06 plasticità (1)

1Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e GeotecnicaCorso di “Tecnica delle Costruzioni”

Prof. G. Mancini

TECNICA DELLE COSTRUZIONI

Plasticità


Prof. G. Mancini

CAP. 2 – Plasticità

PLASTICITA’

1. DEFINIZIONI

La teoria dell’elasticità si riferisce a comportamentielasto-fragili dei materiali.

LEGAME - LINEARE

Nei materiali “da costruzione” il legame tensionale - assume forma sensibilmente differente daquella corrispondente a materiali elasto-fragili (vetro)

E’ presente una zona del diagramma in cui letensioni sono “sensibilmente” costanti al cresceredelle deformazioni.

Tale comportamento si definisce elasto-plasticoschematizzazione di calcolo

curve reali

u A

u

u

u ro


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La presenza di comportamento elasto-plastico nel materiale determina una chiara insufficienza della teorialineare nella valutazione della sicurezza ultima, in particolare di:

- azioni indirette- autotensioni- concentrazioni di tensione

Occorre quindi tener conto del comportamento reale dei materiali eventualmente tramite una opportunaschematizzazione di calcolo.

La corretta conoscenza della sicurezza ultima implica la valutazione del comportamento della struttura finoal carico di collasso, quindi in presenza di non-linearità della risposta (non-linearità meccanica).

Si può ad esempio analizzare il comportamento a rottura di una struttura composta da materiale elasto-fragile ed elasto-plastico.


Sez. A-A

l

A

A

h

bMi


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Il collasso si verifica per max = u, pertanto nella sezione di incastro.

w2

2

u2

2

2

2

u σhb2 q hb2

q hb

612q

WM σ

lll da cui CARICO DI COLLASSO


a) MATERIALE ELASTO-FRAGILE

12q M

2

il

24q M

2

ul

Diagramma tensionale locale

b) MATERIALE ELASTO-PLASTICO

u

u

h

Se ci fosse una completa plasticizzazione ( r ) il diagramma tensionale finale diventerebbebirettangolo, con braccio di leva della coppia interna pari ad h/2

Il diagramma tensionale si modifica quando si entra in zona non lineare del diagramma -

La sezione completamente plasticizzata ha comportamento di cerniera con attrito.

u

u

h/2

u

u

h

u

u

u

u r


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Nella struttura a collasso: mi M M

Quindi:16q

21

8q M M

22

mill

Insorge una ridistribuzione rispetto ai momenti elastici

16q

4hb

2h

2hb M

2u

uul

u2

2

u2

2u

uhb4 q 16

4hb q

ll

Il carico di collasso della struttura a materiale elasto-plastico è DOPPIO di quello della struttura amateriale elasto-fragile.

In termini di deformazione, ovviamente, il comportamento è molto differente:

- regime elasto-fragile:

- regime elasto-plastico:

IE32M

IE32

12q

IE384q δ

2u

224

llll

IE8M

-IE

q384

5 δ2

p4

ll

Mp Mp

2P

uM16 q

l

2PM12 q

l

Ovviamente alla formazione della cerniera dimezzeria la struttura si trasforma in uncinematismo e collassa.

q

el p

Mi

Mm


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Diagramma reale acciaio da costruzione metallica

i = deformazione di incrudimento

i / sy 10

La risposta del tronco elementare di trave soggetto a flettente può essere così rappresentata:sy

l

syl

Alla formazione della cerniera plastica si raggiunge il momento plastico.

2. CERNIERA PLASTICA

2.1 ANALISI DI SEZIONE RETTANGOLARE METALLICA

sy

sy i

A B


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Imponendo le condizioni di equilibrio della sezione (deformazioni indeterminate) risulta:

dW

dWW1

W2

x

y

21 ΩΩΩ 0N

0 dΩ σΩ

0 dΩ σ dΩ σ21 ΩΩ

2121ΩsyΩsy ΩΩ 0ΩΩ- 0 dΩσ dΩσ-21

L’asse neutro plastico divide la sezione in due aree uguali.

L’asse neutro elastico divide la sezione in aree con momenti statici uguali.

Ne consegue che, in generale, asse neutro elastico ed asse neutro plastico sono distinti.

sy

sy

sy

sy

y

PLASTICOELASTICO

21syΩ

) 0 (

syΩ

) 0 (

syΩp SS σ dΩy σ dΩy σ- dΩy σ M21

Posto 21 SSZ MODULO PLASTICO DELLA SEZIONE

Risulta / ZM σ psy

Elasticità: con maxelel

)(σ

yJ W WM σsy

Plasticità: con 21psy SS Z / ZM σ

FIBRE ESTREME ALLO SNERVAMENTO

TUTTE LE FIBRE ALLO SNERVAMENTO

d

d


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• Si definisce coefficiente di forma il rapportoZ 1W

Sezione rettangolare

Sezione doppio T

Sezione circolare

Sezione triangolare

- elevato sezione con molte risorse plastiche (poco sfruttata in campo elastico)

- ridotto sezione con poche risorse plastiche (molto sfruttata in campo elastico)

Nel caso si utilizzi materiale con differenti tensioni di snervamento a trazione e compressione

dovrà comunque risultare N = 0, quindi l’asse neutro plastico dovrà individuare aree in rapportoinverso a quello delle tensioni.In SEZIONE RETTANGOLARE: Nel CEMENTO ARMATO:

1,12 1,16

sysy σσ

sy

sy

y2

y1

b2

1

sy

sy

2sy1sy

yy

σσ

ybσybσ

2xhσAM

bσσA

xσAxbσ

103,5ε ;σσ 0;σ

sysp

cr

syssyscr

3csysyc

cr

As sy

h

cr b x

As sy

xb

Esistono però legami costitutivi piùraffinati per il calcestruzzo.

2 2 2

2

b h b h h b h b h 6ZW Z 2 1,5W6 2 4 4 4 b h

2,37

1,7


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l / 2 l / 2

P

Nella zona a forte plasticizzazione tutto avviene comese vi fosse concentrata una cerniera che, dotata diattrito:

- per M < Mp rimane rigida

- per M = Mp mantiene il valore del momento plasticoe consente la rotazione relativa dei due tronchi ditrave.

tratto “pressoché” rettilineozona a

forte curvatura

1/r lim. el.

MOMENTO

CURVATURE

P1/4

2.2 COMPORTAMENTO DI TRAVE ISOSTATICA DURANTE LA PLASTICIZZAZIONE DI UNA ZONA (CIOE’ FORMAZIONE DI UNA CERNIERA PLASTICA)


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2.3 PRESENZA DEL TAGLIO ASSIEME ALLA FLESSIONE

Per le strutture metalliche si considera una condizione di snervamento puntuale in termini di componentinormali e tangenziali di tensione:

2sy

222 στασ

(TRESCA) oppure (VON MISES)

La presa in conto del taglio è significativa solo per sezioni con poco maggiore di 1 (IPE, HE, …) epuò essere valutata imponendo che il collasso avvenga per sole nelle piattabande e percombinazione di e nelle anime.

Si rileva peraltro che qualora il taglio sia sufficientemente basso da comportare tensioni tangenzialinon molto prossime al limite sy / , l’influenza del taglio sulla valutazione del momento plastico èdel tutto trascurabile.

Non è ancora stato completamente definito l’effetto del taglio sul momento plastico nel caso dellestrutture in cemento armato.

3α 2α


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3. CALCOLO DEL CARICO DI COLLASSO IN STRUTTURE IPERSTATICHE

q crescente progressivamente fino al collasso

Si forma la prima cerniera plastica sull’appoggio centrale e per gli ulteriori incrementi del carico, lastruttura è ISOSTATICA.

La formazione della successiva cerniera plastica, trasformando la struttura in un meccanismo, comportail collasso della stessa.

• In generale: in una struttura n volte iperstatica occorrono n+1 cerniere plastiche per raggiungere ilcollasso.

Esistono però casi particolari:

- COLLASSO PARZIALE

2

1

3

4

meccanismo!

n = 6

Attese 7 cerniere plastiche.

A collasso con 4 cerniere plastiche per la formazione di uncinematismo parziale.


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- COLLASSO PIU’ CHE COMPLETOn = 1

Attese 2 cerniere plastiche.

A collasso con 3 cerniere plastiche per laformazione contemporanea delle 2a e 2b (casoteorico).

12a 2b

• In definitiva la presenza della plasticità induce due ordini di benefici:

- sulla sezione

- sulla struttura: solo se intervengono ridistribuzioni dei momenti elastici.

Esempio:

1M / M elp

Le 3 cerniere plastiche si formano nello stesso istante,quindi non ci sono ridistribuzioni dei momentielastici.

P·l / 8

P·l / 8P

• Il principio di sovrapposizione degli effetti NON è applicabile in quanto il sistema non è Hookiano.Non è di conseguenza possibile utilizzare le linee di influenza.

l l


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• Per il calcolo semplificato del carico di collasso si assumono le seguenti ipotesi semplificative:

1. in ogni sezione è possibile raggiungere un momento plastico Mp= sy·Z che è anche il massimomomento raggiungibile;

2. si suppongono le cerniere plastiche concentrate in una singola sezione anche se, di fatto, sonodistribuite su un tratto finito di struttura;

3. il materiale rimane duttile fino al collasso;

4. il momento plastico non è influenzato dalla presenza di N e T e di forze concentrate agenti nellasezione in cui si raggiunge;

5. assenza di fenomeni di instabilità locale e di insieme fino al raggiungimento del carico di collasso;

6. carichi crescenti tutti proporzionalmente;

7. deformazioni “a collasso” ininfluenti sulla geometria delle azioni;

8. connessioni strutturali in grado di trasmettere completamente il momento plastico.

L’ipotesi 4 non è in genere soddisfatta; occorre disporre rinforzi locali nei profilati perché in generalelo sia.

Ciò vale anche in parte per l’ipotesi 5.


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4. TEOREMI FONDAMENTALI DELL’ANALISI LIMITE

TEOREMASTATICO (Greenberg) carico di collasso approssimato per difetto

CINEMATICO (Prager) carico di collasso approssimato per eccesso

4.1 RICHIAMO PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI

Struttura deformabile in equilibrio sotto l’azione di un sistema di forze esterne e sottoposta ad un sistemadi spostamenti virtuali (congruenti e compatibili): il lavoro delle forze esterne Le deve eguagliare illavoro delle sollecitazioni interne Li

ie LL

Per una struttura piana composta di travi e caricata nel suo piano risulta:

k

1iiie δP L

k = numero di forze Pi

i = componente secondo Pi dello spostamentodel suo punto di applicazione

Il lavoro è compiuto dalle caratteristiche di sollecitazione M, N, T, associate agli spostamenti ad esse corrispondenti.

Riferendoci al tronco elementare di lunghezza ds ed integrando lungo tutto il sistema, si ottiene:

i SISTEMA N ds T dy M dy L


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Al collasso i può ammettere che le aste siano composte da tronchi rigidi connessi da cerniere plastichenelle quali si concentra il lavoro interno. Ne consegue:

- CARICHI CONCENTRATI

- CARICHI DISTRIBUITI

Si applica il P. L. V. ad un caso semplice in cui le condizioni di simmetria strutturale e di carico consentono di individuare facilmente la posizione delle cerniere plastiche.

m

1jjj

k

1iii M δP

4p2

42p

2

e

lll

L

m

1jjjM

SISTdxp

m = numero di cerniere plastiche

Mp4Mp2MpMp iL

ie LL

2

2 Mp16p Mp44

pl

l

Non è però sempre così agevole la determinazione della posizione delle cerniere plastiche!I termini del lavoro interno sono additivi in quanto in tutte le cerniere ha luogo lavoro interno positivo.L’angolo , individuante la configurazione ultima, è sufficientemente piccolo da poterlo confondere conla sua tangente.Operando su tronchi rigidi, il lavoro del carico distribuito può essere sostituito con quello del suorisultante.

l

p·l/2 p·l/2

·l/42

p


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4.2 TEOREMA STATICO (1° TEOREMA DELL’ANALISI LIMITE)

In un sistema n volte iperstatico indichiamo con il moltiplicatore dei carichi (=1 carichi diesercizio)

Partendo da =1 scegliamo ARBITRARIAMENTE una distribuzione di azioni interne che equilibranole forze esterne (configurazione equilibrata ma non congruente) ed incrementiamo fino al valore 1per il quale si plasticizza una sezione.

1 rappresenta il valore limite di per la distribuzione assegnata di sollecitazioni.

Introduciamo ora uno stato di autensione che scarichi la sezione plasticizzata ed incrementiamoulteriormente i carichi fino al moltiplicatore = 2 per il quale si raggiunge una nuovaplasticizzazione ( 2> 1).

Si introduce un nuovo stato di autensione e si ripete la procedura fino ad introdurre n+1 stati diautotensione e raggiungere il moltiplicatore n+1.

n+1 è il moltiplicatore critico del carico ed il sistema si trasforma in un meccanismo.

Potendosi utilizzare differenti successioni di stati di autensione, le corrispondenti differentisuccessioni i non conducono tutte allo stesso valore finale di n+1.

Si dimostra che il collasso reale è contraddistinto da parametri i, j; il lavoro nelle cerniere plastichevale:

1n

1iii

*i Mp L corrisponde a *


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Se si considera un moltiplicatore < *, in alcune sezioni non si raggiungerà Mp (Mi<Mp) ed il segno di Mi non sarà concorde a quello della rotazione. Risulta allora:

1n

1kiii

k

1iiii M Mp L corrisponde a < *

Ma anche può essere espresso come somma di due termini:

1n

1kiii

k

1iii

*i Mp Mp L

*iL

Poiché Mpi>Mii

Applicando il Principio dei lavori virtuali allo stato limite ultimo si ha:i

*i LL

m

1jjji

m

1jjj

**i

δ Pλ

δ Pλ

L

L m = numero di forze

E poiché risulta:i*i LL λλ*

Il carico limite reale è il maggiore tra quelli che soddisfano l’equilibrio senza violare le condizioni diplasticità.

Il carico limite è il maggiore tra quelli staticamente ammissibili.

Staticamente ammissibile è un diagramma di momento, ottenuto da condizioni di equilibrio dellastruttura, che soddisfi in ogni sezione la condizione .Mp M


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ESEMPIO

ll Mp4P Mp

4P

L

LP Mp 2 Mp P4 2

ll

ll Mp6P Mp

2Mp

4P *

L

In corrispondenza del carico occorre inviluppare il momento relativo alla condizione isostatica pergarantire l’equilibrio.

Il valore limite PL* di P si raggiunge con due sezioni plasticizzate ed è il massimo tra quelli esaminati.

Utile è il riferimento al diagramma di momento elastico.

l l

P·l/8

P·l/4P·l·3/8

P·l/4

P·l/4 Mp = P·l/6

Mp/2 Mp

P

4


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4.3 TEOREMA CINEMATICO (2° TEOREMA DELL’ANALISI LIMITE)Plasticizzando un numero sufficiente di sezioni (n+1 cerniere plastiche) una struttura n volte iperstaticapuò essere trasformata in un meccanismo → meccanismo CINEMATICAMENTE AMMISSIBILE (1grado di libertà).Si può allora trovare il carico che lo rende equilibrato, a mezzo del P.L.V. → caricoCINEMATICAMENTE AMMISSIBILE.Il carico limite è il MINORE tra quelli cinematicamente ammissibili, perchè ogni carico ad essosuperiore corrisponde ad un meccanismo di collasso differente, ottenibile solo con un RINFORZO dellastruttura.Il Lemma di Feinber enuncia che se si rinforza un sistema iperstatico (senza introdurre altriindebolimenti, si rinforza almeno una sezione) il carico limite non può diminuire.Il carico limite è il minore tra quelli ottenibili disponendo le cerniere in posizioni arbitrarie e calcolandoil carico corrispondente al meccanismo così realizzato.ESEMPIO

ll Mp6P Mp2Mp2

P *L

l

P

l

P

P

2

2

2 ll Mp8P 2Mp2Mp2

P L

Prevale il 1° meccanismo che fornisce un valore di PL* coincidente con

il precedente.


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4.4 TEOREMA MISTO

Se un carico P è cinematicamente e staticamente ammissibile è il vero carico limite.STATICAMENTE P ≤ PL

CINEMATICAMENTE P ≥ PL

Si consideri in pratica una struttura per la quale si abbia una distribuzione staticamente ammissibile deiflettenti, tale che sia M = Mp in un numero di sezioni sufficiente alla formazione di un meccanismo incui ci siano rotazioni nelle cerniere plastiche; se la rotazione in ogni cerniera ha segno concorde a quellodel momento il carico considerato è quello di collasso (ammissibilità cinematica).Al contrario, trovato un meccanismo di collasso si costruisce il diagramma di momento corrispondente; se esso è ammissibile (M ≤ Mp) la soluzione è corretta.Attenzione ai segni:

P = PL

V

l

h

H

22

1

2

1

M

MCorretto:

Errato:

Errato Corretto


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ESEMPI DI APPLICAZIONE DEL METODO CINEMATICO

individuare un possibile meccanismo di collasso

determinare il corrispondente carico limite con il P.L.V.

verificare che il diagramma di momento ultimo risulti staticamente ammissibile

MODALITA’OPERATIVE

P

·l/33

2

/2

23 ll/3

Mp 2Mp Mp

Mp 9PMp P

92Mp2

P92

3P

32M :ISOSTATICO MOMENTO

Mp9P

2

Mp23MpMp

3P :P.L.V.

L

ll

ll

l

l

STATICAMENTE AMMISSIBILE

Il valore di PL è quello vero di collasso.


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a b c

lh

llh

lPh

hll

h

h

ll

ll

21

12Mp

P

2

Mp6P

Mp6 )22(Mp2

P c)

4Mp

P Mp4P

Mp4 MpMpMpMpP b)

8Mp

P Mp8P

Mp4 MpMpMp2

P a)

cL,cL,

bL,bL,

aL,aL,

l

h

PP

2 4

1

3

5

PP

PP

PP

22


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0

2

4

6

8

0 1 2 3 4

a b c

lh

lhll

l

21

12Mp

P c)

4Mp

P b)

8Mp

P a)

cL,

bL,

aL,

MpP iL, l

hl

lhl

lhhlhl

lhl

Mp8P a"" meccanismo 4

2

Mp6P c"" meccanismo 41

c"" e b"" meccanismo 1

Mp4P b"" meccanismo 1

L

L

L


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VERIFICA DELL’AMMISSIBILITA’ STATICA NEL CASO l/h = 2

Occorre tracciare il diagramma di momento del portale. Nelle sezioni 1/3/4/5 è presente una cerniera plastica e quindi il momento il momento plastico. E’ però incognito il momento nella sezione 2, da ricavare con l’ausilio della statica. Si può applicare il P.L.V. al meccanismo di trave della zona 2/3/4.

l

Mp6PL

2Mp

12P

6P

4P Mp

4P

02

Mp6Mp3M

2P Mp2MpM

2

L2

lllxxl

ll

l

STATICAMENTE AMMISSIBILE

1

2 34

5

x

Mp

Mp

Mp

Mp


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CAP. 2 – PlasticitàCAP. 2 – Plasticità

ESEMPI DI APPLICAZIONE DEL METODO STATICO

scegliere le incognite iperstatiche

tracciare il diagramma di momento della struttura principale M0

tracciare il diagramma di momento dovuto alla iperstatiche (incognite) agenti sulla struttura principale M1

sommare i due diagrammi scegliendo il valore delle iperstatiche in modo che risulti:

disegnare il meccanismo di collasso ipotizzato e controllare che esista concordanza di segno tra momenti plastici e rotazioni reali

MODALITA’OPERATIVE

M = |Mp| in un numero di sezioni sufficiente a formare un meccanismo di collasso

M ≤ |Mp| in tutte le sezioni


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Al collasso il portale si trasforma in un meccanismo con due sole cerniere plastiche. Sono possibili due sole condizioni di intervento delle cerniere plastiche da quanto emerge dal diagramma M0+M1.

Traversa con modulo plastico maggiore dei montanti (cerniere ad estremo montante)

Traversa e montanti con lo stesso modulo plastico.

M0 + M1

M1M0

h

Hl

PH

P

X H

1

2 3 4

5

P·l/4H·h

1 5

2 3 4X·h

X·h H·h + X·h

HP

H P

1 5

432

1 5

23

4


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Nei due casi occorre modificare M1 in modo che sovrapponendolo ad M0 le due cerniere si formino nelle posizioni volute.

Mp=H·h/2H·h

MpP·l/4

M0

Mfinale

M(x)

Quando il numero delle incognite iperstatiche aumenta non è possibile procedere con metodi manuali.

Operando sulla struttura principale ed evidenziate le n incognite iperstatiche risulta:

n

jjj

10 XMλMM

E, con il teorema statico, in ogni sezione deve risultare:

MpXMλMMp-1

0

n

jjj


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In genere occorre indagare solo le sezioni in cui (carichi concentrati ed elementi rettilinei) risulti:

- presenza di carico concentrato

- appartenenza ad un nodo strutturale

- discontinuità del valore dei momenti limite

Per una di tali sezioni (sezione i-esima) è quindi:

n

jjijii

10 XMλMM

Dove Mij è il momento nella sezione i-esima per effetto di Xj.

Il moltiplicatore del vero carico di collasso * coincide con il massimo che la funzione linearez =

può assumere nel rispetto della disuguaglianza

MpXMλMMp-1

0

n

jjiji

Si ricade quindi in un problema di programmazione lineare che comporta l’ottimizzazione della funzione lineare z = con zn vincoli imposti dalla disuguaglianza.


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15 t 15 t

3 m 3 m 3 m

15 15 XM1 M2

M3

ESEMPIO

x

x

x

-M3

2-45M3-45M

3

2

1

60-60-

6032-4560-

603-4560-

x

x

x

Si determina il Max di

nel rispetto di:

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-100 -50 0 50 100

l

x [t·m]

Le disuguaglianze descrivono il dominio ABCDEF nel piano , x.Il massimo di ( *) si ottiene quando la retta z = passa per il vertice B.

Quindi la soluzione ottimale corrisponde ai valori delle variabili: = *= 1,78

x = 60 t·m

B

A

C

D

F

E

z = l = 1,78


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Pertanto risulta:

m t60 -M

m t4036021,78453

2-45M

m t603601,78453-45M

3

2

1

x

x

x

Meccanismo plastico di collasso

06 plasticità (1)

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