Test 4 - Numeri complessi

1. Dati i numeri z = 2i, w = −1 + i, il numero z/w vale

(a) 1 + i

(b) 1− i(c) 2i

(d) −2i

(e) nessuna delle precedenti risposte e’ corretta

2. Il modulo del numero complesso z = 3− 2i vale

(a) 5

(b) 2

(c) −2

(d)√

13

(e) 6

3. Il parte reale del numero complesso z = 3− 2i vale

(a) 3

(b) 2

(c) −2

(d) 5

(e) 6

4. La parte immaginaria del numero complesso z = 3− 2i vale

(a) 3

(b) −2i

(c) −2

(d) 5

(e) 6

1

5. L’argomento principale del numero complesso z =√

32− 1

2i vale

(a) −π/6(b) −π/3(c) π/6

(d) 116π

(e) nessuna delle altre risposte e’ corretta

6. Dati due numeri complessi distinti z, w,

(a) potrebbe essere |z − w| = 0

(b) potrebbe essere |z − w| < 0

(c) potrebbe essere |z − w| > |z|+ |w|(d) vale sicuramente la disuguaglianza |z − w| < |z|+ |w|(e) potrebbe essere |z − w| = |z|+ |w|

7. L’insieme {z ∈ C : |z + 2i| < 3}, nel piano complesso rappresenta

(a) un cerchio aperto di centro −2i e raggio 3

(b) un cerchio aperto di centro 2i e raggio 9

(c) un cerchio aperto di centro 2i e raggio√

3

(d) un cerchio aperto di centro 2i e raggio 3

(e) un cerchio aperto di centro −2i e raggio√

3

8. L’insieme {z ∈ C : |z − i| > |z + 1|}, nel piano complesso rappresenta

(a) un semicerchio

(b) un semipiano

(c) l’unione di due cerchi di centri i e −1

(d) l’intersezione di due cerchi di centri i e −1

(e) una retta

2

9. L’equazione z8 + z2 + 1 = 0

(a) ha almeno due soluzioni reali, perche’ il polinomio z8 + z2 + 1 e’ pari.

(b) ha z = 0 come soluzione

(c) ha 9 soluzioni distinte

(d) ha almeno una soluzione complessa

(e) ha una soluzione reale

10. Se un polinomio a coefficienti reali ha z = 2i e z = −i come soluzioni, ciascuna conmolteplicita’ 3, allora esso

(a) potrebbe avere grado 8

(b) potrebbe avere grado 6

(c) potrebbe avere grado 3

(d) ha certamente grado 6

(e) deve avere grado ≥ 12

11. Se un polinomio a coefficienti reali ha z = i e z = −i come soluzioni, ciascuna conmolteplicita’ 3, allora esso

(a) potrebbe avere grado 2

(b) potrebbe avere grado 6

(c) potrebbe avere grado 3

(d) ha certamente grado 6

(e) deve avere grado ≥ 12

12. Dato il numero z = −√

22− i

√2

2, il piu’ piccolo intero positivo n tale che zn = −z e’

(a) 3

(b) 4

(c) 5

(d) 6

(e) 7

3

Figure 1: Soluzione del quesito numero 7

Soluzioni: 1(b), 2(d), 3(a), 4(c), 5(a), 6(e), 7(a), 8(b), 9(d), 10(e), 11(b), 12(c).

Svolgimento dei quesiti meno immediati6) In generale risulta |z −w| ≤ |z|+ |w| per ogni z, w; vale |z −w| = |z|+ |w| quando

i due numeri, visti come vettori nel piano, sono paralleli ma hanno versi opposti. Adesempio, z = i, w = −2i.

7) Siccome |z + 2i| rappresenta la distanza del punto z dal punto −2i, l’insieme con-siderato e’ dato dai punti che distano dal punto −2i meno di 3, quindi si tratta del cerchioaperto (ossia senza circonferenza) di centro −2i e raggio 3. Vedere la figura 1

8) Si tratta dei punti del piano la cui distanza dal punto i e’ strettamente maggioredella loro distanza dal punto −1. Quindi e’ uno dei due semipiani individuati dall’assedel segmento congiungente −1 e i. L’insieme in questione si puo’ quindi riscrivere come{z = x + iy ∈ C : y < −x}, si veda la Figura 2. Allo stesso risultato si puo’ giungereelevando al quadrato la disequazione, quindi |z − i|2 > |z + 1|2, sostituendo z = x + iy esvolgendo i conti.

9) Non ci sono soluzioni reali perche’, per z reale, il polinomio z8 +z4 +1 assume valori≥ 1. Per il teorema fondamentale dell’algebra esso ha almeno una radice complessa (inrealta’ 8, se contate con la loro molteplicita’, in particolare non piu’ di 8 distinte).

10) Siccome i coefficienti sono reali, il polinomio avra’ anche le radici coniugate z =

4

Figure 2: Soluzione del quesito numero 8

−2i, z = i, con la stessa molteplicita’, quindi deve avere grado almeno 12, che e’ la sommadelle molteplicita’.

11) Si ragiona come nel quesito precedente, ma qui z = i e z = −i sono gia’ coniugate,quindi il grado potrebbe essere uguale a 6. Ad esempio p(z) = (z2 + 1)3.

12) L’argomento di z e’ 3π/4 e il modulo e’ 1. La moltiplicazione di un numerocomplesso per z corrisponde a ruotare quel numero di 3π/4 in verso antiorario. Tenendoconto di questo, con un disegno si vede subito, rappresentando i numeri z, z2, . . ., che ilriultato e’ n = 5.

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