Analisi Matematica(corso della prof.ssa M. Salvatori, L.T. in Matematica)

Registro delle esercitazioni (inclusi gli esercizi proposti)

L. Vesely, 2017–2018

02/10/2017 [2 ore: n. 1,2]

• Rappresentare graficamente le seguenti funzioni:

◦ x8/7, x3/4, x√

3 (dimostrato che√

3 /∈ Q), x3/5, x−2/9;

◦ f(x) = 3√

(x+ 1)2, g(x) = −f(−x)− 1;

◦ f(x) = |3x − 1|, g(x) = 3|x| − 1, h(x) = 3|x|−1.

• Esercizio per voi. Siano

f(x) =

{−1 se x ≤ −1,

2x+ 1 se x > −1;e g(x) =

{2 se x ≤ 1,

4− 2x se x > 1.

Rappresentare graficamente le funzioni g(−x), g(f(x)), f(g(x)).

• Ripasso: la parte intera [x] (definizione e grafico).

• Grafico di h(x) =[sin |x| − 1

].

•√

2x+ 1 ≤ x

• loga(x− 1) < loga(2x+ 1) + 1 (1 6= a > 0 e un parametro)

04/10/2017 [2 ore: n. 3,4]

• Completamento dell’ultima disequazione della volta scorsa.

• Svolgimento dell’ “Esecizio per voi” della volta scorsa.

• Siano m,n ∈ N. Dimostrare che√m+

√n ∈ Q se e solo se entrambi√

m,√n sono razionali.

• Per quali n ∈ N si ha che√n ∈ Q ?

Soluzione.Utilizzeremo il seguente fatto, ben noto dai tempi degli antichi Greci:

1

2

ogni numero naturale m ha un’unica fattorizzazione in fattoriprimi, cioe:se x1 < x2 < · · · < xk sono i divisori primi di m allora

m = xα11 x

α22 . . . xαk

k

per opportuni αi ∈ N, e se y1 < y2 < · · · < ys sono numeri primie β1, . . . , βs ∈ N sono tali che

m = yβ11 yβ22 . . . yβss

allora s = k, e yi = xi e βi = αi per ogni i = 1, . . . , k.

Ora, supponiamo che√n sia razionale, e quindi possiamo scrivere

√n =

p

qcon p, q ∈ N primi tra loro.

Elevando al quadrato si ottiene

nq2 = p2. (∗)Siano x1 < x2 < · · · < xk tutti i numeri primi che dividano almenouno dei numeri n, p, q. Possiamo quindi fattorizzarli:

n = xa11 xa22 . . . xakk ,

p = xb11 xb22 . . . xbkk ,

q = xc11 xc22 . . . xckk ,

dove ai, bi, ci ≥ 0 sono interi (i = 1, . . . , k). (Puo essere, ad es. a1 =0 se x1 non divide n.) Sostituiamo queste fattorizzazioni nella (∗).Dall’unicita della fattorizzazione segue che per ogni i le potenze di xia destra e a sinistra in (∗) devono coincidere. Quindi, per ogni i,

ai + 2ci = 2bi.

In particolare, bi ≥ ci ≥ 0.

Se bi = 0, deve quindi essere ci = 0.Se invece bi > 0, il numero primo xi divide p, e quindi xi non puodividere q (erano coprimi!), per cui ci = 0.Cio dimostra che ci = 0 per ogni i, e quindi q = 1. Dunque n = p2.

Conclusione.√n ∈ Q ⇔ n e un quadrato perfetto ⇔

√n ∈ N.

(In altre parole, per n ∈ N,√n e irrazionale o intero.) [q.e.d.]

• Esercizio per voi. Dimostrare che i seguenti numeri reali non sonorazionali:

3√

12 , log2 10 , log10 2 .

3

• Determinare l’insieme

E = {x ∈ R : x = |t−3||t−3|+1

, t > 0}.

• Lo stesso per

F = {x ∈ R : x = |t2 − 4t|, −1 < t < 5}.

• Richiami sulla funzione arcsinx.

• Rappresentare graficamente le funzioni

f(x) = sin(arcsin x) e g(x) = arcsin(sin x).

•√|1− 2x| − 1

4− x≥ 1

09/10/2017 [2 ore: n. 5,6]

• La parte positiva e la parte negativa

x+ = max{x, 0} , x− = −min{x, 0} = max{−x, 0} = (−x)+

e loro grafici.

• Rappresentare graficamente f(x) =(1− 3

√|x|)−

.

• Determinare (se esistono) sup, inf, max, min dei seguenti sottoinsiemidi R.(i) (0,

√2 ]

(ii) (0,√

2 ] ∩Q(iii) N(iv) {n−2

n+1: n ∈ N}

(v) {cos(nπ)− 1n

: n ∈ N}(vi) {cos(nπ) + 1

n: n ∈ N}

(vii) {x ∈ Q : [−2x] = −3}(viii)

{4−3(−1)n

n(−1)n−3(−1)n: n ∈ N

}(con ab

csi intende a(bc))

4

• Esercizio per voi (che faremo la prossima volta).Data la funzione

f(t) =

sin(πt) se |t| ≤ 1,

0 se t > 1,

log2(−t) se t < −1,

rappresentare graficamente la funzione

g(x) = supt∈Ix

f(t) dove Ix =

{[0, x] per x ≥ 0,

[x, 0] per x < 0.

• Esercizi per voi.◦ sup / inf / max / min per:A = {n2 + n−2 : n ∈ N},B = {sin t : 0 < t < 3π/4},C = {λ ∈ R : l’equaz. x2 + 2x− 3 = λ non ha soluzioni in R},D = {m/n : m < n, m, n ∈ N},E = {x ∈ R :

√π − 3 arcsin(x2 − 2) + log3 |x| > 0}.

11/10/2017 [2 ore: n. 7,8]

• Il primo “Esercizio per voi” della volta scorsa.

• Grafici di h1(x) = max{f(x), g(x)} e h2(x) = min{f(x), g(x)}.

• Grafico di f(x) = minn∈N|x− n| .

• Determinare (se esistono) sup, inf, max, min di

A =⋃n∈N

En e B =⋂n∈N

En

dove En = [1 + 1n, 2 + 1

n] (n ∈ N).

• Al variare di a ∈ R, rappresentare graficamente g(x) =∣∣ a+arctan |x|

∣∣e determinare supx∈R g(x) ( = sup g(R)).

• Trovare una corrispondenza biunivoca:(a) tra (0, 1) e [0, 1);(b) tra R e R \Q.

5

• Sia P3 l’insieme dei polinomi di grado 3 a coefficienti razionali. Qual’ela sua cardinalita? [numerabile]

• Sia P3 come sopra. Determinare la cardinalita dell’insieme

E = {x ∈ R : p(x) 6= 0 per ogni p ∈ P3}.[la card. del continuo, in quanto Ec e numerabile]

• Sia r una retta nel piano cartesiano. Dimostrare che esistono infiniterette parallele a r che non contengano punti aventi entrambe le coor-dinate razionali.[L’insieme delle rette intersecanti Q×Q e parallele a r e numerabile!]

• Esercizio per voi.(a) Mostrare che e possibile avere

N =⋃n∈N

An

dove ogni An e infinito e An ∩ Am = ∅ per m 6= n.

(b) (“Con asterisco”.) Mostrare che e possibile avere

N =⋃λ∈Λ

Aλ

dove l’insieme degli indici Λ e infinito non numerabile, ogni Aλ einfinito e Aλ ∩ Aλ′ e finito per λ 6= λ′.

• Esercizio per voi. Siano X un insieme non vuoto e f : X → R+.Dimostrare rigorosamente che

sup(f 2) = (sup f)2.

• Esercizio per voi.Siano f(x) =

√|x+ 1| − 1 e A = {x ∈ R : [f(x)] = 2}.

(i) Grafico di f ;(ii) supA, inf A.

• Esercizio per voi. Sia f : X → Y una funzione tra due insiemi nonvuoti. Siano A,A1 ⊂ X e B,B1 ⊂ Y . Che relazione (uguaglianza?,solo un’inclusione?, nessuna inclusione?) vi e in generale tra:

◦ f−1(f(A)) e A ?

◦ f(f−1(B)) e B ?

◦ f(A ∪ A1) e f(A) ∪ f(A1) ?

6

◦ f(A ∩ A1) e f(A) ∩ f(A1) ?

◦ f−1(B ∪B1) e f−1(B) ∪ f−1(B1) ?

◦ f−1(B ∩B1) e f−1(B) ∩ f−1(B1) ?

• Esercizio per voi. Determinare f−1(J) e f(J) per

f : R→ R, f(x) = 4x(1− |x|), J = [0, 1).

16/10/2017 [2 ore: n. 9,10]

• Siano f : Q→ R e g : R→ Q. Puo f essere iniettiva?, suriettiva? Lostesso per g.

• Determinare le forme algebrica e trigonometrica, rappresentare grafi-camente:

−5, −2i,1 + i

√3

2i,

(1 + i)(2− 2i)√3 + i

.

• Rappresentare graficamente:

(a) E =

{z ∈ C :

∣∣∣∣z + i

z − i

∣∣∣∣ ≥ 3

}(b) E = {z ∈ C : |z − i| = |z − 1|}(c) E = {z ∈ C : 1 < |z − 2i| ≤ 4}

(d) E =

{z ∈ C :

z + i

z + 1− i∈ R

}(e) E = {z ∈ C : 0 ≤ Re(iz) < π

4}

(f) E = {z ∈ C : arg z = 3}

• Determinare la forma trigonometrica e la f. algebrica:

(i− 1)7, (√

3− i)327.

• Le formule di Eulero:

cosα = 12

(eiα + e−iα) , sinα = 12i

(eiα − e−iα) .

18/10/2017 [2 ore: n. 11,12]

• Due soluzioni dell’esercizio “con asterisco” di due volte fa.

7

(a) Idea 1. Al posto di N possiamo considerare Q. Ad ogni nu-mero irrazionale x > 0 associamo l’insieme Ax dei troncamentidel suo sviluppo decimale (che e un sottoinsieme infinito di Q).Gli insiemi Ax (al variare di x > 0 irrazionale) hanno la proprietarichiesta.

(b) Idea 2. Consideriamo una quadrettatura del primo quadrante delpiano. Al posto di N possiamo considerare l’insieme dei quadrettidella quadrettatura. Ad ogni retta r di equazione y = mx conm > 0 associamo l’insieme Ar dei quadretti intersecati da r. Ora,gli insiemi Ar (al variare di r) hanno le proprieta richieste.

• Dato un punto z del piano complesso diverso dall’origine, disegnare:

z, 1/z , −iz, iz − z, z2 e le soluzioni di w3 = z.

• Formula risolutiva per le equazioni di secondo grado in C. Abbiamodimostrato che, analogamente al caso reale, le soluzioni complessedell’equazione quadratica

z2 + bz + c = 0 (con b, c ∈ C)

sono le seguenti due (eventualmente coincidenti):

z =−b± w0

2,

dove w0 e una delle “radici quadrate” del “discriminante” D = b2−4c.(Si noti che se D 6= 0 allora l’equazione z2 = D ha esattamente dueradici in C, una opposta all’altra.)

• Decomporre il polinomio reale p(x) = x6 + 1 in fattori non decom-ponibili.[Risultato: p(x) = (x2 + 1)(x2 +

√3x+ 1)(x2 −

√3x+ 1).]

• Rappresentare graficamente:

E = {z ∈ C : zz − 2i(z − z) + 3 < 0, z + z > 0}F = {−iz + 1 : z ∈ E}G = {i(z + 2i) : z ∈ E}H = {(z + 2i)2 : z ∈ E}

• Siano A = {z ∈ C : Re(z3 + i − 1) = 2, Im(2z3 − 1 − i) = 1},B = {z3 : z ∈ A}.(a) Scrivere gli elementi di B.(b) Quanti elementi di A stanno nel I quadrante?

8

(c) Esiste un numero α ∈ C \ {0} tale che l’insieme C = {αz, z ∈ A}abbia almeno 2 elementi nel I quadrante?

• Sia z =i− 1

1 + i√

3.

(a) Determinare la forma algebrica e trigonometrica di z.(b) Determinare l’insieme A = {w ∈ C : (iw)3 = −z}.

23/10/2017 [2 ore: n. 13,14]

• Risolvere in C: w4 = (√

3 + i)4.(Idea: una sol. e ovvia; le altre si deducono facilemnte da essa.)

• Siano

A = {z ∈ C : Re(1/z2) ≤ 0, |z| ≥ 3},B = {w ∈ C : w = (1 + i)z, z ∈ A}.

(Idea per A: Re(1/z2) = Re(z/|z|2) = Re(z2)/|z|2.)

• Risolvere in C:

(a) z3 + 8 = 0

(b) z4 − z = 0

(c) z2 + 2iz − 1 + i = 0

(d) iz3z = |z|2 + 2

• Disegnare:

E = {z ∈ C : 1 ≤ |z| < 5, 0 ≤ Re(z) ≤ Im(z)}E1 = {w ∈ C : w = z3, z ∈ E}E2 = {w ∈ C : w3 = z, z ∈ E}.

• Disegnare:

E = {z ∈ C : Re(z) > 0}F = {w ∈ C : w = −iz + (1− i), z ∈ E}

G = {u ∈ C : u =1

w, w ∈ F}.

• Esercizio per voi. Risolvere in C: (z + 1)6 = (1− 2z)6.

9

• Disegnare:

A = {z ∈ C : Re(z − (1/z)

)> 0, Re(z) < 0}

B = {w ∈ C : w = (1 + i√

3 )z, z ∈ A}C = {t ∈ C : t2 = (1/w), w ∈ B}.

25/10/2017 [2 ore: n. 15,16]

• Risolvere in C: (a)z2|z|1 + i

=

√2 z

i. (b) (z4 + 2i)(z3 − 5|z|z) = 0.

• Descrivere e disegnare:

E = {z ∈ C : Re(z/z) < 0, Re(z(√

3 + i)) < 0, Re(z) < 0, |z| > 3}F = {w ∈ C : w2 = z, z ∈ E}

• Esercizi per voi.

(a) z5|z|2 = (√

3 + i)6z

(b) Al variare di α ∈ C, risolvere in C l’equazione z3 = αz3.

(c) Disegnare:

E = {z ∈ C : Im(z4) > 0, Re(iz − z) > 0, |z| < 4}F = {(1/z) : z ∈ E}

• Ripasso: definizione di una metrica.

• Stabilire se le seguenti sono metriche su X = R:(a) d1(x, y) = (x− y)2 [no]

(b) d2(x, y) =√|x− y| [sı]

(Una curiosita: si puo dimostrare che, per ogni p ∈ (0, 1], laformula d(x, y) = |x− y|p definisce una metrica su R.)

• Sia ρ(x, y) = log2(1 + |x− y|), x, y ∈ R.(a) Dimostrare che ρ e una metrica su R.(b) Determinare l’insieme E = B(0, 2)∩B(2, log2 6), dove gli intorni

sferici sono presi nello spazio metrico (R, ρ).

10

• Esempio – la metrica “delle due stanze”.Consideriamo un rettangolo, suddiviso un due parti (non degeneri) da un segmento

parallelo ad un lato. Sia p un qualsiasi punto non estremo del segmento – p e

una “porta”. Ora, sia X l’unione delle due parti (“stanze”), bordi esclusi, unita

al singoletto {p}. Per x, y ∈ X, definiamo d(x, y) come la lunghezza del piu

breve percorso, tutto compreso in X, che colleghi x e y. (Ovviamente, se x e y

appartengono a stanze diverse, ogni percorso che colleghi x, y deve passare per la

“porta” p.)

Abbiamo disegnato le bolle (intorni sferici) nello spazio metrico (X, d).

• In R2 dotato della metrica euclidea, determinare i punti interni, quellidi frontiera e l’insieme derivato dell’insieme

E =

{(x, y) ∈ R2 :

√x+ y + 2

x2 + y2∈ R

}.

30/10/2017 [2 ore: n. 17,18]

• Per ciascuno dei seguenti insiemi determinare punti interni, di fron-tiera e insieme derivato:(a) E = {(x, y) ∈ R2 : y = 0, x ∈ (2, 3)}(b) E =

{(x, y) ∈ R2 : (x, y) =

(sin nπ

2, 1− 1

m

), n,m ∈ N

}• Per ciascuno dei seguenti insiemi E, stabilire se e chiuso, se e aperto,

se e limitato.(a) E =

⋃+∞n=1En dove En = [2, 3− 1

n]

(b) E =⋂n∈NEn dove En = [−1, n−2]

(c) E =⋃+∞n=1En dove En =

{(x, y) ∈ R2 : 1 + 1

n≤ x2 + y2 ≤ 2 + 1

n

}(d) E =

⋂n∈NEn doveEn =

{(x, y) ∈ R2 : 1− 1

n≤ |x|+ |y| < 1 + 1

n

}(e) E = {(2−n, 2−n) ∈ R2 : n ∈ N}

• Esercizio per voi. Sia (X, d) uno spazio metrico. Per x, y ∈ X,poniamo

ρ(x, y) :=d(x, y)

1 + d(x, y).

(a) Mostrare che anche ρ e una metrica su X.(b) Mostrare che un insieme E ⊂ X e aperto in (X, d) se e solo se lo

e in (X, ρ).(Suggerimento: notate che e sufficiente dimostrare che, per ognix ∈ X, ogni suo intorno in una delle metriche contiene un suointorno nell’altra.)

11

• Trovare l’esempio di un insieme infinito E ⊂ R che:(a) E ′ = ∅.(b) E ′ sia finito non vuoto.(c) E ′ sia infinito numerabile.

• Determinare E ′, ∂E,E◦, E per E = Q ∩ (0, 1).

• Sia A ⊂ R superiormente limitato. Mostrare che supA ∈ A.

• Disegnare; determinare ∂E,E◦, E.

(a) E =⋂+∞n=1En ∪ A dove

En = {(x, y) ∈ R2 : 1− 1n< |x|+ |y| ≤ 1 + 1

n},

A ={

(5− 1n2 , 0) : n ∈ N

}.

(b) E =⋂n∈NEn dove En = {(x, y) ∈ R2 : 1− 1

n< |x| ≤ 1 + 1

n}.

• La metrica “della Val d’Aosta” – definizione; come sono fatti gli intornisferici.

06/11/2017 [2 ore: n. 19,20]

• Siano

A = [0, 1], B = (1, 2] ∩Q, C = {n ∈ Z : n ≥ 3},S = A ∪B ∪ C.

Nello spazio metrico (S, d) dove d e la metrica euclidea, determinare:B◦, B, ∂B,B′.

• Siano:

f(x) = x2, g(x) = 4− (x− 2)2,

A = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ Q, f(x) < y < g(x)},B =

{(−(1 + 1

n)n, (−1)n

)∈ R2 : n ∈ N

},

C = A ∪B.Determinare: C◦, C ′, ∂C e l’insieme dei punti isolati di C.

• Sia ∅ 6= E ⊂ R un insieme limitato. Vero o falso?(a) inf E ∈ E ′. [F](b) inf E ∈ ∂E. [V]

(c) Se E non ha punti isolati e E◦ 6= ∅, allora E = (E◦). [F](d) Se E e aperto, allora ogni punto di ∂E e isolato (per ∂E). [F]

12

• Ripasso: “definitivamente” (che e una nozione piu forte della “perinfiniti n”); definizioni di limiti di successioni in R.

• Quando (an)bn e una forma di decisione? Si vede chiaramente con ilcambiamento di base:

(an)bn = ebn log an .

• Ripasso: (1 + 1n)n → e (e in piu, in modo strettamente crescente).

• Dal precedente, abbiamo dedoto alcuni importanti limiti notevoli.Siano {an} e {εn} due successioni in R tali che

|an| → +∞, 0 6= εn → 0,

e siano p ∈ R, 1 6= a > 0.

(i)

(1 +

p

an

)an→ ep .

(ii)loga(1 + εn)

εn→ 1

log a. (In particolare, log(1+εn)

εn→ 1.)

(iii)aεn − 1

εn→ log a . (In particolare, eεn−1

εn→ 1.)

(iv)(1 + εn)p − 1

εn→ p .

08/11/2017 [2 ore: n. 21,22]

• lim n√n

(a) Dimostrare con la definizione che questo limite vale 1.(b) Metodo piu pratico: n

√n = e(1/n) logn, sapendo che l’esponente

tende a 0.

• Calcolare il limite di xn per:(a) xn =

√n− 4√n

(b) xn =(1− 3n)2017 − (n1008 + 1)2

(2√n + 1)34 · (n2 − n+ 1)1000

(c) xn =3n√n − 2

3√n4 +

√n3 − n

√n

√n− 1 (5n+ 9 4

√n3 + 1)

• Idem:

(a) xn =n4 log(1+ 3

n2 )

(sinn)+n2

13

(b) xn = log(n5+1)−5 lognsin(n−5)

(c) xn = nα log(

n3+23n2+n3

)• Osservazione: an → 0 se e solo se |an| → 0.

(Piu in generale, an → ` ∈ R se e solo se |an − `| → 0.)

• Importante e utile! Se {an} e limitata e εn → 0, allora anεn → 0.

• Asintotico. Si tratta di un simbolo molto utile nel calcolo di limiti,ma bisogna sapere bene quando esso puo essere usato e quando inveceno!

◦ Diciamo che due successioni {an} e {bn} sono asintotiche, e scri-viamo

an ∼ bn

se limanbn

= 1 .

◦ La relazione binaria “∼” e una relazione d’equivalenza (cioe, rif-lessiva, simmetrica e transitiva) sull’insieme delle successioni realidefinitivamente non nulle.(Attenzione: nessuna successione e asintotica a quella nulla!!!)

◦ Proprieta. Supponiamo che an ∼ a′n, bn ∼ b′n, α ∈ R.

(a) {an} e {a′n} hanno so stesso comportamento e lo stessolimite (se esiste).

(b) αan ∼ αa′n se α 6= 0

(c) (an)α ∼ (a′n)α

(d) anbn ∼ a′nb′n

(e) anbn∼ a′n

b′n

(f) Se | log an| → +∞, allora log(an) ∼ log(a′n).

(g) Attezione! L’asintotico non puo essere usato con sommene con esponenziali: tali passaggi non sono giustificati. In-fatti:(a) puo succedere che an+bn 6∼ a′n+b′n (ad es., an = n−n2,

bn = n2 + 1 = b′n, a′n = −n2);(b) puo succedere che ean 6∼ ea

′n (ad es., an = n +

√n,

a′n = n).

14

• Esempi di alcuni limiti notevoli scritti usando “∼” (dove 0 6= εn → 0):

log(1 + εn) ∼ εn , 1− cos εn ∼ε2n

2, (1 + εn)p − 1 ∼ pεn .

• Calcolare il limite di xn per:(a) xn =

√n2 + n− 1 −

√n2 − 1 (l’abbiamo fatto in modo ele-

mentare “razionalizzando”);(b) xn = 7

√n2 + n− 1 − 7

√n2 − 1 (l’abbiamo fatto raccogliendo il

secondo addendo e usando limiti notevoli con asintotici).

13/11/2017 [2 ore: n. 23,24]

• an =3√

1− 2n−2 − 1

(e1/n − 1)2

• an = nα log(

1− sin( 3√8n+1n2+1

))• an = n

(e2/n − cos 1

n

)• xn = (an)bn dove an = cos(1/n), bn = nα arctan(1/n)

• an =log(n3 + 1)− cosn+ log(e2n + 2)

3n− 2

• an =

(n+√n

n−√n

+ tan( 4√

n

))√n• Determinare la classe limite:

(a) xn = ncos((n+1)π)(1 + sin nπ

2

)(b) yn = nβ

(1 + β(−1)n

)(c) xn = an · 32n − 5n + n7

3n + (log n)100 + arctann

• xn = (n+ 1 + n cosn)1

2n+n sinn

• xn = (an)bn dove an = log(4n + 2e)− log(4n + 2), bn =√n4 + n − n2

• Esercizio per voi. Al variare di α ∈ R, determinare la classe limitedella successione cn = 2n(eα

n − 1).

15

22/11/2017 [2 ore: n. 25,26]

• Per a > 0, determinare il carattere della successione

xn =nn

an n!.

(Usando il criterio del rapporto si ottiene che: per a > e, xn → 0; pera < e, xn → +∞. Il criterio non da informazioni sul caso a = e.)

• Formula di Stirling. Per quanto riguarda a = e nell’esercizio prece-dente, e noto (ma non elementare da dimostrare) che

nn

enn!∼ 1√

2πn(→ 0),

il che puo essere riscritto nella forma

n! ∼ nn√

2πn

en(Formula di Stirling).

Da questa formula si deduce facilmente che

log(n!) ∼ n log n (= log(nn)).

• Usando la formula di Stirling, e molto facile dimostrare chen√n!→ +∞.

Esercizio per voi. Dimostrate questo fatto senza usare Stirling.

• “o piccolo”.

◦ Definizione: an = o(bn) significa che anbn→ 0.

Significato informale: an e “trascurabile rispetto a bn”.

(Spesso si usa che o(bn)bn→ 0.)

◦ an = o(1) equivale a an → 0.

◦ Proprieta importante: an ∼ bn se e solo se an = bn + o(bn).(Quindi bn + o(bn) ∼ bn .)

◦ Per ogni c ∈ R \ {0}, o(cxn) = o(xn) = c · o(xn).

◦ an = o(bn) implica che (an)p = o((bn)p) per ogni p > 0.

◦ o(bn) + o(bn) = o(bn).

◦ ano(bn) = o(anbn).

16

◦ an = o(bn), bn = o(cn) ⇒ an = o(cn)(ovvero, in modo impreciso, o(o(cn)) = o(cn); in realta, qui dovreiscrivere l’inclusione “⊂” al posto dell’uguaglianza).

◦ an = o(bn), an ∼ an, bn ∼ bn ⇒ an = o(bn).

(Ad esempio, o( √

nn−2√n

)= o(

1√n

).)

◦ I limiti notevoli possono essere riscritti usando “o piccolo”. Van-taggio: possiamo usarli nelle somme (a differenza degli asintotici).

• xn = n2(sin 1

n2 − 1 + cos 1n

)• xn =

√n(

7√n+ 2− 7

√n− 2

)• xn =

n√5− n√3

log(n−3n−2)

• xn =(

lognn2

)n• xn = an

[(2n + 3n)1/n − 3

](a ∈ R)

• xn = e√

n2+n−enen+2+n3 logn

28/11/2017 [2 ore: n. 27,28]

• limn→+∞

[n− e1/n 4

√(n− 1)4 − 5n3

]• Al variare del parametro reale b, calcolare (se esiste) il limite della

seguente successione in C

zn = (n− 3n2) log(cos1

n) +

ibn

2 + bn.

Commento. Se zn = xn + iyn e z = x+ iy, abbiamo:

zn → z in C ⇔ (xn, yn)→ (x, y) in R2

⇔ xn → x e yn → y in R.

La prima equivalenza e immediata dal fatto che la distanza in C co-incide con la distanza euclidea in R2.La seconda equivalenza:

“⇐” e immediata dalla definizione della distanza euclidea.

17

“⇒” segue immediatamente dal fatto che |xn − x| =√

(xn − x)2 ≤√(xn − x)2, (yn − y)2 = d

((xn, yn), (x, y)

), e analogamente per |yn −

y|.

• Serie numeriche. Ripasso delle definizioni e dei fatti principali (con-vergenza assoluta come condizione sufficiente; condizione necessaria).

•+∞∑n=3

(3√

8n+ 1− 3√

8n− 1)

•+∞∑n=0

(−1)ne2n(n2 + 1)

n!

•+∞∑n=1

arctan(n3α)

nα log(1 + nα)

•+∞∑n=1

(−1)n1√n+ 2

•+∞∑n=1

(−1)nn+ 1

2 + n

•+∞∑n=1

(−1)nn− 3

n2 + 1(qui era non immediato lo studio della monotonia)

• Le funzioni iperboliche.

Sh(x) :=ex − e−x

2(= sinhx) seno iperbolico;

Ch(x) :=ex + e−x

2(= coshx) coseno iperbolico;

Th(x) :=Sh(x)

Ch(x)=ex − e−x

ex + e−x(= tanhx) tangente iperbolica.

• Esercizio per voi. Verificate la formula base

Ch2(x)− Sh2(x) = 1.

29/11/2017 [2 ore: n. 29,30]

18

• Le funzioni iperboliche – continuazione: grafici, pari/dispari, proprietabase.

• Limiti notevoli con le funzioni iperboliche (per 0 6= εn → 0):

Sh(εn) ∼ εn, Ch(εn)− 1 ∼ 1

2ε2n, Th(εn) ∼ εn.

• Un esempio che mostra che “∼” non puo essere usato nello studio dellaconvergenza di serie di Leibniz, ne per determinare la monotonia diuna successione.

+∞∑n=2

(−1)n(

1√n

+(−1)n

n

)=

+∞∑n=2

(−1)nbn .

Si ha che bn > 0 e bn → 0. Inoltre, bn ∼ 1√n

e∑+∞

2 (−1)n 1√n

converge

(Leibniz). Ma la nostra serie diverge (a somma = +∞): infatti, essae una serie somma

+∞∑2

((−1)n

1√n

+1

n

)di due serie di cui la prima converge per Leibniz e la seconda diverge.

• Stabilire per quali valori di x > 0 la seguente serie converge e calco-larne la somma:

+∞∑n=2

(n√x− n+2

√x).

Si tratta di una “serie telescopica” (simile alla serie di Mengoli), dellaforma

+∞∑n=2

(bn − bn+2).

Se Ak denota la somma parziale della nostra serie, si calcola facilmenteche

Ak =k∑

n=2

bn −k∑

n=2

bn+2 = b2 + b3 − bk+1 − bk+2

=√x+ 3√x− k+1

√x− k+2

√x →

√x+ 3√x− 2

per ogni x > 0. Quindi la nostra serie converge per ogni tale x e lasua somma e s =

√x+ 3√x− 2.

19

• Lo stesso per la seguente serie (con t ∈ R parametro):

+∞∑n=2

[log t]n

2n+1

dove [·] denota la parte intera.

• Esempio in cui i limiti notevoli “non bastano”:

limn2(

1n− sin 1

n

)= limn2

(1n− 1

n+ o( 1

n))

= lim o(n) = ??? .

• Sviluppi notevoli (con 0 6= εn → 0) di

eεn , sin εn, Sh(εn), cos εn, Ch(εn),

tan εn, arctan εn,

log(1 + εn), (1 + εn)a.

(Si veda l’apposito file online.)

•+∞∑n=1

nα{

log(1− 2

n

)+ e2/n − 1

}(α ∈ R)

• Esercizio per voi. limn→+∞

n4

(cos

1

n−√

1− 1

n2

)

04/12/2017 [2 ore: n. 31,32]

• Determinare, se esiste,

“lo sviluppo di Th(εn) (0 6= εn → 0) al IV ordine”,

cioe: determinare un polinomio p di grado ≤ 4 in modo che si abbiaTh(εn) = p(εn) + o(εn).

[Se p esiste, e unico, dice la teoria.Risultato: Th(εn) = εn − (1/3)ε3

n + o((εn)4).]

• limn→+∞

n3

(tan

1

n− sin

1

ncos

1

n

)

• limn→+∞

(1 + sin 1n)n

3

en2− 1

2n

20

• limn→+∞

nα(

e1n

+ 1n2 − 1− 1

n− 3

2n2

)• Determinare l’ordine di infinitesimo di

an =

(1 +

1

n

)n− e

(si intende: rispetto all’infinitesimo campione 1n).

• Limiti di funzioni.

(a) limx→0+

x log x , limx→0+

xx , limx→0+

xe1/x , limx→0−

xe1/x

(b) limx→1

cos(πx/2)

x− 1

(c) limx→4

√x − 2

3√x − 3√

4

(d) Calcolare

limx→p

x3 + 2x2 − x− 2

x2 − x− 2con p = 0, +∞, −∞, −1, 2.

06/12/2017 [2 ore: n. 33,34]

• Esercizi per voi.

(i) limn→+∞

nα(n− 1

arctan(1/n)

)(ii)

+∞∑n=1

nα[sin2(1/n)− sin(1/n2)

]• limx→−2

|x|x − 14

log(5 + 2x)

• limn→+∞

nα{

1√n− sin

(1√n− 1

n2

)}

•+∞∑n=2

exp(

1n2 − 1

n4

)− 1− log

(1 + 1

n2

)(log n)7+α arctan(nα)

21

• limx→0+

cos√x − e−x/2

x sinx

• limx→3

(x+ 1)200 − 2400

(x+ 2)100 − 5100

• Asintoti di funzioni.

◦ La retta di equazione x = x0 (con x0 ∈ R) e un asintoto verticaleal grafico di f se

limx→x+0

f(x) = +∞ [−∞], e/o limx→x−0

f(x) = +∞ [−∞].

(Esempi in x0 = 0: f(x) = 1/x; f(x) = 1/x2; f(x) = e1/x.)

◦ La retta di equazione y = q (con q ∈ R) e un asintoto orizzontaleal grafico di f per x→ +∞/−∞ se

limx→+∞/−∞

f(x) = q ovvero f(x) = q+o(1) per x→ +∞/−∞.

◦ La retta di equazione y = mx + q (con m 6= 0) e un asintotoobliquo al grafico di f per x→ +∞/−∞ se

limx→+∞/−∞

[f(x)−mx− q

]= 0

ovvero

f(x) =mx+ q + o(1) per x→ +∞/−∞.

◦ Si noti che le definizioni dell’asintoto orizzontale e di quello obliquosono in realta la stessa definizione: differiscono solamente per ilfatto che il coefficiente angolare m sia nullo o meno.

◦ Osservazione. La retta di equazione y = mx + q e un asintoto(orizz. o obliquo) per x→ +∞ se e solo se:

m = limx→+∞

f(x)

xe q = lim

x→+∞

[f(x)−mx

](e analogamente per x→ −∞).

• Determinare tutti gli asintoti di:

(a) f(x) = 3x+√x2 − 1 ;

(b) g(x) = x exp{x−1x+1

}.

11/12/2017 [2 ore: n. 35,36]

22

• Commento su “asintotico e asintoti”.Le funzioni

f(x) = 2x− 1

x, g(x) = 2x+

8x− 1

x+ 8,

h(x) = 2x+√x , k(x) = 2x− log x

sono tutte asintotiche tra loro per x → +∞, ma f, g ammettonoasintoti diversi (rispettivamente y = 2x e y = 2x+ 8) mentre h, k nonammetono asintoto.

L’unica cosa che possiamo affermare e che se due funzioni sono traloro asintotiche per x→ +∞ [−∞] e ammettono asintoti (sempre perx→ +∞), allora questi ultimi hanno lo stesso coefficiente angolare.

• Asintoti: f(x) = x arctanx.

In questo esercizio abbiamo utilizzato la seguente formula molto utile:

arctanx+ arctan(1/x) = (sgn x)π

2(x 6= 0).

• limn→+∞

√1− cos(1/

√n)

(n+ 2)3/2 − n3/2 − 3√n

• limx→0

ex tanx− sinx

x2 cosx, limx→0

(1

x− 1

sinx

)• Asintoti: f(x) = (x2 − x)

(2

x+2x − 2

)• Asintoti: f(x) = x

x+1x , x > 0.

• limx→0

x2 − sin2 x

x3(ex − cosx)

• Asintoti: f(x) = x

[(2x+ 2x2) log

(x+ 1

x− 2

)− 6xe1/x − 3

]

13/12/2017 [2 ore: n. 37,38]

• Classe limite: an =

(n+ 1

n− 1+ tan

(nπ

2+

1

n

))n

23

• Continuita:

f(x) =

{x+21/x

4−21/xse x 6= 0, x 6= 1

2,

1 se x ∈ {0, 12}.

• Continuita (al variare di a, b ∈ R):

f(x) =

x−b arctanx

log(1+x2)−Sh(x3)per x < 0,

0 per x = 0,

xa sin(

1x

)se x > 0.

•+∞∑n=2

[exp( 1

n+ 1

n2 )− 1

1 + 1n

− sin

(1

n+

1

2n2

)]nα

2−1

• Continuita uniforme.

(a) Ripasso della definizione, confronto con la continuita.

(b) Se f e uniformemente continua (u.c.) su I allora vi e continua(ma non vale il vice versa).

(c) Se f e lipschitziana su I allora essa e u.c. su I.Si dice che f e lipschitziana su I (R.O.S. Lipschitz e stato unmatematico tedesco, 1832-1903) se esiste una costante L ≥ 0 taleche

|f(x1)− f(x2)| ≤ L|x1 − x2| per ogni x1, x2 ∈ I,

o equivalentemente, |f(x+h)−f(x)| ≤ Lh se h > 0, x, x+h ∈ I.(d) Teorema di Heine-Cantor. Se f e continua su [a, b] allora f

e u.c. su [a, b].

• Esercizi per voi.

(i) Se f, g sono u.c. su I, allora lo e anche f + g.

(ii) Sia f continua su I = I1 ∪ I2, dove I, I1, I2 sono intervalli. Se fe u.c. su I1 e su I2, allora f e u.c. su I.

• f(x) =√x e u.c. sul suo insieme di definizione.

(Infatti, f e u.c. su [0, 1] per Heine-Cantor, e lipschitziana su [1,+∞).)

• Mostrare che la funzione g(x) = log x non e u.c. sul suo insieme didefinizione, ma lo e su ogni intervallo discosto da 0, cioe, su ogni[α,+∞) con α > 0.

24

18/12/2017 [2 ore: n. 39,40]

• Ancora sull’uniforme continuita.(a) f(x) = sin x e u.c. su R (idea: periodicita).(b) g(x) = sin

√x e u.c. su [0,+∞) (composizione di funzioni u.c.).

(c) h(x) = sin(x2) non e u.c. in alcun intervallo del tipo [a,+∞).

• La funzione

f(x) =

{e1/x per x < 0,

x+√x per x ≥ 0,

e u.c. su R?

Abbiamo utilizzato il seguente fatto.Se f e continua su [a,+∞) e ammette un asintoto orizzontale perx→ +∞, allora f e u.c. su [a,+∞). (Esercizio per voi.)

Corollario.Se f e continua su [a,+∞) e ammette un asintoto (orizzontale oobliquo) per x→ +∞, allora f e u.c. su [a,+∞).

• limx→0

x log3(1 + x)

log2(1 + x)− log(1 + x2) + log(1 + x3)

• Derivare: f(x) = log3(sinx), g(x) = log(sin3 x).

• Determinare l’equazione della retta tangente al grafico di f(x) =√x3−ex

2nel punto (2, f(2)).

• Continuita e derivabilita sull’insieme di definizione:

f(x) =

1 + log(1− x)− 2ex + cosx

xse x > 0,

ax+ b se x ≤ 0.

Esercizio per voi. Per il caso della derivabilita, stabilire se f ′ econtinua.

20/12/2017 [2 ore: n. 41,42]

• Derivabilita.

(a) f(x) =3√x2

25

(b) g(x) = |x6 + 8x3|

(c) h(x) =

{|x|a cos2(1/x) per x 6= 0,

0 per x = 0,dove a ∈ R e un parametro.

• Per quali a la funzione h dell’esercizio precedente e derivabile conderivata continua?

• Determinare i valori di a > 0 tali che

xa > log x per ogni x > 0.

• Sia a ∈ (0, 1). Dimostrare che

(x+ y)a < xa + ya per ogni x, y > 0.

Commento. Cio puo essere utilizzato per dimostrare che la funzione

d(x, y) = |x− y|a

e una metrica su R.

• Sia f(x) = x2

(x+3)e−1/|x| .

Determinare: insieme di definizione; limiti; asintoti; punti di deriva-bilita; estremanti; grafico qualitativo.

08/01/2018 [2 ore: n. 43,44]

• La funzione

f : R→ R, f(x) = e2x − 4ex + x

e suriettiva?, e iniettiva?

• Stabilire per quali valori di a, b ∈ R la funzione

f(x) =

{1+log(1−x)−2ex+cosx

xper x ∈ (0, 1),

a sinx+ b cosx per x ≤ 0,

(a) e continua su (−∞, 1);(b) e derivabile su (−∞, 1).

• Calcolare la derivata 2004-esima in 0 della funzione

f(x) = exp(−x1002) log(1 + x501) .

(Ricordiamo che exp(t) := et.)

26

• Al variare di a ∈ R, determinare il numero delle soluzioni reali dell’equa-zione

x = a log x .

• Esercizio per voi. Lo stesso per l’equazione

exp(x−1x−2

) = ax−2

.

• Al variare di p ∈ R, studiare la convergenza assoluta e quella semplicedella serie

+∞∑n=2

(p2 − 2)n(n(1 + n3/4)

2n− 3

)p.

(Commento: per un valore di p, la serie e del tipo∑+∞

2 (−1)nbn dovebn → 0. Per poter applicare il criterio di Leibniz, bisogna verificare che{bn} e definitivamente monotona. Per fare cio, abbiamo studiato lamonotonia della funzione g(x) tale che g(n) = bn, tramite la derivata.)

• Sia g una funzione derivabile su (0,+∞) tale che g(2) = 1/3 e g′(2) =−1/5. Determinare la retta tangente al grafico della funzione

f(x) = xg(x) (x > 0)

nel punto di ascissa x0 = 2.

10/01/2018 [2 ore: n. 45,46]

• Dimostrare che la funzione

f : R→ R, f(x) = 1− x(log 27) + 3sinx

e suriettiva e iniettiva. Dimostrare poi che f−1 e derivabile su R, ecalcolare (f−1)′(2).

• Sia f una funzione 2 volte derivabile in (−2, 1), tale che

f(x) = 1− 3x+ 2x2 + o(x2) , x→ 0.

(a) Mostrare che f e invertibile in un intorno U di 0.(b) Sia f−1 : f(U) → U la corrispondente funzione inversa. Deter-

minare lo sviluppo di Taylor (resto Peano) di f−1, centrato int0 = 1, arrestato al II ordine.

27

• Dimostrare che la funzione

f(x) =1−√x

log x

e uniformemente continua sul suo insieme di definizione.

(Si dimostra che f e prolungabile con continuita in 0 (da destra) e in 1,

e quindi possiamo considerarla come una funzione continua su [0,+∞).

Inoltre, la sua derivata e limitata su [M +∞) per qualche M > 0, e quindi

f vi e lipschitziana, e quindi u.c. La funzione (continua) f e u.c. anche sul

compatto [0,M ].)

• Determinare lo sviluppo di McLaurin arrestato al III ordine (resto diPeano) della funzione

f(x) = e2x−x2 + log(1− 2x+ 3x2) + ax2.

Al variare di a ∈ R, determinare poi la natura del punto x0 = 0.

• Sia f tre volte derivabile in 0 e tale che

f(x) = (a− 4)(a− 1)x+ a(a− 4)x2 + (a− 1)x3 + o(x3), x→ 0.

Determinare, al variare di a ∈ R, il grafico qualitativo locale di f .

• Individuare una metrica su N che lo renda compatto. Stabilire quindise esistono funzioni da N in N strettamente monotone (rispetto all’ordi-ne usuale di N) che siano continue rispetto alla metrica individuata.

• Tracciare un grafico qualitativo (senza studio della convessita) dellafunzione

f(x) = 3√x +

√|x| .

Tracciare poi un grafico qualitativo della funzione

g(t) = infx≥t

f(x) ,

e stabilire in quali punti g e derivabile.

Fine.