07 – LOGICA DELLE PROPOSIZIONI...07 – LOGICA DELLE PROPOSIZIONI Obiettivi didattici - Conoscere...

07 – LOGICA DELLE PROPOSIZIONI Obiettivi didattici - Conoscere i principi della logica delle proposizioni. - Conoscere i connettivi vero-funzionali e saperli usare correttamente. - Saper costruire la tavola di verità di una proposizione composta. - Individuare i connettivi vero-funzionali in frasi del linguaggio comune. Paragrafi ed esercizi 1. LE PROPOSIZIONI 2. I CONNETTIVI 3. CONNETTIVI E LINGUAGGIO COMUNE

Antonio Caputi – Roberto Manni – Sergio Spirito

1. LE PROPOSIZIONI In logica con il termine proposizione indichiamo ogni frase per la quale ha senso chiedersi se essa è vera o falsa (a prescindere dal fatto che si sappia quale delle due eventualità si presenta), ossia alla quale si può attribuire un valore di verità. Tali frasi pertanto non devono contenere elementi di soggettività, né riguardare eventi futuri; non prenderemo quindi in considerazione frasi del tipo “Guernica è il quadro più bello di Picasso” (soggettiva, perché le mie valutazioni di “bello” potrebbero essere diverse da quelle di un’altra persona) o del tipo “Lanciando questo dado uscirà 5” (frase che riguarda un evento futuro e che quindi non rientra nella matematica del certo, ma in quella del probabile). 1.1 VALORI DI VERITÀ Ponendoci nelle condizioni descritte, tipiche della logica classica, possiamo attribuire uno solo dei due valori di verità, vero o falso, ad ogni proposizione p; questa particolare condizione è chiamata principio di bivalenza, che si è soliti formulare attraverso il principio del terzo escluso ed il principio di non contraddizione. Vediamoli in dettaglio. Principio del terzo escluso Ogni proposizione p è vera o falsa e non vi è una terza possibilità (in latino tertium non datur, da cui il nome di terzo escluso). Ciò vuol dire che ogni proposizione p assume almeno uno dei due valori di verità: vero, che indichiamo con V, o falso, che indichiamo con F. Principio di non contraddizione Ogni proposizione p non può essere contemporaneamente vera e falsa. Questo vuol dire che ogni proposizione p assume al massimo uno dei due valori di verità V o F. I precedenti possono essere sintetizzati nel Principio di bivalenza Ogni proposizione p è sempre o vera o falsa. Questo significa che ogni proposizione p assume esattamente uno, cioè uno ed uno solo, dei due valori di verità V o F. Per indicare che una proposizione p è vera scriviamo val(p) = V; invece per indicare che una proposizione p è falsa scriviamo val(p) = F. ESEMPIO Attribuiamo un valore di verità alle seguenti proposizioni di tipo matematico: a : “Il numero 5 è pari” ; b : “Il quadrato ha i lati di uguale lunghezza” ; c : “Il numero 10 è divisibile per 5” ; d : “Il numero 2 è un numero primo”. Ovviamente risulta val(a) = F , val(b) = V , val(c) = V , val(d) = V.

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Nell’esempio precedente abbiamo considerato solo proposizioni semplici, dette anche atomiche, costituite da un soggetto e da un predicato nominale oppure da un soggetto, un predicato verbale e da complementi. Si possono ovviamente avere anche proposizioni con verbi impersonali, come “Oggi piove”. APPLICHIAMO ... Assegnate il valore di verità alle seguenti proposizioni semplici 1. a : "Il numero 7 è dispari" ; b : "Un quadrilatero ha quattro lati" ; c : "Il numero 24 è un numero composto" ; d : "Il triangolo ha tre vertici". 2. a : "Il numero 203 è divisibile per 7" ; b : "Il trapezio ha i lati opposti paralleli" ; c : "Il numero 12321 è divisibile per 11" ; d : "Il numero 732 è divisibile per 3". 2. I CONNETTIVI A partire da proposizioni semplici possiamo costruire altre proposizioni, dette composte, mediante l'uso di termini, detti connettivi, i quali, collegando tra loro una o più proposizioni semplici, consentono di costruire proposizioni composte il cui valore di verità dipende unicamente dai valori di verità delle singole proposizioni componenti, motivo per cui i connettivi della logica classica sono detti anche connettivi vero-funzionali. Essi possono operare sia su proposizioni semplici che su proposizioni composte. Passiamo ora ad esaminarli uno alla volta. 2.1 LA NEGAZIONE Ad un certo punto del suo "viaggio nel Paese delle Meraviglie", Alice incontra un coniglio che sta festeggiando il suo "non compleanno". Ad Alice che gli chiede il motivo di questo insolito festeggiamento, il coniglio risponde che è più conveniente, perché in un anno ci sono 364 "non compleanni" ed un solo compleanno. Questo episodio tratto dal libro "Alice nel Paese delle Meraviglie" dello scrittore e matematico Lewis Carroll ci introduce al connettivo della negazione. Esaminiamo queste due frasi : p : "Oggi è il mio compleanno"; q : "Oggi non è il mio compleanno" (o, come direbbe il coniglio, "Oggi è il mio non compleanno"). È evidente che non è possibile che queste sue due affermazioni siano vere nello stesso giorno: se è vera la prima, è falsa la seconda, e viceversa. In questi casi si dice la proposizione q è la negazione della proposizione p, come chiarito dalla seguente DEFINIZIONE (negazione "non") Data una proposizione p, si chiama negazione di p la proposizione ottenuta operando su p con il connettivo di negazione "non". Essa è indicata con p o con p¬ , che si legge "non p", ed è falsa quando p è vera, mentre è vera quando p è falsa, come illustrato nella tabella successiva, chiamata tavola di verità della negazione.

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p p

V F

F V

La negazione è l'unico connettivo che opera su una sola proposizione. ESEMPI 1. La negazione di p: "Tutti gli alunni di questa classe studiano la matematica" è p : "Qualche alunno di questa classe non studia la matematica". Infatti, affinché sia falsa p, ossia non sia vero che tutti studiano la matematica, basta anche un solo alunno non la studi. 2. La negazione di p: "In questa classe qualche alunno è assente" è p : "In questa classe tutti gli alunni sono presenti". 3. La negazione di p: "Il numero naturale x è composto" è p : "Il numero naturale x non è composto"; per tali proposizioni, anche se ha senso chiedersi se sono vere o false, non è possibile stabilirne il valore di verità. OSSERVAZIONE Consideriamo la negazione di p , ossia p , che si legge "non non p", la cui tavola di verità è

p p p

V F V

F V F

Notiamo che e p p assumono gli stessi valori di verità negli stessi casi, ossia sono entrambe vere o entrambe false, pertanto diciamo che le due proposizioni sono logicamente equivalenti o semplicemente equivalenti. Più in generale, diamo la seguente DEFINIZIONE (proposizioni equivalenti) Si dice che due proposizioni p e q sono logicamente equivalenti o semplicemente equivalenti e si scrive p q⇔ se assumono lo stesso valore di verità in corrispondenza degli stessi valori delle proposizioni componenti. APPLICHIAMO ... Scrivete la negazione delle seguenti proposizioni; indicate il loro valore di verità e quello delle loro negazioni. 1. a : "Il numero 7 è dispari" ; b : "Un quadrilatero ha quattro lati" ; c : "Il numero 24 è un numero composto" ; d : "Il triangolo non ha tre vertici".

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2. a : "Il numero 203 è divisibile per 7" ; b : "Il trapezio ha i lati opposti paralleli" ; c : "Il numero 12321 è divisibile per 11" ; d : "Il numero 732 non è divisibile per 3". 2.2 LA CONGIUNZIONE Consideriamo le due proposizioni: p : "Mario studia la matematica", q : "Mario ascolta la musica". Possiamo unire le due frasi, collegandole con la congiunzione "e", ottenendo: "Mario studia la matematica e ascolta la musica". Partendo dalle proposizioni semplici p e q abbiamo ottenuto, mediante la congiunzione, la proposizione composta "p e q", che è vera se e solo se è vero che Mario studia la matematica ed è vero che Mario ascolta la musica, ossia se p e q sono entrambe vere. Possiamo quindi dare la seguente DEFINIZIONE (congiunzione "e") Date due proposizione p e q, si chiama congiunzione di p con q la proposizione ottenuta collegandole con il connettivo di congiunzione "e". Essa è indicata con p q∧ , che si legge "p e q", ed è vera solo quando sia p che q sono vere, mentre è falsa quando almeno una delle due componenti è falsa, come illustrato nella tabella, chiamata tavola di verità della congiunzione.

p q p q

V V V

F V F

V F F

F F F La congiunzione di p con q si può scrivere e leggere anche "p et q" ; il termine "et" individua in latino la congiunzione "e". Nell'esempio iniziale le due proposizioni hanno lo stesso soggetto. Ovviamente possiamo usare il connettivo "e" anche se il soggetto è diverso o con frasi impersonali. Non è necessario che le due proposizioni riguardino argomenti tra loro collegati. ESEMPI 1. Congiungendo "Mario studia la matematica" con "Chiara ascolta la musica" otteniamo "Mario studia la matematica e Chiara ascolta la musica". 2. Congiungendo "In questo momento piove" con "In questo momento c'è il sole" otteniamo "In questo momento piove e c'è il sole".

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3. Congiungendo "Cristoforo Colombo scoprì l'America" con la negazione di "Chopin era un musicista" otteniamo "Cristoforo Colombo scoprì l'America e Chopin non era un musicista"; essa È falsa perché "Chopin non era un musicista" è falsa. APPLICHIAMO ... Scrivete la congiunzione di a con ognuna delle tre proposizioni successive e di d con la negazione di ognuna delle tre precedenti; individuare le congiunzioni vere. 1. a : "Il numero 7 è dispari" ; b : "Un quadrilatero ha quattro lati" ; c : "Il numero 24 è un numero composto" ; d : "Il triangolo ha tre vertici". 2. a : "Il numero 203 è divisibile per 7" ; b : "Il trapezio ha i lati opposti paralleli" ; c : "Il numero 12321 è divisibile per 11" ; d : "Il numero 732 è divisibile per 3". Abbiamo detto che i connettivi vero-funzionali sono dei termini che, collegando tra loro una o più proposizioni semplici, consentono di costruire proposizioni composte il cui valore di verità dipende unicamente dai valori di verità delle singole proposizioni componenti. Vediamo ora come determinare il valore di verità di una proposizione composta in base al valore delle singole proposizioni componenti ; per fare ciò utilizzeremo delle tabelle, dette tavole di verità, analoghe a quella della congiunzione. ESEMPIO Consideriamo ( )a b c∧ ∧ ; il numero dei casi da esaminare dipende dal numero delle proposizioni semplici componenti. In questo esempio ci sono tre componenti, quindi i casi sono 8. In generale, se una proposizione è composta da n proposizioni semplici, bisogna esaminare 2n casi. Nella prima colonna riportiamo i valori di a, alternando V con F ; nella seconda quelli di b, alternando 2 volte V con 2 volte F ; nella terza quelli di c, alternando 4 volte V con 4 volte F. Nella quarta riportiamo i valori di a b∧ desunti dal confronto tra la prima e la seconda colonna; nella quinta i valori di c desunti dalla terza. Nell'ultima colonna riportiamo i valori di ( )a b c∧ ∧ ricavati dal confronto tra quarta e quinta colonna. Otteniamo così la seguente tavola di verità:

a b c a∧b c (a∧b)∧ cV V V V F FF V V F F FV F V F F FF F V F F FV V F V V VF V F F V FV F F F V FF F F F V F

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APPLICHIAMO ... Costruite la tabella di verità delle seguenti proposizioni composte. 1. , , , .q p p q p q p q∧ ∧ ∧ ∧ 2. ( ) , ( ) , ( )a b c a b c a b c∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ . OSSERVAZIONE Confrontando la tavola di verità di p q∧ con quella di q p∧ del precedente esercizio 1, possiamo notare che, in corrispondenza degli stessi valori di p e q, le due proposizioni composte assumono gli stessi valori, cioè sono logicamente equivalenti ; in simboli ( ) ( )p q q p∧ ⇔ ∧ . 2.3 LA DISGIUNZIONE INCLUSIVA Partiamo dalle due proposizioni: p : "Mario studia la matematica", q : "Mario studia la fisica". e colleghiamole con la disgiunzione "o", ottenendo: "Mario studia la matematica o studia la fisica". Partendo dalle proposizioni semplici p e q abbiamo ottenuto, mediante la disgiunzione, la proposizione composta "p o q", che è vera se è vero che Mario studia la matematica o è vero che Mario studia la fisica, ossia se è vera p oppure q oppure entrambe. Possiamo quindi dare la seguente DEFINIZIONE (disgiunzione inclusiva "o") Date due proposizione p e q, si chiama disgiunzione inclusiva o semplicemente disgiunzione di p con q la proposizione ottenuta collegandole con il connettivo di disgiunzione inclusiva "o". Essa è indicata con p q∨ , che si legge "p o q", ed è vera quando è vera p oppure q oppure entrambe, mentre è falsa solo quando sono entrambe false, come illustrato nella tabella, chiamata tavola di verità della disgiunzione.

p q p q

V V V

F V V

V F V

F F F

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La disgiunzione di p con q si può anche scrivere e leggere "p vel q" ; il termine "vel" individua in latino la "o" con significato inclusivo. Ovviamente anche per la disgiunzione valgono le considerazioni già fatte per la congiunzione: possiamo usare il connettivo "o" anche se il soggetto delle due frasi è diverso o se le frasi sono impersonali. Non è necessario che le due proposizioni riguardino argomenti tra loro collegati. ESEMPI 1. Disgiungendo "Elena studia la storia" con "Sara ascolta la radio" otteniamo "Elena studia la storia o Sara ascolta la musica". 2. Disgiungendo "Oggi è nuvoloso" con "Oggi tira vento" otteniamo "Oggi è nuvoloso o tira vento". 3. Disgiungendo "Alfred Nobel inventò la dinamite" con la negazione di "Colombo scoprì l'America" otteniamo "Alfred Nobel inventò la dinamite o Colombo non scoprì l 'America", che è vera perché "Alfred Nobel inventò la dinamite" è vera. APPLICHIAMO ... Scrivete la disgiunzione di a con ognuna delle tre proposizioni successive e di d con la negazione di ognuna delle tre precedenti ; individuare le disgiunzioni vere. 1. a : "Il numero 7 è dispari" ; b : "Un quadrilatero ha quattro lati" ; c : "Il numero 24 è un numero composto" ; d : "Il triangolo ha tre vertici". 2. a : "Il numero 203 è divisibile per 7" ; b : "Il trapezio ha i lati opposti paralleli" ; c : "Il numero 12321 è divisibile per 11" ; d : "Il numero 732 è divisibile per 3". ESERCIZI GUIDATI 1. Verificare che ( ) ( )p q p q∧ ⇔ ∨ , equivalenza nota come prima legge di De Morgan. Costruiamo un'unica tavola di verità per le due proposizioni.

Essa evidenzia che p q∧ è logicamente equivalente a p q∨ . 2. Verificare che ( ) ( )p q p q∨ ⇔ ∧ , equivalenza nota come seconda legge di De Morgan. Costruiamo un'unica tavola di verità per le due proposizioni.

p q p ∨ q p q∨ p q p ∧ qV V . . . . . . F F . . .F V V F V F FV F . . . . . . F V . . .F F F V V V V

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Essa evidenzia che p q∨ è logicamente equivalente a p q∧ . APPLICHIAMO ... Costruite la tabella di verità delle seguenti proposizioni composte. 1. , , , ( ) , ( )q p p q p q p q p p p q∨ ∨ ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ . 2. ( ) , ( ) , ( ) , ( )a b c a b c a b c a b c∧ ∨ ∨ ∧ ∧ ∨ ∨ ∧ . OSSERVAZIONE Confrontando la tavola di verità di p q∨ con quella di q p∨ del precedente esercizio 1, possiamo notare che, in corrispondenza degli stessi valori di p e q, le due proposizioni composte assumono gli stessi valori, cioè sono logicamente equivalenti ; in simboli ( ) ( )p q q p∨ ⇔ ∨ . 2.4 LA DISGIUNZIONE ESCLUSIVA Riprendiamo le due proposizioni: p : "Mario studia la matematica", q : "Mario studia la fisica". e colleghiamole in modo da evidenziare che, per un motivo qualunque, Mario non studia entrambe le materie : "Mario o studia la matematica o studia la fisica". Partendo dalle proposizioni semplici p e q abbiamo ottenuto, mediante la disgiunzione esclusiva, la proposizione composta "o p o q", che è vera se è vero che Mario studia la matematica o se è vero che Mario studia la fisica, ma non è vero che Mario studia la matematica e studia la fisica, cioè "o p o q" è vera se è vera solo p oppure soltanto q. Il termine "esclusiva" si riferisce quindi al fatto che tale disgiunzione esclude il caso in cui p e q sono entrambe vere dal valore di verità V, in contrapposizione alla disgiunzione precedentemente vista, che invece è detta "inclusiva" proprio perché lo include. Possiamo quindi dare la seguente

p q p ∨ q p q∨ p q p ∧ qV V . . . . . . F F . . .F V V F V F FV F . . . . . . F V . . .F F F V V V V

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DEFINIZIONE (disgiunzione esclusiva "o ... o ...")

Date due proposizione p e q, si chiama disgiunzione esclusiva di p con q la proposizione ottenuta collegandole con il connettivo di disgiunzione esclusiva "o ... o ...". Essa è indicata con p q∨ , che si legge "o p o q", ed è vera quando è vera p oppure q, mentre è falsa quando sono entrambe vere o entrambe false, come illustrato nella tabella seguente, chiamata tavola di verità della disgiunzione.

p q p q

V V F

F V V

V F V

F F F

La disgiunzione esclusiva di p con q si può anche scrivere e leggere "p aut q" ; il termine "aut" individua in latino la "o" con significato esclusivo. Ovviamente anche per la disgiunzione valgono le considerazioni già fatte per la congiunzione e la disgiunzione inclusiva, come illustrato dai seguenti

ESEMPI

Disgiungendo esclusivamente

1. "Elena guarda la tv" con "Sara ascolta la radio" otteniamo "O Elena guarda la tv o Sara ascolta lamusica". 2. "In questo momento è nuvoloso" con "In questo momento c'è vento" otteniamo "In questomomento o è nuvoloso o c'è vento". 3. "Nobel inventò la dinamite" con "Colombo scoprì l'America" otteniamo "O Nobel inventò ladinamite o Colombo scoprì l'America", che è falsa perché le componenti sono entrambe vere.

APPLICHIAMO ...

Scrivete la disgiunzione esclusiva di a con ognuna delle tre proposizioni successive e di d con la negazione di ognuna delle tre precedenti; individuare le proposizioni composte vere.

1. a : "Il numero 7 è dispari" ; b : "Un quadrilatero ha quattro lati" ; c : "Il numero 24 è unnumero composto" ; d : "Il triangolo ha tre vertici". 2. a : "Il numero 203 è divisibile per 7" ; b : "Il trapezio ha i lati opposti paralleli" ; c : "Ilnumero 12321 è divisibile per 11" ; d : "Il numero 732 è divisibile per 3".

ESERCIZIO GUIDATO

Verifichiamo che p q∨ È logicamente equivalente a ( ) ( )p q p q∧ ∨ ∧ .

Costruiamo la relativa tavola di verità.

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Poiché i valori di verità di p q∨ e di ( ) ( )p q p q∧ ∨ ∧ negli stessi casi sono uguali, esse sono logicamente equivalenti.

APPLICHIAMO ...

Costruite la tavola di verità delle seguenti proposizioni composte.

1. , , , ( ) , ( )q p p q p q p q p p p q∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∧ ∨ .2. ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) a b c a b c a b c a b a c∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ∨ ∧ ∨ .

OSSERVAZIONI

Confrontando la tavola di verità di p q∨ con quella di q p∨ del precedente esercizio 1, possiamo notare che, in corrispondenza degli stessi valori di p e q, le due proposizioni composte assumono gli stessi valori, cioè sono equivalenti ; in simboli ( ) ( )p q q p∨ ⇔ ∨ .

Notiamo infine che nella lingua italiana non c'è una chiara distinzione tra "oppure" con significato inclusivo ed "oppure" con significato esclusivo, mentre in latino nel primo caso si usa vel ... vel..., nel secondo aut ... aut ...; questo spiega perché il simbolo ∨ viene letto anche "vel" e il simbolo ∨ viene letto anche "aut".

2.5 IL CONDIZIONALE

Immaginiamo di partecipare ad un gioco di società, in cui si utilizzano 4 mazzi di carte francesi opportunamente scelte : il primo è formato da 40 carte (10 carte, dall'asso al 10, per ognuno dei 4 semi : cuori, quadri, fiori, picche) tutte con il dorso blu ed è sistemato sul tavolo con il dorso delle carte verso l'alto; il secondo ha le stesse carte del primo, ma con il dorso rosso, ed è posto sul tavolo nello stesso modo; il terzo è formato dalle 20 carte pari del primo mazzo (dorso blu) e dalle 20 pari del secondo (dorso rosso) ed è posto sul tavolo con il dorso delle carte verso il basso ; il quarto contiene le 20 carte dispari del primo mazzo (dorso blu) e le 20 dispari del secondo (dorso rosso), considerando dispari l'asso di ogni seme, ed è posto sul tavolo nello stesso modo del terzo. Ad ogni giocatore vengono date quattro carte, una da ogni mazzo, senza girarle; egli quindi avrà davanti una carta col dorso blu ed una col dorso rosso (che non sa se sono pari o dispari), una carta pari ed una dispari (delle quali non conosce il colore del dorso), come illustrato nella seguente figura.

p q p q∨ p q p ∧ q p ∧ q (p∧q )∨( p∧q)V V F F F F F FF V . . . . . . . . . . . . . . . . . .V F V F V V F VF F . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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♣ ♠

♣ ♠

2 3

32

♣

♣

♠♠

♠

Il gioco1 consiste nel verificare, scoprendo solo due carte, se è rispettata la seguente regola:

"Se il dorso della carta è rosso, allora essa deve essere pari".

Per ognuna delle quattro carte si può verificare una delle situazioni schematizzate come segue:

blu - pari, blu - dispari, rosso - pari, rosso - dispari.

Evidentemente "rosso - pari" rispetta la regola, mentre "rosso - dispari" non la rispetta. Per quanto riguarda "blu - pari" e "blu - dispari", non possiamo dire che la regola è violata, poiché essa afferma che la carta deve essere necessariamente pari solo se il suo dorso è rosso, quindi, se il dorso è blu, può essere sia pari che dispari. In conclusione la regola è violata, ossia è falsa la frase "se il dorso della carta è rosso, allora essa deve essere pari", solo nel caso "rosso - dispari". Quindi per noi non è interessante girare la carta col dorso blu (perché può essere sia pari che dispari), né la carta pari (perché se il suo dorso è rosso, la regola è rispettata, se è blu, non è violata); dobbiamo invece girare la carta col dorso rosso (per vedere se è pari) e la carta dispari (per vedere se il dorso è blu, in quanto un dorso rosso per una carta dispari significherebbe una violazione della regola).

Osserviamo che la proposizione "se il dorso della carta è rosso, allora essa deve essere pari" è formata delle due proposizioni semplici "il dorso della carta è rosso" e "la carta deve essere pari", collegate da "se ... , allora ..."; partendo da due proposizioni ne abbiamo ottenuta un'altra, che è vera se le componenti sono entrambe vere o se la prima di esse è falsa, mentre è falsa solo quando la prima è vera e la seconda è falsa. Abbiamo quindi utilizzato un nuovo connettivo, chiamato condizionale.

DEFINIZIONE (condizionale "se ... , allora ...")

Date due proposizione p e q, si chiama condizionale (o anche implicazione materiale) di antecedente p e conseguente q la proposizione ottenuta collegando p a q con il connettivo condizionale "se ... , allora ...". Essa è indicata con p q→ , che si legge "se p, allora q" o anche "p solo se q", ed è vera quando sono vere sia p che q o quando p è falsa, mentre è falsa solo quando p è vera e q è falsa, come illustrato nella tabella a fianco, chiamata tavola di verità del condizionale.

1 Il "gioco" che giustifica la definizione del connettivo se ..., allora ... è tratta da un articolo del prof. C. Marchini (Un. Parma), pubblicato sul Quaderno n.3 dei Seminari di didattica dell'Un.di Lecce, a.a. 1988-89. Lo

gica

del

le p

ropo

sizi

oni

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p q p q

V V V

F V V

V F F

F F V

Nell'esempio iniziale le due proposizioni riguardano argomenti tra loro collegati, dovendo formare mediante il "se ... , allora ..." una regola di gioco. Per operare con il condizionale su due proposizioni non è necessario che ciò accada; tra esse può non esservi alcun collegamento, come illustrato nei seguenti

ESEMPI

Con il condizionale

1. di antecedente "Elena frequenta la terza media" e conseguente "Sara va al liceo" otteniamo "SeElena frequenta la terza media, allora Sara va al liceo". 2. di antecedente "In questo momento piove" e conseguente "In questo momento c'è il sole"otteniamo "Se in questo momento piove, allora c'è il sole". 3. di antecedente "Nobel inventò la dinamite" e conseguente la negazione di "Colombo scoprìl'America" otteniamo "Se Nobel inventò la dinamite, allora Colombo non scoprì l'America". Tale implicazione potrebbe sembrare falsa perché priva di nesso logico ; in realtà è falsa in quanto l'antecedente "Nobel inventò la dinamite" È vera, mentre la conseguente "Colombo non scoprì l'America" è falsa. 4. di antecedente "9 è numero primo" e conseguente "il quadrato ha i lati di uguale lunghezza"otteniamo "se 9 è numero primo, allora il quadrato ha i lati di uguale lunghezza", implicazione vera, anche se tra antecedente e conseguente non vi è alcun nesso, perché la proposizione antecedente è falsa.

OSSERVAZIONI

Esaminiamo la seguente tavola di verità

In essa abbiamo inserito cinque proposizioni composte mediante il connettivo → : p q→ , chiamata implicazione diretta; q p→ , chiamata implicazione inversa;

p q p → q q → p p q p → q q → p p q→V V V V F F V V FF V V F V F F V FV F F V F V V F VF F V V V V V V F

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p q→ , chiamata implicazione contraria; q p→ , chiamata implicazione contriversa o contronominale; p q→ , che è la negazione di p q→ .

Confrontando la terza colonna della tavola con la quarta possiamo notare che, in corrispondenza degli stessi valori di p e q, l'implicazione diretta e quella inversa non assumono gli stessi valori, cioè non sono equivalenti; se invece confrontiamo la terza colonna con la penultima, troviamo gli stessi valori negli stessi casi, quindi l'implicazione diretta e la sua contronominale sono logicamente equivalenti; in simboli ( ) ( )p q q p→ ⇔ → . Notiamo infine che né l'implicazione inversa, né la contraria, né la contronominale sono equivalenti alla negazione dell'implicazione diretta.

ESERCIZIO GUIDATO

Verificate con una tavola di verità che ( ) ( )p q p q→ ⇔ ∧ .

APPLICHIAMO ...

Scrivete l'implicazione diretta di antecedente a e conseguente b, la sua inversa, la sua contraria e la sua contronominale; individuare le implicazioni vere.

1. a : "Il numero 7 è dispari" ; b : "Un quadrilatero ha quattro lati".2. a : "Il numero 24 è un numero composto" ; b : "Il triangolo ha tre vertici".3. a : "Il numero 203 è divisibile per 7" ; b : "Il trapezio ha i lati opposti paralleli".4. a : "Il numero 12321 è divisibile per 11" ; b : "Il numero 732 è divisibile per 3".

Costruire la tabella di verità delle seguenti proposizioni composte.

6. , , , ( ) , ( ) , ( ) ( )q p p q p q p q p p p q p q q p→ → → ∨ → ∧ → → ∨ → .7. ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( )a b c a b c a b c a b a c a b b c∧ → ∧ → ∧ → → ∧ ∨ → ∧ → .

2.6 IL BICONDIZIONALE

Abbiamo già osservato che p q→ e q p→ non sono equivalenti, in particolare non sempre assumono il valore V negli stessi casi; tuttavia è interessante vedere quando ciò accade, ossia quando è vera ( ) ( )p q q p→ ∧ → . Costruiamone la tavola di verità.

p q p → q p q→ q p ∧ qV V V F F FF V . . . . . . . . . . . .V F F V V VF F . . . . . . . . . . . .

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Esaminandola, possiamo concludere che p q→ e q p→ sono entrambe vere se p e q hanno lo stesso valore di verità. Partendo dal connettivo → abbiamo così costruito un nuovo connettivo, il bicondizionale.

DEFINIZIONE (bicondizionale "se e solo se")

Date due proposizione p e q, si chiama bicondizionale (o anche coimplicazione o equivalenza materiale) tra p e q la proposizione ottenuta collegando p a q con il connettivo bicondizionale "se e solo se". Essa è indicata con p q↔ , che si legge "p se e solo se q", ed è vera quando p e q sono entrambe vere o entrambe false, mentre è falsa quando una delle due è vera e l'altra è falsa, come illustrato nella tabella seguente, chiamata tavola di verità del bicondizionale.

p q p q

V V V

F V F

V F F

F F V

In base alla definizione data, è evidente che p q↔ è logicamente equivalente a q p↔ .

Anche per operare con il bicondizionale su due proposizioni, non è necessario che esse riguardino argomenti tra loro collegati, ma può non esservi alcun nesso, come illustrato nei seguenti

ESEMPI

Con il bicondizionale

1. tra "Sandro legge un libro" e "Maria guarda la tv" otteniamo "Sandro legge un libro se e solo seMaria guarda la tv". 2. tra "Ora esce il sole" e "Ora tira vento" otteniamo "Ora esce il sole se e solo se ora tira vento".3. tra "Nobel inventò la dinamite" e la negazione di "Picasso dipinse Guernica" otteniamo " Nobelinventò la dinamite se e solo se Picasso non dipinse Guernica". Tale coimplicazione potrebbe sembrare falsa perché priva di nesso logico ; in realtà è falsa in quanto "Nobel inventò la dinamite" è vera, mentre "Picasso non dipinse Guernica" è falsa. 4. tra "4 è divisibile per 2" e "il triangolo ha 3 lati" otteniamo "4 è divisibile per 2 se e solo se iltriangolo ha 3 lati", che è vera perché le componenti sono vere entrambe, anche se tra esse non c'è alcun nesso.

p q p → q q → p (p→ q)∧(q→ p)V V V V VF V V F FV F F V FF F V V V

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OSSERVAZIONE

L'aggettivo "materiale" attribuito ai connettivi di implicazione e di equivalenza è da intendersi come sinonimo di vero-funzionale, cioè si riferisce al fatto che il valore di verità delle proposizioni composte mediante essi dipende solo dal valore delle singole componenti e non da presenza o assenza di nessi di alcun tipo tra le componenti stesse.

APPLICHIAMO ...

Individuate in quali dei seguenti casi a b↔ è vera.

1. a : "Il numero 7 è dispari" ; b : "Un quadrilatero ha quattro lati".2. a : "Il numero 24 è un numero primo" ; b : "Il triangolo ha tre vertici".3. a : "Il numero 203 è divisibile per 7" ; b : "Il trapezio ha i lati opposti paralleli".4. a : "Il numero 12321 è divisibile per 11" ; b : "Il numero 732 è divisibile per 3".

Costruire la tabella di verità delle seguenti proposizioni composte.

6. ( ) , , , ( ) , ( ) ( )p q p p q p q p q p p q p q↔ → ↔ ↔ ∨ ↔ ↔ ∧ → .7.

( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( )a b c a b c a b b c a b a c a b c b∧ ↔ ∨ ↔ ∧ ↔ ↔ ↔ ∧ → ↔ ∨ → .

2.7 TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONI

Esaminiamo la tabella seguente

p p p p p p

V F V F

F V V F

In essa notiamo che la proposizione p p∨ è vera sia nel caso in cui val(p) = V, sia in quello in cui val(p) = F; invece la proposizione p p∧ è falsa in entrambi i casi. La proposizione p p∨ viene quindi chiamata tautologia, mentre p p∧ è chiamata contraddizione.

DEFINIZIONI (tautologia, contraddizione, proposizione contingente)

Una proposizione composta a si chiama tautologia se è vera qualunque sia il valore di verità attribuito ad ognuna delle sue componenti, ossia se in tutti i casi risulta val(a)=V; a si chiama contraddizione se è falsa qualunque sia il valore di verità attribuito ad ognuna delle sue componenti, ossia se in tutti i casi risulta val(a) = F; a si chiama proposizione contingente se non è una tautologia né una contraddizione.

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ESERCIZI GUIDATI

Per ognuna delle seguenti proposizioni, stabilite se è una proposizione contingente o una tautologia o una contraddizione.

1. ( ) ( )p q p q→ ↔ ∨ .Costruiamone la tavola di verità.

Si tratta pertanto di una tautologia.

2. ( ) ( )p q p q↔ ↔ ∨ .Costruiamone la tavola di verità.

Si tratta pertanto di una contraddizione.

3. ( ) ( )a b c c∧ → ∧ .Costruiamone la tavola di verità.

Si tratta pertanto di una proposizione contingente. Notate che abbiamo considerato 4 casi e non 8, pur essendoci 3 proposizioni, perché c è una contraddizione, quindi risulta val ( )c c F∧ = in tutti i casi.

p q p → q p p∨ q (p → q)↔( p∨ q)V V V F V VF V . . . . . . . . . . . .V F F F F VF F . . . . . . . . . . . .

p q p ↔ q p q∨ (p↔q)↔( p q∨ )V V V F FF V . . . . . . . . .V F F V FF F . . . . . . . . .

a b b a ∧b c ∧ c (a ∧b )→(c ∧ c )V V F V F VF V . . . . . . . . . . . .V F V F F VF F . . . . . . . . . . . .

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Per indicare che una proposizione p è una tautologia scriviamo ( )p ; se q è una contraddizione, allora q è una tautologia, quindi in tal caso scriviamo ( )q .

ESEMPI

1. Per quanto visto nei precedenti esercizi guidati 1 e 2, possiamo scrivere ( ) ( )( )p q p q→ ↔ ∨ ;

( ) ( )( )p q p q↔ ↔ ∨ .

2. Il principio di non contraddizione si può esprimere in simboli con ( )p p∧ ;3. il principio del terzo escluso si può esprimere in simboli con ( )p p∨ ;4. il principio di bivalenza si può esprimere in simboli con ( )p p∨

Particolare attenzione meritano le tautologie (( )p q→ e ( )p q↔ , che si indicano rispettivamente con p q⇒ e p q⇔ , come precisato nelle seguenti

DEFINIZIONI (implicazione logica, equivalenza logica)

Per indicare che la proposizione p q→ è una tautologia (il che accade se non si verifica che p sia vera e q sia falsa) scriviamo p q⇒ , che si legge "p implica logicamente q" o anche "p implica q"; in tal caso si dice che p è condizione sufficiente per q e che q è condizione necessaria per p. Per indicare che la proposizione p q↔ è una tautologia (il che accade se p e q sono entrambe vere o entrambe false) scriviamo p q⇔ , che si legge "p equivale logicamente a q" o anche "p equivalea q" ; in tal caso si dice che p è condizione necessaria e sufficiente per q ; ovviamente anche q è condizione necessaria e sufficiente per p.

Tale definizione di equivalenza logica coincide con quella vista nel paragrafo 2.1.

OSSERVAZIONE

Nel precedente paragrafo siamo pervenuti al bicondizionale partendo dal condizionale e dalla congiunzione, abbiamo cioè costruito il connettivo ↔ con i connettivi → e ∧ . Analogamente si possono costruire il condizionale e le due disgiunzioni partendo dalla negazione e dalla congiunzione; infatti:

( ) ( ) , ( ) (( ) ( )) , ( ) ( )p q p q p q p q p q p q p q∨ ⇔ ∧ ∨ ⇔ ∧ ∧ ∧ → ⇔ ∧ ;

anche il bicondizionale si può ottenere da negazione e congiunzione:

( ) (( ) ( ))p q p q q p↔ ⇔ ∧ ∧ ∧ .

Si dice pertanto che la negazione e la congiunzione formano un insieme { },∧ chiamato base diconnettivi.

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1. Verificate le equivalenze della precedente osservazione, ossia che le proposizioni( ) ( ) , ( ) (( ) ( ))p q p q p q p q p q∨ ⇔ ∧ ∨ ⇔ ∧ ∧ ∧ ( ) ( ) , ( ) (( ) ( ))p q p q p q p q q p→ ⇔ ∧ ↔ ⇔ ∧ ∧ ∧

sono delle tautologie.

Per ognuna delle seguenti proposizioni, stabilite se è contingente o se è una tautologia o una contraddizione.

2. ( ) ( ) , ( ) ( ) , (( ) ) ( )p q p q p q q p p q p p q→ ↔ ∧ → ↔ → ∧ ∨ → ∧ .3. ( ( )) ( ) , ( ) ( ( )) , (( ) ) ( ( ))a b c b c a c b c a b a c b a c→ ∧ ↔ → → ↔ → ∨ ∨ ∧ → ∧ ∧ .

3. CONNETTIVI E LINGUAGGIO COMUNE

Parlando dei connettivi di disgiunzione inclusiva ed esclusiva, abbiamo messo in evidenza che nella lingua italiana non vi È una chiara distinzione tra essi, presente invece nella lingua latina. È opportuno a questo punto esaminare il diverso ruolo che, nel nostro linguaggio comune, possono svolgere i termini usati per indicare i connettivi logici ; essi non sempre sono usati in modo vero-funzionale, nel senso che la verità della frase composta a volte non dipende solo dal valore di verità delle componenti, ma anche da altri fattori. Osserviamo innanzitutto che, dal punto di vista della grammatica italiana, "non" è un avverbio, "e" e "o" sono congiunzioni coordinative (la prima copulativa, la seconda disgiuntiva), "se ..., allora ..." e "se e solo se" sono locuzioni congiuntive subordinative condizionali.

3.1 L'USO DI "NON"

Iniziamo la nostra analisi dal "non", osservando intanto che, come connettivo, è l'unico che opera su una sola proposizione, come termine grammaticale, È l'unico avverbio, mentre gli altri sono congiunzioni. Talvolta nel linguaggio comune due negazioni non affermano, come invece avviene in logica; se ad esempio il vostro professore di matematica dice: "Non avete capito niente", egli non intende affermare che avete capito qualcosa; in questo caso il "non" ha solo valore rafforzativo rispetto alla parola "niente". In altri casi due negazioni esprimono un concetto più sfumato rispetto all'affermazione diretta; quando Vittorio Emanuele II dichiarava che, nel mentre che rispettava i trattati (firmati con l'Impero Austro-Ungarico), non restava insensibile (parola composta da "non sensibile") al grido di dolore che da ogni parte d'Italia giungeva sino a lui, intendeva sì provocare l'Impero Asburgico, ma in maniera meno palese rispetto a quella che avrebbe ottenuto con l'affermazione diretta di "essere sensibile" in luogo della doppia negazione "non essere non sensibile". Talvolta invece la doppia negazione rafforza ciò che si vuole esprimere "A causa di un tamponamento la mia auto ha subito un danno non indifferente" è una frase in cui si rafforza il concetto di danno ingente. Anche la negazione semplice è a volte usata per sfumare, con ironia, quel che si vuole dire ; scrive Manzoni: "non nobile, non ricco, coraggioso ancor meno" invece che "plebeo, povero, vile". In alcuni casi la negazione è da non intendersi nel senso letterale della frase : ad esempio con "Non voglio ascoltarti", "Non desidero uscire" si vuole esprimere non la mancanza di volontà (non

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APPLICHIAMO ...


volere) o di desiderio (non desiderare), ma la precisa volontà di non ascoltare l'interlocutore (voglio non ascoltarti) o il chiaro desiderio di non uscire (desidero non uscire). Infine, in qualche caso l'uso del "non" appare pleonastico: "Continuai a seguirlo con lo sguardo finché non sparì dalla mia vista", o retorico: "Mi chiedo se non sia il caso di fare una pausa" prospetta l'eventualità negativa (non fare la pausa), ma lascia intendere che ci si aspetta una scelta in senso positivo (fare la pausa).

3.2 L'USO DI "E"

In alcuni casi, anche nel linguaggio comune la congiunzione "e" svolge un ruolo vero-funzionale come in logica; ad esempio: "5 e 7 sono numeri primi" significa "5 è numero primo e 7 è numero primo". Invece la frase : "Angoli di 60° e 120° sono supplementari" non significa "Un angolo di 60° è supplementare e un angolo di 120° è supplementare", poiché "essere supplementari" è una relazione binaria tra angoli, pertanto è invece da intendersi nel senso "Angoli di 60° e 120° sono supplementari tra loro"; così pure "La maglia del Lecce è gialla e rossa" non significa "La maglia del Lecce è gialla e la maglia del Lecce è rossa", ma che tale maglia è in parte gialla ed in parte rossa. Talvolta la "e" ha un significato temporale. Essa può indicare una successione di eventi: "Sono uscito da casa e sono salito sulla mia auto" è ben diversa da "Sono salito sulla mia auto e sono uscito da casa"; oppure può indicare una contemporaneità: "Mangio e seguo in TV il telegiornale" significa "Mentre mangio, seguo in TV il telegiornale". In alcuni casi la "e" può avere valore avversativo, per esempio quando è usata al posto di "invece": "Luca aveva detto che sarebbe venuto e non è venuto".

3.3 L'USO DI "O"

Abbiamo già fatto notare che l'italiano, con minore precisione rispetto al latino, non distingue la disgiunzione inclusiva da quella esclusiva, lasciando il compito di tale distinzione al contesto; ad esempio nella frase: "Al concorso possono partecipare laureati in matematica o informatica" la disgiunzione è inclusiva, poiché un candidato in possesso di entrambe le lauree può essere ammesso al concorso; in espressioni del tipo "Prendere o lasciare" invece la "o" è chiaramente esclusiva. Per evidenziare il carattere inclusivo, talvolta si usa la scrittura "e/o", specie nel linguaggio scientifico, dove non si vogliono lasciare margini di dubbio: "Uno stato febbrile può essere causato da virus e/o batteri". Se si vuole evidenziare l'aspetto esclusivo, si usa "o" in forma correlativa: "O mangi la minestra o salti dalla finestra". Si può usare la "o" anche per indicare che due termini sono sinonimi: "Si chiama rombo o losanga un parallelogramma avente i lati congruenti".

3.4 L'USO DI "SE"

Osserviamo preliminarmente che nel linguaggio comune non si è soliti dire: "Se studierai, allora sarai promosso", ma semplicemente: "Se studierai, sarai promosso", non si usa cioè la locuzione "se ..., allora ...", ma soltanto "se"; inoltre l'espressione "se e solo se" si usa quasi esclusivamente nel linguaggio matematico, soprattutto, come vedremo, negli enunciati dei teoremi. L'uso della locuzione "se ..., allora ..." è quello che presenta maggiori insidie, poiché nel linguaggio comune essa, come anche il "se", è impiegata per esprimere dei rapporti causali tra antecedente e conseguente, ad esempio "Se studi, sarai promosso. Se sarai promosso, ti compro il motorino." intende stabilire delle relazioni di causa - effetto: lo studio determina la promozione, la promozione determina l'acquisto del motorino.

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La consuetudine di associare nel linguaggio comune il "se ..., allora ..." ad un nesso causale porta di solito gli alunni ad accettare come vera la proposizione "Se un numero intero è divisibile per 4, allora esso è divisibile per 2", perché in essa vedono un rapporto causale, sulla base dei criteri, tra la divisibilità per 4 e quella per 2; per contro, in un primo approccio al connettivo del condizionale, probabilmente con difficoltà (e forse anche con qualche protesta) accetteranno come vera "Se 15 è divisibile per 4, allora 15 è divisibile per 2", poiché spesso gli allievi sono portati a pensare che non può essere vera una proposizione composta da proposizioni semplici false. Potrebbe generare perplessità negli alunni anche la proposizione "Se 10 è divisibile per 4, allora 10 è divisibile per 2", in quanto, cercando un nesso di causa - effetto, essi si troverebbero di fronte ad una conclusione vera che deriva da una premessa falsa; forse anche "Se 20 è divisibile per 4, allora 20 è divisibile per 2" potrà lasciare qualche allievo perplesso, poiché, sempre nell'ottica di ricerca del nesso causale, troverà inutile "chiedersi" se 20 è divisibile per 4, visto che sappiamo benissimo che lo è. Da queste considerazioni emerge che nel linguaggio comune il "se ..., allora ..." non sempre è usato in modo vero-funzionale. In altre parole, per attribuire il valore di verità alla proposizione composta "se p, allora q", non ci si limita a tenere presenti i valori di verità di p e di q, ma si è portati, quasi in modo spontaneo e naturale, a cercare un nesso di causa-effetto tra le due proposizioni.

APPLICHIAMO ...

Tra le seguenti frasi del linguaggio comune, individuate quelle in cui il connettivo che vi compare non è usato in modo vero-funzionale.

1. "Anna non ha sentito niente" ; "Esco di casa e vado in discoteca".2. "Sono andato al cinema e ho visto un film" ; "Se tu studierai, allora io mangerò".3. "Gigi e Andrea sono comici" ; "Se parli con me, allora Aldo studia il latino".4. "Io non studio e tu guardi la TV" ; "La strada non è bagnata".

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