Ø MECCANICA: studio del moto di uno o piu` corpi moto di...

CINEMATICA DI UN PUNTO MATERIALE

Ø MECCANICA:studiodelmotodiunoopiu`corpi

Ø CINEMATICA:studiodelmotodiuncorpoindipendentementedallesuecause(esempi:spostamento,velocita`media,velocita`istantanea).Ø DINAMICA:studiodellecausedelmotodiuncorpo(FORZE)


Ø Motounidimensionale:ilmotoavvienelungounareCa(verDcale,orizzontale,inclinata)

Ø perun``punto’’materiale:• oggeHdidimensionisufficientementepiccole(dipendedalleposizioniedimensionideglialtricorpi;es.:seconsiderolarotazionedellaTerraaCornoalSolepossotraCarelaTerrainprimaapprossimazionecomeuncorpopunDforme;nonpossoseconsideroilmotodirotazionedellaTerraaCornoalsuoasse)• oggeHchesimuovonocomeuncorpopunDforme:tuCelesueparDsimuovonorigidamentenellasessadirezioneeconlastessavelocita`.


Ø SISTEMADICOORDINATE:perdefinirelaposizionedell’oggeCoinesame.-StabiliscounversodellareCa,chechiamoversoposiDvo.-ConsiderounpuntoarbitrariocomeoriginesullareCa,cheindichero`conx=0-stabiliscounaunita`dimisuraperledistanze(ilmetro).AlloralaposizionediuncorposullareCarispeCoall’originee`datadalla“distanza”delcorpodall’origine(lacoordinataxmisuratainmetri).Talecoordinataxe`>0seilcorpositrovaadestradell’origine,xe`<0sesitrovaasinistradell’origine.

Supponiamocheuncorpositroviall’istantetinellaposizionexi:tiàxi=x(ti)Dopol’intervalloditempoΔt=tf-tisitrovanellaposizionetf:xf:tfàxf=(tf)

xx=0 xfxi

N.B.:versoedoriginesonoarbitrari,maunavoltascel2bisognaesserecoeren2conlasceltafa7aduranteicalcoli


Ø DefiniscolospostamentocomelaquanDta`Δx=xf-xiN.B.:lospostamentopuoèsseresia>0che<0asecondachelospostamentoavvengarispeHvamentenelversoconcordeaquellofissatosull’asssexonelversooppostoEsempio:sexf=−5mexi=2m,alloraΔx=−5m−(2m)=−7m,e`chiarocheilcorposie`mossonelversooppostoaquellofissatosull’assex.Ø  Leggeorariadelmoto:laposizionedelcorpolungolareCacambiera`daistanteditempoadistanteditempo.Quindiadogniistantetpotroàssociarelasuacoordinatax(t):tàx(t)equindilacoordinataxsaraùnafunzionedeltempo.Talefunzionex(t)sichiamaLEGGEORARIADELMOTO.

CINEMATICA DI UN PUNTO MATERIALE: VELOCITA` MEDIA

Ø VELOCITA`MEDIA:rapportotralospostamentoeffeCuatonell’intervalloditempoΔt=tf-tiel’intervalloditempoΔt

Unita`dimisuranelS.I.:m/s.Lesuedimensionisono[vm]=L/T.vmnondasoloinformazionisuquantovelocementesimuoveunoggeCo,madaancheinformazionisulversonelqualesimuove.InfaHΔte`sempre>0,maΔxpuoèssere>0o<0asecondadiunmotocheavviene,rispeHvamente,nelversoconcordeonelversooppostorispeCoaquellofissatosull’asssex.Quindianchevmpuoèssere>0o<0asecondacheilmotoavvenga,rispe=vamente,nelversoconcordeonelversooppostorispe>oaquellofissatosull’asssex.Nota:Comesara`chiaroquandointrodurremoiveCori,ilsegnodellavelocita`(odell’accelerazione)e`legatoalfaCocheinrealta`velocitaèaccelerazionesonodeiveCorilecuicomponenDpossonoessere>0o<0.Solochenelcasounidimensionalesipuo`fareamenodi``scomodare’’iveCori,percheìlmotoavvienesuunareCachepuoèsserepercorsaoinunversoonelversoopposto.

€

vm =ΔxΔt

=x f − xit f − ti

CINEMATICA DI UN PUNTO MATERIALE: VELOCITA` ISTANTANEA

Ø Lavelocita`medianondaunadescrizioneaccuratadelmotodiunaparDcella.Peravereunadescrizioneaccuratadovreiconoscerlaperintervalliditempoviaviapiu`piccoli.L’idealesarebbeconoscerelavelocita`istanteperistante.ConsideroquindideisoCo-intervalliditempoviaviasemprepiu`piccolieperciascunodiquesDcalcololavelocita`media:ecosi`viafinoall’ulDmosoCo-interavalloPerconoscerelavelocita`adogniistantedevoviaviaridurregliintervalliditempo.

xxi xf

x1x2x3x4 x5

€

vm(1) =

Δx1Δt1

=x1 − xit1 − ti

;

€

vm(2) =

Δx2Δt1

=x2 − x1t2 − t1

; vm(3) =

Δx3Δt3

=x3 − x2t3 − t2

;


Ø  Allorasidefiniscecomevelocitaìstantanea(osemplicementevelocita`):

v = limΔt→0

ΔxΔt

InpraDca:devocalcolare(omisurare)lavelocta`mediaΔx/Δtperintervalliditemposemprepiu`piccoli,tendenDallozero(intervalliinfinitesimi)N.B.1:dimensionieunita`dimisurasonolestessedellavelocita`media.N.B.2:vpuoesseresia>0che<0.Ilsiginificatodelsegnoe`lostessodiquellospiegatoperlavelocita`mediaN.B.3.:lavelocita`mediasiriferisceadunintervalloditempofinito,lavelocitaìstantaneasiriferisceadunistanteditempospecifico,eingeneree`diversadaistanteadistante.Percui,istanteperistantepotremoassociareaciascunistanteditempounbendeterminatovaloredellavelocita`:tàv(t).

Ovvero,deCoinparole:lavelocitaìstantaneaeìllimitediΔx/ΔtperΔtchetendeazero.


Ladefinizionedivelocita`istantaneacorrispondeinmatemaDcaalladefinizionediderivata:

v = limΔt→0ΔxΔt

=dxdt

ovvero,deCoinparole:lavelocita`e`laderivatarispeCoaltempodellacoordinatax(t)

MOTO RETTILINEO UNIFORME

Ø  Supponetecheuncorposimuovaconvelocita`costante,ovveroconunavelocita`chenondipendedaltempo(lavelocita`halostessovalorefissatoperogniistante,peresempiov=0.5m/s.)Potremoscriverev=costante=v0,dovev0denotailvalorecostantedellavelocita`.Ø  Cidomandiamo:e`possibilericavaredaquestainformazionequale`laleggeorariadelmotoinquestocaso?Si:larispostae`dovex0e`laposizioneinizialedelcorpo,et0l’istanteiniziale.Ø  Procedura:sivedaneduepagineseguenD.

2 THE AUTHOR

Spesso l’istante iniziale ti viene indicato con t0, e quindi x(ti) viene indicato con x(t0) = x0.

Cosı facendo possiamo riscrivere la Eq. (14) come

(7) x(t) = x0 + v0(t� t0).

N.B.: si noti che spesso si puo fare la scelta per cui l’istante iniziale t0 = 0 per cui

(8) x(t) = x0 + v0t

Prendiamo la relazione

(9) v(t) = v0 .

Sappiamo che, siccome v = dx/dt possiamo scrivere

(10)

dx

dt

= v(t) = v0 .

Allora prendiamo l’integrale sia a sinistra che a destra dell’uguale tra un istante iniziale

ti e un istante finale tf (se vale l’uguaglianza sappiamo che anche i due integrali devono

essere uguali).

L’integrale a sinistra dell’uguale da:

3

(11)

Z tf

ti

dx

dt

dt = x(t)

��tf

ti

= x(tf )� x(ti) .

Integro a destra dell’uguale:

(12)

Z tf

ti

v0dt = v0

Z tf

ti

dt = v0(tf � ti) ,

dove ho usato la proprieta degli integrali per cui se sto integrando una costante (nel nos-

tro caso v0 che non dipende appunto dal tempo t) posso, come si dice, “portare fuori

dall’integrale” tale costante. A questo punto uguagliamo i due integrali:

(13) x(tf )� x(ti) = v0(tf � ti) ,

3Il risultato sopra dipende dal fatto che per calcolare l’ integrale di una funzione, diciamo f(t) (nel nostrocaso rispetto alla variabile tempo t) devo trovare quella funzione g(t) la cui derivata rispetto al tempo t dala funzione f(t) che voglio integrare. Devo poi valutare tale funzione g(t) tra i due estremi di integrazione(ovvero fare la di↵erenza [g(t

f

)� g(ti

)]). Nel caso specifico della equazione (12) la funzione da integrare eproprio la derivata di x(t) rispetto al tempo t, per cui la funzione g(t) eproprio x(t).

BRIEF ARTICLE

THE AUTHOR


(1) v(t) = v0 .


(2)dx

dt= v(t) = v0 .

Allora prendiamo l’integrale sia a sinistra che a destra dell’uguale tra un istante inizialeti

e un generico istante finale t (se vale l’uguaglianza sappiamo che anche i due integralidevono essere uguali).

L’integrale a sinistra dell’uguale da:1

(3)

Zt

t

i

dx

dtdt = x(t)

��t

t

i

= x(t)� x(ti

) .

Integro a destra dell’uguale:2

(4)

Zt

t

i

v0dt = v0

Zt

t

i

dt = v0(t� ti

) ,

dove ho usato la proprieta degli integrali per cui se sto integrando una costante (nel nos-tro caso v0 che non dipende appunto dal tempo t) posso, come si dice, “portare fuoridall’integrale” tale costante. A questo punto uguagliamo i due integrali:

(5) x(t)� x(ti

) = v0(t� ti

) ,

ovvero

(6) x(t) = x(ti

) + v0(t� ti

).

Questa equazione fornisce la legge oraria del moto per un moto rettilineo uniforme, ovveroesprime come la coordinata x di un corpo varia al variare del tempo t.

1Il risultato della Eq. (4) dipende dal fatto che per calcolare l’integrale di una funzione, diciamo f(t)(nel nostro caso rispetto alla variabile tempo t) devo trovare quella funzione g(t) la cui derivata rispetto altempo t da la funzione f(t) che voglio integrare. Devo poi valutare tale funzione g(t) tra i due estremi diintegrazione (ovvero fare la di↵erenza [g(t) � g(t

i

)]). Nel caso specifico della equazione (4) la funzione daintegrare e proprio la derivata di x(t) rispetto al tempo t, per cui la funzione g(t) e proprio x(t).

2Si noti che la notazione matematica rigorosa nello scrivere questi integrali sarebbe, per esempio perl’integrale nella Eq.(4),

Rt

ti

dx

dt

0 dt0, solo che per semplicita di notazione invece che scrivere t

0 scriviamo

semplicemente t anche dentro all’integrale.

1

2 THE AUTHOR

Spesso l’istante iniziale ti viene indicato con t0, e quindi x(ti) viene indicato con x(t0) = x0.

Cosı facendo possiamo riscrivere la Eq. (14) come

(7) x(t) = x0 + v0(t� t0).

N.B.: si noti che spesso si puo fare la scelta per cui l’istante iniziale t0 = 0 per cui

(8) x(t) = x0 + v0t


(9) v(t) = v0 .


(10)

dx

dt

= v(t) = v0 .

Allora prendiamo l’integrale sia a sinistra che a destra dell’uguale tra un istante iniziale

ti e un istante finale tf (se vale l’uguaglianza sappiamo che anche i due integrali devono

essere uguali).

L’integrale a sinistra dell’uguale da:

3

(11)

Z tf

ti

dx

dt

dt = x(t)

��tf

ti

= x(tf )� x(ti) .

Integro a destra dell’uguale:

(12)

Z tf

ti

v0dt = v0

Z tf

ti

dt = v0(tf � ti) ,

dove ho usato la proprieta degli integrali per cui se sto integrando una costante (nel nos-

tro caso v0 che non dipende appunto dal tempo t) posso, come si dice, “portare fuori

dall’integrale” tale costante. A questo punto uguagliamo i due integrali:

(13) x(tf )� x(ti) = v0(tf � ti) ,

3Il risultato sopra dipende dal fatto che per calcolare l’ integrale di una funzione, diciamo f(t) (nel nostrocaso rispetto alla variabile tempo t) devo trovare quella funzione g(t) la cui derivata rispetto al tempo t dala funzione f(t) che voglio integrare. Devo poi valutare tale funzione g(t) tra i due estremi di integrazione(ovvero fare la di↵erenza [g(t

f

)� g(ti

)]). Nel caso specifico della equazione (12) la funzione da integrare eproprio la derivata di x(t) rispetto al tempo t, per cui la funzione g(t) eproprio x(t).

N.B.:laproceduradescriCaquisoprae`quellachetrovate(ancheseconmenodeCagli)nelparagrafo2.8apag.22-23dellibro.

ACCELERAZIONE MEDIA E ISTANTANEA

Ø ACCELERAZIONEMEDIA:rapportotralavariazionedellavelocita`Δvchesiverificanell’intervalloditempoΔt=tf-tiel’intervalloditempoΔt

am =ΔvΔt

=v f − vit f − ti

Ø ACCELERAZIONEISTANTANEA(opiu`semplicementeaccelerazione):sidefinisceinmododeltuCoanalogoaquantofaCoperlavelocita`istantanea a = limΔt→0

ΔvΔt

N.B.:ledimensionifisichedell’accelerazionemediaedistantaneasonoL/T2;l’unita`dimisurae`m/s2.

ACCELERAZIONE ISTANTANEA

Ladefinizionediaccelerazioneistantaneacorrispondealladerivatadellavelocita`v(t)rispeCoaltempo.a = limΔt→0

ΔvΔt

=dvdt

RicordandochelavelocitaèàsuavoltaladerivatadellacoordinataxrispeCoaltempo,ovverov(t)=dx/dt,allorapossiamoanchescriverea = dv

dt=ddt(dxdt) = d

2xdt2

Ovverol’accelerazionesipuoàncheoCenerederivandoduevoltelacoordinatax(t)rispeCoaltempot.

MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

Ø  Supponeteadessocheuncorposimuovaconaccelerazionecostante,ovveroconunaaccelerazionechenondipendedaltempo(ahalostessovalorefissatoperogniistante,peresempioa=5m/s2.)Potremoscriverea=costanteØ  Cidomandiamo:e`possibilericavaredaquestainformazionequale`laleggeorariadelmotoinquestocasoelavelocita`?Larispostae`sieilriassuntodeirisultaDe`:dovet0e`l’istanteiniziale,x0laposizioneinizialedelcorpo,eev0lavelocita`inizialedelcorpo.Ø  Procedura:sivedaneduepagineseguenD.

BRIEF ARTICLE 5

Spesso l’istante iniziale ti viene indicato con t0, e quindi x(ti) viene indicato con x(t0) = x0

e v(ti) con v(t0) = v0. Pertanto, riepilogando si ha:

(25) a = costante

(26) v(t) = v0 + a(t� t0).

(27) x(t) = x0 + v0(t� t0) +1

2

a(t� t0)2.

Nel caso in cui si faccia la scelta per cui l’istante iniziale t0 = 0

(28) a = costante

(29) v(t) = v0 + at

(30) x(t) = x0 + v0t+1

2

at

2.

N.B1.: Una possibile semplice verifica che i risultati ottenuti sono corretti consiste, per

esempio, nel derivare rispetto al tempo la (26), ottenendo cosı:

(31)

dv(t)

dt

= a ,

come ci si doveva aspettare visto che l’accelerazione e la derivata della velocita rispetto al

tempo.

N.B.2: se ci riduciamo al caso particolare a = 0 dalla legge oraria del moto (27) otte-

niamo esattamente la Eq. (7)

(32) x(t) = x0 + v0(t� t0) ,

ovvero la legge oraria di un moto rettilineo uniforme: di nuovo e quello che ci si aspetta

visto che a = dv/dt = 0 equivale a dire che la velocitın questo caso particolare rimane

costante.

BRIEF ARTICLE 5



(25) a = costante

(26) v(t) = v0 + a(t� t0).

(27) x(t) = x0 + v0(t� t0) +1

2

a(t� t0)2.


(28) a = costante

(29) v(t) = v0 + at

(30) x(t) = x0 + v0t+1

2

at

2.



(31)

dv(t)

dt

= a ,


tempo.



(32) x(t) = x0 + v0(t� t0) ,



costante.

BRIEF ARTICLE 5



(25) a = costante

(26) v(t) = v0 + a(t� t0).

(27) x(t) = x0 + v0(t� t0) +1

2

a(t� t0)2.


(28) a = costante

(29) v(t) = v0 + at

(30) x(t) = x0 + v0t+1

2

at

2.



(31)

dv(t)

dt

= a ,


tempo.



(32) x(t) = x0 + v0(t� t0) ,



costante.

BRIEF ARTICLE 3

Consideriamo adesso il moto uniformemente accelerato. In questo caso un corpo pun-tiforme si muove con accelerazione costante (ovvero che non dipende dal tempo). Innanzi-tutto ricaviamo un’espressione della velocita in funzione del tempo (ovvero v(t)). Matem-aticamente il procedimento e identico a quello gia fatto per il moto rettilineo uniforme (neipassaggi matematici basta che sostituiate v0 con a e x(t) con v(t)).Sappiamo che

(9)dv

dt= a = costante .

Allora prendiamo l’integrale sia a sinistra che a destra dell’uguale tra un istante iniziale ti

e un generico istante finale t.L’integrale a sinistra dell’uguale da:

(10)

Zt

t

i

dv

dtdt = v(t)

��t

t

i

= v(t)� v(ti

) .

L’integrale a destra

(11)

Zt

t

i

adt = a

Zt

t

i

dt = a(t� ti

) ,

dove ho usato la proprieta degli integrali per cui se sto integrando una costante (nel nostrocaso l’ accelerazione a che non dipende appunto dal tempo t) posso, come si dice, “portarefuori dall’integrale” tale costante. Pertanto uguagliando la (10) e la (11) otteniamo unaprima legge importante:

(12) v(t) = v(ti

) + a(t� ti

).

Data questa legge siamo in grado di ottenere la legge oraria del moto. Intanto mi ricordoche

(13)dx

dt= v(t) .

A questo punto integro la Eq. (12) sia a sinistra che a destra dell’uguale tra un istanteiniziale t

i

e un generico istante finale t. Integrando a sinistra ottengo come al solito:

(14)

Zt

t

i

v(t) dt =

Zt

t

i

dx

dtdt = x(t)

��t

t

i

= x(t)� x(ti

) .

L’integrale a destra dell’uguale nella Eq. (12) da:

(15)

Zt

t

i

[v(ti

) + a(t� ti

)] dt = v(ti

)

Zt

t

i

dt+ a

Zt

t

i

(t� ti

)dt = v(ti

)(t� ti

) +1

2a(t� t

i

)2 .

Uguagliando la (14) con la (15) otteniamo la legge oraria del moto:

(16) x(t) = x(ti

) + v(ti

)(t� ti

) +1

2a(t� t

i

)2 .

BRIEF ARTICLE 5



(25) a = costante

(26) v(t) = v0 + a(t� t0).

(27) x(t) = x0 + v0(t� t0) +1

2

a(t� t0)2.


(28) a = costante

(29) v(t) = v0 + at

(30) x(t) = x0 + v0t+1

2

at

2.



(31)

dv(t)

dt

= a ,


tempo.



(32) x(t) = x0 + v0(t� t0) ,



costante.

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