effettivo del mezzo considerato:

(3) ^+hlZ=0 , ov

dove h± e una costante nota e v indica, al solito, la normale. Se ora applichiamo una L-trasformazione rispetto alia « age » r, otteniamo:

(32) . 4 * - ~ ~ ~ k~x= - St , . 5=L \x}) ,

dove Si e la L-trasformata della Si e k e il parametro di T-trasfor-mazione. Per quanto riguarda la (32), dovremo considerare una condizione iniziale rispetto al tempo t. Supponiamo ora di avere risolto coi metodi classici l'equazione (32) con la predetta condi­zione iniziale e con la condizione al contorno trasformata della (31). Allora introdurremo la X, che otterremo con una L_ rtrasformazione rispetto a r, nella equazione differenziale della diffusione. In tale equazione differenziale entrera come funzione delle sorgenti di neu­troni termici il valore di X per T=T0 dove r0 e il valore di T che corrisponde alia soglia dell'energia termica.

Consideriamo dunque l'equazione differenziale della diffusione

— 137 —

gia citala:

(33) -£t = S+D0A9Q---Q ,

con la condizione al contorno:

(34) BQ

Bv -\-h%o = 0 , (h% = costante nota)

P o n i a m o :

(35) S(x)y)z)t) = D0e-t^Q(X)y)z>t) ,

Q (*, y,z, 0 = / i (*, y,x)cos °>t +f% (*, y,z)sin «>« ,

I #•(*, y , 0, 0 — Ul (x, y , z) cos cot + l/"8 (a;, y , z) sin co*

Avremo cosi, nel campo reale , il sistema differenziale:

(36)

AzUi(x,y,z)--^ Uz(x,y,z)=fi(x,y,z) ,

CO AzUi(x,y,z) + -=- Ui(x)y>z)=f2(xfy)z) ,

il che equivale a d i re , nel campo complesso, I 'equazione diffe­renz ia le :

(37) ^U(x,y,z) + AU(x,y,z)=f(x,y,z). ,

ICO A^L , U=Ui + iUt , f=ft + ifz / = - 1

con la condizione al contorno:

(38) BU Bv

+ h2U=0

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Consideriamo allora il problema omogeneo corrispondente:

(39) \U(x,y,z)+).U(x,y,z)=Q , ^+h,U=0 .

Detti X gli autovalori di tale problema omogeneo, otterremo la so-luzione del nostro problema nella forma di una serie di autofunzioni:

(40) U^SjAfijQc^z) ,

ffUjdC A _ O

A>~ A-X, >

indicandosi con C la regione di spazio occupata dal mezzo modera-tore. Si sono indicati cosi i capisaldi, in forma estremamente sinte-tica, di un procedimento che conduce alia risoluzione del problema diffusivo generalizzato per via classica.

5. / / modello del trasporto. Uequazione integro-differenziale di MAXWELL-BO LTZMANN.

II modello del «trasporto », cioe il modello basato sulla intro-duzione della equazione integro-differenziale di MAXWELL-BO LTZ­

MANN per lo studio della distribuzione dei neutroni in un mezzo, costituisce la impostazione piu. rigorosa della teoria.

Indichiamo con /V la densita neutronica in un mezzo. Tale fun-zione densita neutronica dipendera dal vettore di posizione r, dal versore di direzione del neutrone SI, dalla velocita neutronica v e dal tempo t.

La quantita N(r, v, Sl,t)dvd£l rappresentera il numero di neu­troni per unita di volume, con velocita neirintervallo v I—\v:+ dv e direzioni appartenenti al cono dO intorno ad SI al tempo t. La densita neutronica /V in un elemehto di volume dV in posi­zione caratterizzata dal vettore r pud cambiare in dipendenza di tre effetti:

a) Neutroni possono passare attraverso l'elemento di volume senza essere soggetti a collisioni;

dove e

(41)

— 139 —

b) neutroni possono essere soggetti a collisioni entro l'elemento di volume e, quindi, cambiare la loro energia e la loro direzione;

c) la densita neutronica pud cambiare dipendentemente dalla pre-senza di sorgenti neutroniche in dV.

Indichiamo con S(r, vy SI, t) l'intensita delle sorgenti neutroni­che nell'elemento di volume considerato, sicche la quantita SdvdCldV rappresentera il numero di neutroni emessi dalle sorgenti nell'ele­mento di volume dV in posizione r , nel cono d£l e nell'intervallo di velocita v |—\v-\-dv. La variazione di N(r,v,Sl,1) nell'unita di tempo sara uguale al numero di neutroni diffiisi nella-condizione di velocita v e direzione SI da altre direzioni e velocita, diminuita della perdita di neutroni («leakage») e del numero di neutroni diffusi fuori dalla condizione di velocita v e direzione SI.

Allora indicando con: cr(v) la sezione d'urto totale macrosco-pica, c{v) il numero medio di neutroni secondari prodotti per colli-sione, c(v)cr(v) il numero medio di neutroni prodotti per unita di di percorso (come subito consegue); indicando inoltre con c{v)f{v,Sl-^v,Sl)dvd£l il numero medio di neutroni prodotti in dv e in d£l quando un neutrone di velocita v e di direzione SI urta un nucleo fermo, si ottiene la equazione integro-differenziale di MAXWELL-BOLTZMANN, del trasporto, seguente:

(42) eN(r,v}Sl,t)^_ ^ ^ ^ ^ N __ ^ ^ ^ ^ +

+ [[v'c(v')o(v)fv\Sl' + v,Sl)N(r,v\Sl\t)dv,dQ'+S(rfv)a,t).

Se tutti i neutroni posseggono la stessa velocita v0, allora e :

N(r, v ,art) = d(v-v0)N(r, SI, t) ,

(43) . f(y\&+vta)=d(v'--v0)f(a'+a) , S(r,v,a,t) = d(v-v0)S(r,n,t) ,

con S(v—f0)—distribuzione di DIRAC, N(r, SI, t)=\N(r,,v,Q, t) dv

e cosi via. , Nelle (43) va notato bene che la funzione /V(r, SI, t), cioe con

omissione dell'argomento v, indica l'integrale di N(r,v, Sl,t) fatto

— 140 —

rispetto alia velocita v. II termine con l'integrale, a secondo membro della equazione integro-differenziale di MAXWELL-BOLTZMANN, di-venta:

jfv'c(v')a(vf)d(v'^v)f(Sl^Sl)d(v'~v0)N(r,v\Sl',t)dv,d^==

= d(v -v0)v0c(v0) o(v0) / N(r', Sl',t)f(Sl'+Sl)dQ' .

Allora, l'equazione del trasporto, integrata rispetto alia velocita v9

da. luogo alia seguente equazione integro-differenziale del trasporto per la teoria ad un solo gruppo di neutroni, monocinetici:

(44) W f r **' l) = - v0Sl • grad N(r, SI, t)- vt) a N(r, SI, t) +

+ v0c(v0)a f N(r', SI', t)fSl'-> SI) d& + S(r, SI, t)

dove v0N(r, SI, t) e la distribuzione angolare del flusso neutronico e si indica normalmente con \fi(r, Sl,t).

Passiamo ora a considerare un caso molto importante per la teoria ad un solo gruppo: il caso di trasporto unidimensionale, con « scattering » isotropo in un mezzo omogeneo avente la struttura di un «muro»; il caso e detto anche caso della «slab geometry ».

L'esame dei capisaldi del procedimento trasformazionale usato in tale caso, non stazionario, ci consentira di esporre i punti essen-ziali di un esame dell'operatore di trasporto dal punto di vista della teoria spettrale degli operatori.

6. // caso della teoria ad un gruppo per la «slab geometry» (senza sorgenti).

Consideriamo il caso di un solo gruppo monocinetico di neutroni «trasportati» in un mezzo avente la forma di una lastra indefinita a facce parallele perpendicolari alia direzione deH'asse delle x (per fissare le idee), cioe consideriamo il caso di un muro. II mezzo sia, per i potesi, omogeneo e lo « scattering » sia, per ipotesi, iso­tropo. Sia 6 I'angolo fra la direzione neutronica SI e I'asse delle x e sia ft—cos0. Sia, infine, S ^ O .

— 141 —

Avremo /(SV -• SI) •= cost. Dovremo considerare assegnata una distribuzione iniziale, per t «== 0 nella « slab ». La impostazione ana-litica del problema si riduce ad una equazione integro-differenziale del trasporto per il caso unidimensionale, con condizioni supple-mentari: quella iniziale, gia detta e che scriveremo, e due condi­zioni esprimenti la non-provenienza dall'esterno, nella slab, di neu-troni; cio relativamente ad entrambe le pareti. In formule, avremo, dunque, l'equazione integro-differenziale:

(45) 1 '»<•*> * 0 + „ SN(X>»-'hoN(X,,t 0 - • v J v Bt r r 8x ' v ,r> J

+i CO j N(x, fjLf

f t) dfJ,'

con le seguenti condizioni supplementari:

2 - l

(46)

N(xt/ji,0)=f(x, ft) per — a<xi<a } —1<^<1;

N(at/ji,t) = 0 per ^ < 0 , t>0;

N(—a,/jitt) — 0 per , u > 0 , t>0 .

Per la funzione di distribuzione N(x9 ft, t) potremmo porre:

(47) N(x, p, «)=exp (-cot) z (x} ^ t)

ed assumere, senza pregiudizio di generalita, v— 1, cr== 1. L'equa­zione del trasporto diventera:

(48) t&g&^^i)

con

8 c f J ,

Applicando ad ambo i membri della equazione del trasporto una trasformazione di LAPLACE semplice ed unilatera rispetto al tempo

(parametro di L-trasformazione \) otterremo, indicando con x ^a

— 142 —

trasformata di x :

(49) * * - / ( * , * ) = < > < * ,

da cui discende, formalmente:

(50) z=(i-<A)-lf(*,M) ;

e, con chiaro ed usuale significato dei simboli:

6+ioo

(51) x (x, M, 0 = ( 2 « ) r ' J \{X - A)-'f] exp (it) dX .

• 6-ioo

Ma cA e un operatore e il problema fondamentale che rimane e quello della effettiva esistenza di (X — cA)'1 e della determinazione delle sue proprieta.

La valutazione del secondo membro della (51) dipende, invero, dalla conoscenza e dal comportamento di (A. — cA)'lf. Le singola-rita di tale funzione sono di estrema importanza. Dunque dobbiamo studiare a fondo l'operatore (X—c/fc)~\ il che implica lo studio dello spettro dell'operatore cA.

Supponiamo che (X— cA)~xf sia una funzione di X dotata delle evidenti proprieta che ci occorrono ad eccezione che per certi valpri X; di X, in corrispondenza dei quali l'operatore cA cessi di esistere. Questo ultimo evento si verifica quando esistono funzioni \pj(x,{jL) tali che si abbia:

(52) ( V - ^ ) v , . = 0 t

cioe qualora \\t} sia una autofunzione dell'operatore cA corrispon-dente all'autovalore Xy.

Se esistessero infiniti autovalori Xy del parametro X, avremmo uno sviluppo formale del tipo

oo

(53) x(x, p, t)=Z exp(A.«)ft(^ /*) •

Ma, come si prova, non esistono infiniti autovalori di X e si dimostra

— 143 —

che la soluzione (53) diventa della forma:

n (54) x 0 , /*, 0 = ^ exp (kj t) gj (x, fx) + £ (x, ^ t) ,

dove la funzione f e convenientemente piccola. Invero esiste sempre almeno un autovalore Xx appartenente all'operatore c4, percio la somma

n 2 exv(kjt)gj(x,ri

7 - 1

non e mai vuota e fornisce il termine dominante per grandi valori del tempo t. Allora si pud determinare il comportamento asintotico rispetto al tempo di X assumendo:

(55) % = evp(U)g(x,ii)

e poi trovando il valore di X di parte realerpiu grande per cui tate espressione soddisfi Fequazione

+i

- + | J x{xtfi\t)dfA' . dt '** dx ' 2 _x

Ma questa via non costituisce certo l'analisi rigorosa del problema. Per compiere una analisi rigorosa del medesimo, assumiamo uno

spazio hilbertiano H di funzioni complesse g(x, /*) definite e di quadrato sommabile nel senso di LEBESGUE sul rettangolo:

| x | < a t | JLI | < 1 .

Sara dunque:

+1 +a

( 5 6 ) / dju / \g(xt fi) |2 dx< -f oo . -1 a-

In H si definira l'usuale prodotto interno di due funzioni g ed h

— 144 —

mediante la formula:

+1 +« (57) (g, h)= j dfx j g(x, p) h (x, n) dx \

- 1 ~a

e si definira l'usuale norma:

+1 +a (58) 8II — (g> g)— / dju g(x, /Li) g (x} fi) dx

-1 -a

Scriveremo poi:

(59) ^ S D + C J , D = ^ } J+i

+i

dfx' - l

Sia dD'\\ dominio dell'operatore D, consistente nell'insieme delle funzioni g E / / assolutamente continue rispetto ad x per ogni \JJL\ ^ 1 e tali che DgEiH. Indichiamo con dj il dominio dell'ope­ratore / , consistente nell'insieme di tutte le funzioni g E // tali che Jg esista per ogni x in \x\ ^ a e tali che sia / g E H. Finalmente de-finiamo da come la varieta lineare di tutte le funzioni g appartenenti tanto a dD quanto a dj e tali che si abbia:

(60)

Allora c4 e un operatore dallo spazio di HILBERT alio spazio ;me-desimo con dominio da.

Per quanto riguarda lo spettro dell'operatore cA si pud anzitutto dimostrare che non esistono autovalori nel semipiano a sinistra del piano di GAUSS delle X.

Si dimostrano, in materia di analisi dell'operatore cA, alcuni importanti teoremi, che enunciamo:

I. Non esiste funzione i// E da soddisfacente Vequazione {cA — — \)\\j== 0 per X tale che sia Re(X) < 0.

II. Non esiste funzione i// E da soddisfacente Vequazione {cA — — X)i/r= 0 con X tale che sia Re{X) > 0, Im(X) ¥"0.

— 145 -

III . Lo spettro di punti PacA dell'operatore cA consiste in un in-sieme finito ma non vuoto di punti /3i > /32 >••• > fim tutti si-tuati sul semiasse positivo delVasse reale del piano di GAUSS

delle A.

IV. Lo spettro residuo Ra cA dell'operatore cA e vuoto.

V. Lo spettro continuo dell'operatore cA contiene il semipiano definito dalla disuguaglianza-uguaglianza Re(k) ^ 0.

VI. Uinsieme risolvente di cA e definito dalla disuguaglianza Re(\) > 0, escludendo i punti dello spettro di punti gia citato.

Proprieta essenziale dell'operatore del trasporto e che conferma la giustezza di una analisi approfondita dell'operatore stesso e costi-tuita dal fatto che Voperatore del trasporto considerato non e auto-aggiunto. (Questo fatto e causa di notevole complicazione delle questioni di trasporto, come si vedrebbe dai processi dimostrativi).

Si pud dare una rappresentazione integrate della soluzione del-1'equazione del trasporto. Consideriamo l'equazione integro-diffe-renziale:

+i ran h{xtij,tt) h(x,p,t) , f f , A A , (6 1) — j t — = -A* —Y%—+Jx(x,r,t)dr ,

con le condizioni supplementari:

z(a, /*,t) = 0 , p<0 , * > 0 ;

(62) \ x(~-a,[i,t) = 0 , A * > 0 , * > 0 ;

z(x,t*,0)=f(x,p) , -a<x<a , - 1 < ^ < : + 1 .

Scriveremo:

(63) z(xt f,i,t)=T(t)f(x, fj,) = exp(<At)f(x, p) ,

dove T(t) e un semigruppo di operatori generati dall'operatore cA (effettivamente l'operatore genera un semigruppo T(t) di operatori limitati per t ^ 0).

Da teoremi noti discende allora che la soluzione X e unica nello

10.

— 146 —

spazio hilbertiano H\ segue che e:

(64) lira || x (*, /A, t) - f(x, ^) | | = 0

e che si ha (con l'usuale significato dei simboli):

(65) x (x, JU, t)= lim / exp (Xt) RJdX , co+oo Zjll J.

O-lco

* > o , b>pit feaj .

La letteratura recente sul problema del trasporto, nel modello integro-differenziale, e molto ricca e qui ragioni di spazio ci vietano di insistere anche su tale argomento. Ci limiteremo a citare alcuni risultati soltanto. G. PIMBLEY (vedi bibl. [19]) ha studiato il pro­blema della slab per neutroni a piu gruppi energetici (particolar-mente importante per i reattori nucleari). Precisamente PIMBLEY

ha studiato le equazioni:

(66) i ^(^o+ au^o = i | fNj(Xr „. 0 d, vi ct ox z j=i ./

(i=l,2,3,.;.,n);

con le condizioni supplementari:

- l

(67)

Nt(a, fi, 0 = 0 , / « < 0 ;

Certi risultati si estendono completamente; per altri occorrono con­dizioni restrittive per conservare l'analogia (riguardano la ma-t r ice Cij).

P. P. ABBATI-MARESCOTTI (vedi bibl. [20]) ha studiato il pro­blema della « slab »nella teoria a piu gruppi e nel caso di scattering

— 147 —

non-isotropo, cioe il problema non-stazionario:

(68) dt

= cA%i , 0 = 1,2,...,/!) ,

%i(a, P> 0 = ° , A* < 0 ; & ( - a, J M ) = ° * A* > ° 5

nel rettangolo:

R x I < a f I ^ I : < 1 , con #. i2 (R)'.

ABBATI-MARESCOTTI dimostra, usando la teoria dei semigruppi, un teorema di esistenza e di unicita della soluzione; riduce la de-terminazione del risolvente dell'operatore del trasporto alia risolu-zione di un sistema di equazioni integrali di FREDHOLM di seconda specie; infine determina la soluzione sotto forma di una serie di NEUMANN; discute fisicamente i risultati raggiunti.

Ragioni di spazio mi spingono a limitare il mio « seminario » alle cose sopraesposte. Ringrazio vivamente la direzione del semi­nario matematico dell'universita. e del politecnico di Torino ed in particolare i colleghi T. ZEULI , direttore clell'Istituto di Meccanica razionale, e DIONIGI GALLETTO, direttore dell'Istituto di Fisica ma-tematica dell'universita, per l'onorifico invito.

— 148 —

BIBLIOGRAFIA

[1] E. FERMI, Ricerca scientifica, 1936.

[2] G. C. WICK, Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, 1936.

[3] IDEM, Zeitschrift fiir Physik, 1943.

[4] N. ARLEY, Dansk. Vid. Selks. Medd., 1938.

[5] R. E. MARSHAK, Review of modern Physics, 1947.

[6] E. FERMI, Science, 1947.

[7] M. VERDE, Nuovo Cimento, 1947.

[8] A. PIGNEDOLI, Atti del Seminario matem. e fis. dell'universita di Modena, 1947-48.

[8] C. SALVETTI, Nuovo Cimento, 1949.

[10] A. PIGNEDOLI, Annali di matematica pura ed applicata, 1951. Idem, Journal of rational Mechanics and Analysis, 1955A. Idem, Rendiconti del Seminario matematico dell'universita di Padova, 1956. Idem, Zeitschrift fiir angew. Mathematik und Mechanik, 1961. Idem, loc. cit., 1963. Idem, Archive for rational Mechanics and Analysis, 1963. Idem, Fondamenti della teoria matematica della diffusione dei neutroni, monografie del C.N.R. Cremonese, Roma, 1969.

[11] S. GLASSTONE - M. C. EDLUND, The elements of nuclear reactor theory, New York, 1957.

[12] E. HOPE, Cambridge Tracts, N. 31.

[13] B. DAVISON, Neutron transport theory, Oxford Univ. Press, 1957.

[14] J. K. TAIT, Neutron transport theory, Longmans, London, 1964.

[15] J. LEHNER - C. M. WING, Comm. on pure and applied mathem., 1955. Idem, Duke mathem. Journal, 1956.

[16] K. M. CASE, Ann. Phys., 1960.

[17] E. HILLE, American mathematical society colloquium publications, vol. 31, 1948.

[18] S. PHILIPS, Trans, of the amer. mathem. Soc, 1953.

[19] G. PIMBLEY, Journal of mathematics and mechanics, 1959.

[20] P. P. ABBATI-MARESCOTTI, Atti Accademia Scienze Bologna, 1962.