ANALISI I (h. 2.30)TEMA A

Cognome e nome (in stampatello)Appello del

4 Febbraio 2014 Corso di laurea in Ingegneria Meccanica

1. Data la funzione f : R! R denita da

f(x) =

8>>>>>>>>>>>:

p2jx 1j se x > 0,

p2 se x = 0,

log[1 + sin2(p2x)]p

x4 3x7 se x < 0;

determinare e classicare i suoi punti di discontinuita e i suoi punti di non derivablita.

2. Determinare il carattere della serie

+1Xn=1

"n

1n+2 cosh

r2 log n

n+ 2

#pn :

3. Determinare la soluzione del problema di Cauchy8 0 l'integrale improprioZ 10

(1 + 5x2 + x4)3=4 1sin[(x+ x2=7)2]

dx

esiste nito.

5. Sia f : R! (0;+1) una funzione tale che f 2 C0(R) . Stabilire quali tra le seguenti aermazionisono corrette, giusticando la risposta, e fornire un controesempio per quelle false:

(A) se f(x) 1x per x! +1, alloraR +11

f(x2) dx converge;

(B) se f(x) = o

1px

per x! +1, allora R +1

1f(x2) dx converge;

(C) se f(x) x per x! 0, allora R +11

f1x

dx diverge;

(D) se f(x) (x3) per x! 0, allora R +11

f

1px

dx diverge;

ANALISI I (h. 2.30)TEMA B

Cognome e nome (in stampatello)Appello del

4 Febbraio 2014 Corso di laurea in Ingegneria Meccanica

1. Data la funzione f : R! R denita da

f(x) =

8>>>>>>>>>:

sin jx =2j se x > 0,

3 se x = 0,

sinlog(1 + x2)

px4 x5 se x < 0;

determinare e classicare i suoi punti di discontinuita e i suoi punti di non derivablita.

2. Determinare il carattere della serie

+1Xn=1

"cos

r2 log(n+ 4)

n+ 4 (n+ 4) 1n+4

#n :

3. Determinare la soluzione del problema di Cauchy8>: y0(x) +

3x2 + 2xp3

cos2[y(x)] = 0 ;

y(1) = =3

4. Stabilire per quali valori di > 0 l'integrale improprio

Z +11

logh1 +

1

x7+x9

i1 + 22x2+3x4

2=3 1

dx

esiste nito.

5. Sia f : R! (0;+1) una funzione tale che f 2 C0(R) . Stabilire quali tra le seguenti aermazionisono corrette, giusticando la risposta, e fornire un controesempio per quelle false:

(A) se f(x) px per x! 0, allora R +11

f1x2

dx converge;

(B) se f(x) = ox2per x! 0, allora R +1

1f1x

dx converge;

(C) se f(x) = o1x

per x! +1, allora R +1

1f(x) dx diverge

(D) se f(x) 1x2 per x! +1, alloraR +11

f(px) dx diverge

ANALISI I (h. 2.30)TEMA C

Cognome e nome (in stampatello)Appello del

4 Febbraio 2014 Corso di laurea in Ingegneria Meccanica

1. Data la funzione f : R! R denita da

f(x) =

8>>>>>>>>>>>>>:

sinhex

2=4 1i

3px6 + x8

se x > 0,

p3 se x = 0,arctanx+ 22

se x < 0;determinare e classicare i suoi punti di discontinuita e i suoi punti di non derivablita.

2. Determinare il carattere della serie

+1Xn=1

"(n+ 2)

1n+2 cos

r2 log(n+ 2)

n+ 2

#n :

3. Determinare la soluzione del problema di Cauchy8>: y0(x) +

p3x2 + 2xp

3cos2[y(x)] = 0 ;

y(1) = =6

4. Stabilire per quali valori di > 0 l'integrale improprio

Z +11

hlog

1 + 1x3+3x5

i1 + 42x+3x3

6=5 1

dx

esiste nito.

5. Sia f : R! (0;+1) una funzione tale che f 2 C0(R) . Stabilire quali tra le seguenti aermazionisono corrette, giusticando la risposta, e fornire un controesempio per quelle false:

(A) se f(x) px per x! 0, allora R +11

f1x2

dx converge;

(B) se f(x) = ox2per x! 0, allora R +1

1f1x

dx converge;

(C) se f(x) = o1x

per x! +1, allora R +1

1f(x) dx diverge

(D) se f(x) 1x2 per x! +1, alloraR +11

f(px) dx diverge

ANALISI I (h. 2.30)TEMA D

Cognome e nome (in stampatello)Appello del

4 Febbraio 2014 Corso di laurea in Ingegneria Meccanica

1. Data la funzione f : R! R denita da

f(x) =

8>>>>>>>>>:

ep2 sin x 1

3px3 + x4

se x > 0,

2 se x = 0,

3p

8jx+ 1j se x < 0;

determinare e classicare i suoi punti di discontinuita e i suoi punti di non derivablita.

2. Determinare il carattere della serie

+1Xn=1

"cosh

r2 log(n+ 3)

n (n+ 3) 1n

#pn :

3. Determinare la soluzione del problema di Cauchy8>: y0(x) 2

p3x+ 2

1 + tan2[y(x)]= 0 ;

y(1) = =3

4. Stabilire per quali valori di > 0 l'integrale improprioZ 10

(1 + x3 + 3x5)7=5 1[sin(x+ x3=5)]5=4

dx

esiste nito.

5. Sia f : R! (0;+1) una funzione tale che f 2 C0(R) . Stabilire quali tra le seguenti aermazionisono corrette, giusticando la risposta, e fornire un controesempio per quelle false:

(A) se f(x) 1x per x! +1, alloraR +11

f(x2) dx converge;

(B) se f(x) = o

1px

per x! +1, allora R +1

1f(x2) dx converge;

(C) se f(x) x per x! 0, allora R +11

f1x

dx diverge;

(D) se f(x) (x3) per x! 0, allora R +11

f

1px

dx diverge;