A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 1 Buca di potenziale unidimensionale...

A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini

V V 0V

0x x L

1

Buca di potenziale unidimensionale infinita

Particella in una buca di potenziale

Particella confinata in una regione limitata di spazio unidimensionale

V( x )

x

L0

condizioni al contorno:

Classicamente: -la particella può avere qualunque energia E 0 e qualunque velocità (momento)

- se si misura la sua posizione i valori 0 < x < L sono equiprobabili

A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli


22

2

( )( ) 0

d x

k xdx

0E k

( ) xx e( ) xd x

edx

22

2

( ) xd xe

dx2 2 0 x xe k e 2 2( ) 0 xe k 2 2 k ik

2

mE

i

per il principio di sovrapposizione se ( ) ikxx e ( ) ikxx e sono soluzioni anche e

1 2( ) ikx ikxx C e C e sara’ una possibile soluzione

se supponiamo che

Equazione di Shroedinger indipendente dal tempo

assunto che ossia che

ossia se V(x) = 0, si ha

2 2

2

1

2

Em

d x

x dx

2 / k mE e posto

l’ equazione di Shroedinger indipendente dal tempo si riconduce a

equazione dell’oscillatore armonico semplice

e

dunque

sia una soluzione si ha

in conclusione: esistono due soluzioni immaginarie

C1 e C2 saranno due numeri complessi


dove in generale

2 2

2

1( )

2V x E

m

d x

x dx

con potenziale nullo ovunque,


1 2( ) ikx ikxx C e C e

possiamo allora porre 1 1 1 C a ib

2 2 2 C a ib con 1 1 2 2, , , a b a b

utilizzando le formule di Eulero

1 1 2 2( ) ( ) ikx ikxa ib e a ib e

cos ikxe kx isenkx cos ikxe kx isenkx

1 1 2 2( ) ( )(cos ) ( )(cos ) x a ib kx isenkx a ib kx isenkx

1 1 1 1 2 2 2 2( )(cos ) ( )( ) ( )(cos ) ( )( ) a ib kx a ib isenkx a ib kx a ib isenkx

1 1 2 2 2 2 1 1( )(cos ) ( )( ) a ib a ib kx a ib a ib isenkx

2 21 2 1 2 2 2 1 1( ( )) cos ( ) a a i b b kx ia i b ia i b senkx

1 2 1 2 2 2 1 1( ( )) cos ( ) a a i b b kx ia b ia b senkx

( )x Asinkx Bcoskx dove1 2 1 2( ) ( )B a a i b b

1 2 1 2( ) ( )A b b i a a

A e B si dovranno determinare in funzione delle condizioni al contorno


e


assumeremo che E sia sempre maggiore di V, anche nel caso

2 2

2

1

2

Em

d x

x dx

se nell’equazione di Schroedinger con potenziale nullo non fosse presente il segno negativo,

la sola cosa che cambierebbe e’ che al posto della

dovremmo risolvere la 2 2

2

1

2

Em

d x

x dx

ragionando in modo identico a prima 2 2 k

2

mE

e per il principio di sovrapposizione se

( ) kxx e ( ) kxx e fossero soluzioni anche e 1 2( ) kx kxx C e C e

sarebbe una possibile soluzione

anche in questo caso esisterebbero due

in generale dei numeri complessi

( ) xx ese ipotizzassimo che otterremmo

che si dovranno determinare in funzione delle condizioni al contorno

da notare pero’ come queste soluzioni in linea di massima non siano normalizzabili

perche’ l’integrale tra

quindi, da un punto di vista strettamente matematico

soluzioni , questa volta reali dato che

diverge e quindi se possibile assumeremo che E > 0 se V = 0

ed E V > 0 se V e’ diverso da zero , ossia

in caso contrario dovremo valutare caso per caso le possibili soluzioni scartando quelle non normalizzabili


cio’ si traduce nell’ imporre che l’ energia cinetica T sia positiva

V sia negativo di modo che risulti sempre E V > 0 e dato che E e’ l’energia totale , cinetica piu’ potenziale

e anche in questo caso C1 e C2 sarebbero

e questo equivarrebbe ad avere energia cinetica negativa ! negativa !


una prima soluzione e’ : ψI(x)=0 per x < 0

2

2 2

( ) 20 : ( )

d x mEx L x

dx

per

2

2mEk

con

per un potenziale dato da:

( buca di potenziale infinita )

la particella in questo caso non può mai trovarsi a x negative,

nel caso della buca di potenziale unidimensionale infinita occorrera’ determinare la funzione d’onda

( ) sen( ) cos( )II x A kx B kx


( )V x

0 ( )x I

0 0 ( )x L II

( )x L III

2

2 2

( ) 2( ) 0

d x mEx

dx

né a x > L

e ψIII(x)=0 per x > L


Per determinarli ricorreremo alle proprieta’ della funzione d’onda ed alle condizioni al contorno

0, (0) (0) 0I IIper x B

imponendo la continuità anche per x = L ( ) ( )II IIIL L

nk

L

solo certi valori di energia sono permessi

normalizzazione:*( ) ( ) 1x x dx

dunque in questo particolare caso si puo’ scegliere A reale quindi: ( ) sen( ) 2 /II x kx L

con n = 1, 2, 3, … intero

A, B, e k e quindi E sono incogniti.

per determinare A imporremo la condizione di normalizzazione della funzione d’onda

richiedendo la continuità della funzione d’onda per x = 0 :

l’ energia è quantizzata


0A

sin 0A kx

( ) sen( )II x A kx quindi

2 22

22E n

mL

*

0

( ) ( ) 1L

II IIx x dx * / 2 1A AL

con interokL n noppure2

228

hn

mL


NB.: a) n 1, altrimenti (x) = 0 dato che se n=0 la funzione seno si annullerebbe per ogni x b) P(x) dipende da x c) Notare l’equivalenza con le onde stazionarie. 7

2 2 2

2 2 2

20

2

mV E E

m x x

Stati stazionari: (x) = 0 per x 0, x L

0 0

2sin( ),

2, , 1, 2,3,...

x kxL

mEk kL n n

2 2

2n

nE

L m

autofunzioni


(x) 0 per 0 < x < L

autovalori

2sin

nEi t

n x n x eL L

2sinn x n x

L L


8

Buca di potenziale infinita

Autovalori

Esempio: elettrone in una buca di potenziale larga L=100 pm (dimensioni tipiche di un atomo)

• E può avere solo valori discreti (livelli energetici), con E >0 .• Il livello inferiore n =1 è lo stato fondamentale.• Gli altri livelli di energia sono detti stati eccitati.

• Se fosse E = 0 sarebbe p= 0, p = 0, ma da px=h sarebbe x =

2 22 2

2 8n

n h nE

L m L m


vai all’esercizio Livelli energetici in una buca di potenziale infinita

i sistemi confinati devono avere energia E > 0


9

Autofunzioni

2, sin

nEi t

n x t n x eL L

Densità di probabilità …

… degli stati stazionari: indipendente dal tempo

Parte indipendente dal tempo


2sinn x n x

L L

sono funzioni ortonormali: ogni funzione f(x) può essere scritta

1

( ) n nn

f x c x

2 ( ) 1n x dx



La densità di probabilità per un elettrone intrappolato è quindi:

2 22( ) sin con 1,2,3,....n

nx x n

L L

Esempio per L= 100 pm

La probabilità non è costante per tutti gli x interni alla buca di potenziale, contrariamente a quanto ci si potrebbe aspettare dalla fisica classica

inoltre

La distribuzione di probabilità varia al variare del numero

quantico n. All’aumentare di n la distribuzione di probabilità tende ad essere uniforme.Cioè

la fisica quantistica approssima quella classica (principio di

corrispondenza)

Probabilità

10



vai all’esercizio Probabilita’ per una particella intrappolata in una buca di potenziale infinita


11


Soluzioni dipendenti dal tempo

2, sin

nEi t

n x t n x eL L

1

( , ) ,n nn

x t c x t

Stato stazionario probabilità costante.

Stato generico: sovrapposizione di stati probabilità variabile.

http://www.falstad.com/qm1d/

Dalle relazioni di ortonormalità e di completezza si può dimostrare in generale che:

2

1

1nn

c

… e in particolare:

2

1n n

n

H c E

Conservazione dell’energia

Analogo del moto di una particella



12

Momento

nnp

i x

n n np p non esistono pn che soddisfino una equazione agli autovalori; cioè le n non sono autofunzioni del momento

n è sinusoidale dentro la buca, ma nulla fuori dalla buca, pertanto è una forma d’onda complicata, rappresentabile in serie di Fourier con onde di diversa lunghezza d’onda.

allora (p = h/) non vi è un momento univoco associato all’autofunzione (siccome x L allora px h/L)

operatore momento pi x

2

( )2

pH V x

m

2 2

2( )

2H V x

m x

e’ l’ Hamiltoniana

in termini di operatori risolvere l’equazione di Schoredinger indipendente dal tempo equivale a determinareH E

operatore Hamiltoniano

ci si puo’ domandare se le soluzioni n trovate siano anche autofunzioni dell’operatore momento e

classicamente

quindi 2

sin n xi x L L

2

cosn n xi L L L


vai all’esercizio Principio di indeterminazione in una buca di potenziale infinita


le autofunzioni e gli autovalori dell’equazione

nel caso esistano, quali siano gli autovalori pn del momento che soddisfino una equazione agli autovalori


V( x )

x

L0

13

Riepilogo

2 2

2sin 2

sin

1,2,3...2

nEi tn

n

n

x n xL L x n x e

L Ln n numeri quanticiE

L m

1

2( , ) sin

nEi t

nn

x t c n x eL L

2

1n n

n

H c E

n n np p

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